Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨XII⟩

Hec sunt que in xii^o mathematicorum Ptolomei continentur.

1. Primum de his que in precessiones presumuntur

2. Secundum demonstratio precessionum Saturni

3. Tercium demonstratio precessionum Iovis

4. Quartum demonstratio precessionum Martis

5. Quintum demonstratio precessionum Veneris

6. Sextum demonstratio precessionum Mercurii

7. Septimum negotium canonis in stationes

8. Octavum expositio canonis stationum

9. Nonum Nonum] Bonum V₃ demonstratio maximarum ad Solem distantiarum Veneris et Mercurii

⟨XII.1⟩ De his que in precessiones presumuntur

His demonstratis, consequens utique erit et secundum unamquamque quinque erraticarum factas precessiones et minimas et maximas considerare et demonstrare et istarum quantitates ab expositis ypothesibus consonas ut est maxime factas eis que ex observationibus deprehense sunt. In huiusmodi ergo perceptionem predemonstrant quidem et alii mathematici et Apollonius Pergeus, ut in una que penes Solem anomalia, quoniam sive per eam que secundum epicicli ypothesim fiat, epiciclo quidem circa omocentrici zodiaco circulum eum qui secundum longitudinem progressum in consequentia anomaliam faciente, stella vero in epiciclo circa centrum ipsius eum qui anomalie, ut in consequentia eius que apoguii periferie, et protrahatur quedam a visu nostro recta secans epiciclum ita, quare deprehense ipsius in epiciclo portionis medietatem ad eam que a visu nostro usque eam que secundum periguium epicicli sectionem proportionem habere quam velocitas epicicli ad velocitatem stelle, factum punctum sub ita protracta recta ad periguiam periferiam epicicli determinat et relictiones et precessiones, quare secundum ipsum factam stellam fantasiam facere stationis; sive per eam que secundum excentrotica ypothesim ea enim que penes Solem anomalia contingat, ea que huiusmodi in solis omnem distantiam a Sole facientibus iiibus stellis procedere valenti, centro quidem excentrici circa zodiaci centrum in consequentia animalium equali celeritate Soli lato, stella vero in excentrico circa centrum ipsius in precedentia animalium equali ei que anomalie progressioni, et protrahatur quedam recta in excentricco circulo per centrum zodiaci, hoc est per visum, ita se habens, quare dimidiam ipsius totius ad minorem sub visu factarum portionum proportionem proportionem] add. habere F₁ quam velocitas excentrici ad velocitatem stelle secundum illud punctum facta stella, secundum quod secat recta periguion excentrici periferiam, stationum fantasiam faciet. Et iam nos vero nichil minus ex incursu commodius ostendemus propositum, communi et mixta demonstratione utentes secundum ambas ypotheses ad ostensionem eius que et in istis ipsarum que … ipsarum] iter. V₃ proportionibus consonantie et simillitudinis.

Esto enim epiciclus ABGD circa centrum E et diametros ipsius AEG educta in Z centrum eius qui per media animalia circuli, hoc est visum nostrum, et assumptis in utraque G periguii periferiis equalibus GI et GT, protrahantur a puncto Z per I et T puncta recte ZIB et ZTD, et copulentur recte DI et BT secantes seinvicem secundum K punctum, quod manifestum quoniam in AG diametro cadet; dicimus primum quoniam ut recta AZ ad rectam ZG, ita recta AK ad KG. Copulentur enim recte AD et DG, et per punctum G equidistans trahatur ei que est AD ea que est LGM recta facta manifestum quoniam ad rectam DG, quoniam et ADG angulus rectus est. Quoniam ergo equalis est GDI angulus angulo GTD, equalis est et GL recta ei que est GM, et AD ergo ad utramque ipsarum eamdem habet proportionem. Verum sicut quidem recta AD ad GM, ita recta AZ ad ZG, ut autem recta AD ad LG, ita recta AK ad KG. Si ergo ABGD epiciclum ut in ea qui secundum excentrotica ypothesi ipsum intelligemus excentricum, K punctum centrum erit zodiaci et dividetur sub ipso AG diametros in eamdem proportionem eius secundum epiciclum ypotheseos, quoniam quidem ostendimus quoniam, quam proportionem habet in epiciclo AZ maximum apostima ad ZG minimum apostima, eam habet et in excentrico proportione AK maximum apostima ad KG minimum apostima. Dicemus vero, et quam habet proportionem DZ recta ad ZT, eam habet proportionem et BK recta ad KT. Copulentur enim in similli descriptione linea BND recta facta manifestum quoniam ad AG diametrum, et a puncto T trahatur ipsi equidistans recta TX. Quoniam ergo equalis est recta BN ei que est ND, utraque ergo ipsarum ad XT eamdem habet proportionem. Sed sicut recta quidem ND ad XT, ita recta DZ ad ZT, ut autem BN ad XT, ita recta BK ad KT, et sicut ergo DZ ad ZT, ita BK ad KT. Et compponenti ergo sicut DZ, ZT ad ZT, ita BT ad TK; et dividenti cathetis tractis EO et EP, sicut OZ ad ZT, ita PT ad KT, et adhuc dividenti sicut OZ ad ZT, ita PK ad KT. Si ergo in ea que secundum epiciclum ypothesi recta DZ ita fuerit divisa, quare rectam OT ad ZT proportionem habere, quam velocitas epicicli ad velocitatem stelle eamdem habebit proportionem, et in ea que secundum excentrotica ypothesi PK recta ad KT. Causa autem huius non et hic ad stationes divisa ista proportione utendi, hoc est ea que est recte PK ad KT, sed indivisa, hoc est ea que est recte PT ad KT, epicicli quidem velocitatem ad eam que stelle proportionem habere quam ea que secundum longitudinem solum progressio ad eam que anomalie, excentrici vero velocitatem ad velocitatem stelle proportionem habere quam Solis media progressio, hoc est et que secundum longitudinem, et que anomalie stelle coniunta coniunta] coniuncta F₁ ad ea que anomalie, quare verbi causa in Martis stella velocitatis quidem epicicli ad velocitatem stelle proportionem esse eam que xlii ad proximum ad xxxvii. Eius enim que secundum longitudinem progressionis proportio ad eam que anomalie tanta ad proximum demonstrata est, et propter hoc istam habere proportionem et rectam OT ad TZ. Eam vero que velocitatis excentrici ad velocitatem stelle eam que controrumque controrumque] coutrarumque F₁ lxxix ad xxxvii, hoc est coniunctum eam que recta PT ad TK, quoniam quidem que secundum divisionem eius que est recte PK ad KT proportio eadem erat ei que recte OT ad TZ, hoc est ei que est xlii ad xxxvii.

Et ista quidem nobis sint usque tantum preexposita. Relicto vero ostendere quoniam, in huiusmodi proportionem divisis rectis sumptis, in utraque ypothesium I et T puncta continebunt stationum fantasias, et IGT quidem periferiam precessivam necesse est fieri, reliquam vero relictivam, presumit limatium Apollonius tale: quoniam, si, trigono ABG maius habente latus BG quam AG, assumatur GD non minor quam AG, recta GD ad BD maiorem proportionem habebit quam ABG angulus ad BGA. Demonstrat autem sic. Compleatur enim, inquit, ADGE parallilogramum et educte BA et GE concidant secundum Z punctum; quoniam AE quam AG non est minor, ergo centro A spatioque AE descriptus circulus vel per punctum G veniet vel super G. Scribatur ergo per punctum G circulus IEG, et quoniam maior quidem est AEZ trigonus AEI sectione, minor vero AEG trigonus AEG sectione, maiorem proportionem habet AEZ trigonus ad AEG trigonum quam AEI sector ad AEG sectorem. Sed sicut quidem AEI sector ad AEG sectorem, ita EAZ angulus ad EAG angulum, sicut autem AEZ trigonus ad trigonum AEG, ita ZE basis ad EG. Maiorem ergo proportionem habet recta ZE ad EG quam ZAE angulus ad EAG. Sed sicut quidem recta ZE ad EG, ita recta GD ad DB. Equalis vero ZAE quidem angulus angulo ABG, angulus vero EAG angulo BGA. Et recta ergo GD ad DB maiorem proportionem habet quam ABG angulus ad angulum AGB. Manifestum vero quoniam et multo maior proportio erit, non equali subiacente recta AG ei que est GD, hoc est recte AE, sed maiore.

Hoc presumpto, esto epiciclus ABGD circa centrum E et diametrum AEG que educatur in Z punctum visus nostri ita, quare rectam EG ad GZ maiorem proportionem habere quam velocitatem epicicli ad velocitatem stelle. Possibile ergo pertrahi ZIB rectam ita se habente, quare medietatem eius que est BI ad IZ proportione habere quam velotitas epicicli ad velocitatem stelle. Et si per premonstrata assumamus equalem ei que est AB periferia eam que est AD, et copulemus rectam DTI, T quidem punctum in ea que secundum excentrotica ypothesi visus noster intelligetur, dimidia vero eius que est DI ad TI proportionem habebit quam velocitas excentrici ad velocitatem stelle. Dicimus ergo quoniam secundum I punctum facta stella in utraque ypothesium fantasiam stationis faciet, et quantam utique assumemus in utraque I puncti periferiam, eam quidem ab ab apoguion assumpta fiunt relictivam inveniemus, eam vero que ad periguion precessivam. Assumatur enim ad apoguion primum quacumque KI periferia, et protrahantur ZKL et KTM, et copulentur BK et DK et adhuc EK et EI. Quoniam ergo trigoni BKZ maius est latus BI quam BK, maiorem proportionem habet BI ad IZ quam IZK angulus ad IBK angulum. Quare et dimidia eius que est BI ad IZ maiorem proportionem habet quam IZK angulus ad duplum eius qui est KBI, hoc est KEI angulum. Proportio vero dimidii eius que est BI ad IZ que velocitas epicicli ad velocitatem stelle, minorem ergo proportionem habet IZK angulus ad KZI quam velocitas epicicli ad velocitatem stelle. Eamdem ergo proportionem habens angulus ad KEI angulum velocitati epicicli ad velocitatem stelle maior est angulus ad IZK.

