Project icon: lavishly furnished initial letter with a painting of Ptolemy using an astrolab.

Ptolemaeus

Arabus et Latinus

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
The following characters have a special meaning. Put them next to a word without a space between.
" "encloses a sequence of words so that the sequence is searched as a whole.
+The following word must appear.
-The following word must not appear.
~The following word should not appear but may appear.
<The following word should appear but is not as relevant as other words.
>The following word should appear and is more relevant than other words.
( )groups words together so that one of the prefixes above can be applied to the whole group.
*is a wildcard behind a word, representing null, one or several arbitrary characters.

⟨II⟩⟨Liber II⟩

Orizon declivis est cui polus elevatur.

Spera declivis est vel obliqua hiis qui orizonte declivi utuntur.

Cenit capitum est punctum summitatis capitum et est polus orizontis.

Latitudo regionis est distantia cenit capitum ab equinoctiali et est arcus meridiani inter cenit capitum et circulum equinoctialem interceptus.

Longitudo regionis est distantia eius ab orientis vel occidentis principio et est arcus paralelli ad equinoctialem inter cenit capitum et eum circulum qui super Amphytritis circuitum in celo est dispositus.

Locus notus dicitur cuius longitudo et latitudo nota.

Speralis angulus dicitur angulus ex duobus arcubus in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ spere proveniens.

Speralis angulus rectus dicitur cui sub duobus arcubus maiorum orbium contento quarta circuli supra cuius polum ipse angulus consistit subtenditur.

⟨II.1⟩ Arcum diei minimi vel maximi in quovis clymate per notam poli altitudinem cognoscere. Unde manifestum quod si sinus altitudinis poli ducatur in sinum maxime declinationis, et productum dividatur per sinum perfectionis maxime declinationis, et quod provenerit ducatur in semydyametrum, productum dividatur per sinum perfectionis altitudinis poli, exibit differentia mediata mediata] i. m. minime diei ad /88r/ equinoctialem diem.

Sit ergo meridiei circulus ABGD infra quem orientalis medietas orizontis BED sed etiam equinoctialis AEG designentur. Australem polum nota Z, hiemale solsticium solsticium] nota add. but then del. ascendens in orizonte nota H notat. Deinde circuli per utrumque polum transeuntis quarta ZHT deducatur. Quia ergo H et T note motu suo paralellos in spera describunt circulos, et spere revolutio super polos utriusque circumducitur, constat notas H et T ad arcum AB meridiani circuli uno et eodem tempore pariter devenire propter similes paralellorum circulorum portiones. Tempus autem quo nota H ad medium celum ab ortu suo conscendit est quantitas arcus TA de linea equinoctiali. Tempus autem a medio sub terra celo ad oriens est quantitas arcus GT. Quod inde apparet quia ipsius diei tempus est quantitas arcus ad TA duplicis, vero noctis tempus est quantitas arcus qui ad GT duplus est. Est ergo arcus TE differentia differentia] This should read ‘medietas differentie,’ but the manuscripts I have consulted have the text as here. equinoctialis et minime diei, cum E sit medius punctus arcus AG ad quem punctum oritur Aries vel Libra. Hiis ita se habentibus vide quod inter duos arcus AZ et AE due quarte circulorum se intersecant scilicet EB et TZ. Quare per kata disiunctam proportio sinus ZB ad BA producitur ex proportione sinus ZH ad HT et sinus ET ad eam. eam] EA K Sed primum est notum, et secundum propter altitudinem poli notam, et tercium propter maximam declinationem notam esse, et quartum similiter, sextum vero quia est quarta circuli. Quapropter et quintum notum erit.

⟨II.2⟩ Arcum orizontis in quovis climate qui est inter ortum tropyci et equinoctialem per assignatum minimi diei arcum investigare. Unde patebit quod si ducatur sinus dimidii arcus diei minime in sinum perfectionis maxime declinationis, productumque dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus perfectionis arcus orizontis qui est inter ortum utriusque tropycorum et circulum equinoctialem. Similique ratione inveniri potest distantia ortus cuiuslibet signi vel gradus ab equinoctiali.

Premissa dispositio dispositio] dispositione K sicuti est manente arcu HT arcu HT] arcum HE K querimus. Quare per kata coniunctam conversis proportionibus proportio AT ad AE, de similibus similibus] sinibus K loquor, producitur ex proportione sinus BH ad sinum BE et eundem eundem] eiusdem K BE sinus proportione ad sinum HZ. Sed ex eisdem proportionibus constat proportio sinus BH ad HZ, ergo proportio sinus AT ad sinum AE est sicut proportio sinus HB ad sinum HZ. Ergo si primum ducas in quartum et cetera. Sed primum ⟨notum⟩ notum] From B ex ypothesi quod arcus TA medietatis diei minime est tempus, et quartum notum quia maxima declinatio nota, et secundum notum quia est quarta circuli. Ergo tercium notum, ergo eius arcus scilicet HB notus. Ergo reliquus de quarta scilicet HE arcus notus est, quod proponebatur.

Posito ergo quod dies longissima xiiii horis rectis et media terminetur ut est in Rodos insula, invenies arcum EH partes xxx de ccclx continere.

⟨II.3⟩ Altitudinem poli per arcum diei minime notum presto inda/88v/gare. Regula. Si sinum differentie medie diei minimi ad equinoctialem diem ducas in sinum perfectionis quarte orizontis, productumque productumque] corr. ex productum dividatur per sinum arcus medii orizontis qui est inter ortum tropyci et equinoctialem, atque quod exierit ducatur in sinum quadrantis, productumque dividatur per sinum arcus medii minimi diei, exibit sinus altitudinis poli.

] This figure from the previous proposition is not repeated in our manuscript. Supra posita figura denuo assumpta quantitatem arcus ZB que est altitudo poli querimus. Igitur per kata disiunctam proportio [l] sinus ET arcus ad sinum arcus AT componitur ex proportione sinus EH ad HB sinum et proportione sinus ZB ad sinum ZA. Quare si dividas dividas] ducas K primum in quartum et productum dividas per tercium, exibit quiddam quod sic se habebit ad secundum sicut quintum ad sextum. Sed tria nota, duo enim per ypothesim, tercium quia est quarta circuli, ergo quartum notum est, quod intendebamus.

Posito ergo arcum diei minimi habere horas rectas ix et dimidiam, invenies altitudinem poli esse fere xxxvi graduum.

⟨II.4⟩ Arcum orizontis qui est inter ortum tropyci et equinoctialem per altitudinem poli notam reperire. Unde patet regula: si sinum maxime declinationis ducas in semydyametrum, et productum ⟨dividas⟩ dividas] From K per sinum perfectionis altitudinis, exibit sinus arcus orizontis qui qui] est add. but then del. inter tropycum et equinoctialem deprehenditur.

⟨R⟩esumatur Resumatur] From K eadem figura. ] This figure from II.2 is not repeated here in the manuscript. Nota quantitate arcus ZB querimus arcum orizontis EH. Igitur per kata coniunctam conversis proportionibus propter arcus EB et ET ET] ZT K equales esse, constat sinum AB ad [ad] sinum AZ eandem proportionem habere quam sinus TH ad sinum EH. Sed primum notum est quia est sinus perfectionis altitudinis poli note, et secundum qui qui] quod K est semydyametrum semydyametrum] semidiameter K circuli, sed etiam tercium qui qui] quia K est sinus arcus maxime declinationis. Quare quartum notum.

