Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨II⟩

De universali positione eius que penes nos habitabilis

Quomodo, data maxime diei quantitate, deprehense ab equinoctiali et obliquo circulo orizontis periferie dantur

Quomodo, eisdem subiacentibus, elevatio poli datur et e converso

Quomodo investigandum quibus et quando et quotiens Sol ad verticem fit

Quomodo ab eis que exposita sunt propositiones gnomonum ad equinoctiales et tropicas in meridiebus umbras summuntur

Expositio eorum que secundum parallilon ydiomatum

De eis que in inclinata spera eius qui per media animalia circuli et equinoctialis coascensionibus

Expositio eorum que canoniorum secundum decamirias in uno quoque parallilo accessionum

De eis que particulariter anaphoras consequuntur

De angulis ab eo qui per media animalia circulo et meridiano factis

De angulis ab eodem obliquo circulo et orizonte factis

De eis qui ad eundem circulum fiunt eius qui per polos orizontis angulis atque periferiis

Expositio secundum parallilum propositorum angulorum ac perferiarum

Liber secundus

⟨II.1⟩

Pertranseuntes in primo sintaxeos de totorum positione capitulatim debentia prelibari et quecumque quis eorum que in recta spera ad subiacentium contemplationem utilia arbitretur, temptabimus deinceps et eorum que circa inclinatam speram accidunt principaliora rursus ut est maxime facile edocere. Et hic ergo quod quidem universaliter oportet prelibari, hoc est quoniam terra in iiii divisa cetartimoria cetartimoria] tetartimoria V₂F₁ facta ab eo qui secundum equinoctialem circulum et uno eorum qui per polos ipsius describuntur, eiusque penes nos habitabilis magnitudo sub altero borealium ad proximum continetur. Hoc autem maxime fiet manifestum in latitudine quidem, idest a meridie ad arctos transitu, eo quod ubique in equinoctiis facte gnomonum meridiales umbre ad arctos semper fatiunt nutus et nunquam ad meridiem; in longitudine vero, idest eo qui ab oriente in occidente occidente] occidentem V₂F₁ transitu, eo quod eedem eclipses maximeque lunares apud eos qui in ultimis orientalibus eius partibus que penes nos habitabilis et apud eos qui in extremis eiusdem occidentalibus habitant eodem tempore vise non pluribus quam xii prius posteriusve appareant horis equinoctialibus, ipso secundum longitudinem terre tetartimorio xii horarum spatium continente, quoniam ab uno eorum qui equinoctialis semicirculorum determinatur. Eorum vero qui qui] que V₂F₁ particulariter oportet considerari precipue utique quis propositum ad negotium putet attinere ea que secundum unumquemque magis borealium equinoctiali circulo parallilorum ipsi et subiacentibus habitationibus secundum principaliora accidunt ydiomatum. Hec autem sunt quantum poli primi motus ab orizonte vel quantum punctus qui ad verticem ab equinoctiali circulo in meridionali distet, et quibus Sol in vertice fiat, et quando et quotiens hoc contingat, que etiam proportiones equinoctialium et tropicarum in meridiebus umbrarum ad gnomones, quante quoque maximarum vel minimarum dierum ad equinoctiales differentie et quecumque alia circa particulares auxomioses nictimerorum, amplius autem et circa coortus et occasus equinoctialis et obliqui circuli et circa ydiomata quantitatesque factorum a principalioribus et maximis circulis angulorum superaccidentia considerantur.

⟨II.2⟩ Quomodo, data maxime diei quantitate, deprehense ab equinoctiali et obliquo circulo orizontis periferie dantur

Preiacet universaliter exemplorum causa per Rodum scriptus equidistans equinoctiali circulus, ubi elevatio quidem poli graduum est xxxvi, maxima vero dies horarum est equinoctium equinoctium] equinoctialium V₂F₁ xiiii et dimidii, sitque meridianus quidem circulus ABGD, orizontis vero orientalis semicirculus BED et equinoctiali quidem circuli semicirculus similiter AEG, australis vero ipsius polus Z, subiaceat etiam eius qui per media animalia circuli yemale tropicum punctum oriens per N, describaturque per Z, N puncta maximi circuli tetartimorion ZNT. Detur ergo primum maxime diei quantitas, proponaturque EN orizontis periferiam invenire. Quoniam ergo spere conversio circa equinoctialis polos completur, manifestum quoniam tempore in eodem N punctus et T in ABGD meridiano erit, et quod ab ortu quidem usque super terram mensuranisim N puncti tempus idest quod sub TA equinoctialis periferia continetur, quod autem a sub terra mesuranisi ad ortum usque idest quod sub GT. Consequens vero est quoniam et diei tempus quod duplum est contenti sub TA, noctis vero quod duplum est sub GT contenti. Quoniam quidem et seorsum et que super terram et que sub terra portiones equidistantium equinoctiali circulorum omnium in duo equa a meridano dividuntur. Propter hoc autem et ET quidem periferia medietas existens differentie minime seu maxime diei ad equinoctialem unius quidem hore et quarte fiet in parallilo subiacenti, temporum vero manifestum quoniam xviii xlv minutorum, reliqua vero in tetartimorio periferia TA eorumdem lxxi xv minutorum. Quoniam ergo secundum eadem premonstratis in duas maximorum circulorum periferias AE et AZ due scripte sunt EB et ZT secantes seinvicem ad punctum N, eius que sub dupla periferie TA ad eam que sub dupla periferie EA proportio composita est ex proportione eius que sub dupla periferie NB ad eam que sub dupla periferie BE et proportione eius que sub dupla periferie TZ ad eam que sub dupla perferie ZN. Sed TA quidem periferie dupla graduum est cxlii xxx minutorum et que sub ea recta portionum cxiii xxxvii minutorum liiii secundorum, que vero perferie AE graduum clxxx et que sub ea recta portionum cxx, et rursus TZ quidem periferie dupla graduum clxxx et que sub ipsa recta portionum cxx. Que vero periferie ZN graduum cxxxii xvii minutorum xx secundorum et que sub ipsa recta portionum cviiii xliiii minutorum liii secundorum. Si ergo a proportione eorum que sunt cxiii xxxvii minutorum liiii secundorum ad cxx abstulerimus proportionem eorum que sunt cxx ad cix xliiii minuta liii secunda, relinquetur nobis proportio eius que sub dupla periferie NB ad eam que sub dupla periferie BE, que eorum que sunt ciii lv xxvi ad cxx. Est autem que sub dupla periferie BE, quoniam tetartimorii contingit, portionum cxx, et ea ergo que sub dupla periferie NB eorumdem est ciii lv minutorum xxvi secundorum. Quare et dupla quidem periferie BN erunt erunt] erit V₂F₁ graduum cxx ad proximum, ipsa vero BN eorumdem lx, et reliqua ergo NE talium relinquetur xxx, qualium est orizon ccclx.

⟨II.3⟩ Quomodo, eisdem subiacentibus, elevatio poli detur et e converso

Proponatur ergo rursus, hoc dato, et elevationem poli sumere, idest BZ meridiani periferiam. Fit ergo in eadem descriptione proportio eius que sub dupla periferie ET ad eam que sub dupla periferie TA conposita ex proportione eiusque sub dupla periferie EN ad eam que sub dupla periferie NB et proportione eius que sub dupla perferie BZ ad eam que sub dupla periferie ZA. At dupla quidem periferie ET graduum est xxxvii xxx minutorum et que sub ipsa recta portionum xxxviii xxxiiii minutorum xxii secundorum. Dupla vero perferie TA graduum cxlii xxx minutorum; estque sub ea recta portionum cxiii xxxvii liiii et rursum dupla quidem periferie EN graduum est lx et que sub ipsa recta portionum lx, dupla vero periferie NB graduum cxx et que sub ea recta portionum ciii lv minutorum xxiii secundorum. Si ergo a proportione eorum que sunt xxxviii portionum xxxiiii minutorum xxii secundorum ad cxiii portiones xxxvii minuta liiii secunda abstulerimus proportionem eorum que sunt lx ad ciii porciones lv minuta xxiii secunda, relinquitur proportio eius que sub dupla periferie BZ ad eam que sub dupla periferie ZA, que est eorum que sunt lxx portionum xxxiii minutorum ad proximum ad cxx; et est rursum que sub dupla periferie ZA portionum cxx et ea ergo que sub dupla periferie BZ eorumdem est lxx portionum xxxiii minutorum. Quare dupla quidem BZ periferie erunt graduum lxxii i minuti, ea vero que est BZ eorumdem xxxvi ad proximum.

Rursum in eadem descriptione cum sub] add. del. dupla V₃ e contrario BZ quidem periferia elevationis poli detur observata graduum xxxvi, proponatur autem invenire differentia differentia] differentiam V₂F₁ maxime vel minime diei ad equinoctialem, idest duplam periferie ET. Fit ergo propter eadem proportio eius que sub dupla periferie ZB ad eam que sub dupla periferie BA composita ex proportione eius que sub dupla periferie ZN ad eam que sub dupla periferie NT et proportione eius que sub dupla periferie TE ad em que sub dupla periferie EA. At dupla quidem periferie ZB graduum est lxxii et que sub ea recta portionum lxx xxxii minutorum iii secundorum, dupla vero periferie BA graduum cviii, et que sub ea recta portionum xcvii iiii minutorum lvi secundorum; et rursum dupla quidem periferie ZN graduum est cxxxii xvii minutorum xx secundorum et que sub ea recta portionum cix xliiii minutorum liii secundorum, dupla vero perferie NT graduum xlvii xlii minutorum xl secundorum et que sub ea recta portionum xlviii xxxi minutorum lv lv] corr. ex liii V₃ secundorum. Si ergo a proportione eorum que sunt lxx portionum xxxii minutorum iii secundorum ad xcvii portiones iiii minuta lvi secunda abstulerimus proportionem eorum que sunt cix portionum xliiii minutorum liii secundorum ad xlviii portiones xxxi minuta lv secunda, relinquetur proportio eius nobis que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EA, que eorum que sunt xxxi portionum xv xv] xl V₂ minutorum xxiii secundorum ad xcvii iiii lvi. Et quoniam eadem proportio est ad proximum et eorum que sunt xxxviii portionum xxxiiii minutorum ad cxx portiones, ea vero que sub dupla periferie EA portionum est cxx, colligiturque colligiturque] colligitur et que V₂F₁ sub dupla periferie ET eorumdem xxxviii xxxiiii minutorum. Quare et dupla periferie ET graduum quidem erit xxxvii xxx ad proximum, horarum vero equinoctialium ii et dimidii. Quod oportet demonstrare.

Secundum eadem vero dabitur et EN orizontis periferia, eo quod et eius que sub dupla perferie ZA ad eam que sub dupla periferie ZA … periferie] iter. V₃ iter. del. F₁ AB proportio detur componi ex proportione eius que sub dupla periferie ZT ad eam que sub dupla periferie TN et proportione eius que sub dupla periferie NE ad eam que sub dupla periferie EB. Quare, et EB data, relinquetur et eius que est EN magnitudo. Manifestum autem quoniam, licet vero vero] non V₂ hyemale tropicum punctum ponamus N, sed aliarum aliquam eius qui per media animalia circuli portionum, secundum eadem rursus periferiarum ET et EN dabitur utraque, et preexpositis nobis per obliquationis canonium deprehensis meridiani periferiis ab unaquaque porcione eius qui per media animalia circuli et equinoctialis, hoc est simillibus NT periferie, et consequente quidem inde sub eisdem parallilis factas portiones eius qui per media, hoc est equaliter ab eodem tropico distare distare] distans V₂ puncto, easdem et in eisdem partibus ab equinoctiali facere orizontis sectiones et nictimerorum quantitates equales utrasque utrisque simillium, coostenso vero et sub equalibus parallilis factas, hoc est equaliter distantes ab eodem equinoctiali puncto, et orizontis periferias equales utrimque equinoctiali facere et nictimerorum permutatim equales dissimillium quantitates. Si enim in exposita descriptione supposuerimus et K punctum secundum quod secat BED orizontis semicirculum ille qui equalis et parallilos per N scripto, et compleverimus NL et KM parallilorum portiones permutatim, et equales manifestum quoniam factas et per K polumque borealem I tetartimorion IKX descripserimus, equales quidem erunt TA quidem periferia XG periferie, eo quod utraque utrique earum que sunt LN et MK simillis fit, relinquetur autem et reliqua ET et reliqua EX equalis. Fient autem et duorum simillium trilaterorum que sunt ENT et EKX duo quidem latera duobus equalia, ET quidem ei quod est EX, at vero NT ei quod est KX. Rectus vero uterque eorum qui ad T et X angulorum, quare et basis EN basi KE fit equalis.