Esto ergo angulus IZN. Quoniam ergo in quanto tempore KI epicicli periferiam stella movetur, in tanto centrum epicicli in contraria progressum est equalem ei que ab ZI in ZN diastasi progressionem, manifestum quoniam in equali tempore minorem angulum ad visum nostrum KI epicicli periferia in precedentia transtulit stellam eum, scilicet qui sub IZK angulum, quo ipse epiciclus transtulit ipsam in consequentia, hoc est IZN angulo, quare relinqui stellam KZN angulum.

Similiter et si in excentrico circulo cogitemus, quoniam recta BI ad IZ maiorem proportionem habet quam IZK angulus ad IBK angulum, et componenti ergo BZ ad ZI maiorem proportionem habet quam BKL angulus ad IBK. Sed sicut quidem BZ ad ZI, ita DT ad TI, equalis vero est BKL quidem angulus angulo DKM, angulus autem IBK angulo IDK. Maiorem vero proportionem habet et DT ad TI quam DKM angulus ad IDK. Quare et componenti maiorem proportionem habet DI ad IT quam ITK angulus ad IDK, et dividenti ergo maiorem proportionem habet eius que est DI medietatis ad IT quam ITK angulus ad duplum anguli IDK, hoc est IEK. Proportio vero medietatis recte DI ad TI que celeritatis excentrici ad celeritatem stelle. Minorem ergo proportionem habet ITK angulus ad IEK quam celeritas excentrici ad celeritatem stelle. Eandem ergo proportionem habens angulus ad IEK celeritati excentrici ad celeritatem stelle maior est ITK angulo. Esto ergo rursum angulus ITN. Quoniam ergo in equali tempore stella ipsa quidem KI periferiam mota transiit in precedentia KEI angulum, sub ipsius autem excentrici motu in consequentia transit ITN angulum maiorem existentem angulo KIT, manifestum quoniam et ita stella KTN relicta apparebit.

Intellectu vero facile quoniam per eadem ostendetur et quod contrarium, si in eadem descriptione eius quidem que est LK medietatem ad KZ supposuerimus proportionem habere quam habet velocitas epicicli ad velocitatem stelle, quare et medietatem eius que est MK ad KT proportionem habere quam habet celeritas excentrici ad celeritatem stelle. KI vero periferia ut ad periguion LZ recte intelligemus comprehensam. Copulata enim recta LI et faciente trigonum LZI, in quo maior comprehensa est ZK quam ZI minorem proportionem habebit LK ad KZ quam IZK angulus ad ILK. Quare et dimidia eius que est LK ad KZ minorem proportionem quam IZK angulus ad duplam ILK anguli, hoc est KEI angulum, e contrario erit quemadmodum in precedentibus ostensus est. Et colligetur per eadem quoniam contrarium KEI angulus minorem habet proportionem ad IZK quidem angulum quam celeritas stelle ad celeritatem epicicli, at vero ad ITK quam celeritas stelle ad celeritatem excentrici, quare, eamdem proportionem habente maiore facte KEI angulo, maiorem et precessivam transitionem relictiva compleri. Manifestum vero quoniam et in quibus apostimatibus non maiorem proportionem habet EG ad GZ ea quam habet celeritas epicicli ad celeritatem stelle, neque possibille erit producere aliam rectam in equali proportione, neque stans aut precedens apparebit stella. Quoniam enim in trigono EKZ comprehensa est EG recta non minor ea que est EK, minorem proportionem habebit GZK angulus ad GEK quam EG recta ad GZ. Proportio vero eius que est EG ad GZ non maior ea que celeritatis epicicli ad celeritatem stelle. Minorem vero proportionem habebit et GZK angulus ad GEK quam celeritas epicicli ad celeritatem stelle. Quare, quoniam demonstratum est nobis ubi utique hoc contingit, relicta stella, nullam inveniemus epicicli et excentrici periferia secundum quam precedens appareat.

⟨XII.2⟩ Demonstratio precessionum Saturni

His ista se habentibus, exponemus reliquam precessionum supputionem supputionem] supputacionem F₁ secundum unamquamque stellarum consequenter demonstratis ypothesibus, a Saturno facientes principium modo tali. Esto enim circulus centrum ferens epicicli AB circa diametrum AGB. In qua subiaceat centrum zodiaci, hoc est visus noster, secundum G, et circa A centrum scripto DZI DZI] DEZI F₁ epiciclo, protrahatur GZE recta ita, quare, catheto AT in ipsam tractam tractam] tracta F₁, dimidia dimidia] dimidiam F₁ eius que est EZ, hoc est TZ, ad ZG proportionem habere quam celeritas epicicli ad celeritatem stelle. Subiaceat autem primum epiciclus secundum medium apostima positionem habens, quare periodicos motus et longitudinis et anomalie eosdem ad proximum fieri ad centrum zodyaci considerati. considerati] consideratis F₁ Quoniam ergo in Saturni stella, qualium est recta GA medii apostimatis lx, talium demonstravimus AD que ex centro epicicli vi dimidii, quare DE DE] DG F₁ quidem totam fieri lxvi xxx, reliquam vero GI eorumdem liii xxx, sub ipsis vero contentum orthogonium iiidlvii xlv, equale vero est quod sub DG et GI contentum orthogonium sub EG, GZ contento, habebimus et quod sub EG, GZ eorumdem iiidlvii xlv. Rursum quoniam mediis progressionibus consequenter, qualis est unius celeritas epicicli, hoc est TZ recta, talium est xxviii xxv xlvi ad proximum celeritas stelle, hoc est ZG recta, quare et EG quidem totam colligi xxx xxv xlvi, sub EG vero et GZ contentum orthogonium eorumdem dccclxv v xxxii. Si comparavimus nos eorum que sunt dccclxv v xxxii ea que sunt iiidlvii xlv et ex paraboli factorum iiii vi xlv, latus sumentes ii i xl multiplicaverimus seorsum et in eius que est TZ unius numerum et in eum qui xxviii xxv xlvi eius que est ZG, habebimus et TZ quidem talium ii i xl, qualium est quod sub EG GZ orthogonium iiidlvii xlv, eam vero que est ZG eorumdem lvii xxxviii lv. Quoniam ergo, copulata AZ, qualium quidem est vi xxx recta AZ, talium est ZT recta ii i xl, qualium vero cxx, talium xxxvii xxvi ix, erit utique et que quidem TZ periferia talium xxxvi xxv xv, qualium est qui circa ATZ orthogonium circulus ccclx, angulus autem ZAT, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium xxxvi xxi xv, qualium vero iiii recti ccclx, talium xviii x xxxviii ad proximum.

Rursum quoniam, qualium est lx GIA ypothenusa, talium colligitur et GZT tota lix xl xxxv, qualium vero cxx, talium cxix xxi xv, erit utique et que quidem super GT periferia talium clxviii v xxxix, qualium qui circa AGT orthogonium circulus ccclx, angulus autem GAT, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium clxviii v xxxix, qualium vero iiii recti ccclx, talium lxxxiiii ii l ad proximum. Propter hoc autem et AGT angulum habebimus reliquorum in unum rectum v lvii x, at vero ZAI eorum que sunt post ZAT angulum lxv lii xii. Quoniam ergo secundum primam quidem stationem in GZ apparet stella, at vero secundum acronicton in GI, manifestum quoniam, si quidem nichil movebatur in consequentia centrum epicicli, illi qui ZI periferie ipsius gradus lxv lii xii optinebant periguiseos eos qui AGZ anguli gradus v lvii x. Quoniam vero secundum expositam proportionem velocitatis epicicli ad velocitatem stelle pertinent preiacentibus anomalie portionibus lxv lii xii, longitudinis vero ii xix ad proximum, eam quidem que ab altera stationum in acronicton precessionem habebimus reliquorum graduum iii xxxviii x et dierum lxix, in quantis ad proximum ii xix gradibus periodice longitudinis stella movetur, totam vero precessionem graduum vii xvi xx et dierum cxxxviii.

Deinceps vero eas que secundum maximum apostima quantitates investigabimus per eadem, hoc est quando media quidem stationum acronictos secundum ipsum apoguiotaton excentrici punctum centrum facit epicicli, stationum autem utrumque manifestum quoniam circa eam que prope ad mediam proportionem demonstratos gradus ii xix ab acronicto, hoc est ab apoguio discrete longitudinis distantiam, secundum quam portionem AG quidem recta eius que tunc distantie differens ab ea que maxime per preexposita nobis theoremata deprehenditur, uni vero gradui longitudinis pertinens prostaferesis sexagesimorum vi xxx ad proximum. Quare discreta longitudo ad discretam animaliam, hoc est apparens tunc velocitas epicicli ad apparentem velocitatem stelle, proportionem habet quam o liii xxx ad xxviii xxxii xi.

