Project icon: lavishly furnished initial letter with a painting of Ptolemy using an astrolab.

Ptolemaeus

Arabus et Latinus

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
The following characters have a special meaning.
Put them next to a word without a space between.
" "encloses a sequence of words so that the sequence is searched as a whole.
+The following word must appear.
-The following word must not appear.
~The following word should not appear but may appear.
<The following word should appear but is not as relevant as other words.
>The following word should appear and is more relevant than other words.
( )groups words together so that one of the prefixes above can be applied to the whole group.
*is a wildcard behind a word, representing null, one or several arbitrary characters.

⟨III⟩⟨Liber III⟩

Comunia Comunia] i.e. ‘communia’ quedam premitenda premitenda] i.e. ‘premittenda’ sunt quia hic modus demonstrationi est aptior.

Perpetuum motum orbicularem esse.

Celestia corpora perpetuo motu et ideo orbiculari esse mobilia. Celestia…mobilia] i. m. (other hand)

Omnem motum celestis corporis simplicem et verum equabilem equabilem] corr. in equalem esse, hoc est super equos angulos in centro motus consistentes et in equales arcus cadentes equalibus fieri temporibus.

Motum Solis vel alterius /96v/ planete in circulo signorum diversum apparere.

Motum stelle medium esse cum tota et integra eius revolutio secundum equalia tempora per equales motus fuerit distributa.

Hiis premissis quod proposuimus prosequamur.

⟨III.1⟩ Anni quantitatem per considerationes considerationes] in add. K instrumentis deprehendere.

Tempus vel quantitas anni est reditus Solis ab aliquo puncto circuli signorum ad idem ut a puncto solstitiali ad idem aut a puncto equinoctiali ad idem. Hec enim notabiliora et digniora sunt in circulo. Preparato itaque quadrante veridico sicut in primo libro diximus et per ipsum arcum arcum] arcu B qui est inter duos tropicos deprehenso, arcus ipse in duo equalia secetur, eritque punctus sectionis cum quadrans erectus fuerit super lineam medii diei in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ equinoctialis circuli. Observandum itaque circa autumpnale equinoctium, quia tunc aer purior est, est] sup. lin. umbram in meridie cadentem donec puncto equinoctii quoad vicinius contingit apropinquet et et‌1] hoc add. K ante et post ipsum equinoctii punctum. Nota ergo erit utrimque per instrumenti bonitatem declinatio, et per declinationem fiet arcus circuli signorum utrimque notus. Cum ergo utrumque in unum collegeris, erit motus Solis diversus ad unam diem notus. Cum ergo secundum proportionem totalis arcus circuli signorum ad utramlibet suarum partium tempus diei diviseris, erit punctum temporis quo Sol per equinoctiale punctum transierit notum. Eodem modo punctum temporis reversionis Solis ad idem punctum equinoctii innotescat. Quantitas ergo temporis temporis] i. m. (perhaps other hand) inter utrumque deprehensa tempus anni esse perpenditur. Pari modo per solstitiale punctum et maximam declinationem perpendi potest quantitas anni, sed commodior et certior est equinoctialis observatio quia Sol circa equinoctium velotiorem velotiorem] This appears to be a mistaken reading of ‘velocior est.’ velotiorem] i.e. ‘velociorem’ et ideo in brevi tempore maiorem habet in declinatione diversitatem, circa solstitium vero tarde et minime diversitatis est declinatio.

Attamen tempus anni ad verum deprehendi propter fallaciam que sensui per instrumentum accidit non contingit. Et cum per multos annos id in quo error est collectum fuerit, erit sensibilis differentia et precedat vel subsequatur [tempus solstitii aut equinoctii verum] tempus…verum] From K tempus solstitii vel equinoctii secundum computationem sensibiliter. Si ergo hoc tempus anni semper ut estimavit Ptolomeus idem esset nec diversum, verius deprehendetur per duas magni intervalli considerationes et plurium reversionum quam per propinquas duas.

Porro definitum anni tempus diversum esse nec per omnia equale |digne estimari potest. Cum Egyptiorum antiquissimi ex Babylonia sicut per suas considerationes deprehenderunt ipsum ex ccclxv diebus et quarta diei et una parte ex cxxx diei partibus constare constare] i. m. dixerunt, Abrachaz vero super cuius considerationem operatus est Ptolomeus ex ccclxv diebus et quarta diei tantum. Post hec Ptolomeus ab hac hac] consideratione add. but then del. quantitate anni in ccc annis unum diem excepit, et annum Solis esse ex ccclxv ⟨diebus⟩ diebus] From K et minus quam quarta quantum est una pars ex ccc diei partibus per suam considerationem et considerationem Abrachaz, inter quas fuerunt cclxxxv anni Egyptiaci deprehendit. Deinde vero a a] sup. lin. Ptolomeo post annos dccxliii observavit Albategni punctum equinoctii et per intervallum duarum considerationum, sue scilicet et Ptolomei, tempus anni ccclxv dierum et xiiii minutorum et xxiiii secundarum fore deprehendit. Quare cum eisdem usi sint instrumentis philisophi et exceptio secundum annorum spatia non equaliter procedat, hoc tempus anni diversum contingere non indigne putabitur.

Huius ergo diversitatis causam Tebit Tebit] perhaps corr. ex ... Benchoraz coniectans /97r/ necnon et illius diversitatis que in declinationibus reperitur, motum octave spere ante et retro supra duos circulos parvos supra caput Arietis fixum et caput Libre fixum descriptos quorum diameter est viii gradus et xxxi minuta et xxvi secunda deprehendit. Et hunc motum qui inferioribus quoque speris communis est diversitatem annorum efficere necnon et diversitatem declinationum maximarum que reperitur indicavit. Docuitque secundum motum spere inequalitatem anni omnibus temporibus temporibus] sup. lin. (perhaps other hand) et maximam declinationem invenire. Tempus vero anni equale non est a solstitio ad idem solstitium vel ab equinoctio ad idem equinoctium, sed a puncto zodiaci secundum motum octave spere mobili ad idem Solis regressio, quod est a stella fixa ad eandem Solis reversio. Et hoc quidem tempus anni equale est ex ccclxv diebus et xv minutis et xxiii secundis, et super hoc Arzacel tabulas motuum Toleti novissime composuit.

⟨III.2⟩ Medium motum Solis ad quaslibet divisiones temporis scilicet annos collectos, annos disgregatos, menses, dies, horas, puncta horarum collocare.

Latum Latum] datum K enim annum Egyptiacum sive Romanum sive annum Arabum cum anno Solis equari equari] This should read ‘equali’ K confer, et secundum eorum proportionem de ccclx gradibus idest de toto circulo sume. Et productum quod est motus medius ad unum annum datum per numerum annorum collectorum quicumque sit multiplica. Et circulos integros super super] iter. but then del. P; semper K proice, et erit medius motus Solis ad annos collectos. Ad annos vero expansos quorumlibet quorumlibet] quoslibet K motum unius anni preinventum duplicando, triplicando, et deinceps secundum consequentiam annorum motum constitues. Ad menses vero similiter scilicet secundum proportionem dat⟨i⟩ dati] The ‘i’ is illeg. because of wormhole. mensis ad annum Solis equalem de toto circulo accipies, et ipsum secundum processum mensium duplicabis, triplicabis, et sic deinceps usque ad expletionem mensium totius anni. Pari modo addities addities] ad dies K horas, minuta horarum motum medium equaliter distributum adiunges.

