من نسبة جد إلى ز د ومن نسبة ز د إلى هـح ولكن نسبة ز د إلى هـح كنسبة ىز إلى ىه لأنّ خطّ ز د موازٍ لخط هـح كما في شكل ب من مقالة و من س فنسبة جا إلى ا ﻩ مؤلّفة من نسبة جد إلى د ز ومن نسبة ىز إلى ىه وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈II.2〉 والشّكل الـثـانـي

أراد أن يبيّن هذه النسب على جهة التفصيل هكذا فقال وقد تبيّن أنّ نسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ب إلى ىا بـرهـانـه نخرج خطّ ا ح موازياً لخطّ هـب فلأنّ ا ح يوازي هـز تكون نسبة جه إلى هـا كنسبة جز إلى ز ح كما في شكل ب من مقالة و من س. فإذا وجدنا بين مقداري جز ز ح مقدارًا مثل د ز ويتوالى الجميع على نسبتيّ ج ز إلى ز د و ز د إلى ز ح تكون نسبة جز إلى ز ح مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ز إلى ز ح فنسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ز إلى د ح ولكن نسبة ز د إلى ز ح كنسبة ء ب إلى ىا لتشابه مثلّثي ا د ح و ز د ب فنسبة جه إلى هـا مؤلّفة من نسبة جز إلى ز د ومن نسبة د ب إلى ىا. وقد تبيّن أيضًا بمثل هذا المسلك أنّ نسبة جز إلى د ز مؤلّفة من نسبة جه إلى هـا ومن نسبة ا ب إلى ىد بـرهـانـه فإذا وجدنا بين جز و ز د مقداراً مثل ز ح ويتوالى الجميع مثل نسبتيّ جز ز د كانت نسبة جز إلى ز د مؤلّفة من نسبة جز إلى ز ح ومن نسبة ز ح إلى ز د فأمّا نسبة جز إلى ز ح فقد بيّنا أنها كنسبة جه إلى هـا وأما نسبة ز ح إلى ز ح فقد بيّنا أنها كنسبة ا ب إلى ىد فنسبة جز إلى ز د مؤلّفة من نسبة جه إلى هـا ومن نسبة ا ب إلى ىد وذلك ما أردنا أن نبيّن. ثم بيّن بطلميوس بالشّكل الثّالث والرّابع من مقدماته أنّه إذا قسّمت قوس معلومة الوتر بقسمين فكانت نسبة جيب إحدى القوسين إلى جيب القوس الأخرى معلومة كان كلّ واحد من القوسين معلومًا.

〈II.3〉 مـثـال الشّكل الـثـالـث

دائرة ا ىج على