Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨IV⟩

A quibus oportet observationibus que circa Lunam examinare

De periodicis temporibus Lune

De eis qui secundum partem omalis motibus Lune

Canonium expositio continentium medios progressus Lune

Quoniam et ⟨in⟩ simplici ypothesi Lune eadem apparentia faciunt et que secundum excentrotica et que secundum epiciclum

Apodisis Apodisis] apodixis V₂F₁ prime et simplicis anomalie Lune

De directione mediorum progressuum Lune et longitudinis et anomalie

De epochi omalorum Lune motuum et longitudinis et anomalie

De directione eorum qui secundum latitudinem mediorum progressuum Lune et epochi ipsorum

Compotum canoniorum prime et simplicis anomalie Lune

Quoniam non penes differentias ypothesium, verum penes epilogismos differt ea que secundum Yparcon quantitas lunaris anomalie

Claudii Ptolomei mathematicorum sintaxeos liber iiii^us incipit

⟨IV.1⟩ ⟨A⟩ quibus oportet observationibus que circa Lunam examinare

In eo quod ante hoc coordinantes quecumque utique quis videat contingentia circa Solis motum incipientesque secundum eam que deinceps consequentiam et de Luna sermonem primum arbitramur competere non simpliciter neque fortuito accedere earum que in hoc observationum usibus, verum ad universales quidem conceptiones illis maxime attendere demonstrationum quecumque non solum ex plure tempore, sed ab ipsis que secundum lunares eclipses observationibus sumuntur, – per has enim solas examinate utique loci Lune invenientur, aliis quecumque vel per eos qui ad applanas stellas progressus, vel per organa, vel per Solis eclipses considerantur, valde mentiri potentibus propter permutationes Lune –, ad particulariter autem superaccidentia et ab aliis iam observationibus facere considerationem. Distantia namque qua distitit spera Lune a centro terre non existente quemadmodum et ea que secundum zodiacum circulum tanta, ut puncti ad ipsam rationem habeat terre magnitudo, necesse est a centro terre in centrum Lune eductam rectam in eius qui per media animalia circuli partes, ad quam examinati motus omnium intelliguntur, minime vero ad sensum eandem fieri semper ab aliqua superfitie terre, hoc est visu conspitientium, in centrum Lune educte, ad quam apparens transitus eius consideratur; verum quando quidem secundum verticem fiunt fiunt] fuerit V₂F₁ observantis Luna, tunc tantum unam et eadem rectam fieri eam que a centro terre et visu conspitientis in centrum Lune et zodiacum educitur, quando vero nutum fecerit quomodocumque ab eo qui secundum verticem loco differentes quoque inclinationes propositarum rectarum compleri, ac propter hoc apparentem transitum non eandem eandem] eundem V₂F₁ fieri examinato, ad alias et alias positiones visu descendente eis que per centrum terre segregatis proportionaliter quantitatibus factorum sub inclinatione angulorum. Propter quod accidit solaribus quidem eclipsibus factis a lunari subcursu et appositione super appositione super] superapposicione V₂ que incidens in eum qui a visu nostro in Solem conum facit usque transitionem obtenebrationem non ubique ipsas, neque quantitatibus, neque temporibus similiter perfici, neque omnibus similiter, propter quas diximus causas, obtenebrante Luna, neque secundum easdem partes Solis apparentes; in lunaribus autem eclipsibus nullam talem differentiam ex permutationibus consequi, factam factam] facta V₂ circa Lunam ecliptica passione non coassumente conspitientium visum in causam sintomatis, illustrata namque Luna semper a solari fulgore, quotienscumque secundum diametricam habitudinem ipsi fit, alio quidem tempore apparet nobis tota illustrata propter totum illuminatur illuminatur] illuminatum V₂F₁ eius hemisperium simul et nobis tunc totum facere nutum, quando non non] vero V₂F₁ ita diametrizabitur, ut in umbre terre conum incidat contracircumactum semper Soli, tunc fit obtenebrata proportionaliter illapsionis quantitatibus, obscurante terra Solis fulgores. Inde similiter secundum omnes partes terre et quantitatibus et distantiarum temporibus defitiens apparet. Propter hoc ergo ad universalem considerationem examinatis locis Lune, non autem apparentibus debentibus assumi, quoniam quidem et ordinatum et simille inordinatis et dissimillibus neccessarium utique erit preiacere, aliis quidem observationibus dicimus non oportere couti eis que in ipsis locis per visum observantium deprehensis, solus solus] solis V₂F₁ vero eis que eclipsium eius, quoniam quidem in ipsis nichil ad locorum conceptionem visus conducit. Quod enim portionem eius qui per media animalia Sol optinens inveniatur secundum medium tempus eclipsis, in quo Lune centrum sub Sole secundum longitudinem examinate, ut est maxime, diametrizantur, huius manifestum quoniam quod secundum diametrum obtinebit et Lune centrum ad examinationem secundum idem tempus medium eclipseos.

