نقط كـ ل م في سطح مثلّث ا جـد وفي سطح دائرة ىز ﻩ تكون على الفصل المشترك لهذين السّطحين الذي هو خطّ مستقيم كما علمت ويصير خطّ كـلم مستقيماً فيكون قد تقاطع فيما بين خطّي حـ د د م المستقيمين خطّا ج ا مكـ على نقطة ل فنسبة جل إلى ا ل مؤلّفة من نسبة جكـ إلى كـد ومن نسبة د م إلى ما كما تبيّن في شكل ط من هذه المقالة. وأمّا نسبة جل إلى ا ل فهي كنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا كما علمت ولذلك أيضًا يكون نسبة جكـ إلى كـد كنسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د وأمّا نسبة د م إلى ما فهي كنسبة جيب قوس د ط إلى جيب قوس طا كما تبيّن في شكل ىب من هذه المقالة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب قوس د ط إلى جيب قوس طا. فـأمّا جيب قوس د ط فهو جيب قوس د ب وأمّا جيب قوس طا فهو جيب قوس ا ب لأنّ ىا ط نصف دائرة فنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا مؤلّفة من نسبة جيب قوس جز إلى جيب قوس ز د ومن نسبة جيب د ب قوس ىا. وأيضًا نجعل خطّ ا د موازيًا لخطّ ىحـط فـأقول إنّ خط لـكـ موازٍ لخطّ ا د فإن لم يكن كذلك فهو أيضًا بموازٍ لخطّ ح ب لأنّ جب يوازي ا د ولو كان كـ د أيضًا موازيًا له لكان ا د يوازي كد للذي تبيّن في شكل ظ من مقالة ىا من س فيخرج من نقطة ل في سطح مثلّث اجد خطًا موازيًا لخطّ ا د عليه لن فخطّا لن حط موازيان لخط ا د فهما متوازيان للذي تبيّن في شكل ط من مقالة ىا من س ويخرج أيضًا نقطة ل في سطح دائرة هـز ب خطًّا موازيًا لخطّ ح ب وهو خطّ لس فخطّ لس موازٍ لخطّ جب وقد كنّا بيّنا أنّ خطّ لن يوازي خطّ جب فخطّا لن لس متوازيان كما علمت من أصول أقليدس وهذا غير ممكن لأنّهما قد التقيا على نقطة ل فخطّ كـل موازٍ لخطّ ا د ونسبة جل إلى ا ل كنسبة جكـ إلى كـ د للذي تبيّن في شكل ب من مقالة و من س ﮷ فأمّا نسبة جل إلى ا ل فهي كنسبة جيب قوس جه إلى جيب قوس هـا وأمّا