⟨III.3⟩ Motum stelle diversum apparentem in signorum circulo propter duorum modorum utrumlibet posse contingere.

Unus duorum modorum est ut estimemus stellam ecentricum habere et in eius circumferentia corpus stelle equali motu conferri. Alius modus est ut ymaginemur stellas stellas] stellam K concentricum habere sed in eius circumferentia corpus stelle non permanere, verum etiam ipsam epiticlum epiticlum] i.e. ‘epicyclum’ habere, cuius centrum in circumferentia concentrici equaliter circumducitur et corpus stelle nichilominus in circumferentia epycicli equaliter circumrotatur.

Sit ergo primus primus] primum K orbis ⟨e⟩centricus ecentricus] Full word is found in K. ABGD supra quem motus stelle equabilis cuius centrum sit E et eius dyameter AED. Et sit punctum longitudinis longioris a terra punctum A, et D punctum longitudinis propioris terre. Sitque super dyametrum AED nota Z a qua est suspectus suspectus] aspectus K oculorum, et quasi centrum mundi. Secabo ergo duos arcus equales AB et GD et protraham lineas BE BZ GE BZ…GE] supr. lin. (perhaps other hand) GZ. Dico ergo quod cum stella equabilem habeat motum in arcubus AB GD, diversum tam apparenter habet in circulo signorum. Cum enim equales sunt sunt] sint K anguli AEB et DEG, angulus AZB utroque minor est. ⟨Sed et angulus DZG utroque maior. Ergo anguli ad Z inequales sunt, et cum Z sit centrum circuli⟩ Sed…circuli] From K signorum, cadunt in arcus circuli signorum equales. equales] inequales K Cum ergo super hos arcus vel angulos fiat stelle transitus in temporibus equalibus, accidit secundum aspectum in circulo signorum motus stelle diversus.

Similiter quoque accidit secundum alium modum. Sit enim circulus concentricus ABGD cuius dyameter AEG, et super ipsum centrum A epicliclus epicliclus] i.e. ‘epicyclus’ ZHTK. Intelligamus ergo motum epiclicli epiclicli] i.e. ‘epicycli’ ab A in B et utrum utrum] interim B sit motus corporis stelle in epicicli epicicli] corr. ex epicli circumferentia. Cum ergo pervenerit ad utrumlibet punctorum Z T, nulla apparebit di/97v/versitas in circulo signorum quia super locum centri A conspitietur. conspitietur] i.e. ‘conspicietur’ Et cum alibi fuerit inter hec duo puncta, non erit ita. Sit enim quod pervenerit ad locum H in epiciclo. Cum ergo centrum A equabili motu suo pervenerit ad punctum B, precedet corpus stelle locum illum secundum quantitatem arcus AH, et erit motus apparens maior medio. medio] sup. lin. Et cum pervenit ad punctum K in epiciclo, erit motus apparens minor secundum Et…secundum] i. m. quantitatem arcus AK.

⟨III.4⟩ Secundum modum orbis ecentrici minor est motus apparens ad longitudinem longiorem et maior ad longitudinem propiorem, secundum vero epicicli modum ad utramque uterque potest accidere.

] The point labeled ‘X’ should be ‘Z.’ Resumamus ecentricum cum eadem dispositione. Angulus AZB semper minor est angulo GZD quia angulus AEB semper maior est angulo BZE, et idem, quia eius equalis, semper minor est angulo GZD. Sed super minorem angulum minor est motus et super maiorem maior in tempore equali.

] No figure is given here, but the second figure of III.3 is used. Pono iterum concentricum cum epicliclo epicliclo] i.e. ‘epicyclo’ secundum priorem dispositionem. Dico quod ad eandem longitudinem et minor et maior motus apparens potest accidere. Ponamus enim centrum epicicli moveri ab oriente in occidentem oriente…occidentem] occidente in orientem K quod est ab A in B. Cum ergo motus corporis stelle fuerit similiter ab occidente in orientem a longitudine longiore quod est a [XIH XIH] corr. in XAH tunc stelle quod est a] Z in in] sup. lin. H, tunc motus stelle apparens erit maior ad longitudinem longiorem eo quod ambo motus sint versus eandem partem. Cum vero motus corporis stelle fuerit a longitudine longiore ab oriente in occidentem quod est a Z in K et e contrario motus epicicli, erit apparens minor ad longitudinem longiorem quia motus corporis stelle est contra motum epicicli deferentis stellam.

⟨III.5⟩ Maxima differentia apparentis motus in circulo signorum ad motum medium in ecentrico colligitur in directo puncti circuli signorum medii inter utramque longitudinem. Unde manifestum quod apparens permeatio unius quarte circuli signorum scilicet a longitudine longiore ad punctum medium maioris temporis est, et permeatio alterius quarte a puncto medio ad longitudinem propiorem minoris temporis est; et quod differentia huius temporis ad illud et illius ad hoc est sicut maior differentia collecta motus apparentis ad motum medium dupplicatam. dupplicatam] duplicata K

] Points P and Q are mislabeled in the figure in P. The correct figure comes from K 43. Describam itaque stelle orbem ecentricum ABGD supra centrum E, et dyameter eius in longitudine longiore AEG. Et ponam in dyametro centrum orbis signorum Z quo est aspectus oculorum et super ipsum perpendicularem BZD, sitque stella super duas notas B D ut sit spatium motus apparentis in circulo signorum quarta a longitudine longiore. Dico quod ⟨ad⟩ ad] From K has duas notas B D maxima differentia duorum /98r/ motuum colligitur. Protraham enim duas lineas EB ED. Ex hoc ergo patet quod proportio EBZ anguli ad quatuor rectos rectos] est add. sup. lin. (other hand) sicut arcus differentie ad totum circulum quoniam AEB est sub arcu motus medii AB et angulus AZB est sub arcu motus apparentis PQ et superfluum quod est inter eos est angulus propositus EBZ. Cum vero ambo motus conveniant ad utramque longitudinem, dico quod non erigitur maior angulus in circulo ABGD utrolibet istorum supra lineam EZ. Erigantur enim duo anguli aput punctum T et aput punctum K, et protraham duas lineas TD KD. Vides ergo quod linea TZ maior est linea ZD; ergo maiori angulo subtenditur. Demptis ergo equalibus remanet angulus EDZ maior angulo ZTE. Item quia ZD maior est linea KZ, maiori angulo subtenditur. Demptis inequalibus sub sub] ab K equalibus, remanet angulus ZDE qui est equalis angulo ZBE maior angulo ZKE.