⟨IV.2⟩ De periodicis temporibus Lune

A quibus ergo observationibus circa Lunam debentia universaliter sumi convenit considerare, propter hoc figurare nobis preexponatur. Modum vero et secundum quem antiqui apodixium investigationibus usi sunt et secundum quem utique nos ad apparentia concordium ypothesium discretionem commodiorem faciemus temptabibus pertransire. Quoniam ergo anomalie anomalie] anomale V₂F₁ quidem Luna apparet mota et secundum longitudinem et latitudinem et non equitemporaliter neque eum qui per media animalia circulum semper transiens, neque ad eum qui secundum latitudinem eius transitum restituta, sine inventione vero anomalie ipsius restituti temporis secundum neccessarium neque aliorum periodos sumere possibile utique fiet, secundum omnes partes tamen zodiaci et medias et maximas et minimas per particulares observationes apparet mota et secundum partes borealissimas et australissimas et secundum ipsum qui per media animalia circulum facta, querebant convenienter antiqui mathematici tempus aliquod, per quantum semper Luna equaliter moventur moventur] moveretur V₂ secundum longitudinem, velut hoc solo anomaliam potente restituere. Apponentes ergo observationes lunarium eclipsium, propter quas diximus causas, considerabant que utique multitudinis mensium differentia et equitemporalis fiat semper eque multitudinis distantiis et equales circulos contineat secundum longitudinem, vel totos, vel cum aliquibus equalibus periferiis. Universalius ergo adhuc antiquiores tempus hoc suspicabantur omne omne] esse V₂F₁ dierum vidlxxxv et tertiam. Per tantum enim ad proximum videbant menses quidem completos ccxxiii, restitutiones autem anomalie quidem ccxxxix, latitudines autem ccxlii, circunciones vero latitudinis latitudinis] om. V₂F₁ longitudinis ccxli, et adhuc quot et Sol assumit xviii circulus circulus] circulis V₂F₁ in predicto tempore gradus x iii ii, velut restitutione ipsorum ad applanas stellas considerata. Vocaverunt autem tempus istud periodicum, velut primum in unam restitutionem ducens ad proximum differentias motuum et, ut ex totis diebus ipsum constituerunt, triplicaverunt vidlxxxv dies et iii^a et habuerit habuerit] habuerunt V₂F₁ dierum numerum xixdcclvi, quem vocaverunt exeligmon, idest evolutionem, et alia vero similiter triplicantes, habuerunt menses quidem dclxix, restitutiones vero anomalie quidem dccxxvii, latitudines vero dccxxvi, circumcursus vero longitudinis dccxxiii, et adhuc quot et Sol assumit liiii circulis gradus xxxii. Iam tamen rursum Yparcus arguit et a Caldeacis et ab eis que secundum ipsum observationibus ratiocinans non habentia se hec examinate. Demonstrat enim per quas exposuit observationes quoniam primus numerus dierum per quot semper eclipticium tempus in equalibus mensibus et in equalibus motibus revolvitur cxx est adhuc etiam vivii dierum et unius hore equinoctialis, in quibus menses quidem perfectos invenit xxxcclxvii, totas vero anomalie restitiones restitiones] restituciones V₂F₁ iiiidlxxiii, zodiacos vero circulos iiiidcxii defitientes gradus vii et dimidium ad proximum, quot et Sol in cccxlv circulos deficit rursum, velut restitione restitione] restitucione V₂F₁ ipsorum ad applanas stellas considerata. Unde invenit et menstruum et medium tempus, distributa dierum preiacente multitudine in iiiicclxvii menses, dierum collectionem xxix xxxi lviii xx ad proximum. In tanto ergo tempore que ab eclipsi lunari in eclipsi simpliciter redditas equales distantias demonstrat, quare manifestum fieri restitui anomaliam ex semper, per tantum tempus tantosque menses contineri et equalibus secundum longitudinem periodis iiiidc xi assumi gradus equales ccclii et dimidium consequenter eis que ad Solem coniugationibus. Si quis autem non ab eclipsi lunari in eclipsi numerum mensium inquirat, solum vero eum qui a sinodo vel panselinio in similem sinzugiam, inveniet utique adhuc minorem restitutionem et anomalie et mensium numerum, sumens solum ipsorum communem mensuram xvii, que colligit menses quidem ccli, anomalie vero restitutiones cclxix. Nondum tamen preiacens tempus invenietur et eam que secundum latitudinem perfitiens restitionem restitionem] restitucionem V₂F₁. Redditio namque eclipsium dumtaxat et temporis et secundum longitudinem periodorum apparebat salvans equalitates, minime autem ad quantitates et simillitudines obscurationum a quibus et latitudo deprehenditur. Iam vero presumpto anomalie restitutio restitutio] restitutivo V₂ tempore, apponens rusum Yparcus distantias mensium similles secundum omnia extremas eclipses habentium et quantitatibus et temporibus obscurationum, in quibus nulla facta est differentia penes anomaliam, quare propter hoc et secundum latitudinem transitum restitutum apparere, demonstrat et huiusmodi periodum perfectam in mensibus quidem vcccclviii, periodis vero latitudinariis vcccxxiii. Modus ergo quo ad tales conceptiones usi sunt qui ante nos talis erat. Quoniam vero neque simplex, neque facilis, secundum multa et non fortuita indiges indiges] indigens V₂F₁ instantia, ita utique intelligemus. Ut enim demus examinate equalia invicem distantiarum tempora inveniri, primum quidem nulla utilitas est quod huiusmodi, neque Sole eam que penes anomaliam differentiam vel nullam vel eamdem fatiente secundum utrumque utrumque] utramque V₂F₁ distantiarum. Si enim non hoc contingat, fiat autem adhuc, ut dixi, penes anomaliam eius differentia, neque ipse erit in equalibus temporibus equales circuitiones faciens, neque manifestum quoniam Luna. Si enim verbi causa utraque quidem comparatarum distantiarum post tota et equalia annua tempora assumat dimidium annui temporis, in tanto vero supermotus Sol