إنّ بطلميوس أراد أن يبيّن أنّه إذا كان في الدّائرة وتران معلومان ووصل فيما بينهما بوتر فإنّ ذلك الوتر يكون معلومًا فجعل الشّكل الثاني مقدمةً له. مـثـالـه نصف دائرة قطرها ا د ووتر ا ب ا ج معلومان ونصل ىج فـأقول إنّ ىج معلوم. بـرهـانـه أنّا نصل خطّي ىج د فيكون هذان الخطّان معلومين كما قد بيّن قبل أنّه إذا كان وتر قوسٍ ما معلومًا فإنّ وتر تمامه عن نصف الدّائرة معلوم وأحاطت دائرة بشكلٍ ذي أربعة أضلاع يكون ضرب ا ب في جد مع ضرب ا د في ىج مساويًا لضرب ا ج في ىد كما قد تبيّن في الشّكل الذي قبل هذا ولكنّ ضرب ا ب في جد معلوم والذي يكون من ضرب ا ج في ىد أيضًا معلوم فيبقى المجتمع من ضرب ا د في ىج معلومًا فلنقّسم ذلك على د ا المعلوم وهو القطر المعلوم فيصير وتر ىج معلومًا وذلك ما أردنا أن نبيّن.

〈I.4〉 الشّكل الـرّابـع قال وقد يمكننا أن نعلم أيضًا وتر نصف قوس

معلومة الوتر. مـثـالـه نصف دائرة قطرها ا ىج والوتر ىج معلوم وقسمت القوس بنصفين على د فـأقول إنّ ىد معلوم بـرهـانـه نصل خطوط ا ب ا د ىد دج ونخرج من ء عمودي د ز ونجعل ا ﻩ مثل ا ب وخطّ ا د مشترك وزاوية ىا د مثل زاوية هـا د لأنّهما على قوسين متساويين كما في شكل كـو من مقالة ج من س تكون قاعدة ىد مثل قاعدة د ﻩ كما في شكل د من مقالة ا من س وخطّا ىد د ج متساويان لأنّهما على قوسين متساويين كما في شكل ىجح من مقالة ج من س فمثلّث د هـج متساوي السّاقين وقد أخرج من رأسه إلى قاعدته عمود د ز فخطّ هـز مثل خطّ ز ج وربما كان خطّ هـج زيادة خطّ ا ج على خطّ ا ب فخطّ جز هو نصف ما بين خطّي ا ج و ا ب ولأنّ وتر ىج قد كـنّا جعلناه معلومًا يصير وتر ا ب معلومًا لأنّه وتر تمام نصف الدّائرة وإذا أنقصنا ا ب من ا ج بقي هـج معلومًا ويصير نصفه الذي هو جز معلومًا ولأنّ