⟨II.4⟩ Quomodo investigandum quibus et quando et quotiens Sol ad verticem fit

Promptum vero his datis est coinvestigare quibus et quando et quotiens Sol ad verticem fit. Cum sit inde manifestum quoniam habitantibus quidem sub plus distantibus ab equinoctiali parallilis quam totius distantie estivi tropici puncti gradibus xxiii li minutis xx secundis ad proximum nullatenus Sol ad verticem fit, eis autem qui sub equidistantibus habitant semel in ipsa estiva conversione manifestum quoniam fit ad verticem, eis vero que sub minus distantibus bis, – que autem promptum facit canonii obliquationis expositio. Quot enim gradibus parallilus inquisitus distiterit ab equinoctiali eorum scilicet qui intra tropicum punctum, totidem in secundas selidiorum partes inferentes, adiacentes ipsis ex tetartimorio gradus in primis partibus selidiorum habebimus quot ab utroque punctorum Sol equinoctialium distans, ut ad estivum tropicum eis qui super super] sub V₂F₁ illo exposito parallilo fit ad verticem.

⟨II.5⟩ Quomodo ab eis que exposita sunt proportiones gnomonum ad equinoctiales et tropicas in meridiebus umbras sumantur

Quoniam vero et proposite umbrarum ad gnomonas gnomonas] corr. ex gnomonias V₃ proportiones simplicius sumuntur, datis semel ea que inter tropica periferia et ea que inter orizontem et polos, ita utique fiet manifestum. Esto enim meridianus circulus ABGD circa centrum E, positoque quod ad verticem puncto A, protrahatur AEG diametros cui cui] ciii V₃ ad rectos ducatur angulos in meridiani epipedo GKZN, equidistans manifestum quoniam facta a a] om. V₂F₁ communi orizontis et meridiani sectioni. Et quoniam tota terra puncti ac centri ad sensum et et] om. V₂F₁ rationem habet ad Solis speram, quare minime differt E centrum a gnomonis vertice, intelligatur quidem gnomon GE, recta vero GKZN in quam in meridiebus umbrarum ex creata ex creata] extrema V₂ cadatur, protrahanturque per E equinoctialis et tropici radiique meridiani. Esto vero equinoctialis quidem BEDZ, estivus vero IETK, yemalis autem LEMN, quare et GK quidem estivam fieri umbram, GZ vero equinoctialem, GN hybernam. Quoniam ergo GD quidem periferia, cui equale est poli borealis ab orizonte elevatio in climate subiacenti, talium est xxxvi, qualium est ABG meridianus ccclx, utraque vero earum que sunt TD et DM eorumdem xxiii li minutorum xx, manifestum quoniam et reliqua quidem GT periferia, portionum erunt erunt] erit V₂ xii viii minutorum xl secundorum, tota vero GM eorumdem lix li minutorum xx secundorum. Quare et eorum qui sub ipsis angulorum, qualium quidem sunt quatuor recti ccclx, talium KEG quidem angulus xii portionum viii minutorum xl secundorum, angulus vero ZEG eorumdem xxxvi, at vero NEG similiter lix portionum li minutorum xx secundorum. Qualium vero duo recti ccclx, talium angulus quidem KEG xxiiii xvii minutorum xx secundorum, at vero ZEG eorumdem lxxii, angulus autem NEG similiter cxix xlii minutorum xl secundorum. Et eorum ergo qui circa KEG et ZEG et NEG trigona orthogonia circuli describuntur que quidem super GK rectam periferia graduum est xxiiii xvii minutorum xx secundorum, et que super GE relictaque in semicirculo eorumdem clv xlii minutorum xl secundorum, que vero super GZ graduum lxxii et que super GE similiter eorumdem cviii, que autem super GN graduum cxix xlii minutorum xl secundorum, et que super GE reliquorum rursus in semicirculo lx xvii minutorum xx secundorum. Quare et earum que sub ipsis rectarum GE colligitur, qualium quidem GK est xxv xiiii minutorum xliii, talium cxvii xviii minutorum lix secundorum; qualium vero GZ rursus lxx xxxii minutorum iiii secundorum, talium xcvii iiii minutorum lvi secundorum; qualium autem GN similiter ciii xlvi minutorum xvi secundorum, talium lx xv minutorum xlii secundorum; et qualium ergo GE gnomon lx, talium et GK estiva umbra colligetur xii lv minutorum, equinoctialis autem GZ xliii xxxvi, hyemalis vero GN ciii xx minutorum ad proximum.

Manifestum autem inde quoniam et e converso, etsi due sole proportiones dentur qualescumque ab expositis tribus GE gnomonis ad umbras, et poli elevacio dabitur et que in tropica, quoniam quidem, et duobus datis quibuslibet ad E angulis, datur et reliquus, eo quod equales sint ED ED] TD V₂ et DM periferie. Propter eam tamen que circa ipsas observationes diligentiam, illa quidem indubitanter utique sumetur secundum quem demonstravimus modum. Expositarum autem umbrarum ad gnomonas proportiones non similiter, eo quod equinoctialium quidem tempus indeterminatum quodam modo secundum seipsum est, hyemalium vero verticum extrema difficile congnosci congnosci] discerni V₂ agnosci F₁ possunt.

⟨II.6⟩ Expositio eorum que secundum ydiomatum parallilum

Eodem autem modo his et in aliis parallilis sumentes universalia expositorum ydiomatum, quarta unius hore equinoctialis utpote suffitienti differentias inclinationum adaugentes, faciemus universalem eorum expositionem ante eam que particulariter superaccidentium. Principium vero ab eo qui sub ipsum equinoctialem parallilo faciemus. Qui determinat quidem ad proximum eam que ad meridiem totius partem tetartimorii eius que penes nos habitabilis. Solus vero habet dies et noctes universas equales invicem. Omnes enim qui in spera circulo parallili equinoctiali ibi tantum in duo equa ab orizonte dividuntur, quare que super terram eorum portiones et similes invicem et equales eis que super terra per singulos, hoc in nulla inclinationum contingente, sed solo quidem rursus equinoctiali ubique et in duo equa ab orizonte diviso et dies qui secundum ipsum noctibus equales ad sensum fatiente, quoniam et ipse maximorum est circulorum, reliquis vero in non equalia divisis, et secundum nostre habitationis inclinationem, australioribus quidem ipso et eas que super terram portiones eis que sub terra minores et dies noctibus breviores fatientibus, borealioribus vero e converso et que super terram portiones maiores et dies longiores. Est autem et amphischios iste parallilus. Bis enim sub eo existentibus fit Sol ad verticem secundum equinoctialis et obliqui circuli sectiones, quare tunc tantum gnomones in mensuranisibus mensuranisibus] mesuranisibus V₂F₁ aschii fiunt. Sole vero borealem quidem semicirculum perambulante, gnomonum umbre declinant ad meridiem, australem vero ad arctas. arctas] arctos V₂F₁ Et est hic qualium gnomon lx, talium utraque et estiva umbra et hiberna xxvi et dimidii ad proximum. Dicimus autem universaliter umbras que in meridiebus fiunt et ut nullo cura digni differentes, eo quod non omnino in ipsis meridiebus et equinoctia et conversiones compleantur. Eis autem qui sub equinoctiali ad verticem quidem fiunt astrorum quecumque in ipso equinoctiali circumlationes periforas faciunt, cuncta vero et orientia apparent et occidentia, spere polis in ipso orizonte existentibus nullumque circulum facientibus, neque parallilorum semper apparentem semper ne semper ne] semperve V₂ disparentem, neque meridianorum colurum. Habitationis ante ante] autem V₂F₁ esse quidem sub equinoctiali contingere aiunt, ut valde eucrato, eo quod Sol eis que ad verticem punctis minime immoretur, veloci facta circa equinoctiales portiones secundum latitudinem recessione, unde utique estas eucrata sit, neque in conversionibus multum distat ab eo quod ad verticem, quare neque hyemem validam facit. Que vero sint habitationes, non utique habemus persuasibiliter dicere. Inpenetrabiles enim sunt usque in presens eis qui in ea que penes nos habitabili et oppinionem magis utique quis quam hystoriam arbitretur ea que dicuntur de ipsis. Propria ergo eius quidem qui sub equinoctiali parallili, concolligenti dicere, hec utique erunt. De reliquis vero, a quibus et habitationes estimant aliqui comprehendi, adnectemus illa communius, ne in unoquoque dicamus idem, quoniam videlicet eorum qui deinceps uniuscuiusque in verticem fiunt astrorum, quecumque equali periferia distiterint ab equinoctiali in eo qui per polos ipsius circulo, qua et ipse subiectus parallilus distat, et quoniam apparens quidem semper fit is circulus qui polo quidem boreali polo equinoctialis, spatio vero poli elevatione describitur, stelleque sub isto deprehense semper apparentes, disparens vero semper circulus qui polo quidem australi, australi] add. polo V₂ spatio vero eodem scribitur et que in isto stelle semper disparentes.

Secundus vero vero] om. V₂F₁ fit parallilus, secundum quem maxima dies horarum est equinoctialium xii et quarte. Iste vero distat ab equinoctiali gradibus iiii et quarta et scribitur per Talbanen Talbanen] Taprobanen V₂ insulam. Est autem et iste amphischiorum, Sole rursum bis sub eo habitantibus facto ad verticem et gnomones in mensuranibus mensuranibus] mesuranisibus V₂F₁ aschios faciente, quando distat ab estiva conversione in utraque parte gradibus lxxix et dimidio. Quare, clix ipso perambulante, gnomonum umbre declinant in australia, reliquos autem cci, in borealia. Et est hic qualium gnomon lx, talium equinoctialis quidem umbra iiii iii xi, estiva vero xxi iii, hyemalis autem xxxii.

Tertius est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xii et dimidii, distatque iste ab equinoctiali gradibus viii xxv et describitur per Abalitum sinum. Est autem et amphischiorum iste, Sole bis his qui sub eo facto supra verticem et gnomonas in mesuranibus mesuranibus] mensuranisibus V₂F₁ aschios fatiente, quando ab estiva conversione distat in utraque parte gradibus lxix. Quare, cxxxviii quidem ipso perambulante, gnomonum umbre declinant ad meridiem, reliquos autem ccxxxii, ad arctos. Et est hic qualium gnomonum lx, talium quidem equinoctialis umbra viii et dimidii et tertie, estiva vero xvi dimidii iii, hyemalis autem xxxvii dimidii iii xv ii.

Quartus parallilus est, secundum quem fit longissima dies horarum equinoctialium xii dimidii et iiii^a, distatque iste ab equinoctiali gradibus xii et dimidio. Et scribitur per Adolitum Adolitum] Adoliticum V₂ calpum. Est vero et ipse amphischiorum, Sole rursum bis eis qui sub ipso facto in vertice gnomonasque in mesuranisibus fatiente aschios, quando conversione distat ab estiva in utraque parte gradibus lvii xii iii^a. Quare cxv iii^a ipso perambulante, gnomonum umbre declinant ad meridiem, reliquos autem ccxliiii xii ad arctos. Et est qualium gnomon lx, talium equinoctialis quidem umbra xiii iii^a, estiva vero xii, hyemalis autem xliiii dimidii vi^a.

