ز ب ح تقسّم زاوية ا ب ج بنصفين. برهان ذلك أنّ ضلع ا ب من مثلّث ا ب د مثل ضلع ب ج من مثلّث ج ه ب وكلّ واحدة من زاويتي ا د ب، ج ه ب قائمة وزاوية ا ب د مثل زاوية ج ب ه، فالضلعان الباقيان متساويان للضلعين الباقيين والزاوية الباقية مثل الزاوية الباقية، فيكون عمود]ا[ ا د مثل عمود ج ه وضلع ب د مثل ضلع ب ه وزاوية ا مثل زاوية ج وأيضًا فلأنّ في مثلّثي ب د ز، ب ه ز زاويتان ب د ز، ب ه ز مثل زاوية ج، وأيضًا فلأنّ قائمتان ووتر ب ز مشترك فيكون مجموع مربّعي ب د، د ز مثل مجموع مربّعي ب ه، ه ز، لكنّ مربّع ب د مثل مربّع ب ه لأنّه يبيّن أنّه مساو له، فيبقى مربّع د ز مثل مربّع ه ز، فد ز مثل ه د، ولذلك يكون زاوية ا ز ب مثل زاوية ج ز ب، وقد كان بيّن أنّ زاوية ا مثل زاوية ج، ه – طه: إذ الخارجة {كمقا...} الداخلتين. فزاوية ا ب ح مثل زاوية ج ب ح، وقد استبان في الشكلين معًا أنّ العمودين المخرجين أعني ا د، ج ه يكونان متساويين، فإنّ فضلهما اللذين فيما بين ملتقاهما وبين نقطتي مسقطهما أعني خطّي ه ز، د ز يكونان متساويين، وذلك ما أردنا بيانه. وإذ قد تقدّم ذلك فلنعد الشكل الرابع المذكور غير أنّا نصل بين مركز التدوير ومركز الحامل على الوضع الصحيح فيقع حاله كون مركز التدوير ه م في جهة اليمين عن خطّ ا ب ج وفي جهة الشمال من هذا الخطّ وبالعكس حالة وضعه على جهة الشمال كدائرة د ل ويخرج من نقطتي ط ك على خطّي ب د، ب ه عمودي ط ن، ك س فيكونان عمودين على خطّي ك ج، ط ج الموازيين لهما ولنقطتاهما على نقطتي ح ع ولا حاجة بنا إلى إخراج عمودي ه ح، د ن فإنّه يتمّ بدونهما ولا يتمّ بهما دون ما عملنا، فلأنّ زاوية ط ج ك فرضت حادّة في الصُورة الأولى من هذه المقدّمة وخطّي ج ط، ج ك متساويان وقد أخرج من نقطتي ك، ط عليهما عمودي ط ح، ك ع يتقاطعان على ز، فالخطّ الذي يقسّم ه - صح: ط ح ك بنصفين يمرّ بنقطة ز بالضرورة وقد بيّن فيها أنّ قسم ط ز مثل قسمي ك ز، فهذه الصورة في مثلّثي ب ز س، ب ز ن [زاوية]