مثلّث ا د ج قائم الزّاوية لأنّه في نصف الدّائرة وقد أخرج من زاويته القائمة عمود د ز يكون نسبة ا ج إلى ج د لنسبة جد إلى جز كما في شكل ح من مقالة و من س يكون ضرب ا ج في ج ز مساويًا لمربّع خطّ جد كما في شكل ىـز من مقالة و من س يكون ضرب ا ج في ج ز مساويًا لمربّع خطّ جد كما في شكل ىـز من مقالة و من س ولكنّ ضرب ا ج في ج ز معلوم فمربّع جد معلوم وجد الذي هو نصف قوس ىج معلوم وذلك ما أردنا. وإذ عرفنا هذا فقد اتّضح لنا السّبيل إلى معرفة أجزاء وتر ثلاثة أجزاء ووتر جزء ونصف ووتر نصف جزء وربع ووتر قوس اثني عشر جزءًا. ونقول أيضًا إنّا إذا أعطينا قوسين صغرين معلومتي الوتر أمكننا أن نعرف وتر مجموعهما أقلّ من نصف دائرة فذلك هو المطلوب في مساحتنا أعني أنّ ا ج معلوم وليخرج القطر ا د ونصل ج د فلأنّ ا ب ىج معلومان يكون ء ج الباقي معلومًا فوتر قوس ا ج الباقية إلى نصف الدّائرة معلوم. وبرهان ذلك كما بيّنا بأنّا نخرج أيضًا قطر ىز ﻩ ونصل ج د د ﻩ جه د ب و ىج معلوم فـجه أيضًا معلوم وبمثل ذلك ىد بسبب ا ب معلوم ويصير هذا معلومًا فيصير جد الضّلع الرّابع معلومًا بسبب القطرين وهما بـه ا د ويحصل ا ج معلومًا فإذا حصّلنا وتر قوس أصغر القسيّ المفروضة ولم نزل نركّب تلك القوس مع قسيّ أخر معلومة الأوتار كان أوتار المجموعات معلومة وكذلك إذا ضاعفنا القوس الصغيرة جدًا دائمًا. وبطلميوس يروم أن يضع أصغر الأوتار وتر نصف جزءٍ فإذا عرفت وتر نصف جزءٍ أمكنك أن تستخرج وتر ربع جزءٍ وثمن جزءٍ ولكنّ الذي اعتمده من طريق التّنصيف لا يؤدي به إلى نصف جزء حتى تسهل علينا معرفة سائرها وذلك لأنّا انتهينا في استخراج الأوتار إلى وتر فصل ما من السّدس والخمس وذلك ثمنيه