et 15 primi Theodosii G et A poli orizontis. Quare 〈per〉 19 primi Theodosii angulus GED rectus. Quare iterum intentum.

〈12〉 Capitulum undecimum undecimum] sic for duodecimum P est de scientia arcuum et angulorum provenientium ab orbe signorum et orbe descripto super polos orizonti dati et habet conclusiones sex:

〈II.31〉 Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis egressi a polo orizontis ad duo puncta circuli signorum eiusdem a puncto tropico distantie cum ipsa etiam a circulo medii diei ante et post secundum equalia tempora disteterint sunt equales et faciunt angulos cum circulo signorum extrinsecum et intrinsecum ex eadem parte sibi oppositum equales duobus rectis.

Sit ABG meridianus, B cenik, G polus equinoctialis, AD et AZ arcus zodyaci equales et distent debet puncta equaliter a meridiano et puncto tropico. Protrahantur igitur arcus magnorum circulorum BD BZ GD GZ. Quia igitur GD et GA protracti usque ad equinoctialem sunt equales, GA et GZ protractis tantumdem et arcus equinoctialis hic et ibi interceptus sunt equi. Sequitur per 4 primi Milei DGA equum esse AGZ et cum DG sit equalis ZG per 16 prime dicitionis sequitur facta GB communi. Sequitur per eandem quartam primi Milei BD equum esse BZ, quod est primum, et angulum GDB angulo GZB. Sed angulus EDG cum AZG valet duos rectos per 23 huius. Igitur anguli EDB et AZB valent duos rectos, quia illi et isti communicant in eisdem et equalibus sicque patet secundum.

〈II.32〉 Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a cenic egressi usque ad unum punctum circuli signorum cum ipsum a linea meridionali ante vel post secundum equalia tempora disteterit et cenik capitis ab ambobus punctis declivi mediantibus celum septentrionalem fuerit vel quod ipsum ab ambobus meridionale fuerit sunt equales et faciunt duos angulos coniunctim equales duplo angulo ex concidentia meridiani et circuli signorum ad idem punctum proveniente.

Meridianus sit ABGD, AE E] sup. lin. PZ et BHT positiones zodyaci et E et H idem punctum equaliter distans ex utraque parte ABG. Vero cenik primo ab ambobus punctis zodyaci mediantibus celum septentrionale et producatur arcus circulorum magnorum DE DH GE GH. Ex ypothesi igitur et quarta primi Milei bis assumpta sequitur arcum GE equum esse GH, quod est primum, et angulum DEG angulo GHD. Sic igitur duo anguli ZEG et BHG valent ZED angulum cum angulo DEG et BHG qui valent angulum DHB cum DEG equus sit DHG angulus autem BHG idem est angulo ZED. Igitur duo anguli ZEG et BHG coniunctim sunt equales duplo ZED, quod est secundum. Si vero G sit meridionale ab ambobus punctis A et B ut patet in secunda dispositione, sequitur ut prius GE equum esse GH quod est primum et angulum DEG angulo DHG. Quare angulus DEK equus DHL per conceptionem et ex eo quod duo anguli ex parte E valent duos rectos et similiter duo ex parte H. Anguli igitur ZEK et BHL valent BHD qui est idem ZED et DHL et ZEK qui valent ZED cum DHL equus sit KED. Igitur duo anguli ZEK et BHL valent duplum ZED.

〈II.33〉 Quod si unum punctorum celum mediantium sive orientalis portionis fuerit sive occidentalis meridianum fuerit a cenic capitum septentrionaleque alterum, anguli qui proveniunt ad punctum dictum superat duplum anguli ex meridiano arcu ad idem punctum facti quantitate duorum rectorum. Ex quibus omnibus colligitur quod si noti fuerint anguli et arcus ante meridianam lineam in omni declinatione a principio Cancri usque ad principium Capricorni, noti erunt et arcus et anguli eorum signorum post meridianam et una anguli reliquorum signorum et arcus ante et post meridianam lineam.

Sine dubio propositio sicud hic proponitur falsa est omnino et sic tamen invenimus eam in Almagesti abreviato quod tunc vidi et nescio utrum sit vitium scriptoris vel abreviatoris, sed debet sic poni: Si punctum medians celum orientalis portionis meridionale fuerit septentrionaleque alterum, anguli qui proveniunt ad punctum dictum superant duplum anguli ex meridiano arcu ad idem punctum facti quantitate duorum rectorum. Si vero punctum celum medians orientalis portionis septentrionale fuerit meridionaleque alterum, anguli qui proveniunt ad punctum dictum superantur a duplo anguli ex meridiano ad idem punctum facti quantitate duorum rectorum. Sit inprimis