بسم الله الرحمن الرحيم استعنت بالله وحده

الحمد لله المبدئ المعيد الفعّال لما يريد خالق الأفلاك الدّائرة والنّجوم السّائرة العالم بسرائر الأمور وما تخفي الصدور وصلواته على النبيّ محمّد وآله وعترته. قال الأستاذ الأجلّ السيّد المختصّ أبو الحسن علي بن أحمد النّسويّ رحمة الله عليه إنّ الفلاسفة قد اتّفقوا عمومًا وأصحاب العلم الرّياضيّ منهم خصوصًا على أنّ الغرض الأقصى من العلوم الرياضيّات هو معرفة العلم بما في كتاب التّعاليم لبطلميوس المعروف بالمجسطيّ لأنّه المقصود من الجزء الثالث من أجزاء الفلسفة سوى الموسيقى ولجلالة هذا الكتاب وعظيم منفعته فسّر جماعة من كبار علماء هذا العلم تفاسير مثل سلمان بن عصمة والمروزي والفارابي وثابت بن قرّة وأبي جعفر الخازن وأبي علي بن سينا إلى تمام أحد عشر رجلًا من كبار العلماء إلى يومنا هذا الذي هو السّنة العاشرة من القرن الثاني في المثلّثات الأرضيّة وكلّهم جعلوا تفسير معاني هذا الكتاب لفظًا بلفظ إلّا أبا علي بن سينا فإنّه عمل جوامع هذا الكتاب مع شرح الغامض منه واختلاف وقوع إشكاله وجعله من جملة كتاب الشّفاء ﮷ ومعلوم أنّ درجة من يمكنه اتقان ما في هذا الكتاب وتدبير معانيه النّفيسة من علم الهيئة والبرهان الهندسيّ على صحة الأعمال النجوميّة والعمل بالآلات الرّصديّة أرفع درجةً من يكون محتاجًا إلى علم حساب التّواريخ واستخراج بعضها من بعض وإلى حلّ الأزياج واستعمال الجداول معما أنّ تاريخي بختنصّر وأغسطس في المجسطيّ متروكان منذ مائتا سنة وأكثر وهكذا حال جداول أوساط الكواكب السيّارة ومواضع الكواكب الثّابتة ﮷ وقد تقرّر عند العلماء أنّ مرتبة قراءة هذا الكتاب وتحصيل معانيه بعد العلم بما في كتاب أقليدس من الأصول الهندسيّة وكثير من أشكال الكتب المتوسّطة الأربعة عشر التي يلزم قراءتها بعد كتاب أقليدس وقبل كتاب المجسطيّ ومعلوم أنّ الكلام في الرّياضيات قريب إلى الأفهام بعد الوقوف على مرتبتها والغرض المقصود إليها والأسماء المستعملة فيها فلا يحتاج إلى الشرح لفظًا بلفظ كاحتياج كلام بقراط لاختصاره وكلام أرسطوطاليس لانغلاقه وكلام أفلاطون في مذهبه في اللّغز وبعده عن الأفهام ﮷ ثمّ إنّ بطلميوس لما جعل مقاليد أشكال كتابه واعتماد صحّة براهين

أعماله ومراجع براهينه وحوالاته إلى الشّكل الخامس من المقالة السّادسة من كتاب مانالاوس في الأشكال الكريّة المعروف والملقّب بالشّكل القطّاع. ولم أعلم شكلًا من الأشكال الهندسية المستعملة في علم النجوم خاض الناس فيه خوضهم في هذا الشّكل ولا شهروه شهرته وتبيّنت عنايتهم به بما أعلمه من كثرة منافعه وشدّة الحاجة إليه في علم الكرة وهو أصلٌ عليه مدار الأمر في كثير من أعمال النّجوم وجعل له مقدّمات من الهندسة وتآليف النّسبة وسائر ما يحتاج إليه لتتميم غرضه ﮷ أردت أن أعمل لهذا الشّكل ولمقدماته شرحًا مستقصىً ممّا يتعلّق بالهندسة والحساب وبيان استعمال هذا الشّكل في المواضع المحتاجة إليه وكيفية مراجعة وحوالاته. فعملت هذه المقالة وسمّيتها الإشباع في شرح الشّكل القطّاع وجعلتها ثلاثة فصول الأوّل منها في مقدمات يحتاج إليها في شرح الأشكال التي قدّمها بطلميوس في بيان استخراج الأوتار التي تقع في الدّائرة بقوة براهين أشكال أقليدس. الثّاني في المقدمات التي أوردها بطلميوس بسبب الشّكل القطّاع وشرح تآليف النّسبة واستعمالها. الثّالث في استعمال الشّكل القطّاع في المواضع المحتاجة إليه. وجعلتها خدمة لرفيع مجلس مولانا السيّد الأجلّ الإمام المرتضى ذي الفخرين نقيب نقباء الإسلام سيّد سادات الأنام أبي الحسن المطهّر بن السيّد الزكيّ ذي الحسبين أبي القسم علي أدام الله دولته. وكنت حسدته ممّا تلقّى بتحفة أحسن عنده طلعةً ولا نفسٍ قيمةً من العلم الذي هو أخوه راضعًا يليان ولسببه الذي أنضمّ معه في قران والله جلّ وعزّ ننقّبه للفضائل حتّى يجيبها وللفواضل حتّى يسديها ويمهّدني إلى ما يكون وفقًا لرضاه وشكرًا لنعماه بجوده وكرمه.

〈I〉 الفصل الأوّل في مقدّمات يحتاج إليها في شرح الأشكال والدّوائر بقوّة براهين أشكال كتاب أقليدس وهذا أوّل ما ابتدأت به

أقول إنّ الكميّة تنقسم قسمين متّصل وهو خمسة أنواع وهي الخطّ والسّطح والجسم والزّمان والمكان ومنفصل وهو نوعان وهما القول والعدد. وكلّ واحد من أنواع المتّصل يقال له مقدار لأنّ التّقدير يقع عليه ويعرف كميته به والذي يقدره هو أيضًا مقدار مجانس له وهو جزءٌ صغيرٌ منه قد فرض واحدًا ليكون منطقًا وذلك كخطّ ما فرض واحدًا لتقدير الخطوط ومعرفة نسب

بعضها إلى بعض وكمربّع من ضرب ذلك الواحد في نفسه لتقدير السّطوح ومكعّب من ضرب الواحد في نفسه ثّم في نفسه لتقدير الأجسام. مثال ذلك في المعاملات الذّراع لذوات الطّول والكيل للمكيلات والوزن للموزونات والواحد المفروض لتقدير الخطوط خطّ مستقيم لأنه معيار والمعيار ينبغي أن يكون ثابت الحال. والخطّ المستقيم واحد محدود وغير المستقيم كثير غير محدود والدّليل على ذلك تحديد أرشميدس الخطّ المستقيم بأنه أقصر الخطوط التي تصل بين نقطتين مفروضتين وكذلك الواحد المقدّر للسطوح مربّع لأنه واحد غير متغيّر وسائر الأشكال المسطّحة المستقيمة الخطوط كثير متغيّر وذلك أنّ المربّع الذي هو طوله وعرضه واحد وزواياه قائمة والزّاوية القائمة واحدة ﮷ فأمّا كلّ واحدة من الزّاوية الحادة والمنفرجة فمتغيّرة بلا نهاية وكذلك حال المكعّب فتبيّن من ذلك أنّ الذي يمكن تقديره من الخطوط نوعٌ مستقيمٌ ومن الأشكال المسطّحة شكلٌ مستقيم الخطوط وأنّه إذا قدّر صار متوازي الأضلاع قائم الزّوايا وإنّ قسيّ الدّوائر لا مقدر لها من جنسها وإنّ الدّائرة لا يمكن تربيعها وإنّما يربّعها الماسحون بالتّقريب وعلى ما اصطلح عليه المهندسون ومن أجل ذلك رجع أصحاب التّنجيم في معرفة قسيّ الفلك إلى الأوتار لأنّ التّقدير منها يتمكن وبها تظهر النّسب التي توقعها بينها فعرفوا أوتار هذه القسيّ ووضعوها في الجداول وعند الحاجة إلى معرفة قوس مجهولة من قوس معلومة أخذوا وتر القوس المعلومة فعملوا به من الضّرب والقسمة ما يؤدّي إلى[وترها]وتصير بوترها المعلوم معلومةً لأنّ القسيّ كما قلنا لا تحتمل ضرب بعضها في بعض ولا قسمة بعضها على بعض لكنهم لا يلتفتوا إلى قطر الفلك الذي يجب بالحساب لأنّ محيط الدّائرة إذا كان منطّقاً كان قطرها غير منطّق وعدد أجزاء الفلك منطّق لأنّها ثلاثمائة وستون جزءًا وقطره مائة وأربعة عشر جزءًا وكسر غير منطّق فوضعوا له قطر عدد أجزائه منطّق لسهولته في الحساب عند تقطيع الأوتار ولم يقع فيما فعلوا اختلاف إذ صارت نسبة القطر الذي يخرج بالحساب إلى القطر الموضوع كنسبة الوتر الذي يخرج بالحساب لقوس ما إلى الوتر الموضوع لتلك القوس. مثال ذلك إنّ نسبة وتر سدس الدّائرة إلى قطرها الذي هو قكـ إلى قكـ كنسبة وتر سدس الدّائرة إلى قطرها على الحقيقة قيد وكسر إلى هذا القطر

فلهذا السّبب جعل بطلميوس عدد أجزاء القطر مائة وعشرين جزءًا لأنّ لعدد ثلاثمائة والسّتين جميع مخارج أجزاء العشرة إلّا السّبع ولعدد المائة والعشرين كذلك سوى السُّبع والتّسع وله مع ذلك من الخواصّ ما ليس لسائر الأعداد منها أنّ نصف لأجزائه التي هي ا ب ج د ﻩ و ح ى ىب ىه كـ كد ل مـ س وإذا جمعت كانت ز م ومنها أن تولّدها كانت كتولّد الأعداد التّامة لأنّها تتولّد من ضرب ثمانية وهي زوج الزّوج في نفسها مع أجزائها وهي خمسة عشر﮷ ومنها أنّ تولّدها من ضرب السّتة التي هي العدد التّامّ في العشرين الذي هو الزّائد بجزءٍ ولأنّه يزيد على جملته بعشرة فقط والعدد الزّائد بجزءٍ وأقرب إلى العدد التّامّ وله خواصّ أخر تركنا ذكرها. ثمّ عمل بطلميوس في استخراج الأوتار على أنّه ابتدأً منها بوتر العشر ثم بوتر الخمس ثمّ بوتر الرّبع ثمّ بوتر الثّلث لأنّها ممّا يعلم بذاته من غير حاجة إلى غيره وذلك أنّ وتر العشر هو جذر مثل ربع مربّع نصف القطر منقوصًا منه ربع القطر ونصف القطر منطق فمربّعه منطّق ووتر الخمس جذر مربّع نصف القطر ومربّع العشر مجموعين ﮷ ووتر الرّبع جذر مثليّ مربّع نصف القطر ووتر الثّلث جذر ثلاثة أمثال مربّع نصف القطر فأمّا وتر السّدس فهو مساوٍ لنصف القطر وبعد معرفه كلّ وتر من هذه الأوتار الخمسة تسهل معرفة وتر القوس الباقية إلى تمام نصف الدّائرة لأنّهما ضلعان لمثلّث قائم الزّاوية يحيط به نصف الدّائرة والضّلع الذي يوتر زاوية القائمة وهو القطر فمربّعه إذا نقص منه مربّع الضّلع المعلوم كان جذر الباقي هو الضّلع المجهول. هذا على سبيل الحمل وسائس شرح استخراج كميّة كلّ واحد منها بطريق العدد والحساب بعد أن أقدّم مقدمات يحتاج إليها وهي كلّ خطّ مستقيم يخرج من القطر على زاوية قائمة ويتصل بمحيط الدّائرة فهو جيب مستو للقوس التي يقطعها من نصف المحيط وهذا الوتر هو الذي يسمّيه بطلميوس نصف وتر ضعف القوس وسمّاها البتّاني الأوتار المنصّفة ويسمّيها الجمهور من المتأخّرين الجيب اختصار اللّفظ وقرأت في تصانيف الشّيخ أبي الريحان رحمه الله أنّ الجيب كلمة هنديّة وتسمّى ما بين طرف القطر إلى مخرج الخطّ هو الجيب المنكوس لتلك القوس ويسمّى السّهم. مثال ذلك دائرة ابجد تقاطع فيها قطرا اج ىد على زوايا قائمة وقد أخرج خطّ ح ط على تقطع ىد على زوايا قائمة على

نقطة ز محيط ز ح هو الجيب المستويّ لكلّ واحدة من قوسيّ جـب جـد وهو نصف وتر ضعف كلّ واحدة من القوسين لأنّ ضعف قوس حـب قوس حىط وضعف قوس ح د قوس حد ط ووتر كلّ واحدة من قوسيّ جىط ح د ط هو خطّ ح ط وخطّ ىز جيب منكوس لقوس ح ب و هو ينقسم ضعف قوس حب ووتره بنصفين نصفين عند نقطتي ب ز وكذلك خطّ د ز جيب منكوس لقوس ح د وقاسم حدط ولوتر حط بنصفين نصفين عند نقطتي د ز ويخرج خطّ ىا يمر بنقطة ل من خطّ ز ح مكوّن نسبة ا ﻩ إلى هـب كنسبة لز إلى ز ب لأنّ المثلّثين متشابهان وخطّ ا ﻩ مثل خطّ هـب فخطّ ل ز مثل خطّ ا ب محيط ز ب أعظم من خطّ ز ب وقوس جـب أصغر من ربع الدّائرة فجيبها المستوي أعظم من جيبها المنكوس وقوس جـد أعظم من ربع الدّائرة فجيبها المستوي أصغر من جيبها المنكوس. وأمّا كلّ واحدة من قوسيّ ا ب ا د فإنهما ربع الدّائرة فجيبها المستوي والمنكوس واحد وهو خطّ ا ﻩ الذي هو نصف القطر والجيب المنكوس أبدًا من مقطع القطر لأنّ كلّ خطّ مستقيم يقسم قوساً ما ووترها بنصفين نصفين فهو يخرج من القطر الدّائرة التي منهما تلك القوس ويخرج خطّ ح كـ عموداً على قطر ا جـ فيكون ز ح الجيب الأوّل و ح كـ الجيب الثّاني ويسمّى جيب تمام قوس ىح لأنّ قوس ح ا تمامها إلى ربع الدّائرة. هذا إذا جعل الابتداء يأخذ قوس ىح فإذا كان الابتداء يأخذ ا ح كان ىحح هو الجيب الأوّل و ز ج هو الجيب الثّاني وهو أيضًا جيب تمام قوس ا ح ويخرج خطّ هـح فيكون مربّعه مثل مربّعي ز ح ح كـ وتبيّن أنّ مربّعي الجيب الأوّل والجيب الثّاني مجموعين مثل مربّع كلّ الجيب وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈I.1〉 الشّكل الأوّل من مقدّمات الشّكل القطّاع

أراد بطلميوس أن يبيّن كيف يعلّم ضلع المعشّر وضلع المخمّس اللذان يقعان في الدّائرة قال ليكن نصف