Simili modo est cognoscere quemlibet arcum orizontis inter quemcumque gradum circuli declivis et equinoctialem deprehensum eo quod cuiuslibet gradus declinatio ex premissis est nota.

⟨II.5⟩ Cuilibet Cuilibet] Quilibet K duo circuli paralelli circulo equinoctiali eiusdem longitudinis a duobus tropycis sive ab ipso equinoctiali equales arcus orizontis resecant ex utraque parte equinoctialis, /89r/ et fit alternatim nox unius diei alterius equalis.

Repetita itidem eadem figura, in ipsa duos circulos HL et KM paralellos equinoctiali describimus, et notam ⟨Q⟩ Q] From K polum septemtrionis, et ab eo per notam K quartam circuli magni QKS. Quia ergo circuli KM et HL eiusdem eiusdem] corr. ex eius longitudinis sunt ad equinoctialem, eos equales esse constat et orizontem quia circulus magnus est equales arcus ab eis abscindere. Item SG equalis est arcui TA quia similes eorum equales sunt; relinquitur ergo arcus SE equalis arcui ET. Sed et arcus AT AT] HT K arcui KS propter declinationes equas esse. Sed et angulus KSE angulo HTE eo quod uterque circulus erectus est super equinoctialem. Quare basis basi equalis, scilicet arcus EK arcui EH, quod proposuimus.

⟨II.6⟩ Nota Solis altitudine proportionem umbre iacentis ad gnomonem gnomonem] corr. ex gomonem erectum vel umbre verse ad gnomonem gnomonem] corr. ex gomonem iacentem invenire; et conversum conversum] conversim K nota proportione umbre ad gnomonem gnomonem] corr. ex gomonem altitudinem Solis indagare. Regula: ⟨si⟩ si] From K sinum sinum] corr. ex si non perfectionis altitudinis ducas in partes gnomonis quantaslibet, et productum dividas per cordam cordam] sinum B altitudinis, exibunt partes quantitatis umbre similes partium gnomonis; et e converso, si radicem duorum quadratorum gnomonis et umbre cum nota sint extrahas, et per eam id quod ex ductu gnomonis in semydyametrum provenit dividas, exibit sinus quesite altitudinis.

] The figure in P has lines drawn in the wrong places and does not label all points. The second, better figure is from K 22. It is correct except that point B should not be at the end of the diameter. Si⟨t⟩ Sit] From K ergo circulus altitudinis ADG supra centrum E, et AEG linea a summitate capitis perpendiculariter demissa supra lineam GZ, que linea orizontis intelligitur. Et est est] E B quidem super terram locata, propter insensibilem tamen terre quantitatem ad celum, centrum constituitur. Et sit EG gnomo erectus et D altitudo Solis ab F quasi orizonte. Erit ergo radius Solis per summitatem gnomonis DEZ et longitudo umbre GZ. Propter similitudinem ergo triangulorum ET ad DTB DTB] TD K eadem que EG ad GZ. Cum ergo ET sinus altitudinis notus, et DT sinus perfectionis altitudinis notus, et quantitas gnomonis nota, erit quartum scilicet umbra nota. nota] This should be ‘notum,’ but all mss I have consulted have ‘nota.’ Pari ratione si EB sit gnomo iacens et BC umbra versa ponatur.

Rursum si GE et GZ sint nota, ergo EZ basis que subtendit angulo recto nota, cuius ad ED semydyametrum est proportio ut GE ad ET. Simili modo HF arcus potest ignotescere ignotescere] innotescere K per umbram GP. Si ergo H sit maxima Solis in meridie altitudo et D minima, erit DH distantia [a] duorum tropicorum et eius medietas maxima declinatio circuli declivis. /89v/

⟨II.7⟩ Sub linea equinoctiali omnes dies sunt equales noctibus et sibi invicem, et omnes stelle ortum habent et occasum, et umbre meridiane meridiane] corr. ex meridie ⟨quandoque ad meridiem⟩ quandoque…meridiem] From K quandoque ad septentrionem quandoque nusquam declinant.

Ubi Ubi] ibi K enim orizon et ipsum equinoctialem et omnes ei paralellos super quos fiunt revolutiones Solis in omni die et nocte semel dividit equaliter. Et quia orizon dividit superius emisperium ab inferiori, et latio Solis in inferiori emisperio emisperio] i. m. est nox, in superiori emisperio est dies, erunt arcus diurni equales arcubus nocturnis. Et quia Solis revolutio ex motu spere equalis est in illis, erunt dies noctibus equales. Et quia similes sunt omnes arcus diurni sibi invicem et in similibus equales transitus, erunt omnes dies sibi invicem equales et noctes similiter. Et quia orizon iste super polos primi motus transit super quos revolutio fit stellarum omnium, omnes sursum emergunt et omnes occidunt. Et quia umbra semper cedit in oppositum luminis, cum Sol est ab equinoctiali in parte meridiana, fit umbra septentrionalis et e converso. Et cum est in ipso equinoctiali quod bis contingit in anno, quia tunc super capita fertur, umbra nusquam declinat.

⟨II.8⟩ Sub omni alia linea equidistante linee equinoctiali bis tantum dies fit equalis nocti in anno; et dies estivi hibernis prolixiores, noctes vero breviores; et quanto ab equinoctio distantiores dies estivi productiores, hiberni vero correptiores; et quedam stelle apparentes semper, quedam occulte semper; et distantia cenit ab equinoctiali equalis altitudini poli.

] The figure from P has the line representing the horizon incorrectly placed, mislabels points N and P, and does not label all the other points. The second, better figure is from K 24. This diagram also contains lines needed for the next proof. Ponamus ad hoc circulum meridianum ABCD, et duos polos primi motus A D, et lineam AD loco orizontis in spera recta, et CG loco equinoctialis, HI et KL et MN loco equidistantium ei. Qui Qui] quia K vero sub omni alia linea, hoc est in spera declivi, polus unus elevatur super orizonta et alius deprimitur, sit QP loco orizontis declivis. Palam ergo quod quia magni circuli spere sunt orizon et equinoctialis per equalia se secant ut QP CD, reliqui CD reliqui] CG, reliquos K vero omnes quia per polos A D non transit orizon inequaliter secat ad puncta F H Z. Fiunt ergo arcus diurni nocturnis maiores versus polum septentrionalem D, et noctes e converso. Et cum Sol transit per equinoctialem, fit arcus diurnus equalis nocturno EG, ideoque dies equales noctibus tantum. Et quia ZM arcus maior est quam qui ex eo sumitur similis arcui HK ut ex Theodosii De speris, maior est revolutio super hunc quam super illum. Ideoque dies maior et sic deinceps, tempus HK HK] corr. ex KHK maius quam tempus FH, et hoc quam tempus EC; e contrario in diebus hibernis. Et quia quicquid est a PU PU] PY K versus polum D est super orizontem semper, erunt stelle in hac parte celi apparentes semper, et quia quicquid est a QR versus polum [est super orizontem] A sub orizonte, semper erunt stelle in hac parte celi occulte semper. Sit autem ET perpendicularis super QP; erit ergo T ce/90r/nit capitum, et est TP quarta circuli, et similiter CD quarta circuli. Subtracto communi DP poli altitudo equalis est CT distantie cenit ab equinoctiali.

