Project icon: lavishly furnished initial letter with a painting of Ptolemy using an astrolab.

Ptolemaeus

Arabus et Latinus

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
The following characters have a special meaning.
Put them next to a word without a space between.
" "encloses a sequence of words so that the sequence is searched as a whole.
+The following word must appear.
-The following word must not appear.
~The following word should not appear but may appear.
<The following word should appear but is not as relevant as other words.
>The following word should appear and is more relevant than other words.
( )groups words together so that one of the prefixes above can be applied to the whole group.
*is a wildcard behind a word, representing null, one or several arbitrary characters.

Anonymous, Almagesti Minor

Paris, BnF, lat. 16657

transcribed by Henry Zepeda

The transcription has been made from Paris, BnF, lat. 16657 (siglum P). With the benefit of having edited this work, I have been able to identify the locations in the text where P has a corrupt or incorrect reading and in each case to report standard or better readings from one of the following four manuscripts: Cracow, BJ, 1924 (siglum K); Berlin, SBPK, lat. Q. 510 (siglum B); Munich, BSB, Clm 56 (siglum M); and Nürnberg, SB, Cent. VI.12 (siglum N). I follow the Project’s guidelines for transcriptions, but I would like to note the following. I use ‘iter.’ to indicate that a word or phrase has been repeated.

Table of contents and links to chapters

/82v/

⟨I⟩⟨Liber I⟩ ⟨Liber I⟩] Minor Almagesti add. i. m. (probably other hand)

⟨O⟩mnium Omnium] From K recte phylosophantium non solum verisimilibus et credibilibus argumentis sed et firmissimis rationibus deprehensum est formam celi spericam esse motumque ipsius orbicularem circa terram undique secus globosam in medio imoque defixam. Que quidem etsi omnium cadentium tam gravitate corporis quam quantitate ponderis sit maxima ideoque immobilis, ipsius tamen crassitudo comparatione infinitatis applani respectuque distantie fixorum luminum insensibilis, et vicem centri obtinere physica physica] corr. in phylosofica (probably other hand) indagatione comperta est.

Ad hec duos principales et sibimet invicem contrarios motus superiorum sane animadverti etiam fides oculata comprobavit, quorum alter semper ab oriente in occidentem pari et eadem concitatione per circulos et inter se et ad eum qui omnium spaciosissimus equinoctialem paralellos totum mundane machine corpus movet et agitat, cuius circumvolutio circa celestis spere polos indefesse consistit. Alter e contrario Solem et Lunam et quinque erraticas circa alios diversosque polos circumducit et torquet.

Hiis firme firme] corr. ex ferme adeo fides conciliata est ut si quis etiam iuste etiam iuste] iniuste K calumpnians obviet, aut cavillator verum scienter inficians aut mente captus non indigne estimetur. Que cum ita sint superest ut propositum aggrediamur. /83r/

⟨I.1⟩ Data circuli dyametro latera decagoni, pentagoni, exagoni, tetragoni, atque trianguli omnium ab eodem circulo circumscriptorum reperire. Corollarium. Unde manifestum est quod si nota fuerit circuli dyameter et prenominata latera erunt nota, corde quoque que residuis semicirculi arcubus intenduntur note erunt.

Lineetur enim super AG dyametrum semycirculis semycirculis] semicirculus K ABG, sitque DB a centro perpendiculariter erecta, H medius punctus DG, ZH equalis BH subtense angulo recto. Dico quia ZD est latus decagoni et ZB latus pentagoni. Ratio per sexta⟨m⟩ sextam] From K secundi Euclydis et penultimam primi et nonam tercii decimi. Patent cetera per tricesimam tercii et penultimam primi.

⟨I.2⟩ Si quadrilaterum infra circulum describatur, rectangulum quod continetur sub duobus eius dyametris est equale duobus rectangulis pariter acceptis que sub utriusque utriusque] utrisque K eius lateribus oppositis continentur.

Esto enim quadrilaterum cuius duo dyametri AG et BD infra circulum descriptum, fiatque angulus ABE equalis angulo DBG. Erit igitur ABD angulus equalis EBG angulo communiter adiecto EBD. Sed etiam ADB et EGB anguli sunt equales quia super arcum eundem consistunt. Propter similitudinem ergo triangulorum unde accidit proportionalitas laterum, quod fit ex ductu AD in BG equum est ei quod continetur sub BD et GE. Consimili ratione quod continetur sub BD et AE equatur ei quod fit ex AB in GD. Per primam ergo secundi Euclydis restat argumentari.