دائرة ا ىج قطرها ا ج ومركزها د وعمود د ب على ا ج ونقسّم د ج على ﻩ بنصفين ونصل هـب ونجعل هز مثل هـب ونصل ىز ﮷ فلأنّ د ج قسم بنصفين على ﻩ ونزيد فيه د ز والذي يكون من ضرب ج ز في ز د مع مربّع خطّ د ﻩ مساوٍ لمربّع ز ﻩ كما تبيّن في شكل و من مقالة ب من كتاب أقليدس في الأصول و ز ﻩ مثل هـب فالذي يكون من ضرب ج ز في ز د مع مربّع د ﻩ مساوٍ لمربّع بـه الذي هو مثل مربّعي ىد د ﻩ يسقط مربّع د ﻩ المشترك يبقى ضرب حـز في ز د مثل مربّع بـد الذي هو مثل مربّع جـد فخطّ جـز قسّم على نسبةٍ ذات وسط وطرفين على نقطة د وقسمه الأعظم جـد الذي هو مثل ضلع المسدّس كما تبيّن في شكل ىه من مقالة د من كتاب الأصول لأنّه نصف القطر فخطّ ز د يكون ضلع المعشّر كما تبيّن في شكل ىب من مقالة ىج من كتاب الأصول. أقول إنّ عامّة مفسري هذا الكتاب سوى أبي علي بن سينا جعلوا حوالة برهان هذه الدّعوى على هذا الشّكل بحسن الظّنّ والأمر في ذلك بالعكس لأنّ في ذلك الشّكل وضع أقليدس وتر المسدّس والمعشّر بالفرض وبرهن على أنّ جميع الخطّ مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول ضلع المسدّس ﮷ وفي هذا الشّكل حصل خطّ ج ز مقسوماً على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول ج د الذي هو ضلع المسدّس قال فيكون خطّ د ز ضلع المعشّر وهذا عكس الدّعوى الأولى لأنّ العكس هو أن نجعل الموضوع محمولًا والمحمول موضوعًا ويصحّ عكس هذا الشّكل من الشّكل الرّياضيّ بعينه من غير تبديل كما أصف. قال أقليدس خطّ ىد مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول جـد ضلع المسدّس. أقول إنّ ىج ضلع المعشّر لأنّ نسبة بـد إلى بـه أعني جد خمسة بـه أعني حـد إلى ىج تكون زاوية ىـهد مثل زاوية هـجـت وزاوية د مثل زاوية ىهج وزاوية ىه وزاوية ىج ﻩ ضعف زاوية د فزاوية ىهج لكنّ زاوية ىج ﻩ نصف زاوية ﻩ فزاوية ىه ﻩ أربعة أضعاف زاوية ىهـج لأنّ زاوية ا هـج الخارجة عن مثلّث ىهج مثل الدّاخلتين المتقابلتين أعني هـج ب وهـج وهما متساويان وكل واحدٍ منهما مثلًا

زاوية ب ﻩ جـ فزاوية ا هـب أربعة أضعاف زاوية ىهـج فقوس ا ب أربعة أضعاف قوس ىجـ فجميع قوس ا ىج خمسة أمثال قوس ىج فجميع المحيط عشرة أمثال قوس ىج فقوس ىج عشر الدّائرة وذلك ما أردناه. وقد يمكن أن يبرهن على هذه الدّعوى مثلّثا هىج هىد متشابهان زاوية ب مشتركة وزاويتا ىهد ىج ﻩ متساويان بطريق مأخوذ من طريق أقليدس تكون مؤامرية أليق بهذه الدعوى ولا يتكلّم على العكس وهو كل خطّ يكون وتر سدس دائرة ما يتّصل به من داخل الدّائرة خطّ أقصر منه على أنّ جميع الخطّ يكون مقسوماً على نسبة ذات وسط وطرفين عند نقطة الاتّصال فإنّ الخطّ الأقصر يكون وتر عشر تلك الدّائرة مثاله خطّ جد وتر سدس دائرة ا ىح واتصل به خطّ ىج من داخل الدّائرة أقصر منه وقسّم خطّ بـد على نسبة ذات وسط وطرفين على ج أقول إنّ خطّ ىج وتر عشر دائرة ا ب ج فيخرج خط ىها قطر الدّائرة ونصل هـد ﮷ فلأنّ خطّ ىد مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج يكون مثلّثا هـىج هـىد متشابهين وزاوية ﻩ أربعة أضعاف زاوية ىهـج كما تقدم يكون قوس ا ج ب خمسة أمثال قوس ىج فيكون جميع المحيط عشرة أمثال قوس ىج فوتر ىج وتر عشرة الدّائرة وذلك ما أردنا أن نبيّن. وبعد تبيّن أنّ جميع الأعراض التي عرضت للخّط المقسوم على نسبةٍ ذات وسط وطرفين يعرض لكلّ خطّ قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين مثاله خطّ ا ب قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين على نقطة ج وقسمة الأطول ا ج فأقول إنّه إذا قسّم أيّ خطّ وقع على تلك النسبة وليكن خط د ﻩ على ز فجميع الأعراض التي تعرض لخط ا ب تعرض لخط د ﻩ أيضًا. برهانه أنّ الخطّين قسّما على نسبةٍ واحدةٍ فصارت نسبة ا ب إلى ا ج كنسبة ا ج إلى جب وتكون نسبة د ﻩ إلى د ز كنسبة د ز إلى ز ﻩ فإذا نسبة ا ب إلى ا ج كنسبة د ﻩ إلى د ز وأيضًا نسبة مربّع ا ج إلى ضرب ا ب في ىج كنسبة مربّع د ز إلى ضرب د ﻩ في

هـز وكذلك تكون نسبة أربعة أضعاف ضرب ا ب في ىج ا إلى مربّع ا ج كنسبة أربعة أضعاف ضرب د ﻩ إلى مربّع د ز. وإذا كان ركّبنا تكون نسبة ضرب أربعة أضعاف ا ب في ىج ومربّع ىح إلى مربّع ا ج كنسبة ضرب أربعة أضعاف د ﻩ في هـز ومربّع ز ﻩ إلى مربّع د ز  وكذلك أيضًا نسبة مربّع د هز جميعًا إلى مربّع د ز كنسبة مربّع ا ىج جميعًا إلى مربّع ا ج. وأيضًا تكون نسبة ا ىج جميعًا إلى ا ج كنسبة د ﻩ جميعًا إلى د ز وإذا ركّبنا تكون نسبة ا ىج مع ا ج إلى ا ج كنسبة د هـز جميعًا إلى د ز وأيضًا نسبة ا ج مع حـب كنسبة د ز إلى ز ﻩ وإذا بدّلنا فنسبة ا ب إلى د ﻩ كنسبة ا ج إلى د ز وكنسبة ىج ا إلى هـز فقد تبيّن أنّ الأعراض التي تعرض لكلّ خطّ مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين تعرض لكل خطّ قسم على نسبة ذات وسط وطرفين أعراض واحدة وببرهان أقليدس في شكل ىب من مقالة ىج بيّنٌ أنّ خطّ ىد قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج وقسم د ب منه ضلع المسدّس و ىج ضلع المعشّر وفي شكل بطلميوس أنّ خطّ جز مقسومٌ على نسبة ذات وسط وطرفين على د وقسمة الأطول الذي هو جـد ضلع مسدّس فقسمة الأقصر وهو د ب لا محالة ضلع معشّر وذلك ما أردنا أن نبيّن. ولـنـا لهذه الدعوى برهان آخر على طريق الخلف وهو هذا خطّ ا ب مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج وقسمه الأطول ا ج وهو ضلع مسدّس دائرة ما فـأقول إنّ جب ضلع معشّر تلك الدّائرة بـرهـانـه إن لم يكن ىج ضلع المعشّر فليكن ضلع المعشّر أطول أو أقصر من ىج نجعله أولًا أطول منه وهو جد فلأنّ ا ب مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج بالفرض وخطّ ا د قسم أيضًا على ج بتلك النسبة يكون ضرب ا ب في ىج مثل مربّع ا ج ويكون ضرب ا د في د ج مثل مربّع ا ج ويكون ضرب ا د في د ج مثل ضرب ا ب في ىج الأعظم مثل الأصغر هذا خلف. وعلى هذا إن كان الضّلع المعشّر بالفرض أصغر من ىج وذلك ما أردنا أن نبيّن. فقد تبيّن هذا البرهان بوجوه لكن أردنا أن نصحّحه بشكل ىب من مقالة ىج

من كتاب أقليدس في الأصول وبعكسه وبما قد تبيّن أيضًا من المقالة الرّابعة عشر من كتاب استقلانس المضاف إلى كتاب أقليدس في الأصول الهندسيّة وذلك ما أردنا أن نبيّن. فإن أردنا أن نعلم كميّة قسمي خطّ معلوم قد قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين بطريق العدد ومثاله خطّ ا ب فرض ﻩ ا قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج و ا ج أعظم القسمين فأردنا أن تنطّق كميّة كلّ واحدٍ من القسمين برهانه أنّا نقسّم ا ب بنصفين على نقطة ﻩ ونزيد في طوله ا ب مثل ا ج الذي هو القسم الأعظم وهو ا د و ا د مثل ا حـ وصارت له أعراضه مثل أعراضه كما قد بيّنا ﮷ وقد بيّن أقليدس في القول الثّالث عشر من كتابه أنّ كلّ خط قسّم على نسبةٍ ذات وسطٍ وطرفين وزاد في طول الخطّ مثل الخطّ الأطول فإنّ جميع ذلك الخطّ مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول هو الخطّ الأوّل قبل الزّيادة فقد انقسم خطّ بد على نسبة ذات وسط وطرفين وقسمة الأطول خطّ ىـا فضرب بد في د ا مثل مربّع ا ب ومربّع ا ب فرضناه ﻩﻩﻩا فضرب ىد في د ا ﻩﻩﻩا ونجمع إليه مربّع نصف ا ب وهو ٢٥ يكون مربّع هـد ١٢٥ و ا ﻩ معلوم وهو ٥ فيكون ا د معلومًا و ا د مثل ا ج الذي هو القسم الأعظم من خطّ ا ب فـ ا د الذي هو مثل ا ج هو جذر ١٢٥ إلّا خمسة آحاد ناقصة فـ ا ج معلوم و جب القسم الأصغر ١٥ آحاد إلّا جذر ١٢٥. وقد يعلم كميّة هذين القسمين بطريق آخر قريب من الأول وهو أن نأخذ مربّع العدد ونزيد عليه ربعه فجذر ذلك إلّا ٥ يكون القسم الأطول والأصغر ١٥ إلّا جذر ١٢٥ واللـم. وقد يعلم أيضًا كميّة هذين القسمين بطريق آخر على سبيل التّقريب وهو أن يضرب العدد المفروض في كا ويقسم المبلغ على لد فما خرج من القسمة يكون القسم الأعظم من قسميّ الخطّ. مثاله نفرض خطّ ا ب عشرة من العدد ونقسّمه على نسبة ذات وسط وطرفين على ج فضربنا ﻩ ا في ٢١ نحصل ٢١٥ قسمنّاها على لد خرج من القسمة ٥٦ ٥٣ ١٧ وهو القسم الأعظم والقسم الأصغر ٥٣ ١٤ ١٧ .

في بيان استخراج الأوتار بكمية العدد يجب أن تعلم أولًا أنّا إذا قلنا أجزاء من دائرة فإنّا نعني به أنّ الدّائرة مقسومة بـثلاثمائة وستين جزءًا وإذا قلنا أجزاء أوتار فنعني به أنّ قطر الدّائرة مائة وعشرون جزءًا ومن بعد ما تقدّم ذلك فأوّل ما وجد بطلميوس هو وتر السّدس ببرهان شكل ىه من مقالة د من كتاب الأصول لأنّه بيّن أنّ وتر السّدس لكلّ دائرةٍ مساوٍ لنصف قطرها فإذا كان القطر مائة وعشرين جزءًا كان وتر السّدس ستين جزءًا ثمّ وجد وتر الربّع ببرهان شكل و من مقالة د أنّ ضلع المربّع يقوى على مثليّ ضلع المسدّس فإذا ضربنا وتر السّدس في مثله بلغ ٣٦٠٠ وضاعفناه فكان ٧٢٠٠ فـإذا أخذنا جذره باثني عشر صفرًا حتى لا يسدّ عنه شيءً من الثّواني حصل جذره ٦٩٧٠٥٦٢٤ أنصفناه حصل ٨٤٨٥٢٨١٢ فإذا أرفعناه حصل وتر تسعين جزءًا الذي هو ربع الدّائرة فـد ىا ى ثمّ وتر الثّلث ببرهان شكل ىا من مقالة ىج من كتاب الأصول لأقليدس فلذلك ذلك ضرب بطلميوس نصف القطر الذي هو ستون جزءًا في مثله ثمّ ضرب ذلك في ثلثه فحصله ١٠٨٠٠ فإذا أخذ جذره كان قج نه كج وهو وتر الثلث ﮷ ثمّ وتر العشر فتبيّن من ذلك من برهان عكس شكل ىب من مقالة ىج من كتاب أقليدس في الأصول ولذلك ضرب بطلميوس ربع القطر في مثله فاجتمع تسع مائة ثمّ ضرب نصف القطر في مثله فاجتمع ثلاثة آلاف وستمائة ثم جمعهما وكان ٤٥٠٠ ثمّ أخذ جذره فكان ٦٧٠٤ ثم أسقط منها ربع القطر الذي هو ثلاثون جزءًا بقى لـز د نه وهو و وتر العشر ثم وتر الخمس فضرب بطلميوس وتر العشر في مثله فكان ١٧٨٢٩١٥٠٥ وضرب نصف القطر في مثله وكان أيضًا روابع ٤٦٦٥٦٠٠٠٠٠٠ ثمّ جمعهما فكان ٦٤٤٧٦٩١٥٠٥ ثمّ أخذ جذره فكان سبعين جزءًا واثنتين وثلاثين دقيقة وثلث ثواني كما بيّن أقليدس في شكل ىج من مقالة ىج من س أنّ ضلع المخمّس يقوى على ضلع المسدّس والمعشّر في الدّائرة. فقد تبيّن أنّه قد حصل خمسة أوتار وتر العشر وهو لـز د نه ووتر السّدس وهو وتر الخمس وهو ع لـب ج ووتر الرّبع وهو قد نا ى ووتر الثّلث وهو قج نه كج وإذا كان أحد هذه الأوتار معلومًا فتحصل تماماتها إلى مائة وثمانين يعني نصف الدّائرة لأنّ قطر الدّائرة معلوم

وواحد من هذه الأوتار معلوم فإذا نقص مربّع الوتر المعلوم من مربّع القطر واحد جذر الباقي كان الوتر المجهول كما قلنا. مـثـالـه دائرة ا ىج قطرها ا ج معلوم وأحّد هذه الأوتار معلوم فيكون الوتر الباقي وهو تمام الوتر المعلوم إلى نصف الدّائرة معلومًا لأنّ زاوية ب من مثلّث ا ىج قائمة لأنّها في نصف الدّائرة يكون مربّع وترها الذي هو القطر مثل مربّعي ا ب ىج ومربّع ا ب هو أحّد هذه الأوتار المعلومة فيكون ىج معلومًا بأن ينقص مربّع ا ب من مربّع ا ج ويؤخذ جذر الباقي فيكون المطلوب. مـثـال ذلـك بالـحـساب يجعل ا ب وتر العشر الذي هو لـز د نه كما قد تبيّن ومربّعه ١٣٧٥ و كو نه ومربّع القطر وهو خطّ ا ج ١٤٤٠٠ فإذا ألقينا الأول من هذا يبقى ١٣٠٢٤ وأربع وخمسون دقيقة وخمس وأربعون ثانية فجذر هذا وهو ١١٤ وسبع دقائق وسبع وثلاثون ثانية بالتقريب يكون وتر كج تمام وتر العشر وعلى هذا القياس يستخرج سائر تمامات الأوتار وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈I.2〉 الشّكل الـثّـانـي

أقول إنّ بطلميوس أراد أن يبيّن كيف يعلم إذا كان وتران معلومان ووصل بينهما توتر كيف يعلم ذلك الوتر فجعل لمعرفة هذا مقدمة وهي هذه. كل شكل منحرف تحيط به دائرة كمنحرف اىجد في دائرة اىجـد وقطره ا ج ىد فإنّ الذي يكون من ضرب ا ب في جـد مع الذي يكون من ضرب ىج في ا د مثل الذي يكون من ضرب ا حـ في ىد ﮷ فلنفرض زاوية ا ىد أعظم من زاوية د ىج حتى يكون قوسها ووترها أعظم إذ فرضناه مختلف الأضلاع ونجعل زاوية ا ىه مثل زاوية د كـج فلأنّ زاوية د كـج مثل زاوية ا به وزاوية هـىد مشتركة تكون زاوية ا ىد مثل زاوية جـبه وزاوية ىحـه مثل زاوية ىدا لأنّها على قوس واحدة كما قد تبيّن في شكل كـ من مقالة ج من كتاب س