⟨II.9⟩ Sub remotiori linea ab equinoctiali maior est inequalitas dierum ⟨et⟩ et] From K noctium, et maior pars celi apparens semper et maior pars celi occulta semper.

] This diagram is also used for the previous proof and is only given once in the manuscript. The diagram in P has one of the two horizons incorrectly placed, mislabels point P, and does not label points U or Z. The second, better figure is from K 24. Sussple Sussple] Quippe K quia maior est remotio, maior est poli elevatio ut si sit BO orizon. Quare arcus UM maior AM AM] arcu K ZM, et ideo dies die maior. Atque arcus ODX apparens semper qui utique maior est arcu PDY.

⟨II.10⟩ Sub omni linea cuius distantia minor ab equinoctiali maxima declinatione, umbre meridiei ad utramque partem alternatim declinant et bis in anno declinatione carent.

Nimirum quia Sol quandoque est septentrionalis a capite eorum, quandoque australis, et bis in anno Solis, quando est in gradu cuius declinatio est equalis distantie que est inter ipsam lineam et equinoctialem, declinatione caret.

⟨II.11⟩ Sub linea cuius discessus equalis est maxime declinationi, umbra semel in anno declinatione caret, et umbra meridiana numquam numquam] corr. ex nusquam declinat ad meridiem.

Tunc scilicet cum Sol est in capite Cancri, umbra in meridie flexu caret. Et quia Sol ab hoc loco numquam fit septentrionalis, umbra numquam cedit in meridiem. Ex quo etiam palam est quod sub omni linea discedente ab hac numquam umbra declinatione caret quia Sol numquam usque ad cenit capitum accedit, nec umbra cadet in meridiem quia Sol numquam fit ab ea septentrionalis.

⟨II.12⟩ Sub linea cuius discessio est ut poli zodyaci ab equinoctiali, umbra in aliquo die ad omnem partem orizontis flectitur, et fit spatium xxiiii horarum dies sine nocte et ex opposito nox sine die, et quanto discessus ab hac maior maius tempus abit sine nocte et ex opposito maius tempus sine die.

Hic enim principium Cancri numquam accidit accidit] occidit K sed fit in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ orizontis zodiacus. Et ideo cum Sol est in principio Cancri, circumgiratur, et umbra semper ex opposito, et fit tempus unius revolutionis sine occasu Solis. In maiori vero discessu ab hoc magis deprimitur orizon et abscindit arcum zodiaci numquam occidentem in quo quandiu Sol moratur, est dies sine nocte, et ex opposito abscindit arcum numquam orientem in quo quamdiu Sol existit, est nox sine die. /90v/

⟨II.13⟩ Sub polo medietas celi est apparens semper et medietas occulta semper et anni spatium dies una cum nocte sua.

Ibi enim equinoctialis semper vertitur in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ orizontis, et pars zodiaci septentrionalis fit super orizontem. Ideoque quamdiu Sol moratur in hac medietate, est dies sine nocte. Et medietas zodiaci australis est sub orizonte semper, et fit nox sine die. Et ita anni spatium dies una cum nocte sua.

⟨II.14⟩ In spera declivi quilibet duo arcus equales circuli declivis et equaliter a puncto equinoctii distantes equales habent ascensiones.

Sit ergo circulus meridianus ABGD, infra quem orizontis orientalis medietas BED sed equinoctialis AEG. Fitque HAZ HAZ] corr. ex AZ arcus circuli declivis inchoata inchoata] inchoatus K a puncto equinoctii et, si sic placet, signum Piscium, et est punctum ⟨Z⟩ Z] From K sectio communis equinoctialis et circuli declivis sinus sinus] finis K Piscium et principium Arietis. Palam ergo quod arcus HZ oritur cum arcu EZ quia H et E puncta pariter veniunt ad orizonta. Dico quod cum arcu equinoctialis equalis equalis] equali K arcui EZ oritur signum Arietis. Fit ergo propter commoditatem figure arcus TK signum Arietis, et T idem punctum equinoctii communis sectio. Palam ergo quod arcus TK TK] signum add. but then del. oritur cum arcu equinoctialis ET. Dico ergo quod arcus EZ equalis est arcui ET. Sint itaque note M et L duo poli et ab eis arcus magnorum circulorum MH, ME, MZ, LT, LE, LK. Qui Qui] Quia K ergo triangulus MHZ equilaterus est triangulo LTK tum propter quartas magnorum circulorum, tum propter equales declinationes principii Piscium et finis Arietis, tum ex ypothesi. Sunt ergo anguli HMZ et TLK equales. Sed et arcus HE equatur arcui EK ex quinta huius libri; est ergo angulus HME angulo ELK equalis. Relinquitur ergo angulus EMZ equus angulo ELT. Et latera continentia hos angulos sunt equalia, ergo arcus EZ equus est arcui ET, quod intendebatur.

Pari modo quilibet duo arcus maiores vel minores propositis inchoati a puncto equinoctii, si equales sunt, equos habent ortus. Et quia si ab equalibus equalia demantur et cetera, palam quod omnes equales et equaliter distantes a puncto equinoctii equales equales] i. m. habent ascensiones, quod proponitur.

⟨II.15⟩ Cuilibet Cuilibet] Quilibet K duo arcus circuli declivis equales et equaliter ab alterutro punctorum tropicorum distantes habent in spera obliqua ascensiones coniunctas equas eis ascensionibus quas idem idem] i.e. ‘iidem’ arcus habent in spera recta coniunctis. Ex quo et premissa propositione manifestum quod si note fuerint ascensiones unius quarte in spera obliqua, note erunt ascensiones omnium.

] The figure from P has almost all points mislabeled. In P, there is not a second figure for this proof. The second and third, better figures are from K 26. Describemus ad hoc circulum meridiei in duobus locis ABGD, infra quem orizontis medietas BED et medietas circuli equinoctialis AEG. Et sit T punctum vernale, Z punctum autumpnale. /91r/ Notandum autem quod cum orizon rectus per polos spere transeat et orizon declivuus declivuus] declivis K ipsum ad puncta equinoctialia secet, necessario cum polus septentrionalis elevetur super eum, inclinatur ab orizonte recto ad septentrionem et elevatur super eum ad austrum. Unde fit ut arcus zodiaci a vernali puncto inchoatus et citra initium Libre terminatus, quantuscumque sit, minorem moram faciat oriendo in orizonte declivi quam oriendo in orizonte recto. Simul enim hic et ibi incipit, sed hic tardius oriri desinit. E converso quilibet arcus ab auptumnali puncto inceptus et citra principium Arietis finitus maiorem moram facit ascendendo in spera declivi quam ascendendo in spera recta. Simul enim incipit hic et ibi, sed hic prius oriri desinit. Differentias Differentias] enim add. but then del. ergo ascensionum equalium arcuum hinc inde sumptorum equales esse ostendemus.

