أقلّ من نسبة زاوية جد ﻩ إلى زاوية ﻩ د ا كما قد تبيّن في شكل ب من مقالة ﻩ من س ثمّ قال ونسبة جد إلى هـا كنسبة وتر جب إلى وتر با كما قد بيّنا قبل وقلنا كما في شكل ج من مقالة و ثمّ قال ونسبة زاوية ج د ب إلى زاوية ىد ا كنسبة قوس ىج إلى قوس ىا كما قد تبيّن في آخر المقالة السادسة. فقد تبيّن أنه إذا كان في دائرةٍ ما وتران غير متساويين فإنّ نسبة الوتر الأعظم منهما إلى الأصغر أقلّ من نسبة قوس الوتر الأعظم إلى قوس الوتر الأصغر وذلك ما أردنا أن نبيّن. قال بطلميوس فإذا قد قدمنا هذا فلنبيّن تقرير جزء واحد بأقرب تقريب وتركيب الأوتار من الشّكل الثّالث كيف نعرف وتر فضل ما بين سدس الدّائرة وخمسها وهو س وخمسها وهو عب والفصل يب ومن الشّكل الرّابع نصفه ونصف نصفه حتى ينتهي إلى وتر جزء ونصف ووتر نصف جزء وربع. ومن بعد ذلك فإنّا بخطّ دائرة ا ىجد و وليكن ا ب بوتر نصف وربع جزء من الدّائرة وبخطّ ا ج توتر جزءًا واحدًا ونصفًا من الدّائرة فنسبة وتر ا ج إلى وتر ا ب أقلّ من نسبة قوس ا ج إلى قوس ا ب وقوس ا حـ مثل وثلث قوس ا ب و ا ب قد تبيّن أنّه مز دقيقة ح ثانية ومثل وثلث ا ب يكون ا ب مط ووتر ا ج أقلّ منه وأيضًا ا ج وتر قوس جزءٍ واحدٍ وخط ا د وتر قوس جزء ونصف هو س ا د مثل ونصف قوس ا ج فوتر ا د أقلّ من مثل ونصف وتر ا ج فوتر ا ج أكبر من ثلثي وتر ا د ووتر ا د قد بيّنا أنّه درجة وأربع وثلاثون دقيقة وخمس عشرة ثانية ويلياه درجة ودقيقتان وتسع وأربعون ثانية وثمانية وأربعون ثالثة ووتر ا ج أكبر منه فإذا كان وتر الجزء الواحد مرة أقلّ ومرّة أكبر من شيءٍ واحدٍ بعينه كان ذلك التّفاوت ممّا لا قدر له ولا يظهر للحس فإذا أخذ نصف التّفاوت وزيد على الأقلّ حصل وتر جزء واحد بأقرب تقريب ا ب مط ن ومن هذا نركب الأوتار ونضع في الجداول ﮷ وأمّا في الحقيقة فليس نسب القسيّ بحسب الأوتار فهذا هو الغرض الأوّل من هذه الأصول.