contingat secundum primam quidem differentiam ab eo qui secundum Pisces medio motu, iuxta secundam vero ab eo qui secundum Virginem, secundum priorem quidem minus assumens erit Sol semicirculo gradibus iiii^a et dimidio et iiii^a ad proximum, iuxta secundam vero plus semicirculo eisdem gradibus, quare et Lunam in equalibus temporibus post totos circulos secundum priorem quidem differentiam assumere gradus clxxxv clxxxv] clxxv V₂F₁ et iiii, iuxta secundam vero clxxxiiii et dimidium et iiii. Opportere ergo dicimus hoc primum habere differentias circa Solem accidens, vel totos ipsum circulos continere, vel secundum alteram quidem distantiarum eum qui ab apoguio semicirculum supersumere secundum alteram vero eum qui a periguio, vel ab eadem portione incipere secundum utramque differentiarum, vel equaliter distare utrimque vel ab apoguio vel a periguio et secundum priorem eclipsim alterius distantiarum et iuxta secundam alterius. Ita enim utique dumtaxat vel nulla vel eadem fiet distantiam penes anomaliam ipsius secundum utramque distantiarum, quare et equales supersumptas fieri periferias, vel alterius alterius] alternis V₂F₁, vel et alternis et omalis. Secundum autem arbitramur oportere et circa cursus Lune simillem instantiam facere. Hoc enim indiscreto manente, contingens rursum apparebit et Lunam multotiens equales periferias secundum longitudinem in equalibus temporibus superassumere posse, non penitus et anomalia ipsius restituta. Continget autem huiusmodi, sive secundum utramque distantiarum ab eodem secundum appositionem vel eodem secundum ablationem cursu faciet principium et non in eundem desinet, sive secundum alteram quidem a maximo cursu incipiens in minimum cursum desinat, secundum alteram vero a minimo cursu in maximum, sive equaliter distent utrimque ab eodem minimo vel maximo cursu et alterius distantie primus cursus et alterius postremus, unde quodcumque istorum si contingat, vel nullam rursus, vel eadem faciet penes anomaliam ipsius differentiam. Ac propter hoc eas quidem que secundum longitudinem super assumptiones equales faciet, anomaliam vero nequaquam restituet. Nichil ergo neque istorum simptomatum habere oportet assumptas differentias, differentias] distantias V₂ del. differentias add. distantias F₁ si cherent cherent] deberent V₂F₁ inde restitutum anomalie tempus contentum ire. Contrarie autem utique deberemus eligere eas que maxime inequalitatem declarare valent, si non tote contineantur anomalie restitutiones, hoc est quando non solum differentibus cursibus principia habeant, verum et valde differentibus vel secundum magnitudinem vel secundum potentiam, secundum magnitudinem quidem, velut quando secundum alteram quod quod] quidem V₂ differentiam differentiam] add. s. l. tanti V₃F₁ distantiam V₂ a minimo cursu incipit et non in maximum desinet, secundum alteram vero, quando a maximo incipit et non in minimum desinit. Plurima enim ita erit eius que secundum longitudinem superassumptionis differentia, non totis circulis anomalie completis, quando precipue tetartimorium unum vel et tria unus unus] unius V₂F₁ anomalie superassumuntur, duabus tunc penes anomaliam differentiis inequalibus distantiis futuris, secundum potentiam vero, velut quando secundum utramque quidem distantiarum a medio cursu inchoaverit, non ab eodem vero medio, sed secundum alteram quidem ab eo qui secundum appositionem, secundum alteram vero ab eo qui secundum ablationem. Et ita enim plurimum distabunt adinvicem longitudinis apoysie, apoysie] epoysie V₂ precipue non restituta anomalia, tetartimorio quidem uno rursum vel etiam tribus superassumptis unius anomalie, duabus penes anomaliam differentiis, semicirculi vero iiii. Propter hec ergo et Yparcum videmus observantissime, ut maxime autumabat, usum assumptarum in huiusmodi considerationem differentiarum differentiarum] distantiarum V₂ ellectione, et cousum quidem Lunam secundum alteram differentiam a maximo cursu fecisse principium et non in minimum quievisse, secundum alteram vero a minimo cursu fecisse principium et non in maximum quievisse, sorigentem sorigentem] corrigentem V₂F₁ vero et penes anomaliam Solis factam differentiam, quamvis brevem existentem, propter iiii^am ad proximum unius dodecatimorii et non eiusdem vel equalem faciens differentiam anomalie secundum utramque distantiarum in totos circulos reliquisse Solis restitionem. restitionem] restitucionem V₂F₁ Hec vero diximus, non acusantes preiacentem investigationem periodicarum restitutionum restitionum] restitucionum V₂F₁ conceptionis, sed constituentes quoniam cum competenti quidem instantia et secundum consequens ratiocinatione facta dirigere potest propositum. Si autem aliqua et quod minimum expositorum simptomatum pretereat, frustrabitur omnino ab inquisita conceptione, et quoniam difficilis est perspicaciter facientibus talium observationum ellectionem ab examinationem omnium debentium ipsis inesse redditio. Igitur expositarum periodicarum restitionum secundum ab Yparco factas computationes ea quidem que mensium, ut diximus, sane ut maxime inerat investigata, nullo sensibili apparet inde tua inde tua] mentita V₂F₁ a veritate, que vero anomalie et latitudinis digno cura aliquo peccans, quare et nobis compedium compedium] compendium V₂F₁ factum fuisse ex in huiusmodi discrecionem secundum simplicius et commodius assumptis ephodis, quas statim demonstrabimus simul quantitati lunaris anomalie, preexponentes primum propter ad ea que deinceps commodum secundum partium factos medios cursus et longitudinis et anomalie et latitudinis, convenienter preiacentibus periodicorum motuum restitutivis temporibus et ex demonstranda ipsorum directione superagregata.