Et quia quilibet duo arcus equales ad punctum equinoctii conterminales equales habent in quacumque spera eadem ascensiones, sit TH arcus quantuslibet circuli declivis ad vernale punctum T finitus, et sit si placet signum Piscium, et ZH equalis arcus signum Libre, et KHL quarta orizontis recti a polo K australi venientis. Oritur itaque arcus HT in spera declivi cum arcu ET et in spera recta cum arcu TL; est ergo differentia arcus EL. Rursum arcus ZH oritur infra infra] in spera K declivi cum arcu ZE et in spera recta cum arcu ZL, est ergo differentia arcus LE. Dico quod hee differentie equales sunt. Nam duo arcus HL et HL et HL] i. m. (perhaps other hand) sunt equales propter eandem declinationem finis Libre et principii Piscium, et arcus ab orizonte recisi HE et HE cum sit idem equales, et angulus HLE utrobique rectus, ergo arcus EL arcui EL est equalis. Hoc enim similiter accidit in curvilineis maior maior] maiorum K orbium triangulis sicut in rectilineis cum angulus qui est ad H super polum equinoctialem non consistat et angulus qui est ad L sit rectus vel recto maior. Eodem modo constare potest potest] i. m. (perhaps other hand) de quibuslibet maioribus vel minoribus hiis arcubus sibi invicem equalibus.

Palam ergo quod si note fiunt ascensiones unius quarte, note erunt ascensiones omnium. Quia ascensiones a principio Arietis usque ad initium Cancri, si note sunt, erunt note ascensiones ab initio Capricorni usque ad principium Arietis propter ascensiones equales esse. Et note erunt ascensiones ab initio Cancri usque initium Libre sive ab ab] hoc add. but then del. initio Libre ad initium Capricorni quia cum has ascensiones notas in spera declivi quodlibet quodlibet] quotlibet K partium minimus minimus] minueris K ab ascensionibus earumdem partium in spera recta duplicatis prius notis, relinquuntur ascensiones quesite sumptarum partium. Et hoc est quod volebamus.

⟨II.16⟩ Cuiuslibet portionis circuli declivis ascensionem in spera declivi invenire. Ratio Ratio] perhaps regula as in K operationis: si sinum altitudinis poli duxeris in sinum declinationis portionis inchoate ab equinoctiali puncto, et productum dividas per sinum perfectionis declinationis, et quod exierit itidem ducas in semydiametrum, productum dividas per sinum perfectionis altitudinis, exibit sinus differentie elevationum sumpte partis in spera recta et in spera declivi.

] The author seems to have intended the reader to use the first diagram of the previous proof here. In P the complicated situation of figures for II.15-16 apparently confused the scribe. This diagram is drawn correctly, but points are mislabeled or not labeled. The better diagram given here is the first diagram of II.15 from K 26. Resumpta superiori figura arcuum arcuum] arcum K EL querimus que que] qui K est differentia elevationum in spera recta et declivi attinens arcui zodiaci TH. Vides ergo quod in hac figura duo arcus AK et AE et et‌2] a K communi termino A descendant inter quos duo alii KL et EB se invicem secant ad punctum H. Per kata ergo disiunctam cum hec quinque sint ⟨nota⟩, nota] From K KB altitudo poli primum, et BA secundum perfectio altitudinis, et KH ter/91v/cium perfectio declinationis, et HL quartum declinatio sumpte partis, et EA sextum quarta equinoctialis, erit quintum EL notum. Quod si dempseris ATL ATL] a TL B noto quia est elevatio in spera recta, relinquitur ET notum, quod est elevatio quesita arcus HT in spera declivi.

Est alia via et faciliori idem deprehendere.

⟨II.17⟩ Differentiam ascensionum in spera recta et spera declivi eiusdem portionis per arcum circuli magni a polo venientis determinare.

Ponam Ponam] The ‘p’ is supplied i. m. The reading is confirmed by K. circulum meridianum ABGD et medietatem orizontis BED sed et equinoctialem AEG et medietatem circuli signorum HEZ. Et sit E punctum vernale communis sectio trium circulorum in situ, et nota L polus. Sumam ergo portionem a puncto vernali E iam exortam quantam voluero et sit ET. Et describam quartam magni orbis LTM. Palam ergo quod portio ET oritur in spera recta cum arcu equinoctialis EM. Determinabo per quartam magni circuli cum quo arcu oritur in spera declivi. Describo ergo a puncto T arcum arcum] i. m. circuli equidistantis circulo equinoctiali donec secet arcum orizontis ad punctum K et sit TK, et super polum et punctum K quartam magni orbis LKN. Dico quod cum arcu MN oritur portio ET in spera declivi. Etenim oritur cum arcu equidistantis TK simili arcui MN, at cum eadem portione oriuntur similes equidistantium arcus in omni loco et omni tempore. Est ergo EN differentia ascensionum determinata per quartam magni circuli LKN transeuntem semper per commune punctum orizontis et et] sup. lin. equidistantis, cuius distantia ab equinoctiali est ut declinatio portionis sumpte. Unde et arcus KN equalis est arcui TM.

⟨II.18⟩ Cuiuslibet portionis elevationem in spera obliqua alia via rationis invenire. Unde manifestum erit quod si sinus differentie equalis diei ad minimum ducatur in sinum elevationis sumpte portionis in spera recta et quod exierit dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus quesite differentie.

Reponam igitur scema circuli meridiani et dimidii orizontis et dimidii equinoctialis, et poli meridiani qui sit Z. Et sit E punctum vernale, et sit ZHT determinans differentiam determinans differentiam] It says in margin to reverse these words. elevationum tocius quarte ab initio Capricorni ad finem Piscium transiens per punctum commune orizontis et equidistantis tropici H. Est ergo ET tota differentia, et palam quod idem arcus ET est differentia dimidia diei equalis ad minimum. Sit iterum quarta magni circuli ZKL determinans differentiam elevationum porcionis minoris quamcumque voluero, et sit Piscium, transiens per punctum K commune orizontis et illius equidistantis cuius distantia ab equinoctiali ut declinatio principii Piscium vel alterius portionis sumpte. Est ergo arcus EL differentia. Vides itaque arcus duorum magnorum orbium ET et TZ a communi puncto T T] sup. lin. venientium, inter quos alii duo EH et ZL se invicem secant super punctum K. Ergo per kata disiunctam proportionem ZH ad HT componunt proportio ZK ad KL et proportio EL ad ET -- de sinibus loquor. Sed eandem proportionem componunt ut per ultimam prioris libri constat proportio ZK ad KL et proportio sinus totius quarte ad sinum elevationum elevationum] elevationis M sumpte portionis scilicet Piscis in spera recta. totius…recta] elevationum sumpte partis scilicet Piscis in spera recta ad sinum totius quarte B Ergo proportio sinus TE totalis differentie ad sinum differentie EL equalis est proportioni semidyametri ad sinum ascensionis Piscium /92r/ in spera recta. Ex quatuor ergo proportionalibus tria sunt nota, primum propter arcum minimi diei notum esse, et tercium quia semydiameter est, et quartum propter ascensiones omnes in spera recta notas esse.

Collectis ergo de gradu gradu] corr. ex gradus in gradus gradus] gradum K huiusmodi differentiis usque ad completionem unius quarte, subtrahantur gradatim ab ascensionibus quarte in spera recta illius que est ab initio Arietis ad principium Cancri vel illius que est a capite Capricorni ad caput Arietis. Addantur vero ascensiones in spera recta illius quarte que est ab initio Cancri ad caput Libre vel illius que est a capite Libre ad principium Capricorni. Et sic invenientur omnes elevationes partium circuli declivis in spera obliqua, quod erat propositum.