Cum hoc etiam declaratum est quod arcus AB qui est quantitas temporis apparentis permeationis a P in Q maior est arcu BG qui est quantitas temporis apparentis permeationis alterius quarte a Q in X; et quod differentia huius temporis ad illud et illius ad hoc est arcus differentie duorum motuum duplicatus quia angulus AEB qui est maioris temporis angulus superat angulum BEG qui est angulus minoris temporis duplo anguli EBZ qui est angulus differentie, et hoc est quod proponitur.

⟨III.6⟩ Iuxta modum epicicli cum equales in proportione semper fuerint motus epicicli in concentrico et stelle in epiciclo fueritque motus minor ad longiorem longitudinem, maxima differentia motus diversi ad motum medium colligitur cum apparuerit discessus stelle a longiori longitudine quarta circuli. Sequiturque quod apparens permeatio unius quarte ab auge maioris temporis sit, sit] fit B et permeatio alterius quarte ab ab] ad K augis oppositum est minoris temporis, fitque differentia duorum temporum sicut duplum differentie maxime diversi motus ad motum medium.

] The figure in P does not have line DHT tangent to the epicycle and does not label point G. The second, better figure comes from K 44. Esto circulus concentricus ABG supra centrum D et dyameter ADB et epiciclus in superfitie eadem EZH super centrum A. Ponamus itaque stellam super punctum H, cum discessus eius a longitudine longiore apparuerit quarta circuli ecentrici. ecentrici] concentrici K Dico quod aput hunc punctum est maior differentia motus diversi ad motum medium. Protractis siquidem lineis AH et DHG erit linea DHG erit…DHG‌2] i. m. contingens circulum parvum. Motus enim medius a longitudine longiore continetur sub angulo EAH, propter hoc quod motus stelle in epiciclo ⟨et⟩ et] From K motus centri epicicli in concentrico sunt equalis velocitatis. Sed differentia que videtur inter motum medium et motum diversum continetur sub angulo ADH; remanet ergo motus diversus contentus sub DHA. DHA] sub add. but then del. Sed spatium huius motus erat quarta circuli, quare angulus DHA est rectus, ideoque linea DH contingens epiciclum. Quapropter arcus AG est maior differentia que contingit inter motum diversum apparentem et motum medium.

Palam ergo ex dictis quod arcus EH est tempus apparentis permeationis unius quarte que videtur ab auge, et arcus HZ est tempus apparentis /98v/ permeationis alterius quarte usque ad oppositum augis. Est ergo illud tempus maius isto. Et dico quod differentie differentie] differentia K temporum est arcus AG duplicatus. Si enim eduxerimus lineam DHT et eiecerimus ortogonalem super lineam EZ, linea AKT, erit angulus KAH equalis angulo GDA, quare KH erit sicut arcus AG differentia duorum motuum. Sed arcus HE superat quartam hoc arcu KH, et quarta superat arcum HZ eodem. Palam ergo quod promisimus.

⟨III.7⟩ Cum equales in proportione fuerint tres motus semper, motus motus‌2] sup. lin. stelle in ecentrico, motus epicicli in concentrico, motus e contrario stelle in epyciclo, fuerintque equalis magnitudinis ecentricus et concentricus atque semidiameter epicicli equalis distantie centrorum illorum, quicquid accidit secundum unum modorum accidit secundum alterum. Quia par par‌1] corr. ex parvus est motus medius, par par‌2] corr. ex parvus est diversus, una est differentia motuum, unus et idem apparet stelle locus in circulo signorum.

] The diagram from P has several lines and points in the wrong places. The second, better figure is from K 45. Describam ad hoc circulum concentricum ABG supra centrum D et circulum e[con]centricum econcentricum] The correct reading is found in K. ei equale equale] equalem K EZH supra centrum T et supra dyametrum unam ambobus communem per duo centra et longitudinem longiorem quod est punctum E transeuntem. Et describam epiciclum KZ supra centrum B secundum spatium DT. Cum sumpsero arcum AB secundum libitum libitum] corr. ex libtum ex circulo ABG, dico ergo quod locus stelle est semper in sectione communi epicicli et ecentrici ut aput punctum Z. Semper fiunt tres arcus similes KZ ZE AB epicicli ecentrici et concentrici. Protraham ergo ad hoc lineas ZT BZ DZ. Fiet igitur quadrilatera figura BZDT. Et quia opposita latera per ypothesim sunt equalia, erit ipsa equidistantium laterum. Erunt ergo tres anguli sibi invicem equales, DUC DUC] duo K scilicet BDA et ZTE, et propter hoc par est semper motus medius, et tercius angulus KBZ. Eritque apparens locus stelle super lineam DZ. Quare secundum utrumque modum est apparens motus stelle ad punctum Z et idem locus stelle in circulo signorum in directo huius puncti.

Dico etiam quod una est secundum utrumque modum motuum differentia. Quia secundum modum e[con]centrici econcentrici] The correct reading is found in K. angulus DZT est angulus differentie sicut preostendimus, et secundum modum epicicli est angulus differentie BDZ. At isti cum sint coalterni sunt equales. Palam ergo quod in omnibus elongationibus similiter erit quadrilaterum namque semper fit equidistantium laterum, et quod motus stelle in epiciclo ecentricum ecentricum] perhaps corr. ex concentrici signat nec ab eo discedit.

⟨III.8⟩ Et si inequalis magnitudinis fuerint ecentricus et concentricus dummodo proportionales fuerint eorum semidiametri ad distantiam centrorum ipsorum et semidiametrum epicicli, ceteris manentibus, omnia simul simul] similiter K accident.

] In the figure in P, point M and lines that it determines are misplaced, and also an unnecessary line, BT, is added. The second, better figure comes from B 130v. Ad huius exemplum circumducam circulum concentricum ABG supra centrum D, sitque dyameter eius super quem sit stella in utraque longitudine ADG, et epiciclus supra centrum B cuius puncti a longitudine longiori remotio est arcus AD AD] AB K secundum quantitatem quam voluerimus, et designatio epicicli EZ. Moveaturque stella in epiciclo secundum quantitatem EZ, qui arcus monstratur esse similis arcui AB eo quod motus ex /99r/ ypothesi sunt equales. Protraham ergo lineas DBE et BZ et DZ. Quare duo anguli ADE et ZBE sunt equales semper, et stella secundum hunc modum videtur super lineam DZ.

Pono iterum circulos ecentricos, unum maiorem concentrico HT cuius centrum K super dyametrum AG, et alium minorem LM supra centrum N. Et producam lineam directe DMZ ad punctum T et lineam DAL ad punctum H. Dehinc protraham duas lineas TK MN. Et sit proportio DB ad BZ lineam sicut linee KT ad KD et sicut proportio MN ad ND. Cum ergo angulus TDK sit equalis angulo BZD propter equidistantiam linearum BM BM] BZ B et DA, accidit ex septima sexti Euclidis quod anguli quibus latera proportionalia subtenduntur sunt equales, scilicet angulus BDT et angulus DTK et angulus DMN. Linee ergo BD et MN et TK sunt equidistantes. Quapropter erunt anguli ADB et ANM et AKT ⟨equales⟩, equales] From M et quia omnes aput centrum circulorum consistunt, erunt arcus qui eis subtenduntur similes, scilicet arcus AB et arcus HT et arcus LM. Eodem ergo tempore quo centrum epicicli secundum eius modum pertransit arcum AB et stella in epiciclo arcum EZ, pertransit stella et et‌2] secundum K alium modum de ecentrico maiore arcum HT et de ecentrico minore arcum LM. Quare videbitur secundum utrumque modum super lineam DMZT, sed in orbe epicicli cum fuerit super punctum Z, et in orbe ecentrici maioris cum fuerit supra punctum T, et in orbe ecentrici minoris cum fuerit supra punctum M, et hoc est quod volebamus.

