Expositio practice tabule tabularum et propositionum Ptolomei pro compositione tabule sinuum et cordarum necessariarum, facta pro simplicibus per me Paulum de Gherisheym

⟨Prologus⟩

Necessitatem et utilitatem tabule sinuum et cordarum astronomorum signifer Ptolomeus Ptolomeus] add. i. m. B ostendit in prima dictione sui Almagesti, eamque ibi componere docet sine qua practicari nequeunt que in eodem libro Ptolomeus explicare curavit. Preterea omnibus in astronomia practicantibus nota est eius utilitas sine qua modicum aut nichil facere possunt et ideo de hoc non est opus per multa vagari. Verum dum eam in diversis libris tabulatam unam tamen cum alia non concordantem reperi. Ad propositiones Ptolomei me converti volens eam iterato rectificare insuper et sinus ultra gradus, minuta et secunda usque ad quarta extendere. Et ut in posterum tolleretur omnis ambiguitas que forsan circa tabulam per me rectificatam oriri posset et quivis illam etiam per scriptorum errorem depravatam iterum emendare sciret. Cogitavi propositiones Ptolomei ad hoc propositum deservientes clare demonstrare et modum ipsas arismetrice practicandi subiungere. Sed cum in predicte tabule compositione frequenti multiplicatione, divisione et quadrate radicis extractione uti oporteat. Quod etsi per modum traditum per magistrum Iohannem de Lineriis in Algorismo de minutiis fieri posset per reductionem diversarum fractionum ad idem genus denominationis, tamen quia in hoc magnus labor est et nimia prolixitas, faciliter quoque propter multiplicem figurarum, anticipationem et delecionem error intervenit, idcirco dignum duxi in primis facilimam omnium premissorum practicam ex tabula tabularum que alio nomine vocatur tabula proportionum aut minutorum proportionum que alio nomine vocatur tabula proportionum aut minutorum proportionum] add. B ostendere per certas propositiones, quarum prima est hec:

⟨I⟩

⟨I.1⟩ Prima. Signa, gradus, minuta, secunda etc. per consimiles aut alias quaslibet fractiones phisicas in seinvicem multiplicare multiplicare] add. i. m.: hanc primam propositionem melius posuissem si eam generalius proposuissem hoc modo numerum propositum seu integrorum seu fractionum phisicarum per quemvis alium numerum seu integrorum seu fractionum phisicarum per tabulam tabularum multiplicare B

Scribe seorsum signa, gradus, minuta etc., tam numeri multiplicandi quam ipsum multiplicantis. Deinde grossiorem minutiam numeri multiplicantis quere in uno latere tabule et in alio latere grossiorem numeri multiplicandi et in angulo communi invenies duos numeros quos scribe extra, quorum primus scilicet versus dextram est denominationis surgentis ex multiplicatione denominationum predictorum numerorum in seinvicem ut statim dicetur, et secundus numerus qui est versus sinistram est denominationis immediate grossioris siquidem quelibet eius unitas valet 60 prioris. Deinde grossiori minutia numeri multiplicantis semper fixe in uno latere tenta quere in alio latere numerum fractionis sequentis immediate grossiorem fractionem numeri multiplicandi et in angulo communi invenies duos numeros quorum secundum scribe sub primo numero prioris multiplicationis et primum sub sequenti denominatione, eo quod denominatio solum variatur per unicam differentiam sicud et figetur numeri multiplicandi, et hunc modum continua usque ad finem. Grossiori minutia numeri multiplicantis sic ducta per singulas numeri multiplicandi. Duc sequentem numerum ipsius multiplicantis similiter in singulos numeros multiplicandi considerando circa primam denominationem consurgentem ut debite ponas numeros sub suis locis sive denominationibus. Prima enim habita sequentes subtiliantur per unicam differentiam sicud figetur numeri multiplicandi ut dictum est. Post hoc duc numerum sequentis denominationis ipsius multiplicantis in singulos multiplicandi et sic consequenter. Sic singulis minutiis numeri multiplicantis ductis in singulas multiplicandi et provenientibus quibuslibet similis denominationis sibi invicem suppositis, adde hos provenientes numeros ad invicem quodlibet suo generi, incipiendo a subtilioribus fractionibus, et numerus sic proveniens est productus ex propositorum minorum in seinvicem multiplicatione. Ut autem prompte scias denominationem provenientem, nota quod gradus est integrum et minutum est prima fractio, secunda sunt secunde fractiones et sic consequenter. Si ergo multiplices gradus per gradus proveniunt gradus et si eos multiplicaveris per quaslibet fractiones proveniunt fractiones eiusdem denominationis, ut si multiplices gradus per minuta proveniunt minuta, si per secunda proveniunt secunda etc. In fractionibus vero in invicem multiplicatis denominator surgit ex additione numerorum a quibus denominationes ipse denominantur, minutum enim, cum sit prima fractio, denominatur ab unitate, secunda a binario, tertia a ternario et sic deinceps. Si igitur multiplices minuta per minuta veniunt secunda, si minuta per secunda veniunt tertia, si secunda per secunda veniunt quarta etc. Rursus cum signa sint ante gradus qui dicuntur integra, sicud ex multiplicatione graduum per quaslibet fractiones provenit numerus eiusdem denominationis cum fractione, ita ex multiplicatione signi per gradus aut quaslibet fractiones venit numerus denominationis immediate grossioris quam fuerit numerus per signum aut e contrario multiplicatus ut, si signa multiplices per gradus, proveniunt signa, si per minuta proveniunt gradus etc. Hic etiam nota quod licet in communibus operationibus astronomie precipiatur, ut quotienscumque numerus signorum excesserit 6 signa phisica aut 12 communia quod illud superexcrescens abiciatur, tamen quando ipsa signa multiplicationem intrant, quod frequenter venit in compositione tabule sinuum et cordarum, nichil abiciendum est, ymmo quando numerus signorum excesserit 60 ponenda est pro eis unitas in sequenti loco versus sinistram qui vocetur locus antesignorum. Sicud ergo ex multiplicatione signorum per gradus proveniunt signa ut dictum est, sic ex multiplicatione signorum per signa proveniunt antesigna. Et pro istis denominationibus sciendis consuevit poni quedam tabula in cuius uno latere ponuntur denominationes numeri multiplicantis et in alio latere denominationes numeri multiplicandi, in quorum concursu sive angulo communi ponitur denominatio proveniens quam etiam hic in margine posui. The following table appears in the margin B

In calculando quoque veras coniunctiones planetarum occurrunt fractiones plurime diversorum generum dum enim longitudo inter planetas dividitur per superationem provenit tempus puta dies aut hora et eorum fractiones plurime que sunt minuta, secunda, tertia, etc. dierum aut horarum per quod tempus si multiplicatur motus ipsorum planetarum provenit locus communis. Ne ergo in tali multiplicatione ex hac tabula error contingat nota quod dies est integrum minutum diei est fractio immediate subtilior et sic consequenter. Similiter hora est integrum et eius minutum prima subtilior fractio etc. Et sicut multiplicando integrum per fractiones provenit fractio eiusdem denominationis cuius fuit fractio multiplicans sic multiplicando horas per minuta proveniunt minuta motus etc. In calculando quoque veras coniunctiones planetarum occurrunt fractiones plurime diversorum generum dum enim longitudo inter planetas dividitur per superationem provenit tempus puta dies aut hora et eorum fractiones plurime que sunt minuta, secunda, tertia, etc. dierum aut horarum per quod tempus si multiplicatur motus ipsorum planetarum provenit locus communis. Ne ergo in tali multiplicatione ex hac tabula error contingat nota quod dies est integrum minutum diei est fractio immediate subtilior et sic consequenter. Similiter hora est integrum et eius minutum prima subtilior fractio etc. Et sicut multiplicando integrum per fractiones provenit fractio eiusdem denominationis cuius fuit fractio multiplicans sic multiplicando horas per minuta proveniunt minuta motus etc.] add. i. m. B Nunc pro clarissimo intellectu propositionis volo eam ponere ad practicam. The following tables appear in the margin B

Sint itaque duo signa, 30 gradus, 28 minuta, 36 secunda multiplicanda per 9 gradus, 37 minuta, 7 secunda, quero in uno latere tabule 9 et in alio 2 signa in quorum communi angulo invenio 18 signa que scribo extra ad partem. Deinde intro cum 9 et 30 et invenio in angulo communi 4 que scribo sub prioribus 18, et 30 versus dextram, hoc est sub gradibus. Simili modo in communi angulo 9 et 28 reperio 4 que scribo sub 30, et 12 versus dextram in ordine minutorum. Similiter in concursu 9 et 36 invenio 5 que scribo sub 12, et 24 que scribo versus dextram, hoc est sub secundis. Iam duxi 9 gradus in singulas figuras numeri multiplicandi, similiter ducam nunc 37 minuta in easdem et quero 37 gradus uno latere et in alio 2 signa et in communi angulo reperio 1, 14 et quia ex multiplicatione minutorum per signa aut e contrario proveniunt gradus, ideo pono 1 sub signis et 14 sub gradibus. Deinde in directo 37 et 30 invenio 18 que pono sub prioribus 14, et 30 que pono sub minutis. Deinde in directo 37 et 28 invenio 17 que pono sub 30, et 16 sub secundis. Similiter in directo 37 et 36 invenio 22 que pono sub prioribus 16, et 12 que pono sub tertiis. Iam restat ducere 7 in singulas figuras numeri multiplicandi, intro ergo in tabula cum 7 secundis in uno latere et in alio latere cum 2 signis in quorum communi angulo invenio 14 minuta que pono in loco minutorum. Deinde in concursu 7 et 30 invenio 3 que pono sub prioribus 14, et 30 que pono sub secundis. Postea in directo 7 et 28 invenio 3 que pono sub 30, et 16 que pono sub tertiis. Ultimo in concursu 7 et 36 invenio 4 que pono sub 16, et 12 que pono sub quartis. Addo nunc quodlibet suo generi et proveniunt 24 signa, 7 gradus, 22 minuta, 35 secunda, 32 tertia et 12 quarta. Et illa est summa proveniens ex multiplicatione numerorum propositorum in seinvicem.