Quintus est parallilus, secundum quem fit dies productissima horarum equinoctialium xiii, distatque iste ab equinoctiali gradibus xvi xxvii vel xxxvii et scribitur per Meroem insula. insula] insulam F₁ Est vero et ipse amphischiorum, Sole bis sub eo habitantibus facto ad verticem gnomonasque in mesuranisibus aschios faciente, quando distat ab estiva conversione in utraque parte gradibus xlv. Quare, xc quidem eo percurrente, gnomonum umbre declinant ad meridiem, reliquos vero cclxx, ad arctos. Et est hic qualium gnomon lx, talium equinoctialis quidem umbra xvii dimidii iiii^a, estiva vero vii et dimidii iiii^a, hyemalis autem li.

Sextus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xiii et quarte. Distat autem ab equinoctiali gradibus xx xiiii minutis describiturque per Anapaton. Est vero et ipse amphischiorum, Sole eis qui sub ipso bis facto supra verticem gnomonasque in meridiebus aschios faciente, quando conversione distat ab estiva in utraque parte gradibus xxxi. Quare, lxii quidem ipso perambulante, gnomonum umbre declinant ad meridiem, reliquos autem ccxcviii, ad arctos. Et est hic qualium gnomon lx, talium equinoctialis quidem umbra xxii vi^a, estiva vero iii dimidii iiii^a, hyemalis autem lviii vi^a.

Septimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xiii et dimidii distatque iste ab equinoctiali gradibus xxiii li minutorum. Scribiturque per Sienem. Primus vero est iste parallilus eorum qui eteroschii nominantur. Numquam enim sub eo habitantibus in meridiebus gnomonum umbre declinant ad meridiem, sed in ipsa quidem sola estiva conversione Sol eis fit ad verticem gnomonesque aschii conspitiuntur. Tantum enim distat ab equinoctiali, quantum et estivum tropicum punctum. Omni vero alio tempore gnomonum umbre declinant ad arctos. Et hic est qualium gnomon lx, talium equinoctialis quidem umbra xxvi et dimidii, hyemalis autem lxv dimidii iii^a, estiva vero aschios est. Sed et omnes isto borealiores parallili eum usque qui nostram deteriat habitabilem etheroschii sunt. Nunquam enim secundum ipsos gnomones in meridiebus neque aschii fiunt, neque umbras faciunt ad meridiem, sed semper ad arctos, eo quod numquam supra verticem Sol eis fiat.

Octavus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctalium xiii et dimidii iiii^a. Distat autem hic ab equinoctiali gradibus xxvii xii. Scribiturque per Ptholomaidem que in Thebaide, que et Mercurii vocatur. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra iii et dimidii, equinoctialis autem xxvi dimidii et iiii^a, hiemalis vero lxx iiii et vi^a.

Nonus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xiiii. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus xxx xxii minutis. Scribiturque per inferiorem provintiam Egipti. Et hic est qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra vi et dimidii iii^a, equinoctialis autem xxxv xii, hyberna vero lxxxiii xii.

Decimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xiiii iiii^a. Distat autem ab equinoctiali gradu gradu] gradibus V₂ xxxiii xviii scribiturque per Phenitiam mediam. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra x, equinoctialis autem xxxix et dimidii, hyemalis vero xciii et xii.

Undecimus est parallilus, secundum quem longissima dies horarum est equinoctialium xiiii et dimidii. Distat autem ab equinoctiali gradibus xxxvi et descibitur per Rodum. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xii et dimidii iii^a xii^a, equinoctialis autem xliii et dimidii, hyberna vero ciii ii^a.

Duodecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xiiii et dimidii et iiii^a. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus xxxviii xxxv, scribiturque per Smirnam. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xv iii ii, equinoctialis autem xlvii dimidii iii^a, hyberna vero cxiiii dimidii iii^a xii^a.

Tertiusdecimus est parallilus, secundum quem longissima dies fit horarum equinoctialium xv. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus xl lvi minutis et descibitur per Ellespontum. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xviii et dimidii, equinoctialis autem lii vi^a, hyberna hyberna] add. vero V₂ cxx dimidii iii^a.

Quartusdecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xv iiii^a, distat autem distat autem] distatque V₂F₁ iste ab equinoctali gradibus xliii iiii minutis, et describitur per Massaliam. Et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xx et dimidii et iii, equinoctialis autem lv dimidii iii^a xii^a, hyberna vero cxl iiii^a.

Quintusdecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xv et dimidii, distatque iste ab equinoctiali gradibus xlv et unius minuti et … minuti] xxx minutis V₂F₁ et describitur per medium Pontum, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxiii iiii^a, equinoctialis autem eorumdem lx, atque hyberna clv x iiii vel ii.

Sextusdecimus est parallilus, secundum quem fit longissima dies horarum equinoctialium xv et dimidii et iiii^a, distatque iste ab equinoctiali gradibus xlvi li et descibitur per fontes Histri fluminis, est hic que hic que] inv. V₂F₁ qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxv et dimidii, equinoctialis autem lxiii et dimidii iii^a xii^a, hiemalis clxxi iiii ii vi^a ii.

Septimusdecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvi. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus xlviii xxxii, scribiturque per emissiones Boristenis, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem xxvii et dimidii, equinoctialis autem lxvii et dimidii iii, atque hyberna clxxxviii et dimidii xii.

Octavusdecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvi iiii^a, distatque iste ab equinoctiali gradibus l. Et describitur per medium Meotidis paludis, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxix dimidii iii xii^a, equinoctialis autem lxxi iii, atque hyberna ccviii iii.

Nonusdecimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvi et dimidii. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus li dimidio vi^a, scribiturque per australissima Britannie, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxxi iii xii, equinoctialis autem lxxv iii xii, atque hyberna ccxxxix ccxxxix] ccxxix V₂ iii.

Vicessimus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvi dimidii iiii, distatque iste ab equinoctiali gradu gradu] gradibus V₂ lii l, et describitur per Reni emissiones, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem xxxii xxxii] xxxiii V₂ iii^a, equinoctialis autem lxxix xii, atque hyberna ccliii vi^a.

Vicessimus primus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvii. Distat autem iste ab equinoctiali gradibus liiii i. Scribiturque per Tanaidis emissiones, Estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxxiiii dimidii iii xii^a, equinoctialis autem lxxxii et dimidii, hyberna cclxxviii dimidii iiii^a.

Vicessimus secundus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvii iiii^a, distatque iste ab equinoctiali gradibus lv et describitur per Brigantium magne Britannie, Estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxxvi iiii^a, equinoctialis autem lxxxv iii, hyberna ccciiii dimidii.

Vicessimus tercius est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xvii dimidii, distatque iste ab equinoctiali gradibus lvi, et decribitur per medium Britannie magne, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxxvii iii, equinoctialis autem lxxxviii dimidii iii, hiberna vero cccxxxv et iiii^a.

Vicessimus quartus est parallilus, secundum quem fit longissima dies horarum equinoctialium xvii dimidii iii^e. Distat autem ab equinoctiali iste gradibus lvii, scribiturque hic per Catouractonium Britannie, et est hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xxxix iii, equinoctialis autem xcii iii x ii, hiberna vero ccclxxii x ii.

Vicessimus quintus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xviii, distatque iste ab equinoctiali gradu gradu] gradibus V₂ lviii, et describitur per autralia parve Britannie, estque hic qualium gnomon lx, talium estiva quidem umbra xlii x, equinoctialis autem xcvi, hyberna vero ccccxix xii.

Vicessimus sextus est parallilus, secundum quem fit maxima dies horarum equinoctialium xviii dimidii. Distat autem iste ab equinoctiali gradu gradu] gradibus V₂ lix et dimidio, scribiturque per media parve Britannie. Non sumus autem hic usi quarte horarum augmento, quod et continui iam fiant parallili et ellevacionum differentia nec unius totius gradus colligatur, quodque non similiter in nobis in nobis] inv. V₂F₁ amplius borealibus studium intendere intendere] impendere V₂F₁ competit, propter quod et umbrarum ad gnomonas proportiones, ut in segregatas segregatas] segregatis V₂F₁ locis, superfluum diximus apponere.

Ubi ergo maxima dies horarum est equinoctialium xix, ille parallilus distat ab equinoctiali gradibus lxi, scribitur quoque scribitur quoque] scribiturque V₂ per borealia parve Britannie.

Ubi vero maxima dies horarum est equinoctialium xix et dimidii, ille parallilus distat ab equinoctiali gradibus lxii et describitur per eas que Ebode insule appellantur.

Ubi vero longissima dies horarum est equinoctialium xx, ille parallilus distat ab equinoctiali gradibus lxiii et describitur per Thilem insulam.

Ubi autem maxima dies horarum est equinoctialium xxi, ille parallilus distat ab equinoctiali gradibus lxiiii et dimidio, scribiturque per Sciticas gentes ignotas.

Ubi vero maxima dies horarum est equinoctialium xxii, distat ille parallilus ab equinoctiali gradibus lxv et dimidio.

Ubi autem maxima dies horarum est equinoctialium xxiii, distat ille parallilus ab equinoctiali gradibus lxvi.

Ubi maxima dies horarum est equinoctialium est est​] om. V₂F₁ xxiiii, parallilus ille distat ab equinoctiali gradibus lxvi viii minutis xl secundis. Et est iste paraschiorum primus. In sola enim estiva conversione Sole ibi minime occidente, gnomonum umbre super omnes orizontis partes nutus faciunt. Estque hic estivus quod quod] quidem V₂F₁ tropicus parallilus semper apparens, tropicus autem parallilus disparens semper, eo quod ambo permutatim contingant orizontem. Fit vero et in obliquis quique per media animalia circulus idem orizonti, quando ipsius punctus vernalis oritur.

Si vero quis aliter contemplationis causa et de adhuc borealioribus inclinationibus quedam universaliorum siptomatum siptomatum] sinptomatum V₂F₁ inquisierit, inveniet utique ubi elevatio est graduum lxvii ad proximum, ibi non occidentes omnino ex utraque conversionis eius qui per media animalia circuli gradus xv. Quare maxima dies et umbrarum super omnes orizontis partes circumductio fere menstrua fit. Erunt enim et hec facile intelligibilia per expositum obliquationis canonium. Quot enim gradibus invenerimus ab equinoctiali distantem parallilum deprehendentem verbi gratia in utraque tropici puncti gradus xv, factum vero tunc vel semper apparentem vel semper disparentem, cum deprehensa eius qui per media animalia circuli portionem, totidem gradibus manifestum quoniam deficiet a tetartimorii porcionibus xc poli borealis elevatio.

Itaque et ubique ubique] ubi V₂F₁ quidem elevatio poli graduum est lxix et dimidii, ibi utique quis inveniet omnino non occidentes ex utraque parte estive conversionis gradus xxx. Quare fere mensibus ad proximum duobus et macxima dies et gnomones perischii fiunt.

Ubi vero elevatio poli graduum est lxxiii iii, ibi utique quis reperiet non occidentes in utraque estive conversionis gradus xlv. Quare et maxima dies et gnomones perischii tribus ad proximum mensibus extenduntur.

Ubi vero elevacio poli graduum est lxxviii iii, ibi utique quis inveniet non occidentes in utraque eiusdem conversionis gradus lx, quare iiii fere mensium et maximam diem et umbrarum circumductionem fieri.

Ubi elevatio poli graduum est lxxxiiii, ibi quis reperiet non occidentes in utraque parte estive conversionis gradus lxxv, quare v rursus mensium fere longissimam diem fieri et gnomonas tempore perischios equali.