⟨III.9⟩ Stella in duobus punctis circuli signorum oppositis posita, iuxta modum ecentrici eadem vel nulla erit apparens a duabus longitudinibus in circulo signorum distantia, et eadem vel nulla erit duorum motuum differentia.

] The bottommost point should be labeled ‘G.’ Si enim lineaverimus ecentricum ABG supra centrum E, cuius dyameter super utramque longitudinem transiens AEG, et posuerimus aspectum oculorum super dyametrum a puncto Z, stella quod quod] que B in terminis huius dyametri circuli signorum posita nullam habebit a duabus longitudinibus distantiam, neque erit motuum differentia. Sed si alium quocumque modo duxerimus circuli signorum dyametrum ut lineam BZD, tunc duo anguli aspectus AZB et DZG fiunt equales. Ideoque apparens distantia distantia] corr. ex differentia a duabus longitudinibus equalis, et est differentia motuum ad utrumque punctum una quia anguli differentie scilicet EBZ et EDZ sunt equales. Motus enim medius a longitudine longiore sub angulo DEB DEB] AEB K contentus maior motu diverso sub angulo AZB contento quantitate anguli EBZ, et motus medius a longitudine propiore sub angulo GZD GZD] GED K contentus minor est motu diverso sub angulo DZG contento quantitate anguli EDZ. Et hoc est quod proponitur. proponitur] There is an extra ‘p’ written at the start of this word and then del.

⟨III.10⟩ Iuxta modum epicicli stella supra rectam lineam a centro mundi epiciclum secando eductam in duobus locis sectionum posita, eadem vel nulla erit apparens a duabus longitudinibus in circulo signorum distantia, et eadem vel nulla erit motuum differentia.

] The bottommost point should be labeled ‘G.’ Quia si lineaverimus concentricum ABG supra centrum D cuius dyameter super utramque longitudinem ADG et epiciclum CZH supra centrum A et dyametrum communem EC, stella quidem in terminis huius diametri posita nullam habebit a duabus longitudinibus distantiam nec motuum differentiam. nec…differentiam] iter. but then del. P Sed educta linea quocumque modo aliter a centro D per epiciclum ut est linea DHZ, stella in hiis duobus punctis H Z posita equales videbitur in circulo signorum a longitudine longiore et a longitudine propiori habere distantias. Ea enim posita super punctum Z erit motus apparens a longitudine longiori contentus sub angulo AZB et arcus differentie AB. Et ea posita super punctum H erit motus apparens /99v/ in circulo signorum a longitudine propiori contentus sub angulo AHZ quia motus medius continetur sub angulo DAH, et arcus differentie idem qui prius prius] corr. in primus P AB qui subtenditur angulo ADB. Est autem angulus AZH equalis angulo AHZ. Quapropter motus medius a longitudine longiori sub angulo EAZ contentus maior est motu diverso sub angulo AZD contento quantitate anguli ADZ, et motus medius a longitudine propiorem longitudine propiorem] This could be expanded several ways including ‘longitudo propior est’ but none make grammatical and astronomical sense; longitudine propiore K sub angulo HAC contentus minor est motu diverso sub angulo ZHA contento quantitate eiusdem anguli ADH, et hoc est ... et…] The author did not finish this formulaic conclusion of a proof.

Ex premissis igitur colligitur quod stella unam solam causam diversi motus apparentis in circulo signorum habente -- possibile est enim utrasque causas diversitatis simul in uno composito motu subesse -- satis est secundum unum dictorum modorum diversum motum stelle assignare. Unicam autem causam diversi motus Solem compertum est habere.

⟨III.11⟩ Proportionem distantie inter centrum circuli signorum et centrum solaris ecentrici ad semidiametrum ecentrici necnon in cuius partis circuli signorum directo sit longitudo longior ecentrici deprehendere.

Hec proportio non potuit aliter deprehendi quam per notum tempus permeationis unius medietatis circuli signorum et per notum tempus permeationis unius quarte, et hec quidem tempora fere sunt ab equinoctio ad oppositum equinoctium et iterum ab equinoctio ad solstitium. ] The figure in P has several mistakes. The second, better diagram is from K 47. In it the point labeled ‘K’ near the bottom should be labeled ‘R.’ Hiis ergo temporibus per instrumenta veridica ut in expositione prime propositionis presentis presentis] i. m. libri diximus deprehensis, ad propositi notitiam lineabimus circulum signorum ABGD supra centrum E et duas eius dyametros Solem Solem] sese K ortogonaliter secantes ad tropica et equinoctialia puncta procedentes AG BD. Et sit A vernale equinoctium, G autumpnale, et B tropicum estivum, D tropicum hiemale. Quia igitur maius tempus deprehenditur a vernali equinoctio ad autumpnale quam e converso et equabilis motus super ecentricum consistit, manifestum quod linea AG ecentricum Solis secat per inequalia et quod maior portio est versus punctum B. Quapropter ex hac parte est centrum ecentrici. Item quia maius tempus deprehenditur a vernali equinoctio ad estivum solstitium quam in altera quarta continua, palam quod iste due linee AE BE maioris portionis ecentrici maiorem partem comprehendunt. Est ergo centrum ecentrici alicui alicui] alicubi K inter has lineas. Et ponamus esse punctum Z interim. Describam ergo ecentricum Solis supra centrum Z quantumlibet occupando spatium, et sit TKLM. Et educam a puncto Z lineas QZN et RZU equidistantes premissis, et educam lineam per duo centra transeuntem ad circulum signorum EZH. Quantitatem ergo linee EZ respectu semidiametri ecentrici necnon arcum BH in circulo signorum querimus. Protraho itaque perpendicularem a puncto K super lineam RU et sit KUX, et aliam perpendicularem a puncto T super lineam QN et sit TOP. Quia ergo tempus permeationis semicirculi ABG est notum, erit arcus TKL respectu totius circuli super quem equabilis motus consistit notus. Dempta ergo medietate circuli NKQ erit uterque arcuum TN QL cum alter sit equalis alteri notus; quare corda PT et medietas corde TO respectu semidiametri eiusdem circuli nota. Ergo ZC nota sive linea ES. Rursum cum tempus ab A in B quod est tempus quarte sit notum, erit arcus TK notus. Dempta ergo NF, cum arcus NT iam sit notus, erit residuus KF; quare corda dupli arcus arcus‌2] i. m. KUX et medietas eius KU et equalis ei SZ sive EC nota. Et quia EZ recto angulo cuius latera ita sunt nota subtenditur, erit ipsa quoque nota, et hoc respectu partium semidiametri ecentrici, et hoc est pars propositi.

