هذه مقدّمة حرّرها الشيخ الإمام أفضل المهندسين مؤيّد الملّة والدين العرضيّ أدام الله أيّامه وبها يتمّ برهان الشكل الرابع من المقالة التاسعة من كتاب المجسطي
كلّ خطّين مستقيمين متساويين يحيطان بزاوية ليست قائمة ويخرج من طرف كلّ واحد منهما عمود على الآخر ويُوصَل بين ملتقى العمودين وبين الزاوية المفروضة بخطّ مستقيم فإنّه يقسّم الزاوية المفرُوضة بنصفين مثلًا في الصُورة الأولى بعرض الزاوية التي أحاط بها خطّان المتساويان حادّة وليكن الخطّان المتساويان ا ب ب ج، فلأنّ زاوية ا ب ج حادّة فإذا أخرجنا من نقطة ا على خطّ ب ج عمود ا د وأخرجنا من نقطة ج على خطّ ا ب عمود ج ه فيقاطع العمودين في جهة ا ج فليقاطعا على نقطة ز فيقبل ب ز. فأقول إنّ خطّ ب ز يقسّم زاوية ا ب ج المفروضة بنصفين. برهان ذلك أنّ في مثلّثي ا ب د، ج ب ه زاوية ه ب د مشتركة وكلّ واحدة من زاويتي ب د ا، ب ه ج قائمة فيبقى زاوية ب ا د مثل زاوية ه ج ب ولأنّ ضلع ا ب من مثلّث ا ب د مثل ضلع ب ج من مثلّث ب ج ه يكون كلّ واحد من ضلعي ا د، د ب من مثلّث ا ب د مثل نظيره من مثلّث ب ج ه فيكون عمود ا د مثل عمود ج ه وب مثل ب ه وأيضًا فلأنّ في مثلّثي ه ز ب، د ز ب زاويتي ب ه ز، ب د ز قائمتان وخطّ ب ز يوتّرهما يكون كلا مربّعي ب ه، ه ز مثل كلي مربّعي ب د، د ز لكنّ مربّع ب ه مثل مربّع ب د إذ كان بيّن أنّه مساوٍ له فبقي مربّع ه ز مثل مربّع ز د، فزه مثل زد ولذلك يكون زاوية ا ب ز مثل زاوية ج ب ز، وأمّا في الصورة الثانية فليكن زاوية ا ب ج منفرجة فيخرج كلّ واحد من خطّي ا ب، ب ج على اتّصالهما إلى ه د مثلًا فيكون كلّ واحدة من زاويتي ا ب د، ج ب ه حادّة، فيخرج عمود ا د وعمود ج ه فينفذهما فيلتقيان، ه – طه: لأنّ زاويتي د، ه قائمتان فبعد وصل ده تكون ... أصغر من قائمة وذلك دليل التلاقي لخطّه لا يخفى. وذلك لو وصلنا بين نقطتي د ه بخطّ مستقيم ليصل مثلًا بين نقطتي د ه بزاويتين حادّتين فعمودا ا د، ج د إذا أخرجا التقيا فليلتقيان على نقطة ز ونصل ب ز وننفذه إلى نقطة ح، فأقول إنّ ه – طه: في جهة {ا ج} كما هو المراد.