⟨IV.3⟩ De eis qui secundum partem omalis motibus Lune

Si ergo demonstratum medium Solis motum diurnum o lix viii xvii xiii xii xxxi ad proximum multiplicantes in unius mensis dies xxix xxxi l viii xx et factis apposuerimus unius circuli gradus ccclx, habebimus, quos in uno mense media Luna movetur secundum longitudinem, gradus ccclxxxix vi xxiiii i xxiiii ii xxx lvii ad proximum. Istos distribuentes in propositos mensis dies habebimus diurnum medium motum longitudinis gradus xiii x xxxiiii lviii xxxiii xxx xxx ad proximum.

Rursus cclxix circulos anomalie multiplicantes in unius circuli gradus ccclx habebimus multitudinem graduum xcvidccc xl. Istos dividentes in factos dies ccli mensium viiccccxii x xliiii li xl habebimus et anomalie diurnum medium motum gradus xiii iii liii lvi xxix xxxviii xxxviii.

Similiter vdcccc xxiii latitudinis restitutiones multiplicantes in unius circuli gradus ccclx habebimus multitudinem graduum ii cxxxiicclxxx. Istos distribuentes in vdc lviii mensium factos dies clxiclxxvii lviii minuta lviii secunda iii xx habebimus et latitudinis diurnum medium motum gradus xiii xiii xlv xxxix xl xvii xix.

Rursum a Lune secundum longitudinem diurno motu aufferentes Solis medium diurnum motum habebimus apochis medium diurnum motum gradus xii xi xxvi xli xx xvii lix. Per deinceps vero, ut diximus, nobis assumandas in huiusmodi consideracione ephodos longitudinis quidem diurnum motum fere inpermutabilem reperimus a preiacenti eum qui apochis manifestum quoniam, anomalie vero minorem gradibus o o o o xi xlvi xxxix, quare fieri graduum xiii iii liii lvi xvii li lix, latitudinis autem maiorem gradibus o o o o viii xxxix xviii, quare et ipsum fieri graduum xiii xiii xlv xxxix xlviii lvi xxxvii.

Secundum hec vero diurna sumentes uniuscuiusque xxiiii habebimus horarum medium motum, longitudinis quidem graduum o xxxii lvi xxvii xxvi xxiii xlvi, anomalie vero graduum o xxxii xxxix xliiii l xliiii xxxix lvii xxx, latitudinis vero graduum o xxxiii iiii xxiiii ix xxxii xxxi xxxii xxx, apochis autem graduum o xxx xxviii xxxvi xliii xx xliiii lvii xxx. Tricesies autem fatientes diurnos et auferentes circulos habebimus menstruam menstruam] mediam V₂ add. mediam F₁ epoysiam, longitudinis quidem graduum xxxv xvii xxix xvi xlv xv, anomalie vero graduum xxxi lvi lviii viii lv lix xxx, latitudinis autem graduum xxxvi lii xlix liiii xxviii xviii xxx, apochis autem graduum v xliii xx xl viii lix xxx.

Rursum diurnos multiplicantes in egiptiaci anni dies ccclxv et auferentes omnes circulos habebimus annuam mediam epoysiam, longitudinis quidem graduum cxxix xxii xlvi xiii l xxxii xxx, anomalie vero graduum lxxxviii xliii vii xxviii xli xiii lv, latitudinis autem graduum cxlviii xlii xlvii xii xliiii xxv v, apochis graduum cxxix xxxvii xxi xxviii xxix xxiii lv.

Dehinc deciesocties facientes annuos, per canonographiam sicut diximus commodum, et auferentes totos circulos habebimus xviii annorum spatii mediam epoysiam, longitudinis quidem graduum clxviii xlix lii ix ix xlv, anomalie vero gradum clvi lvi xiiii xxxvi xxii x xxx, latitudinis autem graduum clvi l viiii xlix xix xxxi xxx, apochis autem graduum clxxiii xii xxvi xxxii xlix x xxx.

