visa, hoc est ea que est recte PT ad KT, epicicli quidem velocitatem ad eam que stelle proportionem habere quam ea que secundum longitudinem solum progressio ad eam que anomalie, excentrici vero velocitatem ad velocitatem stelle proportionem habere quam Solis media progressio, hoc est et que secundum longitudinem, et que anomalie stelle coniunta coniunta] coniuncta F₁ ad ea que anomalie, quare verbi causa in Martis stella velocitatis quidem epicicli ad velocitatem stelle proportionem esse eam que xlii ad proximum ad xxxvii. Eius enim que secundum longitudinem progressionis proportio ad eam que anomalie tanta ad proximum demonstrata est, et propter hoc istam habere proportionem et rectam OT ad TZ. Eam vero que velocitatis excentrici ad velocitatem stelle eam que controrumque controrumque] coutrarumque F₁ lxxix ad xxxvii, hoc est coniunctum eam que recta PT ad TK, quoniam quidem que secundum divisionem eius que est recte PK ad KT proportio eadem erat ei que recte OT ad TZ, hoc est ei que est xlii ad xxxvii.

Et ista quidem nobis sint usque tantum preexposita. Relicto vero ostendere quoniam, in huiusmodi proportionem divisis rectis sumptis, in utraque ypothesium I et T puncta continebunt stationum fantasias, et IGT quidem periferiam precessivam necesse est fieri, reliquam vero relictivam, presumit limatium Apollonius tale: quoniam, si, trigono ABG maius habente latus BG quam AG, assumatur GD non minor quam AG, recta GD ad BD maiorem proportionem habebit quam ABG angulus ad BGA. Demonstrat autem sic. Compleatur enim, inquit, ADGE parallilogramum et educte BA et GE concidant secundum Z punctum; quoniam AE quam AG non est minor, ergo centro A spatioque AE descriptus circulus vel per punctum G veniet vel super G. Scribatur ergo per punctum G circulus IEG, et quoniam maior quidem est AEZ trigonus AEI sectione, minor vero AEG trigonus AEG sectione, maiorem proportionem habet AEZ trigonus ad AEG trigonum quam AEI sector ad AEG sectorem. Sed sicut quidem AEI sector ad AEG sectorem, ita EAZ angulus ad EAG angulum, sicut autem AEZ trigonus ad trigonum AEG, ita ZE basis ad EG. Maiorem ergo proportionem habet recta ZE ad EG quam ZAE angulus ad EAG. Sed sicut quidem recta ZE ad EG, ita recta GD ad DB. Equalis vero ZAE quidem angulus angulo ABG, angulus vero EAG angulo BGA. Et recta ergo GD ad DB maiorem proportionem habet quam ABG angulus ad angulum AGB. Manifestum vero quoniam et multo maior proportio erit, non equali subiacente recta AG ei que est GD, hoc est recte AE, sed maiore.

Hoc presumpto, esto epiciclus ABGD circa centrum E et diametrum AEG que educatur in Z punctum visus nostri ita, quare rectam EG ad GZ maiorem proportionem habere quam velocitatem epicicli ad velocitatem stelle. Possibile ergo pertrahi ZIB rectam ita se habente, quare medietatem eius que est BI ad IZ proportione habere quam velotitas epicicli ad velocitatem stelle. Et si per premonstrata assumamus equalem ei que est AB periferia eam que est AD, et copulemus rectam DTI, T quidem punctum in ea que secundum excentrotica ypothesi visus noster intelligetur, dimidia vero eius que est DI ad TI proportionem habebit quam velocitas excentrici ad velocitatem stelle. Dicimus ergo quoniam secundum I punctum facta stella in utraque ypothesium fantasiam stationis faciet, et quantam utique assumemus in utraque I puncti periferiam, eam quidem ab ab apoguion assumpta fiunt relictivam inveniemus, eam vero que ad periguion precessivam. Assumatur enim ad apoguion primum quacumque KI periferia, et protrahantur ZKL et KTM, et copulentur BK et DK et adhuc EK et EI. Quoniam ergo trigoni BKZ maius est latus BI quam BK, maiorem proportionem habet BI ad IZ quam IZK angulus ad IBK angulum. Quare et dimidia eius que est BI ad IZ maiorem proportionem habet quam IZK angulus ad duplum eius qui est KBI, hoc est KEI angulum. Proportio vero dimidii eius que est BI ad IZ que velocitas epicicli ad velocitatem stelle, minorem ergo proportionem habet IZK angulus ad KZI quam velocitas epicicli ad velocitatem stelle. Eamdem ergo proportionem habens angulus ad KEI angulum velocitati epicicli ad velocitatem stelle maior est angulus ad IZK.

