زاوية ب ﻩ جـ فزاوية ا هـب أربعة أضعاف زاوية ىهـج فقوس ا ب أربعة أضعاف قوس ىجـ فجميع قوس ا ىج خمسة أمثال قوس ىج فجميع المحيط عشرة أمثال قوس ىج فقوس ىج عشر الدّائرة وذلك ما أردناه. وقد يمكن أن يبرهن على هذه الدّعوى مثلّثا هىج هىد متشابهان زاوية ب مشتركة وزاويتا ىهد ىج ﻩ متساويان بطريق مأخوذ من طريق أقليدس تكون مؤامرية أليق بهذه الدعوى ولا يتكلّم على العكس وهو كل خطّ يكون وتر سدس دائرة ما يتّصل به من داخل الدّائرة خطّ أقصر منه على أنّ جميع الخطّ يكون مقسوماً على نسبة ذات وسط وطرفين عند نقطة الاتّصال فإنّ الخطّ الأقصر يكون وتر عشر تلك الدّائرة مثاله خطّ جد وتر سدس دائرة ا ىح واتصل به خطّ ىج من داخل الدّائرة أقصر منه وقسّم خطّ بـد على نسبة ذات وسط وطرفين على ج أقول إنّ خطّ ىج وتر عشر دائرة ا ب ج فيخرج خط ىها قطر الدّائرة ونصل هـد ﮷ فلأنّ خطّ ىد مقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين على ج يكون مثلّثا هـىج هـىد متشابهين وزاوية ﻩ أربعة أضعاف زاوية ىهـج كما تقدم يكون قوس ا ج ب خمسة أمثال قوس ىج فيكون جميع المحيط عشرة أمثال قوس ىج فوتر ىج وتر عشرة الدّائرة وذلك ما أردنا أن نبيّن. وبعد تبيّن أنّ جميع الأعراض التي عرضت للخّط المقسوم على نسبةٍ ذات وسط وطرفين يعرض لكلّ خطّ قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين مثاله خطّ ا ب قسّم على نسبة ذات وسط وطرفين على نقطة ج وقسمة الأطول ا ج فأقول إنّه إذا قسّم أيّ خطّ وقع على تلك النسبة وليكن خط د ﻩ على ز فجميع الأعراض التي تعرض لخط ا ب تعرض لخط د ﻩ أيضًا. برهانه أنّ الخطّين قسّما على نسبةٍ واحدةٍ فصارت نسبة ا ب إلى ا ج كنسبة ا ج إلى جب وتكون نسبة د ﻩ إلى د ز كنسبة د ز إلى ز ﻩ فإذا نسبة ا ب إلى ا ج كنسبة د ﻩ إلى د ز وأيضًا نسبة مربّع ا ج إلى ضرب ا ب في ىج كنسبة مربّع د ز إلى ضرب د ﻩ في