⟨I.3⟩ Si in semicirculo corde arcuum inequalium certe fuerint, corda quoque arcus quo maior minorem superat erit nota.

Sint enim AB et AG note, note] nota K ergo DB et GD quia subtenduntur residuis arcubus in semycirculo note sunt. Et quia semycirculi dyameter notus, per proximam argue. /83v/

⟨I.4⟩ Si in semycirculo alicuius arcus corda nota fuerit, corda quoque que eius medietati subtenditur erit nota.

Ex ypothesi BG nota cuius arcus medinus medinus] medius K punctus D. Ergo AB nota cui sit equalis AE, ergo AD facta communi erit erit] sup. lin. ED equalis tam BD quam DG, quia anguli A sunt equales cum sint in portionibus equalibus. quia…equalibus] sup. lin. (perhaps other hand) Unde anguli super E et G E…G] corr. ex EZ (perhaps other hand) equales per heleufugam. heleufugam] This is a name given to Euclid, Elements I.5. Quare demissa perpendiculari DZ, erit GZ equalis EZ, et GZ nota. nota‌1] quoque add. but then del. Dyametros quoque nota, inter quas DG DG] corr. ex BG proportionalis, quare et ipsa nota.

⟨I.5⟩ Si due corde duorum arcuum in semycirculo fuerint note, corda quoque que toti subtenditur arcui composito ex illis duobus arcubus nota erit.

Ex ypothesi et AB et BG nota. Facta ergo tam AZD quam BZH circuli dyametro, erit tam BD quam GH nota. Et quia AB nota, nota est et DH. Ergo cum sit BGDH quadrilaterum quadrilaterum] corr. ex quadratum (perhaps other hand) circulo inscriptum cuius duo dyametri noti et tria latera nota, per secundam secundam] corr. ex tria erit quartum notum scilicet DG. Ergo Ergo] sup. lin. et corda residui arcus de semycirculo AG videlicet nota est quod erat propositum.

⟨I.6⟩ Due linee inequales in circulo si protrahantur, maioris ad [mi] minorem quam arcus longioris ad arcum brevioris minor est proportio.

Primo angulum ABG linea BD per medium parciatur. parciatur] i.e. ‘partiatur’ Lineis deinceps AG et AD et DG protractis, quia ergo angulus ABG per medium divisus est, lineas AD et GD constat fieri equales. Linea etiam GE longiore existente quam EA, in lineam EG perpendicularem DZ protrahimus. Quia ergo ergo] tam add. sup. lin. (perhaps other hand) AD quam DE et DE quam DZ longiores sunt, circulus ad centrum D et ad distantiam DE circumductus lineam AD procul dubio secabit. Linea etiam DZ altius protracta, ipsum circulum HEZ HEZ] HET K signabunt. Quia ergo sector [portio] DET triangulo DEZ maior est, sed etiam triangulum DEA eo sectore qui est DEH constat fieri maiorem, erit per octavam quinti Euclydis trianguli DEZ ad triangulum DEA proportio minor ea que est sectoris DET ad sectorem DEH. Sed sectoris ad sectorem que sui anguli ad suum angulum. Ergo per primam sexti minor est proportio EZ linee ad EA quam anguli ZDE ad EDH. Ergo coniunctim, ergo duple scilicet GA proportio ad eandem EA minor quam dupli anguli scilicet GDA ad eundem EDA angulum. Proportio est ergo disiuncti. disiuncti] disiunctim K Restat ergo per tertiam sexti et ultimam eiusdem argumentari.

Nunc quorsum hec tendant declarabimus. Interest presentis negotiationis cuiuslibet arcus noti respectu 360 graduum, que est communis communis] corr. ex ... omnium circulorum partitio, invenire eorumdem notam cordam cordam] i. m. (perhaps other hand) respectu 120 partium dyametri, ad quem numerum omnis dyametros secta intelligitur. Cuius rei agnitio non minus utilis quam difficilis.