فمثلّثا ا ىد ىجه متشابهان كما قد تبيّن في شكل د من مقالة و من س فيكون نسبة ىج إلى جه كنسبة ىد إلى د ا فضرب ىج في د ا مثل ضرب جه في ىد كما قد تبيّن في شكل ىه من مقالة و من س وأيضًا زاوية ا ىه مثل زاوية د ىج وزاوية ىا ﻩ مثل زاوية ىد ج لأنـّهما على قوس واحدة كما قد علمت فتبقى زاوية ا هـب مثل زاوية د حـب فنسبة ىا إلى ا ﻩ كنسبة ىد إلى د ج فضرب ىا في جد مثل ضرب ىد في هـا وقد تبيّن إنّ الذي يكون من ضرب ىج في ا د مثل ضرب ىد في جه فالذي يكون من ضرب جميع ا ج في ىد مساوٍ للذي يكون من ضرب ا ب في جد مع الذي يكون من ا د في جب كما قد تبيّن في شكل ا من مقالة ب من س وذلك ما أردنا أن نبيّن. وقـد يـمـكـنـنـا أن نـبـرهـن عـلـى هـذا الشّكل بـطـريـق الـعـدد إذا كان المنحرف في نصف الدّائرة على هذا المثال منحرف اىجـد في نصف الدّائرة وقطراه ا ج ىد وفرض قطر الدّائرة ٥٠ وهو ا د وضلع جـد ٣٠ وضلع ا ب ٢٠ و ىه ٣٠ و ىج مجهول فـأمّا معرفة ا ج فـإنّا ننقص مربّع جد من مربّع ا د يكون الباقي مربّع ا ج وأمّا معرفة ىج فزاوية ىج فزاوية ىج ﻩ مثل زاوية اجد لأنّا علمنا زاوية كه جه مساوية لزاوية ا جب وزاوية جا د مثل زاوية جـىه فمثلّث اجد تشبه مثلّث بجه ونسبة ىج إلى ىه كنسبة جا إلى ا د و ا ج أربعة أخماس ا د فىج أربعة أخماس ىه وذلك ٢٤ وإذا أردنا أن نعلم كم يكون هـد فقد نعلم أنّ مثلّث دهـج تشبه مثلّث اىج لأنّ زاوية ىج ا مساوية لزاوية هجد وزاوية جدﻩ مساوية لزاوية ىا ج فنسبة ىا إلى ا ج كنسبة د ﻩ إلى د ج و ا ب نصف ا ج فـدﻩ نصف جد الذي

هو ٣٥ فدﻩ ١٥. وأمّا معرفة جه فإنّا قد علمنا أن زاوية ىج ﻩ قائمة فننقص مربّع ىج من مربّع ىه فيبقى مربّع جه ٣٢٤ وجذره ١٨ وهو جه. وعلى هذا القدر الذي مثّلنا لا تكون زاوية ا ىد قائمة وإن كانت في نصف دائرة بل منفرجة لأنّ مربّعي ا ب و ىد مجموعين أقلّ من مربّع ا د فمعرفة ىد يكون على ما ذكرنا. وإذا أردنا معرفة ىز و ز ﻩ فإنّ مثلّث ىز ج يشبه مثلّث ز ا د لأنّ زاوية ا ز د مساوية لزاوية ىز ج للتقابل وزاوية ز ىج مثل ز ا د لأنّهما على قوسٍ واحدة وهي جد وزاوية ز جب مثل زاوية ا د ب لأنّهما على قوس ا ب فنسبة جب إلى ىز كنسبة د ا إلى ا ز وإذا بدّلنا فنسبة ىج إلى ا د كنسبة ىز إلى ز ا و ىج ٤٤ و ١٦ ٥٠ فـهز ١٢ جزءًا من ٢٥ جزءًا من ز ا فقد تجزّئ ا ز لخمسة وعشرين جزءًا فـىز ا جزاءً من أجزاء ا ز الذي هو ٢٥ وهو أقلّ من النصف فحفظ ذلك وكذلك سبيل الجانب الآخر مثل هذا وذلك أن نسبة تج إلى ج ز كنسبة ا د إلى د ز وإذا بدّلنا فنسبة ىج إلى ا د كنسبة جزء إلى ز د فجزء أيضًا ١٢ جزءًا من ٢٥ جزءًا وصارت أجزاء ز ج ١٢ جزءًا من هذه الأجزاء التي هي ٢٥ وقد علمنا أنّ جميع ىد ٤٥ خمسة أسداس تقريبًا و اج ٤٠ فأجزاء ىز التي هي ١٢ أقلّ من أجزاء ١٢ الت هي ز ج مثل تسعة فـبز ثمنيه اتساع ز ج فنضربه في ١٢ التي هي أجزاء جز فيكون ٩٦ ونقسّمه على و فيخرج ﻩ ا وثلثي و ز د ٢٥ جزءًا فقد نجزّئ جميع ب د الذي ٢٥ بخمسةٍ وثلاثين جزءًا وثلثي جزء قسطها أثلاثًا فتصير جميع ىد مائة جزء وسبعة أجزاء وصارت ز ٣٢ فقدر ٣٢ من ١٠٧ كقدر المجهول من ٤٥ فنضرب ٣٢ في ٤٥ ونقسّمه على ١٠٧ التي هي أجزاء ىد فيخرج من القسمة ١٣ و ٤٩ جزءًا من ١٠٧ جزءًا من واحد وهي بز فإذا كان ىز ١٣ و ٤٩ جزءًا من ١٠٧ جزءًا كان ز ﻩ معلومًا لأنّ به ٣٠ وهد ١٥ كذلك فرضناه فصار ز ﻩ ١٤ و ٥٨ جزءًا من ١٠٧ وإذا كان بـز معلومًا كان ا ز معلومًا لأنّ ا ز مثلًا ز ب ومثل نصف سدسه فإذا كان ا ز معلومًا وكان ا ج معلومًا صار ز ج معلومًا فقد صارت الخطوط كلّها معلومة وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈I.3〉 الشّكل الـثـّالـث

إنّ بطلميوس أراد أن يبيّن أنّه إذا كان في الدّائرة وتران معلومان ووصل فيما بينهما بوتر فإنّ ذلك الوتر يكون معلومًا فجعل الشّكل الثاني مقدمةً له. مـثـالـه نصف دائرة قطرها ا د ووتر ا ب ا ج معلومان ونصل ىج فـأقول إنّ ىج معلوم. بـرهـانـه أنّا نصل خطّي ىج د فيكون هذان الخطّان معلومين كما قد بيّن قبل أنّه إذا كان وتر قوسٍ ما معلومًا فإنّ وتر تمامه عن نصف الدّائرة معلوم وأحاطت دائرة بشكلٍ ذي أربعة أضلاع يكون ضرب ا ب في جد مع ضرب ا د في ىج مساويًا لضرب ا ج في ىد كما قد تبيّن في الشّكل الذي قبل هذا ولكنّ ضرب ا ب في جد معلوم والذي يكون من ضرب ا ج في ىد أيضًا معلوم فيبقى المجتمع من ضرب ا د في ىج معلومًا فلنقّسم ذلك على د ا المعلوم وهو القطر المعلوم فيصير وتر ىج معلومًا وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈I.4〉 الشّكل الـرّابـع قال وقد يمكننا أن نعلم أيضًا وتر نصف قوس

معلومة الوتر. مـثـالـه نصف دائرة قطرها ا ىج والوتر ىج معلوم وقسمت القوس بنصفين على د فـأقول إنّ ىد معلوم بـرهـانـه نصل خطوط ا ب ا د ىد دج ونخرج من ء عمودي د ز ونجعل ا ﻩ مثل ا ب وخطّ ا د مشترك وزاوية ىا د مثل زاوية هـا د لأنّهما على قوسين متساويين كما في شكل كـو من مقالة ج من س تكون قاعدة ىد مثل قاعدة د ﻩ كما في شكل د من مقالة ا من س وخطّا ىد د ج متساويان لأنّهما على قوسين متساويين كما في شكل ىجح من مقالة ج من س فمثلّث د هـج متساوي السّاقين وقد أخرج من رأسه إلى قاعدته عمود د ز فخطّ هـز مثل خطّ ز ج وربما كان خطّ هـج زيادة خطّ ا ج على خطّ ا ب فخطّ جز هو نصف ما بين خطّي ا ج و ا ب ولأنّ وتر ىج قد كـنّا جعلناه معلومًا يصير وتر ا ب معلومًا لأنّه وتر تمام نصف الدّائرة وإذا أنقصنا ا ب من ا ج بقي هـج معلومًا ويصير نصفه الذي هو جز معلومًا ولأنّ

مثلّث ا د ج قائم الزّاوية لأنّه في نصف الدّائرة وقد أخرج من زاويته القائمة عمود د ز يكون نسبة ا ج إلى ج د لنسبة جد إلى جز كما في شكل ح من مقالة و من س يكون ضرب ا ج في ج ز مساويًا لمربّع خطّ جد كما في شكل ىـز من مقالة و من س يكون ضرب ا ج في ج ز مساويًا لمربّع خطّ جد كما في شكل ىـز من مقالة و من س ولكنّ ضرب ا ج في ج ز معلوم فمربّع جد معلوم وجد الذي هو نصف قوس ىج معلوم وذلك ما أردنا. وإذ عرفنا هذا فقد اتّضح لنا السّبيل إلى معرفة أجزاء وتر ثلاثة أجزاء ووتر جزء ونصف ووتر نصف جزء وربع ووتر قوس اثني عشر جزءًا. ونقول أيضًا إنّا إذا أعطينا قوسين صغرين معلومتي الوتر أمكننا أن نعرف وتر مجموعهما أقلّ من نصف دائرة فذلك هو المطلوب في مساحتنا أعني أنّ ا ج معلوم وليخرج القطر ا د ونصل ج د فلأنّ ا ب ىج معلومان يكون ء ج الباقي معلومًا فوتر قوس ا ج الباقية إلى نصف الدّائرة معلوم. وبرهان ذلك كما بيّنا بأنّا نخرج أيضًا قطر ىز ﻩ ونصل ج د د ﻩ جه د ب و ىج معلوم فـجه أيضًا معلوم وبمثل ذلك ىد بسبب ا ب معلوم ويصير هذا معلومًا فيصير جد الضّلع الرّابع معلومًا بسبب القطرين وهما بـه ا د ويحصل ا ج معلومًا فإذا حصّلنا وتر قوس أصغر القسيّ المفروضة ولم نزل نركّب تلك القوس مع قسيّ أخر معلومة الأوتار كان أوتار المجموعات معلومة وكذلك إذا ضاعفنا القوس الصغيرة جدًا دائمًا. وبطلميوس يروم أن يضع أصغر الأوتار وتر نصف جزءٍ فإذا عرفت وتر نصف جزءٍ أمكنك أن تستخرج وتر ربع جزءٍ وثمن جزءٍ ولكنّ الذي اعتمده من طريق التّنصيف لا يؤدي به إلى نصف جزء حتى تسهل علينا معرفة سائرها وذلك لأنّا انتهينا في استخراج الأوتار إلى وتر فصل ما من السّدس والخمس وذلك ثمنيه

وأربعون والتّنصيف يؤدّي بنا إلى وتر أربعة وعشرين ثمّ إلى اثني عشر ثمّ ستّة ثمّ ثلاثة ثمّ واحد ونصف ثمّ نصف وربع ولا يؤدّي إلى معرفة وتر واحد ووتر النّصف وكذلك ينصّف وتر السّدس وهو ستون يؤدي إلى وتر ثلاثون ووتر خمسة عشر ووتر سبعة ونصف ولا يؤدي إلى الواحد وإلى النصف وإن ابتدأت من تنصيف وتر العشر وهو ستّة 〈و〉ثلاثون تأدّت أيضًا إلى أربعة ونصف واثنين وربع. ولو كان يمكننا أن نعرف وتر ثلث قوسٍ معلومة الوتر لكان ذلك يخرج لنا من وتر جزء ونصف جزء فإذ لم يمكنّا فيجب أن نسلك فيما نرومه سبيلًا من التّقريب ونستعين بهذا الشّكل. قال نسبة الوتر الأطول إلى الوتر الأقصر في دائرة واحدة أصغر من نسبة القوس الكبرى إلى القوس الصغرى. مـقـدّمـة يحتاج إليها في هذا الشّكل وهي عكس الشّكل الثّاني عشر من المقالة الخامسة من كتاب أقليدس وهو إذا كانت ستّة مقادير وكانت نسبة الأوّل إلى الثّاني أعظم من نسبة الثّالث إلى الرّابع ونسبة الثّالث إلى الرّابع أعظم من نسبة الخامس إلى السّادس فإنّ نسبة الأوّل إلى الثّاني أعظم من نسبة الخامس إلى السّادس. مـثـالـه نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د ونسبة ج إلى د أعظم من نسبة ﻩ إلى ز أقول إنّ نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﻩ إلى ز بـرهـانـه أنّ نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د يجعل نسبة ج إلى ب كنسبة ج إلى د ونسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د يكون نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى ب فأعظم من ج. وأيضًا فلأنّ نسبة ج إلى د أعظم من نسبة ﻩ إلى ز يجعل نسبة ط إلى ب كنسبة ﻩ إلى ز ونسبة ج إلى د هي كنسبة ج إلى ب ونسبة ﻩ إلى ز هي كنسبة ط إلى ب ونسبة ج إلى د أعظم من نسبة هـي إلى ز تكون نسبة ج إلى ب أعظم من نسبة ط إلى ب فتكون ح أعظم من ط وقد كان تبيّن أنّ ا أعظم من ح فـا أعظم كثيرًا من ط و ب مقدار آخر فنسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ط إلى ب ونسبة ط إلى ب هي كنسبة ﻩ إلى ز فنسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﻩ إلى ز وذلك ما أردنا أن نبيّن. وبرهان هذا

العكس لا يخرج بإضعاف المقادير. دائرة ا ىج فيها وتر ا ب ىج و ىج أعظم من ب ا أقول إنّ نسبة ىج إلى ىا أعظم من نسبة قوس جب إلى قوس ىا بـرهـانـه قال نقسّم زاوية جىا بنصفين بخطّ ىد ونصل ا ج جد د ا يكون جد مساويًا لا د كما تبيّن في شكل كو من كتاب س وعكسه ثمّ قال إنّ خطّ جه أطول من خطّ هـا كما تبيّن في شكل ج من مقالة و من س فتكون نسبة جب إلى ىا كنسبة جـه إلى هـا وإذا بدّلنا تكون نسبة جب إلى جه كنسبة ىا إلى ا ﻩ كما قد تبيّن في شكل ىو من مقالة ﻩ من س فهذه أربعة أقدار متناسبة الأول وهو جب أعظم من الثّالث وهو ا ب فيكون الثّاني وهو جه أعظم من الرّابع وهو ا ﻩ كما تبيّن في شكل ىه من مقالة ﻩ من كتاب س ثمّ قال نخرج من د عمود د ز فيقع على ج ﻩ لأنّ العمود يقسم خطّ جا بنصفين ثمّ قال إنّ خطّ هـد أعظم من خطّ د ز لأنه وتر زاويةٍ قائمةٍ وقال إنّ خطّ د ا أعظم من خطّ هـد لأنّ زاوية د ها خارجة من مثلّث د هـز يكون أعظم من زاوية ز وهي قائمة فزاوية ﻩ تكون منفرجة في مثلّث د هـا فـدا الذي هو وترها أعظم من هـد. ثمّ قال ندير على نقطة د ونبعد هـد دائرة فتقطع د ا ويجوز خارج د ز وهي دائرة ح هـط ثم قال فلأنّ قطّاع ء هـط أعظم من مثلّث د هـز ومثلّث د هـا أعظم من قطّاع د هـج تكون نسبة القطّاع إلى القطّاع أعظم من نسبة المثلّث إلى المثلّث لأنّ قطّاع د هـط أعظم من مثلّث د هـز يجعل قطّاع د هـج مقدارًا آخر فتكون نسبة قطّاع د هـط إلى قطّاع د هـج أعظم من نسبة مثلّث د هـز إلى قطّاع د هـج كما قد تبيّن في شكل ح من مقالة ﻩ من س. وأيضًا فلأنّ مثلّث د هـا أعظم من قطّاع د هـج ومثلّث د هـج مقدار آخر فإذا نسبناه إليهما كانت نسبته إلى قطّاع د هج أعظم من نسبته إلى مثلّث د هـا كما قد تبيّن أيضًا في شكل ح من مقالة ﻩ من س فقد حصلت ستّة مقادير الأول هو قطّاع د هـط نسبته إلى الثاني وهو قطّاع د هـج أعظم من نسبة الثّالث وهو مثلّث د هـز إلى الرّابع وهو أيضًا قطّاع د هـج ونسبة الثّالث وهو مثلّث د هـز إلى الرّابع وهو قطّاع د هـج أعظم من نسبة الخامس وهو أيضًا