Quoniam ergo, eadem descriptione exposita, qualium est DA que ex centro epicicli vi xxx, talium est GA indifferens a maximo apostimate lxiii xxv. Propter hoc autem et DG quidem tota colligitur lxix lv, GI vero reliqua lvi lv, quod autem sub ipsis, hoc est sub EG et GZ contentum orthogonium iiidcccclxxix xxv xxv. Est autem et qualium ZT quidem subiacet velocitatis epicicli o liii xxx, talium GZ celeritatis stelle xxviii xxxii xvi, EG vero recta tota xxx xix xvi, quod autem sub EG GZ talium dccclxv xvii l. Comparantes vero rursum iiidcccclxxix xxv xxv penes dccclxv xvii v et ex comparatione factorum iiii xxxv lvi iii, latus ii viii xl multiplicantes seorsum et in TZ recte o liii xxx et in ZG similiter recte xxviii xxxii xvi, TZ quidem habebimus talium i liiii xli, qualium AZ quidem est vi xxx, AG vero similiter lxiii xxv, GZ autem eorumdem lxi xi lii, GT vero totam lxiii vi xxxvi. Et qualium quidem est ergo AZ ypothenusa cxx, talium TZ erit xxxv xviii ix, qualium vero GA ypothenusa cxx, talium GT recta cxix xxv xi. Propter hoc autem et que quidem super TZ periferia talium erit xxxiiii xiii iiii, qualium qui circa AZT orthogonium circulus ccclx. Que vero super GT talium clxviii xliii xxxviii, qualium qui circa AGT orthogonium circulus ccclx, et qualium quidem ergo sunt ii recti ccclx, talium et ZAT quidem angulus erit xxxiiii xiii iiii, GAT vero similiter clxviii xliii xxxviii, qualium vero iiii recti ccclx, talium ZAG ZAG] ZAT F₁ quidem angulus xvii vi xxxii, GAT vero similiter lxxxiiii xxi xlix. Quare et reliquum quidem AGT angulum eius quod ab altera stationum in acronicton, si nullo epiciclus relinquebatur precessionis, portionum habebimus v xxxviii xi, reliquum vero et ZAI angulum secundum eandem distantiam apparentis in epiciclo progressionis portionum lxvii xv xvii, quibus quoniam quidem secundum eas que in apoguio velocitatum proportiones pertinent discrete longitudinis gradus ii vi via, medietatem quidem totius precessionis habebimus reliquorum iii xxxxii v graduum et dierum lxx iii, in quantis stella ad proximum movetur pertinentes preiacentibus discrete longitudinis gradibus ii vi via periodicos gradus ii xxi xxv, totam vero precessionem graduum vii iiii x et dierum cxliii.

Rursum et eas que circiter minimum apostima quantitates considerabimus per simillia in eadem descriptione, quando media quidem stationum acronictos secundum ipsum periguiotaton excentrici fit, stationum vero utraque circa expositam ab acronicto, hoc est a periguio, secundum longitudinem distantiam, secundum quam positionem AG quidem recta eius quod tunc apostimatis indifferens similiter ab ea que minimi deprehenditur, uni vero gradui longitudinis pertinens prostaferesis sexagesimorum vii xx ad proximum, quare et hic apparens velocitas epicicli ad apparentem stelle velocitatem proportionem habere quam i vii xx ad xxviii xviii xxvi. Et propter hoc, qualium est IZ recta i vii xx, talium GZ quidem fieri xxviii xviii xxvi, EZ EZ] EG F₁ vero totam talium xxxiii vi. Sub EG vero et GZ contentum orthogonium dccclxiii dccclxiii] dccclxiiii F₁ xlix lviii. Quoniam ergo et qualium est DA que ex centro epicicli vi xxx, talium est recta AG indifferens minimi apostimatis lvi xxxv. Propter hoc autem et DG quidem tota eorumdem lxiii v, GI vero reliqua l et sexagesimorum v. Sub ipsis vero, hoc est sub EG GZ contentum orthogonium iiiclix xxv xxv. Si similiter comparaverimus iiiclix xxv xxv penes dccclxiiii xlix lviii et ex comparatione factorum iii xxxix xii latus sumentes i liiii xlix multiplicaverimus seorsum et in ea que est TZ recte i vii xx et in ea que ZG recte similiter xxviii xviii xxvi, TZ quidem habebimus talium ii viii xliii, qualium AZ quidem que ex centro epicicli est vi xxx, AG vero eius que tunc apostimatis lvi xxxv, GZ autem eorumdem liiii vi xxii, atque GT totam similiter lvi xv v. Itaque et qualium quidem est AZ ypothenusa cxx, talium TZ recta erit xxxix xxxvi xviii, qualium vero et GA ypothenusa cxx GT similiter cxix xvii xlvi. Propter hoc autem et que quidem super ZT periferia talium xxxviii xxxii xxxiiii, qualium qui circa AZT orthogonium circulus ccclx, que vero super GT talium clxvii xxxiiii liiii, qualium qui circa AGT orthogonium circulus ccclx. Quare et qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium ZAT angulus erit xxxviii xxxii xxxiiii, angulus autem GAT similiter clxlvii xxxiiii liiii, qualium vero iiii recti ccclx, talium ZAT quidem angulus xix xvi xvii, angulus autem GAT similiter lxxxiii xlvii xxvii. Et reliquum ergo AGT angulum eius que ab altera stationum in acronicton penes stelle velocitatem precessionis portionum habebimus vi xii xxxiii, reliquum vero et ZAI angulum eius que secundum eamdem differentiam apparentis in epiciclo progressionis portionum lxiiii xxxi x, quibus quoniam quidem secundum eam que in periguio celeritatum proportionem pertinetur pertinetur] pertinent F₁ discrete longitudinis gradus ii xxxiii xxviii, medietatem quidem totius precessionis habebimus graduum iii xxxix v et dierum lxviii, in quantis stella ad proximum movetur medie pertinentes preiacentibus discrete longitudinis gradibus ii xxxiii xxviii periodicos gradus ii xvi xlv, totam vero precessionem graduum vii xviii x et dierum cxxxvi.

⟨XII.3⟩ Demonstratio precessionum Iovis

In Iovis autem stella secundum eas quidem que circa medium apostima ratiocinationes eius quidem que est TZ ad GZ proportio colligitur unius ad x li xxix, eius vero que est EG ad ZG ea que xii li xxix, sub ipsis vero contentum orthogonium cxxxix xxxviii xxxix. Et rursum quidem eius que est GA ad AI que lx ad xi xxx, eius vero que est GD ad GI que lxxi xxx ad xlviii xxx, sub ipsis vero contentum orthogonium iiicccclxvii xlv, ex comparatione autem factorum xxiiii lix latus iiii lix i multiplicata in expositam proportionem eorum que sunt ix ix​] iter. V₃ vii et vii iii eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt iii i et AZ quantitates iiii lix i, eam vero que est GZ eorumdem liiii et xliiii, atque GT totam lix v xlv. Propter hoc autem et ad eam quidem que cxx proportionem utriusque AZ et AG ypothenusarum TZ quidem recta fiet lii t x, GT vero similiter cxviii xi iiii. Earum vero que super ipsas periferiarum que super ZT quidem graduum li xxi xli, que vero super GT graduum clx iiii lv. Consequenter vero et ZAT quidem angulus colligitur talium xxv xl l ad proximum, qualium sunt iiii recti ccclx, angulus autem GAT eorumdem lxxxii xxviii, reliquorum vero angulus quidem ZGA eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum ix lvii xxxii, angulus autem ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum liiii xxi xxxviii. Cum autem hic pertineat secundum expositas proportiones eius que secundum longitudinem progressionis graduum v i xxiiii, vi medietas quidem precessionis fiet graduum iiii lvi viii et dierum lx dimidii ad proximum, tota vero proiguisis graduum ix lii xvi et dierum cxxi. Quod autem circa distantiam v graduum et ab apoguio et periguio spatium indifferenti maximo quidem minus, minimo vero maius. Secundum eas vero que circa maximum apostima per computationes ea quidem que explanationis prostapheresis invenitur sexagesimorum v. Propter hoc autem et eius quidem que est TZ ad GZ proportio que eorum que sunt o liiii l ad x lvi xxxix, que vero eius que est EG ad GZ que xii xlvi xix ad x lvi xxxix, atque sub ipsis contentum orthogonium cxxxix xlvi xlii. Et rursum eius quidem que est GA ad AD proportio que lxii xlv ad xi xxx, que vero eius que est DG ad GI que lxxiiii xv ad li xv et sub ipsis contentum orthogonium iiidcccv xviii xlv. Ex comparatione vero factorum xxvii xxvii] corr. al. man. in xxvi V₃ xiii xxvi latus v xiii iiii, que multiplicata in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est ZT faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates iiii xlvi vi, eam vero que est GZ eorumdem lvii vi xix v, atque GT totam lxi lii xxv. Propter hoc autem et ad eorum quidem que sunt cxx proportionem utriusque AZ et AG ypothenusarum ZT quidem fiet xlix xlv xxiiii, GT vero similiter cxviii xix xxvii, et earum que sub ipsas periferiarum ea quidem que super ZT graduum xlviii lix xxxiiii, que vero super GT graduum clx xlix xxxvi. His vero consequenter et ZAT quidem angulus talium xxiiii xxix xlvii, qualium sunt iiii recti ccclx, angulus autem GAT eorumdem lxxx xxiiii xlviii, et reliquorum angulus quidem ZGA eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum ix xxxv xii, angulus autem ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum lv lv i, quibus cum pertineant secundum apogeias proportiones discrete quidem longitudinis gradus iiii xl xxxv, periodice vero gradus v vi xxxv. Et medietas quidem precessionis fit graduum iiii liiii xxxvii et dierum lxi et dimidii ad proximum, tota vero precessio graduum ix xlix xiiii et dierum cxxiii.