Igitur ex prime speculationis ratione arcum 36 graduum habere cordam partium 37 punctorum sive minutorum /84r/ 9 9] 4 K secundorum 55 55] corr. ex ... sollers practicus inveniet, est enim ea corda latus decagoni; cordam vero pentagonicam que arcui 72 72] corr. ex ... graduum subtenditur componi ex partibus 70 punctis 32 32] corr. ex ... et secundis fere tribus; sed et latus exagoni supra quod arcus 60 graduum curvatur 60 itidem partibus terminari. Ad eundem quoque modum quia latus tetragoni, existens 90 partium corda, quadratum medie dyametros dyametros] While this looks accusative, it actually is functioning as a singular genetive. duplat potentialiter, latus item trigonale ens 120 120] corr. ex ... graduum corda medie dyametros quadratum potentialiter triplat, illud quidem partibus 84 punctis 15 15] 51 K secundis 10 fere concludi, illud autem partibus 100 et tribus punctis 55 55] corr. ex ... secundis 23 23] corr. in 33 (perhaps other hand). The ‘23’ is correct mathematically. equari, diligens examinator compariet compariet] This appears to be an unorthodox form of the verb ‘comparo.’ manente dico dico] This actually says ‘dice’ but any reader would realize the correct reading. predicta dyametri in 120 120] corr. ex ... equas porciones porciones] corr. ex ditones (perhaps other hand) sectione. Adhuc Adhuc] perhaps ad hec ex eodem teorumate cum sit corda arcui 36 subtensa ex partibus 37 punctis 4 secundis 55, 55] corr. ex ... cordam que residuo arcui de semycirculo, scilicet arcui 144 graduum, ⟨subtenditur⟩ subtenditur] From K partibus 124 124] 114 N graduum…124] i. m. (perhaps other hand) punctis 7 secundis 37 fere terminandam esse sobrius vestigator agnoscet.

Amplius exequentium demonstratione constat ad ad] corr. in ex certorum arcuum differentias differentias] corr. in differentiis cordas multas posse inveniri. Qua quidem ratione corda arcus 12 12] The original Arabic numerals, which are in an unusual form, are deleted, and the number is written in more typical Arabic numerals above the line. graduum reperienda est, hiis inquam qui qui] que K sunt arcuum 60 atque 72 72] The original Arabic numerals, which are in an unusual form, are deleted, and the number is written in more typical Arabic numerals in the margin. cordis precognitis. Deinceps plurimas diversorum arcuum cordas invenire inventas secundum arcum mediare sciemus, utpote arcus 12 12] The original Arabic numerals, which are in a more unusual form, are deleted, and the number is written in more typical Arabic numerals above the line. partium cordam, et deinde arcus 6 partium, nec minus quoque trium, eius tunc qui habet partem et dimidiam, et deinde qui ex media et quarta constabit.

Docet autem hec observatio unius partis et medie cordam ex parte una punctis 34 secundis 15 15] The ‘5’ appears to have been corrected from a more unusual form to a more usual one. constare, retenta dico dicta dyametri divisione; ad eundem denique modum arcus medie partis et quarte corda corda] cordam K puncta 47 habere secunda 8. Amplius. Ex sequenti apodixi ratum est secundum arcum unius partis et medie et eius cordam quamlibet cordam multiplicis arcus posse inveniri. Nam eo arcu duplicato vel triplicato et deinceps omnes corde note occurrunt.

Verum cordam unius gradus sub certa veritate nulla deprehendit ratio. Quamvis enim ad arcum unius gradus et medii corda constiterit, eius tercie partis corda sub numeri compoto nullatenus scibilis est. Eius tamen rei notitia presenti intentioni necessaria est. Summo igitur studio et industria, quamvis non verissime tamen omnis sensibilis erroris periculo depulso, unius gradus corda per cordam unius gradus et medii sed etiam per medii et quarte in hunc modum reperta est.