⟨I.2⟩ Secunda. Propositum numerum signorum, graduum ac quarumlibet fractionum phisicarum per quemvis alium dividere

Scribe numerum dividendum per suas differentias et divisorem etiam pone ad partem. Quere tunc in tabula numerum qui ductus in singulas figuras divisoris deleat numerum dividendum in toto aut quanto vicinius potest. Hunc enim numerum faciliter invenies si notato primo numero, hoc hoc] scrips. bis B est grossioris denominationis divisoris, in uno latere consideras numerum alterius lateris in quorum concursu reperis initium numeri dividendi. Quem numerum sic repertum et ductum in singulas figuras divisoris scribe ad partem quia ipse est primus sive grossioris denominationis ipsius numeri quotientis qui queritur super eum, suam denominationem quam statim deprehendis ex denominatione eius quod provenit ex multiplicatione eius in primum numerum divisoris, si bene recolis eorum que dicta sunt in precedenti propositione. Cum enim dividis signa per signa in numero quotiens erunt gradus quia gradus multiplicati per signa producunt signa. Tamen propter aliquos forsan non ita cito considerantes posui tabulam in margine, ubi in concursu divisoris positi in uno latere et dividendi positi in alio latere ponitur denominatio numeri quotientis, que tabula consimiliter intelligenda est sicud dictum est in precedenti propositione de multiplicatione. Ad propositum redeundo, postquam numerus proveniens ex multiplicatione divisoris per numerum repertum ex tabula fuerit subtractus a proposito numero dividendo, tunc si aliquis remanserit oportet sicud prius in tabula sub prima figura divisoris querere alium numerum, qui etiam per singulas divisoris figuras ductus deleat id quod remanserit de numero dividendo, quanto vicinius potest, et ille numerus repertus ex tabula scribendus est iuxta alium prius scriptum denominatus a subtiliori fractione. Quodsi non posset inveniri alius numerus denominationis immediate subtilioris, tunc ponenda est cifra 0 in ordine illius denominationis et querendus est numerus denominationis sequentis. Et si quidem post subtractionem numeri provenientis ex multiplicatione illius in divisorem a numero dividendo adhuc aliquid manserit, negotiandum erit ut prius quousque omnes figure numeri dividendi delete fuerint. Et numerus quotiens est numerus vel numeri ex cuius vel quorum ductu in divisorem deletus est dividendus. Et ut clarius pateat quod dico, volo dividere 3 signa, 3 gradus, 1 minutum, 37 secunda, 1 tertium, 12 quarta per 30 gradus, 27 minuta, 54 secunda, quero in tabula sub 30 gradibus qui sunt grossior numerus divisoris, si possim invenire numeri dividendi primas figuras et cum non invenio eum considero minorem, scilicet 3 0. Nunc in alio latere tabule reperio 6. Quem numerum, scilicet 6, seorsum scribo et multiplico eum per singulos numeros divisoris et constat clare quod iste numerus 6 sunt gradus quia primus numerus divisoris est 30 gradus †mo…† mo…] unclear reading B ex multiplicatione graduum per gradus veniunt gradus. Si vero in numero dividendo fuisset positus excedens 30 qui est primus numerus divisoris, puta 36 signa, tunc similiter sub 30 quesivissem et invenissem minorem propinquiorem, scilicet 0 30, et in alio tabule latere fuisset unitas. Que quidem unitas fuisset primus numerus quotiens denominationem habens a signo, eo quod signa multiplicata per gradus aut e contrario producunt signa. Nunc ulterius in proposito practicando, postquam 6 gradus multiplicavi per singulos numeros divisoris, subtraho numerum provenientem, scilicet 3 signa, 2 gradus, 47 minuta, 24 secunda a numero dividendo et manent adhuc 14 minuta, 13 secunda, 1 tertium, 12 quarta, cuius initium iterum quero sub 30 qui est primus numerus, id est grossioris denominationis divisoris. Et cum primus numerus quotiens fuerunt 6 gradus, iste sequens deberet denominari a minutis. Minuta autem multiplicata per gradus faciunt minuta. Sed nunc primus numerus dividendi, scilicet 14 minuta, est minor quocumque numero minutorum per 30 gradus multiplicato. Unum enim minutum multiplicatum per 30 gradus faciunt 30 minuta que a 14 minutis subtrahi non possunt. The following table appears in the margin B

Idcirco in numero quotiens post 6 gradus prius repertos pono loco minutorum cifram 0. Et tunc sicud prius in tabula sub 30 quesivi 0 14, sic nunc quero sub 30 14 minuta, 13 secunda et capio minorem propinquiorem in cuius directo in alio latere tabule video 28 que sunt secunda et illa scribo iuxta prius scripta in ordine numeri quotientis et multiplico illa 28 secunda per divisorem et proveniunt eedem figure que restabant de numero dividendo et ita, quia post illorum subtractionem totam deletur, est operatio completa et numerus quotiens est repertus successive ex tabula, scilicet 6 gradus, 0 minuta, 28 secunda. Si vero ex multiplicatione 28 secundorum in divisorem provenisset numerus maior dividendo quem non potuissem a dividendo subtrahere, tunc pro 28 cepissem 27 sic semper considerando quod productum ex multiplicatione divisoris per numerum quotientem sit minus aut equale dividendo.

⟨I.3⟩ Tertia. Numerum habentem datam rationalem proportionem ad numerum quantislibet phisicis fractionibus variatum patefacere

Huius propositionis practica facilima est quia proposito aliquo numero signorum graduum etc., si volo invenire numerum alium habentem ad eum datam rationalem proportionem, pono dictam proportionem in suis minimis terminis, et tunc habeo tres numeros notos et deficit michi quartus quem ex communi practica deprehendo, ut, si deficeret michi primus aut quartus, multiplicarem secundum per tertium et dividerem per primum et exiret in numero quotiens quartus ignotus, aut dividerem per quartum si ille esset notus, et tunc in numero quotiens veniret primus ignotus. Quodsi deficeret michi intermediorum aliquis multiplicarem per primum per quartum, et si productum dividerem per secundum notum exiret tertius ignotus aut e contrario dividerem per tertium notum, ut prodiret secundus ignotus. Ratio enim huius practice stat in hiis duabus propositionibus. Quando quatuor numeri sunt proportionales, ductio primi in quartum est sicud ductio secundi in tertium, item, quando tertius numerus provenit ex ductu aliquorum duorum in se dividendo productum per alterum illorum duorum, proveniet alter et e contrario. Quis vero poni debeat primus numerus aut secundus aut tertius, positio casus ostendit, unde si quis vellet scire numerum graduum etc. habentem ad propositum numerum signorum, graduum etc. proportionem sesquialteram, considero quod primi termini illius proportionis sunt 3 et 2. The following table appears in the margin B

Sicud ergo duo se habent ad tria, sic numerus fractionum propositus debet se habere ad numerum qui queritur. Clarum nunc est quod duo sunt primus numerus, tria secundus numerus, numerus propositus tertius et quartus ignoratur. In idem etiam rediret, si ponerem numerum propositum primum, duo tertium et tria quartum ut secundus sit ignotus. Utrobique enim multiplico numerum propositum per tria et productum divido per duo et exit ignotus qui erit maior numero proposito sicud tria plus sunt quam duo. The following table appears in the margin B

Si vero e contrario vellem habere numerum ad quem propositus numerus haberet proportionem sesquialteram, tunc verto terminos proportionis dicendo sic: sicud se habent tria ad duo, ita numerus propositus ad eum qui queritur. Tunc clarum est quod tria sunt primus numerus et duo secundus, numerus propositus tertius et quartus queritur. Aut etiam numerus propositus est primus, tria tertius, duo quartus et secundus ignoratur. Utroque enim modo multiplico numerum propositum per duo et productum divido per tria. Et sicud nunc exemplificavi de proportione sesquialtera, ita †perif…† perif…] unclear reading B operandi est in aliis quibuslibet. Dixi †non…† non…] unclear reading B in propositione propositione] uncertain reading. Could also be read as proportione B rationalem proportionem, quia proportio irrationalis non potest dari in numeris, eo quod omnes numeri ad minus habent unitatem communem eos numerantem.