Secundum eas que circa minimium apostima ratiocinationes ea quidem que discretionis prostapheresis invenietur sexagesimorum v et bisse. Propter hoc autem et eius quidem que est TZ proportio que i v xl ad x xlv xlix, eius vero que est EG ad ZG que xii lviii x lviii x] lvii ix F₁ ad x xlv xlix, atque sub ipsis contentum orthogonium cxxxix xxiiii lvi. Et rursum eius que est GA ad AI proportio que eorum que sunt lvii xv ad xi xxx, eius vero que est DG ad GI que lxviii xlv ad xlv xlv, atque sub ipsis contentum orthogonium iiixlv iiixlv] iiicxlv F₁ xviii xlv. Et ex comparatione factorum xxii xxxiii xxxix latus iiii xlv o, que multiplicati in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates v xi lv, eam vero que ZG eorumdem li vii xxxviii, totamque GT lvi xix xxxiii. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportionem utriusque ZA et AG ypothenusarum ea quidem que est ZT fit liiii xiiii xlvii, ea vero que est GT similiter cxviii iii xlvi, atque earum que super ipsas periferiarum ea quidem que super ZT graduum liii xlv iiii, que vero super GT graduum clix xxii xl. His autem consequenter et ZAT quidem angulo talium xxvi lii xxxii, qualium sunt iiii recti ccclx, angulus autem GAT eorumdem lxxix xli xx, et reliquorum ZGA quidem angulus eius quidem angulus eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum x xviii xl, angulus autem ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum lii xlviii xlviii, quibuscum pertineant secundum eas que in periguio proportiones discrete quidem longitudinis stelle gradus v xxi xx, periodice vero gradus iiii liiii xx. Et medietas quidem precessionis colligitur graduum iiii lvii xx et dierum lix ad proximum, tota vero precessio graduum ix liiii xl et dierum cxviii.

⟨XII.4⟩ Demonstratio precessionum Martis

Rursum in Martis stella secundum eas quidem que circa medium apostima ratiocinationes eius que est TZ ad ZG proportio colligitur ab uno ab o lii li, eius vero que est EG ad GZ que ii lii li ad o lii li, et sub ipsis contentum orthogonium ii xxxii xv. Et rursum eius que est GA ad AI proporcio que lx ad xxxix xxx, eius vero que est DG ad GI que xcix xxx ad xx xxx, atque sub ipsis contentum orthogonium iixxxix xlv, et ex comparatione factorum dccciii l l latus xxviii xxi viii, que multiplicatam multiplicatam] multiplicata F₁ in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates xxviii xxi viii, at vero GZ eorumdem xxiiii lviii xxv, atque GT totam liii xix xxxiii. Hoc Hoc] Propter hoc F₁ autem et ad eam que cxx proportione utriusque AZ et AG ypothenusarum ZT quidem fit lxxxvi viii o, GT vero similiter cvi xxxix vi periferiarum vero que quidem super ZT graduum xci xliiii xxxiiii, que vero super GT graduum cxxv xxvi x. Consequenter vero et ZAT angulus talium xlv lii xvii, qualium sunt iiii recti ccclx, GAT vero angulus eorumdem lxii xlii v, et reliquorum ZGA quidem angulus eius que penes velocitatem stelle precessionis xxvii xvi lv, angulus autem ZAI eorum qui anomalie xvi l xlviii, quibus cum pertineant secundum expositam proportionem eius que secundum longitudinem progressionis gradus xix vii xxxiii, et medietas quidem precessionis fit graduum viii ix xxii et dierum xxxxvi et dimidii ad proximum, tota vero precessio graduum xvi xviii xliiii et dierum lxxiii. Quod vero circa distantiam ab apoguio et periguio stacionum apostima xx sexagesimis medii apostimatis ad proximum minus quidem maximo, minus vero minimo.

Secundum eas vero que circa maximum apostima rationationes discretionis quidem prostaferesis secundum unum gradum adiectionem invenitur sexagesimorum x iii^a. Propter hoc autem et eius quidem que est TZ ad ZG proportio que eorum que sunt o xlix xl ad i iii xi, eius vero que est TG ad GZ que ii xlii xxxi ad i iii xi, sub ipsis vero contentum orthogonium ii li viii. Et rursum eius quidem que et GA et AI proportio que lxv xl ad xxxix xxx, eius vero que est DG ad GI que cv x ad xxvi x, sub ipsis vero contentum orthogonium iidccli li xl, atque ex paraboli factorum dcccclxiiii xlviii xlvii latus xxxi iii xli multiplicatam multiplicatam] multiplicata F₁ in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates xxv xlii xlii xliii, GZ vero eorumdem xxxii xlii xxxiiii, totamque GT lviii xxv xvii. Propter hoc autem et ad eam que cxx proportionem utriusque AZ et AG ypothenusarum ZT quidem fit lxxviii vi xliiii, GT vero similiter cvi xlvi xxxvi, periferiarum vero que quidem super ZT graduum lxxxi xiii xxviii, que vero super GT graduum cxxv xxxix xlvi, istisque consequenter et ZAT angulus talium erit xl xxxvi xxxiiii, qualium sunt iiii recti ccclx, et GAT angulus eorumdem lxii xlix liii, et reliquorum ZGA quidem eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xxvii x vii, atque ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum xxii xiii xix, quibus cum pertineant secundum apoguii proportiones discrete quidem longitudinis gradus xvii xiii xxi, periodice vero gradus xx lviii xxi, et medietas quidem precessionis colligitur graduum ix lvi xlvi et dierum xl ad proximum, tota vero precessio graduum xix liii xxxii et dierum lxxx.

Secundum eas vero que circiter minimum apostima computationes ea quidem que discretionis prostaferesis invenitur sexagesimorum xii bisse. Propter hoc autem et eius que est TZ ad ZG proportio que i xii xl ad o xl xi, eius vero que est EG ad GZ que iii v xxxi ad o xl xi, sub ipsis vero contentum orthogonium ii iiii xiiii, et rursum eius quidem que est GA ad AI proportio que liiii xx ad xxxix xxx, eius autem que est DG ad GI que xciii l ad xiiii l, atque sub ipsis contentum orthogonium icccxci li xl, ex comparatione factorum dclxxii xiii latus xxv lv xxxviii, multiplicata in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ facit ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates xxxi xxxiiii iii, atque GZ eorumdem xvii xxi li, totamque GT xlviii xlv liiii. Propter hoc autem et ad cxx proportionem utrique utrique] utriusque F₁ AZ et AG ypothenusarum ZT quidem fit xcv xxiii xlii atque GT similiter cvii xlii vii, periferiarum vero que super ZT graduum cv xviii x, que vero super GT graduum cxxvii xl xxii, istisque consequenter et ZAT angulus talium lii xxxviiii v, qualium sunt iiii recti ccclx, at vero GAT angulus eorumdem lxiii l xi, et reliquorum ZGA quidem angulus eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xxvi ix xlix, at vero ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum xi xi vi, quibus cum pertineant secundum eas que in periguio proportiones discrete quidem longitudinis gradus xx xxxiii xlii, periodice vero gradus xvi lii lii. Et medietas quidem precessionis colligitur graduum v xxxvi vii et dierum xxxii iiii^a ad proximum, tota vero precessio graduum xi xii xiiii et dierum lxiiii et dimidii.

⟨XII.5⟩ Demonstratio precessionum Veneris

Rursum in Veneris stella secundum eas quidem que circiter medium apostima raciocinaciones eius quidem que est TZ ad ZG proportio colligitur que unius ad o xxxvii xxxi, eius autem que e e] est F₁ EG ad GZ que ii xxxvii xxxi ad t xxxvii xxxi, sub ipsis vero contentum orthogoinum i xxxviii xxx. Et rursum eius que est GA ad AI proportio que lx ad xliii x. Eius vero que est DG ad GI que ciii x ad xvi viii, atque sub ipsis contentum orthogonium iiiidccxxxvi xxxviii xx, ex comparatione vero factorum ilvii li latus xxxii xxxi xxix multiplicatam multiplicatam] multiplicata F₁ in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates xxxii xxxi xxix, at GZ eorumdem xx xx xxi, xxi] xi F₁ GT vero totam lii li xl. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportionem utriusque AZ et AG ypothenusarum ea quidem que est ZT fit xc xxiiii lviii, GT vero similiter cv xliii xx, periferiarum vero que quidem super ZT graduum xcvii lvii o, que vero super GT graduum cxxiii xxxi xlix. His autem consequenter et ZAT angulus talium xlviii liii xxx, qualium sunt iiii recti ccclx, at vero angulus GAT eorumdem lxi xlv liiii ad proximum, et reliquorum ZGA quidem angulus eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xxviii xiiii vi, atque ZAI eorum qui anomalie graduum xii lii xxiiii, quibus cum pertineant secundum expositam proportionem eius que secundum longitudinem progressionis gradus xx xxxv xix, et medietas precessionis colligitur graduum vii xxxviii xlvii et dierum xx et dimidii iii^a ad proximum. Totaque precessio graduum xv xvii xxxiiii et dierum xli bisse. Quod vero circa distantiam ab apoguio et periguio stationum apostima v sexagesimis medii apostimatis ad proximum, minus quidem maximo, maius vero minimo.

