نسبة جيب زاوية ب إلى جيب زاوية ج ب كنسبة جيبي وتريهما لأنّه إذا قامت قوس ا د على ب قوائم كانت في مثلّث ا ب د فنسبة جيب زاوية ب إلى جيب ا د كنسبة جيب القائمة إلى جيب ا ب وفي مثلّث ا د ج نسبة جيب ا د إلى جيب زاوية ج كنسبة جيب ا ج إلى جيب القائمة فبالمساواة المضطرّيّة نسبة جيب زاوية ب إلى جيب زاوية ج كنسبة جيب ا ج إلى جيب ا ب
وأمّا الظلّي فتحتاج إلى تقديم تعريف الظلّ وأحواله وتعني بظلّ القوس هاهنا ما يقع بين قطرين يمرّان بطرفي القوس من عمود يقوم على طرف أحدهما كما إذا فرضنا في دائرة ا ب ج حول مركز د قوس ا ب وقطري ا ج ب ه مارّين بطرفهما بطرفها DLP وأقمنا على نقطة ا من قطر ا ج عمودًا عليه وأخرجناه مع قطر ب ه حتّى يتلاقيا على ز فا ز ظلّ قوس ا ب وهو مواز لعمود ب ح الذي هو جيبها ونسبة ا ز ظلّ القوس إلى ا د نصف القطر كنسبة ب ح جيبها إلى ح د جيب تمامها وإذا أقمنا قطر ط ي على ا ج ومن نقطة ط عمود ط ل كان ط ل ظلّي تمام ا ب وهو مواز بجيب تمامه وكان نصف القطر وسطًا في النسبة بين ظلّ القوس وظلّ تمامها لأنّ نسبة ز ا إلى ا د أعني د ط كنسبة د ط إلى ط ل وكان ضرب الشيء في أحدهما كقسمته على الآخر لأنّا إذا جعلنا نصف القطر واحدًا بقدر منه هذه المقادير وضربنا مثلًا م mg N في ظلّ ا ز فيحصل ن ه كأنّ نسبة الواحد إلى ظلّ ا ز كنسبة م إلى ن ه ثمّ قسمنا م أيضًا على ظلّ ط ل فيحصل س ه كأنّ نسبة الواحد إلى ظلّ ط ل كنسبة س ه إلى م وبالخلاف نسبة ط ل إلى الواحد كنسبة م إلى س ه ولكنّ نسبة ط ل إلى الواحد كنسبة الواحد إلى ا ز أعني نسبة م إلى ن ه فنسبة م إلى س ه كنسبة إلى ن ه فإذًا ن ه وس ه الحاصل من الضرب والقسمة شيء واحد وذلك عند ما نجعل أجزاء القطر دقائق وللأظلال خواصّ أخر بطول الكتاب بشرحها وهذان الظلّان أعني ظلّ القوس وظلّ تمامها يعرفان الأوّل والثاني إذًا نسبتا إلى قوس واحدة كقوس ا ب في المثال المذكور وسيأتي ذكر الظلّ الثاني في المقالة الثانية وإنّا وضعت الأظلال الأوفي للقسيّ المتفاضلة بنصف جزء إلى ثمن الدائرة