Ubi totius tetartimorii gradibus xc borealis polus ab orizonte elevatur, ibi borealiorum quidem equinoctiali eius qui per media animalia semicirculus totus nunquam sub terra fit, australiorum autem totus nunquam super terram. Quare unam quidem diem cuiusque anni unaqueque nox utraque ad proximum vi mensium fit, gnomonesque semper perischii contingunt. Propria vero sunt et huiusmodi inclinationes inclinationes] inclinationis V₂ borealem polum super verticem fieri et equinoctialem et semper apparentis et semper disparentis, amplius quoque orizontis positionem deprehendere, super terram quidem facientem semper totum borealius ab eodem hemisperium, sub terra vero australius.

⟨II.7⟩ De his que inclinata inclinata] in inclinata F₁ spera eius qui per media animalia circuli et equinoctialis coascensionibus

Expositis ergo que universaliter circa inclinationes considerantur, deinceps utique erit demonstrare quomodo sumantur secundum unamquamque inclinationem et conscendentia conscendentia] coascendentia V₂F₁ equinoctialis tempora eius qui per media animalia circuli periferiis, a quibus et alia omnia particularium consequenter nobis docebuntur. Utemur vero nominibus animalium et in ipsis obliqui circuli dodecatimoriis, et quasi principiis ipsorum a tropicis et equinoctialibus punctis sumptis, quod quidem a vernali equinoctio ut in consequentia motus universorum primum dodecatimorium Arietem appellantes, secundum Taurum et in eis que deinceps eodem modo secundum traditum nobis ordinem xii animalium. Demonstrabimus vero primum quoniam equidistantes ab eodem equinoctiali puncto eius qui per media animalia circuli periferie equalibus semper equinoctialis circuli periferiis coascendunt. Esto enim meridianus quidem circulus ABGD, orizontis vero semicirculus BED, equinoctialis vero circuli AEG et obliqui circuli due portiones ZI et TK, ut utrumque quidem punctorum Z et T vernale ad equinoctium supponatur, equales vero in utraque ipsius deprehense periferie ZI et TK per K et I puncta oriantur: dico quoniam et utreque eis coasscendentes equinoctialis periferie, hoc est ZE et TE, equales sunt. Sint enim pro polis equinoctialis L et M puncta, scribanturque per ea maximorum portiones circulorum que sunt LEM et LT, ampliusque LK et ZM et MI. Quoniam ergo equalis est ZI ei que est TK et per K et I scripti parallili equidistant in utraque ab equinoctiali, quare et LK LK] add. quidem V₂ ei que est MI fit equalis, EK vero ei que est EI, equilatera ergo sunt LKT quidem ei quod est MIZ, at vero LEK ei quod est MEI. Et angulus ergo KLE quidem equalis est angulo IME, angulus vero KLT totus angulo IMZ toti, quare et reliquus ELT reliquo EMZ equalis erit, et basis ergo ET basi EZ equalis est. Quod oportet demonstrare.

Rursus vero demonstrabimus quoniam coasscendentes equinoctialis periferie equalibus et equidistantibus ab eodem tropico puncto eius qui per media animalia circuli coutreque coutrisque ipsarum eis que in recta spera ascensionibus sunt equales. Adiaceat enim meridianis meridianis] meridianus V₂F₁ ABGD et semicirculorum BED orizontis et AEG equinoctialis scribanturque due et equales et equidistantes ab hyberno puncto obliqui circuli periferie ZI et TI, puncto quidem Z autumpnali, T vero puncto vernali subiacente, quare I quidem punctus communis ortus ipsarum et orizontis, eo quod sub eodem parallilo circulo equinoctiali comprehendantur ZI et TI periferie. Coascendere vero manifestum TE quidem ei que est TE TE​] TI V₂F₁, at vero EZ ei que est ZI. Manifestum ergo fit inde quoniam et tota TEZ equalis est eis que in recta spera periferiarum ZI et TI ascensionibus. Si enim supponentes australem equinoctialis polum K punctum descripserimus per ipsum et I maximi circuli tetartimorium KIL equipotens ei qui in recta spera orizonti, fit rursum TI TI] TL V₂F₁ quidem coascendens ei que est TI in recta spera LZ vero coascendens ei que est ZI similiter, quoque et coutrasque TLZ coutrisque TEZ et equales esse et sub una eadem contineri que est IZ. IZ] TZ V₂F₁ Quod oportet ostendere.

Et factum est nobis manifestum per hec quoniam etsi in uno solo tetartimorio secundum unamquamque inclinationem particulares coascensiones ostenderimus, coostensas habebimus et eas que reliquorum trium tetartimoriorum. His ergo ita se habentibus, subiaceat rursus qui per Rodum parallilus, ubi maxima quidem dies horarum est equinoctialium xiiii et dimidii, borealis vero polus elevatus est ab orizonte gradibus xxxvi; sitque meridianus circulus ABGD et orizontis quidem similiter semicirculus BED, equinoctialis vero circuli AEG; eius autem qui per media animalia ZIT ita se habens, ut I subiaceat vernale punctum; sumptoque boreali polo equinoctialis ad K punctum, scribatur per ipsum et eam que ad L sectionem eius qui per media animalia circuli et orizontis maximi circuli tetartimorion KLM, proponatur vero, IL periferia data, coascendentem ipsi equinoctiali, hoc est IE, invenire, contineatque primum IL Arietis dodecatimorion. Quoniam ergo rursus in descriptione maximorum circulorum in duas EG et GK scripte sunt ED et KM secantes seinvicem ad L, proportio eius que sub dupla periferie KD ad eam que sub dupla periferie DG composita est ex proportione eius que sub dupla periferie KL ad eam que sub dupla periferie LM et proportione eius que sub dupla periferie ME ad eam que sub dupla periferie EG. At dupla quidem periferie KD graduum est lxxii et que sub ipsa recta portionum lxx xxx xxx] xxxii V₂F₁ minutorum iiii secundorum, que vero periferie GD graduum est cviii et que sub ea recta portionum xcvii iiii minutorum lvi secundorum; et rursus quidem dupla periferie KL graduum est clvi xli minutorum et que sub ea recta porcionum cxvii xxxi minutorum xv secundorum. Dupla vero periferie LM graduum xxiii xix minutorum lix secundorum et que sub ea recta porcionum xxiiii xv minutorum lvii secundorum. Si ergo a proportione eorum que sunt lxx xxxii minutorum iiii secundorum ad xcvii portiones iiii minuta lvi secunda abstulerimus proportionem eorum que sunt cxvii portionum xxxi minutorum xv secundorum ad xxiiii portiones xv minuta lvii secunda, relinquetur proportio eius que sub dupla periferie periferie] add. ME ad eam que sub dupla periferie V₂F₁ EG, que eorum que sunt xvii portionum o minuti v secundorum ad cxx portiones; et est que sub dupla periferie EG portionum cxx, que ergo sub dupla perferie ME eorumdem xviii portionum o minuti v secundorum. Quare et dupla quidem periferie ME graduum erit xvii ad proximum, ipsa vero ME eorumdem viii xxxviii xxviii. At quoniam tota IM periferia periferie IL in recta spera coascendit, predemonstratorum est graduum xxvii l, et reliqua ergo EI graduum est xix xxii xii. Et coostensum est quoniam et Piscium quidem dodecatimorium eisdem temporibus coascendit xix xii, utrumque vero et quod Virginis et quod chelarum in relictis ad in duplam eius que in recta spera ascensionem temporibus xxxvi xxviii minutis. Quod oportet demonstrare.

Rursum IL perferia contineat duum dodecatimoriorum Arietis et Tauri gradus lx per subiacentia ergo aliis manentibus eisdem, dupla quidem periferie KL graduum est est] om. V₂F₁ fit cxxxviii lix minutorum xlii secundorum et que sub ea recta portionum portionum] add. cxii xxiii lvi, dupla vero periferie LM graduum xli o xviii et que sub recta portionum V₂F₁ xlii et minuti xlviii secundorum. Si ergo rursum a proportione eorum que sunt lxx portionum xxxii minutorum iiii secundorum ad xviii portiones iiii minuta lvi secunda abstulerimus proportionem eorum que sunt cxii portionum xxiii minutorum lvi secundorum ad xlii portiones i minutum xlviii secunda, reliquetur proportio eius que sub dupla periferie ME ad eam que sub dupla periferie EG, que eorum que sunt xxxii xxxvi iiii ad cxx. Et est que sub dupla periferie EG portionum cxx, que ergo sub dupla periferie ME eorumdem est xxxii xxxvi iiii. Quare dupla quidem periferie ME graduum est xxxi xxxii ad proximum, ipsa vero ME eorumdem xv xlvi. Sed tota MI secundum eadem premonstrata est graduum lvii xliiii minutorum, et reliqua ergo IE graduum est xli lviii. Aries ergo et Taurus ascendunt ambo in temporibus xli lviii, quorum ostensus est Aries coascendens temporibus xix xii, et solum ergo Tauri dodecatimorium coascendit temporibus xxii xlvi. Propter eadem vero rursum et Aquarii quidem dodecatimorium coascendit temporibus xxii xlvi, utrumque vero quod scilicet Leonis et quod Scorpii defitientibus in duplam eius que in recta spera ascensionem temporibus xxxvii ii. Quoniam vero et maxima dies horarum est equinoctialium xiiii et dimidii, minima vero ix et dimidii, manifestum quoniam et qui quidem a Cancro usque ad Sagittarium semicirculus coascendet equinoctialis temporibus ccxvii xxx, que vero a Capricorno usque Geminos temporibus cxlii xxx. Quare utrumque et quidem eorum que ex utraque parte vernalis puncti tetartimoriorum coascendet temporibus lxxi xv, utrumque vero eorum que ex utraque autumpnalis puncti temporibus cviii xlv. Quare et reliquum quidem Geminorum et Egoceri dodecatimorium utrumque coascendet temporibus xxix xvii defitientibus in tetartimorii tempora lxxi xv. Reliquum vero Cancri et Sagittarii utrumque temporibus xxxv xv defitientibus rursum in huius tetartimorii tempora cviii xlv. Et manifestum quoniam eodem utique modo his sumemus et minorum portionum eius qui per media animalia circuli coortus.

Amplius autem commodius et artifitiosius ipsos investigabimus sic. Esto enim primum meridianus circulus ABGD, et orizontis quidem semicirculus BED, equinoctialis vero AEG, eius autem qui per media animalia ZEI, sectione E vernale ad punctum subiacente et assumpta in ipso ET periferia quecumque, scribatur TK portio eius qui per T parallili circulo equinoctiali; sumptoque L polo equinoctialis, per ipsum maximorum tetartimoria circulorum describantur LTM et LKN, amplius autem LE. Manifestum ergo inde est quoniam et ET proportio eius qui per media animalia in recta quidem spera EM periferie equinoctialis coascendit, in inclinata vero spera equali eius que est NM, quoniam KT quidem parallili periferia, cui coascendit ET porcio, similis est NM periferie equinoctialis. Similles autem periferie parallilorum in equalibus ubique temporibus ascendunt, et NE ergo periferia minor est que in inclinata spera ET porcionis ascensio ea que in recta spera. Et demonstratum est quoniam universaliter, si describantur quedam ita periferie maximorum circulorum, ut LTM et LKN, portio EN continebit differentiam earum que in recta et inclinata spera ascensionum deprehensarum eius qui per media animalia circuli periferiarum ab E et descripto per K parallilo. Quod oportet ostendere.

