مركز د تعلّم على محيطها ثلاث نقط وهي ا ب ج وقوسا ا ب ىج كلّ واحدة منهما أقلّ من نصف دائرة ونصل خطّي ا ج د هـب أقول إنّ نسبة جيب ا ب إلى جيب ىج كنسبة ا ﻩ إلى هـج بـرهـانـه نخرج من نقطتي ا ج عمودين على د ﻩ هـب عليهما ا ز جح فتكون زاويتا ا ز ب جحد المتبادلتان متساويتين كما تبيّن في شكل كـز من مقالة ا من س ويكون مثلّثا ا هز جهح متشابهين كما تبيّن في شكل د من مقاله و من س وتصير نسبة ا ز إلى جح كنسبة ا ﻩ إلى هـح فـأمّا ا ز فهو جيب ا ب وأمّا جح فهو جيب ىج فنسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج كنسبة خط ا ﻩ إلى خط هـج وذلك ما أردنا.

〈II.4〉 مـثـال الشّكل الـرّابـع

إذا كانت قوس ا ج من دائرة ا ىج معلومة وكانت نسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج معلومة فإنّ لكلّ واحدة من قوسي ا ب ىج معلومة. بـرهـانـه نجعل المركز د ونصل خطوط ا هـج ء هـب ا د ونخرج من نقطة د عمودًا على خط ا ج عليه د ز فلأنّ قوس ا ج معلومة تكون زاوية ا د ز معلومة لأنّها نصف الزّاوية التي يوترها قوس ا ىج لأنّ د ز عمود على ا ج ولأنّ قوس ا ج معلومة يكون وتر ا ج معلومًا ونصفه الذي هو ا ز معلومًا ولأنّ نسبة جيب قوس ا ب إلى جيب قوس ىج معلومة وهي كنسبة ا ﻩ إلى هـج الذي تبيّن في الشّكل الذي قبل هذا تكون نسبة ا ﻩ إلى هـج معلومة و ا ج معلوم فكلّ واحد من ا ﻩ هـج معلوم ﮷ وقد بيّنا أنّ ا ز معلوم فيبقى هـز معلومًا وا ز معلوم ومربّعا ا ز د ز مثل مربّع ا د لأنّ زاوية ز قائمة كما في شكل مز من مقالة ا من س وا د معلوم يبقى مربّع د ز معلومًا ومربّع هـز معلوم