Esto ergo angulus IZN. Quoniam ergo in quanto tempore KI epicicli periferiam stella movetur, in tanto centrum epicicli in contraria progressum est equalem ei que ab ZI in ZN diastasi progressionem, manifestum quoniam in equali tempore minorem angulum ad visum nostrum KI epicicli periferia in precedentia transtulit stellam eum, scilicet qui sub IZK angulum, quo ipse epiciclus transtulit ipsam in consequentia, hoc est IZN angulo, quare relinqui stellam KZN angulum.

Similiter et si in excentrico circulo cogitemus, quoniam recta BI ad IZ maiorem proportionem habet quam IZK angulus ad IBK angulum, et componenti ergo BZ ad ZI maiorem proportionem habet quam BKL angulus ad IBK. Sed sicut quidem BZ ad ZI, ita DT ad TI, equalis vero est BKL quidem angulus angulo DKM, angulus autem IBK angulo IDK. Maiorem vero proportionem habet et DT ad TI quam DKM angulus ad IDK. Quare et componenti maiorem proportionem habet DI ad IT quam ITK angulus ad IDK, et dividenti ergo maiorem proportionem habet eius que est DI medietatis ad IT quam ITK angulus ad duplum anguli IDK, hoc est IEK. Proportio vero medietatis recte DI ad TI que celeritatis excentrici ad celeritatem stelle. Minorem ergo proportionem habet ITK angulus ad IEK quam celeritas excentrici ad celeritatem stelle. Eandem ergo proportionem habens angulus ad IEK celeritati excentrici ad celeritatem stelle maior est ITK angulo. Esto ergo rursum angulus ITN. Quoniam ergo in equali tempore stella ipsa quidem KI periferiam mota transiit in precedentia KEI angulum, sub ipsius autem excentrici motu in consequentia transit ITN angulum maiorem existentem angulo KIT, manifestum quoniam et ita stella KTN relicta apparebit.

Intellectu vero facile quoniam per eadem ostendetur et quod contrarium, si in eadem descriptione eius quidem que est LK medietatem ad KZ supposuerimus proportionem habere quam habet velocitas epicicli ad velocitatem stelle, quare et medietatem eius que est MK ad KT proportionem habere quam habet celeritas excentrici ad celeritatem stelle. KI vero periferia ut ad periguion LZ recte intelligemus comprehensam. Copulata enim recta LI et faciente trigonum LZI, in quo maior comprehensa est ZK quam ZI minorem proportionem habebit LK ad KZ quam IZK angulus ad ILK. Quare et dimidia eius que est LK ad KZ minorem proportionem quam IZK angulus ad duplam ILK anguli, hoc est KEI angulum, e contrario erit quemadmodum in precedentibus ostensus est. Et colligetur per eadem quoniam contrarium KEI angulus minorem habet proportionem ad IZK quidem angulum quam celeritas stelle ad celeritatem epicicli, at vero ad ITK quam celeritas stelle ad celeritatem excentrici, quare, eamdem proportionem habente maiore facte KEI angulo, maiorem et precessivam transitionem relictiva compleri. Manifestum vero quoniam et in quibus apostimatibus non maiorem proportionem habet EG ad GZ ea quam habet celeritas epicicli ad celeritatem stelle, neque possibille erit producere aliam rectam in equali proportione, neque stans aut precedens apparebit stella. Quoniam enim in trigono EKZ comprehensa est EG recta non minor ea que est EK, minorem proportionem habebit GZK angulus ad GEK quam EG recta ad GZ. Proportio vero eius que est EG ad GZ non maior ea que celeritatis epicicli ad celeritatem stelle. Minorem vero proportionem habebit et GZK angulus ad GEK quam celeritas epicicli ad celeritatem stelle. Quare, quoniam demonstratum est nobis ubi utique hoc contingit, relicta stella, nullam inveniemus epicicli et excentrici periferia secundum quam precedens appareat.

⟨XII.2⟩ Demonstratio precessionum Saturni

His ista se habentibus, exponemus reliquam precessionum supputionem supputionem] supputacionem F₁ secundum unamquamque stellarum consequenter demonstratis ypothesibus, a Saturno facientes principium modo tali. Esto enim circulus centrum ferens epicicli AB circa diametrum AGB. In qua subiaceat centrum zodiaci, hoc est visus noster, secundum G, et circa A centrum scripto DZI DZI] DEZI F₁ epiciclo, protrahatur GZE recta ita, quare, catheto AT in ipsam tractam tractam] tracta F₁, dimidia dimidia] dimidiam F₁ eius que est EZ, hoc est TZ, ad ZG proportionem habere quam celeritas epicicli ad celeritatem stelle. Subiaceat autem primum epiciclus secundum medium apostima positionem habens, quare periodicos motus et longitudinis et ano