Hoc preconsiderato, adiaceat descriptio solorum meridiani et eorum que que] qui V₂F₁ orizontis et equinoctialis semicirculorum, ac per Z australem equinoctialis polum duo tetartimoria maximorum scribantur circulorum, sintque ZIT et ZKL. Subiaceat autem I quidem punctus communis per hybernum tropicum punctum scripti parallili et orizontis, at vero K communis descripti per principium verbi gratia Pistium vel et alterius alicuius tetartimorii portionum date. In duas ergo rursum maximorum circulorum periferias ZT et ET scripte sunt ZKL et EKI secantes seinvicem ad K. Et est proportio eius que sub dupla periferie TI ad eam que sub dupla periferiae ZI composita ex proportione eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EL et proportione eius que sub dupla periferie KL ad eam que sub dupla periferie KZ. Verum in omnibus inclinationibus dupla TI periferie eadem data est, est enim que inter tropica. Ac propter hoc et reliqua dupla scilicet IZ periferie et similiter in eisdem eius qui per media animalia portionibus et LK periferie dupla secundum omnes inclinationes eadem et data est per obliquationis canonium, et reliqua propter hoc rursum que dupla periferie KZ. Quare et eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EL reliquitur proportio eadem in omnibus inclinationibus in eisdem tetartimorii portionibus. Si ergo, his ita se habentibus, KL periferie differentiam per x portiones eius quod a vernali equinoctio ut ad hybernum tropicum punctum tetartimorii adauxerimus, tantas usque periferias divisione suffitienti secundum usum futurum, TI quidem periferie duplam habebimus semper graduum xlvii xlii xl et eam que sub ipsa rectam portionum xlviii xxxi lv, duplam vero periferie IZ graduum cxxxii xvii xx et eam que sub ipsa rectam portionum cix xliiii liii, eodemque modo et in decamiria quidem distante a vernali puncto ut ad hybernum tropicum periferia duplam quidem periferie KL graduum viii iii xvi et eam que sub ipsa rectam portionum viii xxv xxxix, duplam vero periferie KZ graduum clxxi lvi xliiii et eam que sub ipsa rectam portionum cxix xlii xiiii; in xx vero gradibus eodem modo distante periferia KL quidem periferie duplam graduum xv liiii vi et que sub ea rectam portionum xvi xxxv lvi, duplam vero periferie KZ graduum clxiiii v liiii et que sub ea rectam portionum cxviii l xlvii; in gradibus vero xxx distante periferia LK quidem periferie duplam graduum xxiii xix viii et eam que sub ipsa rectam portionum xxiiii xv lvi, duplam vero periferie KZ graduum clvi xli et que sub ipsa rectam portionum cxvii xxxiiii xv; in gradibus autem xl distante periferia duplam quidem periferie LK graduum xxx viii et que sub ea rectam porcionum xxxi xi xliiii, xliiii] xliii V₂F₁ eius vero que est KZ duplam graduum cxlix li lii et eam que sub ipsa rectam portionum cxv lii xix; in ea vero que gradibus l periferia distat LK quidem periferie duplam graduum xxxvi v xlvi et que sub ipsa rectam portionum xxxvii x xxxix, eius vero que est KZ duplam graduum cxliii liiii xiiii et que sub ipsa rectam portionum cxiiii v xliiii; in gradibus vero lx distante periferia LK quidem periferie duplam graduum xli o xviii et eam que sub ipsa rectam portionum xlii i xlviii, periferie vero KZ duplam graduum xxxviii lix xlii et eam que sub ipsa rectam portionum cxii xxiii lvii; in gradibus autem lxx distante periferia LK quidem periferie duplam graduum xliiii xl xxii et eam que sub ipsa rectam portionum xlv xxxvi xviii, duplam vero periferie KZ graduum cxxxv xix xxxviii et eam que sub ipsa rectam portionum cx lix xlvii.

In gradibus lxxx vero lxxx vero] inv.V₂ distante periferia LK quidem periferie duplam graduum xlvi lvi xxxii et que sub ipsa rectam portionum xlvii xl xl, dupla dupla] duplam V₂ vero periferie KZ cxxxiii iii xxviii et eam que sub ipsa rectam portionum cx iiii xvi. Ac propter preiacentia, si ab eius que sub dupla periferie TI ad eam que sub dupla periferie IZ proportione, hoc est ab ea que xlviii xxxi lv ad cix xliiii liii, abstulerimus unamquamque secundum decamiriam expositarum eius que sub dupla periferie LK ad eam que sub dupla periferie KZ proportionum, relinquetur nobis et eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EL proportio secundum omnes inclinationes eadem ei que lx in x quidem gradibus distante periferia, ut diximus, ad ix xxxiii, in ea vero que xx ad xviii lvii, in ea autem que xxx ad xxviii i, in ea vero que xl ad xxxvi xxxiii, in ea autem que l ad xliiii xii, in ea vero que lx ad l xliiii, in ea autem que lxx ad lv xlv, in ea vero que lxxx ad lviii lv. Manifestum autem inde quoniam et secundum unaquamque unaquamque] unamquamque V₂F₁ inclinationum datam habentes duplam periferie TE, quoniam quidem tot est graduum, quot temporibus minimam diem superat ea que equinoctialis et que sub ipsa rectam et proportionem huius ad duplam EL periferie habebimus et ipsa datam et duplam EL periferie. Cuius dimidiam, hoc est ipsam EL, continentem predictam differentiam subtrahentes ab eis que in recta spera exposite eius qui per media periferie ascensionibus, eam que secundum subiacens clima eiusdem periferie ascensionem inveniemus. Adiaceat enim exempli causa rursus inclinatio eius qui per Rodum parallili, secundum quem duplam quidem ET periferie graduum est xxxvii xxx, que vero sub ea recta portionum xxxviii et xxxiiii ad proximum. Quoniam ergo eadem proportio est lx ad xxxviii et xxxiiii, et ix xxxiii ad vi et viii, et xviii lvii ad xii et xi, et xxviii i ad xviii o, atque xxxvi et xxxiii ad xxiii et xxix, et xliiii et xii ad xxviii et xxv, et l et xliiii ad xxii xxiii] xxxiii V₂ et xxxvii, atque lv xlv ad xxxv lii, et lviii et lv ad xxxvii et lii, fit et que quidem sub dupla periferie EL periferie secundum unamquamque x graduum differentiarum expositarum proprie portionum, dimidia vero eius que sub ipsa periferie, hoc est ipsa EL, graduum in prima quidem decamiria ii et lvi, in secunda vero v l, in tertia vero viii et xxxviii, in quarta vero xi et xvii, in quinta xiii et xlii, in sexta xv et xlvi, in septima xvii et xxviii, in octava xviii et xxiiii, et in nona manifestum quoniam ipsorum xviii et xlv. Quare quoniam quidem et in recta spera que quidem usque primam decamiriam periferia coascendit temporibus ix et x, que vero usque secundam xviii et xxv, que vero usque tertiam xxvii et l, que vero usque quartam xxxvii et xxx, que vero usque quintam xlvii et xxviii, que autem usque sextam lvii et xliiii, que vero usque septimam lxviii et xviii, et que usque octavam lxxix et v, et que usque nonam totius tetartimorii temporibus xc. Manifestum quoniam, etsi subtraxerimus ab unaquaque expositarum in recta spera ascensionum propriam quantitatem eius que secundum EL periferiam differentie, habebimus et que in subiacenti climate earumdem ascensiones et coascendet que quidem usque primam decamiriam periferia reliquis temporibus vi et xiiii, que vero usque secundam xii et xxxv, que autem usque tertiam xix et xii, et que usque quartam xxvi et xiii, que usque quintam xxiii xxii] xxxii V₂F₁ xlvi, que usque sextam xli et lviii, que usque septimam l et liiii, que usque octavam lx et xli, que usque nonam, hoc est que totius tetartimorii, ex medietate magnitudinis diei collectis temporibus lxxi et xv. Et ipsarum ergo decamiriarum prima quidem coascendet temporibus vi et xiiii, secunda vero vi et xxi, tertia vi et xxxvii, quarta vii et i, quinta vii et xxxiii, sexta viii et xii, septima viii lvi, octava ix et xlvii, nona x et xxxiiii. Quibus demonstratis, inde erunt rursus per ante considerata coostense et reliquorum tetartimoriorum secundum consequentiam ascensiones. Eodem vero modo investigantes et aliorum parallilorum in unamquamque decamiriam ascensiones, in quotcumque eum qui penes singula usum attingere competit, et exponemus ipsas canonice ad eam que in reliqua methodum, incipientes quidem ab eo qui sub ipso equinoctiali, pertingentes vero usque fatientem horarum xvii maximam diem et augmentum eorum dimidiam horam fatientes, eo quod cura digna minime fiat in emiorium penes omala differentia. Preordinantes igitur circuli xxxvi decamirias, apponemus cuique secundum deinceps proprie asscensionis climatis tempora et ipsorum superaggregationem hoc modo.

⟨II.8⟩ Expositio earum que canoniorum secundum decamirias in unoquoque parallilo ascensionum

vacat.

⟨II.9⟩

Quoniam vero, ascensionum temporibus preiacenti modo nobis expositis, facile intelligibilia reliqua omnia fient partem in hanc pertinentium, et neque linearibus demonstrationibus ad singula ipsorum indigebimus, neque canonographya superflua, per has suppositas ephodos manifestum erit. Primum enim date diei vel noctis sinnitur sinnitur] sumatur V₂ sumitur F₁ quantitas, numeratis temporibus proprii climatis, in die quidem a solari gradu eum usque qui e diametro Solem respicit, ut in consequentia dodecatimoriorum, in nocte vero a Solis opposito in ipsum solarem gradum. Collectorum enim temporum xv sumentes, habebimus quot est horarum equinoctialium subiacens clima, xii vero sumentes, habebimus quot temporum est temporalis hora eiusdem spatii. Invenitur autem et promptius horaria quantitas, sumpta ex preiacente canonio ascensionum differentia adiacentium superagregationum, die quidem solari gradui, nocte vero diametrizanti et in eo qui sub equinoctiali parallilo et in eo qui subiacentis climitatis. climitatis] climatis V₂ Invente enim differentie sextam sumentes, et in boreali quidem semicirculo illatu illatu] illato V₂ gradu existente, adiunges adiunges] adiungentes V₂ ipsam equinoctialis unius hore xv temporibus, in australi vero, auferentes ab eisdem xv temporibus, faciemus multitudinem temporum subiacentis hore temporalis. Deinceps autem datas quidem temporales horas resolvimus in equinoctales, multiplicantes duricias duricias] diurnas V₂ duritias F₁ quidem in diei illius proprii climatis horaria tempora, nocturnas autem in ea que noctis. Collectorum enim xv sumentes, habebimus multitudinem horarum equinoctialium. E contrario vero datas equinoctiales horas resolvemus in temporales, multiplicantes ipsas in xv et partientes in subiacentia proprii diostimatis diostimatis] diastimatis V₂ horaria tempora.

Rursum dato nobis tempore et hora qualicumque temporali, primum quidem orientem tunc graduum graduum] gradum V₂ eius qui per media animalia circuli sumemus, multiplicantes multitudinem horarum, diei quidem earum que ab ortu Solis, noctis vero earum que ab occasu, in propria horaria tempora. Collectum enim numerum dirigemus diei quidem a solari gradu, noctis vero a diametrizante, ut in consequentia animalium, secundum subiacentis climatis ascensiones, et in quemcumque inciderit gradum numerus, illum dicemus tunc oriri. Si vero medium tenentem celum super terram voluerimus sumere, temporales horas semper que a meridie preterita usque data multiplicantes in propria horaria tempora, factum numerum dirigemus a solari gradu in consequentia secundum ea ea] eas V₂ que in recta spera ascensiones, et in quemcumque ceciderit gradum numerus, ille tunc super terram celum medium tenet. Similiter aut ab oriente quidem gradu celum medium tenentem super terram sumemus, contemplantes orientem orientem] orienti V₂ adiacentem superagregationis numerum in proprii climatis canonio. Aufferentes enim ab ipso semper tetartimorii tempora xc, adiacentem numero gradum ex superagregatione eius que in recta spera selidii tunc super terram celum medium tenentem inveniemus, e contrario vero ab eo quod super terram celum medium tenet orientem rursum sumemus, considerantes celum tenenti medium gradui adiacentem superagregationis numerum recte spere selidio. Apponentes enim ipsi semper rursus eadem xc tempora, intuebimur ex superagregatione subiacentis climatis, quamvis quamvis] quis V₂ gradus adiacet numero, et cum cum] eum V₂ tunc orientem inveniemus. Manifestum autem et quoniam sub eodem quidem meridiano habitantibus Sol equalibus equinoctialibus horis abstat a meridie vel mesonictio, eum eum] eis V₂F₁ vero qui minime ab eodem meridiano tot equinoctialibus temporibus differt, quot utique gradibus meridianus a meridiano penes utrosque distat.

