وأربعون والتّنصيف يؤدّي بنا إلى وتر أربعة وعشرين ثمّ إلى اثني عشر ثمّ ستّة ثمّ ثلاثة ثمّ واحد ونصف ثمّ نصف وربع ولا يؤدّي إلى معرفة وتر واحد ووتر النّصف وكذلك ينصّف وتر السّدس وهو ستون يؤدي إلى وتر ثلاثون ووتر خمسة عشر ووتر سبعة ونصف ولا يؤدي إلى الواحد وإلى النصف وإن ابتدأت من تنصيف وتر العشر وهو ستّة 〈و〉ثلاثون تأدّت أيضًا إلى أربعة ونصف واثنين وربع. ولو كان يمكننا أن نعرف وتر ثلث قوسٍ معلومة الوتر لكان ذلك يخرج لنا من وتر جزء ونصف جزء فإذ لم يمكنّا فيجب أن نسلك فيما نرومه سبيلًا من التّقريب ونستعين بهذا الشّكل. قال نسبة الوتر الأطول إلى الوتر الأقصر في دائرة واحدة أصغر من نسبة القوس الكبرى إلى القوس الصغرى. مـقـدّمـة يحتاج إليها في هذا الشّكل وهي عكس الشّكل الثّاني عشر من المقالة الخامسة من كتاب أقليدس وهو إذا كانت ستّة مقادير وكانت نسبة الأوّل إلى الثّاني أعظم من نسبة الثّالث إلى الرّابع ونسبة الثّالث إلى الرّابع أعظم من نسبة الخامس إلى السّادس فإنّ نسبة الأوّل إلى الثّاني أعظم من نسبة الخامس إلى السّادس. مـثـالـه نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د ونسبة ج إلى د أعظم من نسبة ﻩ إلى ز أقول إنّ نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﻩ إلى ز بـرهـانـه أنّ نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د يجعل نسبة ج إلى ب كنسبة ج إلى د ونسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى د يكون نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ج إلى ب فأعظم من ج. وأيضًا فلأنّ نسبة ج إلى د أعظم من نسبة ﻩ إلى ز يجعل نسبة ط إلى ب كنسبة ﻩ إلى ز ونسبة ج إلى د هي كنسبة ج إلى ب ونسبة ﻩ إلى ز هي كنسبة ط إلى ب ونسبة ج إلى د أعظم من نسبة هـي إلى ز تكون نسبة ج إلى ب أعظم من نسبة ط إلى ب فتكون ح أعظم من ط وقد كان تبيّن أنّ ا أعظم من ح فـا أعظم كثيرًا من ط و ب مقدار آخر فنسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ط إلى ب ونسبة ط إلى ب هي كنسبة ﻩ إلى ز فنسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﻩ إلى ز وذلك ما أردنا أن نبيّن. وبرهان هذا