Descripsimus ergo, quemadmodum et in Sole, canones tres in versus quidem rursum xlv, selidia vero secundum unumquemque v. Selidiorum autem prima quidem continebunt propria tempora, in primo quidem canone xviii annos, in secundo vero annos simplices et deinceps rursum horas, in tertio autem menses et deinceps rursum dies, reliqua autem iiii^or proprias mensium appositiones, secunda quidem longitudinis, tertia anomalie, quarta latitudinis, quinta apochis. apochis] add. et est expositio canoniorum talis V₂F₁

⟨IV.4⟩

⟨IV.5⟩ Quoniam et in simplici ypothesi Lune eadem apparentia faciunt et que secundum excentrotica et que secundum epiciclum

Consequente vero his demonstrare et modum et quantitatem lunaris anomalie, nunc primum faciemus super hoc sermonem, velut una ista existente, cui soli et omnes fere qui ante nos adherentes apparent, dico vero secundum expositum tempus restitutionem consumante. Post hec vero ostendemus quoniam facit quandam et secundam anomaliam Luna penes eas que ad Solem distantias, maximam quidem factam circa dichotomias utrasque, restitutam vero his his] bis V₂F₁ in menstruo tempore circa ipsas et sinodos et panselinia. Ita vero ordine demonstrationis ad secundam utemur, propter istam quidem sine prima complicata ipsi semper numquam reperiri posse, illam vero et sine secunda, quoniam quidem a lunaribus eclipsibus sumitur, secundum quas nulla sensibillis fit differentia ex penes Solem contingente. In precendente vero demonstratione et sequamur theorematis ephodis quibus et Iparcum videmus cousum. Sumentes enim et ipsi tres eclipses lunares ostendemus et quanta plurima fiat differentia penes medium motum et eam que secundum apoguiotaton apochin, velut huiusmodi anomalia secundum seipsam considerata et per eam que secundum epiciclum ypothesim consumata, quidem eisdem rursum futuris et per eam que secundum excentrotica ypothesim, proprius autem utique copulanda que huiusmodi secundum mixtionem ambarum anomaliarum secunde et penes Solem contingenti. Quoniam quidem talia rursum et hic fiunt apparentia per utramque expositarum ypothesium, quamvis non equalia sint invicem, quemadmodum in Sole ostendimus, tempora restitutionum ambarum eius scilicet que secundum anomaliam et eius que ad eum qui per media animalia circulum consideratur, sed, quemadmodum in Luna, inequalia, proportionibus rursum solis subiacentibus eisdem, ita utique intelligemus rursum in ipsa simplici anomalia Lune exposita facientes considerationem. Quoniam ergo celius celius] celeri V₂ celerius F₁ facit Luna ad eum qui per media animalia circulum restitutionem restitutionem] restitucionem V₂F₁ ea que ad subiacentem anomaliam, in equalibus temporibus manifestum quoniam secundum eam que secundum epiciclum ypothesim maiorem quam secundum simille periferiam epiciclus semper movebitur in eo qui omocentricus zodiaco ea que a Luna secundum epiciclum conprehenditur. In ea vero vero] add. que V₂F₁ secundum excentrotica Luna quidem simillem ei que in epiciclo et in excentrotico movebitur periferiam, excentricus vero in eadem Lune circa centrum zodiaci tantam, quanta maior est que secundum longitudinem progressio ea que secundum anomaliam, hoc est facta omocentrici periferia ea que epicicli. Ita enim non solum proportionum, sed etiam temporum temporum] add. utriusque V₂F₁ motuum simillitudines in ambabus ypothesibus salvabuntur.

His ergo secundum consequens inde neccessario subiacentibus, esto omocentricus quidem ei qui per media animalia circulus ABG circa centrum D et diametrum AD, epiciclus vero EZ circa centrum G. Subiaceat autem, quando quidem erat epiciclus secundum A et Luna secundum E, apoguion epicicli facta, in equali vero tempore epiciclus quidem AG periferiam transiens, Luna vero EZ, et copulentur ED, ZG. Et quoniam maior est quam secundum simille AG periferia quam EZ, assumatur BG simillis eius que est EZ et coniungantur BD. Quoniam ergo in equali tempore et excentricus ADB angulum transituum ambarum superhabundantie motus est et factum est eius et centrum et apoguion in BD, manifestum. Hoc autem ita se habente, iaceat ei que est GZ equalis DI, et copulentur ZI, et centro I spatioque IZ scribatur excentricus circulus ZT; dico quoniam et eius quidem que est ZL ZL] ZI V₂ ad ID proportio eadem erit proportioni eius que est DG ad GZ, et secundum istam vero ypothesim Luna secundum Z punctum erit, hoc est similis et ZT periferia erit ei que est EZ. Quoniam enim equalis est BDG angulus angulo EGZ, parallilos est GZ ei que est DI, et ZI ergo ei que est GD et equalis est et parallilos, et eius que est ZI ad ID proportio eadem proportioni eius que est DG ad GZ. Rursum quoniam paralillos est DG ei que est IZ, equalis est GDB angulus angulo ZIT. Subiaceat autem et GDB angulus angulo EGZ equalis. Quare et ZT periferia ei que est EZ simillis est. In equali ergo tempore secundum utramque ypothesium secundum Z punctum facta est Luna, quoniam quidem et ipsa EZ epicicli et TZ excentrici periferias similles ostensas mota est, epicicli vero centrum AG periferiam, quod vero excentrici AB superhabundantiam eius que est AG ad EZ. Quod oportebat ostendere.