⟨II.10⟩

Relique Relique] reliquo V₂F₁ vero existente in subiacentem speculationem de angulis facere rationem, dico vero ad eum qui per media animalia circulum factis, prelibandum quoniam rectum angulum sub maximis circulis diximus contineri, quando, poli poli] polo V₂F₁ communi sectione circulorum et spectio spectio] spatio V₂ quolibet scripto circulo, deprehensa ipsius periferia sub angulum continentibus portionibus tetartimoriorum tetartimoriorum] tetartimorium V₂ scripti circuli facit, et universaliter quoniam quam utique habet proportionem deprehensa periferia ad scriptum circulum secundum quem diximus modum, eam habet proportionem contentus angulus sub inclinatione eppipedorum, ad quatuor rectos. Quare quoniam quidem perimetrum supposuimus portionum ccclx, quot utique invenietur portionum deprehensa periferia, tot erunt erunt] erit V₂F₁ et subtendens ipsam angulus, qualium unus rectus xc. Ad reliquum reliquum] obliquum V₂ autem circulum factorum angulorum maxime utiles ad subiacentem specculationem illi sunt qui sub sectione ipsius et meridiani continentur et qui sub sectione ipsius et et] add. orizontis secundum unamquamque et similiter qui sub sectione ipsius et V₂ per polos orizontis scripti maximi circuli, coostensis eisdem angulis et deprehensis huius circuli periferiis sub sectione et polo orizontis, hoc est eo eo] add. quod V₂F₁ ad vertice puncto. Singula enim expositorum demonstrata et ad speculationem ipsam suffitientissimum habet habet] habent V₂ locum et ad ea que circa permutationes Lune inquiruntur maxime conferrunt plurimum, nequaquam huius huius] huiusmodi V₂ conceptione potente precedere absque illorum preconceptione. Quoniam vero et quatuor existentibus angulis contentis sub duorum circulorum sectione, hoc est eius qui per media animalia et unius ei complacitorum, de uno vero secundum portionem similli sermonem facere deberemus. Prediffiniendum quoniam universaliter duorum angulorum qui circa consequentem comuni sectioni circulorum periferia periferia] periferiam V₂ eius qui per media animalia eum qui ab arctis subaudiendus, subaudiendus] subaudiendum V₂ quare accidentia et quantitates demonstrandas esse ita se habentibus angulis. Simplitiori vero demonstratione existente ad meridianum circulum consideratorum obliqui angulorum, ab his incipiemus.

Demonstrabimus primum quoniam equidistantia ab eodem equinoctiali puncto eius qui per media animalia circuli puncta expositos angulos equales alternis fatiunt. Esto enim equinoctialis quidem circuli periferia ABG, eius vero qui per media animalia DBE, polus autem equinoctialis Z punctum et, assumptis equalibus periferiis BL et BT in utrasque B puncti equinoctialis, scribantur per Z polum et I, T puncta meridianorum circulorum periferie et ZKI et ZTL. Dico quoniam equalis est RIB RIB] KIB V₂ angulus angulo ZTE. Et est inde manifestum: equiangulum enim fit BIR BIR] BIK V₂F₁ trilaterum ei quod est BIL, quoniam tria latera tribus lateribus equalia habent singula, IB quidem ei quod est BT, IR IR] IK V₂F₁ vero ei quod est TL, et BK ei quod est BL. Demonstrata enim sunt huius omnia in eis que ante et angulus ergo RIB RIB] KIB V₂F₁ add. angulo BTI (BTL F₁), hoc est ei qui est ZTE, est equalis. Quod oportebat ostendere V₂F₁

Rursus demonstrandum quoniam eque distantium eque … distantium] corr. ex eque distandum V₃ equidistancium V₂ equidistantium F₁ punctorum eius qui per media animalia circuli ab eodem tropico puncto ad meridianum facti anguli ambo simul duobus rectis sint equales. Esto enim eius qui per media animalia circuli periferia ABG, ABG] add. B V₂ subiacente tropico puncto et assumptis in utrasque eius periferiis equalibus BD et BE, scribantur per D et E puncta et Z polum equinoctialem meridianorum circulorum periferie ZB ZB] ZD V₂F₁ et ZE; dico quoniam ZBB ZBB] ZDB V₂F₁ angulus et ZEG ambo simul duobus rectis sint equales. Est autem et hoc manifestum inde: quoniam enim D et E puncta equidistant ab eodem tropico puncto, equalis est DZ periferia periferia] add. ei V₂F₁ que est ZE et angulus ergo ZDB ZDB] add. angulo ZEB equalis est. Verum ZEB et V₂ cum cum] om. V₂ ZEG duobus rectis equales sunt. Quod oportebat ostendere.

His preconsideratis, esto meridianus quidem circulus ABGD, eius autem qui per media animalia semicirculus AEG, puncto A subiacente hiberno tropico, atque polo A, spatio vero tetragoni latere scribatur ABD ABD] BED V₂ semicirculus. Quoniam ergo ABGD meridianus et per eius qui est ABG ABG] AEG V₂ polos et per eius qui est BED scriptus est, tetartimorii ED periferia. Rectus est ergo DAE angulus, rectus autem premoncrate premoncrate] per premonstrata V₂F₁ et sub estivo tropico puncto factus. Quare oportebat ostendere.

Rursus esto esto] add. meridianus V₂F₁ quidem circulus ABGD, equinoctialis vero semicirculus AEG, et scribatur eius qui per media animalia AZG semicirculus ita, ut A punctum sit autupnale equinoctiale, poloque A spatioque tetragoni latere scribatur BZED semicirculus. Propter eadem ergo, quoniam ABGD et per eius qui est AEG et per eius qui est BED polo polo] polos V₂F₁ scriptus est, tetartimorii ZAZ ZAZ] et AZ V₂F₁ et ED. Quare et Z quidem punctum erunt erunt] erit V₂ hibernum tropicum, periferia vero ZE demonstratorium demonstratorium] demonstratorum V₂ graduum xxiii et li ad proximum. Et tota ergo ZED quidem periferia graduum est cxiii et li, angulus autem DAZ talium cxiii et li, qualium est unus rectus xc. Premonstrata Premonstrata] Propter premonstrata V₂ vero rursum et qui sub vernali vernali] unali V₃ equinoctiali puncto fit angulus reliquorum in duos rectos erunt erunt] erit V₂ graduum lxvi xi xi] ix V₂.

Rursus esto meridianus quidem circulus ABGD, equinoctialis quidem semicirculus AEG, eius vero qui per media animalia BZD, ut Z quidem punctum subiaceat autumpnale, periferia autem BZ primum unius dodecatimorii eius, scilicet quod Virginis, et B punctum principium manifestum quoniam Virginis. Polo autem rursus B, spatio vero tetragoni latere scribatur ITR ITR] ITEK V₂ semicirculus et at iaceat at iaceat] adiaceat V₂ RBT RBT] KBT V₂ angulum invenire. Quoniam ergo ABGD meridianus et per eius qui est AEG et per eius qui est IER IER] IEK V₂F₁ polos scriptus est, tetartimorii quidem fit unaquaque BL BL] BI V₂ et BT et SI SI] ei V₂ EI F₁ periferiarum. Propter descriptionem vero proportio eius que sub dupla periferiae BA ad eam que sub dupla periferie AI composita est ex proportione eius que sub dupla periferie BZ ad eam que sub dupla periferie TZ et proportione eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EI. Sed dupla quidem eius BA propter premonstrata graduum est xxiii, et que sub ipsa recta portionum xxiiii et xvi, dupla vero eius que est AI graduum clvi et xl, et que sub ea recta portionum cxvii et xxxi, et rursum quidem dupla eius que est ZB graduum lx, et que sub ea recta portionum lx, dupla eius que est ZT graduum cxx, et que sub ea recta portionum ciii et lv et xxiii. Si ergo rursum a proportione eorum que sunt xxiiii et xvi ad cxvii et xxxi dempserimus proportione lx ad ciii et lv xxiii, relinquetur proportio eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EI, que xlii et lviii ad proximum ad cxx, et est que sub dupla periferie EI portionum cxx, et ea ergo que sub dupla periferie TE eorumdem est xlii et lviii. Quare et dupla quidem periferie TE graduum est xlii ad proximum, ipsa vero TE eorumdem xxi, et tota ergo TER TER] TEK V₂F₁ quidem et ipsa et RBT RBT] KBT V₂F₁ angulus graduum cxi, propter preostensa vero et sub principio quidem Scorpii factus angulus equalium erunt erunt] erit V₂ graduum cxi, utrumque autem eorum que sub principio Tauri et principio Piscium reliquorum in duos rectos graduum lxix. Quod oportebat ostendere.

Rursum in eadem descriptione ZB periferia subiaceat duorum dodecatimorum, dodecatimorum] dodecatimoriorum V₂ ut punctus B principium sit Leonis, eisdem subiacentibus, dupla quidem eius que est BA graduum fit xli et que sub ea recta portionum xlii ii, dupla vero periferie AI graduum cxxxix et que sub ea recta portionum cxii xxiiii, et rursum quidem dupla periferie ZB graduum cxx et que sub ea recta portionum ciii lv et xxiii, dupla vero periferie ZT graduum lx et que sub ea recta portionum lx. Si ergo rursum a proportione eorum que sunt xlii et ii ad cxii et xxiiii dempserimus proportionem eorum que sunt ciii et lv xxiii ad lx, relinquetur proportio eius que sub dupla periferie TE ad eam que sub dupla periferie EI, que eorum que sunt xxv et liii ad cxx. Que ergo sub dupla periferie TE fit eorumdem xxv liii. Quare et dupla quidem eius que est TE graduum erunt erunt] erit V₂F₁ xxv ad proximum, ipsa vero TE eorumdem xii et dimidii. Tota ergo TR TR] TEK V₂ quidem et ipsa et KBT angulus graduum cii et dimidii. Propter eadem ergo et ille quidem qui sub principio Sagittarii angulus continetur equalium cii et dimidii. Uterque eorum qui sub principio Geminorum et principio Aquarii in duos rectos graduum lxxvii et dimidii. Et demonstrata sunt nobis proposita, eodem quidem futuro ductu in amplius minoribus obliqui circuli portionibus, suffitiente vero ad ipsum negotii usum et ea que secundum unumquodque dodecatimoriorum expositione.