Secundum eas vero que circa maximum apostima ratiocinationes ea quidem que discretionis prostaferesis invenitur sexagesimorum ii iii^a. Propter hoc autem et eius que est TZ ad ZG proportio que o lvii xl ad o xxxix li, que vero eius que est EG ad GZ que ii xxxv xi ad o xxxix li, atque sub ipsis contentum orthogonium i xliii iiii. Et rursum quidem eius que est GA ad AI proportio que lxi x ad xliii x, eius vero que est DG que ciiii xx ad xviii o, atque sub ipsis contentum orthogonium idccclxxviii o, ex paraboli vero factorum ixciii xvi xxiii latus xxiii iii liii multiplicata multiplicata] corr. ex multiplicatam V₃ in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad expositas earum que sunt GA et AZ quantitates xxxi xlvi xliiii, GZ vero eorumdem xxi lvii xxxviii, totaque GT liii xliiii xxii. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportio utriusque AZ et AG ypothenusarum ea quidem que est ZT fit lxxxviii xx xxxiiii, GT vero similiter cv xxv xliiii, periferiarum vero ea quidem que super ZT graduum xciiii xlviii liiii, que vero super GT graduum cxxii lvi xxvii; istisque consequenter et ZAT angulus talium xlvii xxiiii xxvii, qualium sunt iiii recti ccclx, GAT vero angulus eorumdem lxi xxviii xiiii, et reliquorum angulus quidem ZGA eius que penes velocitatem stelle proguiseos xxviii xxxi xlvi, at vero ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum xiiii iii xlvii, quibus cum pertineant secundum eas que in apoguio proportio discrete quidem longitudinis gradus xx xix iii, periodice vero gradus xxi ix iii, et medietas quidem precessionis colligitur graduum viii xii xliii et dierum xxi et dimidii ad proximum, tota vero precessio graduum xvi xxv xxvi et dierum xliii.

Secundum eas vero que circiter minimum apostima computationes ea quidem que discretionis prostaferesis eorumdem invenitur sexagesimorum ii iii. Propter hoc autem et eius que est ZT ad ZG proportio que i vii xx ad o xxxv xii, xii] xi F₁ eius vero que est EG ad GZ que ii xxxix li ad o xxxv xi, et quod sub ipsis i xxxiii xliiii; eius vero que GA ad AD que lviii l ad xliii x, eius vero que est DG ad GI que cii o ad xv xl, et quod sub ipsis idxcviii o, ex paraboli vero factorum ixxii liiii vii latus xxxi lviii lviii multiplicata in expositam proportionem earum que sunt TZ TZ] add. et ZG eam quidem que est TZ F₁ faciunt ad subiacentes earum que sunt GA et AZ quantitates xxxiii xiii xxxvi, atque GZ eorumdem xviii xlv xvi, GT vero totam li lviii lii. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportionem utriusque AZ et AG ypothenusarum ea quidem que est ZT fit xcii xxii iii, GT vero similiter cvi i xxiii, periferiarum vero que super ZT graduum cxxxix xxxiiii et que super GT graduum cxxiiii viii xxii. Consequenter vero et ZAT angulus talium l xix xlvii, qualium iiii recti ccclx, GAT vero angulus eorumdem lxii iiii xi. Et reliquorum ZGA angulus quidem eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xxvii lv xlix, at ZAI angulus eorum qui apparentis anomalie graduum xi xliiii, quibus cum pertineant secundum eas que in periguio proportiones discrete longitudinis gradus xx liii xxx, periodice vero gradus xx et sexagesimorum iiii xxx, et dimidium precessionis colligitur secundum consequens graduum vii ii xix et dierum xxiii ad proximum, totaque precessio graduum xiiii iii xxxviii et dierum xl bisse.

⟨XII.6⟩ Demonstratio precessionum Mercurii

Rursum Rursum] Cursum V₃ et in Mercurii stella secundum eas quidem que circiter medium apostima ratiocinationes eius quidem que est TZ ad ZG proportio colligitur que unius ad iii ix viii, eius vero que est EG ad GZ que eorum que sunt v ix viii ad iii ix viii, quod ergo sub ipsis xvi xiiii xxvii. Et rursum eius que est GA ad GI que lx ad xxii et dimidium, eius vero que est DG ad GI que lxxxii xxx ad xxxvii xxx, et que sub ipsis iiixciii xlv, atque ex paraboli factorum cxc xxix xxxi latus xiii xlviii vii multiplicata in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ facit ad subiacentes earum que sunt GA et AZ quantitates eorumdem xiii xlviii vii, at vero ZG similiter xliii xxx xxiiii, totamque GT lvii xviii xxxi. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportio utriusque AZ et AG ypothenusarum ZT quidem fit lxxiii xxxvi xxxvii, GT vero similiter cxiiii xxxvii ii, periferiarum vero que quidem super ZT graduum lxxv xl xxviii, que vero super GT graduum cxlv xxxii lii. Consequenter autem et ZAT angulus talium xxxvii l xiiii, qualium sunt iiii recti ccclx, angulus autem TAG eorumdem lxxii xlvi xxvi, et reliquorum angulus ZGA eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xvii xiii xxxiiii, at vero angulus ZAI eorum qui anomalie graduum xxxiiii lvi xii, quibus cum pertineant secundum expositam proportionem eius que secundum longitudinem progressionis gradus xi iiii lix, et dimidium precessionis relinquitur graduum vi viii xxxv et dierum xi iiii^a ad proximum, totaque precessio colligitur graduum xii xvii x et dierum xxii et dimidii.

Secundum eas vero que circiter maximum apostima ratiocinationes, hoc est quando discreta longitudo circiter xi gradibus distat ab apoguiotato, quibus pertinent equales xi et dimidium ad proximium, ea quidem que discretionis prostaferesis invenitur secundum unius gradus adiectionem sexagesimorum ii iii^a ad proximum. Propter hoc autem et eius que est TZ ad ZG proportio que o lvii xl ad iii xi xxviii, eius vero que est EG ad GZ que v vi xlviii ad iii xi xxviii, quod vero sub ipsis xvi xix ii. Et rursum eius que est GA ad AI proportio que lxviii xxxvi ad xxii xxx, eius autem que est DG ad GI que xci vi ad xlvi vi, et quod sub ipsis iiiicxcix xlii xxxvi, atque ex paraboli factorum cclvii xxii xliiii latus xvi ii xxxv multiplicata in expositam proportionem TZ et ZG rectarum eam quidem que est TZ faciunt ad subiacentes earum que sunt GA et AZ quantitates xv xxv ix, at vero ZG eorumdem li xiii xliii, totamque GT lxvi xxxvi lii. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proportionem utriusque ZA et AG ypothenusarum ZT quidem fiet lxxxii xiiii viii, GT vero similiter cxvi xxxi xxxvi, periferiarum autem que super ZT graduum lxxxvi xxxi iiii et que super TG similiter graduum clii xxvii lvi. His autem consequenter et ZAT angulus talium xliii xv xxxii, qualium sunt iiii^or recti ccclx, atque TAG angulus eorumdem lxxvi xiii lviii, et reliquorum ZGA angulus eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xiii xlvi ii, atque ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum xxxii lii xxvi quibus cum pertineant secundum eas que in apoguio proportiones discrete longitudinis gradus ix xlviii li periodicorum graduum periodicorum graduum] periodice vero F₁ x xvi li, et dimidium precessionis relinquitur graduum iii lvii xi et dierum x et dimidii ad proximum, totaque precessio graduum vii liiii xxii et dierum xxi.

Secundum eas autem que circiter minima apostimata ratiotinationes que fiunt circiter cxx periodicorum graduum ab apoguio distantias ea quidem que discretionis prostaferesis ex circa utrimque periguiorum xi gradus epiboli collecta invenitur sexagesimi unius medietatis. Propter hoc autem et eius que est TZ ad ZG proportionem que i i xxx ad iii vii xxxviii, eius autem autem] om. add. s. l. V₃ que est EG ad GZ que v x xxxviii ad iii vii xxxviii, et quod sub ipisis xvi xi xxv. Et rursum eius que est GA ad AI proportio que lv xlii ad proximum ad xxii xxx, et eius que est DG ad GI que lxxviii xii ad xxxiii xii, et quod sub ipsis iidxcvi xiiii xxiiii, ex paraboli vero factorum clx xxix latus xii xxxix xlviii multiplicata seorsum in expositam earum que sunt TZ et ZG proporcionem eam quidem que est TZ faciunt ad subiacentes earum que sunt GA et AZ quantitates xii lviii xlvii, ZG vero eorumdem xxxix xxxvi iiii, totamque GT lii xxxiiii li. Propter hoc autem et ad eorum que sunt cxx proporcionem utriusque AZ et AG ypothenusarum TZ fiet lxix xiii xxxi, atque TG similiter cxiii xvi xlviii, periferiarum vero que super TZ graduum lxx xxvii xliiii, que vero super TG cxli xxviii xiiii. His autem consequenter et TAZ angulus talium xxxv xiii lii, qualium sunt iiiior recti ccclx, atque TAG eorumdem lxx xliiii vii, et reliquorum angulus ZAG eius que penes velocitatem stelle precessionis graduum xix xv liii, atque ZAI eorum qui apparentis anomalie graduum xxxv xxx xv, quibus cum pertineant secundum expositas proportiones discrete longitudinis gradus xi xxxix xxx, periodice vero gradus xi xxi xxx, et dimidium precessionis relinquitur graduum vii xxxvii xxiii et dierum xi et dimidii ad proximum, totaque precessio graduum xv xii xlvi et dierum xxiii. Sicque demonstrate sunt quantitates consone ad proximum eis que ex circa unumquodque apparentibus deprehense sunt.