⟨I.4⟩ Quarta. Partem proportionalem cuiuslibet differentie duorum introituum secundum proportionem dati numeri ad 60 aut eius submultiplices invenire

Huius propositionis practica patet ex precedenti. Tabula enim tabularum secunda est ad 60 et semper pro quibuslibet 60 posita est unitas in numero coniuncto priori versus sinistram. Et ideo non oportet plus facere quam multiplicare numerum datum per differentiam duorum introituum et habetur pars proportionalis ad 60. Quodsi vis habere partem proportionalem ad aliquem numerum submultiplicem ad 60, vide, quomodo ille se habet ad 60. Nam si sit eius medietas, scilicet 30, dupla partem proportionalem quam ad 60 reperisti. Si est tertia pars, scilicet 20, tripla. Si quarta, scilicet 15, quadrupla et sic de aliis.

⟨I.5⟩ Quinta. Propositum numerum signorum graduum ac quarumlibet fractionum phisicarum quadrare

Propositum numerum signorum graduum etc. scribe ad partem et incipe a grossiori fractione sive denominatione et illum numerum duc in se ipsum et productum scribe extra in petra et nota denominationem eius quod provenit, ut in prima propositione circa multiplicationem dixi. Deinde illum eundem numerum duc bis in quemlibet sequentem, videlicet duplatum numeri propositi, ducendo in sequentes sive etiam numerum propositum in duplatum posteriorum ducendo aut duplando idem quod invenis in tabula ex ductu numeri propositi sive primi in sequentes. Idem namque provenit, si duco quatuor in octo bis sive quatuor in 16 semel et semper denominatio per unicam differentiam subtiliatur. Primo numero sic in se semel et in sequentes bis ducto transi ad sequentem quem simili modo semel in se et bis in singulos sequentes multiplica. Deinde iterum sequentem in se ipsum semel et in sequentes bis multiplica et sic de aliis scribendo semper numeros provenientes sub suis denominationibus. The following table appears in the margin B

Quo facto adde hos numeros ad invicem incipiendo a subtilioribus fractionibus et numeris, inde proveniens est quadratus primi numeri propositi. Verbi gratia: volo quadrare duo signa, 31 gradus, 47 minuta, 6 secunda, duco duo signa in se et proveniunt 4 antesigna, deinde debeo illa duo bis ducere in sequentes et cum duo sunt minora 30 duplo duo et veniunt 4 et illa quatuor duco in sequentes hoc modo: quater 31 et invenio in tabula 2 que pono sub prioribus 4 et 4 pono sub signis, signis] uncertain reading. Could also be read as signo B quater 47 et invenio 3 que pono sub signis signis] uncertain reading. Could also be read as signo B et 8 sub gradibus, quater 6 et invenio 0 gradus, 24 minuta. Postea vado ad 31 gradus quos cum duxero in se proveniunt 16 signa, 1 gradus. Nunc debeo bis ducere 31, quod non possum facere querendo in uno latere tabule duplum alicuius istorum, ideo illud quod invenio in tabula in directo 31 et 47 duplo ponendo, scilicet 48 sub gradu, 34 sub minutis. Duco consequenter 31 bis in 6, hoc est semel in 12, et proveniunt 6 minuta, 12 secunda. Nunc vado ad 47 minuta que duco in se et proveniunt 36 minuta, 49 secunda, deinde duco 47 bis in 6, hoc est semel in 12 secunda, et proveniunt 9 secunda, 24 tertia, postremo duco sex secunda in se ipsa et proveniunt 36 quarta. Hiis sic ductis addo ista ad invicem quodlibet suo generi et proveniunt 6 antesigna, 23 signa, 58 gradus, 41 minuta, 10 secunda, 24 tertia, 36 quarta et hoc est quadratum numerum propositi. Causa et ratio istius practice patet ex practica prime propositionis de multiplicatione. Quadrare enim numerum propositum non est aliud quam ipsum per se ipsum multiplicare. Si igitur propositum numerum bis scriberes et multiplicares secundum practicam prime propositionis, invenires quod semper primum numerum semel in se et in alios bis duceres etc.

⟨I.6⟩ Sexta. Radicem quadratam propositi numeri quantislibet fractionibus phisicis diversificati investigare

Scribe numerum propositum cuius radix quadrata querenda est per suas figuras et sub grossiori denominatione pari invenire ex tabula oportet numerum qui ductus in se deleat illum numerum aut quanto vicinius potest, hoc est ut incipias sub gradibus aut secundis aut quartis etc. Unde si in proposito numero sint signa et gradus etc. querendus est in tabula numerus ex cuius ductu in se deleantur totaliter, aut quanto propius fieri potest, signa et gradus. Quodsi in eo non fuerint signa, sed gradus et minuta querendus est talis numerus ex cuius ductu in se nichil veniat in signum, sed numerus graduum deleatur, quanto propius potest. Et sicud nunc dixi de operatione sub gradibus simili modo intelligendum est de aliis fractionibus paris denominationis cuiusmodi sunt secunda, quarta, sexta etc. Cum itaque gradus sic sint denominationis paris et signa inparis, si in numero proposito fuerint antesigna, sicud frequenter venit in inventione cordarum, supponendum est illa antesigna esse denominationis paris et sub eis operandum. Numerus etiam sic repertus ex cuius ductu in se ipsum deletur quod delendum est vicinius quo fieri potest scribendus est ad partem et supra eum denominatio eius. Quam denominationem statim deprehendis ex denominatione eius quod provenit ex ductu eius in se ipsum. Et si velles tabulam ad hoc habere, scias quod eadem est cum ea que posita est in propositione secunda que est de modo divisionis. Hoc facto, inveniendus est quidam numerus qui bis ductus in priorem inventum et postea semel in se ipsum deleat id quod remansit de numero proposito, quanto vicinius potest, et scribendus iuxta priorem numerum sub sua denominatione subtiliori. Deinde querendus est iterum alius numerus qui ductus bis in singulos priores et postea in se semel deleat sibi relictum de numero proposito et sic continuando usque in finem et si nichil remanserit, certum est quod numerus propositus fuit quadratus. Si vero aliquid remanserit, non fuit numerus propositus quadratus et invenisti radicem numeri quadrati sub eo contenti. Numerus enim qui successive ex tabula invenitur et extra scribitur est numerus radicis. Exempli gratia: sit numerus propositus 15 signa, 28 gradus, 2 minuta, 54 secunda, 41 tertia, 40 quarta cuius radicem volo investigare. Primo incipiam sub gradibus et queram in tabula numerum aliquem qui ductus in se deleat 15 signa et 28 gradus, quanto propius potest, et invenio quod ille est 30. Quadratum enim eius, ut patet ex tabula, est 15 0 et quia gradus proveniunt ex multiplicatione graduum per gradus et in proposito 15 sunt signa et 0 gradus, scribo illa 30 extra ad partem sub gradibus et repertum in tabula subtraho a numero proposito et manent 28 gradus, 2 minuta etc. Quero nunc ex tabula numerum qui bis ductus in 30 et postea in se semel deleat hoc, quanto vicinius potest, hunc enim quero hoc modo: video in tabula sub 30 in qua deleo numerum inveniendum bis ducere 28 0 in cuius directo in alio tabule latere video 56 cuius medietas sunt 28. Scribo itaque ista 28 minuta extra ad partem iuxta priores 30 gradus et video, utrum possim modo premisso multiplicatum subtrahere a numero proposito querendo in uno latere 30 et in alio latere duplum de 28, scilicet 56. In quorum concursu invenio, ut supra posui, 28 0. Deinde duco 28 in se et veniunt 13 4. Iam video quod 28 est numerus nimis magnus, deleo igitur 28 et scribo 27. Cum cuius duplato et 30 gradibus prioribus intrando invenio 27 gradus, 0 minuta. Deinde duco 27 minuta in se et invenio 12 minuta, 9 secunda. Quibus a numero proposito etiam etiam] add. sup. lin. B subtractis manent 50 minuta, 45 secunda, 41 tertia, 40 quarta. Iterum ergo quero numerum qui ductus bis in 30 gradus et bis in 27 minuta et postea semel in se ipsum deleat hoc quod remansit de numero proposito et invenio quod sub 30 in directo 50 sunt 25 cuius duplum sunt 50. Pono igitur illa 50 secunda cum prioribus numeris et duco 50 bis in 30 gradus et veniunt 50 minuta, 0 secunda, similiter illa 50 secunda duco bis in 27 minuta et invenio 45 secunda, 0 tertia. Deinde multiplico 50 minuta per se ipsa et proveniunt 41 tertia, 40 quarta. Quibus a numero proposito subtractis, nichil manet. Fuit ergo numerus propositus quadratus et eius radix est 30 gradus, 27 minuta, 50 secunda. Attende hic et vide quod sicud in hac operatione incipis sub numero paris denominationis, ita etiam in quolibet numero radicis in se ducto venit numerus paris denominationis sequentis priorem parem denominationem pertransitam et hoc considerando non errabis in operatione ac denominatione numerorum radicis.

⟨I.7⟩ Septima. Propositi numeri diversarum fractionum phisicarum radicem cubicam extrahere

Propositionem de numero cubicando non posui propter eius facilitatem, fit enim hoc ducendo per primam propositionem huius tractatus numerum propositum in sui ipsius quadratum inventum per quintam huius. Radix tamen cubica non ita faciliter sicud quadrata reperitur, ymmo modus hinc inde valde diversus est ut nunc patebit. Scribe itaque numerum propositum cuius radicem cubicam habere desideras per suas fractiones et sub eo relinque spatium quoddam in quo annotabis quadratum radicis inveniende. Incipies autem operari sub grossiori fractione denominata a numero mensurato per ternarium, hoc est aut sub tertiis aut sub sextis aut sub nonis aut sub duodecimis etc. et sic propter fractionum intermediorum equalitatem censentur etiam gradus esse denominationis huius sub qua incipiendum est. Si igitur in numero proposito sint antesigna, signa et gradus aut signa et gradus aut gradus, invenies faciliter ex tabula numerum qui ductu in suum quadratum deleat totum quod est in numero proposito usque ad gradus inclusive, quanto vicinius potest. Quadratum enim cuiuslibet numeri habetur in communi angulo ipsius numeri in utroque latere suprascripti. Illum numerum sic inventum scribe ad partem et sibi superpone denominationem suam quam perpendis ex multiplicatione facta. Si enim incepisti operari sub gradibus, sicud nunc posui, tunc numerus inventus denominatur a gradibus quia quotienscumque gradus multiplicentur per gradus semper proveniunt gradus. Quodsi in numero proposito non haberes signa et gradus, sed minuta etc. ita quod incipies operari sub tertiis, tunc supra numerum inventum scribendum esset minutum, quia dum minuta in se ducuntur, ut proveniat quadratum, consurgunt secunda, in que dum iterum ducuntur minuta, proveniunt tertia et sic suo modo intelligendum est de aliis, ut scilicet secunda veniant quando operatio est sub sextis, tertia dum est sub nonis etc. Illo numero sic extra cum sua denominatione scripto scribas suum quadratum in spatio sub numero proposito ad hoc relicto et, ut supra dixi, in illud suum quadratum multiplica numerum inventum et productum subtrahe a numero proposito. Deinde oportet te querere alium numerum qui, bis ductus in priorem repertum et semel in id quod productum fuerit et etiam ductus semel tam in prioris numeri quam etiam sui ipsius quadratum, iuncto sibi tam eo quod fit ex ductu prioris numeri semel in quadratum huius numeri quam eo quod provenit ex ductu prioris numeri semel in eum qui provenit ex duplici ductu eiusdem prioris numeri in hunc numerum, deleat residuum numeri propositi, quanto vicinius potest, usque ad numerum sequentis denominationis mensurate a ternario, hoc est dictu. Sicud in investigando radicem quadratam incipit operatio sub numero paris denominationis et quelibet operatio pervenit ad parem denominationem sequentem eam sub qua prior operatio cessavit, sic in investigando radicem cubicam operatio incipit sub numero denominationis mensurate a ternario et procedit semper usque ad denominationem sequentem etiam a ternario mensuratam, ut si primo incepisti sub gradibus, in secunda operatione sive cum secundo numero venies usque ad tertia et cum tertio numero usque ad sexta et sic consequenter. Hic etiam nota quod et numerum qui fit ex duplici ductu prioris numeri inventi in hunc secundo inventum et etiam huius secundi quadratum scribere debes iuxta quadratum prioris numeri in spatio ad hoc relicto. Deinde si in numero proposito sint adhuc numeri denominati a denominationibus sequentibus denominationes sub quibus operatus es, tunc, ut prius, oportet te invenire alium numerum qui, cum bis ductus fuerit in ambos prius inventos et semel in illud productum, insuper semel in numeros inferiores designantes quadratum priorum et semel in quadratum proprium, cui etiam numero ex omnibus huiusmodi ductibus consurgente additum sit et id quod fit ex ductu amborum in huius numeri que nunc queritur quadratum et id quod provenit ex ductu amborum precedentium in eos numeros qui veniunt ex duplici ductu huius numeri nunc quesiti in ambos prius quesitos et repertos. Productum ex hiis omnibus deleat id quod mansit de numero proposito, quanto vicinius potest, nec cessandum est a talis numeri inventione, quam diu manent in numero proposito numeri denominati a denominatoribus sub quibus non es operatus. Operatione sic completa si nichil mansit, numerus propositus fuit cubicus et eius radix est numerus variarum denominationum successive inventus cuius etiam radicis quadratum habes in spatio inferiori. Si vero manserunt tibi aliqui numeri denominati a denominationibus sub quibus operatus es, tunc propositus numerus non fuit cubicus et invenisti radicem cubi in eo contenti. Et ut clarius pateat hec practica pono exemplum tale: The following table appears in the margin B

sit numerus propositus 3 signa, 12 gradus, 35 minuta, 59 secunda, 29 tertia, 37 quarta, 30 quinta cuius radicem cubicam invenire volo, video quod sub gradibus me oportet incipere, et si ducerem 6 gradus in suum quadratum, id est in 36 gradus, provenirent 3 signa, 36 gradus qui numerus esset maior numero proposito. Capio igitur 5 gradus et quadratum eius, scilicet 25 gradus, pono inferius in spatio sub numero proposito et duco 5 gradus in 25 et proveniunt 2 signa, 5 gradus. The following tables appear in the margin B

Post quorum subtractionem a numero proposito manent 1 signum, 7 gradus, 35 minuta etc. Quero nunc consequenter numerum qui bis ductus in 5 gradus etc., ut supra scripsi, et est ille numerus 46 minuta que pono iuxta 5 gradus et duco 5 gradus in ipsum bis dicendo decies 46 et veniunt 7 gradus, 40 minuta. Deinde duco 46 in se et veniunt 35 minuta, 16 secunda. Quibus ad invicem aggregatis, habeo 8 gradus, 15 minuta, 16 secunda que omnia per 5 gradus multiplico et productum servo. Deinde iungo istos 8 gradus ad 25 gradus priores que fuerunt quadratum 5 graduum et fiunt 33 gradus, 15 minuta, 16 secunda in que omnia duco 46 minuta et productum iungo cum priori producto servato et fiunt simul 1 signum, 6 gradus, 46 minuta, 2 secunda, 16 tertia. Quibus subtractis a residuo numeri propositi manent 49 minuta, 57 secunda, 13 tertia, 37 quarta, 30 quinta. Progredior nunc ulterius ad inveniendum alium numerum ex cuius ductu secundum doctrinam datam veniat numerus qui possit istud residuum numeri propositi vicinius delere et invenio quod 31 secunda plus faciunt. Capio igitur 30 secunda que bis ducta in 5 gradus et 46 minuta et semel in se faciunt 5 minuta, 46 secunda, 15 tertia. In que duco priores numeros, scilicet 5 gradus et 46 minuta, et servo productum et ne nimis multiplicentur ductus sive multiplicationes addo illa 5 minuta, 46 secunda, 15 tertia cum numero reservato in inferiori spatio quadratorum et fiunt 33 gradus, 21 minuta, 2 secunda, 15 tertia. In que duco 30 secunda et productum adiungo priori producto servato et fiunt 49 minuta, 57 secunda, 13 tertia, 37 quarta, 30 quinta que delent prescise numerum propositum. Dico ergo propositum numerum fuisse cubicum et radix eius est 5 gradus, 46 minuta, 30 secunda et radicis quadratum est numerus inferior, scilicet 33 gradus, 21 minuta, 2 secunda, 15 tertia. In quod quadratum si radix inventa duceretur, rediret primus numerus propositus et per hoc potest semper practica examinari. Si vero aliquid mansisset, tunc propositus numerus non fuisset cubicus et tunc illud quod mansisset addendum esset ei quod proveniret ex multiplicatione radicis invente in suum quadratum, ut rediret numerus propositus. Sciendum etiam quod hac propositione septima sicud nec quarta opus est in compositione tabule sinuum et cordarum, eas tamen posui ut complete traderem utilitatem tabule tabularum que fere omnibus astronomie operationibus deseruit.