Protrahimus in circulo cordam AB unius partis, AG vero unius gradus et medii. Quemadmodum ergo supradictum est quia AG ad AB quam arcus maioris ad arcum minoris minor est proportio. AG autem arcus ad AB arcum sexquialter est, linea ergo AG ad AB necessario quam sexquialtera minor erit. Constat autem cordam AG gradum unum puncta 34 secunda 15 15] The ‘5’ appears to have been rewritten over the original. habere; unde corda AB maior quam gradus et puncta 2 2] The original Arabic numeral, which is in an unusual form, is deleted, and a more typical Arabic numeral is written above the line. secunda 50 50] The ‘5’ appears to have been corrected to a more typical form over the original. profecto constabit. Unus namque gradus cum 34 punctis et secundis 15 gradum unum puncta 2 2] A more unusual form is deleted and replaced with a more usual numeral form. secunda 50 50] The ‘5’ was corrected to a more typical form over the original. integraliter sexquialterat. Rursus AB lineam arcus medii gradus et quarte, ipsam vero vero] sup. lin. (perhaps other hand) AG ad unum gradum cordam statuimus. Igitur arcus AG ad AB sequitercius sequitercius] sesquitertius K est. Sed palam ex supradictis cordam AB punctis 47 secundis 8 concludi.

Sed ad hunc numerum scilicet puncta 47 secunda 8 sexquitercius numerus est hic, pars una puncta 2 2] The unusual form is deleted, and a more usual form is written over the line. secunda 50 tercia 40. Ergo corda unius gradus maior est quam pars una puncta 2 secunda 50 et minor quam pars una‌1…pars‌2] i. m. (perhaps other hand) una puncta 2 secunda 50 tercia 40. Non est ergo incongruum cordam unius gradus ponere partem unam puncta 2 secunda 50, quia minus quam in duabus terciis unius tercii tercii] This should read ‘secundi.’ The error is known to be less than 40’’’, i.e. 2/3 of a second. error erit, quare multo minus quam in uno secundo, sed ⟨in⟩ in‌2] From B inquisitione cordarum quod minus quam secundum fuerit postponitur. Sed…postponitur] One class of manuscripts has an alternate text for this paragraph.

Unde manifestum quoniam arcus dimidii gradus corda punctis 31 secundis 15 15] To follow Ptolemy’s table of chords, this number should be ’25.’ fere concluditur. Ad cuius quantitatis exemplar reliquas que inter duas certas cordas binatim cadunt possumus sine sensibili errore deprehendere. Namque duorum graduum cordam eius que est dimidii ad unius et dimidii facit cognosci adiectio. /84v/ Duorum item item] corr. ex tunc graduum atque dimidii corda poterit deprehendi, si ab arcu trium partium partium] arcum add. but then del. ad medie partis differentiam sequestremus. Et ad hunc modum de ceteris. Facilis est ergo secundum premissorum tenorem cordarum ad arcus suos agnitio. agnitio] A large addition is found here in one class of manuscripts.

⟨I.7⟩ Duabus rectis lineis ab angulo uno descendentibus aliisque duabus sese secantibus ab earum descendentium reliquis terminis in easdem reflexis, utralibet reflexarum alterius conterminalem sic figet ut proportio ipsius fixe ad eam sui partem que supra fixionem est producatur ex duabus proportionibus, ex una dico proportione quam habet sibi conterminalis reflexa ad eam sui partem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet alterius reflexe inferioris sub sectione portio ad eam totam cuius pars est lineam.

Exempli gratia proportio linee GA ad EA producitur ex proportione lenee lenee] i.e. ‘linee’ GD ad lineam ZD et proportione linee BZ ad lineam BE. Sit enim EH equedistans GD, quare proportio GA ad EA tanquam proportio GD ad EH, inter quas ZD linea statuatur media. Eius proportio est ad HE tanquam BZ ad BE.

⟨I.8⟩ Duabus rectis lineis ab angulo uno descendentibus aliisque duabus sese secantibus ab earum descendentium reliquis terminis in easdem reflexis, utralibet reflexarum alterius conterminalem sic figet ut proportio portionum fixe, inferioris dico partis ad superiorem, producatur ex duabus proportionibus, ex una inquam proportione quam habet sibi conterminalis reflexe inferior sub sectione portio ad reliquam partem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet relique descendentis inferior sub fixione portio ad eam totam cuius pars est lineam.

