⟨XI⟩ ⟨Liber XI⟩
Undecimus incipit.
⟨XI.1⟩ Ad occasiones diversi motus Iovis quibusdam preambulis pervenire.
Non est inter Martem et Iovem quo ad quo ad] perhaps corr. in quoad huius rei inquisitionem aliqua varietas nisi quod habitudines extremitatis noctis aliter incidunt, quod quidem huiusmodi scientie qualitatem non alterat. Tribus propositum nostrum absolvemus consideracionibus, quarum una Ptolemei fuit in anno 17 Adriani die primo mensis Athica undecimi transacto ante medietatem noctis una hora equali. Et videbatur Iupiter per instrumentum in 23 gradibus et 11 minutis Scorpionis. Secunda fuit consideratio in anno 21o Adriani 13mo die mensis Baba, secundi scilicet, transacto duabus horis equalibus ante medium noctis, et videbatur stella Iovis in 7 gradibus et 54 minutis Piscium. Tertia vero fuit in anno primo Antonini vigesimo die mensis Athuz tertii transacto quinque horis equalibus post medium noctis, et videbatur stella in 14 gradibus et 24 minutis Arietis. Tempus autem quod a prima consideratione fluxit ad secundam fuit tres anni Egiptii, tres menses, 16 dies, 23 hore equales; quod vero fuit inter secundam et tertiam annus unus Egiptius, unus mensis, 7 dies, et 7 hore equales. Motus vero Iovis in primo intervallo temporis fuit 104 partes et 43 minuta, et motus medius longitudinis 99 partes et 55 minuta. In secundo autem intervallo motus Iovis verus 36 partes et 30 minuta; medius vero motus 33 partes et 26 minuta.
Hiis premissis procedamus per omnia sicut in Marte, describendo circulum ecentricum super cuius centro motus Iovis regularitatem habet, qui sit ABG. Et sit punctus A prime habitudinis, B secunde, G vero tertie. Intra hunc circulum sit centrum mundi punctus D, ducaturque linea DG donec occurret circumferentie in puncto E. A punctis item A et B due linee AD et BD protrahantur, et tres corde EA, AB, et EB, tres quoque perpendiculares AT, BH, BH] corr. in EH et EZ. Quia autem angulus BDG ex consideracionibus notus est, erit proporcio DE ad EH nota. Angulus vero BEG propter arcum BG est notus; quare residuus angulus EBH cognitus, et ideo proporcio BE ad EH nota. Unde BE linea respectu DE nota fiet. Item quia angulus ADG notus est per considerationes, erit etiam angulus ADE scitus, et ideo lineae lineae] corr. ex linea DE ad EZ proportio manifesta. Angulus autem AEG notus est propter arcum AG notum. Quare cum prius angulus ADE sit notus, relinquetur angulus DAE cognitus, et ideo proportio AE ad EZ inventa. Quare si EZ mediam posuerimus, veniet AE respectu DE nota, cuius quidem respectu etiam nota fuit linea BE. Unde BE et AE inter se note erunt. Est autem angulus AEB propter arcum AB notus, et angulus T rectus. Quare utraque linearum AT et ET respectu AE nota erit. Dempta igitur ET ex BE nota manebit BT cognita, propter quam et lineam AT nota erit linea AB respectu duarum linearum AE et BE. Ipsa autem linea AB nota est respectu diametri circuli ABG cum arcus AB numeratus sit, igitur et linea AE respectu eiusdem diametri fiet nota. Unde arcus AE cognitus habebitur, et consequenter totus arcus EABG, qui si semiperiferia fuerit, centrum ecentrici in sua corda erit; si vero minor, centrum erit extra; si maior, intra. Erit autem corda GE nota, sed et pars eius DE nota erit ad diametrum circuli cum ipsa prius nota fuerit respectu AB. Hec preambula dicendis accomodabuntur.
⟨XI.2⟩ 2. Distanciam epicicli ab auge ecentrici in unaquaque trium habitudinum cum ecentricitate prope verum elaborare.
Sit ecentricus equans motum Iovis ABG, in quo ducatur corda EG, sitque in ea punctus D centrum mundi. Et extra portionem EBG signetur centrum huius circuli puncto K, ducta diametro eius per centrum mundi transeunte LKDM, sitque L punctus aux et M oppositum augis ecentrici. Et a centro K ducatur perpendicularis KZ ad lineam EG, que continuetur in S punctum circumferentie. Ducantur preterea due linee DA et DB pro duabus habitudinibus reliquis. Cum igitur due linee DG et DE note sint ex premissa respectu semidiametri ecentrici, erit quod fit ex earum altera in alteram notum. Et ipsum est equum ei quod fit ex DM in DL. Quare illud notum, quo dempto ex quadrato semidiametri KM manebit quadratum linee KD notum; unde et ipsa linea nota, que quidem est ecentricitas quaesita.
Preterea ZD linea nota fit cum sit differentia duarum linearum ZG et DG notarum. Triangulus itaque KDZ duo latera nota habet et angulum Z rectum; quare angulus eius DKZ notus; propterea arcus MS scitus. Totus autem arcus SG datus est quoniam ipse est medietas arcus ESG noti. Dempto igitur arcu SM manebit arcus MG cognitus, qui est distantia tertie habitudinis ab opposito augis ecentrici; quam si ex arcu BG noto minuerimus, relinquetur arcus BM notus, quo quidem habitudo secunda precedit augis oppositum. Et si huic arcui BM arcum AB notum adiecerimus, prodibit arcus AM, qui est distantia habitudinis prime ab opposito augis. Quod si harum habitudinum ab auge distantias invenisse iuvabit, predictas ab opposito augis distantias singulas a semicirculo minue, et relinquentur huiusmodi habitudinum distantie ab auge ecentrici, quas proposuimus inveniendas.
⟨XI.3⟩ 3. Arcus parvos quibus ad precisiorem augis inventionem egemus numerare.
Si oblitus es quid per hosce arcus parvos intelligi velim, ad Martem redi et reminisceris. Huiusmodi arcus invenire cogimur quoniam motus epicicli non super centro ecentrici deferentis regularem motum habet, sed super alio. Sit itaque epicicli delator ecentricus LM super centro D, in cuius circumferentia punctus A prime sit habitudinis, et sit alius circulus huic equalis NS circa cuius centrum Z motus epicicli Iovis regularis est. Ducaturque linea diametros amborum circulorum complectens NZDM, in qua centrum orbis signorum sit punctus E tantum a puncto D quantum ipsum D a puncto Z distans, productis lineis ZAS, DA, EA, et ES. Ex angulo itaque NZS noto erit proportio ZD ad DH et HZ nota. Sed ex AD semidiametro ecentrici et DH iam nota, constabit linea AH, cui si HT equalem HZ addideris, veniet tota AT nota. Ex qua et linea ET dupla ad DH, nota fiet AE. Quare angulus EAT cognitus erit. Similiter ex ZS semidiametro equantis et ZT, nota fiet tota ST, que cum ET notam facient lineam SE. Unde angulus EST scitus erit, quo dempto ex angulo EAT relinquetur angulus AES cognitus, cuius quidem arcum loco epicicli in prima habitudine superaddamus, et collecto in nova operatione utamur.