Quoniam vero et si similles tantum sint proportiones et non equales, neque ipse, neque excentricus omocentrico idem rursum contingit, et ita nobis erit manifestum. Describatur enim seorsum utraque ypothesium et esto omocentricus quidem ei qui per media animalia circulus ABG circa centrum D et diametrum AD, epiciclus autem EZ circa centrum G, Luna vero Z, et rursus excentricus quidem circulus ITK circa centrum L et diametrum TLM, in qua zodiaci centrum esto M, punctum vero K Luna. Et copuletur illic quidem DGE, GZ, DZ, hic autem IM, KM, KL. Subiaceat autem eius que est DG ad GE proportio eadem proportioni eius que est TL ad LM, et moveantur in equali tempore epiciclus quidem ADG angulum, et Luna rursum EGZ, excentricus autem IMT angulum, et Luna rursum TLK. Equalis ergo est per subiacentes ergo motuum proportiones EGZ quidem angulus ei qui est TLK, angulus autem ADG coutrisque IMT et TLK. Hoc autem ita se habente, dico quoniam rursum secundum utramque ypothesium in equali tempore equalem periferiam Luna apparebit transiens, hoc est quoniam equalis est ADZ angulus angulo IMK. Quoniam secundum principium quidem distantie et apoguiis existens Luna secundum DA et MI rectus apparebat, secundum finem vero in Z et K punctis existens per ZD et MK. Iaceat autem utrique TK et EZ periferiarum similis rursum BG, et copulentur BD. Quoniam ergo est sicut DG ad GZ, ita KL ad LM, et circa equales angulos qui ad G, L puncta latera proportionalia, equiangulum est GDZ trigonium trigono KLM et sub proportionalibus lateribus anguli equales, equalis ergo est GZD angulus angulo LMK. Sed et BDZ angulo GDZ equalis, eo quod paralille sint GZ et BD, equalibus subiacentibus ZGE et BDG angulis, equalis ergo est et ZBD ZDB angulus angulo LMK. Subiaceat autem et ADB angulus superhabundancie motuum ei qui sub IMT excentrici progressui equalis et totus ergo ADZ equalis est toti KMI. Quod propositum erat demonstrare.

⟨IV.6⟩ Apodixis prime et simplicis anomalie

Hec ergo usque tanta nobis preconsiderentur. Faciemus autem demonstrationem exposite lunaris anomalie, in ea que secundum epiciclum ypothesim, propter quam diximus causam; primum quidem earum quas habemus principalissimas eclipsium tribus indubitanter visis describi coutentes, deinceps vero et earum que in presenti tempore tribus rursum a nobis ipsis diligentissime observatis. Ita enim utique et examinatio nobis erit, per quantum maxime possibille erat longum tempus, et aliter manifestum erit quoniam et que penes anomaliam differentia eadem ex ambobus ostensionibus ad proximum exibit, et mediorum motuum epoysia consona semper invenietur secundum exposita periodica tempora secundum nostram directionem supercollecte. Ad ostensionem ergo prime et quasi secundum seipsam considerate anomalie ea que secundum epiciclum ypothesis, ut diximus, contineat modum hunc. Intelligatur enim in Lune spera circulus omocentricus et in eodem epipedo iacens ei qui per media animalia, adhuc vero alter inclinatus proportionalis quantitati eius qui secundum latitudinem motus Lune, delatus plane in precedentia circa centrum qui per media animalia circuli tantum, quantum qui secundum latitudinem motus superabundat illi qui secundum longitudinem. In isto ergo obliquo circulo ferri supponimus eum qui vocatur epiciclus plane rursus in consequentia mundi consequenter ei que secundum latitudinem restitutioni, que manifestum quoniam ad ipsum qui per media animalia consideratum secundum longitudinem facit motum. In ipso autem epiciclo Lunam velut secundum apoguiam periferiam in precedentia mundi transitionem facientem consequenter ei que anomalie restitutioni. Ad subiacentem tamen ostensionem nichil utique impediemur, neque ea que per latitudinem precessione, neque obliquatione lunaris circuli coassumpta, nulla cura digna differentia ei qui secundum longitudinem progressui accedente ex ea que in tantum inclinatione. Earum ergo quas sumpsimus antiquarum trium eclipsium ex in Babilone obversatis prima quidem descripta est primo anno Mardokempadi secundum Egipitios Thot xxix^a in xxx^a. Incepit autem, inquit, deficere post ortum, una hora sufficienter preterita, et defecit tota. Quoniam ergo Sol circa postrema Piscium erat et nox horarum equinoctialium xii ad proximum, principium quidem eclipseos factum fuit manifestum quoniam ante iiii^or horas equinoctiales et dimidium a mesonictio, medium vero tempus, quoniam perfecta erat eclipsis, ante duas horas et dimidium. In Alexandria ergo, quoniam quidem ad eum qui per ipsam meridianum epochas constituimus horarias, precedit vero qui per ipsam meridianus eum qui per Babilonem dimidia et tracta tracta] tercia V₂F₁ ad proximum hore unius equinoctialis, medium tempus fuit preiacentis eclipseos ante tres horas equinoctiales et iii^a a mesonictio, secundum quam horam Sol secundum preexpositas ratiocinationes nobis obtinebat examinate Piscium gradus xxiiii^a et dimidium ad proximum.

Secunda vero eclipsium scripta est facta secundo anno eiusdem Mardokempadi secundum Egiptios Thot xviii in xix^a, defecitque, inquit, a notho digitos iii in ipso mesonicti. Quoniam ergo medium tempus in Babilone apparet factum secundum ipsum mesonictium, in Alexandria debet fieri ante dimidium et tertiam partem unius hore a mesonictio, secundum quam horam Sol obtinebat examinate Piscium gradus xiii et dimidium et iiii.