Exempli gratia proportio GE ad EA producitur ex proportione GZ ad ZD et proportione BD ad BA lineam. Protrahatur enim a puncto A linea equidistans BE donec concurrat cum linea GDH. Quare proportio GE ad EA tanquam proportio proportio‌1] sub. lin. (perhaps other hand) GZ /85r/ ⟨a⟩d ad] From K ZH, inter que statuatur medium ZD, cuius proportio est ad DH tanquam BD ad DH. DH‌2] DA K Quare coniunctim ZD ad ZH sicut BD ad BA. Unde habemus propositum.

⟨I.9⟩ Si in circulo continui arcus sumantur et uterque minor semycirculo, dyametrus producta a communi eorum termino lineam rectam reliquos eorumdem terminos continuantem secabit secundum proportionem corde dupli arcus unius ad cordam dupli arcus alterius.

] The first figure from P has some mislabeled points. The second, better figure is from N 3r. Fiat ergo GH linea perpendicularis super semydyametrum BD et sit medietas corde arcus duplicantis arcum GB. Item sit AZ perpendicularis super eandem dyametrum et sit sinus arcus AB. Quare fient trianguli GEH et AEZ similes.

⟨I.10⟩ Si unus arcus notus in duos dividatur fueritque nota proportio corde dupli arcus unius unius] sup. lin. ad cordam dupli arcus alterius, ambo ipsi erunt noti.

] The line ZD has perhaps been erased. Sit DZ perpendicularis ad cordam arcus AG noti. Qualiter Qualiter] Quare K totus triangulus ZDA lineis et angulis notus. Item proportio GE ad EA per premissam et ypothesim nota est. Ergo proportio coniuncta GA ad EA addita unitate denominatori proportionis disiuncte fiet nota. Ergo AE nota, ergo EZ et DZ et ED linee note respectu dyametri circuli magni. Ergo omnes anguli trianguli ortogonii EZD noti noti] corr. ex nati sunt per circulum ei circumscriptum respectu duorum rectorum, ergo respectu quatuor. Dempto ergo angulo ZDE nunc noto ab angulo ZDA prius noto, relinquitur angulus EDA notus. Quare arcus AB notus, ergo et reliquus GB notus.

⟨I.11⟩ Si ab uno termino arcus semycirculo minoris linea ipsum arcum secans educatur donec cum dyametro per reliquum eundem eundem] eiusdem K arcus terminum extracta concurrat, fiet proportio linee preter centrum transeuntis ad partem sui extrinsecam sicut proportio corde dupli arcus de quo sermo est ad cordam dupli arcus illius que que] quem K educte linee includunt.

] The first figure from P has lines erased. The second, better figure is from K 15. Esto igitur GH sinus arcus GA cui equidistat BZ sinus arcus BA interclusi lineis concurrentibus, quarum altera GBE preter centrum transiens arcum GA secat, altera HAE secundum dyametrum extracta. Fiet ergo triangulus GEB GEB] GEH K totalis similis triangulo HEZ HEZ] HEZ K partiali.

⟨I.12⟩ Si arcus dicto modo divisi lineis ut prescriptum est donec concurrant eductus eductus] eductis K maior portio portio] sup. lin. nota fuerit et /85v/ proportio corde dupli arcus ipsius divisi ad cordam dupli arcus lineis eductis inclusi constituerit, ipse arcus inclusus notus erit.

Esto ZB medietas corde arcus GB noti nota. Item DB nota, quare totus triangulus DZB portione portione] ortogonius K notus est lineis et angulis. Item proportio GE ad BE nota per proximam et ypothesim, quare per penultimam tercii Euclydis EA EA] perhaps ea nota. Ergo angulus trianguli ortogonii qui angulus est EZD EZD] EDZ K notus. A quo dempto angulo BDZ noto, relinquitur angulus ADB notus, ergo et arcus AB notus.

⟨I.13⟩ In superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ sphere duobus arcubus magnorum orbium semycirculo divisim minoribus ab uno communi termino descendentibus aliisque duobus non minorum orbium ab illorum reliquis terminis in eosdem sese secando reflexis, utrius utrius] utervis K reflexorum alterius conterminalem arcum sic figet ut proportio corde arcus duplicantis inferiorem portionem arcus fixi ad cordam arcus duplicantis superiorem eiusdem fixi portionem producatur ex gemina proportione, ex ea videlicet quam habet corda arcus duplicantis inferiorem arcus reflexi portionem qui ipsi fixo conterminalis est ad cordam arcus duplicantis reliquam ⟨eiusdem reflexi portionem, et ea proportione quam⟩ eiusdem…quam] From K habet corda duplicantis arcus inferiorem alterius descendentis arcus partem ad cordam duplicantis arcum ipsum cuius pars est totalem.