Pro secunda autem habitudine ponamus dispositionem priori similem nisi quod punctum B vicinius sit opposito augis. Ex angulo itaque NZB per precedentem noto, erit proporcio ZD ad utramque linearum DH et HZ nota; unde etiam utraque earum respectu semidiametri equantis nota erit. Ablata igitur TZ dupla ad HZ ex linea SZ, manebit ST nota, que cum linea ET dupla ad DH notificabunt lineam SE. Unde angulus EST notus erit. Item ex DB semidiametro ecentrici et DH nota, constabit linea BH, cui si dempserimus lineam TH, manebit linea BT nota. Ex qua et linea TE dupla ad lineam DH, cognita veniet linea BE; et ideo etiam angulus EBT notus erit, quem ex angulo EST minuemus ut relinquatur angulus BES notus. Huius autem anguli arcum ex vero loco epicicli in secunda habitudine minuemus. Et cum residuo operabimur in nona nona] nova W operatione, quemadmodum etiam in Marte actum est.
In tertia denique habitudine non mutemus figure caracteres, verum huius habitudinis notam post oppositum augis statuamus. Erat autem angulus GZD cognitus, quare utraque linearum DH et HZ respectu DZ cognita erit. Dempta igitur ZT, que dupla est ad HZ, et et] corr. in ex ZS semidiametro equantis, relinquitur TS nota, ex qua quidem et linea ET nota redditur linea ES. Unde etiam angulus EST notus fiet. Item ex DG et DH notis manifestabitur linea HG. Inde autem reiecta linea HT manebit linea TG cognita. Ex qua denique et ET, nota erit EG et angulus EGT inventus, quem si ex angulo EST EST] corr. ex est minuerimus, relinquetur angulus GES notus, cuius arcum ad verum locum epicicli in tertia habitudine addamus. Et collecto in nova operatione utamur.
His veris motibus iam repertis utamur vice eorum quos per consideraciones accepimus, et per differentias eorum retentis mediis motibus antea inventis extrahamus denuo ecentricitatem et distantiam singularum habitudinum ab auge ecentrici vel ab eius opposito. Iterum quoque arcus huiusmodi parvos sive angulos inquiramus, et ut prius pergamus donec certitudinem bonam nacti fuerimus, cuius quidem iuditium iuditium] indicium V1 erit quando arcus isti parvi in aliqua operatione inventi eis qui in sequenti inveniuntur arcubus equantur. Ptolemeus autem optimus hanc centrorum distantiam ad semidiametrum ecentrici 60 partium constitutam repperit 5 partium et 30 minutorum.
⟨XI.4⟩ 4. Quod ea quae de ecentricitate et trium habitudinum ab auge vel eius opposito distanciis conclusa sunt experimento respondeant observationum numeris ostendere.
Si ex ecentricitate novissime conclusa et ex distanciis trium habitudinum ab auge vel opposito augis equantis, reperiemus eas distantias inter se trium habitudinum respectu centri mundi quas per considerationes accepimus, certum erit omnia bene inventa esse. Sit itaque ecentricus epicicli delator circulus LAM super centro D, in cuius diametro per augem et oppositum eius transeunte, que est LM, sit punctus Z centrum motus equalis et E centrum mundi. Sitque punctus A habitudinis prime, ductis lineis AZ, AD, et AE. Ex precedenti autem angulus LZA notus erat. Quare utraque linearum DH et HZ respectu DZ erit cognita. Et cum AD sit semidiameter ecentrici, erit linea AH nota, cui si HT equalem HZ adiecerimus, erit tota AT cognita. Sed ET dupla est ad DH; unde ipsa nota, per quam et lineam AT nota fiet linea AE et angulus EAT, qui demptus ex angulo LZA relinquet angulum AEL notum, qui est distantia vera habitudinis prime ab auge ecentrici.
Preterea in secunda habitudine, quam punctus B notat, quia angulus BZM notus est, ex precedenti erunt linee DH, HZ, TH, et ET modo iam sepe dicto note. Ex linea autem DH et DB cognoscetur linea BH et residua BT, que cum linea TE manifestabit lineam BE. Quamobrem et angulus EBT notus erit, qui cum angulo BZM noto equantur angulo BEM, scilicet distantie vere secunde habitudinis ab opposito augis ecentrici. Prius autem constabat distantia habitudinis primae ab auge ecentrici; manifesta igitur erit distantia duarum habitudinum inter se.
In tertia denique habitudine, quam representat punctus G, quia angulum GZM notum fecit precedens, erunt iterum linee DH, HZ, TH, et TE note. Ex linea itaque DG et DH, nota fiet GH, a qua subtracta TH manebit TG cognita, que cum ET manifestabit lineam GE. Unde etiam angulus EGT notus erit, quem si angulo GZM prius noto coniunxerimus, prodibit angulus GEM notus, scilicet distantia habitudinis tertie ab opposito augis. Quam quidem distantiam si distantie secunde habitudinis ab opposito augis coniunxerimus, proveniet distantia illarum duarum habitudinum inter se. Si igitur diligenter numerabimus, reperiemus has distantias equales eis quas per considerationes accepimus. Quare contenti erimus in his que supra de ecentricitate et rebus aliis conclusimus.
⟨XI.5⟩ 5. Iupiter qua in parte orbis signorum augem ecentrici habeat percontari.
Distantiam tertie habitudinis ab opposito augis ecentrici precedens elicuit, sed et locus huius habitudinis in orbe signorum notus est ex consideratione. Quare et locus oppositi augis cognitus erit et consequenter locus augis. Invenit autem Ptolemeus locum augis in undecimo gradu Virginis. Nam locus tercie habitudinis erat in 14 gradibus et 23 minutis Arietis. Distantia vero eius ab opposito augis secundum signorum successionem erat 33 gradus et 23 minuta, quam si a 14 gradibus et 23 minutis dempserimus accomodata una revolucione, proveniet oppositum augis ad undecimum gradum Piscium, in cuius diametrali oppositione constat augem esse.
⟨XI.6⟩ 6. Locum medium Iovis in zodiaco eiusque distantiam ab auge epicicli media in aliqua trium habitudinum patefacere.
Huius cognitio sequentibus serviet. In habitudine itaque tertia notus erat angulus GZM, scilicet medie distantie ab opposito augis, et erat locus oppositi augis cognitus. Quare per addicionem huiusmodi distantie ad locum oppositi augis, ad medium Iovis locum perducemur. Amplius descripto epiciclo HTK super centro G querimus arcum HTK. Ex prioribus autem constabat angulus GEM, distantie scilicet vere ab opposito augis, itemque angulus GZM distantie medie ab eodem. Unde notus erit reliquus angulus intrinsecus EGZ et arcus TK cognitus, quem si semicirculo addiderimus, prodibit arcus HTK quesitus.