Tertia vero eclipsium descripta est facta eodem secundo anno Mardokempadi secundum Egiptios Phamenoth xv^a in xvi^a. Incepit autem, inquit, deficere post ortum et defecit ab arctis plus dimidia. Quoniam ergo Sol circa principium erat Virginis, noctis que magnitudo in Babilone xi ad proximum horarum contingenbat contingenbat] contingebat V₂F₁ equinoctialium, dimidium autem noctis v horarum et dimidii, et principium ergo eclipseos fuit ante quinque maxime horas equinoctiales a mesonictio, eo quod post ortum esse incepit, medium vero tempus ante tres horas et dimidium. Quoniam totum tempus tante quantitatis obscurationis trium ad proximum horarum debet fieri, in Alexandria rursum ergo medium tempus eclipseos complebitur ante iiii^or horas equinoctiales et iii^a a mesonictio, secundum quam horam Sol optinebat examinate Virginis gradus iii et iiii^a ad proximum. Manifestum ergo quoniam a medio quidem tempore prime eclipseos in medium tempus secunde, motus est Sol, hoc est et Luna, post omnes circulos gradibus cccxlix et xv, a secunde vero eclipsis tempore medio in medium tempus tertie gradibus clxix et xxx. Sed et intermediorum temporum distantia a primo quidem in secundum dies continet cccliiii et horas equinoctiales, simpliciter quidem ita contemplantibus duas et dimidium, ad equalium vero nictimerorum rationationem duas et dimidium et xv^a; a secundo autem in tertium dies clxxvi et horas equinoctiales similliter quidem rursum xx et dimidium, examinate vero xx et v^a. Movetur autem Luna plane, – ad tantum enim tempus nullo sensibili distabit, etsi eis que prope periodos examinatas quis consequatur –, in diebus quidem ccc liiii et horis equinoctialibus ii et dimidio et xv^a, anomalie quidem post integros circulos gradibus cccvi et xxv, longituinis vero gradibus cccxlv et li; in diebus autem clxxvi et horis equinoctialibus xx et v^a, anomalie quidem cl et xxvi, longitudinis vero gradibus clxx vii ad proximum. Manifestum ergo quoniam prime quidem distantie epicicli cccvi et xxv apposuerit apposuerit] apposuerunt F₁ medio motui Lune gradus iii et xxiiii, distantie vero secunde gradus cl et xxvi dempserunt a medio motu gradus o et xxxvii.

Istas Istas] Istis V₂ ergo subiacentibus, esto Lune epiciclus ABG et A quidem punctus esto secundum quem erat Luna in medio tempore prime eclipseos, B vero secundum quem erat in medio tempore secunde eclipsis, G autem secundum quem erat in medio tempore tertie eclipsis. Intelligatur autem Lune in epiciclo transitus, ut a puncto B in A et ab A in G factus, quare ABG quidem periferiam, quam progressa est a prima eclipsi in secunda, graduum existente existente] existentem V₂F₁ cccvi et xxv, apponere medio gradus iii et xxiiii, BAG vero, quam mota est a secunda ecplisi in terciam, graduum existentem cl et xxvi, auferre a medio gradus o xxxvii, propter hoc autem a puncto quidem B in A transitum, graduum existentem liii et xxxvi, auferre a medio eosdem gradus iii et xxiiii, eum autem qui ab A in G, graduum existentem xcvi et li, apponere medio gradus ii et xlii. Quoniam ergo non possibile in BAG perferia periguiotaton esse epicicli manifestum ex ablativam ipsam ipsam] add. esse V₂ et minorem semicirculo, maximo motu secundum periguion subiacente, quoniam vero omnino in BEG, sumatur centrum et eius qui per media animalia circuli et ferentis centrum epicicli et esto D, et copulentur ab ipso in tria eclipsium puncta recte DA, DEB, DG. Universaliter ergo, ut et similles ostensiones facilem traductionem theorematis faciamus, sive per eam que secundum epiciclum ypothesim ipsas, ut nunc ostendamus, sive per eam que secundum excentrotica, D centro tunc intus sumpto, una quidem copulatarum trium rectarum educatur in contraiacentem periferiam, ut hic DEB, NT NT] M V₂ inde F₁ habebimus perductam in E punctum ab B secunde eclipseos. Reliqua autem duo puncta eclipsium copulet recta, ut hic AG, et a facta sectione ab educta, quemadmodum E, copulentur quidem in reliqua duo puncta recte, ut hic AE, EG. Catheti vero ducantur in a reliquis duobus punctis in zodiaci centrum copulatas rectas super AD quidem EZ et super GD EI, et adhuc ab altero duorum dictorum punctorum, ut hic ab G, cathetus ducatur in ab altero ipsorum, ut A, in factam abiectione superfluam sectionem, quale E, copulatam rectam, velut hic in rectam AE ea que est GT. Undecumque enim utique utemur descriptionis ductu, easdem inveniemus procedentes rationes per ostensionis numeros, ellectione ad commodum tantummodo relicta. Quoniam ergo BA periferia subtendens ostensa est eius qui per media animalia circuli iii et xxiiii, erit utique et BDA angulus ad centrum eius existens, qualium quidem sunt iiii recti ccclx, talium iii et xxiiii, qualium vero duo recti ccclx, talium vi et xlviii. Quare et que quidem super EZ rectam periferia talium vi et xlviii, qualium qui circa DEZ orthogonium scriptus circulus ccclx, ipsa vero EZ recta talium vii et vii, qualium DE ypothenusa cxx; similiter quoniam BA periferia graduum est liii et xxxv, erit utique et BEA angulus ad periferiam existens talium liii et xxxv, qualium sunt ii recti ccclx. Eorumdem vero erat et BDA angulus vi et xlviii et reliquus ergo EAZ angulus eorumdem est xlvi et xlvii. Quare et que quidem super EZ periferia talium est xlvi et xlvii, qualium est qui circa EAZ orthogonium circulus ccclx. Ipsa vero EZ recta talium xlvii et xxxviii et xxx, qualium est EA ypothenusa cxx, et qualium est ergo EZ recta vii et vii et ED cxx, talium erit et AE recta xvii lv et xxxii.