مثلّث د هـز إلى السّادس وهو مثلّث د هـا فتكون نسبة الأوّل وهو قطّاع د هـط إلى الثّاني وهو قطّاع د هـج أعظم من نسبة الخامس وهو مثلّث د هـز إلى السّادس وهو مثلّث د هـا كما قد بيّنا في مقدمة هذا الشّكل. ثمّ قال ونسبة مثلّث د هـز إلى مثلّث د هـا كنسبة ز ﻩ إلى هـا لأنّهما في جهةٍ واحدةٍ وارتفاعهما هو واحد كما قد تبيّن في شكل ا من مقالة و من س وقال ونسبة قطّاع د هـط إلى قطّاع د هـج كنسبة زاوية ﻩ د ز إلى زاوية ﻩ د ح لأنّهما إذا كان قطّاعان متساويان فإنّ زواياهما متساوية والبرهان على هذا انطباق أحدهما على الآخر فينطبق القوس على القوس فإن انطبقت الزّاوية على الزّاوية فقد صحّت الدّعوى وإن لم ينطبقا فتقع إحداهما داخلةً الأخرى أو خارجةً عنها فتكون زاويةً واحدةً مساويةً لشيءٍ وأكبر منه هذا خلف. ثمّ إذا كان أحدهما أعظم والآخر أصغر فلابدّ من أن تكون إحدى الزّاويتين أعظم والأخرى أصغر. فأمّا حال النسبة بينهما والبرهان على أنّ نسبة القطّاع إلى القطّاع كنسبة الزّاوية إلى الزّاوية فيخرج بأن نأخذ للقطّاعين أضعافًا متساويةً وللزاويتين أيضًا كما في الشّكل الأخير من المقالة السّادسة من كتاب أقليدس فتكون نسبة القطّاع إلى القطّاع كنسبة الزّاوية إلى الزّاوية لا محالة. ثمّ قال وإذا ركبنا تكون نسبة ز ا إلى ا ﻩ أقلّ من نسبة زاوية ز د ا إلى زاوية ﻩ د ا كما تبيّن في شكل ىح من ﻩ من س ثمّ قال ونسبة الإنصاف إلى الإضعاف هي ظاهرة. ثم قال ا ج ضعف ا ز لأنّ العمود قسّم ا ج بنصفين على نقطة ز وزاوية ج د ا ضعف زاوية ز د ا لأنّ خطّ جز مساوٍ لخطّ ز ا وخطّ ز ا وخطّ ز د مشترك وقاعدة ج د مساوية لقاعدة د ا فتكون زاوية جد ز مساويةً لزاوية ز د ا فتكون زاوية جد ا ضعف زاوية جد ز فلهذا قال إنّ نسبة جا إلى ا ﻩ أقلّ من نسبة زاوية جد ا إلى زاوية هـد ا ثم قال وإذا فصّلنا فنسبة خطّ ج إلى خطّ هـا

أقلّ من نسبة زاوية جد ﻩ إلى زاوية ﻩ د ا كما قد تبيّن في شكل ب من مقالة ﻩ من س ثمّ قال ونسبة جد إلى هـا كنسبة وتر جب إلى وتر با كما قد بيّنا قبل وقلنا كما في شكل ج من مقالة و ثمّ قال ونسبة زاوية ج د ب إلى زاوية ىد ا كنسبة قوس ىج إلى قوس ىا كما قد تبيّن في آخر المقالة السادسة. فقد تبيّن أنه إذا كان في دائرةٍ ما وتران غير متساويين فإنّ نسبة الوتر الأعظم منهما إلى الأصغر أقلّ من نسبة قوس الوتر الأعظم إلى قوس الوتر الأصغر وذلك ما أردنا أن نبيّن. قال بطلميوس فإذا قد قدمنا هذا فلنبيّن تقرير جزء واحد بأقرب تقريب وتركيب الأوتار من الشّكل الثّالث كيف نعرف وتر فضل ما بين سدس الدّائرة وخمسها وهو س وخمسها وهو عب والفصل يب ومن الشّكل الرّابع نصفه ونصف نصفه حتى ينتهي إلى وتر جزء ونصف ووتر نصف جزء وربع. ومن بعد ذلك فإنّا بخطّ دائرة ا ىجد و وليكن ا ب بوتر نصف وربع جزء من الدّائرة وبخطّ ا ج توتر جزءًا واحدًا ونصفًا من الدّائرة فنسبة وتر ا ج إلى وتر ا ب أقلّ من نسبة قوس ا ج إلى قوس ا ب وقوس ا حـ مثل وثلث قوس ا ب و ا ب قد تبيّن أنّه مز دقيقة ح ثانية ومثل وثلث ا ب يكون ا ب مط ووتر ا ج أقلّ منه وأيضًا ا ج وتر قوس جزءٍ واحدٍ وخط ا د وتر قوس جزء ونصف هو س ا د مثل ونصف قوس ا ج فوتر ا د أقلّ من مثل ونصف وتر ا ج فوتر ا ج أكبر من ثلثي وتر ا د ووتر ا د قد بيّنا أنّه درجة وأربع وثلاثون دقيقة وخمس عشرة ثانية ويلياه درجة ودقيقتان وتسع وأربعون ثانية وثمانية وأربعون ثالثة ووتر ا ج أكبر منه فإذا كان وتر الجزء الواحد مرة أقلّ ومرّة أكبر من شيءٍ واحدٍ بعينه كان ذلك التّفاوت ممّا لا قدر له ولا يظهر للحس فإذا أخذ نصف التّفاوت وزيد على الأقلّ حصل وتر جزء واحد بأقرب تقريب ا ب مط ن ومن هذا نركب الأوتار ونضع في الجداول ﮷ وأمّا في الحقيقة فليس نسب القسيّ بحسب الأوتار فهذا هو الغرض الأوّل من هذه الأصول.

طـريـقـة أخـرى في تـقـريـر أجزاء الـواحـد من أجزاء الـفـلـك على طريقة بطلميوس ومَنْ سلك تلك الطريقة من مفسّري كتابه المعروف بالمجسطيّ وذلك بأن نستخرج ضلع شكل ذو خمسة عشر ضلعًا كما بيّن أقليدس في الشّكل الأخير من مقالة د من كتابه في الأصول فيكون أربعًا وعشرين درجة ينصّفها ثلاث مرّات تبقى قوس هي ثلاث درج نقسّمها بثلاثة أقسام متساوية بأن نخرج من طرفها إلى مركز الدّائرة خطّين مستقيمين ثم نقسّم الزّاوية الواحدة بثلاثة أقسامٍ متساويةٍ كلّ قسم ٍمنها هي قوس ووتر كلّ واحدة منها هو جزء من ثلاثمائة وستين جزءًا مـثـالـه دائرة ا ىج على مركز د وقوس ىج ثلث درج ونخرج خطي ب د ج د ونقسّم زاوية د بثلاثة أقسام متساوية فوتر كل قوس من القسيّ الثلاث يكون معلوماً لأنّه ضلع شكل ذي ثلاثمائة وستين جزءًا وعامّة أصحاب الرّياضيّات يأخذون وتر القوس المعلومة معلومة كالمقدّمات الأوّليّة ﮷ وقد بيّن أقليدس في كتاب المعطيات أنّ القسيّ المعلومة معلومة الأوتار لأن نقطتي نهايتي طرفيها معلومتا الوضع فالخطّ الواصل بينهما لا محالة معلوم القدر ونسبتها إلى القطر معلومة واستخراج أوتار القسيّ المعلومة يمكن وجوده بوجوه كثيرة ما لم يؤدّ إلى وتر سدس عشر دائرة فإن أدّى إلى ذلك احتيج إلى استعمال المخروطات وذلك ما أردنا أن نبيّن. فقـد تـبـيّـن من هذا إحدى مقدّمة الجليلة المطلوبة من قسمة الزّاوية بثلاثة أقسام متساوية ﮷ وقد برهن على هذا العمل عدة من كبار المهندسين إلا أنّ أحسنها برهاناً وأقربها مأخذاً وأسهلها عملًا ووجودًا ما أورده شنّي المهندس وهو على هذا المثال ﮷ زاوية ا ب ج مفروضة نريد أن نقسمها بثلاثة أقسام متساوية فنخرج عمود ا ء ونجعل د ج مثلاً د ب ونخرج من ج خطًّا يقع على عمود ا ء. مثل ج ﻩ ز على أن يكون هـز مثل ز ب ووجود هـذا الخطّ بالعمل أن نضع مسطرة على عمود ا د مع ثبات نقطة ج ونحرّكها إلى أن تصير ﻩ ز مثل ز ب ونخرج خطّ ب ﻩ فلأنّ ب د

مثل د ج و د ﻩ مشتركاً وزاويتي د قائمتان يكون هب مثل ﻩ ج وزاوية هـج د مثل ﻩ ب د وكلاهما مثل ز ﻩ ب الخارجة لكنّ ز ﻩ ب مثل ز ب ﻩ فزاوية ز ب ﻩ إذًا ضعف زاوية ﻩ ب د فإذا قسمناها بنصفين انقسمت زاوية ا ىج ثلاثة أقسام متساوية. وأمّا الغرض الثاني فهو أن نعرف القوس التي بين الانقلابين إذا نصّفناها كانت غاية الميل وكلّ من أراد عمل رصد الكواكب ابتدأ نعمل آلة يعرف بها الميل الكلّي وهو ميل رأس السّرطان عن معدّل النّهار فاستعملوا آلةً يمكن أن يعلم بها غاية ارتفاع الشمس عند حلولها أوّل ثانيةٍ من السّرطان بأدنى ما يمكن معرفته ويحفظ به. ثم يعلم أيضًا ارتفاعها عند حلولها أوّل ثانيةٍ من الجدي مما حصل ينقص من المحفوظ مما بقي كان القوس التي بين الانقلابين لا محالة فإذا نصّف كان ميل كل واحدةٍ من نقطتيّ رأس السّرطان ورأس الجدي عن دائرة معدل النهار. وقد وجد ذلك بالرّصد الذي عمل بالسندهـند كـد درجة ولم نسمع رصدًا أقدم منه ثم وجد بعد ذلك بطلميوس قوس ما بين المنقلبين مز مب وأكثر من ثلثي جزء وأقلّ من نصف وربع جزء فإذا نصّف ذلك كان ىحج ىا كا قريبًا مما وجده أراطسنانس ووافقه إبرخس إذ جعل نسبة هذه القوس إلى الدّائرة أحد عشر جزءًا من ثلاثة وثمانين بالتّقريب. ثم وجد بعد ذلك بأرصاد المأمون المعروف بالشمّاسيّة التي عملها يحيى بن أبي منصور وأجمع عليها عدّة من العلماء فوجدوا الميل الأعظم ىحجـ له ﮷ ثمّ رصد بنو موسى بن شاكر المنجّم ارتفاع الشمس نصف النهار عند دخولها أوّل الجدي بمدينة السّلام وذلك يوم الخميس الثّالث من الانـدرجاهات سنة مائتين وسبع وثلاثين ازدجـرد فوجدوا ارتفاعها لج ﻩ ورصدوا أيضًا ارتفاعها نصف النهار عند دخولها أوّل السّرطان فوجدوا ارتفاعها ف ىه وذلك يوم الجمعة أوّل يومٍ من ماﻩخرداد سنة مائتين وثمان وثلاثين ازدجرد و هذان الرّصدان كانا في دار ميم التي على الجسر بمدينة السلام فإذا ألقي أقلّ الارتفاعين من أكثرها بقي القوس التي بين الانقلابين مز ى فإذا نصف ذلك حصل كو ى وهو غاية

الميل موافقًا لما وجدوا بالرّصد الشمّاسيّة المأمونيّة وإذا زيد الميل كلّه على أقلّ الارتفاعين الموجودين أو نقص من أكثرهما كان الحاصل أو الباقي ىو م وهو غاية ارتفاع أول الحمل والميزان فإذا نقص هذا من تسعين بقي كج كــ وهو عرض مكان الجسر من معدّل النّهار ببغداد. ثم رصدوا بعد ذلك في أيام عضد الدّولة بحلقةٍ قطرها عشر أذرع سمّوها الحلقة العضدية تولى عمل هذا الرّصد أبو الحسين عبد الرحمن بن عمر الصوفي وجماعة من علماء ذلك العصر من أصحاب العلم الرّياضيّ المتوسمين بخدمة الحضرة العضديّة فوجدوا الميل الأعظم أقلّ من الذي بيّنا قبل شيءٍ يسير. ثم رصد بعد ذلك أبو جعفر الخازن بالرّيّ في أيام الأستاذ الرئيس أبي الفضل بن العميد وشاركه أبو الفضل الهروي وغيره من فضلاء ذلك العصر بحلقةٍ قطرها ثماني أذرع فوجدوا الميل الكلّي أقلّ من الذي وجدوه بالحلقة العضدية بشيء يسير أيضًا. ثمّ رصد بعد ذلك أبو محمود الخجندي في أيام فخر الدولة بآلةٍ لم يستعملها أحد إلى هذه الغاية سمّاها السّدس الفخريّ لأنّها سدس دائرة لنصف النّهار وقطرها ثمانون ذراعاً والفرق بين هذه الآلة وبين غيرها من الآلات أن أصحاب الأرصاد قد أدركوا بها الميل درجًا ودقائق وفقط وهذا الشيخ أدرك بهذه الآلة درجًا ودقائق وثواني حتى أدرك ثانيةً واحدةً. ثم رصدوا الشمس بهذه الآلة بالرّي في سنة أربع وثمانين وثلاثمائة من تاريخ الهجرة وهي سنة ثلاث وستين وثلاثمائة من تاريخ يزدجرد فوجدوا البرّ ارتفاع الشمس لنصف نهار يومين متوالين وهما يوم السبت ويوم الأحد وزهرمز وروز بهمن من ماه تير من السّنة المذكورة متطابقين وهو عز ىز م فدلّ ذلك أنّ حلول الشمس أوّل السّرطان كان الليلة التي صباحها يوم الأحد روز بهمن نصف الليل سواء. ثم رصدوا الشمس يوم الجمعة روزاسمان من ماه آذر من هذه السّنة فوجدوا الارتفاع لنصف النهار ل ىج له ويوم السّبت كانت السّماء متغيّمة وكذلك يوم الأحد ووجدوا الارتفاع يوم الاثنين روزانيران من ماه آذر نصف النّهار ل ىج لب فنقص عن ارتفاع يوم الجمعة روزاسمان نصف النّهار ثلاث ثوانٍ فدلّ ذلك على أنّ حلول الشمس أوّل الجديّ كان في الليل الذي صباحها يوم الأحد روزمهراسفند من ماه آذر قبل نصف الليل بشيءٍ يسيرٍ.