⟨XI.7⟩ 7. Proportionem semidiametri epicicli ad semidiametrum ecentrici manifestare.
In secundo anno Antonini 26to die mensis Mesure ultimi, scilicet ante ortum Solis, quinque horis equalibus fere a medio noctis, Ptolemeus per armillas ad Aldebaran rectificatas locum Iovis verum repperit in 15 gradibus et 45 minutis Geminorum. Erat enim omnino Iupiter secundum visum coniunctus Lune nisi quod Luna modico declivior fuit ad meridiem. Et locus Lune ex numeratione Ptolemei tunc itidem secundum visum erat in 15 gradibus et 45 minutis Geminorum. In hac consideratione erat Sol medio suo cursu in 16 gradibus et undecim minutis Cancri, et medium caeli secundus gradus Arietis.
Quo recitato describo ecentricum epicicli delatorem super centro D, qui sit ABG, in cuius diametro per augem et oppositum eius transeunte AG punctus Z sit centrum motus equalis et E centrum mundi. Deinde super puncto B post oppositum augis, quemadmodum ipsa consideratio exigit, describo epiciclum HTK, sitque planeta in puncto K. Producam denique lineas ZBH, DB, EBT, et EK, et BK, duasque perpendiculares DM et EL ad lineam ZB, et perpendicularem BN. Quia autem tempus quod est inter hanc considerationem et eam pro qua in precedenti locum medium planete didicimus notum est, erit medius motus planete huic tempori respondens cognitus, qui quamvis nondum satis correctus sit, nihil tamen in hoc erroris inducet. Sed erat locus medius in ea consideratione notus, ergo et nunc datus erit. Ex loco autem oppositi augis et medio loco planete iam cognito, notus erit angulus BZG, et erit utriusque linearum DM et MZ ad lineam DZ proporcio nota. Quare quelibet earum respectu DZ erit nota. Ex semidiametro autem DB et linea DM, nota fiet linea BM et residua LB postquam LM equalis MZ abicitur. Ex qua quidem et EL dupla ad DM cognoscetur BE; quamobrem etiam angulus EBL cognitus erit. Propter angulos autem EZB et EBZ notos, scietur angulus GEB, distantia scilicet centri epicicli ab opposito augis ecentrici. Deinde sicut inventus est locus medius planete ita invenietur distantia eius ab auge epicicli media, scilicet arcus HK. Prius autem notus erat angulus EBZ, cui contrapositus est angulus HBT. Unde arcus HT notus, quo dempto ex arcu HK relinquetur arcus TK argumenti veri planete, et angulus TBK notus erit. Ex loco autem planete per observationem cognito et ex loco oppositi augis, scietur angulus GEK. Prius autem notus erat angulus GEB. Quare relinquetur angulus BEK scitus, qui denique demptus ex angulo TBK relinquet angulum BKE cognitum. Et cum angulus N sit rectus, erit utriusque linearum EB et BK respectu BN nota proportio; quare BK semidiameter epicicli respectu EB nota erit. Sed erat EB respectu semidiametri ecentrici nota. Quare etiam BK respectu eiusdem data veniet, quod expectabatur demonstrandum. Invenit autem Ptolemeus semidiametrum epicicli 11 partium et 30 minutorum huiusmodi de quibus 60 habet semidiameter ecentrici.
⟨XI.8⟩ 8. Ut medii motus Iovis invento certiores habeantur ingenium fatigare.
Quemadmodum in Marte illud attentando attentando] corr. ex attemtando processimus, hic pergemus, eligentes considerationem unam que nos locum Iovis doceat quam certissime. In anno itaque 45to secundum tempus Dionisii die decimo mensis nominati Iuvenum, Ptolemeo recitante, videbatur stella Iovis cooperire stellam fixam Cancri cui Asinus Meridianus nomen est. Fuit autem hec consideratio in anno 83o a morte Alexandri, 17mo die mensis Athica undecimi scilicet transacto, in matutino diei 18vi, dum medio cursu suo Sol esset in 9 gradibus et 56 minutis Virginis. Huius stelle fixe locus erat in anno primo Antonini in 11 gradibus et 20 minutis Cancri. Sed precessit hec consideratio in 378 annis fere, quibus secundum numerationem Ptolemei de motu octave sphere respondent tres gradus et 47 minuta. Quare in ipsa consideratione locus stelle fixe, qui et Iovis locus erat, fuit in 7 gradibus et 33 minutis Cancri. Similiter quia locus augis Iovis Ptolemei tempore fuit in 11 gradibus Virginis, in hac consideratione oportuit fuisse in 7 gradibus et 13 minutis eiusdem. Nunc proposito parata est via nostro.
Pingamus ecentricum ABG super centro D, in cuius diametro AG per augem et eius oppositum transeunte sit punctus E centrum mundi et Z centrum motus equalis. Sitque epiciclus descriptus super puncto B, in cuius circumferentia punctus T planetam in consideracione ipsa representet, ductis lineis ZBH, DB, EB, ⟨ET,⟩ et BT. Et supra lineam ET perpendicularis demittatur a puncto D D] we would expect ‘B,’ but it is not in the witnesses que sit BN. Hec continuetur donec occurret linee DS equedistanti EN ita ut angulus S fiat rectus. Ducantur preterea due perpendiculares DM et ZK ad duas lineas ET et DB. Linea autem medii motus Solis in hac consideratione sit EL. Quia itaque locus augis notus est cum loco Solis medio et loco planete vero, erit angulus LET notus et ei coalternus BTE. Sed angulus N est rectus, ergo latus BN trianguli TBN notum erit respectu BT. Item propter locum augis notum et locum planete datum, angulus DET scietur. Sed angulus M est rectus, ergo DM respectu DE nota, cui quidem equalis est SN. Sic tota BS est cognita respectu semidiametri ecentrici DB cum BT et DE respectu eiusdem note sint. Trianguli igitur BDS rectanguli duo latera nota sunt, quare omnes eius anguli dati cum reliquo latere. Eritque ex hoc totus angulus ADB cognitus. Unde ZK et KD respectu DZ et semidiametri ecentrici note erunt. Relinquetur igitur BK nota, ex qua et linea ZK patefiet linea ZB cum angulo ZBK. Sic duo anguli ZDB et ZBD noti sunt, et ideo angulus AZB extrinsecus dabitur notus, qui quidem est distantia media epicicli ab auge. Sed erat notus angulus AEL distantiae medie Solis ab auge ecentrici Iovis. Hii duo anguli ex supra declaratis equantur angulo BHT. BHT] we would expect ‘HBT,’ but it is not in the witnesses Est enim punctus H aux media epicicli. Quare angulus HBT cognitus et arcus HT scitus.