Rursum si ZE semidyametrum parvi circuli supra centrum Z descripti constituamus et lx partium generali more divisionis diametri ponamus, erit quoque hoc respectu corda dimidia EC nota, et arcus circuli parvi supra ipsam notus. Quare angulus /100r/ EZE EZE] CZE K qui est equalis angulo SEZ notus. Et quia angulus SEZ notus notus‌2] sup. lin. consistit super centrum circuli signorum, erit arcus BH notus; quare et reliquus AH notus, quod intendebamus.

Nota tamen quod diversi consideratores hanc distantiam centrorum diversarum invenire invenire] One would expect a finite verb here, but all witnesses have this infinitive. quantitatum. quantitatum] scilicet add. sup. lin. Ptolomeus duarum partium et dimidie sicut Abrachaz. Albategni vero duarum partium et iiii minutorum et xlv secundarum. Arzacel vero licet variaverit motum medium, eandem tamen quam Albategni invenit centrorum differentiam. Rursum longitudo longior in diversis locis ab eis reperta est. Nam arcus inter tropicum Cancri et longitudinem longiorem sicut Ptolomeus posuit est xxiiiior graduum et xxx minutorum, et sicut Albategni vii graduum et xiii minutorum, et sicut Arzacel xii graduum et x minutorum. Huius forsan diversitatis causa ex parte esse potuit error in instrumento et ex ex] sup. lin. parte motus octave spere ante et retro.

⟨III.12⟩ Maximam differentiam diversi motus Solis ad motum medium et in quarta quarta] quanta K elongatione a longitudine longiore in ecentrico ceciderit notificare.

] In this figure, the angle at E does not appear to be a right angle, as it should. Sit ergo circulus ecentricus ABG supra centrum D, et diameter a longitudine longiore ADG, et in ipso centrum circuli signorum punctum E, et a puncto perpendicularis super dyametrum linea BE. Et iunge lineam BD. Palam ergo ex quinta presentis quod DBE maximam differentiam continet. Quia autem linea DE respectu partium semidiametri BD nota est, palam quod si centro B posito secundum spatium BD circulum intellexerimus, erit arcus super sinum DE notus; quare angulus DBE notus. Quare et angulus extrinsecus ADB notus; ergo arcus AB notus, et hoc est quod proposuimus.

⟨III.13⟩ Quamlibet differentiam motus Solis medii et motus diversi per notum arcum arcum] sup. lin. motus medii a longitudine longiore secundum ecentrici modum invenire. Unde etiam manifestum quod si notus fuerit unus trium angulorum, scilicet angulus differentie, angulus motus medii, angulus motus diversi, quicumque fuerit, reliqui duo erunt noti.

] What should be point Z is labeled ‘X.’ Pono concentricum circulo signorum ABG supra centrum D, et ecentricum EZH supra centrum T, et diametrum transeuntem supra centrum centrum] perhaps corr. ex centra eorum et punctum E quod est longitudo longior. Et excipio arcum EZ de ecentrico secundum libitum, verbi gratia xxx partium. Protractis ergo duabus lineis DZ TZ educam TZ donec a puncto D cadat super eam perpendicularis DK. Quia ergo arcus EZ est notus, erit angulus ETZ sed et equalis ei DTK notus. Sed et angulus TKD rectus. Per circulum ergo parvum centro T spatio DT intellectum, erit proportio linee DT -- quodcumque quodcumque] quotcumque K partium ponatur -- ad lineam TK sed sed] sup. lin. et ad lineam KD nota. nota‌1] i. m. Quare cum linea TD respectu partium diametri ecentrici sit nota, erit similiter et KT et KD nota. Quare tota KZ tota; tota‌2] nota K ergo et illa que subtenditur angulo recto DZ nota. Si ergo hec quoque ponatur lx partium et constituatur semidiameter circuli supra centrum Z et spatio DZ intellecti, erit et sinus DK et arcus super ipsum constitutus. Sed et angulus in arcum cadens notus respectu quatuor rectorum, et hic est angulus differentie. Quare et reliquus BDA qui est angulus apparentis motus in circulo signorum, ac eius arcus AB notus, et hoc est.

Posito quoque arcu AB circuli signorum noto, dico quod et reliqui sunt noti. Lineetur ad hoc a puncto T perpendicularis /100v/ super lineam DZ, et sit TB. TB] TL K Cum ergo angulus BDA sit notus, erit propter hoc proportio linee DT ad TB TB] TL K nota. Sed proportio DT ad TZ nota; ergo proportio TZ ad TL est nota. Quapropter cum angulus TLZ sit rectus, erit angulus TZD qui est angulus differentie notus, et angulus ETZ qui est motus medii et arcus eius EZ notus.

Et iterum si angulus differentie DZT est notus, erit proportio TZ ad TL nota, et propter hoc proportio DT ad TL nota. Quare angulus TDL notus cui equalis est angulus DTK, et huic angulus ETZ, qui est angulus motus medii. Et cum hoc erit notus angulus ADB, qui est angulus motus apparentis.

⟨III.14⟩ Quamlibet differentiam motus Solis medii et motus diversi per notum arcum motus medii a longitudine longiore secundum epicicli modum reperire. Unde liquidum erit quod si notus fuerit quilibet trium angulorum motus medii, motus diversi, aut differentie, reliqui duo quoque quoque] sup. lin. erunt noti.

] A line is missing in the figure in P, and points are not labeled correctly. The second, better figure is taken from K 50. Describo igitur concentricum ABG supra centrum D cuius dyameter ADG, et epiciclum EZHT supra centrum A. Et excipiam arcum EZ xxx partium ut supra. Protractis ergo lineis ZBD et ZH, ZH] ZA K duco perpendicularem a puncto Z super lineam TE et sit KZ. Quia ergo angulus KAZ est notus, erit proportio AZ linee quotcumque partium ponatur ad unamquamque istarum KZ KA nota. Cum ergo AZ ad dyametrum AD sit nota, erit DK tota et KZ similiter nota. Quapropter si DZ lx partium ponatur ut sit semidiameter, erit angulus KDZ notus, et hic est angulus differentie. Quare reliquus AZD qui est angulus diversi motus est notus. Quod totum sicut iuxta modum ecentrici provenire provenire] One would expect an infinitive verb here. ratio calculantis comperiet.

Ceterum si notus fuerit angulus motus apparentis, erunt reliqui noti. Ad hoc protrahimus perpendicularem AL super lineam DB. Cum ergo angulus apparentis motus AZL sit notus, erit propter hoc proportio ZA ad AL nota. Sed erat nota proportio ZA ad AD. Est ergo proportio DA ad AL nota. Quapropter erit angulus differentie ADL notus. Et cum hoc angulus extrinsecus EAZ qui est motus medii notus.