] Some lines do not meet properly in the figure in P. The second, better figure is from K 15. Evidentie gratia, arcus magnorum orbium AB et AG in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ spere describimus, inter quos alii duo BE et GD sese intersecant aput Z. Dico ergo quod proportio corde duplicantis GE ad cordam ipsius arcus EA dupli ex gemina proportione componitur sicut in kata di⟨s⟩iuncta, disiuncta] From K ex ea videlicet quam habet corda arcus ad GZ dupli ad cordam arcus ipsum ZD duplantis et ex ea que est corde arcus qui est duplus ad DB ad cordam arcus ad ipsum ad ipsum] perhaps aerum P; From K BA duplicis. Ratio. Centro spere H posito ab ipso ad notos B Z E -- circulorum dico sectiones -- linee ducantur. Linee rursum AD et HB descendentes ad notam T conveniant. Sed etiam due GA et GD linee eas que sunt HZ et HE ad K et L puncta secantes protrahantur. Sic ergo in una recta linea sunt note tres scilicet T K L. Nam sunt et in superfitie superfitie‌1] i.e. ‘superficie’ trianguli AGD quantum L et quantum…et‌2] quantumlibet K protensa et in /86r/ superfitie superfitie‌2] i.e. ‘superficie’ circuli relicti GZE, GZE] BZE K quarum superfitierum superfitierum] i.e. ‘superficierum’ communis sectio linea. Hac igitur linea protracta restat ex kata disiuncta et nona bis et undecima semel assumpta propositum propositum] perhaps propositionem colligere.

⟨I.14⟩ In superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ spere quatuor arcubus predicto modo depictis, fiet ut proportio corde arcus duplicantis unum descendentium totalem ad cordam arcus duplicantis superiorem ipsius descendentis portionem componatur ex gemina proportione, ex ea videlicet quam habet corda duplantis arcum totum ab eiusdem descendentis termino reflexu reflexu] reflexum K ad cordam duplam duplam] This should read ‘duplantis’ for the mathematical meaning. illam ipsius reflexi portionem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet corda arcus duplantis inferiorem sub sectione alterius reflexi portionem ad cordam arcus duplicis ad eundem reflexum cuius pars est totum.

] The figure in P has several errors. The second, better figure is from B 117v. Evidentie gratia, proportio corde arcus duplicantis arcum GA ad cordam arcus duplicantis arcum EA componitur ex gemina proportione, scilicet ex proportione corde corde] sup. lin. arcus duplicantis arcum GI ad cordam arcus duplicantis arcum ZI et ex proportione corde dupli arcus BZ ad cordam dupli arcus BZ. BZ‌2] BE K Ratio. A spere centro H linee per sectiones circulorum A B I educantur donec singule cum singulis preter centrum transeuntibus ad notas O D T conveniant. Quas tres notas in eadem esse linea conveniet. Nam sunt et in superfitie trianguli GZE indefinita et in superfitie superfitie‌1] i.e. ‘superficie’ circuli relicti BA -- superfitie superfitie‌2] i.e. ‘superficie’ dico quantumlibet extensa. Hac igitur linea protracta ODT, per kata coniunctam et undecimam argue quod proponitur.

⟨I.15⟩ Maximam declinationem per instrumenti artifitium artifitium] i.e. ‘artificium’ et considerationem repperire.