Conclusimus itaque distantiam planete secundum cursum medium longitudinis ab auge ecentrici. Est autem locus augis cognitus, quare et medius locus planete datus. In sexta autem huius simile docuimus. Patebit itaque differentia duorum locorum, si que sit. Quod si medius motus per tabulas extractus huic differentie equalis fuerit, bonas credemus esse tabulas. Si vero non, excessum dividemus in dies omnes qui inter duas sunt considerationes, et quod exibit addemus motui unius diei ex tabulis accepto si addendum fuerit, aut minuemus si minuendum. Et proveniet motus unius diei correctus, ex quo denique novas tabulas fabricabimus, quemadmodum in ceteris actum est. Similiter poterimus emendare motum medium diversitatis, verumtamen cum motus diversitatis medius a motibus mediis Solis et alicuius trium superiorum dependeat, satis erit emendasse medium longitudinis motum.
⟨XI.9⟩ 9. Ad tempus statutum medio motui Iovis in longitudine radicem firmare.
Ex premissa habes medium motum Iovis ad certum tempus. Accipe itaque ex tabulis iam innovatis medium motum correspondentem differentie duorum temporum, illius scilicet ad quod medium motum ex precedenti elicuisti et alterius cui radicem adaptare instituis. Hunc itaque motum deme ab eo quem ex consideratione elicuisti si ad tempus preteritum radicem cupis, aut adde eidem si ad tempus futurum. Et habebis radicem cupitam. Radicem autem medii motus diversitatis dabunt due radices, medii motus Solis scilicet et medii motus planete postquam alter ex altero subtrahetur.
⟨XI.10⟩ 10. In diversitate motuum Saturni tandem racionabiliter speculari.
Principio locum augis comperisse studebimus quoniam preter eum, qui ianua rebus ceteris est, sicut neque in Marte et Iove, nihil unquam in Saturno efficiemus. Ex tribus itaque consideracionibus qua in parte zodiaci eius aux fuerit docebimur, quarum primam Ptolemeus fecit in anno undecimo Adriani. Dum enim in duabus noctibus sese sequentibus ad Saturnum inspiceret, repperit eum in prima nondum pervenisse ad habitudinem extremitatis noctis; in secunda vero nocte repperit eum transivisse huiusmodi habitudinem. Trutinando itaque itaque] om. W elicuit eum fuisse in huiusmodi habitudine post meridiem septimi diei mensis Mathur 6 horis equalibus dum locus eius verus esset in uno gradu et 13 minutis Librae quoniam Sol medio suo cursu erat in uno gradu et 13 minutis Arietis. In secunda consideratione, que fuit anno anno] in add. but then del. 17mo Adriani, quatuor horis equalibus transactis a meridie diei decimioctavi mensis Athica undecimi scilicet, Saturnus erat per oppositionem ad locum Solis medium in 9 gradibus et 40 minutis Sagittarii. In anno autem 20mo Adriani Saturnus fuit in hac habitudine extremitatis noctis in meridie diei 24ti mensis Mesure, ultimi scilicet, et verus eius locus in 14 gradibus et 14 minutis Capricorni. Tempus itaque quod a prima habitudine fluxit ad secundam fuit 6 anni Egiptii, 70 dies, et 22 hore equales, in quo quidem tempore medius motus Saturni fuit 75 partes sive gradus et 43 minuta. Tempus vero a secunda habitudine ad tertiam fuit tres anni Egiptii, 35 dies, et 20 hore equales, et motus medius Saturni in eo 37 gradus et 52 minuta. Motus autem verus eius in primo temporis intervallo fuit 68 gradus et 27 minuta; in secundo vero intervallo 34 gradus et 34 minuta.
Hiis recitatis repetamus figuram quam superius Iovi exaravimus, in qua cum angulus BDG notus sit, erit proporcio DE ad EH nota. Sed angulus BEG notus est propter arcum BG numeratum. Fit igitur angulus EBD reliquus intrinsecus cognitus, et proporcio BE ad EH scita. Cum itaque tam DE quam BE respectu EH notam habeat proporcionem, erit BE nota respectu DE. Similiter ex angulo ADE propter angulum ADG noto, erit ZE respectu DE cognita. Est autem angulus AED notus propter arcum ABG notum; quare residuus EAD scitus, et ideo proporcio AE ad EZ inventa. Proporcio igitur AE ad DE cognita veniet. Due itaque linee AE et BE respectu linee DE manifestam habent quantitatem, quare ipse inter se note erunt. Cum autem angulus AEB ex arcu AB sciatur, erit utraque linearum AT et TE respectu AE cognita; unde et residua TB. Inde quoque AB notificabitur. Est autem AB respectu diametri ecentrici nota quoniam ipsa est corda arcus AB noti. Unde etiam omnes relique linee hoc respectu patefient. Propter lineam igitur AE, cordam scilicet arcus AE, cognoscetur arcus AE. Quare totus arcus EAG notus erit cum sua corda GE. Erat autem linea DE respectu AB cognita. Quare etiam nota erit respectu diametri ecentrici, qua quidem subtracta ex GE relinquetur DG numerata. Quantitas autem arcus EABG demonstrabit an centrum ecentrici in hac sit portione an extra aut in ipsa corda EG. Si enim maior fuerit porcio hec semicirculo, centrum ecentrici intra eam erit; si minor, extra; si semicirculus, erit in corda EG. Si igitur centrum ecentrici in corda EG esset, facile constaret ipsius a puncto D distantia, quam ecentricitatem vocant. Extra hanc autem eo existente alia via pergendum erit ut ecentricitas ipsa eliciatur.
⟨XI.11⟩ 11. Unaqueque trium habitudinum quantum ab auge ecentrici vel eius opposito distet quantumque centrum ecentrici a centro mundi removeatur conicere.
Descripto ecentrico super K centro ponatur in eo corda GE, cuius quidem punctus G sit nota tertie habitudinis superius memorate, et super circumferentiam eius due note A B reliquarum habitudinum. Sitque K centrum intra hanc portionem EABG. Diameter autem ecentrici que per centrum eius et centrum mundi transit sit LKDM, sitque D centrum mundi et L aux ecentrici. Ducatur denique ad cordam GE perpendicularis KZ, que continuetur in S punctum circumferentie. Precedens autem duas lineas ED et DG respectu diametri ecentrici notas effecit. Dempto igitur quod ex earum altera in alteram fit ex quadrato semidiametri, manebit quadratum linee KD notum; quare et ipsa linea nota, que scilicet est distantia duorum centrorum.