Sumemus vero eas que circa maxima et minima apostimata earum que secundum longitudinum progressionum adiectiones ita. Quoniam enim exempli causa in eis que circa maximum apostima Martis ostendimus eam que ab altera stationum in acronicton epicicli apparentem periferiam, hoc est eam que est ad centrum zodiaci consideratur, graduum xxii xiii xix. His vero pertinentes periodice longitudinis secundum unius ad i iii xi proportionem gradus xxi x ad proximum examinatione quidem non salvant penes hoc in stationibus expositas velocitatum proporciones non manere inpermutabiles et per totas precessiones non tanto tamen ab examinatione differunt, quare et pertinentem eis prostapheresim existentem graduum iii xlv ad proximum differre aliquo cura digno, tantos aufferentes ab xxii xiii xix epicicli gradibus, quoniam quam secundum maxima apostimata maiores sunt apparentes in epiciclo progressiones periodicis, invenimus pertinentem ipsis periodicam progressionem anomalie ab altera stationum in acronicton graduum xviii xxviii xix, quibus, quoniam quidem proportionem mediorum motuum pertinent periodice longitudinis gradus xx lviii viii xxi, istis quidem pro xxi x examinatum habentibus cousi sumus, eos autem qui prostafereseos in xlv gradus totidem ad proximum et hic manentes aufferentes ab ipsis, quoniam quidem secundum maximas apostases minores sunt apparentes secundum longitudinem progressiones periodicis, invenimus et apparentem secundum longitudinem progressionem exposite distantie graduum xvii xiii xxi.

⟨XII.7⟩ Negotium canonis in stationes

Ut autem rursum et in mediis apostimatum medii et maximi et minimi prompte possimus intendere, circa quas epicicli portiones facta unaquaque stellarum stationum fantasiam faciat, docebimus et in hoc canonem versuum quidem xxxi, selidiorum vero xii, quorum quidem ii prima selidia continebunt periodice longitudinis numeros per gradus vi consequenter aliorum canoniorum descensionibus, ea vero que deinceps eas que in unaquaqua v stellarum discrete anomalie distantias ab apparentibus apoguiis epiciclorum prima quidem secundum unum, eas que priorum stationum, secunda vero eas que secundorum. Sumemus autem et istarum quantitates et a supra demonstratis circa media et minima et maxima apostimata et ab eis que in mediis istorum apostimatibus superhabundantiis, de quibus contingemus precomprehendentes in ea que in anomaliarum canonibus eorum que secundum viii selidium sexagesimorum appositione, quoniam quidem condemonstrata sunt secundum unamquamque periodice longitudinis progressionem quantitati plurime penes anomaliam differentie et epiciclorum apostimata ad que maxime et stationum differentia consideratur, primum vero quoniam ostense circa apoguia et periguia precessiones non continent factas stationes, quando secundum apoguia et periguia fuerint centra epiciclorum, sed quando distant aliquam distantiam determinatam in unaquaque stellarum, sumpsimus ab his et pertinentes ipsis apoguiis et periguiis quantitates modo tali.

Itaque in in] om. add. s. l. V₃ Saturno quidem et Iove, quoniam quidem nulla cura digno differunt que secundum ipsa apoguia et periguia epiciclorum apostimata ab eis que secundum expositas ab eis distantias, comprehensos in his numeros anomalie eos qui ab apparentibus apoguiis epiciclorum apponemus propriis versibus, hoc est eos quidem qui apoguiorum continentibus ccclx numerum, eos vero qui periguiorum continentibus clxxx numerum. Ostensa vero est in Saturno ea quidem que secundum apoguion excentroticis a periguio epicicli distantia graduum lxvii xv ad proximum, ea vero que secundum pergiuion graduum lxiiii xxxi. In Iove vero ea quidem que secundum apoguion graduum lv lv, que autem secundum periguion graduum lii xlix. Quibus pertinentes ab apoguiis epiciclorum numeros propter promptum ordinabimus in eos que deinceps longitudinis iiii selidiis secundum proprios versus secundum continens quidem eorum que sunt ccclx ab apoguio numerum in iiio quidem selidio cxii xlv gradus prime stationis Saturni, in quarto vero ccxlvii xv secunde stationis, et similiter in quinto quidem cxxiiii v gradus prime stationis Iovis, in sexto vero cxxxv lv gradus secunde stationis. At vero secundum continens eorum que sunt clxxx periguii numerum consequenter eidem ordini et cxv et xxix gradus et ccxliiii xxxi, et similiter cxxvii xi et ccxxxii xlix.

In Marte vero, quoniam quidem ostendimus quoniam, quando xx lviii gradus periodicos distat ab apoguio excentrici centrum epicicli, facit stationes stella distans ab apparente periguio epicicli gradibus xxii xiii, ea que secundum medium apostima progressione continente gradus xvi li, quare esse superhabundantiam graduum v xxii. Est autem et qualium medium apostima lx, talium maximum lxvi et superhabundantiam ipsius ad medium vi, quod autem secundum expositam apoguii distantiam lxv xl xl] add. et que ad medium ipsius superhabundantia v xl F₁, multiplicantes vi in v xxii et comparantes facta penes v xl, reperimus ea que secundum ipsum apoguion superhabundantiam penes medium apostima graduum v xl ad proximum, quare eos quidem qui apparenti periguio epicicli gradus colligi xxii xxxii, eos autem que ab apoguio prime stationis gradus clvii xxviii, quos et ordinavimus in septimo selidio secundum eum qui ccclx versuum, secunde vero ccii xxxii, quos et ordinavimus in octavo selidio ordinavimus … selidio] iter. V₃ secundum eumdem versum. Similiter autem quoniam quidem, et quando xvi liii periodicos gradus distat a periguio centrum epicicli facit stationes distans ab apparenti periguio epicicli gradus xi xi, velud eam quemadmodum apostima superabundantiam fieri graduum v xl, apostimatum vero quod quidem minimum eorumdem est liiii secundum eam que vi ad medium apostima superabundantiam, quod autem exposite a periguio excentrici distantie liiii et xx et quem quem] que F₁ ad medium ipsius superhabundantiam v xl, habebimus et eam que secundum ipsum periguion totam superabundantiam graduum vi, et propter hoc autem eam quidem que ab apparenti periguio epicicli epicicli] epici V₃ progressionem graduum x li, eam vero que ab apoguio prime quidem stationis graduum clxix ix, secunde vero graduum cxc li, quos et apposuimus eorum que sunt clxxx versui secundum propria selidia.

In Venere vero, quoniam quidem ostendimus quoniam, quando secundum longitudinem xxi ix gradus periodicos distat ab apoguio, facit stationes stella distans ab apparente periguio epicicli gradus xiiii iiii ea que secundum medium apostima progressionis continentis gradus xii lii, quare fieri superhabundantiam i gradus et sexagesimorum xii. Est autem et qualium medium apostima lx, talium maximum quidem lxi xv et que ad medium ipsius superhabundantia i xv, quod autem secundum expositam ab apoguio distantiam lxi x et que ad medium ipsius superhabundantia i x, rursum i xv multiplicantes in i xii et facta comparantes penes i x, reperimus eam que secundum ipsum apoguion penes medium apostima superhabundantiam i xvii, quare eos quidem qui ab apparente periguio epicicli gradus colligi xiiii ix, eos vero qui ab apoguio prime quidem stationis gradus clxv li, quos et apponemus in ixo selidio secundum eorum que sunt ccclx versum, secunde vero stationis gradus cxciiii ix, quos et apponemus in xo selidio secundum versum. Similiter autem quoniam quidem, et quando xx xl gradibus ad proximum secundum equalem longitudinis progressionem distat a periguio excentrici epiciclus, facit stationes stella distans ab apparente periguio epicicli gradibus xi xliiii, quare eam quidem que ad medium apostima superhabundantiam fieri gradus i et sexagesimorum viii, apostimatum vero quod quidem minimum talium est lviii xlv, qualium medium lx et superhabundantia ipsorum i xv. Quod autem secundum expositam periguii distantiam eorumdem lviii l et que ad medium ipsius superhabundantia l l] i F₁ x; multiplicantes ea i xv in i viii et facta comparantes penes i x, invenimus et eam et que secundum ipsum periguion penes medium apostima superhabundantiam i xiii, et propter hoc eam que ab apparente periguio epicicli progressionem graduum xi xxxix, eam vero que ab apoguio prime quidem stacionis graduum clxviii xxi, secunde vero graduum cxci xxxix, quos et apponemus in eisdem selidiis secundum eorum que sunt clxxx numerum.