⟨II.11⟩

Deinceps autem demonstrabimus quomodo utique sumamus I I] in V₂F₁ dato climate ad orizontem eius qui per media animalia circuli factos angulos simplitiorem et ipsos habentes in ethodum in ethodum] methodum V₂F₁ reliquis. Quoniam ergo qui ad meridianum fuerit idem sunt eis qui ad eum qui a recta spera orizontem, manifestum. Causa vero sumendi et eos qui in climata in climata] inclinata V₂F₁ spera monstrandum rursus primum quoniam equidistantia puncta eius qui per media animalia circuli ab eodem equinoctiali puncto factos ad eundem orizontem angulos equales alterius alterius] alternis V₂F₁ faciunt. Esto enim meridianus circulus ABGD et isimerini idest equinoctialis idest equinoctialis] quidem V₂ semicirculus AEG, orizontis vero BED, atque scribantur obliqui circuli due portiones ZIT et KIM KIM] KLM V₂ ita se habentes, ut utrumque quidem punctorum que sunt Z et R R] K V₂F₁ subiaceat autumpnale equinoctiale, periferia vero ZI ei que est KI KI] KL V₂F₁ equalis; dico quoniam et EIT angulus equalis est angulo DLR DLR] DLK V₂F₁ et est inde manifestum: equiangulum enim rursum fit EZI trilaterum ei quod est ERL. ERL] EKL V₂F₁ Quoniam et propter premonstrata et tria latera tribus lateribus equalia habet singula singulis, ZI quidem ei quod est KL, at vero IE sectionis orizontis ei quod est EL, atque EZ ascensionis ei que est ER ER] EK V₂. Equalis ergo est angulus quidem ERZ ERZ] EIZ V₂F₁ angulo EIR, EIR] EIZ V₂ EIK F₁ reliquas vero EIT reliquo DLR DLR] DLK V₂F₁ est equalis. Quod oportebat ostendere.

Dico quoniam et punctorum diametrizantium alterius orientalis angulus cum alterius occidentali, duobus rectis sunt equales. Si autem scripserimus orizontem quidem circulum ABGD, eum vero qui per media animalia AEGZ secantes se invicem ad A et G puncta, ambo quidem simul anguli ZAD et DAE duobus rectis equales esse. esse] fiunt V₂ Equalis vero angulus ZAD angulo ZGD. Quare et ambo simul anguli ZGD et DAE duos rectos faciunt. Quod oportebat ostendere.

Superaccidet autem, his ita se habentibus, quoniam demonstrati sunt et equidistantium ab eodem equinoctiali puncto ad eumdem orizontem considerati anguli equales et equidistantium ab eodem tropico puncto alterius orientalem et alterius occidentalem ambos simul duobus rectis equales esse. Quare et propter hoc sub sub] si ab V₂F₁ Ariete usque ad chelas factos orientales angulos invenerimus, coostensi erunt et orientales alterius semicirculi, ampliusque duorum semicirculorum occidentales. Quo vero modo ostenditur, breviter exponemus utentes rursum exempli causa eodem parallilo, hoc est secundum quem borealis polus elevatur ab orizonte gradibus xxxvi. Sub equinoctialibus ergo punctis eius qui per media animalia circuli ad orizontem facti anguli promte possunt sumi. Si enim scripserim scripserim] scripserimus V₂F₁ meridianum quidem circulum ABGD, subiacentis vero orizontis orientalem semicirculum AED et equinoctialis quidem tetartimorio tetartimorio] tetartimorion V₂ EZ, eius vero qui per media animalia duo, EB scilicet ZEG, ZEG] et EG V₂ ita se habenti, habenti] habentia V₂ ut E punctus ad EB quidem tartimorion tartimorion] tetartimorion V₂ intelligatur autupnale, ad EG vero vernale, et B quidem fiat hibernum tropicum, G autem estivum: colligitur quoniam DZ quidem periferia subiacente graduum liiii cl scilicet perfectio altitudinis poli scilicet … poli] om. V₂, utraque vero periferiarum que sunt BZ et ZG equalium xxiii et li ad proximum, et GB GB] GD V₂ quidem fit graduum xxx ix, BD vero eorumdem lxxvii li. Quare quoniam E polus est ABGD meridianus meridianus] meridiani V₂F₁ et DEG angulus factus sub principio Arietis talium est xxx ix, qualium est unus rectus xc, angulus vero factus DEB sub principio chellarum eorumdem lxxvii et li.

⟨U⟩t autem autem] add. et reliquorum V₂ effodos manifesta fiat, preiaceat exempli causa invenire factum orientalem angulum sub principio Tauri et orizonte. Sitque meridianus quidem circulus ABGD, subiacentis vero orizontis orientalis semicirculus BED, et scribatur eius qui per media animalia AEG semicirculus, ut punctus E principium sit Tauri, et quoniam in hoc climate, principio Tauri oriente, in medio celi sub terra fuerit Cancri gradus xvii et xli, demonstravimus enim qualiter talia de facili sumantur per expositas nobis ascensiones, minor fit EG periferia tetartimorio. Scribatur ergo polo E spatioque tetragoni latere maximi circuli porcio TIZ, et adimpleatur et EGI tetartimorium et EDT. Fit autem e DGZ et ZIT utraque tetartimorii, eo quod BET orizonti sit per polos et ZGD meridiani et ZIT maximi circuli. Rursus quoniam Cancri quidem gradus xvii et xli distant ab equinoctiali ad arctos in eo qui per polos ipsius maximo circulo gradibus xxii et xl, – exposita enim sunt et hec –, equinoctialis autem distat a Z polo orizontis in eadem periferia ZGD gradibus xxxvi, colligitur et ZG periferia graduum lviii et xl; his manifestatis, fit reliquum propter descriptionem proportio eius que sub dupla periferiae GD ad eam que sub dupla periferie DZ composita ex proportione eius que sub dupla periferie GE ad eam que sub dupla periferie EI et proportione eius que sub dupla periferie IT ad eam que sub dupla periferie ZT. Verum propter periacentia dupla quidem periferie GD graduum est lxii et xl et que sub ea recta portionum lxii xxiiii, dupla vero eius que est DZ graduum clxxx et que sub ea recta portionum cxx, et rursum dupla quidem eius que est GE graduum clv xxii et que sub ea recta portionum cxvii xiiii, dupla vero eius que est EI graduum clxxx et que sub ea recta portionum cxx. Si ergo a proportione eorum que sunt lxii xxiiii ad cxx subtraxerim proportionem eorum que sunt cxvii xiiii ad cxx, relinquetur nobis proportio eius que sub dupla periferie TI ad eam que sub dupla periferie TZ, que lxiii lii ad cxx et est que sub dupla periferie ZT proportioni cxx et ea ergo que sub dupla periferie IT eorumdem lxiii lii. Quare et dupla quidem quidem] add. del. periferie V₃ eius que est IT graduum est lxiiii xx, item item] IT V₂ vero et ipsa et IET angulus eorumdem xxxii x. Quod oportet ostendere. Idem modus, ne secundum unumquodque eundem sermonem revolventes extendamus commentarium sintareos, sintareos] sintaxeos V₂F₁ et in reliquis et dodecatimoriis et climatibus nobis intelligetur.

⟨II.12⟩

Restante igitur effodo secundum quam utique sumemus factos quoque ad eum qui per polos orizontis secundum unamquamque inclinationem et secundum unamquamque positionem eius qui per media animalia circuli angulos, coostensa, ut iam sepe diximus, periferia quoque circuli qui per polos orizontis sub eo quod ad verticem puncto et ea que ad obliquum circulum eius sectione deprehensa, exponemus rursum et que in hanc partem sunt prelibanda, et ostendemus primum quoniam, equidistantibus ab eodem tropico puncto eius qui per media animalia circuli punctis equalia tempora deprehendentibus in utraque meridiani, hoc quidem ad orientem, illo vero ad occidentem, et que ab eo quod ad verticem in ipsa periferie maximorum circulorum alternis sunt equales et qui ad ipsa sunt anguli, secundum quem distincximus modum, duobus rectis equales. Esto enim meridiani portio ABG, et subiaceat in ipsa punctum quidem quod ad verticem B, isimerini vero polus G, et scribantur eius qui per media animalia portiones due ADE et AZI ita se habentes, ut D et Z puncta et eque distent ab eodem tropico et equales deprehendant periferias eius qui per ipsa parallili in utraque ABG meridiani. Scribantur vero et maximorum circulorum periferie per D Z puncta, ab equinoctialis quidem polo G et GD et GZ, ab eo vero quod ad verticem puncto quod est G et BD et BZ; dico quoniam BD quidem periferia ei que est BZ est equalis, angulus vero RDE RDE] BDE V₂F₁ cum BZA duobus rectis equales. Quoniam enim D et Z puncta secundum equales eius qui per ipsa parallili periferias distant ab ABG meridiano, equalis est est] add. BGD angulus ei qui est V₂F₁ BGZ. Duo ergo trilatera sunt BGD et BGZ duo latera duobus lateribus equa habentia utriusque utrique GA GA] GD V₂ quidem ei quod est GZ, communem vero BG et angulum angulo qui sub equis lateribus continentur BGD ei qui est BGZ, et basim ergo BD basi BZ equalem habebunt et angulum BZG angulo BDG. Sed quoniam demonstratum est paulo ante quoniam equidistantium ab eodem tropico puncto facti ad eum qui per polos equinoctialis anguli ambo simul duobus rectis equales sunt, ambo ergo simul GDE et GZA duobus rectis sunt equales. Ostensus est autem et angulus BDG ei que est BZG equalis et ambo igitur simul BDE et BZA duobus rectis sunt equales. Quod oportebat ostendere.

Rursum vero demonstrandum quoniam, eisdem punctis eius qui per media animalia circuli secundum equalia tempora distantibus in utraque meridiani, et ab eo qui ad verticem in ipsa scripte maximorum circulorum periferie sibi invicem sunt equales, et qui ad ipsas fiunt anguli ambo simul, quorum unus ad orientem, alter ad occidentem, duobus sub meridiano et ad idem puctum factis sunt equales, quando in utraque positione medium tenentia celum ambo, vel borealiora, vel australiora eo quod ad verticem puncto contingunt. Primum vero subiaceant ambo australiora, sitque meridiani portio ABGD, in ipsa vero quod quidem ad verticem punctum G, polus vero isimerini D, scribanturque due portiones eius qui per media animalia circuli AEZ et BIT ita se habentes, ut E punctum et I idem subiacens equali in utraque eius qui per ipsum parallili periferia distet ab ARGD GA] GD V₂ meridiano, scribanturque rursum per ipsa portiones maximorum circulorum ab eodem eodem] eo V₂F₁ quidem quod est G et GE et GI, ab eo vero quod est D et DE et DI. Propter eadem ergo eis que ante, quoniam est est] E V₂ et I puncta eundem facientia parallilum equales ipsius periferias in utraque faciunt meridiani, et equilaterum et equiangulum fit DE DE] GDE V₂F₁ trilaterum ei quod est GDI. Quare Z Z] om. V₂F₁ et GE ei que est GI fit equalis. Dico ergo quoniam et ambo simul GEZ et GIB duobus qui sunt BEZ BEZ] DEZ V₂ et DIB sunt equales. Quoniam enim angulus quidem DEZ idem est ei qui est DIB, angulus autem GED equalis est ei qui est DIG et ambo igitur simul GED et GIB sunt equales ei qui est DEZ. Quare ambo simul GEZ totus et GIB duobus qui sunt DEZ et DIB sunt equales. Quod oportebat ostendere.

Describantur rursum cedere cedere] eedem V₂F₁ portiones expositorum circulorum ita tamen, ut A punctum et B borealiora fiant puncto G; dico quoniam idem et sic continget, hoc est ambo simul REZ REZ] KEZ V₂F₁ angulus et LIB, duobus qui sunt DEZ sunt equales. Quoniam enim angulus quidem DEZ idem est angulo DIB equalis vero DER DER] DEK V₂F₁ angulo DIL et totus ergo LIB equalis est ambobus simul DEZ et DER DER] DEK V₂F₁ angulis. Quare et ambo simul LIB et REZ REZ] KEZ V₂F₁ duobus qui sunt DEZ sunt equales.