⟨II.19⟩ Per notas notas] ergo add. but then del. ascensiones et locum Solis notum, quantitatem arcus arcus] corr. ex ergo diei et quantitatem arcus noctis et numerum equalium horarum diei vel noctis et tempora inequalium ascendensque et medium celi in omni hora reperire.

Quia enim magni circuli sunt circulus signorum et orizon, necessario semper per equalia se secant. Unde necessario ab ortu Solis ad occasum vi signa feruntur super terram, et ab occasu ad ortum vi signa signa] i. m. sub terra. Quare in spera cuius diem querimus ascensiones medietatis zodiaci late super terram illa die sunt quantitas arcus diurni, quam cum minuimus a toto circulo, remanet quantitas arcus noctis eo quod in nocte et die completur una revolutio. Cum ergo acceperimus ascensiones a loco Solis in oppositum, fit quantitas diei; et cum acceperimus ab apposito apposito] opposito K Solis ad partem Solis, fit quantitas noctis.

Et quia equalis est hora ascensio xv graduum idest equinoctialis, si quantitatem arcus diurni notam diviseris per xv vel nocturni similiter, exibit numerus equalium horarum diei vel noctis quam quesieris. Et si numerum equalium horarum diei diei‌2] i. m. dempseris de xxiiii, remanet numerus horarum noctis vel e converso quia dies cum nocte xxiiii horas equales continet propter revolutionem ccclx graduum.

Et quia quia] sup. lin. inequalis hora duodecima pars diei dicitur quantacumque dies sit, tempus vero hore ascensio gradus equalis, palam quod si arcum diei in xii diviserimus, exibunt tempora que sunt quantitas hore inequalis diei, et de horis noctis similiter. Aut si volueris, considera secundum ascensiones quid intersit inter arcum diei in spera obliqua et arcum eiusdem diei in spera recta, et dimidie dimidie] i. m. differentie sextam vel tocius duodecimam accipe. Et si locus Solis septentrionalis fuerit, ad xv adde; et si meridionalis, de xv deme. Et fient tempora hore inequalis tunc. Ex premissis patens est. Et si quantitatem hore diurne de 30 dempseris, remanebit quantitas hore‌1…quantitas] i. m. hore nocturne. Hora enim nocturna et hora diurna semper complent xxx gradus propter revolutionem ccclx graduum in die et nocte.

Quod si volueris partem ascendentem in hora data, accipe horas ab ortu Solis in die vel ab occasu Solis in nocte et in suos gradus per multiplicem multiplicem] multiplicationem K redige, et exibit arcus equinoctialis circuli qui ab ortu vel occasu Solis sursum emersit. Unde Unde] Vide K ergo quanta [pro]portio proportio] From K zodiaci a loco Solis inchoata vel vel] secundum K successionem signorum cum hoc arcu exorta sit, et pars ad quam calculando perveneris ipsa est pars oriens. Et si volueris partem medii celi, sume horas a proximo meridie ad horam datam preteritas, et eas in suos gradus redige. Et fiet arcus equinoctialis qui a proximo meridie meridianum transiit. Quere ergo ergo] i. m. in spera recta cuius portionis a loco Solis sit illa elevatio, et pars ad quam numerando perveneris est pars medii celi. Pars vero opposita orienti est occidens, et que opponitur medio celi super terram est pars medii celi sub terra.

Aut si velis per partem ascendentem scire partem medii celi sub terra, quere ascensiones in spera declivi portionis ab initio Arietis usque ad partem orientem, et habebis gradus gradus] gradum K equinoctialis circuli qui cum parte ascendente venit ad ortum. Et quia semper ab orizonte ad medium celi est quarta equinoctialis circuli, deme ab illis ascensionibus lxxxx si fieri potest. Si minus, adde super id quod inveneris /92v/ ccclx idest revolutionem unam, et ex toto subtrahe xc. Et relinquitur arcus equinoctialis qui ab initio Arietis meridianum sub terra transiit in ortu dato. Quere ergo in spera recta cuius portionis sit illa elevatio, et invenies partem mediantem celum sub terra. Et vice versa si per medium celi super terram cognitum scire velis partem orientem, ab elevationibus in spera recta aufer xc. Et quere in spera declivi cuius portionis residuum sit elevatio. Ecce ad quid utile est ascensiones circuli declivis noscere.

⟨II.20⟩ Datas horas temporales ad equales vertere et datas equales ad inequales reducere.

Datas nempe horas temporales multiplicando gradus effice, et ex gradibus dividendo in xv horas equales quotquot poteris restitue. Item datas equales in suos gradus ducito, et per tempora hore inequalis dividendo ad inequales reducito. Ratio in ianuis excubat.

⟨II.21⟩ Proportio speralis anguli supra polum alicuius circuli consistentis ad quatuor rectos est sicut arcus eiusdem circuli circuli] ad totam add. but then del. qui ei subtenditur ad totam ad totam] sup. lin. circumferentiam.

Hoc ex equesubmultiplicibus equesubmultiplicibus] This should probably read ‘equimultiplicibus’, but the mistake is found in all witnesses. primi et tercii et item secundi et quarti sicut in sexto Euclydis de angulis planis facile comprobatur.

⟨II.22⟩ Omnes anguli duo anguli duo] The ‘a’ and ‘b’ above direct the reader to read ‘duo anguli.’ ex duobus meridianis cum circulo signorum ad eandem distantiam a puncto equinoctii provenientes quorum alter extrinsecus alter intrinsecus ex eadem parte sibi oppositus sunt equales.

] The point labeled ‘O’ should be ‘E.’ Ponam ergo arcum equinoctialis circuli ABG et arcum circuli signorum DBE, et punctum B equinoctiale a quo duo arcus equales BH et HT. HT] BT K Et describam duos arcus meridianos super polum Z, qui sint ZKH et et] sup. lin. ZTL. Dico quod angulus ZHB equalis est angulo ZTE. Triangulus enim KHB equilaterus est triangulo TLB tum propter ypothesim, tum propter eandem declinationem, tum propter equales ascensiones. Ergo angulus KHB est equalis angulo LTB, qui equatur angulo ZTE quia sunt anguli contra se positi.

⟨II.23⟩ Omnes duo anguli ex duobus meridianis cum circulo signorum ad eandem distantiam a puncto tropico provenientes quorum alter extrinsecus alter vero intrinsecus ex eadem parte sibi oppositus equantur duobus rectis.

Sit iterum orbis signorum arcus supra commune commune] quem K ABG ex quo duo arcus equales a puncto tropico B DB et EB. Et sint duo arcus meridiani supra polum Z ZH ZH] ZD K et ZE. Dico quod angulus ZDB equus est angulo ZEG. ZEG] ZED K Quoniam duo latera trianguli ZDE propter eandem declinationem sunt equalia, quare anguli ad basam basam] basim K DE sunt equales, quorum unus scilicet ZED cum angulo ZEG equatur duobus rectis. /93r/

⟨II.24⟩ Angulus ex circulo meridiano cum circulo signorum aput punctum tropicum proveniens rectus esse necessario comprobatur.