Preterea EZ medietas corde EG nota est, quare ZD nota erit. Et angulus Z est rectus; igitur angulus DKZ scitus erit, et arcus GM GM] corr. in SM cognitus. Sed et arcus GS notus est quoniam ipse est medietas arcus GSE cogniti. Quare collectis duobus arcubus GS et SM efficietur totus arcus GSM cognitus, quem si ex semicirculo proiecerimus, residuabitur arcus LG notus, qui est distantia tertie habitudinis ab auge ecentrici. Item arcus BG notus erat, quo dempto ex LG manebit LB arcus distantie secunde habitudinis ab auge notus. Quo denique ex arcu AB reiecto, manebit arcus AL cognitus, qui est distantia prime habitudinis ab auge, quod intendebamus.
⟨XI.12⟩ 12. Ut viciniores ad precisum veniamus arcus parvos sive angulos discernere.
] although unclear, the center of the world is labelled ‘E’ Satis iam constare censeo quamobrem arcus huiusmodi parvi inquirantur. Epiciclum deferat circulus NA super centro D lineatus, cui alius equalis LM super centro Z statuatur, quem vocant equantem. Sitque in circulo NA punctus A prime habitudinis, et in diametro LZDM punctus E centro mundi serviat. Productis itaque lineis EA, DA, ZAS, et ES, duabusque perpendicularibus DH et ET, angulum AES querimus. Ex premissa autem angulus LZA notus erat, quare modo sepe dicto omnes linee DH, HZ, ET, TH respectu linee DZ et respectu semidiametri ecentrici note erunt. Propter lineam igitur AD, scilicet semidiametrum ecentrici, et lineam DH, nota erit AH, et inde tota AT, AT] corr. ex †H†T V2; HT W ex qua et linea ET cognoscetur AE. Unde etiam angulus EAT scitus erit. Quod si iunxerimus duas lineas notas ZS, scilicet semidiametrum, et ZT, fiet tota TS scita. Propter quam et lineam ET patefiet linea ES et angulus EST, quem si ex angulo EAT extrinseco minuerimus, relinquetur angulus AES inventus, qui querebatur. In habitudine vero secunda simili siligismo siligismo] i.e. ‘silogismo’ ex angulo LZS omnium linearum DH, HZ, ET, et TH ad lineam DZ proporciones note erunt; quare unaqueque earum respectu semidiametri ecentrici nota erit. Ex lineis autem DB et DH nota erit BH, cui adiecta HT fiet tota BT scita. Propter quam et lineam ET, scietur linea EB cum angulo EBT. Linee autem SZ et ZT note cum ET notificabunt lineam ES et angulum EST, quo sublato ex angulo EBT relinquetur angulus BES quesitus. Et in habitudine tertia per omnia similiter agemus donec angulum GES reperiemus.
Sed ne sermone longiore obtundaris, his angulis aut eorum arcubus utaris sicut in Iove et Marte fecisti, tociens repetendo hoc opus quotiens oportunum fuerit. Invenit autem Ptolemeus, dum poneret semidiametrum ecentrici 60 partium, distantiam inter centrum mundi et centrum equantis 6 partium et 50 minutorum. Centrum autem deferentis epiciclum medium itidem posuit ut in aliis inter centrum mundi et centrum equantis.
⟨XI.13⟩ 13. Arcus a stella in duobus temporum intervallis vero cursu descriptos ex eis que conclusa sunt reperire. Unde liquidum erit ecentricitatem cum ceteris rebus bene inventas esse.
Nisi tres ille habitudines Saturni aliter quam in Iove cecidissent, ad superiora te remitterem. Oculis itaque tuis figuras tres obieci quemadmodum trina compellit observacio. Accipe ergo primam, in qua circulus LM delator epicicli estimetur super centro D, in cuius diametro LDM punctus L sit aux, Z vero centrum motus equalis, et E centrum mundi. Sitque A punctus prime habitudinis, ductis lineis EA, DA, et ZA, duabusque perpendicularibus DH et ET. Ex processu autem precedentis LZA angulus fit notus, et ideo proporciones linearum DH, HZ, TH, et ET ad lineam DZ cognite erunt. Omnes igitur ille linee respectu semidiametri ecentrici note erunt. Ex lineis autem DA et AH AH1] we would expect ‘DH,’ but it is not in the witnesses cognoscetur AH, cui adiecta TH nota veniet tota AT; propter quam deinde et lineam ET innotescet linea EA. Et ideo angulus EAT notus erit, quo dempto ex angulo LZA prius noto relinquetur angulus LEA notus, qui est distantia vera prime habitudinis ab auge ecentrici. In secunda vero habitudine omnino similibus mediis angulus BEL notus erit, distantia scilicet habitudinis secunde ab auge. Hos itaque duos angulos si coniunctos videbis equales arcui quem stella vero cursu in primo intervallo temporis descripsit, recte stat. Deinde pro habitudine tertia non dissimiliter angulus GEL notus erit, a quo quidem angulo GEL angulum BEL demas. Et residuum si fuerit equale arcui quem stella per motum verum in secundo temporis intervallo descripsit, iam certum est omnia bene inventa esse quandoquidem cum consideracionibus plane concordant.
⟨XI.14⟩ 14. Saturnus denique in orbe signorum augi sue locum astronomo scitum desiderat.
Quia uniuscuiusque trium habitudinum ab auge distantiam precedens elicuit, et cuiuslibet earum locus in orbe signorum per considerationem patuit, erit et locus augis facillime cognitus. Ptolemeus enim distantiam tertie habitudinis ab auge numeravit 51 gradus 14 minuta. Erat autem locus huius tertie habitudinis verus in 14 gradibus et 14 minutis Capricorni. Quare contra signorum consequentiam a 14to minuto 15ti gradus Capricorni si numeraverimus 51 gradus et 14 minuta, ad finem vigesimitercii gradus Scorpionis perveniemus, in quo etiam Ptolemeus augi locum in principio regni Antonini deputavit.
⟨XI.15⟩ 15. In qua vero parte zodiaci Saturni locus medius sit in aliqua trium habitudinum quantumque ab auge epicicli media distet investigare.
Locus augis iam notus est ex precedenti. Media vero uniuscuiusque trium habitudinum ab auge distantia superius inventa est. Quare medius locus erit notus. Quod si super puncto G tertie habitudinis epiciclum HTK descripserimus, erit arcus HTK HTK2] corr. in HK distantia distantia] distantie W planete ab auge epicicli media in tertia habitudine non ignotus. Est enim angulus GZL cognitus ex 12 huius, sed et angulus GEL vere distantie tertie habitudinis ab auge per 13am notus. Quare residuus intrinsecus EGZ cognitus et arcus TK numeratus, quem si a semicirculo HT dempseris, relinquetur arcus HK, qui querebatur, notus.
⟨XI.16⟩ 16. Ecentrici et epicicli duabus semidiametris ligam proportionis elaborare.
