ta, et quod fuerit, proijciemus de illo 90. si fuerit plus 90. et si fuerit minus, addemus super ipsum reuolutionem unam, et minuemus ex eo 90. et illud quod remanserit de partibus eleuationum, sciemus cum quanto eleuatur de partibus orbis signorum in sphaera recta, et quod fuerit, proijciemus a principio arietis secundum continuitatem signorum, et ubi peruenerit numerus, erit pars medians coelum in illa hora posita. Et econuerso illius, quando nos uoluerimus scire partem orientem ex parte mediante coelum, tunc sciemus quanta sit elongatio illius partis a capite arietis, et sciemus quod debeatur ei, quod fuerit de eleuationibus in sphaera recta, et super illud quod fuerit, addemus 90. et proijciemus ex eo reuolutionem, si fuerit plus reuolutione, et sciemus illud cum quanto eleuetur de partibus orbis signorum in regione data, et quod fuerit, proijciemus secundum continuitatem signorum a principio arietis, et ubi perueniet numerus, tunc illa pars erit oriens. Et manifestum est, quod elongatio solis a medio die et media nocte eorum, qui habitant sub uno circulorum meridiei, est longitudo una ex horis aequalibus, et super illos qui non habitant sub uno circulorum meridiei, diuersitas meridiei est cum temporibus de temporibus aequalitatis, quorum numerus est aequalis numero partium, qui sunt inter circulos meridiei eorum. Et postquam declaratae sunt res istae, ergo incipiamus nunc declarare quantitates angulorum, qui proueniunt ex circulo signorum et circuli meridiei, et quoniam illud quod prouenit ex sectione omnium duorum circulorum sese secantium, est 4. anguli, tunc oportet, ut determinemus angulum quem uelimus de eis, et ipse quidem est angulus septentrionalis orientalis. Demonstremus ergo in primis, quod omnes duo anguli, qui sunt super omnia duo puncta orbis signorum, quorum longitudo ab uno duorum punctorum duarum aequalitatum est longitudo aequalis, ex circulo meridiei sunt aequales. Sit itaque orbis signorum circulus a b g d, et orbis aequatoris diei circulus e g z h, et punctum g unum duorum punctorum duarum aequalitatum, et sint duo arcus b g, g l aequales, et sit polus septentrionalis punctum t, et faciamus transire super ipsum et super duo puncta b l duos arcus duorum circulorum magnorum, qui sint duo arcus t k b et t l z Dico ergo, quod duo anguli g b k et t l d sunt aequales. Quod sic probatur, quoniam triangulus b g k est ex arcubus circulorum magnorum, ergo proportio sinus lateris k g ad sinum lateris b g, est sicut proportio sinus arcus anguli b ad sinum arcus anguli k. Et similiter in triangulo g l z iterum proportio sinus lateris g z ad sinum lateris g l, est sicut proportio sinus arcus anguli l ad sinum arcus anguli z, uerum arcus b g est aequalis arcui g l, et arcus g k est aequalis arcui g z, quoniam ambo sunt eleuationes illorum utrorumque in sphaera praeparata. Et similiter angulus k est aequalis angulo z, quoniam unusquisque amborum est rectus, oportet ergo, ut sint propter illud duo sinus duorum angulorum b l aequales, et ipsi sunt sequentes duo latera k g, g z aequalia, ergo oportet ut sint aequales, ergo angulus b trianguli g b k est aequalis angulo l trianguli g l z. Sed iste angulus est aequalis angulo t l d, ergo angulus k g b quaesitus est aequalis angulo t l d quaesito iterum, et illud est, cuius uoluimus declarationem. Et dico iterum, quod duorum angulorum anguloum ed. qui proueniunt apud duo puncta, quorum longitudo ab uno et eodem tropico est longitudo una, aggregatio est aequalis duobus angulis rectis. Sit itaque orbis signorum circulus a b g d, et punctum tropici punctum z, et sint duo arcus b z, g z aequales, et sit polus septentrionalis punctum e, et faciamus transire super ipsum et super duo puncta b g duos arcus duorum circulorum magnorum, qui sint duo arcus e b, e g. Dico ergo, quod duo anguli e b g, e g d sunt aequales duobus angulis rectis, cuius haec est demonstratio. Quoniam triangulus e b g est ex arcubus circulorum magnorum, ergo proportio sinus lateris e g ad sinum lateris e b, est sicut proportio sinus arus anguli e b g ad sinum arcus anguli e g b,