فاحتالوا حتى وجدوا نقطتين من فلك البروج بعدهما من نقطتي الانقلابين بعد واحد وهو  كح لو ووجدوا ارتفاع النّقطة التي تلي المنقلب الصّيفيّ عز ىز م ووجدوا ارتفاع النّقطة التي للمنقلب الشتويّ ل ىج ب ل وهو أقلّ الارتفاعين غير معدّل فإذا نقص أقلّ الارتفاعين من أكثر ممّا بقي مز د لز ل فنصفه كج لج ىح مه وهو الميل الأعظم على مذهب القدماء. فأمّا هذا الحكم فإنّه لما حصل له نصف أقلّ الارتفاعين عرف وتره وضربه في ستّين فما حصل حفظه للجزء المقسوم عليه ثمّ نقص القوس التي هي من أوّل السرطان وهي ﻩ كح لـو من تسعين واحد جيب الباقي وقسّمه على المحفوظ فما خرج كان وتر ضعف الميل المحقّق قسّمه بنصـفين فحصل جيبه أحد قوسه فكانت القوس كج لب كا وهو الميل الأعظم. ثمّ قوّم الشّمس روز أنيران من ماه آذر وعدّل ارتفاع نصف نهاره فحصل ل ىج ب ل. فلمّا أراد عرض الرّي وقد حصل الميل الأعظم كج لب كا وكان ما بين الارتفاعين مز د لز ل فقسّمـه بنصـفـين فكان كج لب يح مـه زاد على أقلّ الارتفاعين المعدّل الذي هو ل ىج ب ل بلغ نـد كـه كـا مـه وهو ارتفاع نقطتيّ الاعتدالين نقصه من تسعين بقي له لـد لـح ىه وهو عرض المحمّديّة بالرّصد الميمون بالآلة المسمّاة السّدس الفخريّ بالحساب المتقن. أقول إنّ أحوال الرّصد بعيد ممّا نحن بسبيله لكنّ الغرض الثّاني من تعليم المجسطيّ بعد علم استخراج الأوتار في الدّوائر واستخراج حسابها والبرهان عليها هو أمر بالرّصد وأوّل ذلك معرفة الميل الأعظم وكلّ من ابتدأ برصد الكواكب ابتدأ بأمر الميل وهيّأ كلّ واحدٍ منهم آلةً دون آلة غيره مثل الحلقة والحائط واللبنة وغير ذلك وأردت أن أشير إلى علم ذلك وخاصّةً في شرح هذه الآلة العجيبة البديعة المسمّاة السّدس الفخريّ. وأعجب الأمور أنّ كلّ من وضع آلة الرّصد

للميل وجده أقلّ من الذي قبله بشيءٍ قليلٍ وأوّل من رصد بالسندهند فوجده كما قلنا كـد وأراطستالس وإبرخس وبطلميوس وجدوا كج نا تقريبًا ووجد الخجنديّ كما قلنا كج لب كا والتفاوت بين الأكثر والأقلّ تقريب من نصف درجة وممتنع أن يقع هذا الاختلاف من الميول بسبب الآلة لأنّه لو كان من جهة الآلات لوجب أن يكون وجود هذا الميل مرّة زائدًا ومرّةً ناقصًا ولا ينقص على نسقٍ واحدٍ فلمّا وجدوه على النّقصان دلّ على أنّ الاختلاف من جهة أخرى وهو أنّ أعظم

ميل فلك البروج عن معدّل النهار غير ثابت وقد ظنّ قوم أنّ الميل ينقص وسُئلت مرارًا هل يجوز نقصان الميل فقلت لهم إنّ ذلك غير ممتنع لأنّ بطلميوس وبعض أصحاب الأرصاد ذكروا أنّ لكل واحدٍ من كوكبي الزّهرة وعطارد فلكًا خارج المركز وهو في سطح فلك جوزهر الكوكب ويميل عن فلك البروج بمقدارٍ ما ثمّ ينقص هذا الميل وينطبق الفلك الخارج المركز على الفلك المائل ثمّ ينفتح في الجهة الأخرى إلى غاية الميل ثمّ ينقص أيضًا وينطبق الفلكان ويعرض هذا الانطباق في السّنة الواحدة مرتين وكذلك يعرض في أفلاك تداوير الكواكب الخمسة المتحيّرة فإنّ الدّائرة التي يسير عليها جرم الكوكب ينطبق على الفلك الخارج المركز وينفتح أيضًا ويعرض هذا الانطباق في الدّورة الواحدة للكوكب على فلك تدويره مرّتين فإذا جازت هذه الحركة من جهة الطبيعة للفلك الخارج المركز والفلك التّدوير والجرم متشابه الأجزاء جازت حركة فلك البروج في زيادة ميله عن معدّل النّهار ونقصانه عنه لأنّ كلا الأمرين إنّما يدركهما على كرةٍ واحدةٍ وهي كرة الكواكب الثّابتة فالأمر منهما شيءٍ واحد ولا فرق بينهما فإن كان أحدهما جاز فالآخر غير ممتنع هـذا من كلام الـشـّيـخ أبي محمود. وقـال أبو علي بن سينا في تلخيص المجسطيّ من كتاب الشفاء يشبه أن يكون ما قاله بعضهم حقًا وهو أنّ من شأن كرة الثوابت التي لها الميل أن يقلّ ميلها وأن يكثر فيعرض من ذلك اختلاف الميل وظهور سرعة حركة الثّوابت بعد بطؤ وهذا إنّما يمكن إذا كان بين كرة الكلّ وكرة الثّوابت كرة أخرى يدور قطباها حول قطبيّ حركة الكلّ وتكون كرة الثّوابت تدور أيضًا وقطباها حول قطبيّ تلك الكرة فيعرض لقطبها أن يصير تارةً إلى جهة الشّمال منخفضًا وتارةً إلى جهة الجّنوب مرتفعًا فيلزم من ذلك أن يضيق الميل تارةً ويتسع أخرى. وسمعت أيضًا الشيخ أبا علي أنّه غير ممتنع أن يطابق فلك البروج دائرة معدّل النّهار وينفتح في الجهة الأخرى ويميل النّصف الشّمالي من فلك البروج إلى جهة الجّنوب والجّنوبي إلى جهة الشّمال وتقع العمارة إلى الجّنوب والبحر إلى الشّمال بإذن الله القادر الفرد. وعند علماء أهل الهند وحكمائهم أنّ غاية قرب هذا الميل وبعده عن دائرة معدّل النّهار ثماني درجات تنقص ثم تزيد ويوجب أن يكون الميل في نوبة النّقصان من أيام السندهند إلى هذه الأيام.

〈II〉 الـفـصـل الـثـانـي في الـمـقـدّمـات الـتـي أوردهـا بطلميوس

وهي سبعة أشكال لتسهيل تقطيع الميل إلى حصص سائر الدّرج على أنّ ما قرب منها إلى الاعتدال أكبر حصّة وما قرب إلى الانقلاب أصغر بطريق من الحساب وتسهيل ما يشبهه من طريق الحسابات سبعة أشكال بيّن بالأول منها أحكام النسبة المؤلفة من ستين على جهة التركيب وبالثّاني أحكامها على جهة التّفصيل ولقب الشّكلين عند المهندسين القطّاع وحدوثه إمّا من خطوطٍ مستقيمةٍ وإمّا من قسيّ على بسيط كرة لكنّه بدأ بالسطحي وجعله مقدّمة للقوسيّ للزوم الحاجة إليه في حسبانات الفلك وإن كان هذا الشّكل قد سبق إليه مانالاوس كما قلنا ولم يهذّب القول فيه ولا سوى برهانه وتهذيبه إلّا هذا الرّجل بهذه الأشكال السبعة ﮷ ثم ابتدأ برسم القطّاع السّطحي فرسم ىا ا ج يحيطان بزاوية ا وهما ساقاه والزّاوية رأسه ويخرج من طرف كلّ واحدٍ منهما خطًّا إلى الآخر كخطّي ىد ج ﻩ المتقاطعين قد نقسّم الخطوط الأربعة عند نقطة د ﻩ ز قسمين قسمين ويقع لكلّ واحدٍ منهما في ذاته ثلاث نسبٍ نسبةٍ لأحدٍ قسميه إلى كلّه ونسبة لقسمة الآخر إلى كلّه ونسبة لأحد قسميه إلى الآخر كما نقول في نسبة خط ىا إلى ا ﻩ ونسبة ىا إلى ىه ونسبة ىه إلى هـا فإذا جعلت كلّ واحدة من النّسب الثّلاثة في كلّ واحد من الخطوط الأربعة على هذه السّبيل مؤلّفة من ستين في خطّين من الثّلاثة على ما يوجبه البرهان خرجت اثنتا عشر نسبة مؤلّفة وذلك من ضرب ثلاث نسب في أربعة خطوط. ونبتدئ من ذكرها بما يقع في خطّ ىا ثم بما يقع في خط بد ثمّ في خط جه في خط جا فنقـول إنّ نسبة ىا إلى ا ﻩ مؤلّفة من نسبتيّ ىد إلى ز د وجز إلى جه وتسمّى جملة هذه النّسب الثّلاث القسم الأوّل ويصير القسم الثّاني نسبة ىا إلى ىه مؤلّفة من نسبتيّ ىد إلى د ج وجز إلى ز ﻩ والثّالث ىه إلى هـا مؤلّفة من نسبتيّ ىز إلى ز ج إلى جا والرّابع نسبة ىد إلى د ز مؤلّفة من نسبتيّ ىا إلى هـا وجه إلى جز والخامس نسبة ىد إلى ىز مؤلّفة من نسبتيّ ا د إلى ا ج وجه إلى هز

والسادس نسبة ىز إلى ز د مؤلّفة من نسبتيّ ىه إلى هـا وجا إلى جد. والسابع نسبة ج ﻩ إلى ز ﻩ مؤلّفة من نسبتيّ جا إلى د ا و د ب إلى ىز. والثّامن نسبة جه إلى جز مؤلّفة من نسبتيّ هـا إلى ىا وىد إلى ىز. والتّاسع نسبة جز إلى ز ﻩ مؤلّفة من نسبتيّ جد إلى د ا و ىا إلى ﻩ ا. والعاشر نسبة جا إلى د ا مؤلّفة من نسبتيّ جه إلى ز ﻩ وىر إلى ىد. والحادي عشر نسبة جا إلى جد مؤلّفة من نسبتيّ ها إلى هب وىر إلى ز د. والثّاني عشر نسبة جد إلى كه ا مؤلّفة من نسبتيّ جز إلى ز ﻩ و ىه إلى ىا. وقد يجوز أن يعكس ذلك مبتدءًا من خطّ جا ويجري على هذا القياس لتنتهي أجزاء الأقسام إلى ىا. وإذا وقعت نسبتان من نسب قسم من هذه الأقسام في خطّين كل واحدة منهما للخطّ كلّه إلى جزئيه فالقسم من باب التركيب. وإذا وقفنا في أقسام الخطّين كلّ واحدٍ منهما لأحد قسميّ الخطّ إلى قسمه الآخر فهو من باب التّفصيل. فإذا ثبّتت منها مركبات وهي الأوّل والرّابع والخامس والسّابع والثّامن والعاشر والباقية منفصلات وهي الثّاني والثّالث والسّادس والتّاسع والحادي عشر والثّاني عشر. فأمّا ثابت بن قرّة فذكر في كتاب صنّفه في هذا الفن في تفرع أقسامه تسعة في جهتيّ الترّكيب والتّفصيل ثلاثين قسمًا يحصل منها ستة عشر قسماً صحيحاً ويبطل ويستحيل منها أربعة عشر وجهًا. فأمّا تصنيف هذه الأشياء واحصاؤها فلم يكن واجبًا على بطلميوس ولا على من قام بحجته إذ لم يتضمنوا ذلك. فأمّا إيضاح ما يحتاج إليه في بيان هذين المعنيين اللذين قصد لإيضاحهما فواجب على من أراد القيام بحجته. فأمّا بطلميوس فإنّما أتى بقسمٍ واحدٍ من أقسام برهان هذين المعنيين وترك باقي أقسامه اتّكالًا على من يحتذي مثاله في باقي الأقسام قسمًا قسمًا فيستخرج لنفسه برهانه وهذا شيء قد كان يجب على مفسّري كتابه. فأمّا أقليدس فقد أشار في صدر المقالة الخامسة من كتابه في الأصول على سبيل المصادرة أنّه إذا كانت ثلاثة مقادير فإنّ نسبة الأوّل منها إلى الثّالث كنسبته إلى الثّاني مثنّاة بالتكرر وإذا كانت أربعة مقادير متناسبة فإنّ نسبة الأوّل منها إلى الرّابع كنسبته إلى الثّاني مثلّثة بالتكرير وعلى هذا القياس ما يتلوا ذلك واستعمل هذه المصادرة في الشّكل الثامن عشر

من المقالة السّادسة من كتاب الأصول أنّه إذا كان مثلّثان متشابهان فإنّ نسبة المثلّث إلى المثلّث كنسبة ضلعه إلى ضلعه الذي هو نظيره في الشّبه مثنّاه واستعمل في برهان الشّكل الثّالث والعشرين من المقالة السّادسة أيضًا أنّ كلّ ثلاثة أقدار فإنّ نسبة الأوّل منها إلى الثّالث كنسبته إلى الثّاني مثنّاه ولم يبرهن عليه واستعمل بطلميوس أيضًا من غير برهن. فـأمّا التي بين المقادير المتجانسة فتكون على وجهين وقسمين نسب التّساوي ونسب الاختلاف فإذا كان تأليف النّسب من نسب متساوية فتسمّى مثنّاه بل بعض المؤلّفة مثنّاه. فـأمّا هذا ورسمه فلمّا أصف أقول إنّ أقليدس اقتصر على الأعمّ ثمّ إنّ ثابتًا زاد في صدر المقالة السّادسة من كتاب الأصول هذا يقال إنّ النّسب مؤلّفة من نسب متى ضوعف أقدار النّسب بعضها ببعض أو جزّئت بعضها على بعض أحدثت نسبة ما أراد بالتضعيف هاهنا الضرب وبالتجربة القسمة ليكون أبين وأوضح ويكون رسمًا للنسب المثنّاه والمؤلّفة والدّليـل على هذا أنّ هذا المعنى لا يوجد في نسخة الحجّاج وقد أشعت القول في هذا المعنى في كتاب البلاغ الذي صنفه في شرح كتاب أقليدس في الاسطقسات وصادرت هذه المعاني على هذا حتى يمكن إقامة البرهان على ما أورده أقليدس في كتاب الأصول وبطلميوس في كتاب المجسطيّ هكذا يقال إنّ المقدارين المفروضين المتجانسين أنّ نسبة أحدهما إلى الآخر مؤلّفة من نسبتيّن مفروضتين أو من نسب المفروضة ومتى كان مقداران نسبة أحدهما إلى الآخر مؤلّفة من نسبتيّن متساويتين أو من ثلاث نسبٍ متساويةٍ قيل لتلك النّسبة إنّها كالنسبة المفروضة مثنّاه أو مثلّثة مـثـالـه مقادير ا ب ج أقول إنّ نسبة الأوّل منهما إلى ج ا الثّالث مؤلّفة من نسبة ا إلى ب ومن نسبة ب إلى ج بـرهـانـه إنّا جعلنا مقدار د مساويًا لب فنسبة ا إلى ب وإلى د واحدة فقد وجد من مقدار ى ا ج مقدار وهو ء ويتوالى الجميع على نسبتيّ ا إلى ب وب إلى ج. وأيضًا إذا كانت ثلاثة مقادير متناسبة مثل ا ب ج نسبة ا إلى ب كنسبة ب إلى ج أقول إنّ نسبة ا إلى ج كنسبة ا إلى ب مثنّاه

بـرهـانـه نفرض مقدار د مساوياً لب فنسبة ا إلى ج مؤلفة من نسبة ا إلى د ومن نسبة د إلى ج كما بيّنا قبل لكنّ نسبة ا إلى د كنسبة ا إلى ب بالفرض ونسبة د إلى ج أيضًا مثل نسبة ا إلى ب فنسبة ا إلى ج مؤلّفة من نسبتيّن متساويتين كنسبة ا إلى ب فنسبة ا إلى ج إذًا كنسبة ا إلى ب مثنّاه. عكسه كنسبة ا إلى ج كنسبة ا إلى ب مثنّاه فأقول إنّ مقادير ا ب ج متناسبة بـرهـانـه إنّ نسبة ا إلى ج كنسبته إلى ب مثنّاه فنسبة ا إلى ج مؤلّفة من نسبتيّن متساويتين كنسبة ا إلى ب فقد وجد بين ا و ج مقدار ويتوالى الجميع على نسبة ا إلى ب ولتكن د كنسبة ا إلى د كنسبة ا إلى ب فد مثل ب فنسبة د إلى ج كنسبة ب إلى ج لكنّ نسبة د إلى ج أيضًا كنسبة ا إلى ب فنسبة ب إلى ج كنسبة ا إلى ب فمقادير ا ب ج متناسبة وذلك ما أردنا. إذا كانت نسبة ما مؤلّفة من نسب مفروضة كم كانت فإنّها مؤلّفة من كلّ نسبة مساوية لتلك النّسبة المفروضة مـثـالـه نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى د وﻩ إلى ز ونسبة ج إلى د كنسبة ج إلى ط وكنسبة ﻩ إلى ز كنسبة كـ إلى ا ل ل فـأقول إنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى ط ومن نسبة كـ إلى ل بـرهـانـه أنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى د وﻩ إلى ز فقد يوجد بين ا و ب مقدار ز ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى ز فلتكن م فنسبة ا إلى م كنسبة ج إلى د ونسبة ج إلى د كنسبة ج إلى ط وكذلك يتبيّن أنّ نسبة م إلى ب كنسبة كـ إلى ل فقد وجد من مقادير ا ب مقدار م ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج إلى ط و كـ إلى ل فنسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى ط و كـ إلى ل وذلك ما أردنا. إذا كانت نسبة ما مؤلّفة من نسبٍ مفروضةٍ كم كانت فإنّ كل ّنسبة مساوية لتلك

النّسبة تكون أيضًا مؤلّفة من تلك النّسب المفروضة. مـثـالـه نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبتيّ ﻩ إلى ز وج إلى ط ونسبة ج إلى د كنسبة ا إلى ب أقول إنّ نسبة ج إلى د أيضًا مؤلّفة من نسبتيّ ﻩ إلى ز و ج إلى ط بـرهـانـه أنّا نجد مقدارًا بين مقداري ا ب ويتوالى الجميع على نسبتيّ ﻩ إلى د وج إلى ط فليكن ذلك المقدار كـ فنسبة ا إلى كـ كنسبة ﻩ إلى ز ونسبة كـ إلى ب كنسبة ج إلى ط ولكنّ نسبة كـ إلى ا كنسبة ل إلى ج ونسبة ا إلى ب كنسبة ج إلى د فبالمساواة نسبة كـ إلى ب كنسبة ل إلى د ونسبة كـ إلى ب كانت كنسبة ج إلى ط فنسبة ل إلى د كنسبة ج إلى ط ولذلك تبيّن أنّ نسبة ج إلى ل كنسبة ﻩ إلى ز فقد وحّـد بين ج و د مقدار وهو ل ويتوالى الجميع على نسبتيّ ﻩ إلى ز وج إلى ط وذلك ما أردنا أن نبيّن. فقد تبيّن أمر النّسبة المؤلّفة على الشّرح وأقيم البرهان على صحة هذه الدّعوى التي ذكره أقليدس في الشّكل الثّالث والعشرين من كتابه في الأصول وبطلميوس في كتاب المجسطيّ في شكليه الأوّل والثّاني من جملة الأشكال السّبعة التي جعلها مقدّمة لما أراد أن يبيّنه من أمور القسيّ ولتعرف الطريقة في استخراج ميل درجة وهو نسبة القوس التي تقرّرها الدّرجة ومعدّل النّهار من الدّائرة المارّة بالأقطاب ولكي يكون له مسلك يعلم به مثل الأشياء التي يحتاج إلى علمها من القسيّ التي تقع في الكرة من السّموت وسعة المشارق وغير ذلك من أعمال النجوم التي يحتاج إليها.