Sit Sit] The ‘s’ is given i. m. The reading is confirmed from K. denuo circulus meridianus ABGD et medietas circuli signorum AEG. Et sit a P a P] punctum A K tropicum hiemale et describam super polum A secundum spatium lateris quadrati medietatem circuli BED. Quod ergo circulus meridianus ABGD est descriptus super utriusque circuli AEG BET BET] BED K polos, erit arcus ED quarta circuli. Quare angulus DAE est rectus. Et propter idem est angulus qui aput tropicum estivum rectus, et hoc est quod oppositum oppositum] propositum K est demonstrati. demonstrati] demonstrari K

⟨II.25⟩ Maxima declinatione nota angulum ex meridiano et circulo signorum aput punctum equinoctii provenientem notum esse oportet. Unde patet quod si maximam declinationem addas super quartam vel ab ea subtrahas, exibit angulus quesitus.

Sit ergo ut solet circulus meridianus ABGD et infra eum medietas circuli equinoctialis AEG et medietas circuli signorum AZG. Et sit A punctum autumpnale, et describam supra polum A secundum spatium lateris quadrati semicirculum BZED. Propter hoc ergo quod circulus ABGD est descriptus super polos orbium AEG BED, erit uterque istorum arcuum AZ ED quarta circuli. Est ergo ZE maxima declinatio et est nota; ergo totus arcus ZD notus. Quare angulus DAZ notus respectu iiii rectorum. Reliquus ergo BAZ notus, quod oportuit demonstrari. Posito ergo quod maxima declinatio sit xxxiii xxxiii] xxiii K partes et li minuta, erit angulus BAZ lxvi partium et ix minutorum sicut in Almagesti constitutum est.

⟨II.26⟩ Quantitatem cuiuslibet anguli ex meridiano cum circulo signorum aput quodlibet punctum provenientis per notam puncti declinationem invenire. Unde liquet quod si declinationis puncti cuius angulus queritur sinum ducas in sinum perfectionis sumpte portionis a puncto equinoctiali, et productum dividas per sinum ipsius portionis, et productum iterum multiplices in semidiametrum, atque quod exierit dividas per sinum perfectionis declinationis, exibit sinus differentie duorum angulorum aput punctum valentium propositum valentium propositum] The ‘a’ and ‘b’ over direct the reader to invert and read as ‘propositum valentium.’ duos rectos, quam si recto adderis adderis] addideris K vel subtraxeris, habebis utrumque.

Rationis causa, causa] sit add. B ] The point labeled ‘M’ should be ‘H.’ circulus meridianus ABGD et medietas equinoctialis AEG et medietas circuli signorum BZD. Et sit Z punctum autumpnale et /93v/ arcus BZ pro libita sit signum Virginis. Et describam super polum secundum spatium lateris quadrati semicirculum HTEK. Quero ergo quantitatem KBT. Quoniam autem circulus ABGD est descriptus super polos AEG et super polos HEK, erit quilibet istorum arcuum BH BT EH quarta circuli. Et propter hanc formam proportio BA ⟨ad⟩ ad] From K HA per kata disiunctam ex geminis ducitur proportionibus, una BZ ad ZT et alia TE ad EH -- de sinibus intelligo. Sed quinque nota sunt, BA propter declinationem principii Virginis, et AH AH] corr. ex AB propter perfectionem quarte, et BZ propter signum Virginis, et ZT quia est perfectio quarte, et EH quarta; relinquitur ergo ET notum. Quare et totus TK arcus et angulus cui subtenditur KBT notus. Igitur secundum Tholomei inventam declinationem erit angulus qui aput caput Virginis cxi partes, et qui aput caput Scorpii similiter propter equalem distantiam a puncto equinoctii, et qui aput caput Tauri vel Piscis Piscis] perhaps Piscium cum a duobus rectis illam quantitatem dempseris partes lxix ex antepremissa.

Pari modo si ponas punctum B principium Leonis lineis manentibus secundum suam habitudinem, invenies angulum in capite Leonis cii partium et xxx minutorum, et eum qui in capite Sagittarii similiter. Et cum a duobus rectis illum dempseris, occurrit angulus qui in capite Geminorum vel in capite Aquarii partes lxxvii et partis medietas. Ad hunc modum in singulis sectionibus angulos unius quarte et per eos angulos aliarum trium poteris comprehendere. Atque hec est notitia angulorum omnium in orizonte recto et signorum circulo provenientium.

⟨II.27⟩ Omnes duo anguli ex ex] uno add. K orizonte declivi cum circulo signorum ad eandem distantiam a puncto equinoctii provenientes quorum unus intrinsecus alter vero extrinsecus ex eadem parte sibi oppositus sunt equales.

⟨P⟩ropter Propter] From K hoc describo circulum meridianum ABGD et dimidium equatoris diei AEG et orizontis BED, et scribo duas portiones orbis signorum ZHT et KLM. Sitque utrumque Z K punctum autumpnale et arcus ZH equalis arcui KL. Dico quod angulus EHT equalis est angulo DLK. Latera namque trianguli EHZ sunt equalia lateribus trianguli EKL tum propter propter] i. m. ypothesim, tum propter ascensiones equales, tum propter ascensiones ascensiones‌2] ascisiones K orizontis equales. Ergo EHZ equalis est angulo ELK, quare angulus EHT residuus de duobus rectis equatur angulo DLK residuo.

⟨II.28⟩ Omnes duo anguli in uno orizonte declivi cum circulo signorum aput puncta opposita orientis et occidentis extrinsecus cum intrinseco equantur duobus rectis. Unde colligitur quod duo quoque ad eandem distantiam a puncto tropico duobus rectis sunt equales. Quapropter notis angulis orientalibus unius medietatis ab Ariete in Libram, noti erunt anguli orientales alterius medietatis et una anguli occidentales in ambabus partibus.

] Point G is mistakenly also labeled ‘M.’ Pono itaque circulum orizontis ABGD et circulum signorum AEGZ /94r/ et puncta sectionum A G. Palam quod anguli ZAD et DAE equales sunt duobus rectis, angulus vero ZDA ZDA] ZAD K equatur angulo DGZ quia arcus maxime declinationis eorum circulorum DZ secat utriusque medietatem per equalia. Quapropter angulus DGZ et angulus DAE simul valent duos rectos. Et quia anguli ad eandem distantiam a puncto equinoctii sunt equales, accidit ut anguli quoque duo eiusdem a puncto tropico distante distante] distantie K -- orientalis dico et occidentalis -- duobus rectis sunt equales. Propter hoc ergo et premissam cognitis angulis orientalibus ab Ariete in Libram et orientales et occidentales in ambabus partibus erunt noti, et hoc est quod proponitur.

⟨II.29⟩ Nota poli altitudine et tropicorum distantia angulum ex concursu orizontis declivis et signorum circuli aput utrumque punctum equinoctii notum eius eius] esse K necesse est. Unde constat quod si differentiam que est inter regionis latitudinem et maximam declinationem cum latitudo maior fuerit a quarta circuli diminuas, vel cum minor fuerit additias, additias] i.e. ‘adicias’ as in K relinquetur angulus sub capite Libre. A quo si quantitatem distantie inter duos tropicos abieceris, residuum erit angulus sub capite Arietis.

