Ptolemy, Almagesti (tr. Gerard of Cremona)Start

Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 5v

 … Loading: Venice, Petrus Liechtenstein, 1515 · 5v …

et ita ne quod ex eo deest quantitatis sit sensibilis. Sit itaque primum semicirculus ABG erectus supra diametrum ADG circumductus supra centrum D. Protraham autem a D supra lineam AG ortogonaliter lineam DB, et dividam DG in duo media supra punctum E, et producam lineam BE, sitque linea ER equalis linee EB, et protraham lineam BR. Dico ergo quod linea RD est latus decagoni et linea BR est latus pentagoni. Quod sic probatur: Quoniam DG dividitur in duo media super E et adiungitur ei linea DR, ergo ductus GR in RD cum quadrato ED equatur quadrato linee ER, que est equalis BE. Duo vero quadrata DB et ED simul equantur EB quadrato. Quapropter ductus GR in RD cum quadrato DE equatur duobus quadratis DE et DB simul. Cum ergo minuitur ex unoquoque eorum quadratum DE, remanet ductus GR in RD equale quadrato DB, que est equalis GD. Et quia cum latus hexagoni et latus decagoni, que sunt in circulo uno, sunt linea una, ipsa dividitur secundum proportionem habentem medium et duo extrema et DG, que est medietas diametri, est latus hexagoni, erit DR latus decagoni. Et similiter quoniam latus pentagoni potest supra latus hexagoni cum latere decagoni quod sunt in uno circulo potest ... circulo: Corrupt passage? Cf. Toomer, loc. cit., p. 49, lines 8-10. Paris, BnF, lat. 14738 (7r, lines 15-16 from the bottom) does not offer any better text. et angulus BDR trianguli BDR est rectus, erit quadratum BR equale quadrato BD, que est latus hexagoni, et quadrato DR, que est latus decagoni, simul, et erit BR latus pentagoni. Et quia diametrum circuli divisimus in 120 partes, ergo propter hoc quod premisimus erit linea DE 30 partes, et erit quadratum eius 900, et erit linea BD, postquam ipsa est medietas diametri, 60 partes, et eius quadratum 3600, et quadratum EB, quod est quadratum ER, que sunt in circulo uno, 4500. Propter hoc ergo erit ER 67 partes et 4 minuta et 55 secunda vicinius. Et remanebit linea DR secundum illas partes 37 partes et 4 minuta et 55 secunda vicinius. Ipsa vero est equalis lateri decagoni. Latus ergo decagoni, quod subtenditur arcui 36 partium secundum quantitatem qua circulus est 360 partes, erit 37 partes et 4 minuta et 55 secunda vicinius secundum quantitatem qua diameter est 120 partium. Et etiam quia linea DR est 37 partes et 4 minuta et 55 secunda, et eius quadratum est 1375 partes et 4 minuta et 14 secunda, et quadratum DB est 3600, et cum hec duo coniungentur, erit ex eis quadratum BR, quod est 4975 partes et 4 minuta et 14 secunda, ergo propter hoc erit longitudo linee BR secundum illam quantitatem 70 partes et 32 minuta et 3 secunda vicinius. Ipsa autem est equalis lateri pentagoni. Quapropter latus pentagoni, quod est chorda partium 72 secundum quantitatem qua circulus est 360, erit 70 partes et 32 minuta et 3 secunda secundum quantitatem qua diameter est 120. Iam ergo manifestum est quod latus hexagoni, quod subtenditur arcui 60 partium et est medietas diametri, est 60 partes. Et similiter etiam quia latus quadrati, quod subtenditur 90 partibus, est in potentia duplum medietatis diametri, et latus trianguli, quod subtenditur 120, est in potentia triplum medietatis diametri, et quadratum medietatis diametri est 3600, ergo fiet quadratum lateris quadrati 7200 et quadratum lateris trianguli 10800. Quapropter erit longitudo chorde arcus 90 partium 84 partes et 51 minuta et 10 secunda vicinius secundum quantitatem qua diameter est 120, et erit longitudo chorde arcus 120 secundum eandem mensuram 103 partes et 55 minuta et 23 secunda.

Iam ergo facile novimus harum chordarum quantitates in seipsis. Et declarabitur nobis quod cum he chorde scite fuerint, scietur per eas facile operatio chordarum que subtenduntur arcubus residuis semicirculi. Quoniam duo quadrata duarum chordarum simul equalia sunt quadrato diametri circuli. Verbi gratia iam ostensum est quod chorda arcus 36 partium est 37 partes et 4 minuta et 55 secunda, et quadratum eius est 1375 partes et 4 minuta et 14 secunda, et quadratum diametri 14400, et quadratum chorde residui semicirculi, quod est 144, et est residuum quadrati diametri, est 13024 partes et 55 minuta et 46 secunda. Longitudo ergo chorde residui semicirculi est 114 partes et 7 minuta et 37 secunda vicinius secundum illam quantitatem. Et similiter sciemus per chordas reliquas notas chordas arcuum reliquorum semicirculi.

Et declarabitur in sequentibus qualiter per istas chordas sciatur inventio chordarum arcuum diversorum reliquorum, postquam nos premiserimus narrationem capituli valde perutilis in hac scientia. Sit itaque circulus ABGD in quo describam quadrilaterum supra quod sint A, B, G, D, et protraham duas lineas AG et BD, et ostendam quod ductus AG in BD equatur duobus ductibus AB in DG et AD in BG simul. Quod sic demonstratur: Ponam enim angulum ABE equalem angulo DBG. Et quia angulus DBG equatur angulo ABE, tunc si nos communicaverimus angulum EBD et addiderimus ipsum unicuique ipsorum, erit angulus ABD equalis angulo EBG. Angulus autem BDA est equalis angulo BGE, quoniam eorum chorda est arcus unius. Triangulus igitur ABD est equiangulus triangulo BGE. Quapropter proportio BG ad GE est sicut proportio BD ad DA. Ergo ductus BG in AD equatur ductui BD in GE. Et etiam quia angulus ABE est equalis angulo DBG et angulus BAE equatur angulo BDG, erit triangulus ABE equiangulus triangulo BGD. Ergo proportio BA ad EA est sicut proportio BD ad DG. Quadratum itaque BA in GD equatur quadrato BD in EA. Iam vero declaratum fuit quod ductus BG in AD est equalis ductui BD in GE. Ergo totus ductus AG in BD est equalis ductui AB in GD et AD in BG simul. Et illud est quod demonstrare voluimus.