هذه مقدّمة حرّرها الشيخ الإمام أفضل المهندسين مؤيّد الملّة والدين العرضيّ أدام الله أيّامه وبها يتمّ برهان الشكل الرابع من المقالة التاسعة من كتاب المجسطي

كلّ خطّين مستقيمين متساويين يحيطان بزاوية ليست قائمة ويخرج من طرف كلّ واحد منهما عمود على الآخر ويُوصَل بين ملتقى العمودين وبين الزاوية المفروضة بخطّ مستقيم فإنّه يقسّم الزاوية المفرُوضة بنصفين مثلًا في الصُورة الأولى بعرض الزاوية التي أحاط بها خطّان المتساويان حادّة وليكن الخطّان المتساويان ا ب ب ج، فلأنّ زاوية ا ب ج حادّة فإذا أخرجنا من نقطة ا على خطّ ب ج عمود ا د وأخرجنا من نقطة ج على خطّ ا ب عمود ج ه فيقاطع العمودين في جهة ا ج فليقاطعا على نقطة ز فيقبل ب ز. فأقول إنّ خطّ ب ز يقسّم زاوية ا ب ج المفروضة بنصفين. برهان ذلك أنّ في مثلّثي ا ب د، ج ب ه زاوية ه ب د مشتركة وكلّ واحدة من زاويتي ب د ا، ب ه ج قائمة فيبقى زاوية ب ا د مثل زاوية ه ج ب ولأنّ ضلع ا ب من مثلّث ا ب د مثل ضلع ب ج من مثلّث ب ج ه يكون كلّ واحد من ضلعي ا د، د ب من مثلّث ا ب د مثل نظيره من مثلّث ب ج ه فيكون عمود ا د مثل عمود ج ه وب مثل ب ه وأيضًا فلأنّ في مثلّثي ه ز ب، د ز ب زاويتي ب ه ز، ب د ز قائمتان وخطّ ب ز يوتّرهما يكون كلا مربّعي ب ه، ه ز مثل كلي مربّعي ب د، د ز لكنّ مربّع ب ه مثل مربّع ب د إذ كان بيّن أنّه مساوٍ له فبقي مربّع ه ز مثل مربّع ز د، فز‌ه مثل ز‌د ولذلك يكون زاوية ا ب ز مثل زاوية ج ب ز، وأمّا في الصورة الثانية فليكن زاوية ا ب ج منفرجة فيخرج كلّ واحد من خطّي ا ب، ب ج على اتّصالهما إلى ه د مثلًا فيكون كلّ واحدة من زاويتي ا ب د، ج ب ه حادّة، فيخرج عمود ا د وعمود ج ه فينفذهما فيلتقيان، ه – طه: لأنّ زاويتي د، ه قائمتان فبعد وصل ده تكون ... أصغر من قائمة وذلك دليل التلاقي لخطّه لا يخفى. وذلك لو وصلنا بين نقطتي د ه بخطّ مستقيم ليصل مثلًا بين نقطتي د ه بزاويتين حادّتين فعمودا ا د، ج د إذا أخرجا التقيا فليلتقيان على نقطة ز ونصل ب ز وننفذه إلى نقطة ح، فأقول إنّ ه – طه: في جهة {ا ج} كما هو المراد. ز ب ح تقسّم زاوية ا ب ج بنصفين. برهان ذلك أنّ ضلع ا ب من مثلّث ا ب د مثل ضلع ب ج من مثلّث ج ه ب وكلّ واحدة من زاويتي ا د ب، ج ه ب قائمة وزاوية ا ب د مثل زاوية ج ب ه، فالضلعان الباقيان متساويان للضلعين الباقيين والزاوية الباقية مثل الزاوية الباقية، فيكون عمود]ا[ ا د مثل عمود ج ه وضلع ب د مثل ضلع ب ه وزاوية ا مثل زاوية ج وأيضًا فلأنّ في مثلّثي ب د ز، ب ه ز زاويتان ب د ز، ب ه ز مثل زاوية ج، وأيضًا فلأنّ قائمتان ووتر ب ز مشترك فيكون مجموع مربّعي ب د، د ز مثل مجموع مربّعي ب ه، ه ز، لكنّ مربّع ب د مثل مربّع ب ه لأنّه يبيّن أنّه مساو له، فيبقى مربّع د ز مثل مربّع ه ز، فد ز مثل ه د، ولذلك يكون زاوية ا ز ب مثل زاوية ج ز ب، وقد كان بيّن أنّ زاوية ا مثل زاوية ج، ه – طه: إذ الخارجة {كمقا...} الداخلتين. فزاوية ا ب ح مثل زاوية ج ب ح، وقد استبان في الشكلين معًا أنّ العمودين المخرجين أعني ا د، ج ه يكونان متساويين، فإنّ فضلهما اللذين فيما بين ملتقاهما وبين نقطتي مسقطهما أعني خطّي ه ز، د ز يكونان متساويين، وذلك ما أردنا بيانه. وإذ قد تقدّم ذلك فلنعد الشكل الرابع المذكور غير أنّا نصل بين مركز التدوير ومركز الحامل على الوضع الصحيح فيقع حاله كون مركز التدوير ه م في جهة اليمين عن خطّ ا ب ج وفي جهة الشمال من هذا الخطّ وبالعكس حالة وضعه على جهة الشمال كدائرة د ل ويخرج من نقطتي ط ك على خطّي ب د، ب ه عمودي ط ن، ك س فيكونان عمودين على خطّي ك ج، ط ج الموازيين لهما ولنقطتاهما على نقطتي ح ع ولا حاجة بنا إلى إخراج عمودي ه ح، د ن فإنّه يتمّ بدونهما ولا يتمّ بهما دون ما عملنا، فلأنّ زاوية ط ج ك فرضت حادّة في الصُورة الأولى من هذه المقدّمة وخطّي ج ط، ج ك متساويان وقد أخرج من نقطتي ك، ط عليهما عمودي ط ح، ك ع يتقاطعان على ز، فالخطّ الذي يقسّم ه - صح: ط ح ك بنصفين يمرّ بنقطة ز بالضرورة وقد بيّن فيها أنّ قسم ط ز مثل قسمي ك ز، فهذه الصورة في مثلّثي ب ز س، ب ز ن [زاوية] زاويتا س ن قائمتان وزاويتا س ب ز، ز ب ن متساويتان وخطّ ب ز مشترك فخطّ ب س مثل خطّ ب ن وخطّ ز س مثل خطّ ز ن فلأنّ في مثلّثي ه ك س، د ط ن زاويتا ن س قائمتان وكلّ واحد من خطّي ه ك، ط د نصف قطر الحامل للتدوير ومربّعه مساو لمربّعه د ن، ن ط، ك س، س د فيكون مجموع د ن، ط ن مثل مجموع مربّعي ك س، س ه لكن مربّع ط ن مثل مربّع ك س فيبقى ه س مثل مربّع د ن فه س مثل د ن، فجميع ه ب مثل جميع د ز ولا حاجة بنا إلى إعادة الباقي لأنّه معلوم من الكتاب ولو شئنا لوصلنا بين نقطتي ط ك وبين مركزي التدوير بخطّين مستقيمين وتبيّن تساويهما لأنّ خطّي ج ك، ج ط وزاويتي ج مساوية، فيكون قاعدتا ف ك، ف ط متساويتين، فيبقى خطّا ب د، ب ه متساويين وزاويتا د ف ك، ه ف ط متساويتان، فخطّ ك د مثل ف ط، ه ط ويرجع الشكل إلى أصله.