] What should be point B appears to be labeled ‘L.’ ABGD meridianus circulus infra quem orientalis medietas orizontis AED et quarta equatoris diei EZ et due quarte orbis signorum EB EG. Et sit punctum scilicet quod est quarte EB punctum autumnale, et quod est quarte EG punctum vernale, et punctum B B] i. m. tropicum hiemale sub terra, et punctum G tropicum estivum. Est ergo arcus GB tropicorum distantia notus, et eius medietas arcus BZ notus. Sitque latitudo regionis TZ maior sive KZ minor nota. Quare propter DT vel DK esse quartam circuli, erit uterque arcuum BD et GD notus. Et quia punctum E est polus meridiani, erit uterque angulus, scilicet BED qui est sub capite Libre et GED qui est sub capite Arietis, ⟨notus⟩ notus] From K quia sunt cum dictis arcubus eiusdem quantitatis.

⟨II.30⟩ Quantitatem anguli ex concidentia orizontis et zodiaci aput quodlibet punctum per notum celi medium et eius declinationem notam investigare. Ratio. Si diametrum diametrum] semidiametrum K multiplices in sinum altitudinis gradus celi medii sub terra vel super terram, et productum dividas per sinum portionis que est inter orizontem et celi medium sub terra vel super /94v/ terram prout contigerit eam portionem portionem] Mistakenly written with ‘p’ as ‘pro-.’ minorem esse quarta, exibit sinus et quesiti arcus et quesiti anguli.

] The label ‘F’ does not correspond to any point used in the proof. Point ‘B’ was initially mislabeled ‘H.’ Pingo circulum meridianum ABGD et infra eum medietatem orizontis orientalem BED et medietatem circuli signorum AEG. Et sic sic] sit K pro libito punctum E caput Tauri ad ortum venientis, et G celi medium sub terra, quod per ascensiones notas erit notum [est]. Quia est Quia] We find ‘estque’ in K, but the text here appears to be corrupt in all witnesses. necessario secundum dictam positionem portio EG minor quarta. Describam autem super polum E secundum spatium lateris quadrati portionem orbis maioris ZHT. Et complebo duas quartas EGH EDT, et erit uterque duorum arcuum ZGD ZHT quarta circuli eo quod orizon BET est descriptus supra polum ZGD meridiani et supra polum ZHT orbis magni. Vides ergo a puncto T duos arcus TE et TZ magnorum orbium descendentes inter quos alii duo se secant super punctum G. Igitur per kata coniunctam conversis proportionibus, erit proportio sinus TH ad sinum TZ sicut sinus GD ad sinum GE. Sed tria nota sunt. TZ propter esse quartam circuli. GD propter declinationem gradus medii celi et latitudinem regionis esse notam. Nam cum Z sit polus orizontis, erit distantia in arcu meridiano ZGD ab equinoctiali nota, et cum G sit celi medium, erit eius quoque distantia in eodem arcu ab equinoctiali nota. Et cum…Et] i. m. propter hoc arcus GZ notus, quare perfectio quarte scilicet GD nota, et ipsa est est] sup. lin. (perhaps other hand) altitudo partis medii celi ab orizonte. EG vero propter notam esse portionem inter orizontem et celi medium. Igitur primum notum HT cuius arcus quantitas est anguli quesiti quantitas. Eia, age ad hunc modum in ceteris sectionibus.

⟨II.31⟩ Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a polo orizontis egressi ad puncta duo puncta duo] The ‘b’ and ‘a’ over words direct the reader to invert and read as ‘duo puncta.’ circuli signorum eiusdem a puncto tropico distantie, distantie] corr. ex distante cum ipsa etiam a circulo medii diei ante et post secundum equalia tempora destiterint, sunt equales et fatiunt fatiunt] i.e. ‘faciunt’ angulos cum circulo signorum extrinsecum et intrinsecum ex eadem parte sibi oppositum equales duobus rectis.

Describam itaque orbem meridiei supra quem sint ABG et sit punctum B polus orizontis et G polus equinoctialis. Et ponam duas portiones orbis signorum ADE et AZH. Et sint puncta Z et D eiusdem longitudinis a puncto tropico et secundum equalia tempora a linea distent medii diei ABG ante et post, hoc est secundum equales arcus equidistantis equinoctiali. Et post hec protraham duos arcus orbium altitudinis a puncto ⟨B⟩ B] From B BZ et BD. Et dico quod ipsi sunt equales et quod angulus BDE cum angulo BZA equantur duobus rectis. Propter hoc etiam describo duos arcus meridianorum GZ et GD. Quia ergo angulo ZBG ZBG] ZGB K et angulo BGD equales arcus pro paralello resecti subtenduntur, ipsi anguli quoque sunt equales. Quare BG linea facta [linea] communi duobus triangulis ZGB et GDB cum duo latera duobus sint equalia, erit basis BZ basi BD BD] corr. ex AD equalis, quod est unum ex propositis. Et angulus BZG equalis angulo BDG, sed ex xxii presentis libri angulus GZA et angulus GDE equantur duobus rectis. Ergo angulus BZA cum angulo BDE pariter equantur duobus rectis.

⟨II.32⟩ Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis /95r/ a cenit capitum egressi usque ad unum punctum circuli signorum cum ipsum a linea meridiei ante et post secundum equalia tempora destiterit, sive cenit capitum a punctis celum mediantibus septentrionale fuerit sive meridianum, sunt equales et faciunt angulos duos ad idem punctum duplo maiores pariter angulo ex concidentia meridiani et circuli signorum ad idem punctum proveniente.

Esto orbis meridiei ABGD et summitas capitum punctus G primo ex parte septentrionis et D polus equatoris diei. Et sint due [pro]portiones proportiones] K attests to ‘portiones.’ orbis signorum HB et BE, BE] AE K sitque H idem punctum quod E continuans duas portiones et secundum equalia tempora distans ante et post a linea meridiei. Et sint duo arcus orbium altitudinis GH et GE. Dico quod hii arcus sunt equales, equales] sup. lin. (perhaps other hand) et cum producti fuerint arcus meridianorum DH et DE, erunt anguli GHB et GEZ duplo maiores angulo DEZ sive angulo DHB. Quia ergo puncta H et E secundum equalia tempora distant a linea medii diei, sunt anguli GDH et GDE equales. Facta ergo linea GD duobus triangulis communi erit linea GE equalis linee GE, GE‌2] GH K et erit angulus GED equus angulo GHD. Sed et angulus DHB equalis est angulo DEH; DEH] DEZ K ergo ambo pariter GED et GHB sunt equales angulo DEZ. Quapropter ambo anguli GHB et GEZ totus equantur duplo anguli DEZ, quod intendimus.

Sit item cenit G meridianus a punctis celum mediantibus A et B. Dico ergo quod similiter accidit, scilicet quod duo anguli HEZ HEZ] KEZ K et LHB equantur duplo anguli DEZ. Angulus enim DEZ equalis est angulo DHB immo idem. Sed et angulus DEK equatur equatur‌1] corr. ex equantur angulo DHL; ergo totus angulus LHB equatur duobus angulis simul DEZ et DEK. Quapropter duo anguli LHB et KEZ equales sunt anguli duplo DEZ.

⟨II.33⟩ Quod si unum punctorum celum mediantium sive orientalis portionis sive occidentalis meridianum fuerit a cenit capitum et alterum septentrionale, anguli qui proveniunt ad punctum dictum superant duplum anguli ex arcu meridiano ad idem punctum facti quantitate duorum rectorum. Ex quibus omnium omnium] omnibus K colligitur quod si noti fuerint anguli anguli] sup. lin. (perhaps other hand) antemeridiani et arcus in omni declinatione a principio Cancri usque ad principium Capricorni, noti erunt et arcus et anguli eorumdem signorum postmeridiani et una anguli reliquorum signorum /95v/ et arcus ante ⟨et⟩ et‌3] From K post meridianam lineam.