Declarato nunc usu tabule tabularum aggredior principale propositum videlicet ad clare demonstrandum propositiones quibus Ptholomeus in suo Almagesti ostendit compositionem tabule sinuum. Est itaque prima propositio talis:

⟨II⟩

⟨II.1⟩ Prima. Data circuli diametro latera decagoni, pentagoni, exagoni, tetragoni, atque trianguli omnium ab eodem circulo circumscriptorum reperire

Docet Ptholomeus per hanc propositionem latera in ipsa propositione descripta reperire, ut ipsis inventis possit commodosius tradere notitiam quantitatis horum laterum sive cordarum. Sit itaque data diameter AG, divido ipsam per medium in puncto D et describo circulum cuius AG sit diameter. Erigo tunc a centro, scilicet puncto D, lineam perpendicularem super hanc diametrum secundum doctrinam 11 primi Euclidis que sit DB et traho lineam AB. Deinde semidiametrum, scilicet DG, divido per equalia in puncto E et produco lineam BE et capio in diametro EZ equalem EB et protraho lineam BZ. Item ab uno terminorum diametri, scilicet G, traho ad circumferentiam circuli lineam equalem semidiametro que sit GF et ab alio termino diametri, scilicet puncto A, traho lineam usque ad terminum prioris linee que sit AF. Dico nunc primo quod linea AF est latus trianguli equilateri circulo predicto inscriptibilis, secundo quod linea AB est latus quadrati, tertio quod AD est latus exagoni, quarto quod linea DZ est latus decagoni, quinto quod linea BZ est latus pentagoni etc. Horum primum sic probatur: nam quadratum lateris trianguli equilateri est triplum ad quadratum semidiametri circuli circumscribentis ipsum triangulum, ut dicit 8 propositio 13ⁱ Euclidis. Sed quadratum linee AF est latus trianguli equilateri circulo proposito inscriptibilis. Minor istius discursus sic ostenditur: nam angulus AFG est rectus, eo quod secundum doctrinam prime partis 30^e tertii Euclidis linea recta ab uno termino diametri ad circumferentiam facit angulum rectum cum linea recta ab alio termino ipsius diametri ad terminum prioris linee in circumferentia. Cum ergo ex doctrina penultime primi Euclidis quadratum lateris trianguli recto angulo oppositi valeat quadrata reliquorum duorum laterum ipsius trianguli simul iuncta, sequitur quod quadratum linee AG valet quadrata duarum linearum AF et FG simul iuncta. Sed quadratum linee AG que est diameter circuli est quadruplum ad quadratum semidiametri circuli, eo quod proportio quadratorum ad invicem est tamquam lateris ad latus proportio duplicata ut dicit ⟨…⟩. The reference to Euclid probably was erased and the lacuna was not filled again B Ergo quadrata linearum AF et FG simul iuncta etiam sunt quadruplum ad quadratum semidiametri. Quadratum vero linee FG est equale quadrato semidiametri, eo quod linea GF per ypothesim posita est esse equalis semidiametro. Ergo quadratum linee AF est triplum ad quadratum semidiametri circuli quod fuit probandum.

Secundum probatur ex sexta quarti Euclidis ubi probatur quod, quando duo diametri circuli secant se orthogonaliter, hoc est per angulos rectos in centro circuli, tunc linea recta ducta a termino unius diametri ad terminum alterius est latus quadrati circulo illi inscriptibilis. Tertium probatur in 15^a quarti Euclidis ubi ostenditur quod semidiameter circuli est equale lateri exagoni circulo inscriptibilis. Quartum sic probatur: quandocumque linea recta fuerit divisa secundum proportionem habentem medium et duo extrema fueritque maior eius portio latus exagoni circulo inscriptibilis, tunc minor portio est latus decagoni equilateri eidem circulo inscriptibilis. Sed linea GZ est tali modo divisa in puncto D cuius maior portio, scilicet GD, est latus exagoni ut nunc probatum est. Ergo DZ que est eius minor portio est latus decagoni eidem circulo inscriptibilis. Istius discursus maior probatur in nona proportione 13ⁱ Euclidis, minor quo ad secundam partem, sicud dictum est, probata est immediate in proportione tertii dicti, sed quo ad primam eius partem sic probatur: nam linea dicitur dividi secundum proportionem habentem media et extrema, quando quadrangulum quod provenit ex ductu totius linee in eius minorem portionem est equale quadrato maioris partis sive, ut dicitur in sexto Euclidis, quando eadem est proportio totius linee ad maiorem sui sectionem que est maioris sectionis ad minorem. Quadratum autem linee GD equivalet quadrangulo proveniente ex ductu totius linee GZ in DZ, quod sic ostenditur: nam cum linea GD est divisa in duo equalia in puncto E, ut supponitur, et ei adiuncta est linea DZ, tunc ex sexta secundi Euclidis id quod provenit ex ductu totius linee composite in partem additam, hoc est ex GZ in DZ, cum quadrato linee ED simul equantur quadrato linee EZ et per consequens quadrato EB cum ex ypothesi linee EB et EZ sint equales. Modo quadratum linee EB valet quadrata duarum linearum DE et DB simul iuncta ex penultima primi Euclidis que dicit quod in triangulo rectangulo quadratum lateris oppositi angulo recto valet quadrata duorum reliquorum laterum simul iuncta. Si ergo quadratum linee ED quod est commune ambobus dematur, tunc remanentia erunt equalia, ut scilicet id ut scilicet id] add. i. m. B quod fit ex ductu linee GZ in DZ sit equale quadrato linee DB et per consequens quadrato linee DG cum ille sint ex diffinitione circuli equales, et hoc fuit probandum. Quintum sic probatur: nam quadratum lateris pentagoni circulo inscripti valet quadrata laterum exagoni et decagoni eidem circulo inscriptorum, ut dicit decima propositio 13ⁱ Euclidis. Cum ergo probatum sit DZ esse latus decagoni et DB esse latus exagoni, eo quod ipsum est semidiameter circuli, quadratum vero linee BZ valet quadrata harum duarum linearum DZ et DB ex penultima primi Euclidis iam statim allegata, sequitur lineam BZ esse latus penthagoni quod fuit probandum. Et per consequens tota propositio Ptholomei probata est. Ostenso itaque qualiter predicta latera reperiantur subdit Ptholomeus correlarie modum inveniendi ipsorum quantitates dicens

⟨correlarium⟩ Unde manifestum est quod si nota fuerit circuli diameter et prenominata latera erunt nota, corde quoque que residuis semicirculi arcubus subtenduntur note erunt

Pro huius correlarii prima parte considerandum quod cum circumferentia circuli dividitur in 360 gradus, latus decagoni cordat arcum 36 graduum, latus penthagoni arcum 72 graduum, latus exagoni arcum 60 graduum, latus tetragoni sive quadrati arcum 90 graduum, latus vero trianguli cordat arcum 120 graduum. Dicit nunc prima pars correlarii quod quantitates horum laterum sive prenominatarum cordarum nobis erunt note, dummodo sciverimus diametri quantitatem. Supponamus itaque diametrum esse divisam in 120 partes que dicuntur gradus, tunc semidiameter que cordat etiam arcum 60 graduum habet 60 gradus de gradibus diametri, cuius quadratum sunt 3600 gradus sive 1 antesignum. Et cum quadratum lateris trianguli cordantis arcum 120 graduum sit triplum ad quadratum semidiametri, ut supra patuit, erit quadratum lateris trianguli 3 antesigna cuius radix quadrata est quantitas corde 120 graduum, que radix invenitur esse 1 signum, 43 gradus, 55 minuta, 22 secunda, 58 tertia, 27 quarta, 57 quinta, 56 sexta, 0 septima, 44 octava, 25 nona etc. usque ad decimaoctava vel amplius quia quanto iste priores corde prescisius queritur, tanto etiam alie que ex istis posterius investigantur certius sciuntur. Quia vero quadratum lateris quadrati circulo inscriptibilis est duplum ad quadratum semidiametri, ut faciliter patet ex penultima primi Euclidis sepius allegata, ideo eius quadratum est 2 antesigna cuius radix est quantitas corde AB cordantis arcum 90 graduum. Ad habendam autem quantitatem corde decagoni que est DZ oportet hoc modo procedere: corde EZ et EB secundum prius probata sunt equales, quero ergo quantitatem corde BE cuius quadratum valet quadrata cordarum BD et DE ex penultima primi Euclidis tali via: semidiameter GD que est 60 graduum divisa est per medium in puncto E eritque ex hoc linea ED 30 graduum cuius quadratum, scilicet 15 signa, addo ad quadratum linee DB que est equalis semidiametro et proveniunt 1 antesignum, 15 signa cuius radix ostendit quantitatem linee EB et per consequens linee EZ. Et cum linea ED sit 30 graduum ut dictum est, subtraho a radice inventa 30 gradus, tunc manet quantitas linee DZ que est latus decagoni cordans arcum 36 graduum. Nunc oportet consequenter investigare quantitatem corde BZ que probata est esse latus decagoni. Cum enim, ut patet ex penultima primi Euclidis, eius quadratum valet quadrata linearum ZD et DB, quero quadratum linee ZD que est latus decagoni iam sciti et investigati cui iungo quadratum semidiametri sive linee DB et producti radix est quantitas linee BZ sive lateris pentagoni cordantis arcum 72 graduum. Nota quod omnia que dicuntur hic de radice intelligenda sunt de radice quadrata, non de radice cubica. Ex practica itaque prime partis correlarii scimus quantitates 5 cordarum. Docet consequenter Ptholomeus in secunda parte correlarii invenire arcus subtensos residuis arcubus semicirculi et fundatur probatio huius partis super duabus propositionibus Euclidis, quarum una est 30^a tertii libri que ut supra dictum est ostendit quod angulus rectilineus consistens super circumferentiam sive arcum semicirculi est rectus, alia est penultima primi sepius allegata, scilicet quod in triangulo rectangulo quadratum lateris oppositi angulo recto valet quadrata duorum reliquorum laterum simul iuncta. Practica igitur talis est: habita quantitate corde alicuius arcus, si volo scire quantitatem corde residui arcus semicirculi, id est arcus manentis post subtractionem arcus propositi a 180 gradibus, quero corde arcus propositi quadratum quod subtraho a quadrato diametri, scilicet a 4 antesignis, et remanentis quero radicem et habeo propositum. Et practica istius secunde partis correlarii utendum est continue ut habita una corda habeatur alia cordans residuum arcum semicirculi.

