〈II.12〉 Sub linea circuli artici vel antartici umbra in aliquo die ad omnem partem flectitur et fit dies 24 horarum et dies sine nocte, et ex opposito nox sine die, et quanto distantia cenik ab hac linea maior versus polum tanto maius tempus abiit sine nocte et ex opposito sine die.
Prima patet si Sol in principio Canri ponatur. Ex eo zodiaci et orizontis aliquando sunt idem. Ex quo sequitur quod orizon contingit duos tropicos et sic etiam patent secunda, tertia, quarta. Et quia etiam quanto cenic appropinquat a circulo artico versus polum tanto orizon appropinquat equinoctiali a tropicis et tanto maior pars zodia〈ci〉 est semper super orizontem et alia sub equo patet, patet quinta et sexta pars.
〈II.13〉 Sub polo eadem medietas celi est apparens semper et eadem occulta semper et anni spatium et dies una cum nocte sua.
Hoc patet quia equinoctialis est illorum orizon.
Capitulum septimum est de ascensionibus signorum in circulo obliquo et habet quinque conclusiones:
〈II.14〉 In spera declivi quilibet duo arcus equales circuli declivis et equaliter distantes a puncto equinoctiali equales habent ascensiones.
Sit meridianus ABGD, medietas orizontis BED, equinoctialis AEG, polus articus L, antarticus M. Sit autem articus ZH zodiaci incipiens ab equinoctiali ita ut Z sit principium Arietis vel Libre sitque gratia exempli ZH Pisces ita ut principium Piscium, scilicet H, sit in contactu orizontis, Z autem finis in equinoctiali. Manifestum igitur quod est E oritur in orizonte obliquo cum ZH. Quoniam simul incipiunt et desinunt oriri et punctus Z semper in equinoctiali AEG, oriatur ZH et ascendat Z principium Arietis usque ad C. Quousque totus Aries qui est equalis Piscibus sit per ortus sit TK manifestumque ut prius quod TE oritur cum TK quod ut plane pateat. Ymaginor duos equinoctiales, unum super alium, unum mobilem, alium inmobilem. Hoc dico igitur quod TE equum est EZ. Sic patet quia MZ, ME, LT, LE sunt omnes equales per 23 et 6 primi Theodosii et 27 tertii Euclidis. Vides igitur duos triangulos MZH LTK quorum duo latera unius, scilicet ZH et ZM, sunt equalia duobus alterius, scilicet TK TK] followed by one word crossed out by the scribe: et P et TL ; et anguli equis lateribus contenti equales quia contra se positi cum Z et T sunt idem punctum quamvis in diversis locis successive; et HZ et TL, scilicet Pisces et Aries, sunt arcus continui et MZ et TL, scilicet arcus circulorum magnorum a polis ad principium Arietis transeuntium, sicud etiam arcus continui. Alioquin concluditur quod circuli magni secent se per inequalia, quod est contra 15 primi Theodosii. Sic igitur per quartam primi Milei MH equum est LK. Igitur declinationes puncti H et K sunt equales. Igitur per 5 presentis HE est equale EK, tunc sic per secundam partem quarte primi Milei cum triangulis MHE et LEK. Per eandem partem erit angulus HME equus ELK et eadem ratione HMZ equus TLK. Igitur per communem scientiam EMZ equus ELT. Igitur iterum per quartam primi Milei EZ equale ET, quod est intentum. Nota Nota] vacat a nota ad finem illius (?) 9ti (?) add. i. m. P quod hec est figura Ptolomey et in ea ymaginentur motus a dextra ad sinistram et non est cura de hoc quia vertendo figuram habebis motum a sinistris ad dextram vel si velis ymaginari TK esse Pisces et M polum articum. Secunda figura ymaginatur motum a sinistra a〈d〉 dextram et non est cura quam recipies. Intellige quod idem erit iudicium si TZ sit principium Libre. Intellige etiam si arcus zodiaci non incipiat ab equinoctiali, probabitur per arcus inter illos interceptos et equinoctialem et per aggregatis ex illis et illis et communem scientiam.
〈II.15〉 Quilibet duo arcus circuli declivis equales et inequaliter distantes ab altero punctorum tropicorum habent in spera obliqua ascensiones coniunctas equas eis ascensionibus quas idem arcus habent in spera recta coniunctis. Ex qua et premissa manifestum est quod si note fuerint ascensiones unius quarte in spera obliqua, note erunt note] nocte or notte P ascensiones omnium.
Sit ABDG meridianus circulus, BED medietas orizontis et AEG equinoctialis,