بـرهـانـه نفرض مقدار د مساوياً لب فنسبة ا إلى ج مؤلفة من نسبة ا إلى د ومن نسبة د إلى ج كما بيّنا قبل لكنّ نسبة ا إلى د كنسبة ا إلى ب بالفرض ونسبة د إلى ج أيضًا مثل نسبة ا إلى ب فنسبة ا إلى ج مؤلّفة من نسبتيّن متساويتين كنسبة ا إلى ب فنسبة ا إلى ج إذًا كنسبة ا إلى ب مثنّاه. عكسه كنسبة ا إلى ج كنسبة ا إلى ب مثنّاه فأقول إنّ مقادير ا ب ج متناسبة بـرهـانـه إنّ نسبة ا إلى ج كنسبته إلى ب مثنّاه فنسبة ا إلى ج مؤلّفة من نسبتيّن متساويتين كنسبة ا إلى ب فقد وجد بين ا و ج مقدار ويتوالى الجميع على نسبة ا إلى ب ولتكن د كنسبة ا إلى د كنسبة ا إلى ب فد مثل ب فنسبة د إلى ج كنسبة ب إلى ج لكنّ نسبة د إلى ج أيضًا كنسبة ا إلى ب فنسبة ب إلى ج كنسبة ا إلى ب فمقادير ا ب ج متناسبة وذلك ما أردنا. إذا كانت نسبة ما مؤلّفة من نسب مفروضة كم كانت فإنّها مؤلّفة من كلّ نسبة مساوية لتلك النّسبة المفروضة مـثـالـه نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى د وﻩ إلى ز ونسبة ج إلى د كنسبة ج إلى ط وكنسبة ﻩ إلى ز كنسبة كـ إلى ا ل ل فـأقول إنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى ط ومن نسبة كـ إلى ل بـرهـانـه أنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى د وﻩ إلى ز فقد يوجد بين ا و ب مقدار ز ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى ز فلتكن م فنسبة ا إلى م كنسبة ج إلى د ونسبة ج إلى د كنسبة ج إلى ط وكذلك يتبيّن أنّ نسبة م إلى ب كنسبة كـ إلى ل فقد وجد من مقادير ا ب مقدار م ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج إلى ط و كـ إلى ل فنسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى ط و كـ إلى ل وذلك ما أردنا. إذا كانت نسبة ما مؤلّفة من نسبٍ مفروضةٍ كم كانت فإنّ كل ّنسبة مساوية لتلك