⟨II.2⟩ Secunda. Si quadrilaterum infra circulum describatur rectangulum quod continetur sub duobus eius diametris est equale duobus rectangulis pariter acceptis que sub utrisque eius lateribus oppositis continentur

Ex hac propositione non scitur quantitas alicuius corde sed ea opus est in probationibus sequentium propositionum et idcirco ponit eam Ptolomeus. Sit itaque ABGD quadrilaterum descriptum intra circulum ABGD sintque due diametri predicti quadrilateri AG et BD, tunc dicit propositio quod illud rectangulum quod fit ex ductu BD in AG equale est duobus rectangulis simul iunctis quorum unum fit ex ductu AB in DG et alterum ex ductu BG in AD. Ad quod probandum ponatur secundum doctrinam 23^e primi Euclidis angulus ABE equalis angulo DBG. Nunc considerantur hic duo trianguli, scilicet ABD et EBG, qui sunt equianguli. Angulus enim ABD unius equalis est angulo EBG alterius, eo quod angulis ABE et DBG per ypothesim equalibus adiectus est angulus EBD, insuper angulus ADB unius et angulus EGB alterius consistunt super eundem arcum ADGB, ergo et ipsi ex 20^a tertii Euclidis sunt equales. Ergo necessario ex 32 primi Euclidis reliquus angulus unius, scilicet BAD, est equalis reliquo angulo alterius, scilicet BEG. equales. Ergo necessario ex 32 primi Euclidis reliquus angulus unius, scilicet BAD, est equalis reliquo angulo alterius, scilicet BEG] add. i. m. B Et quia quarta propositio sexti Euclidis dicit quod, cum duorum triangulorum anguli fuerint equales, tunc latera equos angulos respicientia erunt proportionalia, ergo sicud se habet linea BD ad lineam DA sic se habet etiam linea BG ad GE. The following table appears in the margin B

Ergo rectangulum quod fit ex ductu DA quod est unum latus propositi quadrilateri in BG quod est aliud oppositum latus quadrilateri est equale ei quod fit ex ductu diametri BD in lineam GE que est una pars alterius diametri. Ista consequentia patet ex 15^a sexti Euclidis que dicit quod, quando sunt quatuor linee proportionales, tunc rectangulum quod sub prima et ultima continetur equum est ei quod sub duabus reliquis continetur. Similiter ex eisdem propositionibus assumptis probatur quod id quod fit ex ductu linee AB que est aliud latus quadrilateri in suum oppositum latus quod est GD sit equale ei quod fit ex ductu diametri BD in EA quod est residuum alterius diametri. Intelliguntur enim hic duo trianguli ABE et DBG que sunt equianguli cum ex ypothesi angulus ABE unius sit equalis angulo DBG alterius et angulus BAE unius et BDG alterius sunt equales cum consistant super eundem arcum que est BADG. Ergo ut prius arguendo sicud se habet linea BA ad lineam AE sic linea BD ad lineam DG. The following table appears in the margin B

Ergo quod fit ex ductu BA in DG est est] scrips. bis B equale ei quod fit ex ductu BD in AE quod restabat probandum. Cum ergo prius fuit probatum quod id quod fit ex BG in AD est equale ei quod fit ex BD in GE sequitur quod totum rectangulum rectangulum] corr. ex quadratum B quod fit ex AG in BD equale sit duobus rectangulis quorum unum fit ex AB in DG et aliud ex AD in BG simul iunctis quod dixit propositio Ptholomei. Ista ultima consequentia patet per primam secundi Euclidis que dicit quod id quod fit ex ductu unius linee in aliam equum est hiis que fiunt ex ductu unius illarum linearum in singulas partes alterius simul iunctis.

⟨II.3⟩ Tertia. Si in semicirculo corde arcuum inequalium note fuerint corda quoque arcus quo maior minorem superat erit nota

Sit semicirculus ABGD et sit nota corda AB et etiam corga corga] B says corga but read corda AG, tunc dicit propositio quod etiam corda BG erit nota. Quod sic probatur: ex correlario prime propositionis etiam BD et GD sunt note. Cum ergo ex premissa quod fit ex AG in BD sit equale ei quod fit ex AB in GD et ei quod fit ex AD in BG simul iunctis, si ex rectangulo quod fit ex AG in B subtrahatur rectangulum quod fit ex AB in GD et residuum dividatur per AD, resultabit corda BG quesita. Modus ergo practicandi hanc propositionem est talis, ut ducatur corda residui arcus minoris in cordam maioris arcus et a producto subtrahatur quod provenit ex corda minoris arcus in cordam residui arcus maioris et quod manserit dividatur per diametrum et numerus quotiens ostendit quantitatem corde quesite. Verbi gratia: ex prima propositione et eius correlario et eius correlario] add. i. m. B nota est michi corda arcus 60 graduum et etiam corda residui arcus, scilicet 120 graduum, similiter nota est michi corda arcus 72 graduum et etiam corda residui arcus, scilicet 108 graduum. The following table appears in the margin B

Si volo nunc scire quantitatem corde arcus 12 graduum quibus 72 superant 60, multiplico cordam arcus 120 graduum per quantitatem corde arcus 72 graduum et productum scribo ad partem. Deinde multiplico cordam arcus 60 graduum per cordam arcus 108 graduum et productum subtraho a prius producto servato ad partem et quod post subtractionem manserit divido per diametrum, hoc est per 2 signa, cum diameter sit posita esse 120 graduum et numerus quotiens ostendit quantitatem linee cordantis arcum 12 graduum. Qua habita statim per doctrinam correlarii prime propositionis scio cordam residui arcus, scilicet 168 graduum etc.

⟨II.4⟩ Quarta. Si in semicirculo alicuius arcus corda nota fuerit corda quoque que eius medietati subtenditur nota erit

Sit semicirculus ABC cuius diameter sit AC et corda arcus CB nota. Diviso nunc arcu BC per medium in puncto D secundum doctrinam 29 tertii Euclidis dicit propositio quod corda arcus CD nota erit. Trahantur linee AB, AD, DB, DC et secundum doctrinam tertie primi Euclidis de diametro AC abscindatur linea AE equalis linee AB, trahatur etiam tunc linea DE et a puncto D trahatur linea perpendicularis super diametrum AC que sit DF. Quibus factis probatur sic propositio. Quod fit ex ductu totius diametri AC in FC est equale quadrato linee CD. Sed primum scilicet quod fit ex AC in FC est notum, ergo quadratum linee CD est notum, ergo ex consequenti quantitas linee CD que est radix quadrati erit nota. Maior istius discursus sic ostenditur: ab angulo D recto trianguli ADC descendit linea DF perpendiculariter super basim AC, ergo per octavam sexti Euclidis trianguli ADC totalis et DFC sunt similes quod clare perpenditur ex hoc quod uterque ipsorum habet unum angulum rectum et habent communem angulum C. Ergo per 32 primi Euclidis reliquus angulus unius equalis est reliquo angulo alterius. Quod autem angulus ADC sit rectus patet ex 30 tertii sepius repetita. Ulterius, cum isti duo trianguli ADC et DFC sunt similes, tunc sicud se habet linea AC ad CD, sic se habet etiam ipsa linea CD ad CF. The following table appears in the margin B