Certissima quadam ad hoc propositum opus est consideratione. Ptolemeus noster in anno secundo Antonini, sexto die mensis Mesir sexti scilicet transacto, ante medietatem noctis quatuor horis equalibus Saturni locum instrumento suo ad Aldebaran rectificato et ad Lunam relationem relationem] relacione W deprehendit in 9 gradibus et 4 minutis Aquarii, dum scilicet medium caeli instrumento indice esset in Alexandria ultimus gradus Arietis et Sol cursu medio suo in 28 partibus et 41 minutis Sagittarii. Estimavit autem inter cornu septentrionale et Saturnum tunc secundum visum quidem cadere 30 minuta ad successionem signorum, sed locus visus Lune tunc secundum numerationem Ptolemei fuit in 8 gradibus et 34 minutis Aquarii. Unde certus fuit locus Saturni. Et quia tempus quod intercidit huic consideracioni et habitudini habitudini] corr. ex habitudine tertie superius memorate notum erat, notus fuit medius motus longitudinis Saturni in hoc tempore, qui tametsi nondum rectificatus habeatur, tamen non poterit sensibilem in hoc opere errorem ingerere. Erat etiam medius locus Saturni in hac habitudine tertia notus, quare et in hac consideratione medius locus Saturni non ignorabitur. Simili pacto distantia Lune Lune] corr. in Saturni ab auge epicicli media in hac consideracione innotuit.
Post hec itaque recitata pingamus circulum ecentricum epicicli delatorem ABG super centro D, in cuius diametro AG punctus A sit aux, G oppositum augis, Z centrum equantis, et E centrum mundi. Sitque in eius circumferentia punctus B centrum epicicli HTK, et locus planete in eodem punctus K, productis lineis EBT, DB, et ZBH, eritque H aux media epicicli et T aux vera. Itemque due linee EK et BK producantur, dueque perpendiculares DM et EL super lineam BL, aliaque perpendicularis BN super lineam EK. Quia autem locus medius planete ad instans huius consideracionis notus est et locus augis similiter, erit angulus AZB notus. Et ideo omnes ille linee DM, MZ, EL, et LM respectu DZ et semidiametrici semidiametrici] semidiametri W ecentrici note fiunt. Ex semidiametro autem BD et linea DM, cognita redditur linea BM, cui si adicies lineam ML, erit tota BL scita. Ex qua denique et linea EL invenietur linea EB cum angulo EBL. Prius autem notus fuit angulus AZB, quare reliquus intrinsecus AEB notus erit. Est autem locus verus planete ex consideratione patens et locus augis notus, quare angulus AEK scitus erit. Quo dempto ex angulo AEB relinquetur angulus KEB notus. Unde proporcio linee EB ad BN nota veniet. Item angulus HBK notus est; ipse enim est distantia planete ab auge media epicicli. Ex quo si proiciemus angulum HBT equalem angulo EBL prius noto, manebit angulus TBK scitus, et ideo reliquus intrinsecus BKE. Unde proporcio proporcio] iter. but then del. BK ad BN cognita fiet. Sed respectu BN fuit etiam nota EB, ergo BK semidiameter epicicli respectu BE et consequenter respectu semidiametri ecentrici non erit ignota, quod intendebatur. Ptolemeus autem huic epicicli semidiametro 6 partium et 30 minutorum fere mensuram dedit, huiusmodi inquam partium quarum semidiameter ecentrici deferentis epiciclum habet 60.
⟨XI.17⟩ 17. Medios Saturni motus admodum certos efficere.
Que pro Marte et Iove aperta est via ad intentum nos perducet si prius per considerationem locum Saturni verum acceperimus. In anno itaque Caldeorum 802o in mense eorum nominato Chestendesim in die quinto circa principium noctis, videbatur Saturnus sub humero meridiano Virginis duobus digitis. Hec autem consideratio fuit in anno a principio Nabonassaris 519o, 14to die mensis Tobi Tobi] corr. ex/in Tybi quinti scilicet transacto, circa principium noctis dum medio cursu Sol pervenisset ad 6 gradus et 10 minuta Piscium. Huius autem stelle fixe secundum numerationem Ptolemei locus fuit in primo anno Antonini in 13 gradibus et 10 minutis Virginis. Sed inter hanc considerationem antiquam et primum annum Antonini fuerunt anni Egiptii fere 366, quibus de motu stellarum fixarum respondent tres gradus et 40 minuta fere, quos si a 13 gradibus et 10 minutis dempserimus, manebit locus huius stelle in 9 gradibus et 30 minutis Virginis. Similiter aux Saturni, que tempore Ptolemei fuit in 23 gradibus Scorpionis, tunc erat in 19 gradibus et 20 minutis fere Scorpionis.
Describamus igitur figuram qualem superius pro Iove posuimus nisi quod epiciclum hic aliter et planetam in epiciclo locumque Solis medium quemadmodum in hac consideratione accidit statuamus. Erat autem in hac consideratione et locus augis notus et locus planete, quare angulus AET cognitus. Sed et medius locus Solis patens, quare angulus AEL inventus; et ideo totus angulus TEL cognitus, cui equalis est propter equedistantiam linearum EL et BT angulus ETB; unde angulus BTN BTN] corr. in †K†TN cognitus. Sed angulus N est rectus. Fit igitur proporcio BT semidiametri epicicli ad BN nota. Sed propter angulum AET notum sive AEM et angulum M rectum, fit proporcio DE ad DM nota. Utraque igitur linearum DM et BN respectu semidiametri ecentrici nota erit. Est autem DM equalis NS; hinc tota BS cognita. Cum igitur angulus S sit rectus et DB semidiameter ecentrici, erit angulus BDS notus. Sed angulus ADS notus est quoniam equalis angulo AET noto. Quare erit totus angulus BDZ cognitus, et erit utraque linearum DK et KZ respectu DZ et etiam respectu semidiametri ecentrici nota. Hinc erit linea BK nota, ex qua et linea KZ innotescet linea BZ. Unde etiam angulus DBZ scitus erit. Sed ex duobus angulis BDZ et DBZ iam notis, cognoscetur angulus extrinsecus AZB, qui est distantia media ab auge ecentrici. Et quoniam locus augis est notus, erit medius locus planete cognitus. Sed medius locus Solis in hac consideracione constat. Hinc manifestabitur distantia inter duo loca Solis et planete media, que quidem equatur distantie planete ab auge epicicli media, unde ipsa nota erit.
Constabit igitur tandem motus medius planete in tempore quod mediat inter duas considerationes, quarum una erit erit] erat W tertie habitudinis et alia quam sub manibus habemus, cui motui si equalem ad idem tempus per tabulas inveniemus, bone manebunt tabule. Si vero non, differentiam duorum motuum in dies temporis medii distribuemus, et portionem unius diei exeuntem a medio motu unius diei subtrahemus si subtrahenda fuerit aut addemus si addenda, quemadmodum in aliis fecimus. Pro motu etiam diversitatis similiter agemus, verum rectificato motu longitudinis et medio motu Solis certificato, motus ipse diversitatis certitudinem habebit.