In Mercurii vero stella, quoniam quidem demonstravimus quoniam, quando ixvii periodicos gradus secundum longitudinem epiciclus distat ab apoguio excentrici, facit stationes stella distans ab apparente periguio epicicli gradibus xxxii lii, ea que secundum medium apostima progressione continente gradus xxxiiii lvi, quare fieri superhabundantiam graduum ii iiii. Est autem et qualium medium apostima lx, talium maximum quidem lxix et superhabundantia ipsorum ix, quod autem secundum expositam ab apoguio distantiam lxviii xxxvi et que ad medium ipsius superhabundantia viii xxxvi; secundum eadem eis que in precendentibus multiplicantes ix in ii xiii et facta comparantes penes viii xxxvi, reperimus eam que secundum ipsum apoguion que penes medium apostima superhabundantiam graduum ii x ad proximum, quare eos quidem qui ab apparente periguio epicicli gradus colligi xxxii xlvi, eos vero qui ab apoguio prime quidem stationis gradus cxlvii xiiii, quos et apponemus in xi selidio secundum eorum que sunt ccclx numerum, secunde vero stationis gradus ccxii lvi, quos et apponemus in xii selidio secundum eosdem versus. Similiter autem quoniam, et quando xi xxii peridicos gradus distat epiciclus a periguio, facit stationes stella distans ab aparente periguio epicicli gradus xxxv xxx, quare eam que ad medium apostima superhabundantiam fieri unius gradus sexagesimorum xxxiiii, apostimatum vero minimum quidem talium est lv xxxiiii, qualium medium lx, et superhabundantia ipsorum iiii xxvi, quod autem secundum expositam a periguio distantiam eorumdem lv xlii ad proximum et que ad mediam ipsius superhabundantiam iiii xviii. Multiplicantes rursum ea iiii xxvi in o xxxiiii et comparantes facta penes ea iiii xviii, reperimus et ea que secundum ipsum periguion ad medium apostima superhabundantiam o xxxv, et propter hoc eam quidem que ab apparente periguio epicicli progressionem graduum xxxv xxxi, eam vero que ab apoguio prime quidem stationis graduum cxliiii xxix, secunde vero ccxv xxxi, quos et apponemus in eisdem selidiis nondum tamen eorum que sunt clxxx longitudinis numero, sed eorum que sunt cxx et ccxl, propter secundum ista demonstrari periguiotata eius que Mercurii excentricos.

His ergo preexpositis, consequenter eisdem ephodis et earum que inter progressionum differentie constituantur. Subiaceat enim exempli causa invenire eas que in primis stationibus apparentis anomalie appositiones, quando que secundum longitudinem media progressio distat ab apoguio gradibus xxx, secundum quam positionem apostima epicicli, qualium est medium omne lx, talium in Saturno quidem per preexposita, ut diximus, constituitur lxiii ii, in Iove lxii xxvi, in Marte lxv xxiiii, in Venere lxi vi, in Mercurio lxvi xxxv, quare cuiusque ad medium superhabundantias fieri secundum expositum ordinem, ne idem replicemus, iii ii et ii xxvi et v xxiiii et i vi et vi xxxv. Sed ad ipsa apoguia mediorum apostimatum superhabundantie, propter maiores in omnibus esse medii expositos apostimatis numeros, eorumdem sunt iii xxv et ii xlv et vi o et i xv et ii ix o. Quoniam ergo et apparentis anomalie graduum tote superhabundantie apoguiorum ad media apostimata colligitur colligitur] colligunt F₁ secundum eundem ordinem gradum i xxiii et i xxxiii et v xli et i xvii et ii x, multiplicantes unamquamque ipsarum proprie secundum unamquamque stellarum in eius quod tunc apostimatis penes medium superhabundantiam velut i xxiii verbi gratia i i​] in F₁ iii ii et facta comparantes penes maximi apostimatis superhabundantiam, velut penes iii xxv, habebimus eam que in unaquaque secundum expositam longitudinis progressionem graduum anomalie ad medii apostimatis superhabundantias i xiiii et i xxii et v vii et i viii et i xxxv. Sunt autem que quidem in mediis apostimatibus ab apparente apoguio epicicli graduum cxxiiii viii et cxxv xxxviii et clxiii ix et clxvii viii et cxlv iiii, qui vero in maximis aliis quidem minores expositis, in Mercurio autem plures, quare inventas secundum expositum apostima superhabundantias in aliis quidem aufferentes ab eis qui secundum media apostimata gradibus, in Mercurio autem apponentes ipsis, habebimus xxx gradus periodice longitudinis appositas in primarum stationum selidiis apparentie anomalie ab apoguio epicicli gradus in Saturno quidem cxii liiii, in Iove cxxiiii xvi, in Marte clviii ii, in Venere clxvi o, in Mercurio cxlvi xxxix. Et secundarum vero stationum selidia adimplebimus hinc relictos ccclx gradus in unoquoque versu primarum stationum numeris apponentes secundum eosdem versus in secundarum stationum selidiis, ut in exposita longitudine, et ccxlvii vi gradus et ccxxxv xliiii et cci lviii cxciiii o et ccxiii xxi. Intellectu vero facile quoniam, et si non ad ad] om. add. s. l. V₃ apparens apoguion epicicli consideratos anomalie gradus apponere voluimus, sed propter promtius eos qui ad periodicum et adhuc indiscretos hinc nobis, et quod huiusmodi constituentur, cuique periodice longitudinis numero adiacente idem prostaferesi in anomalie canonibus ablata quidem ab inventis apparentis anomalie graduum in eis qui ab apoguio excentrici graduum clxxx, apposita vero ipsis in eis qui super clxxx gradus. Et est canonis expositio talis.

⟨XII.8⟩ Expositio canonis stationum

NUMERI DISCRETE ANOMALIE

NUMERI DISCRETE ANOMALIE

⟨XII.9⟩ Demonstratio maximarum ab Sole distantiarum Veneris et Mercurii

Expositis autem eis que circa precessiones considerantur, rationabile utique erit secundum deinceps demonstrare constitutas ex expositis ypothesibus maximas a Sole distantias et Veneris et Mercurii secundum unumquodque dodecatimoriorum. Fecimus autem et istorum exposiciones et ad apparentem Solis progressionem, et quasi ipsis stellis in prinicipiis existentibus dodecatimoriorum et quasi apoguiis que in eis que secundum nos temporibus ad tropica equinoctialia puncta portionem habentibus, hoc est quidem quod Veneris secundum xxv gradus Tauri contingente, eo vero quod Mercurii secundum x gadus Chelarum, per apoguiorum transitionem futura maximarum apostasium permutatione correctaque per easdem ephodos eis que posterius futura bene in plurimum tempus indifferenti conservata. Ut autem et nobis modus ephodorum bene intelligibilis fiet, demonstrandum exempli causa in stella Veneris prima factas, ut diximus, maximas apostases et eoas et hesperias, quando stella in vernali equinoctio fuerit et principio Arietis.

Esto ergo per A apoguion excentroticos recta ABGDE, in qua subiaceat plani equalis quidem motus centrum B, quod autem excentrici ferentis epiciclum G, quod vero zodiaci D, et protracta GZ recta ex centro excentrici, scribatur circa punctum Z IT epiciclus, et trahatur a puncto D recta DT contingens eoas et precedentis ipsam, et copulentur quidem recta BZI, ZT, chatheti chatheti] catheti F₁ vero trahantur GK et GL et BM. Quoniam ergo DA quidem secundum xxv gradus est Tauri et DT secundum principium Arietis, erit utique ADT angulus, qualium quidem sunt iiiior recti ccclx, talium lv, qualium vero duo recti ccclx, talium ipsa quidem cx, angulus autem DGK reliquorum in unum rectum lxx. Quare et que quidem super GK periferia talium est cx, qualium qui circa GDK orthogonium circulus ccclx, GK vero recta talium xcviii xviii, qualium est GD ypothenusa cxx, et qualium est ergo GD quidem recta i xv, ZT vero que ex centro epicicli xliii x, talium et GK, hoc est LT, erit i i, reliqua ZL talium xlii ix, qualium et GZ que ex centro excentrici subiaceat lx. Et qualium est ergo GZ ypothenusa cxx, talium et ZL erit lxxxiiii xviii et que super ipsam periferia talium lxxxix xvi, qualium est qui circa GZL GZL] add. orthogonum circulus ccclx. Quare et ZGL F₁ orthogonium circulus ccclx. Quare et ZGL angulus talium est lxxxix xvi, qualium ii recti ccclx. Est autem et angulus DGK eorumdem lxx, et LGK rectus, et totus ergo ZGD colligetur cccxxxix xvi, reliquus vero AGZ eorumdem xx xliiii. Quare et que super BM periferia talium xx xliiii, qualium qui circa BGM orthogonium circulus ccclx, que super GM reliquorum in semicirculum clix xvi. Et earum ergo que sub ipsis rectarum BM quidem talium est xxi xxxv, qualium BG ypothenusa cxx, GM vero eorumdem cxviii xii. Quare et qualium est BG recta i xv atque GZ que ex centro excentrici lx, talium et BM erit o xiii atque GM i xiiii, reliqua vero MZ lviii xlvi, propter hoc autem et BZ ypothenusa eorumdem lviii xlvi. Et qualium est ergo BZ recta cxx, talium et MB erit o xxvii, que vero super ipsam periferia talium o xxvi, qualium est qui circa BZM orthogonium circulus ccclx. Quare et BZG angulus talium est o xxvi, qualium ii recti ccclx. Ostendebatur autem et AGZ angulus eorumdem xx xliiii et totus ergo ABZ plane secundum longitudinem progressionis; qualium sunt ii recti ccclx, talium est xxi x, et qualium iiii recti ccclx, talium x xxxv. Distabit ergo et medius quidem Solis progressus in precedentia ab eo quod secundum I apoguion gradibus x xxxv, optinebitque manifestum quoniam Tauri gradus xiiii xxv, examinatus vero xv xiiii. Quare et stella distabit plurimum in eoa ab examinato Sole, quando in principio fuerit Arietis, gradibus xlv xiiii.