Paratur itaque lamina quadrate forme cubitalis vel eo amplius mensure ad unguem polita et planissima, in cuius una superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ circulus ut modicum extra labrum relinquatur describitur. Ipsumque labrum in circuitu in ccclx partes equissime linea in centro semper posita dividitur, et queque pars in minuta quot capere poterit subdistinguitur. Deinde ad circuli descriptionem cavatur et cavata aptissime planatur. Post hec minoris quantitatis et forme orbicularis nec minus plana quare quare] queritur K lamina ad spissitudinem labri in alia relicti spissa ut cum ei super centrum inserta fuerit, in una cum labro fiat fiat] in add. but then del. superfitie. superfitie] i.e. ‘superficie’ Et in huius minoris duobus punctis per dyametrum oppositis due eriguntur equales et per omnia sibi similes pinne sic ut linea secans utramque per medium pinnulam erecta sit super dyametrum. Et a duabus duabus] duobus K /86v/ terminis dyametri due in directam directam] directum K promineant lingule in extremitate sua sua] sup. lin. gratillime, gratillime] i.e. ‘gracillime’ quarum erit officium ut cum minor lamina infra maiorem super centrum rotata fuerit, lingule sectiones partium in labro dyametraliter oppositas numerent et indicent.

Eis ergo ita paratis et minore maiori ut in ea volvi possit centraliter inserta, quotiens opus erit per eas operari. Latus lamine quadrate super lineam meridianam in plano protractam erectum constituemus superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ minoris incluse ad meridiem obversa. Sicque aptabimus et firmabimus ut latus suppositum suppositum] supremum B orizonti equidistet et superfities superfities] i.e. ‘superficies’ erecta a meridyano non declinet, quorum primum arte livelli effities, effities] i.e. ‘efficies’ secundum experientiam perpendiculi. Solis ergo umbram circa utramque utramque] utrumque K solstitium in omni meridie observans, tamdiu volves interiorem rotulam donec superior pinna totam inferiorem obumbret. Et per hoc duorum tropicorum distantiam cuius medietas est maxima declinatio, necnon et distantiam puncti in summitate capitum ab equinoctiali deprehendes.

Paratur et aliud commodius et facilius instrumentum. Laterem scilicet ligneum vel lapideum vel eneum quadratum quere cubitalis latitudinis et apte altitudinis ut super latus sine tortuositate et inclinatione erigi possit, sitque una superfitierum superfitierum] i.e. ‘superficierum’ levissima et equalis. Positoque centro in uno angulorum super ipsum quartam circuli describere. describere] describe K Et ab eo centro duas lineas rectas angulum rectum continentes et quartam circuli includentes protrahe, et quartam circuli in xc partes et unamquamque partium in minuta quot poteris partire. Deinde duas pinnulas tornatiles pyramydales pyramydales] corr. ex pyramydes equales longitudine ⟨et⟩ et‌1] From K grossiore grossiore] grossitie K quere. Et unam in centro ortogonaliter infige et alteram extremitati linee a centro descendentis. Quo completo erige instrumentum super latus suum duabus pinnis pinnis] corr. ex pinis ad orientem conversis et ea que in centro est superiori et alia deorsum inferiori. Sitque superfities superfities] i.e. ‘superficies’ in qua fixe sunt obversa orienti. Tunc perpendiculo a superiori pinna in inferiorem demisso ad meridiani superfitiem superfitiem] i.e. ‘superficiem’ et orizontis equidistantiam adapta, umbramque pinnule in centro existentis quorsum in meridie cadat diligenter attende. Et per hoc sicut superius distantiam tropycorum et remotionem summitatis capitum ab equinoctiali contemplare.

Notandum autem quod diversitas aliqua in maxima declinatione reperta est a diversis consideratoribus in suis temporibus. Nam Indei invenerunt eam esse xxiiii graduum, Ptolomeus xxiii graduum et li minutorum et xx secundarum, Albategni vero xxiii xxiii‌1] corr. ex xxxiii graduum et xxxv minutorum, Arzazel quoque xxiii xxiii‌2] corr. ex xxxiii graduum et xxxiii minutorum et xxx secundarum. Ideo sollerter adhuc est inspiciendum et magis visui quam auditui credendum.

⟨I.16⟩ Cuiuslibet puncti ⟨in⟩ in] From K circulo declivi cuius discessus ab equinoctiali est notus declinationem invenire. Unde manifesta est hec regula: si sinus portionis ab equinoctiali inchoate cuius finalis puncti declinatio queritur ducatur in sinum maxime declinationis productumque productumque] corr. ex punctum dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus quesite declinationis.