〈II.1〉 فـأمّا الشّكل الأوّل من مقدّماته

فهو قال إذا التقى خطّا ا ب ا ج على نقطةٍ ا وخرج فيما بينهما خطّا ىه جد فتقاطعا على نقطةٍ ز فإنّ نسبة جا إلى ا ﻩ تكون مؤلّفة من نسبة جد إلى د ز ومن نسبة ز ب إلى ىه. بـرهـانه نخرج خطّ هـح موازياً لخطّ جد تكون نسبة جا إلى ا ﻩ كنسبة جد إلى هح كما في شكل ب من مقالة و من س. فإذا وجدنا بين مقداري جد و هـح مقدارًا مثل ا ز ويتوالى الجميع على نسبتيّ جد إلى د ز و د ز إلى هح كما قد بيّنا في مقدّماتنا تكون نسبة جد إلى هـح مؤلّفة

من نسبة جد إلى ز د ومن نسبة ز د إلى هـح ولكن نسبة ز د إلى هـح كنسبة ىز إلى ىه لأنّ خطّ ز د موازٍ لخط هـح كما في شكل ب من مقالة و من س فنسبة جا إلى ا ﻩ مؤلّفة من نسبة جد إلى د ز ومن نسبة ىز إلى ىه وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈II.2〉 والشّكل الـثـانـي

أراد أن يبيّن هذه النسب على جهة التفصيل هكذا فقال وقد تبيّن أنّ نسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ب إلى ىا بـرهـانـه نخرج خطّ ا ح موازياً لخطّ هـب فلأنّ ا ح يوازي هـز تكون نسبة جه إلى هـا كنسبة جز إلى ز ح كما في شكل ب من مقالة و من س. فإذا وجدنا بين مقداري جز ز ح مقدارًا مثل د ز ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج ز إلى ز د و ز د إلى ز ح تكون نسبة جز إلى ز ح مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ز إلى ز ح فنسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ز إلى د ح ولكن نسبة ز د إلى ز ح كنسبة ء ب إلى ىا لتشابه مثلّثي ا د ح و ز د ب فنسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ب إلى ىا. وقد تبيّن أيضًا بمثل هذا المسلك أنّ نسبة جز إلى د ز مؤلّفة من نسبة جه إلى هـا ومن نسبة ا ب إلى ىد بـرهـانـه فإذا وجدنا بين جز و ز د مقداراً مثل ز ح ويتوالى الجميع مثل نسبتيّ جز ز د كانت نسبة جز إلى ز د مؤلّفة من نسبة جز إلى ز ح ومن نسبة ز ح إلى ز د فأمّا نسبة جز إلى ز ح فقد بيّنا أنها كنسبة جه إلى هـا وأما نسبة ز ح إلى ز ح فقد بيّنا أنها كنسبة ا ب إلى ىد فنسبة جز إلى ز د مؤلّفة من نسبة جه إلى هـا ومن نسبة ا ب إلى ىد وذلك ما أردنا أن نبيّن. ثم بيّن بطلميوس بالشّكل الثّالث والرّابع من مقدماته أنّه إذا قسّمت قوس معلومة الوتر بقسمين فكانت نسبة جيب إحدى القوسين إلى جيب القوس الأخرى معلومة كان كلّ واحد من القوسين معلومًا.

〈II.3〉 مـثـال الشّكل الـثـالـث

دائرة ا ىج على

مركز د تعلّم على محيطها ثلاث نقط وهي ا ب ج وقوسا ا ب ىج كلّ واحدة منهما أقلّ من نصف دائرة ونصل خطّي ا ج د هـب أقول إنّ نسبة جيب ا ب إلى جيب ىج كنسبة ا ﻩ إلى هـج بـرهـانـه نخرج من نقطتي ا ج عمودين على د ﻩ هـب عليهما ا ز جح فتكون زاويتا ا ز ب جحد المتبادلتان متساويتين كما تبيّن في شكل كـز من مقالة ا من س ويكون مثلّثا ا هز جهح متشابهين كما تبيّن في شكل د من مقاله و من س وتصير نسبة ا ز إلى جح كنسبة ا ﻩ إلى هـح فـأمّا ا ز فهو جيب ا ب وأمّا جح فهو جيب ىج فنسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج كنسبة خط ا ﻩ إلى خط هـج وذلك ما أردنا.

〈II.4〉 مـثـال الشّكل الـرّابـع

إذا كانت قوس ا ج من دائرة ا ىج معلومة وكانت نسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج معلومة فإنّ لكلّ واحدة من قوسي ا ب ىج معلومة. بـرهـانـه نجعل المركز د ونصل خطوط ا هـج ء هـب ا د ونخرج من نقطة د عمودًا على خط ا ج عليه د ز فلأنّ قوس ا ج معلومة تكون زاوية ا د ز معلومة لأنّها نصف الزّاوية التي يوترها قوس ا ىج لأنّ د ز عمود على ا ج ولأنّ قوس ا ج معلومة يكون وتر ا ج معلومًا ونصفه الذي هو ا ز معلومًا ولأنّ نسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج معلومة وهي كنسبة ا ﻩ إلى هـج الذي تبيّن في الشّكل الذي قبل هذا تكون نسبة ا ﻩ إلى هـج معلومة و ا ج معلوم فكلّ واحد من ا ﻩ هـج معلوم ﮷ وقد بيّنا أنّ ا ز معلوم فيبقى هـز معلومًا وا ز معلوم ومربّعا ا ز د ز مثل مربّع ا د لأنّ زاوية ز قائمة كما في شكل مز من مقالة ا من س وا د معلوم يبقى مربّع د ز معلومًا ومربّع هـز معلوم

لأنّـا بيّنا أنّ هـز معلوم وهذان المربّعان مثل مربّع د ﻩ لأنّ زاوية ز قائمة فأضلاع مثلّث د هز معلومة. وإذا توهّمنا أن ندير عليه دائرةً تحيط به كان د ﻩ قطراها لأنّ زاوية ز قائمة كما في عكس شكل ل من مقالة ج من س وكان خطّا د ز ز ﻩ وترين معلومين في الدّائرة فقوساهما معلومتان ونعلم من ذلك الزّاوية التي يوترها خط هـز وهي زاوية هـد ز ﮷ وقد كنّا بيّنا أنّ زاوية ا د ز معلومة فجميع زاوية ا د ب معلومة فقوس ا ب إذًا معلومة وكانت قوس ا ج معلومة فتبقى قوس ىج معلومة وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈II.5+6〉 وبـيّـن بـالشّكل الـخـامـس والـسّـادس

أنه إذا كانت قوس أقلّ من نصف دائرة وفصل منها قوس معلومة فكانت نسبة جيب القوس الأولى إلى جيب القوس الثّانية معلومة كانت هذه الثّانية معلومة منهما دائرة اىج على مركز د وتعلمت على محيطها ثلاث نقط عليها ا ب ج ونصل خطّي د ا جـب ولنخرج هذان الخطّان ولتلقيا على نقطة ﻩ فأقول إنّ نسبة جيب جا إلى جيب ا ب كنسبة خطّ ج ﻩ إلى خطّ هـب بـرهـانـه نخرج من نقطتي ب ج عمودين على طا عليهما ىز جح فيكون هذان العمودان متوازيين وتكون نسبة جح إلى ىز كنسبة جه إلى هب كما تبيّن في شكل ب من مقالة و من س فأما جح فهو جيب قوس ا ج وأمّا ىز فهو جيب قوس ا ب فنسبة جيب قوس ا ج إلى جيب قوس ا ب كنسبة جه إلى هـب وذلك ما أردنا. وإن كان المعلوم قوس جب وحدها ونسبة الجيبين معلومة فاب معلوم فلنخرج جب يلاقي د ا وعلى جب عمود د ز. فلأنّ زاوية ىد ز التي يوترها نصف قوس معلومة وهي قوس جب معلومة والقائمة معلومة وضلع د ب معلوم فمثلّث د ىز القائم الزّاوية معلوم الأضلاع والزّوايا فلأنّ نسبة الجيبين أعني جيب

قوس ج‌ا إلى جيب قوس ىا معلومة بل نسبة ج‌ه إلى ب‌ه وج‌ب معلومة فنسبة ج‌ه إلى ب‌ه معلومة فيصير ب‌ه معلومًا وهو الزيادة معلومة فيصير جميع جه وبه في الأصل: زبه معلومين فيكون ز‌ﻩ، د‌ز معلومين ويكون مثلّث ه‌ـد‌ز وزاوية د‌ز‌ﻩ معلومين تلقى زاوية بد‌ز المعلومة تبقى زاوية ه‌ـد‌ب معلومة تبقى قوس ا‌ب معلومة وذلك ما أردنا .فـأمّا إذا كان الالتقاء من الجهة الأخرى فإنّا نعلم قوسي ج‌ح، ب‌ج بمثل علمنا في الشّكل الأوّل قوس ا‌ب فيصير جميع قوس ب‌ج معلومة لكنّ جميع نصف دائرة ح‌ب‌ا معلومة تبقى ب‌ا معلومة. وأمّا إذا كانا متوازيين لا يلتقيان فلتكن به جيب قوس ا‌ب وهو لا محالة عمود على قطر ا‌د‌ح وج‌ز جيب قوس ا‌ج وهو أيضًا عمود على قطر ا‌د‌ح تبقى زاويتا ب وج من المتوازيين قائمتين ويكون سطح جه متوازي الأضلاع فيكون ‌به، ج‌ز متساويين كما تبيّن في شكل ل‌د من مقالة ا من س لكنّ ج‌ز أيضًا جيب قوس ج‌ح فخرج ب‌ا، ج‌ح متساويين وج‌ب معلوم فنصف ما تبقى إلى تمام نصف الدّائرة معلوم وهو ىا وذلك ما أردنا. ثـمّ جـعـل بطلميوس القطّاع القوسيّ سابع الأشكال لأنّه انتهى إليه وهو الغرض المقصود في استخراج أوتار القسيّ لمعرفة المطالع والسّموت وسعة المشارق وغير ذلك والبرهان على استخراجها هو هـذا قـال إذا كان في بسيط الكرة قوسان من دائرتين عظيمتين من الدوائر التي تكون في الكرة مثل قوسي ا‌ب، ا‌ج والتقيا على نقطة ا وتقاطع فيما بينهما قوسا ىب‌ﻩ، ج‌د على نقطة ز وكانت كلّ واحدة من القسيّ الأربع أقلّ من نصف دائرة وهذا أمر ينبغي أن تكونوا حافظين له في جميع الأشكال التي

تأتي من بعد أعني أنّه ينبغي أن تكون القسيّ أقلّ من أنصاف دوائر ومما يسهل تصوّر هذا الشّكل أن يعلم أنّ قطر كلّ دائرة وكلّ وتر يقع فيها يكونان في سطح واحد فـأقول إنّ نسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس د ب إلى جيب قوس ىا بـرهـانـه نجعل مركز الكرة نقطة ح ووجوده سهل لأنّ مركز كلّ قوس من هذه القسيّ على خطوط هج جب جز وا د الوتر فلا محالة أنّ ا د الوتر وىح القطر في سطحٍ واحدٍ ويخرج من المركز إلى نقط ب ز ﻩ خطوط جب جز جه ونصل خط ا د فخطّ ا د إمّا أن يكون موازياً لخطّ جب وإمّا أن يكون غير موازٍ له فليكن أولاً غير موازٍ له وليلقه في جهة نقطة ب على نقطة ط ونصل خطّي ا ج د ج وليقطعا خطّي جز جه على نقطتي كـ ل فتكون نقط ط كـ ل الثلاث جميعًا في سطحين أحدهما سطح مثلّث ا جد والآخر سطح دائرة ىز ﻩ فهي في الفصل المشترك لهذين السطحين يكون خطًّا مستقيمًا كما تبيّن في شكل ج من مقالة ىا من س فإذا وصلنا نقط ط كـ ل بعضها ببعض بخطّ ط كـل كان هذا الخطّ مستقيماً ويكون قد تقاطع بين خطّي طا ا ج المستقيمين خطًا طل جد المستقيمان على نقطة كـ فنسبة جل إلى ا ل مؤلّفة من نسبة جكـ إلى كـ د ومن نسبة د ط إلى طا كما في تبيّن في شكل ط من هذه المقالة. فأمّا نسبة جل إلى لا فهي كنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا كما تبيّن في شكل ى من هذه المقالة. وأمّا نسبة جكـ إلى كـ د فهي كنسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د وأمّا نسبة د ط إلى طا فهي كنسبة جيب قوس د ب إلى جيب قوس ىا كما في شكل ىب من هذه المقالة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس د ب إلى جيب قوس ىا. وأيضًا نجعل خطّي ا د ىح يلتقيان في جهة نقطة ح على نقطة م ويتمّم نصف دائرة ىد ا ط فلأنّ

نقط كـ ل م في سطح مثلّث ا جـد وفي سطح دائرة ىز ﻩ تكون على الفصل المشترك لهذين السّطحين الذي هو خطّ مستقيم كما علمت ويصير خطّ كـلم مستقيماً فيكون قد تقاطع فيما بين خطّي حـ د د م المستقيمين خطّا ج ا مكـ على نقطة ل فنسبة جل إلى ا ل مؤلّفة من نسبة جكـ إلى كـد ومن نسبة د م إلى ما كما تبيّن في شكل ط من هذه المقالة. وأمّا نسبة جل إلى ا ل فهي كنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا كما علمت ولذلك أيضًا يكون نسبة جكـ إلى كـد كنسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د وأمّا نسبة د م إلى ما فهي كنسبة جيب قوس د ط إلى جيب قوس طا كما تبيّن في شكل ىب من هذه المقالة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس د ط إلى جيب قوس طا. فـأمّا جيب قوس د ط فهو جيب قوس د ب وأمّا جيب قوس طا فهو جيب قوس ا ب لأنّ ىا ط نصف دائرة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب د ب قوس ىا. وأيضًا نجعل خطّ ا د موازيًا لخطّ ىحـط فـأقول إنّ خط لـكـ موازٍ لخطّ ا د فإن لم يكن كذلك فهو أيضًا بموازٍ لخطّ ح ب لأنّ جب يوازي ا د ولو كان كـ د أيضًا موازيًا له لكان ا د يوازي كد للذي تبيّن في شكل ظ من مقالة ىا من س فيخرج من نقطة ل في سطح مثلّث اجد خطًا موازيًا لخطّ ا د عليه لن فخطّا لن حط موازيان لخط ا د فهما متوازيان للذي تبيّن في شكل ط من مقالة ىا من س ويخرج أيضًا نقطة ل في سطح دائرة هـز ب خطًّا موازيًا لخطّ ح ب وهو خطّ لس فخطّ لس موازٍ لخطّ جب وقد كنّا بيّنا أنّ خطّ لن يوازي خطّ جب فخطّا لن لس متوازيان كما علمت من أصول أقليدس وهذا غير ممكن لأنّهما قد التقيا على نقطة ل فخطّ كـل موازٍ لخطّ ا د ونسبة جل إلى ا ل كنسبة جكـ إلى كـ د للذي تبيّن في شكل ب من مقالة و من س ﮷ فأمّا نسبة جل إلى ا ل فهي كنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا وأمّا