Cum itaque sint hic tres linee proportionales erit rectangulum quod continetur sub prima et tertia equum quadrato medie linee, ut dicit 16^a sexti Euclidis. Ergo quod fit ex AC in CF est equale quadrato linee CD quod dixit maior. Minor vero discursus sic probatur: cum linea CB ex ypothesi sit nota erit per correlarium prime linea BA cordans residuum arcum semicirculi etiam nota, ergo etiam nota erit linea AE que etiam ex ypothesi est equalis linee BA. Et cum tota diameter AC sit nota erit etiam nota linea EC que dividitur per lineam DF in duo equalia. Nam due linee BA et DA trianguli ABD sunt equales duabus lineis AE et AD trianguli ADE, eo quod linea AD est communis et AB et AE sunt posite esse equales. Anguli etiam istis equis lateribus contenti sunt equales, scilicet BAD unius et DAE alterius, per 26 tertii Euclidis, consistunt enim super arcus equales que sunt BD et DC. Ergo per quartam primi Euclidis illi trianguli duo sunt equales, sic linea DE est equalis linee DB cui cum linea CD est equalis per 28 tertii Euclidis erit triangulus DEC duum laterum equalium. Et quia ab eius angulo D cadit linea DF perpendiculariter super eius basim EC dividit ipsam basim per medium, ut patet ex decima et etiam ex 26^a primi Euclidis. Itaque cum linea EC sit nota ut probatum est erit eius medietas CF nota. Et diameter AC est nota erit rectangulum quod fit ex AC in CF notum quod dixit minor. Et sic patet tota demonstratio. Modus ergo practicandi hanc propositionem est ut corda residui arcus subtrahatur a tota diametro, hoc est a duobus signis, et fracta subtractione mutentur omnes denominationes in proximas grossiores et illud est quadratum corde arcus propositi. Quod quadratum scribatur etiam extra ad partem. Extrahatur ergo eius radix et illa est quantitas corde arcus propositi. Postea idem quadratum ad partem servatum subtrahatur a 4 antesignis que sunt quadratum diametri et manet quadratum corde arcus residui, ut patet ex correlario prime huius cuius radix ostendit quantitatem corde residui arcus. Sed forsan aliquis dubitaret de hoc modo practicandi cum non videatur esse conformis demonstrationi propositionis. Ad quod dicendum est quod et si demonstratio non sit facta per talem modum, iste tamen brevior est rediens ad idem fundamentum quod sic declaratur. Nam secundum modum demonstrationis corda residui arcus debent subtrahi a tota diametro sive 2 signis ut etiam posui in modo practicandi. Deinde remanens post subtractionem debent mediari et tota diameter duci in illud mediatum et proveniret quadratum corde quesite. Modo idem provenit si remanens non medietur sed diameter, sicud idem provenit ex multiplicatione 12 per 9 et ex multiplicatione 6 per 18. Medietas vero diametri tenet 60 partes que dicuntur gradus sive 1 signum. Quod quidem unum signum multiplicatum per diversas fractiones reddit eosdem numeros, sed denominationis grossioris. Verbi gratia: ego scio ex premissis propositionibus cordam arcus 12 graduum et vellem scire quantitatem corde arcus 6 graduum quantitatem corde residui arcus, scilicet 168 graduum. Scilicet 1 signum, 59 gradus, 20 minuta, 33 secunda etc. subtraho a diametro sive a duobus signis, tunc manent 0 signum, 0 gradus, 39 minuta, 26 secunda, 32 tertia, 28 quarta etc. et hoc remanens si multiplicavero per se in diametrum sive per unum signum redeunt eedem figure grossioris denominationis. Scio ergo nunc quadratum corde arcus 6 graduum esse 0 singum, 39 gradus, 26 minuta, 32 secunda, 28 tertia, 19 quarta etc. Quod quadratum etiam ad partem teneo et radix huius quadrati ostendit quantitatem corde 6 graduum esse 6 gradus, 16 minuta, 49 secunda, 7 tertia, 59 quarta etc. Postea idem quadratum ad partem servatum subtraho a 4 antesignis que sunt quadratum diametri et manent 3 antesigna, 59 signa, 20 gradus, 33 minuta, 27 secunda, 31 tertia etc. et hoc est quadratum corde residui arcus semicirculi manentis post subtractionem 6 graduum a 180 gradibus sive semicirculo, scilicet 174 graduum, cuius radix, scilicet 1 signum, 59 gradus, 50 minuta, 7 secunda, 57 tertia etc., est quantitas corde arcus 174 graduum.

⟨II.5⟩ Quinta. Si due corde duorum arcuum in semicirculo fuerint note corda quoque que toti subtenditur arcui composito ex illis duobus arcubus nota erit

Sit circulus ABGD cuius diameter sit AD et sint corde AB et BG note, tunc dicit propositio quod corda AG erit nota. Ad quod probandum facio etiam BH diametrum. Cum ergo corda AB ex ypothesi sit nota cui equalis est corda DH, erit ex correlario prime huius etiam corda BD nota. Similiter corda BG ex ypothesi est nota, ergo etiam GH est nota ex eodem correlario. Nunc factum est in circulo proposito quadrilaterum BGDH et ex secunda propositione huius quod fit ex ductu diametrorum eius qui noti sunt, scilicet BD in GH, equatur duobus rectangulis ex ductu laterum in sua opposita consurgentibus simul iunctis. Si ergo a dicto rectangulo diametrorum subtraxero id quod fit ex BG in DH que corde ambe note sunt ut dictum est et residuum divisero per diametrum BH, exibit corda GD que cum nota fuerit erit per correlarium prime huius corda GA nota quod dixit propositio. Modus ergo practicandi hanc propositionem est talis: ducantur corde residuorum arcuum semicirculi in seinvicem et a producto subtrahatur quod provenit ex cordis dictorum arcuum in se ductis et dividatur remanens per diametrum et habetur corda arcus residui eius quod queritur. Qua habita ex doctrina correlarii prime huius habetur quantitas corde arcus propositi. Verbi gratia: ex prima propositione huius nota est michi quantitas corde arcus 60 graduum et eius residui, scilicet 120 graduum. Itemque corda arcus 36 graduum et sui residui, scilicet 144 graduum. The following table appears in the margin B

Si volo nunc scire quantitatem corde arcus 96 graduum que arcus provenit ex additione 36 ad 60, multiplico cordam 120 graduum per cordam 144 graduum et productum scribo ad partem. Deinde multiplico cordam 60 graduum per cordam 36 graduum et proveniens subtraho a producto prius servato et scripto ad partem et quod post subtractionem remanserit divido per diametrum, hoc est per duo signa, et numerus quotiens est quantitas corde arcus residui eius que queritur, scilicet 84 graduum. Qua habita quero eius quadratum et hoc secundum doctrinam correlarii prime huius subtraho a quadrato diametri sive a 4 antesignis et remanentis radix est quantitas corde arcus 96 graduum.

⟨II.6⟩ Sexta. Due linee inequales in circulo si protrahantur maioris ad minorem quam arcus longioris ad arcum brevioris minor est proportio

