وذلك ما أردناه وبهذا الوجه يمكن أن يعرف وتر قوس إثني عشر جزءًا التي هي الفضل بين وترى الخمس والسدس وغيره من الأوتار
في معرفة وتر نصف قوس معلوم الوتر
ليكن نصف دائرة ابج على قطر ا ج ووتر ب ج معلوم وقد قسم قوسه على د بنصفين فنقول إّنّ وتر ج د أيضًا معلوم فنصل خطوط ا ب ا د ب د د ج وخرج عمود د ز على ا ج فيكون ج ز نصف فضل ا ج القطر على ا ب وتر تمام القوس المعلومة الوتر ونجعل ا ه مثل ا ب ووصلنا د ه يكون ضلعا ه ا ا د كضلعي ب ا ا د وزاويتا ه ا د ب ا د متساويتين فيكون ه د مساويًّا لب د أعني د ج ولكنّ د ج د ه المتساويان يقويان على د ز المشترك وج د ز ه فهما متساويان ومجموعهما هو فضل ا ج على ا ب وفي مثلّث ا د ج القائم الزاوية قد خرج عمود د ز من القائمة على وترها فنسبة ا ج إلى ج د كنسبة ج د إلى ج ز وسطح ا ج القطر في ج ز المعلوم تساوي مربّع د ج فهو معلوم وذلك ما أردناه وبهذا الوجه يمكن أن يعرف من وتر أعني عشر وتر ستّة ثمّ وتر ثلاثة ثمّ وتر واحد ونصف وهو †...† ثمّ وتر نصف وربع وهو †...† وغير ذلك من الأوتار
في معرفة وتر مجموع قوسين معلومتي الوترين
ليكن must be corrected to لتكن. دائرة ا ب ج د على قطر ا د ومركز ز والقوسان المعلومتا الوترين قوسي ا ب ب ج ونصل ا ج ونقول إنّه أيضًا معلوم فخرج قطر ب ز ه ونصل خطوط ا د add mg ب د ج د ج ه د ه فيكون د ه مساويًّا لاب إذ كلّ واحد منهما وتر لتمام قوس ب د فيكون في ذي أربعة أضلاع ب ج د ه قطرا ب د ج ه add mg وهما وترا تمامي القوسين معلومين وضلعا ب ج د ه وهما الوتران المعلومان بعينهما أيضًا معلومين فإذا ألقينا مضروب أحد الضلعين في الآخر من مضروب أحد القطرين في الآخر وقسمنا الباقي على ب ه القطر خرج ج د وتر تمام قوس ا ج ويصير منه وتر ا ج معلومًا وفي وفي N نسخة ثابت لخرج قطر ب د فقط ونصل ا د ج د قسّم ذو أربعة أضلاع ا ب ج د ويصير ا ج بمثل ما مرّ معلومًا وهكذا يكون الشكل وذلك ما أردناه
وبهذا وبهذا N الوجه يمكن أن نعرف أوتار القسيّ التي تحدث من ضعف قوس جزء ونصف وأضعافه إلى نصف الدور وهي بالجملة كلّ قوس يكون لضعفها ثلاث ويبقي بين كلّ قوسين منها من القسيّ المتفاضلة بنصف جزء نصف جزء قوسان مجهولتا الوتر يتوقّف العلم بأوتارها على العلم بوتر نصف جزء بل لو كان هذا الوتر معلومًا أو لا لكان جميع الأوتار المذكورة أيضًا معلومة لكن ليس إلى تحصيله سبيل إذ ليس إلى معرفة وتر ثلاث القوس المعلومة الوتر من جهة الخطوط طريق بوجه فلمّا كان الأمر كذلك احتلنا في وجود وتر جزء واحد بتقريب دقيق لا يخالف المقادير المحتلّة المحصلة P فإنّ به يتمّ المقصود وذلك على ما نصف
مقدّمة نافعة فيما نقصده
وهي أنّ نسبة وتر الأطول إلى الأقصر أصغر من نسبة قوسيهما فليكن في دائرة ا ب ج د وتر ب ج أطول من وتر ب ا ونقول نسبة 32ب ج إلى -30 add mg ب ا أصغر من نسبة قوسيهما فلتتصّف زاوية ا ب ج بخطّ ب د ونصل د ج ا د ا ج فيكون ج د ا د متساويين لتساويّ زاويتي ج ب د ا ب د ويكون ج ه أطول من ه ا لأنّهما على نسبة ج ب ب ا ونخرج عمود د ز