نسبة جكـ إلى كـد فهي كنسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د كما تبيّن في شكل ى من هذه المقالة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا كنسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د وجيب قوس ا ب مساوٍ لجيـب قوس د ب لأن ا د موازٍ لقطر ىجط فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس د ب إلى جيب قوس ىا لأنّ كلّ نسبة تؤلّف مع نسبة المثل حتى تبقى على حالها وذلك ما أردنا أن نبيّن. وقد يمكننا أن نبيّن هذه النّسبة على جهة التّركيب بمثل هذا المسلك إلّا أنّ في ذلك طولًا وكثرة أقسام ويمكننا أن نبرهنه ببرهان أقرب وأجمع وهو هذا نجعل القوسين ا ب ا ج والقوسين اللتين تتقاطعان فيما بينهما قوسيّ ىد ﻩ ج وليتقاطعا على نقطةٍ ز فـأقول إنّ نسبة جيب قوس ىا إلى جيب قوس ا ﻩ مؤلّفة من نسبة جيب قوس ىد إلى جيب قوس د ز ومن نسبة جيب قوس ز ج إلى جيب قوس ا جه بـرهـانه أنّا نتمّم نصف دائرةٍ ىها ح ونصف دائرة ىز د ح فيكون قد تقاطع بين قوسي هـح هج قوسا جز جا على نقطة د وتصير نسبة جيب قوس جا إلى جيب قوس ا ﻩ مؤلّفة من نسبة جيب قوس ح د إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس جـه فأمّا جيب قوس جا فهو جيب قوس ا ب لأنّهما تمام النّصف دائرة وأمّا جيب قوس ح د فهو جيب قوس د ب لأنّهما أيضًا تمام النصف من دائرة فنسبة جيب قوس ىا إلى جيب قوس ا ﻩ مؤلّفة من نسبة جيب قوس ىد إلى جيب قوس د ز ومن نسبة جيب قوس ز ج إلى جيب قوس جـ هـ وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈III〉 الـفـصـل الـثّـالـث

في أقسام تأليف النّسبة واستخراج المجهول منها على طريقة عامة مفسّري كتاب المجسطيّ وكيفية استعمال الشّكل القطّاع في المواضع المحتاجة إليه وطرح النّسبة من النّسبة. عامّـة المهندسين يجعلون مقدّمة تأليف النّسبة على هذا كـل ثـلاثـة أقـدار متجانسة جـعـل أحـدهـا وسطاً من الباقيين فإنّ نسبة أحد الباقيين إلى الآخر مؤلّفة من نسبته إلى الوسط ومن نسبة الوسط إلى الباقي الآخر. مـثـالـه أقـدار ا ب ج توسّط ج بين ا و ب فـأقول إنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ا إلى ج ومن نسبة ج إلى ب بـرهـانـه أن نضرب نسبة ا إلى ج في نسبة ج إلى ب فتخرج نسبة مؤلّفة من هاتين النسبتيّن كما أورده ثابت في صدر المقالة السّادسة من كتاب الأصول فلتكن نسبة د ا إلى ﻩ كنسبة ا إلى ب فنسبة د إلى ﻩ مؤلّفة من نسبة ا إلى ج ومن نسبة ج إلى ب ونجعل نسبة د إلى ز كنسبة ا إلى ج فتبقى نسبة ا إلى ﻩ كنسبة ج إلى ب فبالمساواة يكون نسبة د إلى ﻩ كنسبة ا إلى ب ونسبة د إلى ﻩ مؤلّفة من نسبة ا إلى ج ومن نسبة ج إلى ب فنسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ا إلى ج ومن نسبة ج إلى ب هـذه الدّعوى والمقدّمة بـرهـانه على المصادرة من غير البرهان على المقدّمة كما قلنا آنفًا. وقد يجوز على موجب هذه المقدّمة في كلّ ثلاثة أقدار يضرب الأوّل منها في الثّاني نجد في الثّالث أن يبدأ بالضّرب من أيّها كان في أيّ الباقيين كان ثمّ في الباقي الآخر ﮷ وينتج من هذه الأقدار أنّ نسبة مضروب الأوّل في الرّابع إلى مضروب الثّاني في الثّالث كنسبة الخامس إلى السّادس لأنّها أربعة أقدار وقد صار أحدها وهو مضروب الأوّل في الرّابع إذا ضرب في أحد الثّلاثة الباقية وهو السّادس مثل أحد الباقيين وهو مضروب الثّاني في الثّالث إذا ضرب في الثّاني الآخر وهو الخامس. وقد سهّل من معرفة هذا الباب معرفة المجهول من السّتة الأقدار أيّها كان لأنّ الأوّل مثلًا إذا كان مجهولًا ضرب الثّاني في الثّالث ثمّ في الخامس فيخرج مضروب الأوّل في الرّابع ثمّ في السّادس فإذا قسّم على مضروب الرّابع في السّادس خرج الأوّل وإذا كـان الثّاني

مجهولًا ضرب الأوّل في الرّابع ثمّ في السّادس وقسّم على مضروب الثّاني في الخامس فيخرج الثّاني وإن كان المجهول هو الثّالث أو الخامس ضرب الأوّل في الرّابع ثمّ في السّادس فيخرج مضروب الثالث في الخامس ثم في الثّاني فإذا قسّم ذلك على مضروب الخامس في الثّاني خرج الثّالث وإذا قسّم على مضروب الثّالث في الثّاني خرج الخامس المجهول ﮷ وإن كان المجهول هو الرّابع أو السّادس ضرب الثّاني في الثّالث ثمّ في الخامس وقسّم ما بلغ على مضروب السّادس في الأوّل خرج الرّابع وإذا قسّم على مضروب الرّابع في الأوّل خرج السّادس. أمـثـلـة مـا جـرى ذكـره بـالـعـدد نسـبـة ٢ إلى ٦ تجعل ٤ وسطًا فيما بينهما فتكون نسبة ٢ إلى ٦ التي هي الثلث مؤلّفة من نسبة ٢ إلى ٤ ومن نسبة ٤ إلى ٦ أعني أنّ نسبة الثّلث مؤلّفة من نسبة النّصف ومن نسبة الثّلثين بهذه الطريقة وخاصّية هذه الأقدار أنّ ضرب الأوّل في الرّابع وهو ٨ ثمّ في السّادس وهو ٦ يحصل ٤٨ مساوٍ لضرب الثّاني وهو ٦ في الثّالث وهو ٢ يكون ١٢ ثم في الخامس وهو ٤ يحصل أيضًا ٤٨. وأيضًا نسبة مضروب الأوّل في الرّابع وهو ٨ إلى مضروب الثّاني في الثّالث وهو ١٢ كنسبة الخامس إلى الثّالث. وأمّا معرفة المجهول من المعلومات فعلى هذا نجعل الأوّل مثلًا مجهولًا وضربنا الثّاني في الثّالث ثمّ في الرّابع بلغ ٤٨ وقسّمناه على مضروب الرّابع في السّادس وهو ٢٤ يخرج ب وهو الأوّل. وإذا كان المجهول السّادس ضربنا الثّاني في الثّالث ثمّ في الخامس بلغ ٤٨ وقسّمناه على مضروب الأوّل في الرّابع وهو ٨ يخرج ٤ وهو السّادس وعلى هذا القياس استخراج المجهول من المعلومات وقد سهل بذلك معرفة المجهول أي الأقدار السّتة كان أيضًا لأنّ كلّ واحد من الوسطين يصير مع الأوّل والثّالث والرّابع أربعة أقدار متناسبة ومع الثّاني والخامس والسّادس كذلك. وقد يقع قدران وسطان بين الثّالث والرّابع فيتصل بهما معرفة المجهول من الثّالث والرّابع والخامس والسّادس مـثـال ذلك أن يفرض الأقدار السّتة على الولا خطوط ا ب ج ء ﻩ ويفرض معها قدري ز ح وسطين بين ا ب ويوقع قدري ط كـ وسطين من ج د ونجعل نسبة

ا إلى ب كنسبة ط إلى د بأن نضرب ا في د ونقسّم ما بلغ على ب فتخرج ط فنسبة ا إلى ب كنسبة ط إلى د ونسبة ا إلى ب مثل نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى و ونسبة ط إلى ء مثل نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى و ولكنّ نسبة ط إلى د كما قدّمنا مثل نسبتيّ ط إلى ج و ج إلى د فـنـسـبـتـا ط إلى ج و ج إلى د مثل نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى و وتلقى نسبة ج إلى د المشتركة فتبقى نسبة ط إلى ج كنسبة ﻩ إلى و فنسبة ا إلى ب كنسبة ط إلى د ونسبة ط إلى ج كنسبة ﻩ إلى و. ونجعل أيضًا نسبة ا إلى ب كنسبة ج إلى كـ بأن نضرب ب في ج ونقسّم ما بلغ على ا فتخرج كـ فنسبة ا إلى ب كنسبة ج إلى كـ ونسبة ا إلى ب مثل نسبة ج إلى د و ﻩ إلى و فنسبة ج إلى كـ مثل نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى و ولكنّ نسبة ج إلى كـ مثل نسبتيّ ج إلى د و د إلى كـ فنسبتا ج إلى كـ و د إلى كـ مـثـل نسبتيّ ج إلى كـ و كـ إلى و وتلقى نسبة ج إلى د المشتركة فتبقى نسبة د إلى كـ كنسبة ﻩ إلى و فنـسـبـة ا إلى ب كنسبة ج إلى كـ ونسبة د إلى كـ كـنسبة ﻩ إلى و ونسمّي الوسط الأوّل من هذين الوسطين للوسط الثّالث. وقد يقع أيضًا قدران وسطان بين الخامس والسّادس فتسهل به معرفة المجهول من الأربعة الأقدار مـثـال ذلـك أن يوسـط قـدري ل م بيـن ﻩ و د ونجعل نسبة ا إلى ب كنسبة ل إلى و ولكنّ نسبة ا إلى ب مثل نسبتيّ ج إلى د و ﻩ إلى و فنسبة ل إلى و مثل ج إلى د و ﻩ إلى و فنسبة ل إلى و كما قدّمنا مثل نسبتيّ ل إلى ﻩ و ﻩ إلى و وتلقى نسبة ﻩ إلى و المشتركة فتبقى نسبة ل إلى ﻩ كنسبة ج إلى د فنـسـبة ا إلى ب كنسبة ل إلى و ونسبة ا إلى ﻩ كنسبة ج إلى د. ثمّ نجعل نسبة ا إلى ب كنسبة ﻩ إلى م فتمثّل هذه الحالة تصير نسبة و إلى م كنسبة ج إلى د فنسبة ا إلى ب كنسبة ﻩ إلى م ونسبة و إلى م كنسبة ج إلى د. فهـذه الـطـريـق لـمـعـرفـة الـمـجـهـول وهي عـلـى طـريـق الـمـفـسّـريـن لـكـتـاب الـمجسطيّ. وجـه آخـر لاسـتـخـراج الـمـجـهـول

من المعلومات الخمس في تأليف النّسبة هـكذا ستة مقادير على النّسبة المؤلّفة مـثـالـه والسّادس مجهول ضربنا الأوّل في الرّابع فكان ٢٤ قسّمناه على المال فخرج ٦٦٤ فنحفظه ثم نضرب الثّاني في الخامس فتكون ٤٨ قسّمناه على المحفوظ ٨٦ وهو ٤ خرج ٨ وهو السّادس. وإن كان الخامس مجهولاً ضربنا الأوّل في الرّابع فكان ٢٤ قسمناه على الثاني خرج ٣ ضربناه في السّادس فكان ٢٤ قسّمناه على الثّالث خرج ٤ وهو الخامس. وإن كان الرّابع مجهولاً ضربنا الثّاني في الخامس فكان ٤٨ قسّمناه على السّادس خرج ٤ وهو الرّابع. وإن كان المجهول الثالث ضربنا الثّاني في الخامس فكان ٤٨ فقسمناه على السّادس خرج ٦ وضربنا الأوّل في الرّابع فكان ٢٤ قسمناه على المحفوظ خرج ٤ وهو الثالث. وإن كان الثّاني مجهولًا ضربنا الأوّل في السّادس وقسّمناه على الخامس فما خرج من القسمة ضربناه في الرّابع وقسّمناه على الثّالث يخرج الثاني. وإن كان الأوّل مجهولًا ضربنا الثّاني في الخامس وقسّمناه على السّادس فما خرج من القسمة ضربناه في الثّالث وقسّمناه على الرّابع خرج من القسمة الأوّل. فإذ قد بيّنا استخراج المجهولات من المعلومات في المقادير السّتة في النّسب المؤلّفة فلنقل الآن في استخراج النّسب. مـثـالـه إذا قسّمت الثّالث على الرّابع والخامس على السّادس ﮷ ثمّ ضربت أحدهما في الآخر فالخارج من الضّرب يكون نسبة الأوّل إلى الثّاني وإن قسّم السّادس على الخامس والرّابع على الثّالث ثم ضرب أحدهما في الآخر كان الخارج نسبة الثّاني إلى الأوّل ﮷ وإن قسّم الأوّل على الثّاني والخامس على السّادس ثم قسّم ما خرج من القسمة أولًا على ما خرج أخيرًا كان الخارج من القسمة نسبة الثّالث إلى الرّابع ﮷ وإن قسّم ما خرج أخيرًا على ما قسًم أوّلًا فإنّه يكون ما خرج نسبة الرّابع إلى الثّالث ﮷ وإن قسّمت الأوّل على الثّاني والثّالث على الرّابع ثم قسّمت ما خرج أولًا على ما خرج أخيرًا كان نسبة الخامس إلى السّادس وإن قسّمت ما خرج أخيرًا على ما خرج أوّلًا كان نسبة السّادس إلى الخامس. وعـلـى جـهة أخـرى إنّ ضرب نسبة الأوّل إلى الثّاني في نسبة الرّابع إلى الثّالث فالحاصل من الضّرب يكون نسبة الخامس إلى السّادس

وإن ضربت نسبة الثّاني إلى الأوّل في نسبة الثّالث إلى الرّابع فالخارج من الضرب يكون نسبة السّادس إلى الخامس ﮷ وإن ضربت نسبة الأوّل إلى الثّاني في نسبة السّادس إلى الخامس فإنّ الخارج من الضّرب تكون نسبة الثّالث إلى الرّابع ﮷ وإن ضربت نسبة الثّاني إلى الأوّل في نسبة الخامس إلى السّادس ثم ضربت أحدهما في الآخر فإنّ الذي يخرج تكون نسبة الأوّل إلى الثّاني وإن ضربت نسبة الرّابع إلى الثّالث في نسبة الرّابع إلى الثّالث في نسبة الخامس إلى السّادس فإنّ الذي يجتمع منه تكون نسبة الثّاني إلى الأوّل. وضرب هذه المقادير بعضها في بعض وقسمة بعضها على بعض سهل لا يحتاج إلى المثال لوضوحه ﮷ وأمّا إذا قسّمنا الأوّل على الثّاني فإنّ الذي يخرج من القسمة هو نسبة الرّابع إلى الثّالث فإذا ضربت هاتين النسبتيّن احديهما في الأخرى فإنّ الذي يخرج من الضّرب يكون نسبة الخامس إلى السّادس وعلى هذا تدبيرنا فيها والسلم. وأمّا الـقـاء نسبةٍ مـن نـسـبـةٍ فـيـكـون هـذا نسبة ٣ إلى ٦ مؤلفة من نسبة ٣ إلى مثلًا ومن نسبة ١٢ إلى ٦ نضعها هـكـذا فإذا أردنا أن نلقي نسبة ا إلى ب من نسبة ج إلى د نقسم ا على ب و د على ج يخرج من الأوّل النّصف ومن الثّاني أربعة أضعاف فإذا ضربنا أحدهما في الآخر يحصل الضّعف وهو نسبة ﻩ إلى ز وعلى هذا يكون القاء نسبة من نسبة وهو عكس التّأليف لأنّا إذا ضربنا نسبة ج إلى د في نسبة ﻩ إلى ز يخرج من الضّرب نسبة ا إلى ب لأنّ نسبة ا إلى ب مؤلّفة من نسبة ج إلى د ومن نسبة ﻩ إلى ز. فإن أردنا القاء نسبة من نسبة أخذنا النسبة بالعكس وهو أنّا إذا أردنا القاء نسبةٍ ج إلى د من نسبة ا إلى ب ليبقى لنا نسبة ﻩ إلى ز قسّمنا المقدارين اللذين هما على تأليف النسبتيّن للأوّل منهما على الثّاني ثم قسّمنا الرّابع على الثّالث على العكس ثم ضربناه فما خرج أوّلًا يكون الحاصل من الضرب نسبة ﻩ إلى ز أعني الخامس إلى السّادس. وأمّا إنّ قسمت نسبة ا إلى ب على نسبة ج إلى د كان الخارج من القسمة نسبة ﻩ إلى ز لأنّ ضرب نسبة ج إلى د في نسبة ﻩ إلى ز يكون