Per precedentium propositionum practicas nequeunt corde singulorum arcuum reperiri, sed tamen corde arcuum a ternario numeratorum sicque deficiunt due corde inter quaslibet cordas inventas. Possumus enim invenire ex corda arcus trium graduum per mediationem invenire quantitatem corde arcus unius gradus cum medio et ex illius iterum mediatione sciemus quantitatem corde trium quartarum sive 45 minutorum. Ad habendam igitur ex illis quantitatem corde unius arcus posuit Ptolomeus hanc propositionem previam, non ut per eam probet veram eius quantitatem que sciri non potest, sed inducit hanc propositionem ad sciendum quod in acceptione quantitatis corde arcus unius gradus non intervenit sensibilis error sive distantia a vera quantitate corde arcus unius gradus. Sit igitur circulus ABC in quo sint due corde inequales AB minor et BC maior, dicit prima propositio quod proportio corde BC ad cordam BA est minor proportione arcus BC ad arcum BA. Antequam hoc possit probari, dividatur angulus ABC in duo media secundum doctrinam none primi Euclidis per lineam BD trahanturque linee DA, DC et AC. Punctus vero quo linea BD secat lineam AC vocetur E. Nunc triangulus ADC est duorum laterum equalium. Cum enim angulus ABC divisus est in duo equalia per lineam BD, erit angulus CBD consistens super arcum CD CD] D add. sup. lin. B equalis angulo ABD consistente super arcum AD. Ergo etiam arcus CD et AD sunt equales ex 25^a tertii Euclidis que dicit in circulis equales angulos cadere super equales arcus. Ergo consequenter corde CD et AD sunt equales per 27 tertii Euclidis que dicit quod, si arcus equales abscindantur, tunc corde sive linee eos abscindentes equales erunt et sic probatum est duo latera AD et DC trianguli ADC esse equalia. Item cum ex ypothesi linea CB sit maior linea BA et linea BD dividens angulum ABC per medium secat lineam AC in puncto E, erit linea CE longior linea EA per tertiam sexti Euclidis que dicit quod, quando ab angulo trianguli ducitur linea ad basim dividens angulum per equalia, tunc partes basis per eam distincte sunt proportionales duobus aliis lateribus trianguli. Ducam nunc a puncto D lineam DF perpendicularem super AC que necessario cadet inter puncta EC. Nam probatum est triangulum ABC esse duorum laterum equalium, scilicet AD et DC. Et ergo perpendicularis ducta a puncto D super basim AC dividit eam per equalia, ut patet ex decima primi Euclidis, et illud idem posset probari ex 26 primi Euclidis. Et cum linea CA secundum prius probata fuerit divisa in duas partes inequales in puncto E sic quod linea CE fuit maior quam sit EA, sequitur lineam DF lineam DF] add. i. m. B perpendicularem ductam a puncto D super lineam AC cadere inter puncta EC. Communiter quia linea DA est longior quam sit linea DE et illa longior quam sit DF, ut patet ex 28 primi Euclidis que dicit maiori angulo maius latus esse oppositum, et etiam ex secunda parte septime et octave tertii Euclidis que dicunt quod, dum plures linee tracte fuerint sive a diametro circuli sive a puncto preter centrum assignato ad circumferentiam, tunc complures diametrum est omnis omnis] uncertain reading B brevissima et ei propinquiores ceteris remotioribus sunt breviores. Pono itaque punctum D centrum et super eum secundum quantitatem semidiametri DE circino portionem circuli que ex diffinitione circuli secabit lineam DA in puncto G et transibit super lineam DF quam traham in continuum et directum usque occurat illi circumferentie in puncto H. Hiis prelibatis venio ad probationem propositionis et formo talem silogismum: proportio linee CE ad lineam EA est sicud proportio linee CB ad lineam BA ut nunc probatum est. Sed proportio linee CE ad lineam EA est minor proportione anguli CDE ad angulum EDA. Ergo proportio linee CB ad lineam BA est minor proportione anguli CDE ad angulum EDA. Minor huius discursus sic probatur: nam cum sector DEH sit maior triangulo DEF, sector vero DEG sit minor triangulo DEA, erit proportio trianguli DEF ad triangulum DEA minor proportione sectoris DEH ad sectorem DEG. Consequentia ista patet ex 27^a quinti Euclidis que dicit quod, cum fuerit quatuor quantitatum proportio prime ad secundam maior quam tertie ad quartam, erit permutatim proportio prime ad tertiam maior quam secunde ad quartam. Ulterius proportio trianguli DEF ad triangulum DEA est sicud proportio basis EF ad basim EA per primam sexti Euclidis que dicit quod superficierum quarum est una altitudo proportio ad invicem est tamquam basis ad basem. Proportio vero sectoris DEH ad sectorem DEG est sicud proportio anguli HDE ad angulum EDG per ultimam sexti Euclidis que proportionem angulorum dicit esse equalem proportioni arcuum etc. Sequitur ergo quod proportio linee EF ad lineam EA sit minor proportione anguli FDE ad angulum EDA. Ergo proportio linee FA ad EA est minor proportione anguli FDA ad angulum EDA. Tenet ista consequentia per 18 quinti Euclidis que dicit quod, si fuerint quantitates disiunctim proportionales, eedem erunt coniunctim proportionales. Quantitatem vero proportionis ostendit octava quinti Euclidis que dicit quod, si due quantitates inequales proportionentur ad unam quantitatem, tunc maior habebit ad eam maiorem et minor minorem proportionem. Quia etiam linea CA est est] scrips. bis B dupla ad lineam FA, eo quod linea DF eam dividit per medium ut supra probatum est, angulus etiam CDA est duplus ad angulum FDA, eo quod duo trianguli CDF et ADF sunt equales ex quarta primi Euclidis que dicit quod trianguli habentes duo latera equalia et angulos equis illis lateribus contentos equales etiam habent alios angulos sibi equales et sunt illi trianguli equales. Sequitur quod proportio linee CA ad lineam EA sit minor proportione anguli CDA ad angulum EDA. Tenet ista consequentia patet per 15 quinti Euclidis que dicit quod, si aliquibus quantitatibus equimultiplices fuerint assignate, erit ipsarum multiplicium atque submultiplicium proportio una. Ergo etiam disiunctim proportio linee CE ad lineam EA est minor proportione anguli CDE ad angulum EDA. Patet ista consequentia per 17 quinti Euclidis que dicit quod, si fuerint quantitates coniunctim proportionales, eedem etiam erunt disiunctim proportionales. Et hoc dixit minor propositio discursus ex qua cum maiorem concludebatur proportionem linee CB ad lineam BA esse minorem proportionem anguli CDE ad angulum EDA. Et quia illorum angulorum proportio ad invicem est sicud proportio arcuum CB et BA super quibus consistunt, ut patet ex ultima sexti Euclidis preallegata, sequitur quod proportio linee CB ad lineam BA sit minor proportione arcus CB ad arcum BA quod dixit propositio. Modus autem investigandi quantitatem corde arcus unius gradus ex premissa propositione talis est: nam quantitas corde unius gradus cum medio invenitur esse unius gradus 34 minuta, 14 secunda, 42 tertia, 19 quarta, 1 quintum, 57 sexta, 11 septima, 51 octava, 3 nona etc. Arcus vero unius gradus cum medio est sesquialter ad arcum unius gradus. Ergo sequitur quantitatem corde unius gradus esse maiorem quam 1 gradum, 2 minuta, 49 secunda, 48 tertia, 12 quarta, 41 quinta, 18 sexta, eo quod ad illam quantitatem corda arcus unius gradus cum medio est sesquialtera. Insuper quantitas corde arcus 45 minutorum invenitur esse 47 minuta, 7 secunda, 24 tertia, 47 quarta, 31 quinta, 36 sexta et cum arcus unius gradus sit sesquitertius ad arcum 45 minutorum, sequitur cordam arcus unius gradus esse minorem quam 1 gradum, 2 minuta, 49 secunda, 57 tertia, 3 quarta, 22 quinta, 8 sexta, eo quod illa quantitas sit sesquitertia ad quantitatem corde arcus 45 minutorum. Cum itaque istarum duarum quantitatum, quarum una est maior quantitate vera corde arcus unius gradus et altera ea minor, differentia sit 4 tertia, 50 quarta, 40 quinta, 50 sexta cuius differentie medietas si addatur quantitati minori quam sit vera quantitas corde arcus unius gradus aut si ipsa ab alia maiori subtrahatur, provenit 1 gradus, 2 minuta, 49 secunda, 50 tertia, 48 quarta, 1 quintum, 43 sexta. Preterea si quantitati corde arcus 45 minutorum addatur tertia pars differentie quantitatis corde arcus 45 minutorum a quantitate corde arcus unius gradus cum medio, idem numerus provenit sicud in simili habitis 45 et 90 si vellem invenire numerum habentem ad 45 proportionem sesquitertiam et ad quem 90 haberet proportionem sesquialteram, subtraherem 45 a 90 et remanentis tertiam partem, scilicet 15, adderem ad 45 et proveniret numerus quesitus, scilicet 60. Itaque vera quantitas corde arcus unius gradus non discrepat in aliquo sensibili a quantitate 1 gradus, 2 minuta, 49 secunda, 50 tertia, 48 quarta, 1 quintum, 43 sexta. Hac ergo habita per practicas propositionum precedentium investigari possunt quantitates cordarum singulorum arcuum semicirculi, hoc est a corda arcus unius gradus usque ad cordam arcus 180 gradus. Que corde cum fuerint mediate erunt sinus arcuum etiam mediatorum, eo quod sinus est medietas linee cordantis duplum arcum. Unde si mediavero quantitatem corde arcus 16 graduum proveniet sinus arcus 8 graduum. Et in hoc terminantur considerationes compositionis tabule sinuum et cordarum. Sequitur nunc ipsa tabula rectificata anno domini 1443.

Cuiuslibet arcus propositi sinum rectum invenire: si arcus propositus fuerit maior 180 gradibus subtrahe ab eo 180 gradus et cum residuo sive cum minori propinquiori intra tabulam et accipe sinum. Intra etiam cum maiori propinquiori et illius accipe sinum. Subtrahe unum sinum ab alio et differentiam sinuum multiplica per minuta que habes infra vel ultra 30 et productum divide per 30 minuta et proveniet pars proportionalis addenda primo sinui aut subtrahenda ab eodem.

Cuiuslibet arcus cordam perfectam reperire: arcum propositum media et illius sinum rectum dupla.

Cuiuslibet arcus sinum versum reperire: si arcus fuerit minor 90 gradibus ipsum a 90 subtrahe et remanentis sinum rectum de 60 gradibus subtrahe. Si vero arcus propositus maior 90 gradibus subtrahe ab eo 90 gradus et residui sinum rectum adde 60 gradibus.

Sinus recti arcum invenire: sinum propositum aut minorem propinquiorem in tabula quere et arcum illi correspondentem extra scribe et illum minorem sinum in tabula inventum a sinu proposito subtrahe et differentiam per 30 minuta multiplica et productum divide per differentiam que est inter sinum minorem in tabula repertum et sinum maiorem etiam in tabula scriptum et quod provenit adde arcui.

Cuiuslibet corde arcum invenire: cordam propositam media cuius medietatis quere arcum quem dupla.

Sinus versi arcum invenire: si sinus fuerit minor 60 ipsum de 60 minue et residui quere arcum quem de 90 gradibus minue. Sed si sinus fuerit plus quam 60 subtrahe ab eo 60 et residui quere arcum cui adde 90 gradus.