Pari modo sed e contrario, si posuerimus angulum differentie qui est ADB notum, erit propter hoc proportio AD ad AL nota. Sed erat nota proportio AD ad AZ. Est ergo proportio AZ ad AL nota. Quapropter erit angulus AZD notus et hoc est angulus diversi motus in circulo signorum. Et cum hoc erit angulus extrinsecus EAZ notus, qui est angulus motus medii.

⟨III.15⟩ Quamlibet differentiam motus Solis medii et motus diversi per totum totum] notum K arcum motus medii a longitudine [longiore] propiore propiore] del. P; however, this should be in the text as it is in K. secundum ecentrici modum scrutari. Cum quo etiam declarabitur declarabitur] perhaps declarabis quod si notus fuerit quilibet trium angulorum sive motus medii, sive diversi, sive differentie, reliqui duo quoque erunt noti.

] Point T is labeled ‘C.’ Posito enim scemate orbis ecentrici separabo arcus arcus] arcum K HZ a puncto H quod est longitudo propior. Et protraham lineas DZB et TZ et perpendicularem DK super lineam TZ. Quia ergo /101r/ arcus HZ est notus, erit angulus ad centrum ZTH eiusdem quantitatis notus. Erit ergo proportio DT ad utramque DK TK nota. Sed erat ex undecima proportio DT ad TZ nota; quare proportio TZ ad utramque est nota. Ergo et proportio KZ ad DK nota; ergo angulus DZK notus, et hic est angulus differentie. Cum quo etiam angulus extrinsecus GDB notus.

Quod si notus fuerit ex ypothesi angulus GDB, reliqui erunt noti. Producam enim lineam DB usque ad punctum L et super eam perpendicularem TL. Erit ergo angulus TDL notus. Quare proportio linee TD ad TL est nota, sed erat nota TD ad TZ. Quare erit ZT ad TL nota. Propter hoc ergo erit angulus TZL notus angulus differentie, et cum hoc angulus intrinsecus qui est motus medii HTZ.

Quod si angulus differentie primum notus fuerit TZD, erit propter hoc e contrario proportio ZT ad TL nota. Sed erat proportio TZ ad TD nota, quare TD ad TL nota. Ob hoc ergo notus LDT qui est equalis angulo GDB, et ipse angulus motus diversi. Cum quo notificabitur angulus intrinsecus HTZ qui est motus medii.

⟨III.16⟩ Quamlibet differentiam motus Solis medii et motus diversi per notum arcum motus medii a longitudine propiore secundum epicicli modum perquirere. Cum quo demonstrabitur quod si notus fuerit unus trium angulorum motus medii, motus diversi, differentie, reliqui duo erunt noti.

] The figure in P does not have line KH drawn and does not draw line AL as a perpendicular. The second, better figure is from B 133r. Posito enim scemate epicicli et concentrici excipiam arcum quantumlibet a longitudine propinquiore et sint sint] sit K HT note quantitatis. Erit ergo angulus TAH notus. Quare cum angulus AKH sit rectus, erit AH ad AK note proportionis et ad KH quoque. Sed AH ad AD erat nota, ergo AD ad utramque proportionem HT HT] habet K notam. Est ergo DK ad KH nota, quapropter notus est angulus differentie ADH, et cum hoc angulus extrinsecus apparentis motus AHB.

Quod si notus fuerit angulus primum angulus AHB, protracta perpendiculari AL erit ob hoc proportio AH ad AL nota. Et propter hoc angulus ad L ad L] ADL K et arcus differentie AB notus. Et cum hoc angulus relictus KAH et eius arcus TKH TKH] TH K qui est motus medii notus.

Quod si constituatur angulus differentie ADB notus, sciemus etiam proportionem AD ad AL et ob hoc AH ad AL. Erit ergo angulus AHL qui est motus apparentis notus. Et cum hoc angulus intrinsecus oppositus KAH qui est motus medii notus, quod proposuimus.

Cum itaque secundum premissas proportiones proportiones] corr. in portiones P; propositiones B multiplices, possibile sit condere tabulas. Quocumque enim trium angulorum sumpto ut noto, reliquos notos esse oportet. Attamen comodius et catius catius] corr. in satius est per medium cursum ceteros cognoscere eo quod hic regularis motus est et ordinatus, ceteri inequales.

⟨III.17⟩ Super fixam et certam radicem temporis locum Solis secundum cursum medium assignare in loco determinato, ut habita ad hoc relatione locus Solis verus ad omne deinceps tempus et in omni loco noto inveniatur.

Igitur secundum considerationem quoad fieri potest verissimam precipue aput autumpnale equinoctium iuxta id quod in expositione prime propositionis presentis libri diximus, locus Solis verus deprehendatur. ] This figure is taken from III.15. Et sit gratia exempli in anteposita figura punctum B in circulo signorum punctum equalitatis autumpnalis et punctum B B] G K longitudo propior. Igitur ex undecima presentis arcus BG erit notus qui est motus diversi a longitudine propiore. Quare ex xva arcus HZ qui est motus medii a longitudine propiori erit notus. Itaque locus Solis secundum /101v/ cursum medium ad horam considerationis erit notus. Elige ergo annos alicuius viri noti vel rei note quos radicem velis constituere, ut Augusti vel Alexandri aut potissimum annos Christi qui est rex regum et dominus dominantium. Et quotquot preterierunt usque ad horam considerationis in unum collige, ac inde annorum annorum] annos K solares quotiens poteris proice. Deinde residuum cum anno solari proportionando confer; et quantum de eo fuerit, tantum de ccclx minue. Et erit locus Solis secundum cursum medium ad principium annorum quos elegeris. Vide autem ut principium annorum illorum a media die vel a media nocte constituas. Super hoc ergo principium quod fundaveris ad singulas deinceps divisiones temporum ut in secunda presentis explanavimus, medium motum adiunge ut noto cursu medio ad omnia deinceps tempora verum locum Solis per viam operationis sumptam ex premissis proportionibus proportionibus] propositionibus K in loco considerationis cognoscas.

Via siquidem operandi est hec. Ad tempus quantum volueris a radice sumptum motum medium accipe. Et ex eo arcum motus medii a longitudine longiori, qui [pro]portio proportio] Correct reading from K vel argumentum Solis dicitur, cognosce. cognosce] corr. ex cognoscere Qui arcus, si minor semicirculo fuerit, per ipsum; si maior, per superfluum semicirculi operare ita.

Si arcus quem habueris ita minus quarta fuerit, eius sinum necnon et sinum illius qui ei ad perfitiendum perfitiendum] i.e. ‘perficiendum’ quartam deficit per quantitatem distantie duorum centrorum multiplica. Et utrumque productum per semidiametrum idest lx partire. Quodque exierit ex divisione sinus perfectionis semidiametro superadde, et totum in se multiplica. Et super quod fuerit, illud ⟨quod⟩ quod‌2] From B ex divisione sinus habiti arcus pervenerat pervenerat] provenerat B in se multiplicatum adde. Collectique radicem quere, et serva. Post hec ad id quod ex divisione sinus habiti arcus productum fuerat rediens, rediens] corr. ex redigens ipsum in diametri dimidium multiplica, et productum per servatam radicem partire.

Quod si arcus quem habueris [plus] quarta fuerit, tunc semidiametrum necnon et distantiam duorum centrorum in se multiplica et in unum collige. Collecti radicem elice et serva. Post hec distantiam duorum centrorum in lx multiplica, et quod provenerit per servatam radicem divide.

Quod si arcus quem habueris plus quarta fuerit, ab eo quarta subtracta ab…subtracta] ipso a semicirculo subtracto K residui sinum eiusque quod ipsi quoque ad perfectionem quarte deficit sinum per distantiam duorum centrorum multiplica, et per semidiametrum partire. Quodque ex sinu perfectionis provenerit a semidiametro minue, minue] Following the procedure in III.13, we should add here, not subtract. et reliquum in seipsum multiplica. Et ei ei] sup. lin. quod ex sinu residui arcus provenerat in se multiplicato superadde, collectique [per] radicem serva. Post hec ad id quod ex sinu arcus residui provenerat rediens, rediens] i. m. id in diametri dimidium multiplica, et per servatam radicem partire.

Et quodcumque exierit ex uno trium modorum trium modorum] i. m. arcua. Nam arcus qui prodierum prodierum] corr. ex prodier... P; prodierit M est differentia motus medii ad motum diversum, qui equatio Solis dicitur. Et si portio minus vi signis fuerit, a medio cursu minuitur. Et si plus vi signis fuerit, super medium cursum additur. Et erit cursus Solis diversus sive equatus, per quem verum Solis locum in circulo signorum cognosces.

Quod si in alio quam quam] sup. lin. considerationis loco idem deprehendere volueris, oportet te distantiam inter meridianas lineas locorum scire et illam distantiam in tempora redigere. Quod si locus notus a loco considerationis orientalis fuerit, tempora distantie a tempore per quod motum medium sumpsisti minue. Si occidentalis eidem, adde. Et per tempus quod per additionem vel subtractionem fuit, motum medium cognosce, ac deinceps ut prius operare.

⟨III.18⟩ Dies anni duabus de causis inequales esse invicem necessario comprobatur. Unde patet quosdam dies differentes diei, diei] dici K quosdam mediocres.

Dies hic dicitur spatium xxiiii horarum ut ab ortu ad ortum Solis vel ab occasu ad occasum aut a meridie ad meridiem aut a media nocte ad mediam noctem. Una ergo causa quare hii dies inequales sunt est diversus /102r/ motus Solis ad unam diem. Alia causa est equalium portiuncularum circuli declivis inequales ascensiones. Si quod Si quod] corr. ex si P; Siquidem K spatium talis diei est revolutio equinoctialis circuli et insuper elevatio eius quod Sol diverso vel medio motu ad unam diem percurrit, est itaque dies mediocris revolutio equinoctialis circuli cum motu Solis medio ad unam diem addito, idest lix minutis et viii secundis. Dies differens est revolutio equinoctialis circuli cum elevatione maiori vel minori eius quod Sol ad illam diem perficit. Unius vero diei ad unum insensibilis est differentia, sed cum ex multis diebus collecta fuerit, sit manifesta.

⟨III.19⟩ Causa inequalitatis dierum ex diverso motu Solis proveniens ab alterutra longitudine media incipit et ad oppositum desinit, et differentia diei mediocris ad dies differentes maior, cum ex hoc collecta fuerit, ex duplo differentie maxime motus [diei] medii et motus diversi perficitur.

Siquidem aput utramque utramque] corr. ex ... longitudinem mediam motus diversus ad unam diem equatur motui medio ad unam diem; ideo ad utramque hec causa inequalitatis incipit et ad oppositum desinit. Et ponemus ad demonstrandum quod sequitur figuram. Sit enim circulus signorum ABGD supra centrum E cuius duo dyametri scilicet AG per longiorem et propiorem longitudinem transiens et BD perpendiculariter super illam per utramque longitudinem mediam transiens. Et sit ecentricus Solis HRK super centrum Z et diametrum communem quem alter eius dyameter HK ad angulos rectos secat. Cum ergo aput punctum C et R sint longitudines medie, palam quod tempora que agregantur agregantur] i.e. ‘aggregantur’ inter has duas longitudines ex motu medio in mediate mediate] medietate K longitudinis longioris sunt partes arcus RFC et tempora que agregantur agregantur] i.e. ‘aggregantur’ interim ex motu diverso sunt partes arcus DAB. Quia ergo KFH est medietas circuli, differentia illorum temporum ad hec est duplum RK. Est enim arcus HC equalis arcui RK. Sed arcus RK subtenditur angulo RZK, qui equatur angulo ERZ, ERZ] corr. ex EZ et hic angulus est maxima differentia duorum motuum. Ex duplo ergo istius anguli perficitur tota temporum differentia. Manifestum ergo quod dies mediocris superat dies differentes ex parte longitudinis longioris duplo differentie maioris duorum motuum, et dies differentes diem mediocrem superant ex parte longitudinis propioris duplo eiusdem differentie. Quare dies differentes maiores superant dies differentes minores quadruplo ipsius differentie, et hoc est quod intendebamus.

⟨III.20⟩ Differentiam ex diverso motu contingentem diei mediocris ad quamcumque iubearis diem differentem inquirere.

Cum enim ex posita radice temporis notum sit quo tempore Sol ad longitudinem longiorem veniat, sume ab hoc puncto totum tempus usque ad principium diei de qua queris. Et per ipsum arcum medii cursus a longitudine longiore addisce. Sume quoque ab eodem puncto omne tempus usque ad finem diei de qua queris, et per ipsum similiter arcum motus medii deprehende. Et per utrumque arcum motus medii arcum diversi motus cognosce. Cum ergo minorem arcum diversi motus a maiori arcu diversi motus dempseris, remanebit diversus motus ad illam diem differentem de qua queris notus. Cum ergo ad ad] ab K hoc motum medium si minor fuerit dempseris, vel ipsum si minor fuerit a motu medio, relinquetur differentia quam queris nota. /102v/

⟨III.21⟩ Causa inequalitatis dierum ex inequali ascensione aput orizonta declivem accidens a quo loco incipiat vel desinat, et differentia tota cum collecta ex hoc fuerit ex…fuerit] perhaps corr. ex ... quanta sit depromere.

