والأضلاع الموتّرة لها تتناسب تناسب جيوبها أعني في مثلّث ا ب ج مثال نسبة ا ب إلى ا ج كنسبة جيب زاوية ج إلى جيب زاوية ب برهانه نخرج الأضلاع المحيطة بزاويتي ج ب ونجعل ج د ج ه ب ح ب ط متساوية وندير على مركزي ج ب بهذه الأبعاد قوسي د ه ح ط ونخرج عمودي ه ز ط ك على د ح فيهما جيبا زاويتي ج ب ونخرج عمود ا ل على ب ج فليشابه مثلّثي ا ل ج ه ز ج نسبة ه ز إلى ا ل كنسبة ه ح إلى ا ج وليشابه مثلّثي ا ل ب ط ك ب نسبة ا ل إلى ط ك كنسبة ا ب إلى ط ب أعني ه ج فبالمساواة المضطرّيّة نسبة ه ز إلى ط ك الجيبين كنسبة ا ب إلى ا ج الضلعين وإذا يتبيّن ذلك فالمعلوم في المثلّث القائم الزاوية إن كان ضلعين أو ضلعا وزاوية غير القائمة كان باقي الأضلاع والزوايا معلومة لأنّ القائمة معلومة والباقية هي تمام المعلومة من الربع والأضلاع على نسب جيوب الزوايا إمّا إن كان زاوية فقط كانت الزوايا ونسب الأضلاع معلومة دون مقاديرها وإن كان ضلعًا فقط لم نعد شيئًا وفي غير القائم الزاوية إن كان المعلوم جميع الأضلاع أو ضلعين وزاوية كانت الباقية معلومة بإخراج عمود يجعل المثلّث مثلّثين قائمي زاويتين وإن كان ضلعين وزاويتين كانت الباقية معلومة من غير إخراج العمود لأنّ الزاوية الباقية هي تمام المعلومتين إلى نصف الدور والأضلاع على نسبها وإن كان جميع الزوايا فلا يعلم بها إلّا نسب الأضلاع وإن كان أقلّ من ذلك فلا يفيد شيئًا ونعود إلى الكتاب
ونعيد الشكل العاشر ونصل نصف قطر ا د ونخرج عمود د ز إلى ا ج ونقول †لمّا† كانت †قوس† ا ج معلومة كان ا ز †جيب نصفها ود ز† جيب تمام نصفها وزاوية ز د ا معلومة فمثلّث ا د ز القائم الزاوية معلوم بأيسره ولمّا كان ا ج معلومًا †ونسبة† ا ه إلى ه ج معلومة كان كلّ واحد من ا ه ه ج بالانفراد معلومًا فإذًا مثلّث †ه† د ز من ضلعي ه ز ز د المعلومين معلوم بأيسره فزاوية ا د ب وهي مقدار قوس ا ب معلومة وقوس ب ج الباقية أيضًا معلومة
وأيضًا فأن كانت إحدى القوسين اللتين محيط بهما النقط الثلاث منطبقة على الأخرى كقوسي ا ب ا ج في هذه الصورة أخرجنا د ا ج ب حتّى تتلاقيا على ه في إحدى الجهتين ونخرج عمودي ب ز ج ح على القطر فيكون لتشابه مثلّثي ه ز ب ع ح ج نسبة ب ز جيب ا ب إلى ج ح جيب ا م كنسبة ب ه إلى ه ج وأيضًا فإذا كانت قوس ج ب ونسبة جيب ا ج إلى ا ب معلومتين فقوس ا ب معلومة ولنصل د ب ]د ب[ ونخرج عمودي ونقول لمّا كانت زاوية ز د ب وضلعا ب ز ز د معلومة من قوس ب ج فمثلّث ب د ز معلوم بأيسره ولأنّ نسبة ج ه إلى ه ب معلومة وج ب معلوم فه ب معلوم وجميع ز ه معلوم وز د معلوم فمثلّث ز د ه معلوم وزاوية ز د ه معلومة فزاوية ب د ا أعني قوس ا ب معلومة وكذلك