Rursum quoniam BAG periferia subtendit zodiaci gradus o et xxxvii, erit utique et BDG angulus ad centrum eiusdem existens, qualium quidem sunt iiii^or recti ccclx, talium o xxxvii, qualium vero ii recti ccclx, talium unius et xiiii. Quare et que quidem super EA periferia talium est unius et xiiii, qualium est qui circa DEI trigonum circulus ccclx, ipsa vero EI recta talium unius et xvii et xxx, qualium est DE ypothenusa cxx. Similiter quoniam BAG periferia graduum est cl et xxvi, erit utique et BEG angulus ad periferiam existens talium cl et xxvi, qualium sunt duo recti ccclx. Eorumdem vero erat et BDG angulus unius et xiiii. Et reliquus ergo EGD eorumdem est cxlix et xii. Quare et que quidem super EI periferia talium est cxlix et xii, qualium que circa GEI orthogonium circulus ccclx, ipsa vero EI recta talium cxv et xli et xxi, qualium est GE ypothenusa cxx, et qualium ergo est EI quidem recta unius et xvii et xxxviii et DE cxx, talium est GE recta unius et xx et xxiii, eorumdem vero ostensa est et EA recta xvii et lv et xxxii.

Rursum quoniam AG periferia graduum ostensa est xcvi et li, erit utique et AEG angulus ad periferiam existens talium xcvi et li, qualium sunt duo recti ccclx. Quare et que quidem super GT periferia talium est xcvi et li, qualium qui circa GET trigonum circulus ccclx et que super ET periferia reliquorum in semicirculum lxxxiii et ix. Subtendentes ergo ipsas recte erit GT quidem talium lxxxix et xlvi et xiiii, qualium est GE ypothenusa cxx, et ET eorumdem lxxix et xxxvii et lv, et qualium ergo est GE recta unius et xx et xxiii, talium erit et GT quidem recta unius o et viii, ET vero similiter o liii et xxi. Eorumdem vero erat EA tota xvii et lv et xxxii, et reliqua ergo TA talium est xvii et ii et xi, qualium GT ostensa est unius o viii et est, quod quidem ab AT tetragonum ccxc et xiiii et xix, quod vero ad GT similiter unius o et xviii, que coniuncta faciunt quod ab AG tetragonum ccxcii et xiiii et xxxvi. Longitudine ergo est AG talium xvii iii et lvii, qualium est DE quidem recta recta] add. cxx GE vero eorumdem i et xx et xxiii. Est autem et qualium epicicli diametros cxx, talium AG recta V₂ lxxxix et xlvi et xiiii. Subtendit enim AG periferiam existentem xcvi et li, et qualium ergo est AG quidem recta lxxxix et xlvi et xiiii atque epicicli diametros cxxi, cxxi] cxx V₂ talium erit et DE recta dcxxxi et xiii et xlviii atque GE eorumdem vii et ii et l. Quare et que quidem super eam periferiam GE talium vi et xliiii et unius, qualium est epiciclus ccclx. Eorumdem vero subiacet et BAG periferia cl et xxvi et tota ergo BGE periferia graduum est clvii et x i, que vero sub ipsa recta BE talium cxvii et xxxvii et xxxii, qualium est epicicli diametros cxx, ED autem recta dcxxxi et xiii et xlviii. Si ergo BE recta equalis erat invente diametro epicicli, in ipsa utique continget manifestum quoniam centrum eius, et inde utique apparet diametros proportio. Quoniam vero minor est ipsa, minor vero et BGT BGT] BGE V₂F₁ periferia semicirculo manifestum quoniam centrum epicicli cadet extra BAGE proportionem. Subiaceat ergo K punctum et copuletur a D centro eius qui per media animalia circuli per K recta DMKL, quare L punctum fieri apoguiotaton epicicli, M vero periguiotaton. Quoniam ergo sub DB et DE contentum orthogonium equale est sub LD et DM contento orthogonio, ostensum autem nobis quoniam qualium est epicicli diametros, hoc est LKM recta, cxx, talium est BE recta cxvii et xxxvii et xxxii, CD CD] ED V₂F₁ vero eorumdem dcxxxi et xiii et xlviii. Tota vero BD manifestum quoniam dccxlviii et li et xxiii fit quod sub BD et DE, hoc est quod sub DL et DM contentum orthogonium cccclxxiidcc et sesagessimorum v et xxxii.