⟨XI.18⟩ 18. Postremo mediis motibus Saturni radices constituere.
Tempori quod est inter considerationem in qua medius motus planete cognitus est et inter instans cui radicem constituendam censes, per tabulas iam emendatas motum elice medium, quem divide divide] corr. in deinde a medio motu planete in tempore considerationis considerationis] planete add. but then del. minue si ad preteritum radicem constituere voles aut eidem adde si pro futuro. Et habebis radicem cupitam. Quod si specialem motui diversitatis radicem voles, similiter agito. Verum cum motus ille a motibus Solis et planete mediis pendeat, radix quoque ipsius ab eorundem mediis motibus nimirum sumet originem.
⟨XI.19⟩ 19. Mediis motibus suppositis veros planetarum motus numerare.
Paucis dabo processum quandoquidem ex scientia triangulorum planorum omnia venient venient] veniant W apertissime. Sit ecentricus ABG super centro D. Punctus A sit aux ecentrici, G oppositum eius. In diametro AG Z sit centrum motus equalis et E centrum mundi. Epiciclus autem super B descriptus habeat planetam in puncto K. Ductis lineis ZBT, EBH, DB, EK, et BK, erit punctus T aux media epicicli, a qua regularis argumenti motus dependet, et H aux epicicli vera. Ducantur etiam perpendiculares due DM et EN super lineam BZ, alia quoque perpendicularis KL super lineam EB continuatam. Cum autem angulus AZB supponatur notus, erunt omnes linee DM, MZ, EN, et NM respectu linee DZ cognite ideoque etiam respectu semidiametri ecentrici. Ex semidiametro autem DB et linea DM innotescet linea BM, cui si adieceris MN, veniet linea BN nota. Propter quam et lineam EN nota erit EB; hinc angulus EBN cognitus erit. Preterea supponitur argumentum medium, scilicet arcus TK. Est autem arcus TH notus propter angulum TBH equalem EBN angulo prius cognito; sic totus arcus HK scitus et ideo angulus HBK notus. Quare propter angulum L rectum utriusque utriusque] corr. in utraque linearum KL et BL ad lineam KB, semidiametrum scilicet epicicli, proporcionem habebit notam. Semidiameter autem epicicli respectu semidiametri ecentrici nota est. Unde hoc respectu predicte linee note erunt. Sed erat nota linea EB, cui addamus BL lineam ut tota EL nota fiat. Ex qua et linea KL scita erit linea EK. Hinc angulus KEL notus veniet. Cum autem angulum EBZ prius notum ex angulo AZB dempserimus, relinquetur angulus AEB. Coniunctis igitur duobus angulus AEB Coniunctis…AEB2] i. m. et BEK, habebitur totus angulus AEK, qui est distantia vera planete ab auge ecentrici. Cum autem locus augis respectu principii Arietis pateat, erit distantia vera planete a principio Arietis nota, quam verum motum vocant, quod expectabatur ostendendum.
Ne autem numeranti crebra numerorum multiplicacio atque divisio sive radicum extractio aut alia quevis operatio tedium pareret, maiores nostri tabulas operepretium confecere, in quibus angulos huiusmodi cognitu necessarios industrie collocaverunt, quas equidem tabulas si auscultare voles, dabo conficiendas. Tribus superioribus et Veneri una sufficiet via. Centro igitur medio, ut vocabulis utar modernis, si minus fuerit quadrante, sinum rectum quere sinumque complementi eius, quorum utrumque in ecentricitatem multiplica, et productum per sinum totum divide. Quodque propter sinum centri medii exibit in se multiplicatum a quadrato semidiametri ecentrici demas, et residui radicem adisce quadratam. Eique radici id quod propter sinum complementi provenerat superadde. Productoque in se multiplicato adde quadratum dupli eius quod per sinum centri medii venerat. Et collecti radix erit distantia centri epicicli a centro mundi ad hoc centrum medium, quam serva. Deinde duplum eius quod per sinum centri medii venerat in sinum totum extende; productum vero per radicem servatam partire. Exibit enim sinus equationis centri, cuius arcus est ipsa equacio centri, quam si libet in tabula ex directo centri medii collocabis ut eam, quandocumque opus fuerit, absque prolixa, qualis iam ostensa est, operatione paratam habeas.
Si vero centrum medium plus quadrante fuerit, ipsum a semicirculo subtrahe. Residuique sinum primum, ut brevius dicam, sinum quoque secundum sive sinum complementi eius elicias, quorum utrumque in ecentricitatem multiplica, et productorum utrumque per sinum totum divide. Que autem exibunt custodi. Quadratum itaque eius quod per sinum primum exivit a quadrato semidiametri deme. Et a radice quadrata residui id quod per sinum secundum exivit subtrahe. Quodque remanserit in se ductum duplo eius quod per sinum primum venerat in se multiplicato coniunge. Collecti namque radix erit distantia centri epicicli a centro mundi, quam serva. Deinde duplum eius quod per sinum primum venit in sinum totum multiplica, et productum per radicem servatam divide; exeuntis enim arcus erit ipsa centri equacio quesita.
Quod si centrum medium quarta circuli fuerit, ecentricitatis quadratum a quadrato semidiametri ecentrici abice. Relictum vero duplo ecentricitatis in se multiplicato adiunge, et collecti radix quadrata est linea qua centrum epicicli a centro mundi distat. Eam serva. Duplum denique ecentricitatis in sinum totum extende, productum vero per radicem divide servatam; nam sinus exeuntis arcus erit equatio centri quesita. Iam itaque patet iter omnes centri equationes per semicirculum cognoscendi, reliqui vero semicirculi equaciones quia inventu similes et in quantitate prioribus equales sunt pretereo. Centro enim epicicli equaliter utrinque ab auge medio quidem itinere distanti, equales accidunt centri equationes.
Argumentorum denique equationes, ut cognite fiant, ordo poscit. Argumenti planete veri, si quadrante minus fuerit, sinum primum habeas et secundum. Et utrumque eorum in numerum semidiametri epicicli respectu semidiametri ecentrici superius elicitum multiplica, productorum quoque utrumque in sinum totum divide. Et quod per sinum secundum exivit distantie centri epicicli a centro mundi adice, collectumque in se ductum ei quod per sinum primum exivit in se multiplicato coniunge. Aggregati enim radix quadrata distantiam corporis planete a centro mundi numerabit, quam tene ad partem. Deinde id quod per sinum primum exivit in sinum totum extende, et productum per radicem partire servatam. Exibit enim sinus cuius arcus est equatio argumenti quesita.