] The figure in P includes two wrong arcs. The second, better figure is from K 36. Describam formam predicte similem, et sit punctum A portionis orientalis in parte septentrionali a puncto G in linea medii celi, et B punctum portionis occidentalis in parte meridiana. Dico ergo quod duo anguli KEZ et GHB simul superant duplum superant duplum] superantur a duplo B anguli DEZ quantitate duorum rectorum. Ideo siquidem quod duo anguli KEZ et GHB simul superant superant] superantur K a duobus angulis DEZ et DHB vel a duplo unius eorum quantitate duorum angulorum DEK et DHG, sed hii duo anguli equantur duobus rectis ⟨eo quod duo anguli DEK et DEG equantur duobus rectis⟩ eo…rectis] From K et ille qui est ex DEG equatur ei qui est ex DHG.

Sit rursum A portionis orientalis in medio celi in parte meridiana a puncto G, et punctum B portionis orientalis orientalis] occidentalis K in parte septentrionali. Dico quod similiter accidit. Angulus namque DHG equatur angulo DEG. Duo vero anguli DHG et DHL equantur duobus rectis angulis; angulus autem DEZ est equalis angulo DHB. Quapropter erunt duo anguli GEZ et LHB superantes duos angulos DEG DEG] DEZ K et DHB aut duplum unius eorum quantitate duorum angulorum DEG et DHL, qui sunt equales duobus rectis, quod oportuit demonstrari.

Palam ergo quod cum noti fuerint quilibet anguli antemeridiani ad quodlibet punctum, noti erunt postmeridiani ad idem. Et ex xxx xxx] This refers to II.31 of this work. cum noti fuerint secundum quamlibet longitudinem anguli a tropico ex quacumque parte meridiei, noti erunt anguli secundum eandem longitudinem ex parte altera. Et hoc est ... Et…] The author did not finish this formulaic conclusion of a proof.

⟨II.34⟩ Quemlibet angulum ex concidentia circuli altitudinis cum circulo signorum aput punctum medians celum vel aput punctum orizontis et arcum quoque a summitate capitum ad utrumlibet notum esse oportet.

Pono circulum meridianum ABGD et infra eum medietatem orizontis BED et medietatem orbis signorum ZTH ZTH] ZEH B qualitercumque. Imaginemur itaque circulum altitudinis descriptum super A quod est summitas capitum et transeuntem per medium celi supra punctum Z. Dico quod arcus AZ est notus. Id Id] Ideo K scilicet quod arcus EZ notus est per xviiii huius, et declinatio puncti Z per xvum xvum] The ending should be feminine. This refers to what is numbered I.16 in my count. primi libri, et elongatio puncti A ab equatore diei quia est latitudo regionis. Et dico quod angulus AZE cum circulus altitudinis hic sit meridianus est etiam notus ex xxvia presentis.

Rursus ymaginemur circulum altitudinis descriptum supra punctum A et transeuntem per E quod est punctum orientis, scilicet AEG. Manifestum ergo quod arcus AE semper erit quarta circuli eo quod punctum A sit polus orizontis BED, et propter has causas erit angulus AED rectus semper. Sed et angulus DEH qui est ex orbe signorum et orbe orizontis semper notus ex xxxa presentis. Quare erit totus totus] corr. ex notus angulus AEB notis, AEB notis] AEH notus K et hoc est quod oportuit declarari.

⟨II.35⟩ Quantitatem arcus circuli altitudinis a summitate capitum ad quodlibet punctum circuli signorum invenire.

] The point at the lower right should be labeled D. This figure is used for both II.35 and 36. Conscribimus itaque orbem meridiei ABGD et infra eum medietatem orizontis BED et medietatem orbis signorum ZHT. Et sit punctum B B] H K caput Cancri sed sed] secundum B quodlibet tempus distans a linea meridiana et exempli causa sit distans secundum unam horam. Et punctum Z medians celum et punctum T orientis per xviii xviii] This should refer to II.19. notum. Faciam ergo super summitatem capi/96r/tis A et super caput Cancri H transire portionem circuli altitudinis AHET. AHET] AHEG K Scrutabor ergo quantitatem arcus AH. Est itaque sicut premisimus arcus ZT notus, et arcus HT notus cum H sit principium Cancri, et arcus AZ propter declinationem puncti Z et altitudinem poli notas notus, et arcus ZB quia est complentium complentium] complementum K quare notus. Hiis ergo cognitis vides quod proportio BZ ad BA agregatur agregatur] i.e. ‘aggregatur’ ex duabus, una scilicet que est EH ad EA quartam, et alia que est TZ ad TH -- de sinibus arcuum loquor. Cum ergo ceteri noti sunt, erit et arcus EH notus; ergo et reliquus AH notus.

Regula operationis. Si sinum arcus meridiani deprehensi inter celum medium et orizontem multiplices in sinum arcus circuli signorum deprehensi inter orizontem et punctum circuli signorum ad quod circulus altitudinis deducitur, et productum dividas per sinum arcus circuli signorum intercepta intercepta] intercepti B inter orizontem et celi medium, exibit sinus perfectionis arcus quesiti. Quam Quam] Quem M si a quarta dempseris, relinquitur arcus circuli altitudinis a summitate capitum ad punctum circuli signorum destinatum.

⟨II.36⟩ Quantitatem anguli ex concidentia ex concidentia] corr. ex excidentia circuli altitudinis cum circulo signorum ad quodlibet punctum a celi medio declinans perscrutari.

] The point at the lower right should be labeled D. This figure is used for both II.35 and 36. Resumamus positam figuram secundum habitudinem suam, et describamus super polum puncti H secundum spatium lateris quadrati portionem magni circuli KLM. Quia ergo orbis ABE ABE] AHE K est descriptus supra duos polos ETM et KLM, erit uterque duorum arcuum EM KM quarta circuli. Propter hanc ergo formam per kata disiunctam proportio sinus EH ad sinum EK componitur ex proportione sinus HT ad sinum LT et proportione sinus LM ad sinum MK. Sed quinque horum nota sunt. Relinquitur ergo LM notum; ergo et KL notum residuum quarte; quarte] corr. ex quare ergo angulus LHK cui subtenditur notus. Quapropter et angulus AHT complementum duorum rectorum notus, quod volumus ostendere.

Opus. Longitudinem puncti destinati ab ⟨ascendente vel ab⟩ ascendente…ab‌2] From B occidente de xc minue. Et sinum residui in sinum altitudinis puncti destinati ducito, quodque exierit per sinum longitudinis puncti destinati ab ascendente divide. divide] sup. lin. (perhaps other hand) Et quod fuerit in dyametri dimidium multiplica, indeque collectum per sinum longitudinis puncti destinati a cenit capitum partire. Et quod exierit arcuabis, et arcum de xc minues, et residuum de clxxx. Et erit quantitas quesiti anguli. anguli] corr. ex circuli Ad hunc modum in ceteris punctis et arcus et angulos invenies. Atque hec est notitia omnium angulorum ex circulo altitudinis et orbe signorum quorum scientia necessaria est ad sciendum diversitatem aspectus Lune sine cuius notitia solares eclipses sciri est impossibile.