Describo circulum per polos circuli equinoctialis et etiam declivis transeuntem ABG, infra quem equinoctialis medietas ABG ABG] AEG K et medietas circuli declivis BED ad notam E se intersecantes locentur. Et Et] Unclear in P but confirmed by K. nota E vernale designet equinoctium, punctus vero D hiemale solstitium, et nota B esti/87r/vale. Polus equinoctialis circuli nota Z. Arcus EH a declivi abscisus xx xx] 30 B partes contineat. Deinde arcum ZHT magni circuli circumduco. Est ergo propositum arcus HT quantus sit agnoscam. Cum ergo in huiusmodi figura duo arcus AZ et AE a communi termino descendant inter quos duo alii ZT et EB ad notam H intersecantur, et ZT quadrans sit equalis EB quadranti, per kata coniunctam facto ergo sinu arcus BE medio inter sinum HE et sinum HT arcus, erit proportio corde dupli arcus HE ad cordam dupli arcus HT qui qui] que K est corde dupli arcus AZ ad cordam dupli arcus AB. Unde manifestum si sinus HE ducatur in sinum AB productumque dividatur per sinum arcus AZ, exibit sinus arcus HT. Sinum voco medietatem corde dupli arcus.

Posito igitur arcu AB duplicante ex partibus xlvii punctis xlii secundis xl, secundum quod Ptolomeus distantiam inter duos tropicos invenit, invenies ipsum TH arcum ex partibus xi punctis xl fere componi. Ad hunc modum cuiuslibet gradus finalis puncti declinationem in circulo declivi.

⟨I.17⟩ Cuiuslibet portionis circuli declivis elevationem in spera recta invenire. Unde patet regula: si sinus perfectionis maxime declinationis ducatur in sinum declinationis portionis inchoate ab equinoctiali linea cuius portionis queritur elevatio, productumque dividatur per sinum perfectionis declinationis illius portionis, et quod exierit ducatur itidem in sinum elevationis unius quadrantis, productumque dividatur per sinum maxime declinationis, exibit sinus quesite elevationis.

Elevatio portionis circuli declivis est arcus equinoctialis qui cum ipsa portione incipit et desinit oriri. Ad huius rei expositionem supradicta figura in exemplum denuo assumatur. Est enim propositum quantus sit arcus ET agnoscere qui est elevatio arcus EH. Cum ergo in huiusmodi figura AZ et AE arcus duo a communi termino descendant inter quos ZT et EB alii duo se intersecant ad punctum H, quare per kata disiunctam proportio sinus ZB ad BA constat ex proportionibus ZH ad HT et ET ad EA. De sinibus eorum arcuum loquor. Quare sinus ZB si ducatur in sinum [ZT] HT, primum scilicet in quartum, et productum dividatur per sinum ZH tercium, exibit linea cuius proportio ad sinum arcum arcum] arcus K BA secundi sicut sinus ET ad sinum EA, quinti scilicet ad sextum. Ergo si linea illa ducatur in sinum EA qui est elevatio unius quadrantis et dividatur per sinum AB qui est maxima declinatio, exibit sinus ET quesite elevationis.

Posito ergo arcu EH xxx graduum, invenies arcum arcum] sup. lin. P TE partibus xxvii punctis l terminari. Quod si arcum EH ponas esse partium lx, reperies arcum TE ex partibus lvii punctis xliiii. Ex hiis ergo constans est quod prima zodiaci pars duodecima ortus sui sive ascensionis tempus partibus xxxvii xxxvii] xxvii K punctis l -- linee dico equinoctialis -- terminat; secunda xxix xxix] corr. ex xxx partibus punctis liiii. Unde palam quod tertie ipsius duodecime elevationi relinquuntur de equinoctiali linea partes xxxii puncta xvi. Nam ascensus cuiuslibet ⟨quarte⟩ quarte‌1] From M zodyaci quarte cuilibet de recto circulo adequatur quod ex circulo per polos equinoctialis transeunte poterit deprehendi. Et vide quod uni quarte accidit alteri accidere necesse est, dum circulus equinoctialis /87v/ orizonti recte spere ortogonaliter insistat. Sufficit ergo inquisitio elevationum unius quarte ad habendum omnes. Evidenter igitur ex hiis deprehenditur quot horis rectis pars zodyaci certa meridianum circulum ubique locorum et ab orizonte recte spere transierit.