Locus qui queritur secundum climata variatur; in omni tamen climate ante punctum tropicum estivum et post tropicum punctum hiemale deprehenditur. Quere ergo secundum ascensiones signorum in climate in quo loco ante tropicum estivum gradus unus circuli signorum cum uno gradu equinoctialis ascendat. Et simile post tropicum hiemale inquire. Et cum utrumque locum deprehenderis, ipse est a quo causa inequalitatis incipit vel desinit. Vide ergo portio circuli signorum inter hec duo loca quanta sit aut ex parte Libre aut ex parte Arietis, et cum quanta portione equinoctialis elevetur. Nam differentia portionis zodiaci ad suam elevationem ipsa est differentia quesita diei mediocris ad dies differentes cum agregata agregata] i.e. ‘aggregata’ fuerit. Et quia quantum dies mediocris addit super dies differentes ex parte Arietis tantum dies differentes addunt super diem mediocrem ex parte Libre, palam quod dies differentes maiores addunt super dies differentes minores duplum collecte differentie. Palam etiam quod differentia sic inventa augmentum maxime maxime] perhaps corr. ex ... diei regionis super diem equinoctialem excedit eo quod causa inequalitatis a loco ante tropicum estivum incepta post tropicum hiemale terminetur. Tempora enim ascensionum huius portionis addunt super gradus suos plus cum sumpta fuit ex parte Libre quam tempora portionis inter caput Cancri et caput…et] i. m. caput Capricorni deprehense addant super gradus suos. Sed hec augmenta elevationum que sunt capitis Cancri usque ad Capricornum sunt ea que addit dies maxima regionis super diem diem] sup. lin. (maybe other hand) equinoctialem, et illa elevationum tempora que plura esse necessario accidit sunt que differentiam quesitam perfitiunt. perfitiunt] i.e. ‘perficiunt’

⟨III.22⟩ Causa inequalitatis dierum ex inequali transitu aput meridianum proveniens a quatuor punctorum quolibet quartas inter solstitialia solstitialia] corr. ex solstitia et equinoctialia puncta deprehensas mediante incipit et ad perfectionem quarte desinit, et differentia cum hinc collecta fuerit spatio quinque temporum extenditur.

Hec quoque causa a quatuor punctorum quolibet incipit scilicet a medio Aquarii, Tauri, Leonis, Virginis Virginis] corr. in Scorpionis P; ‘Scorpionis’ is the correct reading astronomically. quia penes unumquemque unumquemque] corr. ex unumquodque istorum locorum arcus motus medii ad unam diem equatur suo transitu per meridianum et non alibi sicut ex ascensionibus spere recte patet. Et quia quarta a medio Aquarii ad medium Tauri elevatur cum lxxxv gradibus equinoctialis, palam quod dies mediocris superat dies differentes cum per hanc quartam collecte fuerint differentie v graduum temporibus. Similiter accidit in quarta huic opposita propter hoc quod opposite portiones in spera recta equaliter oriuntur. Quarta vero a medio Tauri ad medium Leonis transit cum lxxxxv lxxxxv] corr. ex lxxxv gradibus equinoctialis. Propter hoc ergo ergo] i. m. dies differentes superant diem mediocrem, cum collecte per hanc quartam fuerint differentie, quinque graduum temporibus. Similiter accidit in quarta huic opposita. Manifestum /103r/ ergo quod dies differentes maiores superant dies differentes minores ob hanc causam x temporibus.

⟨III.23⟩ Differentiam ex inequali elevatione procedentem diei mediocris ad quamcumque iubearis diem differentem perquirere.

Elevationem ergo arcus medii motus Solis de illo gradu in quo Sol eadem die de qua queris moratur accipe. Et si maior motu medio fuerit, ipsum de ea deme; et si minor, de ipso eam deme. Et relinquetur differentia quam queris. Sed si in spera recta quesieris, elevationem in spera recta; si in spera declivi, elevationem in spera declivi accipe.

Patet itaque ex predictis quod commodius est et satius dies a meridie vel media nocte incipere quam ab ortu vel occasu eo quod aput orizontem maior provenit dierum inequalitas; et quia in orizonte declivi principia ortus et occasus variantur eo quod modo maior modo minor arcus diei, in orizonte recto omnes arcus sunt secundum similitudinem partium equales, et ideo presertim quod inequalitas hec dierum secundum diversas regionum latitudines variatur aput orizontem, sed aput meridianum in omni regione est eadem.

⟨III.24⟩ Differentias ex causis ambabus prout contingit simul provenientes singulatim perpendere, et principium additionis super diem mediocrem et principium diminutionis a die mediocri adinvenire.

Angulos Angulos] Singulas K igitur ex utraque causa ad dies singulos differentias ut ex premissa et xxa habetur collige. Et ubi unaqueque causa suam causam causam] differentiam K super diem mediocrem addit vel minuit ex xixa et xxia et xxiia attende. Cum Cum] The first letter is obscured by large initial, but the reading is confirmed by K. ergo ambe cause simul addunt vel simul simul] sup. lin. minuunt, differentias ad eandem diem attinentes in unum collige. Cum autem una causa minuit, alia addit, minorem a maiori minue, et habebis omnes ex duabus causis differentias. Cum vero quantum una minuit tantum alia addit, nulla provenit differentia, et fit dies mediocris. Et si deinceps ambe cause simul addunt aut una plus addit quam alia minuit super diem mediocrem, tunc ibi est principium additionis; si si] plus addit add. but then del. vero ambe minuunt aut una plus minuit quam alia addit, tunc ibi est principium diminutionis, et hoc erat querendum.

⟨III.25⟩ Dies differentes in mediocres et mediocres in differentes vertere.

Super fixam igitur radicem temporis locum secundum cursum medium et locum Solis secundum cursum apparentem cognosce. Deinde ad diem quam volueris utrumque similiter Solis locum scilicet secundum cursum medium et secundum cursum diversum considera. Et partes cursus medii que sint inter inter] i. m. duo loca secundum medium cursum deprehensas seorsum observa. Similiter partes cursus diversi que inter duo loca vera deprehenduntur observa, et istarum partium elevationes in spera declivi si dies ab orizonte incipiant aut in spera recta si dies a meridiano inchoent perpende. Et eas a motu medio si maior fuerit deme, et differentiam tempora horarum pone, et a diebus differentibus quos in mediocres convertere volueris minue. Aut si motus medius elevationibus minor fuerit, vel temporum vel temporum] ipsum K ab eis deme, et residuum tempora horarum pone, et diebus differentibus appone, et fient dies mediocres. Huius conversionem faties faties] i.e. ‘facies’ si mediocres in differentes vertere volueris. Et nota quod hoc quoque modo facilius differentias ex duabus pariter causis provenientes ad dies singulos poteris colligere.

Hoc quoque animadverten[ten]dum quod si radix temporis posita fuit super principium additionis ad diem mediocrem, differentiam que provenit semper addendum est ut fiant dies mediocres ex differentibus, et semper minuendum a mediocribus ut ex eis fiant differentes; e converso fiat si si] sup. lin. radix temporis posita fuerit super principium diminutionis. Et hoc ideo quia quantum ex una parte additur super mediocres ex alia minuitur, et non equatur minutio additioni donec ad locum additionis /103v/ redeatur. Super dies itaque mediocres medius motus constitutus est, quorum equatio si neglecta fuerit in tardioribus quidem planetis non multum sentietur. Sed profecto in hiis qui qui] que K circa Lunam contingunt, manifesta apparebit in tempore consideratoris tardior vel celerior diversitas.

Explicit liber tercius continens universam de motu Solis doctrinam. Incipit quartus de motu Lune.