Adiaceat rursum descriptio similis ita tamen, ut orientalis quidem portionis medium celi tenens punctus, hoc est A australior sit G puncto qui ad verticem, eius vero que ad occidentem porcionis qui celi medium tenet, hoc est B, borealior sit eodem; dico quoniam ambo simul anguli GEZ et LIB duobus DEZ maiores sunt duobus rectis. Quoniam enim angulus quidem DIG equalis est angulo DEG, ambo autem simul DIG et DIL duobus rectis equales sunt, et ambo igitur simul DEG et DIL anguli duobus rectis sunt equales. Sunt autem et DEZ angulus idem angulo DIB. Quare et ambo simul GEZ et LIB anguli duobus simul DEZ et DIB angulis, hoc est bis eo qui est DEZ, maiores sunt ambobus simul DEG et DIL angulis qui sunt duobus rectis equales. Quod oportebat ostendere.

Adiaceat autem quod relinquitur secundum simillem descriptionem eius quidem que ad orientem portionis medium celum tenens punctus A borealior factus puncto G, eius vero que ad occidentem portionis medium celum tenens punctus B australior; dico quoniam ambo simul KEZ et GIB duobus DEZ minores sunt duobus rectis. Propter eadem enim rursum ambo quidem simul REZ REZ] KEZ V₂F₁ et GIR GIR] GIB V₂ anguli anguli] iter. V₃ ambobus simul DEZ et DIB angulis, hoc est duobus qui sunt DEZ, minores sunt ambobus simul DER DER] DEK V₂F₁ et DIG angulis. Ipsi vero duobus rectis equales. equales] add. eo quod ambo quidem simul DEK et DEG anguli duobus rectis sint equales V₂ Equales vero et DEG angulus angulo DIG. Quod oportebat ostendere.

Quoniam vero ex promtu possunt sumi illi eorum qui fiunt sub obliquo circulo ad maximum per punctum verticis scriptum circulum et angulorum et arctuum, arctuum] arcuum V₂F₁ secundum quem diximus modum, et que in meridiano et qui in orizonte fiunt, et inde utique erit ita manifestum. Si enim scripsimus meridianum circulum ABGD et orizontis quidem semicirculum BED, eius vero qui per media animalia circuli ZEI quomodocumque se habens, quando quidem per ipsum medii celi punctum Z intellexerimus maximum per punctum verticis A scriptum circulum, idem fiet meridiano ABGD et erit angulus DZE inde nobis datus, eo quod et Z punctus et eius ad meridianum factus angulus detur et ipsa AZ periferia, eo quod habeamus quot gradibus in meridiano et Z punctus distat ab equinoctiali et equinoctialis ab A puncto verticis. Quando vero per orientem ipsum punctum E, intelligemus maximum per A scriptum circulum ut AEG, inde et ita fiet manifestum quoniam AE quidem periferia semper fiet tetartimorii, eo quod A punctus polus sit BED orizontis, recto vero existente semper propter eamdem causam AED angulo et dato eo qui obliqui circuli ad orizontem, hoc est DEI, dabitur et totus AEI angulus. Quod oportebat ostendere.

Quare manifestum quoniam, his ita se habentibus, si in unaquaque inclinatione eos qui ante meridianum solos et angulos et arcus eorum tantum que a principio Cancri usque principium Capricorni dodecatimoriorum supputaverimus, coostensos habebimus et eos qui post meridianum ipsorum et angulos et arcus et adhuc reliquorum et eos qui ante meridianum et eos qui post meridianum. Ut autem et in his secundum unamquamque inclinationem efodos manifesta fiat, exempli rursus causa exponemus futuram universaliter ostensionem per unum theorema, supponentes secundum eandem inclinationem, hoc est secundum quam borealis polus ab orizonte elevatur gradibus xxxvi, principium Cancri verbi gratia una hora equinoctiali distare ad orientem a meridiano, secundum quam positionem in preiacenti parallilo medium quidem celi tenentem tenentem] tenent V₂ tenente F₁ Geminorum gradus xvi xii, oriuntur vero Virginis gradus xvii xxxvii. Esto autem meridianus circulus ABGD, et orizontis quidem semicirculus BED, eius autem qui per media animalia ZIT ita se habens, ut I quidem punctus principium sit Cancri, Z vero obtineat Geminorum gradus xvi xii, T vero Virginis gradus xvii xxxvii, scribaturque et per A punctum verticis et per I principium Cancri maximi circuli portio AIEG, preiaceat autem primum AI periferia periferia] periferiam V₂F₁ invenire. Manifestum ergo quoniam ZT quidem periferia gridi gridi] graduum V₂F₁ est xci xxv, item item] IT V₂ vero graduum lxxvii xxxvii. Similiter autem quoniam quidem Geminorum quidem gradus xvi xii assumunt meridiani ab equinoctiali ad arctos gradus xxiii vii, equinoctialis vero circulus ab A quod secundum verticem puncto gradus xxxvi, erunt erunt] erit V₂ et AZ periferia graduum xii liii, ZB vero reliquorum in tetartimorium graduum lxxvii vii; hic hic] his V₂ datis, fit rursum propter descriptionem proporcio eius que sub dupla periferie periferie] add. ZB ad eam que sub dupla periferie V₂F₁ BA composita ex proportione eius que sub dupla periferie ZT ad eam que sub dupla periferie TI et ex proportione eius que sub dupla periferie IE ad eam que sub dupla periferie EA. Verum dupla quidem eius que est ZB graduum est cliiii xiiii et que sub ea recta portionum cxvi lix, dupla vero eius quem est BA graduum est clxxx et que sub ea recta portionum cxx; et rursum dupla quidem eius que est ZT graduum est clxxxii l et que sub ea recta portionum cxix lviii, que vero eius que est TI graduum clv xiiii et que sub ea recta portionum cxvii xii. Si ergo a proportione eorum que sunt cxvi lix ad cxx minuerimus proportionem eorum que sunt cxix lviii ad cxvii xii, reliquetur nobis proportio eius que sub dupla periferie EI ad eam que sub dupla periferie EA, que cxiiii xvi proxime ad cxx et est que sub dupla periferie periferie] add. EA portionum cxx V₂F₁ et ea ergo que sub dupla periferie EI eorumdem est cxiiii xvi. Quare et dupla quidem EI periferiae graduum est cxliiii xxvi ad proximum, ipsa vero IE eorumdem lxxii xiii, et reliqua ergo AI restantium in tetartimorium est graduum xvii xlvii. Quod oportebat ostendere.

Deinceps vero et AIT angulum inveniemus ita. Adiaceat enim eadem descriptio et polo I, spatioque tetragoni latere scribatur maximi circuli porcio KLM. Quare quoniam AIE circulus et per eius qui est ETM et per eius qui est KLM polos scriptus est, utraque EM et RM RM] KM V₂F₁ periferiarum tetartimorii fit. Rursus ergo propter descriptionem erit proportio eius que sub dupla periferie IE ad eam que sub dupla periferie EK composita ex proportione eiusque sub dupla periferie IT ad eam que sub dupla periferie TL et proportione eius que sub dupla periferie LM ad eam que sub dupla periferie RM. RM] KM V₂F₁ Sed dupla quidem eius que est IE graduum cxliiii xxvi et que sub ea recta portionum cxiiii xvi, dupla vero eius que est ER ER] EK V₂F₁ graduum xxxv xxxiiii, et que sub ea recta portionum xxxvi xxxviii; et rursum dupla quidem eius que est TI graduum est clv xiiii et que sub ea recta portionum cxvii xii, dupla vero eius que est TL graduum xxiiii xlvi, et que sub ea recta portionum xxv xliiii. Quare si a proportione eorum que sunt cxiiii xvi ad xxxvi xxxviii subtraximus proportionem eorum que sunt cxvii xii ad xxv xliiii, relinquetur nobis proportio eorum que sub dupla periferie LM ad eam que sub dupla periferie MK, que lxxxii xi proxime ad cxx; et est que sub dupla periferie KM KM] MK V₂ portionum cxx et ea ergo que sub dupla periferie LM eorumdem est lxxxii xi. Quare et dupla periferie LM graduum lxxxvi xxviii, ipsa vero LM eorum xliii xiiii, et reliqua ergo LR LR] LK V₂F₁ periferia et ipsa et LIK angulus porcionum est xlvi xlvi minutorum. Quare et AIT angulus reliquorum in duos rectos graduum erit cxxxiii xiiii. Quod oportebat ostendere.

Modus ergo inventionis preiacentium in reliquis idem colligitur. Nos autem et alios et angulos et arcus, quantorum convenit neccessitatem particularibus considerationibus fore, promte habeamus expositos, supputabimus et ipsos lineariter, incipientes quidem ab eo qui per Meroen parallilo secundum quem maxima dies horarum est equinoctialium xiii, pertingentes vero eum usque qui super parallilum parallilum] Pontum V₂F₁ scriptum est per emissiones Borestenis, ubi maxima horarum est equinoctialium xvi. Si Si] usi V₂F₁ autem sumus secundum unamquamque augmento in climatibus quidem eo quod secundum emiorium rursus, quemadmodum et in ascensionibus; in eius vero qui per media animalia circuli portionibus, eo quod per unum dodecatimorium; in eis autem que ad orientem vel et ad occidentem meridiani positionibus, eo quod per unam horam equinoctialem. Faciemus vero et istorum expositionem canonice secundum unamquam unamquam] unumquodque et V₂ unamquamque F₁ clima et dodecatimorium, apponentes in primis quidem partibus quantitatem earumque distantie in utraque meridiani post eam que secundum ipsum positionem equinoctialium horarum, in secundis autem quantitates earum que ab eo quod ad verticem puncto usque principium expositi dodecatimorii fiunt, ut diximus, periferiarum, in tertiis vero et in quartis quantitates eorum qui sub preiacente sectione secundum diffinitum nobis modus modus] modum V₂ continentur angulorum, in tertiis quidem eos qui earum que ad ad] add. orientem meridiani posicionum, in quartis autem eos qui earum et que ad V₂ occidentem, sicut et in principio tamen distinximus. Reminisci oportet quoniam duorum qui sub continenti portione eius qui per media animalia circuli continetur angulorum eum qui ab artus artus] arctis V₂ eiusdem porcionis semper assumpsimus, tales tales] talium V₂ in unoquoque ipsorum quantitatem adiungentes, qualium est unus rectus xc et est expositio canoniorum talis.

S⟨upraposita auctoris demonstracio locum non habet, nisi arcus IT sit minor tetartimorio.⟩ Potest autem esse equalis et maior. Nichil⟨ominus tamen noti erit anguli septentrionales orientales qui sunt ante⟩ meridiem. Sit primo IT equalis tetartimorio. Dico quoniam qui sub AIT x⟨c graduum est. Constat itaque IT maiorem esse quam IE, eo quod totum AE⟩ sit tetartimorion, ergo polo quidem I et spatio IT tetragoni latere scribatur maximi circuli po⟨rcio TK. Quoniam ergo circulus AIEK⟩ transit per polos TE et TK utraque TE et TK tetartimorion, fit igitur angulus KIT x x] xc V₂F₁ graduum est et reliquus AIT similiter xc.

Sit item periferia IT maior tetartimorio et sit superhabundatia TL et polo I spatioque IL tetragoni latere scribatur maximi circuli portio LEIK. Quare quoniam AIEK circulus per eius qui est EM et KM polo scriptus est utraque EM et KM periferia tetartimorion fit, erit ergo proportio eius que sub dupla periferie IE ad eam que sub dupla periferie EK composita ex proportione eius que sub dupla periferie IT ad eam que sub dupla periferie TL et proportione eius que sub dupla periferie LM ad eam que sub dupla periferie KM. Quoniam ergo periferie IE nota est et EK nota et utraque IT et TL nota et KM nota erit LM nota, protrahatur arcus IM, tetartimorion erit angulus KIM xc graduum et reliquus MLA xc graduum. Si ergo abstulerimus angulum MIL, iam nota xc remanet angulus AIT notus.