الخارج من الضرب نسبة ا إلى ب ولو قسّم نسبة ا إلى ب على نسبة ج إلى د كان الخارج من القسمة نسبة ﻩ إلى ز وإن قسّمت على نسبة ﻩ إلى ز فإنّ الذي يخرج من القسمة يكون نسبة ج إلى د. ولتأليف النّسبة من نسب وطرح النّسبة من النّسبة طريقة أخرى أحسن وأخفّ من جميع الوجوه التي أوردها جميع المفسّرين لكتاب المجسطيّ هـكـذا يجب أن يُعلم أنّ قولنا تأليف نسبة من نسبة وتركيب نسبة من نسبة وضرب نسبة من نسبة هو بمعنى واحد أردنا أن نؤلّف من نسبةٍ خمسة أسداس ونسبة مثل ونصف نسبة واحدة فإمّا أن نأخذ أقلّ عددين لكلّ واحدة من النسبتيّن هـكـذا ثم نأخذ نسبة مضروب الأوّل أعني ٥ في الثّالث وهو ٣ يكون ١٥ إلى نسبة مضروب الثّاني وهو ٦ في الرّابع وهو ٢ ليكون ١٢ فتصير نسبة ١٥ إلى ١٢ وهو مثل وربع مؤلّفة من نسبة خمسة أسداس ومن نسبة مثل ونصف. وإمّا أن نجعلها في ثلاثة أعداد مثل ٥ ٦ ٤ فنسبة الأوّل وهو ٥ إلى الثّالث وهو ٤ هي نسبة مثل وربع مؤلّفة من هاتين النسبتيّن وكذلك إن كانت النّسبة أكثر من اثنتين فإمّا أن نجعل كل واحدةٍ منهما في أقلّ عددين على تلك النّسبة ثم نجمع من الأولى والثّانية على مثال ما بيّنا ثم بين المبلغ وبين الثّالثة ثمّ بين المبلغ وبين الرّابعة إلى آخرها. وإمّا أن نجعلها متّصلة في أعداد فتكون نسبة أوّل تلك الأعداد إلى آخرهما هي النّسبة المؤلّفة من تلك النّسب. وأمّا قـولـنـا نقصان نسبة من نسبة من نسبة وقسمة نسبة على نسبة فهو بمعنى واحد وهو عكس التّأليف. مـثـالـه أردنا أن ننقص نسبة ثلاثين من نسبة أربعة أخماس ﮷ فإمّا أن نجعل كل واحدةٍ منهما في أقلّ عدد هـكـذا ٢ ٤ فنأخذ نسبة مضروب الأوّل في الرّابع ٢ في ٥ وهو ١٠ في مضروب إلى مضروب ٣ ٥ الثّاني في الثّالث أعني ٣ في ٤ وهو ١٢ فنسبة ١٠ إلى ١٢ وهي خمسة أسداس هي النّسبة الباقية بعد نقصان ثلثين من أربعة أخماس أو جعلنا النّسبة في ثلاثة أعداد متّصلة مثل ٨ ١٢ ١٥ فنأخذ نسبة مضروب الأوّل في الثّالث وهو ٨ في ١٥ تكون نسبة ١٢٠ إلى مربّع ١٢ وهو ١٤٤

وهي نسبة خمسة أسداس أيضًا الباقي من نقصان ثلثين من أربعة أخماس وكذلك سائر النّسب على هذا القياس. ومـن الـفـصـل الـثـّالـث

〈III.1〉 فـي كـيـفـيـة اسـتـعـمـال الشّكل القطّاع فـي الـمـواضـع الـمـحـتـاجـة إلـيـه

ومن بعد ما قدّمنا ما يجب تقديمه فـلـنقل الآن في بـيـان اسـتـعـمـال الشّكل القطّاع في المواضع المحتاجة إليه أقول إنّ بطلميوس ابتدأ باستعماله في كتاب المجسطيّ لتبين الميل لكل جزء من أجزاء فلك البروج أعني الميل الجزئيّ لأنّ الميل الكليّ قد صحّ بالأرصاد كما قد بيّنا من أمره ما نرجو أنّه كفاية. قـال بطلميوس في معرفة هذا الميل فلتكن الدّائرة المارّة بالأقطاب الأربعة قطبيّ معدّل النهار وقطبي فلك البروج دائرة اىجد وذلك أنّ هذه الدّائرة عليها الميل الأعظم التي هي القوس التي بين الانقلابين وبين معدّل النّهار ونصف دائرة معدّل النّهار ا هج ونصف دائرة فلك البروج ىهـد و ﻩ نقطة الاعتدال الرّبيعي و ب والمعدّل الصّيفي ود والمنقلب الشّتوي وز قطب معدّل النّهار والقوس المفروضة من فلك البروج هح وليكن مثلاً ثلاثين جزءًا على أنّ الدّائرة شس جزءًا وبخطّ ربع دائرة ز جط تمرّ بنقطتي ز ح وتنتهي إلى معدّل النّهار ونريد أن نعلم قوس جط من دائرة ز جط الذي هي بعض دوائر أنصاف النّهار فلأنّه قد تقاطع بين قوسين من الدّوائر الكبار وهما ا ز ا ﻩ قوسان من الدوائر وهما نط ىه على نقطة ح تكون نسبة جيب قوس ز ا إلى جيب قوس ا ز مؤلّفة من نسبة جيب قوس ز ط إلى جيب قوس طح ومن نسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هب كما قد تبيّن بطلميوس في شكل ىه من مقالة ا من المجسطيّ لكنّ جيب ز ا معلوم وهو جيب تسعين وهو ستون وجيب ىا معلوم

لأنّه جيب الميل كلّه وإنّما يمكنك أن نعلم الجيب لأنّك قد علمت الأوتار فإذا أخذت أيّ القوسين شئت وضعّفته وأخذت وتر ضعفه إمّا بالأصول التي عرفتها وأمّا من الجدول ثم نصّفها كان جيب القوس ووتر ضعف. ا ز مائة وعشرون جزءًا ووتر قوس ا ب على حسب ما وجدوه من ميل المنقلب عن معدّل النّهار ثماني وأربعون درجة وإحدى وثلاثون دقيقة وخمس وخمسون ثانية ووتر ضعف قوس هـج ستون جزءًا كما قلنا ووتر ضعف هب مائة وعشرون جزءًا وقد تبيّن في وضع تأليف السّتة أنّ الأوّل منها مثل الثّالث فتكون كلّ واحد منهما ١٢٠ والوضع على هذا فطرح نسبة الأوّل من الثّاني حتى تبقى نسبة الثّالث إلى الرّابع الذي هو المجهول مع أنّ يقسّم الخامس على السّادس كما قلنا وهو ٦٠ على ١٢٠ يخرج من القسمة نصف جزء فإذا ضرب ذلك في الثّاني وهو ٤٨ لأنّه يحصل ٦٠ ىه وهو الرّابع الذي كان مجهولًا. ومعلوم أنّ جيب كل قوسٍ هو نصف وتر ضعف قوسه فإذا أخذنا نصف كلّ واحدٍ من أوتار هذه القسيّ يكون كلّ واحدٍ منها جيباً لتلك القوس على هذا مثاله والمجهول كان الرّابع الذي هو ثلاثون وهو جيب قوس طح وجيبها أيضًا ثلاثون ضربناه في جيب الميل كلّه وهو كـد ﻩ ىه خرج من الضّرب سبع مائة وعشرون جزًءا وسبع دقائق وثلاثون ثانية فإذا قسّمناها على ستين الذي هو الجيب الأعظم خرج ١٢ ز ل وهو اثنا عشر جزءًا وسبع دقائق وثلاثون ثانية وهو جيب قوس طح التي هي ميل ثلاثين درجة من معدّل النّهار الموضوع في الجداول للميل الأوّل قوساه خرج ىا م وهو الميل وذلك ما أردنا.

فـي الـمـطـالـع حـيـث تـكـون الـكـرة مـنـتصـبـة فلما فرغ بطلميوس من أمر الميل انتقل إلى تعرّف المطالع في الكرة المنتصبة والكرة إنّما تكون منتصبة حيث يكون قطباها على الأفق ومنطقها على سمت الرؤوس لا يميل وإنّما تكون كرة الحركة منتصبة على خط الاستواء

من الأرض حيث يكون قطب معدّل النّهار على أفقه. والمطالع هي أجزاء من معدّل النّهار تطلع مع أجزاء دائرة البروج وحيث تكون الكرة منتصبة فإنّ درج مطالع الطلوع ودرج جوار دائرة نصف النهار متساوية لا اختلاف فيها لأنّ الحركة على قطبي معدّل النّهار بحيث القطبان على الأفق فسمت الرأس حيث تقاطع دائرة معدّل النّهار دائرة نصف النهار وإذا كان الكرة مائلة فيختلف ذلك لأنّ الحركة ليست على قطبي سمت الرأس ولمّا كانت حركة الكلّ على قطبيّ معدّل النّهار محركات أجزائه في الأزمنة المتساوية متساوية فيجب أن يكون التقدير لسائر الحركات بأزمانها ولما جعلت الدورة الواحدة منه يوماً بليلته ﮷ وإذا علمت البروج التي تطلع وتقرّب من دائرة معدّل النّهار مع الميل عرفت أنّ كـلّ جـزء وكل أجزاء من البروج في كم زمان يطلع إذا الزّمان مقدّر باليوم والليلة بأجزائهما ﮷ فلتكن الآن بعيد الشّكل المرسوم للميل على هيئته فمن البيّن أن الذي يجب أن يوجد في أجزاء معدّل النّهار مع أجزاء الميل ما لو توهّمت الأجزاء التي بحوزتنا قطع الأفق البروج وقطع دائرة تخرج في هذا الأقاليم من قطب معدّل النّهار وتمرّ بالدّرجة الطالعة إلى معدّل النّهار فيكون ما بينهما هو المطالع كأنك لو توهّمت حركة كرة معدل النّهار ساكنة وتتحرّك عليها دائرة الأفق إلى أن تصير دائرة نصف النّهار وتصير دائرة الأفق ثانيًا أقررت في اتصال حركتها ما بين موقعها من المشرق وموضعها طالعاً ذلك القدر وهو الذي توهمناه محرّكًا هو القوس الخارجة من قطب معدّل النّهار إلى الدّرجة التي مالت إلى معدّل النّهار فإنّه هو الذي إذا تحرّك خط نصف النّهار وسائر الخطوط التي تُرسم بهذه الحركة المرسومة كلّها واحدةً بالقوّة في خطّ الاستواء ومختلفة بالإضافة ﮷ فـلـتـكـن دائرة نصف النّهار اىجد ودائرة البروج ىهـد ودائرة معدّل النّهار اهج وقطبه نقطة ز و ﻩ نقطة الاعتدالين ويفصل قوس هـج من دائرة البروج ويجيز عليهما وعلى نقطة ز قوس ز حط يفصل من دائرة معدّل النّهار قوس

قوس هط وهي التي نريد أن نعلّمها بعد تقاطعٍ بين قوسيّ ا ﻩ ا ز قوسا هـب ز ط على نقطةٍ ح وهي من دوائر عظام فنسبة جيب قوس ز ب إلى جيب قوس ىا مؤلّفة من نسبة جيب قوس ز ح إلى جيب قوس حـط ومن نسبة جيب قوس طه إلى جيب قوس ها كما تبيّن في شكل ىه من مقالة ا من المجسطيّ. فأمّا وتر ضعف قوس ز ب فهو مائة جزءٍ وتسعة أجزاء وأربع وأربعون دقيقة وثلاثٌ وخمسون ثانية ووتر ضعف قوس ىا ثمنية وأربعون جزءًا وإحدى وثلاثون دقيقة وخمس وخمسون ثانية ووتر ضعف قوس ز ح معلوم لأنّ ميل نقطة ح الذي هو قوس معلومة وما ينقص عن ربع دائرة معلوم وهو قوس ز ح فوتر ضعفها معلوم وهو مائة وسبعة عشر جزءًا وإحدى وثلاثون دقيقة وخمس عشرة ثانية ووتر ضعف قوس حـط التي هي الميل كلّه أربعة وعشرون جزءًا وخمس عشرة دقيقة وسبع وخمسون ثانية فإن نقص من نسبة المائة والسّبعة الأجزاء والأربع والأربعين الدّقيقة والثّلاث والخمسين ثانية إلى الثّمانية والأربعين جزءًا والإحدى والثّلاثين دقيقة والخمس والخمسين ثانية نسبة المائة والسبعة عشر جزءًا والإحدى والثّلاثين دقيقة والخمس عشرة ثانية إلى الأربعة والعشرين جزءًا والخمس عشرة دقيقة والسبع والخمسين ثانية بقيت نسبة وتر ضعف قوس طه إلى وتر ضعف قوس ها التي هي جيب نسبة ستة وخمسين جزءًا ودقيقة وخمس وعشرين ثانية إلى مائة وعشرين جزءًا فوتر ضعف قوس طه يكون معلومًا بهذا المقدار فيحصل قوس طه معلومة ﮷ ومـثـال عـمل الـقـاء النّسبة من النّسبة في هذا الشّكل على هذا المثال نقسّم المائة والتسعة الأجزاء والأربع والأربعين الدقيقة والثّلث والخمسين ثانية على ثمانية وأربعين جزءًا واثنتين وثلاثين دقيقة وخمس وخمسين ثانية فتخرج من القسمة درجتان وخمس عشرة دقيقة واثنتان وأربعون ثانية وثلث وخمسون ثالثة وهي نسبة وتر ضعف قوس ىز إلى وتر ضعف

قوس ا ب ثم نقسّم مائة وسبع عشرة درجة وإحدى وثلاثين دقيقة وخمس عشرة ثانية على أربعةٍ وعشرين جزءًا وسبع عشرة دقيقة وسبع وخمسين ثانية فتخرج من القسمة نسبة وتر ضعف قوس ز ح إلى وتر ضعف قوس حـط وهي أربع درجات وخمسون دقيقة وست وثلاثون ثانية ثم قسّمنا ما خرج أولًا من القسمة على ما خرج ثانيًا فخرج من القسمة ثمانٌ وعشرون دقيقة وسبع وخمسون ثانية وخمس ثالثة وهي نسبة وتر ضعف قوسٍ هـط إلى وتر ضعف ها فإذا ضربناها في المائة والعشرين جزءًا التي هي العدد السّادس وقسّمنا الحاصل من الضّرب على ستين خرج ستًا وخمسين درجة ودقيقة واحدة وأربعة وخمسين ثانية وهي القدر الخامس وهو ضعف قوس هـط خمسةٌ وخمسون جزءًا وأربعون دقيقة بالتّقريب ﮷ فقوس هـط تكون سبعة وعشرين جزءًا وخمسين دقيقة بالتّقريب وهذه هي مطالع الحمل في الكرة المستقيمة. وإن نحن جعلنا هج ستين جزءًا وسلكنا مثل هذا المسلك خرجت لنا مطالع خمسٌ وخمسين درجة وأربعٌ وأربعين دقيقة وهي مطالع الحمل والثور وإذا نقّصنا منها مطالع الحمل التي كنا علمناها بقيت لنا مطالع الثور وهي تسع وعشرون درجة وأربع وخمسون دقيقة ﮷ فإن نقّصنا مطالع هذين البرجين من مطالع الثلاثة البروج التي هي تسعون جزءًا بقيت لنا مطالع الجوزاء وهي اثنان وثلاثون جزءًا وست وخمسون دقيقة وبمثل هذا المسلك نعلم مطالع كل جزءٍ جزءٍ من فلك البروج ويتبيّن ممّا قلنا إنّ حكم سائر الأرباع الباقية من فلك البروج مثل هذا الحكم ﮷ ومن بعد أن وفّينا بما وعدنا في صدر المقالة من الفصول نختم الفصل الثالث بهذا الموضع والمقالة بهذا الفصل. والحمد لله أوّلًا وآخراً وظاهراً وباطنًا والصلوة على نبيّه محمّد المصطفى وعلى آله وأصحابه وأزواجه أجمعين. كتبه ابن الـنـّجـاشـي مـحـمّـد فـي الـسّـابـع من ذي الحـجة حـج خمس عـشـر وسـتمـائة للهـجرة.