Rursum adiaceat consequens descriptio, contingente in hesperia et consequentia epicicli ducta et stella similiter in principio subiacente Arietis. Per premonstrata ergo angulo ADT eodem manente et DGK angulus colligitur talium lxx, qualium ii recti ccclx, et GK recta, hoc est LT, talium i i, qualium est GZ que ex centro excentrici lx, atque ZT que ex centro epicicli xliii x, quare et totam ZL colligi eorumdem xliiii xi. Manifestum vero quoniam et qualium est GZ ypothenusa cxx, talium et ZL erit lxxxviii xxii, que vero super eam periferia talium xciiii li, qualium est qui circa GZL angulus, talium est xciiii li, qualium ii recti ccclx, atque ZGK reliquorum in unum rectum lxxxv ix, totusque ZGD hoc est BGM eorumdem clv ix, propter hoc autem et que super BM periferia talium clv ix, qualium qui circa BGM orthogonium circulus ccclx, et que super GM reliquorum in semicirculum xxiiii li, et earum ergo que sub ipsis rectarum BM quidem talium est cxvii xi, qualium est BG ypothenusa cxx, GM vero eorumdem xxv xlix. Quare et qualium est BG recta i xv, talium et BM erit i xiii atque MG similiter o xvi, totaque MZ lx xvi, propter hoc autem et BZ ypothenusa eorumdem lx xvii. Qualium est ergo BZ recta cxx, talium et BM erit ii xxv, que vero super ipsam periferia talium ii xix, qualium est qui circa BZM orthogonium circulus ccclx. Quare et BZM angulus talium est ii xix, qualium ii recti ccclx. Est autem et BGZ eorumdem cciiii li, propter DGZ angulum eorumdem demonstrari clv ix. Et totus ergo ABZ angulus plane et secundum longitudinem progressionis, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium colligitur ccvii x, qualium vero iiii recti ccclx, talium ciii xxxv. Optinebit ergo et medius quidem Solis progressus Aquarii gradus xi xxv, examinatus vero xiii xxxviii. Quare et stella distabit plurimum in esperia ab examinato Sole, quando in principio fuerit similiter Arietis, gradibus xlvi xxii.

In Mercurii vero stella subiaceat, propter affuturas in eis que deinceps demonstrationes eclipticarum ipsius apparitionum promtius invenire, quantum plurimum stella distet ab examinato Sole esperia quidem circa principia Scorpii contingens, eoa vero circa principia Tauri. Quoniam ergo secundum Mercurii ypothesim, apparenti quidem stelle progressu dato, medius secundum longitudinem non deprehenditur, penes vero GZ rectam eandem semper et equalem ei que ex centro excentrici servari, quemadmodum in aliarum ypothesi, plano vero secundum longitudinem progressu dato, et apparens ostensus est. Duas longitudinis epochas supponentes secundum unumquodque dodecatimorion potentes facere stellam circa principium inquisiti hanc quidem in precedentia, illam vero in consequentia, et in inventis progressionibus factas maximas apostases supputantes per hec et in ipso principio dodecatimorii constitutam maximam apostasim reperimus, ut erit secundum preiacentia invenire facile intellectu, et primum in eam que in principiis Scorpii maxima esperia distantia.

Esto enim per A apoguion diametros ABGD, in qua subiaceat zodiaci quidem centrum G, quod vero plani epicicli motus B, et intelligatur primum in ipso apoguio centrum epicicli, ut et medius secundum longitudinem Solis progressus optineat Chelarum gradus x, examinatus vero viii, et scripto circa punctum A ZI epiciclo, trahatur a puncto G contingens ipsius esperias recta GI, et copuletur AI cathetus. Quoniam igitur demonstratum est per preexposita quoniam, qualium est recta GA maximi apostimatis lxix, talium est AI que ex centro epicicli xxii et dimidii, erit utique, et qualium est AG ypothenusa cxx, talium AI recta xxxix viii. Quare et que super AI periferia talium est xxxviii iiii, qualium qui circa AGI orthogonium circulus ccclx, atque AGI angulus, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium xxxviii iiii, qualium vero iiii^or recti ccclx, talium xix ii et est recta GA secundum x gradus Chelarum. Stella ergo optinebit Chelarum gradus xxix ii distans maximum ab examinato solo solo] Sole F₁ gradus xxi ii.

Rursum subiaceat media ab apoguio longitudo iii graduum, quare et medium Solem optinere Chelarum gradus xiii, examinatum vero xi iiii, et protracta recta BE, scribatur circa E centrum ZI epiciclus, et contingente GI similiter tracta, copulentur recte EG et EI; quoniam secundum expositam positionem, hoc est ABE angulo subiacente talium iii, qualium sunt iiii recti ccclx, ostenditur AGE angulus eius que penes excentrocita differentie eorumdem ii lii, atque recta EG eius quod tunc apostimatis epicicli talium lxviii lviii ad proximum, qualium est EI que ex centro epicicli xxii xxx, erit utique et talium EI recta xxxix ix, qualium est EG ypothenusa cxx. Quare et que super EI periferia talium est xxxviii v, qualium qui circa GEI orthogonium circulus ccclx, atque EGI angulus, qualium quidem sunt ii recti ccclx, talium xxxviii v, qualium vero sunt iiii recti ccclx, talium xix iii ad proximum. Propter hoc autem et AGI totus eorumdem xxi lv et, quando ergo stella optinet Scorpii gradus i lv, quod plurimum distabit Sol examinato gradibus xx li. Demonstratum vero quoniam, et quando optinet Chelarum gradus xxix ii, plurimum distabit exminati Solis gradibus xxi ii. Quoniam ergo epocharum superhabundantia graduum est ii liii, maximarum vero distantiarum sexagesimorum xi, quare et eis que a prima epocha in principium Scorpii sexagesimis lviii pertinere sexagesima iiii ad proximum, ista aufferentes ab xxi ii habebimus et in ipso principio Scorpii maximam ab examinato Sole distantiam esperiam graduum xx lviii.

Deinceps vero et eius que in principio Tauri maxime eoe distantie causa subiaceat primum media secundum longitudinem progressio distans in consequentia a periguio gradibus xxxix, quare et medium Solem obtinere Tauri gradus xix, examinatum vero xix xxxviii. Et adiacet simul descriptio, epiciclo quidem in consequentia periguii figurato, contingente vero in eoa epicicli proctracta. Quoniam ergo secundum expositam progressionem, hoc est DBZ angulo subiacente talium xxxix, qualium sunt iiii recti ccclx, ostenditur per preexposita DGE angulus eorumdem xl lvii atque GE eius quod tunc apostimatis talium lv lix, qualium est EI que ex centro epicicli xxii xxx, erit utique et qualium est GE ypothenusa cxx, talium et EI recta xlviii xiiii, et super ipsam periferiam talium xlvii xxiiii, qualium est qui circa GEI orthogonium circulus ccclx. Quare et EGI angulus, qualium sunt duo recti ccclx, talium est xlvii xxiiii, qualium vero iiiior recti ccclx, talium xxiii xlii, reliquusque IGD eorumdem xvii xv et Mercurii ergo stella optinens Arietis gradus xxvii xv plurimum eoa distabit ab examinato Sole gradibus xxii xxiii.

Rursum subiaceat media longitudo distans in eadem periguii gradibus xlii, quare et Solem medie quidem optinere Tauri gradus xxii, examinate vero xxii xxxi. Quoniam ergo et secundum istam progressionem, hoc est DBZ angulo subiacente talium xlii, qualium sunt iiii recti ccclx, DGE quidem angulus ostenditur eorumdem xliiii iiii, GE vero recta eius que tunc apostimatis talium lv l, qualium est EI que ex centro epicicli xxii xxx, erit utique et qualium est EG ypothenusa cxx, talium et EI recta xlviii xix, et que super eam periferia talium xlvii xxx, qualium est qui circa EGI orthogonium circulus ccclx. Quare et EGI angulus, qualium sunt ii recti ccclx, talium est xlvii xxx, qualium vero sunt iiiior recti ccclx, talium xxiii xlv, reliquus IGD eorumdem xx xix. Quando ergo Mercurii stella optinet Tauri primi gradus sexagesima xix, plurimum distabit ab examinato Sole in eoa gradibus xxii xii. Ostensus est autem quoniam, et quando optinet Arietis gradus xxvii xv, plurimum similiter distabit gradibus xxii xxiii. Quoniam ergo rursum epocharum superhabundantia graduum est iii iiii atque maximarum distantiarum sexagesimorum xi, quare et eis que a prima epocha in principium Tauri gradibus ii xlv pertinere sexagesima ad proximum x, ista aufferentes ab xxii xxiii habebimus et in ipso principio Tauri maximam eoam ab examinato Sole distantiam graduum xxii xiii. Quod oportebat demonstrare.

Secundum eundem vero modum et in aliis dodecatiimoriis collectas maximas distantias eoas et esperias ambarum stellarum supputantes ordinavimus ipsarum canonium in versus quidem equalis numeri xii, selidia vero v, istorum que in primo quidem selidio preordinavimus principia dodecatimoriorum ab Ariete facientes principiorum. principiorum] principium F₁ In eis vero que deinceps iiii^or apposuimus supputatas maximas ab examinato Sole distantias, secundum secundum] secundo F₁ quidem in continente eoas stelle Veneris, tertio vero hesperias, et rurusm quarto eoas eoas] add. Mercurii F₁ et quinto esperias. Et est canon huiusmodi.