Si vero argumentum equatum plus quadrante fuerit, ipsum ex semicirculo abice, et residui sinum primum et secundum ex tabulis suis addisce. Utrumque autem eorum in semidiametrum epicicli multiplica, utrumque etiam productum per sinum totum divide. Quod patet Quod patet] corr. in quodque per sinum secundum exiverit ex distantia centri epicicli a centro mundi minue. Relictum vero in se ductum ei quod per sinum primum exivit in se itidem multiplicato adicias. Congregati enim quadrata radix distanciam corporis planete a centro mundi predicabit, quam servabis. Deinde quod per sinum primum exivit in sinum totum multiplica; productum vero per radicem servatam divide. Nam quod exibit est sinus rectus cuius quidem arcus erit equacio argumenti cupita.
Quod si huiusmodi verum argumentum equale quadranti statueris, quadratum semidiametri epicicli quadrato linee que epiciclum a centro mundi removet coniunge, et collecti radicem planete a centro mundi distantiam appella. Deinde semidiametrum epicicli in sinum totum multiplica; productum vero per radicem partire servatam. Exeuntis namque arcus erit equatio argumenti quesita. Per semicirculum igitur argumentorum equationes non ignorabis. Reliquus autem semicirculus equaciones prioribus habet equales. Quare ipsum nunc missum facio.
Has duas equationes oppone numeris suis in tabula cum quibus queri solent, si tabulas habere voles compositas. Si itaque in motu suo centrum epicicli equalem semper haberet a centro mundi distantiam, satisfacerent hec due equationes pro motibus equandis. Id vero non est, unde ut motus equentur et ne tabule solito plures fiant, cogitandum erit de minutis proporcionalibus et diversitatibus diametri quemadmodum in Luna. Aequaciones tamen argumentorum hic reperientur ad situm epicicli in longitudine ecentrici media, et ob hoc duplicibus minutis proporcionalibus opus erit. Excessus namque equationum que argumentis relativis in auge et eius opposito respondent adeo magni magni] corr. in magne sunt quod si minutis proporcionalibus simplicibus velut in Luna utaris, nimium a vero recedes. Pro hiis ergo ea que circa Lunam recitata sunt consule.
Ad equationes denique Mercurii quo pacto deprehendi queant operam dabimus. Et primo ad equationes centri veniemus. Si itaque centrum medium fuerit minus 60 gradibus, ipsum a semicirculo deme, et residui cordam per ecentricitatem multiplica. Productum vero per sinum totum divide, et quod exibit serva. Deinde centro medio adde suam medietatem, et collecti sinum primum elice cum sinu secundo. Et utrumque eorum in prius servatum multiplica, utrumque etiam productum per sinum totum divide. Quodque per sinum primum exibit in se multiplicatum a quadrato semidiametri aufer, et residui radicem quadratam ei quod per sinum secundum exivit superadde. Nam quod aggregabitur erit distantia centri epicicli a centro motus equalis, quam serva. Postea sinum primum centri medii accipe sinumque secundum. Et quemlibet eorum in ecentricitatem multiplica, singulaque producta per sinum totum divide. Quodque per sinum secundum exivit distantie prius servate superadde, et collectum in se ductum ei quod per sinum primum exivit in se multiplicato coniunge. Nam collecti quadrata radix distantiam centri epicicli a centro mundi numerabit, quam serva. Deinde vero id quod per sinum primum exivit in sinum totum multiplica, et productum per radicem partire servatam. Exeuntis enim arcus erit equatio centri quesita.
Si vero centrum medium fuerit 60 gradus, triplum quadrati ecentricitatis ex quadrato semidiametri minue. Relicti enim radix quadrata erit distantia centri epicicli a centro equantis, cum qua denique ut prius procedes.
Quod si centrum medium plus 60 fuerit minus tamen 90, ipsum a semicirculo deme. Et residui cordam addisce, quam per ecentricitatem multiplica, et productum in sinum totum divide. Quod vero exibit custodi. Item centrum medium cum medietate sua a semicirculo aufer, et residui sinum primum accipe sinumque secundum. Et utrumque eorum in prius servatum multiplica; utrumque vero productum per sinum totum divide. Quodque per sinum primum exivit in se ductum a quadrato semidiametri ecentrici deme, et a radice residui id quod per sinum secundum exivit subtrahe. Nam quod relinquitur erit distantia centri epicicli a centro equantis, cum qua deinde ut superius procede.
Si autem centrum medium 90 gradus fuerit, ecentricitatem in se multiplicatam a quadrato semidiametri ecentrici minue, et a radice residui ecentricitatem ipsam deme. Quod enim remanebit erit distantia centri epicicli a centro equantis, quam in se ductam ecentricitati in se multiplicate superadde. Et collecti radix quadrata erit distantia centri epicicli a centro mundi, quam serva. Deinde ecentricitatem per sinum totum multiplica, et productum per radicem divide servatam. Exeuntis enim arcus est equatio centri quesita.
Sed centrum medium si posueris plus 90 gradibus minus tamen 120, procede ut antea in tertio casu ad habendum centri epicicli a centro equantis distantiam, quam quidem inventam serva. Deinde centrum medium a semicirculo subtrahe, et residui duos sinus, primum scilicet et secundum, accipe. Utrumque eorum in sinum totum sinum totum] we would expect ‘differentiam centrorum,’ but the mistake is in the witnesses multiplicando, et productorum utrumque per sinum totum divide. Et quod per sinum secundum exibit a distantia prius servata deme; residuum vero in se ductum ei quod per sinum primum exivit in se ducto coniunge. Nam collecti radix quadrata erit distantia centri epicicli a centro mundi, quam serva. Postea id quod per sinum primum exivit in sinum totum multiplica, et productum per radicem servatam divide. Eius vero sinus qui exibit arcum scies esse equationem centri quesitam.
Et si centrum medium 120 gradus fuerit, ecentricitatem a semidiametro ecentrici deme. Relinquetur enim centri epicicli a centro equantis distantia, cum qua ut in precedenti casu operaberis.
Si vero centrum medium plus 120 gradibus fuerit minus semicirculo tamen, ipso ex semicirculo subtracto residui cordam accipe, quam in ecentricitatem multiplica, et productum per sinum totum divide. Quod vero exibit servandum est. Item a centro medio cum sui medietate semicirculum deme, et eius qui remanserit arcus sinum primum addisce atque secundum. Deinde utrumque eorum per prius servatum multiplica, et utrumque productum per sinum totum divide. Quod itaque per sinum primum exibit in se ductum a quadrato semidiametri minue. Et a radice residui id quod per sinum secundum exivit abice. Relinquetur enim distantia centri epicicli a centro equantis, cum qua ut in quinto casu procede. Habebis igitur centri equationes ad semicirculum absolutas.
Argumentorum vero equationes in Mercurio sicut in reliquis elaborabis. Minuta quoque proporcionalia sicut alibi, verum equationes argumentorum quas in tabula scribi convenit fiant ac si centrum epicicli sit in mediocri eius a centro mundi distantia, dum scilicet ab auge equantis per 60 fere gradus distat. Hec de angulis diversitatum breviter perstringere libuit.
Finis undecimi.