orizontis inter equinoctialem et aliquam paralellorum per notam altitudinem poli notificetur quodque hii inter equinoctialem et paralellos equidistantes ab equinoctiali sunt equales et quod alternatim nox unius paralelli sit equalis diei alterius sibi equalis et habet tres conclusiones:
〈II.3〉 21. Altitudinem poli per arcum diei minimi invenire. Unde regula: Si sinus differentie medie diei minimi ad equinoctialem diem ducatur in sinum perfectionis arcus orizontis inter tropicum et equinoctialem productumque dividatur per sinum arcus orizontis qui est inter tropicum et equinoctialem, atque exierit ducatur in sinum quadrantis, productumque dividatur per sinum arcus medii diei minimi, exibit sinus altitudinis poli.
Si enim ET sinus differentie medie diei minimi ad equinoctialem †tracta† †tracta†] unclear reading P ducatur in BH sinum perfectionis arcus orizontis inter tropicum et equinoctialem productumque dividatur per HE sinum arcus orizontis inter tropicum et equinoctialem et exiat K, eritque per 15 sexti Euclidis ET ad K ut EH ad HB; et quia per katham disiunctam ET ad TA constat ex EH ad HB, et ZB ad ZA constabit et ex ET ad K et ZB ad ZA. Sed eadem constat ex ET ad TK et K ad TA. Igitur ille illis eque. Igitur si ab equis equa demas vel idem commune et cetera, erit K ad TA ut ZB ad ZA. Ergo per 15 sexti Euclidis si K ducatur ZB sinum quadrantis productumque dividatur per TA sinum arcus medii diei minimi, exibit ZB sinus altitudini poli, quod volui. Hoc autem ut premisse potest universalisari.
〈II.4〉 22. Arcum orizontis qui est inter tropicum et equinoctialem per altitudinem poli notam repereri. Unde patet: si sinum maxime declinationis ducatur in sinum quadrantis productumque dividatur per sinum perfectionis altitudinis, exibit sinus arcus orizontis qui est inter tropicum et equinoctialem deprehensus.
Quia enim eadem figura manente per katham coniunctam conversis proportionibus AB ad AZ constat ex TH ad TZ et ex EB vel TZ, quia sibi equale AHE, sed TH ad HE constat ex eisdem, igitur TH ad HE ut AB AB] corr. ex HB P ad AZ. Quare per 15 sexti Euclidis si TH sinus maxime declinationis ducatur in AZ sinum quadrantis productumque dividatur per AB sinum perfectionis altitudinis poli, exibit [exibit] HE sinus arcus inter tropicum et equinoctialem, quod volebam. Hec quoque potest ampliari.
〈II.5〉 23. Quilibet duo circuli paralelli circulo equinoctiali eiusdem longitudinis a duobus tropicis seu ab equinoctiali equales arcus orizontis ex utraque parte equinoctialis resecant, et fit coalternatim nox unius diei alterius equalis.
Sine figura prehabita trahantur duo paralelli et equaliter distantes ab equinoctiali qui sint HL et KM sitque Q polus articus et trahatur QK, scilicet arcus circuli magni. Cum igitur Q Z sint poli equinoctialis et suorum paralellorum per primam secundi Theodosii et orizon non transeat super illos polos, sequitur quod Z inclinatus paralellos alioquin per 17 primi Theodosii transierit per polos eorum. Quare sequitur per 22 secundi Theodosii et duodecimam eiusdem arcum KM equales esse arcui HL et sic arcus nocturnus superioris paralelle equalis arcui diurno inferioris, quod est secundum. Primum autem statim patet ex sexta primi et ypothesi et 21 secundi Theodosii. Sed Ptolomeus sic arguit: cum enim KM et HL sint equales sequitur per 14 Theodosii SG et TA esse equales. Quare TE et ES equales cumque ypothesi SK sit equalis TH et angulus T equalis S per 19 primi Theodosii. Igitur per 4 primi Milei HE equalis erit EK, quod est propositum.
Capitulum quartum ostendit quas terras inhabitent illi super quorum summitatem Sol transit et quando et quotiens. Capitulum quintum ostendit quomodo sciantur proportiones umbrarum ad res facientes umbras per altitudinem poli et econtrario et habet solam conclusionem: