⟨XII.1⟩ Si planetis altioribus unicam posueris diversitatem, epiciclus in concentrico aut ecentricus sine epiciclo eidem sufficiens erit occasio.
Diversitatem que Soli colligata est intellige. Ponamus itaque quod motus epicicli in concentrico et motus planete in epiciclo collecti equentur medio motui Solis, quemadmodum superius ostensa postulant. Ecentrici vero centrum moveatur ad successionem signorum eque velociter cum Sole, et planeta ipse similiter ea velocitate procedat qua epiciclus in concentrico, cuius quidem medium locum determinet linea a centro mundi ducta equedistanter linee exeunti a centro ecentrici per centrum planete. Sit igitur circulus mundo concentricus ABG super centro Z, et sit punctus A in quo fuit centrum epicicli dum planeta fuit in auge epicicli, scilicet puncto D, dumque Sol medio cursu coniunctus fuit planete et punctus H fuit centrum ecentrici. Nunc vero epiciclus sit super puncto B, et planeta in epiciclo super puncto O. Ductis igitur lineis AZG, ZBD, BO, NO, ZO, et ZS, erit angulus AZB motus longitudinis, et angulus DBO diversitatis sive motus medii argumenti. Sit autem angulus AZS medii motus Solis. Hinc in linea ZS erit centrum ecentrici, quod sit N. Ponamus itaque primo concentricum et ecentricum equales et proportionem semidiametri concentrici ad semidiametrum epicicli equalem proportioni semidiametri ecentrici ad distantiam centrorum. Erit igitur linea ZH sive ZN equalis BO. Cum autem duo anguli AZB et DBO equantur angulo AZS, ablato communi AZB erit angulus BZS equalis angulo DBO. Quare due linee ZN et BO sibi equedistant. Et quia sunt equales, erunt due linee ZB et NO equales et equedistantes; unde super centro N descripto circulo secundum quantitatem equalem semidiametro concentrici, circumferentia eius transibit per punctum O. Et quia linea ZB ponitur medii motus planete, que quidem equedistat linee NO a centro ecentrici ducte, erit planeta in linea NO, et ob hoc in puncto O. Sed et secundum viam epicicli in eodem puncto positus est. Quare secundum utramque viam una est linea per quam videtur planeta oculo in centro mundi posito. Et erit angulus SNO argumenti medii equalis angulo DBO. Quod si posueris semidiametros ecentrici et concentrici inequales, proporcionem tamen semidiametri concentrici ad semidiametrum epicicli sicut proporcionem semidiametri ecentrici ad distantiam centrorum, idem sequetur, quemadmodum ex eis que pro Luna sunt conclusa elicere poteris quam facillime.
⟨XII.2⟩ 2. In Venere idem et Mercurio videri necesse est.
Ponamus motum epicicli in concentrico equevelocem medio motui Solis et motum argumenti unicuique suum. Motum vero centri ecentrici ad successionem signorum equalem aggregato ex medio motu Solis et medio motu motu2]corr. ex motui argumenti. Repetita igitur figura pristina, in qua angulus AZB est medii motus Solis. Erit angulus BZS equalis angulo DBO motus argumenti. Quare linea ZN equedistabit linee OB et reliqua ut ante. Ex his aperte sequitur quod secundum viam epicicli et concentrici quicquid planete accidit de statione et retrogradatione accidit etiam ei secundum viam ecentrici, quamvis et centrum ecentrici et linea medii motus planete non nisi ad successionem signorum moveantur; verum illud erit in locis proporcionabilibus. Volo dicere, si in certa distantia planete ab auge epicicli planeta videtur stationarius, in equali distantia ab auge ecentrici itidem apparebit stacionarius. Iam igitur si planete esset unica diversitas sui motus, ut putabat Apollonius et ceteri vetustiores, satis esset ostendisse occasionem stationis aut retrogradationis per viam epicicli. Cum autem superius duplicem concluserimus diversitatem, propter ecentricum scilicet et epiciclum, frustra laboraremus determinare puncta stationum in ecentrico solo aut in epiciclo et concentrico. Quare missa istec fatio. fatio]i.e. ‘facio’ Ad rem ergo ipsam veniamus, quam ut planius consequamur, preambula quedam audiamus.
⟨XII.3⟩ 3. Si basis trianguli rectilinei in duas secta fuerit portiones, quarum una latere sibi conterminali non minor fuerit, erit eiusdem ad reliquam basis portionem maior proportio quam angulorum qui supra basim sunt ordine permutato.
Trianguli ABG basis BG divisa sit in duas portiones BD et DG, quarum una, scilicet GD, non sit minor latere AG. Dico linee GD ad lineam DB maiorem esse proporcionem quam anguli ABG ad angulum AGD. Sit enim primo GD equalis AG. Producta linea dividente AD ei equedistantem a puncto G educo donec cum AB continuata concurrat in puncto Z. Linee quoque GD equedistantem, que sit AE, producam. Erunt itaque paralellogrami ADGE duo latera AE et DG equalia, itemque AD et EG sibi equalia. Descripto itaque arcu circumferentie circuli secundum quantitatem AG, ipse transibit per punctum E, sitque arcus GEH. Proportio igitur trianguli ZAE ad triangulum AEG maior est proportione sectoris HAE ad triangulum AEG cum sector HAE sit pars trianguli ZAE. Sed sectoris HAE ad triangulum EAG maior est proportio quam sectoris eiusdem ad sectorem EAG quoniam triangulus EAG est pars sectoris EAG. Quare multo maior est proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG quam sectoris HAE ad sectorem EAG. Est autem proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG sicut linee ZE ad lineam EG cum sint trianguli eiusdem altitudinis. Et ZE ad EG sicut ZA ad AB, et ideo sicut GD ad DB; igitur trianguli ZAE ad triangulum EAG sicut linee GD ad DB. Item sectoris HAE ad sectorem EAG proportio est sicut proportio anguli HAE ad angulum EAG, quibus angulis equales sunt duo anguli ABG et AGB. Proportio igitur sectoris HAE ad sectorem EAG sicut anguli ABG ad angulum AGB. Sed erat proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG maior proportione sectoris HAE ad sectorem EAG. Quare etiam proportio GD linee ad DB maior erit proportione anguli ABG ad angulum AGB, quod fuit concludendum. Si autem GD maior fuerit AG, ductis lineis rectis ut ante erit AE maior AG. Secundum quantitatem itaque AE describo arcum; lineam vero AG continuo donec arcui ipsi obviabit. Quo disposito argumentabimur ut supra fecimus.
⟨XII.4⟩ 4. Quibus stellis statio aut retrogradatio accidat et quibus non discernere.
Stella unicum habens motum ad signorum successionem et regularem super centro mundi numquam retrogradari videtur. Que vero duplicem habet motum sive propter epiciclum et concentricum sive ecentricum solum cuius centrum mobile est retrogradationem patitur, si tamen motus eius quo seorsum contra signorum successionem moveretur maior est eo quo seorsum secundum signorum successionem tenderet.
Ut autem autem]sup. lin. manifestius fiat illud, sit circulus epicicli ABG super centro D et centrum mundi E, a quo per centrum epicicli ducatur linea EDA et sit A aux epicicli, G vero oppositum augis. Dico itaque generaliter si proporcio linee DG ad lineam EG non fuerit maior proporcione velocitatis motus epicicli ad velocitatem stelle in epiciclo, non est possibile quod stella retrogradari videatur. Si enim hoc possibile esset, maxime fieret apud punctum G. Ibi enim plurimum minuit motus diversitatis ex motu longitudinis. Sed non accidit ibi quod dictum est. Accipiamus enim arcum GT quam minimum, ducta linea ET et linea DT. Quia igitur basis trianguli DTE divisa est in duas porciones DG et GE et una earum, scilicet DG, non est minor latere DT, erit per precedentem maior proportio DG linee ad GE quam anguli DET ad angulum EDT. Et ideo minor proportio anguli DET ad angulum EDT quam linee DG ad GE. Sed proportio DG ad GE posita est non maior proporcione velocitatis epicicli ad velocitatem planete in epiciclo. Multo igitur minor est proportio anguli DET ad angulum EDT quam sit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem stellae. Sed velocitatem stelle nunc determinat angulus GDT. Angulus igitur velocitatis epicicli maior est angulo GET, sitque angulus ipse GEL. In tempore igitur quo stella describit arcum epicicli TG, videtur ipsa descripsisse angulum TEG circa centrum mundi contra signorum successionem si centro epicicli quiescente stella duntaxat in epiciclo moveretur. Sed et in eo tempore epiciclus descripsit circa centrum mundi angulum LEG maiorem angulo TEG secundum successionem signorum. Visa igitur est stella moveri ad signorum successionem secundum quantitatem differentie horum angulorum, scilicet secundum quantitatem anguli LET; nequaquam igitur passa est retrogradationem.
Idem probabitur si acceperimus arcum GZ, productis lineis EZ et DZ. Erit enim iterum angulus GEZ minor angulo velocitatis motus epicicli. Sit igitur angulus ille GEM. Dum igitur planeta circa centrum epicicli describit angulum GDZ, videtur in centro mundi E propter epiciclum descripsisse angulum DEZ contra signorum successionem. Sed in eo tempore centrum epicicli descripsit secundum signorum successionem angulum MED, qui cum superet angulum DEZ, commiscendo motus duos videbitur planeta non retrogradari sed secundum signorum successionem moveri.
Ex his sequitur quod neque Soli accidat retrogradatio neque Lunae. Sol enim secundum viam epicicli eam habet velocitatem in epiciclo quam epiciclus circa centrum mundi. Proportio autem semidiametri epicicli ad partem semidiametri concentrici que extra epiciclum est multo minor est hac proporcione equalitatis. Est enim secundum numeros Ptolemei fere sicut 1 ad 23. Similiter de Luna predicabis. In reliquis vero erraticis quinque aliud apparet. Nam proporcio linee GD ad lineam EG maior est proportione velocitatis epicicli ad velocitatem stellae. Contingit igitur a puncto E produci lineam epiciclum secantem taliter ut proporcio medietatis eius partis que in epiciclo est ad partem linee ducte extrinsecam sit sicut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem stellae. Nam a situ linee EA recedendo utrinque linee partiales que intra epiciclum cadunt pedetentim minuuntur; que vero extra epiciclum sunt maiorantur. Signatis igitur huiusmodi duabus lineis ETK et EZB sic ut proporcio medietatis linee TK ad lineam ET sit sicut proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem stelle; talis item sit proporcio medietatis linee ZB ad lineam EZ. Dico quod planeta in utroque punctorum T et Z existens videbitur stationarius et per totum arcum TGZ apparebit retrogradus, in toto vero epicicli arcu reliquo videbitur directus, quemadmodum infra demonstrabitur.
⟨XII.5⟩ 5. Punctum stationis stellae in epiciclo determinare.
Sit epicicli circulus ABG super centro E et centrum mundi ⟨sit⟩ Z, a quo per centrum epicicli ducatur linea ZEA. Et sit proportio EG ad GZ maior proportione velocitatis epicicli ad velocitatem stelle. Alias enim stellae non accideret statio neque retrogradatio, quemadmodum precedens ostendebat. Sitque alia linea ZB secans epiciclum in duobus punctis B et H taliter ut proporcio medietatis BH ad lineam HZ sit sicut proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem stelle, quod quidem possibile est, ut pretactum est. Dico hanc lineam determinare punctum stationis. Nam stella in H existens apparebit stationaria. Quantuluscumque enim arcus ab H versus augem accipietur, in eo loco planeta videbitur directus; in arcu vero ab H versus oppositum augis epicicli protenso, quantumcumque modicus fuerit, stella videbitur retrograda. Quare necessario in puncto H videbitur stationaria.
Huius rei audi demonstrationem. Accipiatur primo arcus HK versus augem epicicli, ducta linea ZKL et linea BK, itemque due semidiametri epicicli EH et EK producantur. Quia itaque trianguli BKZ basis BZ divisa est in duas portiones BH et HZ et HZ maior est latere BK, erit proporcio linee BH ad HZ per tertiam huius maior proporcione anguli BZK ad angulum KBZ, et ideo maior proportione dupli anguli BZK ad duplum anguli KBZ. Igitur maior est proporcio medietatis linee BH ad lineam HZ quam anguli BKZ BKZ]we would expect ‘BZK,’ but it is not in the witnesses ad duplum anguli KBZ, scilicet ad angulum HEK. Sed erat posita proportio medietatis BH ad HZ sicut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete. Quare velocitatis epicicli ad velocitatem planete, scilicet angulum HEK, maior est proporcio quam anguli BZK ad eundem angulum HEK. Igitur angulus velocitatis epicicli respondens angulo HEK velocitatis planete maior est angulo BZK. Sit igitur angulus HZN equalis angulo velocitatis epicicli. Dum ergo planeta in epiciclo describit angulum HEK, videtur circa centrum mundi descripsisse contra signorum successionem quantum est ex parte epicicli angulum HZK. Sed in eo tempore centrum epicicli, et ideo etiam totus epiciclus, motum est ad successionem signorum per angulum HZN. Plus igitur procedit epiciclus quam stella propter motum eius in epiciclo retrocedat, in angulo quidem KZN; et tantundem tantundem]spelled tatundem videtur stella moveri ad signorum successionem. Quare in toto arcu HK apparet planeta directus.
Quod si a puncto H sumpserimus versus oppositum augis epicicli arcum HM quantumcumque parvum, planeta in toto hoc arcu apparebit retrogradus. Ductis enim lineis ZM, BM, et EM, ex tertia huius maior erit proportio ZH ad HB quam anguli MBZ ad angulum BZM. Est enim basis trianguli BZM divisa in duas portiones ZH et HB, quarum una, scilicet ZH, maior est latere trianguli ZM. Quare conversim minor est proportio BH ad HZ quam anguli BZM ad angulum MBZ, et ideo minor quam dupli anguli BZM ad duplum anguli MBZ. Hinc etiam minor erit proportio medietatis linee BH ad lineam HZ quam anguli BZM ad duplum anguli MBZ, scilicet ad angulum HEM. Sed erat proportio medietatis linee BH ad lineam HZ sicut velocitatis epicicli ad velocitatem planete. Ergo minor est proportio anguli velocitatis epicicli ad angulum velocitatis planete quam proportio anguli HZM ad angulum HEM. Cum autem angulus HEM sit velocitatis planete in epiciclo, erit angulus velocitatis epicicli minor angulo HZM. Sit igitur ipse HZT. Dum ergo planeta in epiciclo describit arcum HM et angulum HEM videtur circa centrum mundi descripsisse angulum HZM contra signorum successionem quantum est ex parte epicicli. Sed in eo tempore centrum epicicli secundum signorum successionem motum est per angulum HZT. Maior itaque est retrocessio planete circa centrum mundi propter motum eius in epiciclo quam sit processio eius propter motum epicicli totius, in angulo quidem MZT. Quare stella dum movebitur per arcum HM videbitur retrocessisse per angulum TZM. Cum igitur in toto arcu HK stella sit directa, est est1]we would expect ‘et,’ but it is not in the witnesses in toto arcu HM sit retrograda, necesse est H punctum esse finem directionis et initium retrogradationis. Et ideo ipsum erit punctum stationis, quod fuit demonstrandum. Idem per omnia similiter ostendetur posito planeta post oppositum augis epicicli velut iam positus est ante huiusmodi augis oppositum.
⟨XII.6⟩ 6. Data proportione duarum linearum, si quod sub eis rectangulum continetur notum fuerit, utramque earum notam fieri.
Due linee AB et BC proportionem inter se notam habeant, sitque DB equalis AB et orthogonalis ad lineam AC. Et compleatur paralellogramum rectangulum BDGC, quod notum supponatur. Dico quod utraque linearum AB et BC scita veniet. Continuetur enim GD in E ita ut AE orthogonalis ad AC sibi occurrat in E. Erit itaque proporcio quadrati AD ad paralellogramum BG sicut linee AB ad lineam BD. Quare cum hec proporcio nota sit et superfities superfities]i.e. ‘superficies’ BG cognita, veniet quadratum AD notum et latus suum AB, quod querebatur. Sed et propter proporcionem AB linee ad BC suppositam, linea BC nota fiet.
⟨XII.7⟩ 7. Cognita epicicli ab auge ecentrici distantia velocitates epicicli et planetae proposito medio cursui respondentes elicere.
Ut si distantia centri epicicli ab auge fuerit 10 graduum, volens scire dum centrum epicicli medio quidem cursu per unum gradum movetur quantum in rei veritate respectu centri mundi moveatur et quantum planeta in epiciclo, hoc pacto procedam. Cum centro medio, quod est distantia epicicli media ab auge ecentrici, accipio equationem centri, quam servo. Deinde centro medio quo iam usus sum addo arcum medii motus propositi, et cum aggregato iterum more solito centri equationem addisco. Harum duarum equationum differentiam, si que sit, ab arcu medii motus propositi demo si epiciclus fuerit inter duos transitus medios versus augem ecentrici, aut addo addo]perhaps corr. ex adde V2; adde W eidem si versus oppositum augis. Illud tamen tenet dum epiciclus epiciclus] sit add. but then del. in eadem parte respectu augis aut eius oppositi fuerit; volo dicere, si centrum medium datum posuerit epiciclum ante augem, quod aggregatum ex centro medio et arcu medii motus propositi similiter ponat epiciclum ante augem, aut si post augem alterum eorum posuerit epiciclum, quod et reliquum id faciat. Si vero unum ex eis posuerit epiciclum ante augem et aliud post augem, oportet duas equationes coniungi et collectum demi ex arcu medii motus propositi. Quod si unum eorum posuerit epiciclum ante oppositum augis et aliud post, collectum ex huiusmodi centri equationibus adiciendum est medio motui proposito.
Pro velocitate vero planete in epiciclo accipiatur medium argumentum proposito medio motui respondens, quod facile fiet si quanto tempori tempori]corr. ex tempore motus ille medius propositus respondeat scietur. Huic argumento medio adde quod ad habendam velocitatem epicicli minuisti aut ab eo minue quod superius addidisti. Ratio autem huiusmodi operationis ex eis que superius de angulis diversitatum propter ecentricum venientium data sunt. Si mentem apposueris, plane constabit.
⟨XII.8⟩ 8. Quantum in principio retrogradationis aut directionis ab auge vera epicicli planeta distet certificare.
Sit epicicli circulus DEZH super centro A notam habens ab auge ecentrici distantiam, et ob hoc ex premissa velocitatem respectu velocitatis planete cognitam. Ducaturque a centro mundi quod sit G linea recta epiciclum secans in duobus punctis E et Z taliter ut proportio medietatis linee EZ, scilicet linee TZ, ad lineam ZG sit ut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in epiciclo. Ductis ante tamen lineis AT quidem perpendiculari ad EZ et AZ semidiametro epicicli cum linea GHD augem epicicli D et oppositum eius indicantibus, indicantibus]we would expect ‘indicante,’ but it is not in the witnesses queritur arcus DEZ. Est enim per quintam huius punctus Z in quo planeta stationarius apparet et incipiens retrogradari, qui etiam punctus si in latere epicicli dextro signabitur simili conditione, erit ipse initium directionis. Quia autem proportio linee TZ ad lineam ZG iam nota est quoniam velocitates epicicli et planete premissa docuit, erit proportio EZ duple ad TZ ad lineam ZG nota. Quare coniunctim proporcio EG ad ZG cognita fiet. Item ex eis que libri precedentes explanarunt, nota fit proporcio semidiametri epicicli ad lineam AG; et ideo AH respectu HG nota et consequenter DH ad HG. Sed et DG respectu HG cognita fiet. Igitur quod fit ex GD in HG scitum veniet. Sed ipsum equatur ei quod fit ex EG in ZG; ergo quod fit ex EG in ZG notum dabitur. Cum autem proporcio EG ad ZG iam constet, erit per sextam huius utraque linearum EG et ZG cognita respectu linee AH, semidiametri scilicet epicicli. Linea denique EZ nota prodibit et medietas eius TZ. Trianguli igitur ZTA rectanguli duo latera TZ et ZA nota fiunt, quare latus eius AT scitum et angulus TAZ cognitus. Sed et linea TG nota est et angulus T rectus. Quare angulus AGT notus fiet et reliquus ex recto angulus TAG, a quo si dempseris angulum TAZ notum, manebit angulus ZAH notus et arcus ZH cognitus. Unde et residuus de semicirculo arcus DZ inventus erit, qui querebatur. Ad hunc igitur epicicli situm dum planeta in puncto Z note distantie a puncto D fuerit, videbitur stationarius. Si vero initium directionis optaveris, translatas intellige omnes lineas sinistri lateris epicicli ad latus eius dextrum, et silogismo fruaris pristino. Concludes etenim initium retrogradacionis et initium directionis epicicli situ non mutato equaliter ab auge epicicli vera distare.
⟨XII.9⟩ 9. Motum diversitatis medium pro tempore dimidie retrogradationis numerare.
Arcus hic quem querimus est de circumferentia epicicli descriptus a planeta medio quidem cursu diversitatis a principio retrogradationis ad medium eius. Medium autem istud, ut nunc supponimus, est instans quo planeta est in opposito augis vere epicicli, oppositus scilicet medio loco Solis, quod si oppositum augis vere epicicli non variaretur respectu oppositi augis medie epicicli, precedens satis docuisset arcum quesitum. Non autem ita est, immo variatur punctus ille semper.
Sit enim, ut cognitu facilius in figura fiat, linea ZE ducta per augem ecentrici Z et centrum mundi E, in qua sit centrum motus equalis T. Statuaturque epiciclus inter augem et longitudinem ecentrici mediam, qui sit circulus ABG super centro D descriptus. Ducta linea EDA ad augem epicicli veram, que sit A, oppositum autem augis vere sit punctus G. Sed oppositum augis medie epicicli sit punctus H ducta linea THD. Planeta vero retrogradari incipiens sit in puncto B. Arcum igitur BG ex precedenti habebimus notum; eum autem non describit planeta precise a principio retrogradationis usque ad eius medium. Accidente Accidente]corr. in accedente enim planeta ad oppositum augis epicicli, epiciclus ipse recedit amplius ab auge ecentrici. Angulus igitur diversitatis EDT ob eam rem maior erit in medio retrogradationis quam in eius initio, et ideo oppositum augis vere epicicli plus distabit ab opposito augis medie. In medio itaque retrogradationis sit oppositum augis vere epicicli punctus M. Describet igitur planeta arcum epicicli BM a principio retrogradationis ad eius medium. In fine vero retrogradationis mutabitur oppositum augis epicicli per arcum fere equalem arcui GM. Estimetur igitur venisse ad punctum N ita quod a medio ad finem retrogradationis arcum epicicli fere equalem arcui BM describere convincatur. Querimus itaque arcum BM, qui equidem statim inveniretur si arcus GM cognitus esset. Sed ipse sciri non poterit nisi sciantur anguli diversitatum propter ecentricum venientium, quorum unus in principio retrogradacionis, alter vero in eius medio contingit. Eorum enim angulorum differentia arcum GM manifestaret si initium et medium retrogradationis ante aut post augem acciderent. Si vero alterum ante et alterum post augem sive eius oppositum contingeret, ipsi anguli diversitatum collecti idem efficerent. Ut igitur hos diversitatum angulos prope verum eliciamus, operam demus. Arcus BG notus est et proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem planete cognita est. Quare cum arcus BG velocitatem planete in epiciclo mensuret, erit arcus quem epiciclus correspondenter describit scitus. Accipe igitur equationem centri cum centro medio quo utebaris in precedenti dum querebas arcum ZH, quam serva. Deinde huic centro medio arcum velocitatis epicicli superadde quem iam novissime extraxisti, et cum collecto iterum quere equationem centri, cuius equationis et prioris differentiam notabis. Equalis namque erit fere in proposito arcui GM. Subtrahe igitur eam ab arcu BG prius noto, et manebit arcus BM quesitus dum epiciclus inter duas longitudines ecentrici medias versus augem fuerit, aut eidem adde si in reliqua ecentrici parte constitutus fuerit.
Illud quidem observabis dum initium et medium retrogradationis in eadem parte augis aut eius oppositi ceciderint. Si enim in diversis acciderint partibus, centri equationes coniunge, et cum aggregato ut pridem operaberis. Repertum autem hunc arcum si duplaveris, habebis arcum fere totius retrogradationis. Facile denique constabit tempus huic arcui respondens si tabulas mediorum motuum consulueris. Quod si velis opus huiusmodi precisius reddere, invento arcui diversitatis modum modum]we would expect ‘motum,’ but it is not in the witnesses longitudinis medium correspondenter inquire, et eo consequenter utaris vice arcus quem superius per proportionem velocitatum motuum elicuisti.
Resumamus figuram superiorem que dedit angulum AGT notum per quem planeta retrocederet quidem in tempore dimidie retrogradacionis si in hoc tempore epiciclus ad motum ecentrici non moveretur. Verum interea movetur ipse secundum signorum consequentiam. Oportebit igitur angulum quem linea veri motus epicicli in hoc tempore dimidie retrogradationis describit minui ex angulo AGT. Residuum enim quantum planeta retrogradabitur in hoc tempore indicabit. Est autem ex precedenti tempus dimidie retrogradationis notum, cui medium motum longitudinis tabule sue dabunt cognitum. Sic igitur distantia epicicli ab auge ecentrici nota est, ad principium retrogradationis quidem ex supposito, ad medium vero retrogradationis per additionem huius motus medii qui correspondet tempori dimidie retrogradacionis. Quare per tabulas equacionum notus erit arcus quem epiciclus vero suo motu in tempore dimidie retrogradacionis describit. Hic igitur arcus ab angulo AGT demptus relinquit arcum retrocessionis quesitum, quem si duplaveris, habebis prope verum arcum a planeta contra signorum successionem in tempore totius retrogradationis descriptum.
⟨XII.11⟩ 11. Arcus stationum industrie tabulare.
Ptolemeus hunc operandi tenet modum. Principio querit stationem primam cuiuslibet planete ad longitudinem mediam ecentrici. Deinde stationes primas similiter accipit ad augem et oppositum augis ecentrici. Non tamen curat hanc precisam operationem quam nona huius docuit. Inventis autem stationibus ad hunc triplicem situm, sic procedit. Differentiam maxime remotionis centri epicicli a centro mundi et mediocris eiusdem remotionis statuit primum numerum. Differentiam vero remotionis huiusmodi ad eum situm situm]i. m. cui eniti stacionem proponit et remotionis mediocris mediocris]i. m. pro secundo numero sumit. Item excessum duarum stacionum quarum altera in auge, altera vero in longitudine media accidit pro tertio numero. Multiplicat itaque secundum in tertium, et productum in primum partitur; et quartum, exeuntem scilicet, subtrahit a stacione quam dat longitudo ecentrici media aut eidem addit quemadmodum res ipsa postulat. Haud secus operatur ad eos epicicli situs qui inter longitudinem ecentrici mediam et augis oppositum clauduntur. Sicque videtur extraxisse stationes planetarum ad omnem epicicli in ecentrico positionem.
Hoc tamen unum supponit quod quantum epiciclus recedendo a longitudine ecentrici media centro mundi aut appropinquat aut ab eodem removetur tantum proporcionabiliter aut crescant aut decrescant stationes huiusmodi, quod equidem suppositum necessitatem non habet. Ad varias enim epicicli a centro mundi distantias, easdem inveniri stationes primas hoc pacto demonstrabo.
Sit epicicli circulus ABG super centro D et centrum mundi E, quod continuetur cum centro epicicli per lineam ED usque ad augem epicicli A educendam. Producaturque a centro mundi linea EB secans epiciclum determinando punctum stationis G. Lineeque AE sit equedistans BZ, quam secet HT per punctum G transiens qualitercumque ceciderit in puncto L. Erunt igitur duo trianguli BLG et EGT equianguli. Quare proporcio linee BG ad lineam GL est sicut proportio GE ad GT; ideo permutatim BG ad GE sicut GL ad GT. Quare maior est proportio linee HG ad GT quam proporcio BG ad GE. Unde etiam maior est proportio medietatis linee HG ad lineam GT quam proporcio medietatis linee BG ad lineam GE. Ponamus itaque punctum stationis G ad longitudinem mediam ecentrici, quando scilicet centrum epicicli distat a centro mundi per lineam DE. Deinde imaginemur epiciclum recedere ab hoc situ versus oppositum augis ecentrici donec distantia centri eius a centro mundi sit ut linea DT. Iam propter hunc recessum a longitudine media ecentrici, maior fit proportio medietatis linee HG ad lineam GT quam sit proportio medietatis linee BG ad lineam GE, ut ostensum est. Similiter maior fit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete pro distantia DT quam sit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in distantia DE quoniam motus longitudinis tanto maior redditur quanto epiciclus augis opposito propinquaverit. Si igitur possibile est quod quantum addit proportio medietatis linee HG ad lineam GT super proportionem medietatis linee BG ad GE tantum addat proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in distantia quidem epicicli DT super proportionem velocitatis epicicli ad velocitatem planete planete]i. m. in distantia DE, fit proporcio medietatis linee HG ad lineam GT sicut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete. Quare tunc punctus G erit locus stationis dum epiciclus a centro mundi distat per lineam DT, qui punctus et antea dum epiciclus esset in longitudine media fuit locus stationis. Variata igitur centri epicicli a centro mundi remotione, locus stationis immutatus mansit, quod intendebam. Verum huius precisionis neglectio haud sensibilem immittet errorem, quare Ptolemei operationem, que tametsi enucleata non est tantum tantum] tamen W quantum satis est comoda, comoda]corr. ex comodam prosequendam censeo.
⟨XII.12⟩ 12. Loco Veneris in orbe signorum proposito quanta possit esse plurima ipsius in eo loco existentis a Sole longitudo vespertina percontari.
Figuram ante oculos positam contemplare, in qua linea ABE per augem ecentrici et eius oppositum incedat, cuius alter terminorum, A scilicet, sit aux, alter vero E oppositum augis. In ea linea punctus D sit centrum mundi, G ecentrici, B vero motus equalis. Epicicli item circulus HT super centro Z describatur, quem contingat linea DT in puncto T. Centrum quoque eius cum tribus punctis B, G, et T continuetur per lineas ZB, ZG, et ZT. Producta BZ in H augem mediam epicicli, denique perpendiculares protrahantur, BM quidem ad GZ, et GK ad DT, itemque GL ad ZT. Querimus itaque dum Venus est in linea DT maxime a loco Solis remota, quanta sit eius longitudo vespertina. Superioribus autem passibus locus augis ecentrici Veneris dabatur cognitus, et nunc quidem locus stelle huius scitus supponitur. Quamobrem angulus ADT invenietur notus. Unde proportio GD, ecentricitatis scilicet, ad lineam GK equalem LT non ignorabitur. Erat autem utraque linearum DG et ZT respectu semidiametri ecentrici nota. Quare LT respectu eodem cognita veniet. Residua quoque ZL ad lineam GZ semidiametrum ecentrici mensurata erit. Trianguli igitur ZGL duo latera ZG et ZL nota sunt et angulus L rectus. Quare angulus eius ZGL notus erit. Iam igitur totus angulus DGZ ex tribus constat angulis notis, angulo scilicet ZGL iam noto, angulo LGK recto, et angulo DGK cognito propter angulum GDK prius notum et K rectum; quare ipse cognitus veniet reliquusque de duobus rectis angulus, videlicet BGZ. Et ob hoc utraque linearum BM et MG linee BG commensurabuntur. Que quidem linea BG respectu GZ semidiametrici semidiametrici] semidyametri W ecentrici nota est; sic igitur reliqua linea MZ cum linea BZ scite dabuntur. Unde angulus BZM non ignorabitur, qui cum angulo BGZ pridem noto equipollent angulo ABZ; unde ipse angulus ABZ cognitus erit. Quare distantia medii loci Veneris, qui et Soli communis est, ab auge ecentrici constabit. Igitur locus ille medius nequaquam occultabitur. Per ea autem que in tertio libro disserebantur, ex loco Solis medio locus eius verus haud inscitus prodibit. Cum itaque locus Veneris ad nutum positus sit et locus Solis verus pateat, cognitum erit intervallum quod ipsorum locis veris intercidit, et hoc erat cupitum.
⟨XII.13⟩ 13. Longitudo itidem matutina quam maxima Veneri accidat comprehendere.
Paulo diversiorem subiciemus figuracionem, in qua linea veri motus motus] loci W Veneris continget latus epicicli dextrum. Linea vero GL perpendicularis, que pridem semidiametro epicicli obviavit, nunc semidiametro epicicli continuate extrinsecus ad rectos incidat angulos. Silogismo autem superiori ex loco augis cognito et loco planete pro libidine supposito, erit nota linea GK equalis linee LT. Hinc tota LZ respectu semidiametri ecentrici GZ nota habebitur, et ideo angulus ZGL mensuratus, qui ex recto LGK ablatus relinquet angulum ZGK non ignotum. Is Is] et W denique angulus ZGK angulo DGK sociatus conflabit angulum ZGD scitum. Unde et residuus de duobus rectis angulus, scilicet BGZ, nequaquam ignorabitur, cuius suffragio reliqua ut ante hac feceras sedulo eniteris.
⟨XII.14⟩ 14. Mercurii longitudines a Sole maximas ex loco eius vero in orbe signorum cognito deprehendere.
In linea ABG punctus A sit aux ecentrici, G centrum mundi, B centrum motus equalis, et T centrum parvi circuli quem centrum ecentrici describit. Epicicli autem circulus ZH super centro E statuatur, quem contingat linea GH in puncto H, eiusque centrum continuetur cum tribus punctis B, G, H lineis suis. Sitque locus planete, quem ostendit linea GH, in orbe signorum notus. Propositum est invenire maximam Mercurii a vero Solis loco longitudinem, quod nequaquam poterimus exequi ingenio quo circa Venerem freti sumus. Nam licet angulum AGH notum habeamus, tamen nulla distantia centri epicicli ab aliquo trium punctorum G, B, et T cognita est, cuius quidem scientia ad hanc rem est necessaria. Cogitandum igitur fuit super alio medio quo institutum nostrum attingendi fieret fieret]corr. ex fuerit copia. Certi autem sumus quod cognito angulo ABE, scilicet motus medii longitudinis, cognoscetur per ea que superius ostensa sunt. Angulus diversitatis BEG cum angulo BGE, et ideo etiam linea EG respectu semidiametri ecentrici, quo quidem respectu et semidiameter epicicli nota erit. Hinc angulus EGH et inde totus angulus AGH noti erunt. Sic ex loco medio planete supposito verum ipsius elaborandi patet ianua. Medio autem loco Solis dato verum ipsius eniti quis ignorabit? Quare medio loco Solis aut Mercurii (quoniam is ambobus communis est) ad libitum supposito, facile agnoscemus maximam Mercurii sive matutinam longitudinem sive vespertinam.
Nunc ad rem ipsam feliciter properemus, que ut intellectu iocundior habeatur, exemplari utar sermone. Doceri vellem, Mercurio secundum verum sui cursum in principio Arietis constituto, quanta possit esse ipsius maxima a vero loco Solis longitudo, sive matutinam malim sive vespertinam. Pono ad fortunam, ex racionabili estimacione tamen, medium locum Solis sive Mercurii talem ut expleto opere cuius nunc nunc memini, locus verus Mercurii cadat in principium Arietis aut prope. Si igitur verus Mercurii locus ad principium Arietis pertinget, certus ero quod Mercurio in principio Arietis constituto tanta potest accidere maxima a Sole longitudo quantum opus ipsum docuit. Si autem locus Mercurii verus citra principium Arietis ceciderit, intelligo zodiacum BAC, in quo punctus A sit principium Arietis et punctus B sit Mercurii locus verus. Eligo denique alium Solis locum medium ita ut verus locus Mercurii in maxima longitudine existentis cogatur cadere ultra principium Arietis, ut videlicet in figura cadat in punctum C. Habebo itaque duas longitudines Mercurii maximas, quarum una Mercurio in puncto B existenti accidit, altera vero in puncto C, per quas inveniam longitudinem eius maximam ad punctum A hoc ingenio. De excessu duarum longitudinum in duobus locis B et C Mercurio accidentium, accipio partem proporcionalem secundum proporcionem arcus AB noti ad totum arcum BC notum. Hanc autem partem proporcionalem addam longitudini maxime ad punctum B contingenti si si1]corr. ex sic reliqua maior fuerit, aut minuam ab ea si reliqua minor fuerit. Et habebo longitudinem a loco Solis vero maximam que accidit Mercurio in principio Arietis existenti, quod intendebam.
Non aliter ad cetera zodiaci loca operaberis. operaberis]corr. ex opperaberis Igitur quo simplici conatu rerum mediarum egestare egestare]corr. in egestate proficiscendi non est potestas, geminis nisibus pertingere non tua te deterreat socordia.
Ponamus motum epicicli in concentrico equevelocem medio motui Solis et motum argumenti unicuique suum. Motum vero centri ecentrici ad successionem signorum equalem aggregato ex medio motu Solis et medio motu motu2] corr. ex motui argumenti. Repetita igitur figura pristina, in qua angulus AZB est medii motus Solis. Erit angulus BZS equalis angulo DBO motus argumenti. Quare linea ZN equedistabit linee OB et reliqua ut ante. Ex his aperte sequitur quod secundum viam epicicli et concentrici quicquid planete accidit de statione et retrogradatione accidit etiam ei secundum viam ecentrici, quamvis et centrum ecentrici et linea medii motus planete non nisi ad successionem signorum moveantur; verum illud erit in locis proporcionabilibus. Volo dicere, si in certa distantia planete ab auge epicicli planeta videtur stationarius, in equali distantia ab auge ecentrici itidem apparebit stacionarius. Iam igitur si planete esset unica diversitas sui motus, ut putabat Apollonius et ceteri vetustiores, satis esset ostendisse occasionem stationis aut retrogradationis per viam epicicli. Cum autem superius duplicem concluserimus diversitatem, propter ecentricum scilicet et epiciclum, frustra laboraremus determinare puncta stationum in ecentrico solo aut in epiciclo et concentrico. Quare missa istec fatio. fatio] i.e. ‘facio’ Ad rem ergo ipsam veniamus, quam ut planius consequamur, preambula quedam audiamus.
Trianguli ABG basis BG divisa sit in duas portiones BD et DG, quarum una, scilicet GD, non sit minor latere AG. Dico linee GD ad lineam DB maiorem esse proporcionem quam anguli ABG ad angulum AGD. Sit enim primo GD equalis AG. Producta linea dividente AD ei equedistantem a puncto G educo donec cum AB continuata concurrat in puncto Z. Linee quoque GD equedistantem, que sit AE, producam. Erunt itaque paralellogrami ADGE duo latera AE et DG equalia, itemque AD et EG sibi equalia. Descripto itaque arcu circumferentie circuli secundum quantitatem AG, ipse transibit per punctum E, sitque arcus GEH. Proportio igitur trianguli ZAE ad triangulum AEG maior est proportione sectoris HAE ad triangulum AEG cum sector HAE sit pars trianguli ZAE. Sed sectoris HAE ad triangulum EAG maior est proportio quam sectoris eiusdem ad sectorem EAG quoniam triangulus EAG est pars sectoris EAG. Quare multo maior est proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG quam sectoris HAE ad sectorem EAG. Est autem proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG sicut linee ZE ad lineam EG cum sint trianguli eiusdem altitudinis. Et ZE ad EG sicut ZA ad AB, et ideo sicut GD ad DB; igitur trianguli ZAE ad triangulum EAG sicut linee GD ad DB. Item sectoris HAE ad sectorem EAG proportio est sicut proportio anguli HAE ad angulum EAG, quibus angulis equales sunt duo anguli ABG et AGB. Proportio igitur sectoris HAE ad sectorem EAG sicut anguli ABG ad angulum AGB. Sed erat proportio trianguli ZAE ad triangulum EAG maior proportione sectoris HAE ad sectorem EAG. Quare etiam proportio GD linee ad DB maior erit proportione anguli ABG ad angulum AGB, quod fuit concludendum. Si autem GD maior fuerit AG, ductis lineis rectis ut ante erit AE maior AG. Secundum quantitatem itaque AE describo arcum; lineam vero AG continuo donec arcui ipsi obviabit. Quo disposito argumentabimur ut supra fecimus.
Ut autem autem] sup. lin. manifestius fiat illud, sit circulus epicicli ABG super centro D et centrum mundi E, a quo per centrum epicicli ducatur linea EDA et sit A aux epicicli, G vero oppositum augis. Dico itaque generaliter si proporcio linee DG ad lineam EG non fuerit maior proporcione velocitatis motus epicicli ad velocitatem stelle in epiciclo, non est possibile quod stella retrogradari videatur. Si enim hoc possibile esset, maxime fieret apud punctum G. Ibi enim plurimum minuit motus diversitatis ex motu longitudinis. Sed non accidit ibi quod dictum est. Accipiamus enim arcum GT quam minimum, ducta linea ET et linea DT. Quia igitur basis trianguli DTE divisa est in duas porciones DG et GE et una earum, scilicet DG, non est minor latere DT, erit per precedentem maior proportio DG linee ad GE quam anguli DET ad angulum EDT. Et ideo minor proportio anguli DET ad angulum EDT quam linee DG ad GE. Sed proportio DG ad GE posita est non maior proporcione velocitatis epicicli ad velocitatem planete in epiciclo. Multo igitur minor est proportio anguli DET ad angulum EDT quam sit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem stellae. Sed velocitatem stelle nunc determinat angulus GDT. Angulus igitur velocitatis epicicli maior est angulo GET, sitque angulus ipse GEL. In tempore igitur quo stella describit arcum epicicli TG, videtur ipsa descripsisse angulum TEG circa centrum mundi contra signorum successionem si centro epicicli quiescente stella duntaxat in epiciclo moveretur. Sed et in eo tempore epiciclus descripsit circa centrum mundi angulum LEG maiorem angulo TEG secundum successionem signorum. Visa igitur est stella moveri ad signorum successionem secundum quantitatem differentie horum angulorum, scilicet secundum quantitatem anguli LET; nequaquam igitur passa est retrogradationem.
Sit epicicli circulus ABG super centro E et centrum mundi ⟨sit⟩ Z, a quo per centrum epicicli ducatur linea ZEA. Et sit proportio EG ad GZ maior proportione velocitatis epicicli ad velocitatem stelle. Alias enim stellae non accideret statio neque retrogradatio, quemadmodum precedens ostendebat. Sitque alia linea ZB secans epiciclum in duobus punctis B et H taliter ut proporcio medietatis BH ad lineam HZ sit sicut proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem stelle, quod quidem possibile est, ut pretactum est. Dico hanc lineam determinare punctum stationis. Nam stella in H existens apparebit stationaria. Quantuluscumque enim arcus ab H versus augem accipietur, in eo loco planeta videbitur directus; in arcu vero ab H versus oppositum augis epicicli protenso, quantumcumque modicus fuerit, stella videbitur retrograda. Quare necessario in puncto H videbitur stationaria.
Due linee AB et BC proportionem inter se notam habeant, sitque DB equalis AB et orthogonalis ad lineam AC. Et compleatur paralellogramum rectangulum BDGC, quod notum supponatur. Dico quod utraque linearum AB et BC scita veniet. Continuetur enim GD in E ita ut AE orthogonalis ad AC sibi occurrat in E. Erit itaque proporcio quadrati AD ad paralellogramum BG sicut linee AB ad lineam BD. Quare cum hec proporcio nota sit et superfities superfities] i.e. ‘superficies’ BG cognita, veniet quadratum AD notum et latus suum AB, quod querebatur. Sed et propter proporcionem AB linee ad BC suppositam, linea BC nota fiet. 
Sit epicicli circulus DEZH super centro A notam habens ab auge ecentrici distantiam, et ob hoc ex premissa velocitatem respectu velocitatis planete cognitam. Ducaturque a centro mundi quod sit G linea recta epiciclum secans in duobus punctis E et Z taliter ut proportio medietatis linee EZ, scilicet linee TZ, ad lineam ZG sit ut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in epiciclo. Ductis ante tamen lineis AT quidem perpendiculari ad EZ et AZ semidiametro epicicli cum linea GHD augem epicicli D et oppositum eius indicantibus, indicantibus] we would expect ‘indicante,’ but it is not in the witnesses queritur arcus DEZ. Est enim per quintam huius punctus Z in quo planeta stationarius apparet et incipiens retrogradari, qui etiam punctus si in latere epicicli dextro signabitur simili conditione, erit ipse initium directionis. Quia autem proportio linee TZ ad lineam ZG iam nota est quoniam velocitates epicicli et planete premissa docuit, erit proportio EZ duple ad TZ ad lineam ZG nota. Quare coniunctim proporcio EG ad ZG cognita fiet. Item ex eis que libri precedentes explanarunt, nota fit proporcio semidiametri epicicli ad lineam AG; et ideo AH respectu HG nota et consequenter DH ad HG. Sed et DG respectu HG cognita fiet. Igitur quod fit ex GD in HG scitum veniet. Sed ipsum equatur ei quod fit ex EG in ZG; ergo quod fit ex EG in ZG notum dabitur. Cum autem proporcio EG ad ZG iam constet, erit per sextam huius utraque linearum EG et ZG cognita respectu linee AH, semidiametri scilicet epicicli. Linea denique EZ nota prodibit et medietas eius TZ. Trianguli igitur ZTA rectanguli duo latera TZ et ZA nota fiunt, quare latus eius AT scitum et angulus TAZ cognitus. Sed et linea TG nota est et angulus T rectus. Quare angulus AGT notus fiet et reliquus ex recto angulus TAG, a quo si dempseris angulum TAZ notum, manebit angulus ZAH notus et arcus ZH cognitus. Unde et residuus de semicirculo arcus DZ inventus erit, qui querebatur. Ad hunc igitur epicicli situm dum planeta in puncto Z note distantie a puncto D fuerit, videbitur stationarius. Si vero initium directionis optaveris, translatas intellige omnes lineas sinistri lateris epicicli ad latus eius dextrum, et silogismo fruaris pristino. Concludes etenim initium retrogradacionis et initium directionis epicicli situ non mutato equaliter ab auge epicicli vera distare.
Sit enim, ut cognitu facilius in figura fiat, linea ZE ducta per augem ecentrici Z et centrum mundi E, in qua sit centrum motus equalis T. Statuaturque epiciclus inter augem et longitudinem ecentrici mediam, qui sit circulus ABG super centro D descriptus. Ducta linea EDA ad augem epicicli veram, que sit A, oppositum autem augis vere sit punctus G. Sed oppositum augis medie epicicli sit punctus H ducta linea THD. Planeta vero retrogradari incipiens sit in puncto B. Arcum igitur BG ex precedenti habebimus notum; eum autem non describit planeta precise a principio retrogradationis usque ad eius medium. Accidente Accidente] corr. in accedente enim planeta ad oppositum augis epicicli, epiciclus ipse recedit amplius ab auge ecentrici. Angulus igitur diversitatis EDT ob eam rem maior erit in medio retrogradationis quam in eius initio, et ideo oppositum augis vere epicicli plus distabit ab opposito augis medie. In medio itaque retrogradationis sit oppositum augis vere epicicli punctus M. Describet igitur planeta arcum epicicli BM a principio retrogradationis ad eius medium. In fine vero retrogradationis mutabitur oppositum augis epicicli per arcum fere equalem arcui GM. Estimetur igitur venisse ad punctum N ita quod a medio ad finem retrogradationis arcum epicicli fere equalem arcui BM describere convincatur. Querimus itaque arcum BM, qui equidem statim inveniretur si arcus GM cognitus esset. Sed ipse sciri non poterit nisi sciantur anguli diversitatum propter ecentricum venientium, quorum unus in principio retrogradacionis, alter vero in eius medio contingit. Eorum enim angulorum differentia arcum GM manifestaret si initium et medium retrogradationis ante aut post augem acciderent. Si vero alterum ante et alterum post augem sive eius oppositum contingeret, ipsi anguli diversitatum collecti idem efficerent. Ut igitur hos diversitatum angulos prope verum eliciamus, operam demus. Arcus BG notus est et proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem planete cognita est. Quare cum arcus BG velocitatem planete in epiciclo mensuret, erit arcus quem epiciclus correspondenter describit scitus. Accipe igitur equationem centri cum centro medio quo utebaris in precedenti dum querebas arcum ZH, quam serva. Deinde huic centro medio arcum velocitatis epicicli superadde quem iam novissime extraxisti, et cum collecto iterum quere equationem centri, cuius equationis et prioris differentiam notabis. Equalis namque erit fere in proposito arcui GM. Subtrahe igitur eam ab arcu BG prius noto, et manebit arcus BM quesitus dum epiciclus inter duas longitudines ecentrici medias versus augem fuerit, aut eidem adde si in reliqua ecentrici parte constitutus fuerit.
Sit epicicli circulus ABG super centro D et centrum mundi E, quod continuetur cum centro epicicli per lineam ED usque ad augem epicicli A educendam. Producaturque a centro mundi linea EB secans epiciclum determinando punctum stationis G. Lineeque AE sit equedistans BZ, quam secet HT per punctum G transiens qualitercumque ceciderit in puncto L. Erunt igitur duo trianguli BLG et EGT equianguli. Quare proporcio linee BG ad lineam GL est sicut proportio GE ad GT; ideo permutatim BG ad GE sicut GL ad GT. Quare maior est proportio linee HG ad GT quam proporcio BG ad GE. Unde etiam maior est proportio medietatis linee HG ad lineam GT quam proporcio medietatis linee BG ad lineam GE. Ponamus itaque punctum stationis G ad longitudinem mediam ecentrici, quando scilicet centrum epicicli distat a centro mundi per lineam DE. Deinde imaginemur epiciclum recedere ab hoc situ versus oppositum augis ecentrici donec distantia centri eius a centro mundi sit ut linea DT. Iam propter hunc recessum a longitudine media ecentrici, maior fit proportio medietatis linee HG ad lineam GT quam sit proportio medietatis linee BG ad lineam GE, ut ostensum est. Similiter maior fit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete pro distantia DT quam sit proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in distantia DE quoniam motus longitudinis tanto maior redditur quanto epiciclus augis opposito propinquaverit. Si igitur possibile est quod quantum addit proportio medietatis linee HG ad lineam GT super proportionem medietatis linee BG ad GE tantum addat proporcio velocitatis epicicli ad velocitatem planete in distantia quidem epicicli DT super proportionem velocitatis epicicli ad velocitatem planete planete] i. m. in distantia DE, fit proporcio medietatis linee HG ad lineam GT sicut proportio velocitatis epicicli ad velocitatem planete. Quare tunc punctus G erit locus stationis dum epiciclus a centro mundi distat per lineam DT, qui punctus et antea dum epiciclus esset in longitudine media fuit locus stationis. Variata igitur centri epicicli a centro mundi remotione, locus stationis immutatus mansit, quod intendebam. Verum huius precisionis neglectio haud sensibilem immittet errorem, quare Ptolemei operationem, que tametsi enucleata non est tantum tantum] tamen W quantum satis est comoda, comoda] corr. ex comodam prosequendam censeo.
Figuram ante oculos positam contemplare, in qua linea ABE per augem ecentrici et eius oppositum incedat, cuius alter terminorum, A scilicet, sit aux, alter vero E oppositum augis. In ea linea punctus D sit centrum mundi, G ecentrici, B vero motus equalis. Epicicli item circulus HT super centro Z describatur, quem contingat linea DT in puncto T. Centrum quoque eius cum tribus punctis B, G, et T continuetur per lineas ZB, ZG, et ZT. Producta BZ in H augem mediam epicicli, denique perpendiculares protrahantur, BM quidem ad GZ, et GK ad DT, itemque GL ad ZT. Querimus itaque dum Venus est in linea DT maxime a loco Solis remota, quanta sit eius longitudo vespertina. Superioribus autem passibus locus augis ecentrici Veneris dabatur cognitus, et nunc quidem locus stelle huius scitus supponitur. Quamobrem angulus ADT invenietur notus. Unde proportio GD, ecentricitatis scilicet, ad lineam GK equalem LT non ignorabitur. Erat autem utraque linearum DG et ZT respectu semidiametri ecentrici nota. Quare LT respectu eodem cognita veniet. Residua quoque ZL ad lineam GZ semidiametrum ecentrici mensurata erit. Trianguli igitur ZGL duo latera ZG et ZL nota sunt et angulus L rectus. Quare angulus eius ZGL notus erit. Iam igitur totus angulus DGZ ex tribus constat angulis notis, angulo scilicet ZGL iam noto, angulo LGK recto, et angulo DGK cognito propter angulum GDK prius notum et K rectum; quare ipse cognitus veniet reliquusque de duobus rectis angulus, videlicet BGZ. Et ob hoc utraque linearum BM et MG linee BG commensurabuntur. Que quidem linea BG respectu GZ semidiametrici semidiametrici] semidyametri W ecentrici nota est; sic igitur reliqua linea MZ cum linea BZ scite dabuntur. Unde angulus BZM non ignorabitur, qui cum angulo BGZ pridem noto equipollent angulo ABZ; unde ipse angulus ABZ cognitus erit. Quare distantia medii loci Veneris, qui et Soli communis est, ab auge ecentrici constabit. Igitur locus ille medius nequaquam occultabitur. Per ea autem que in tertio libro disserebantur, ex loco Solis medio locus eius verus haud inscitus prodibit. Cum itaque locus Veneris ad nutum positus sit et locus Solis verus pateat, cognitum erit intervallum quod ipsorum locis veris intercidit, et hoc erat cupitum.
Paulo diversiorem subiciemus figuracionem, in qua linea veri motus motus] loci W Veneris continget latus epicicli dextrum. Linea vero GL perpendicularis, que pridem semidiametro epicicli obviavit, nunc semidiametro epicicli continuate extrinsecus ad rectos incidat angulos. Silogismo autem superiori ex loco augis cognito et loco planete pro libidine supposito, erit nota linea GK equalis linee LT. Hinc tota LZ respectu semidiametri ecentrici GZ nota habebitur, et ideo angulus ZGL mensuratus, qui ex recto LGK ablatus relinquet angulum ZGK non ignotum. Is Is] et W denique angulus ZGK angulo DGK sociatus conflabit angulum ZGD scitum. Unde et residuus de duobus rectis angulus, scilicet BGZ, nequaquam ignorabitur, cuius suffragio reliqua ut ante hac feceras sedulo eniteris.
In linea ABG punctus A sit aux ecentrici, G centrum mundi, B centrum motus equalis, et T centrum parvi circuli quem centrum ecentrici describit. Epicicli autem circulus ZH super centro E statuatur, quem contingat linea GH in puncto H, eiusque centrum continuetur cum tribus punctis B, G, H lineis suis. Sitque locus planete, quem ostendit linea GH, in orbe signorum notus. Propositum est invenire maximam Mercurii a vero Solis loco longitudinem, quod nequaquam poterimus exequi ingenio quo circa Venerem freti sumus. Nam licet angulum AGH notum habeamus, tamen nulla distantia centri epicicli ab aliquo trium punctorum G, B, et T cognita est, cuius quidem scientia ad hanc rem est necessaria. Cogitandum igitur fuit super alio medio quo institutum nostrum attingendi fieret fieret] corr. ex fuerit copia. Certi autem sumus quod cognito angulo ABE, scilicet motus medii longitudinis, cognoscetur per ea que superius ostensa sunt. Angulus diversitatis BEG cum angulo BGE, et ideo etiam linea EG respectu semidiametri ecentrici, quo quidem respectu et semidiameter epicicli nota erit. Hinc angulus EGH et inde totus angulus AGH noti erunt. Sic ex loco medio planete supposito verum ipsius elaborandi patet ianua. Medio autem loco Solis dato verum ipsius eniti quis ignorabit? Quare medio loco Solis aut Mercurii (quoniam is ambobus communis est) ad libitum supposito, facile agnoscemus maximam Mercurii sive matutinam longitudinem sive vespertinam.
Nunc ad rem ipsam feliciter properemus, que ut intellectu iocundior habeatur, exemplari utar sermone. Doceri vellem, Mercurio secundum verum sui cursum in principio Arietis constituto, quanta possit esse ipsius maxima a vero loco Solis longitudo, sive matutinam malim sive vespertinam. Pono ad fortunam, ex racionabili estimacione tamen, medium locum Solis sive Mercurii talem ut expleto opere cuius nunc nunc memini, locus verus Mercurii cadat in principium Arietis aut prope. Si igitur verus Mercurii locus ad principium Arietis pertinget, certus ero quod Mercurio in principio Arietis constituto tanta potest accidere maxima a Sole longitudo quantum opus ipsum docuit. Si autem locus Mercurii verus citra principium Arietis ceciderit, intelligo zodiacum BAC, in quo punctus A sit principium Arietis et punctus B sit Mercurii locus verus. Eligo denique alium Solis locum medium ita ut verus locus Mercurii in maxima longitudine existentis cogatur cadere ultra principium Arietis, ut videlicet in figura cadat in punctum C. Habebo itaque duas longitudines Mercurii maximas, quarum una Mercurio in puncto B existenti accidit, altera vero in puncto C, per quas inveniam longitudinem eius maximam ad punctum A hoc ingenio. De excessu duarum longitudinum in duobus locis B et C Mercurio accidentium, accipio partem proporcionalem secundum proporcionem arcus AB noti ad totum arcum BC notum. Hanc autem partem proporcionalem addam longitudini maxime ad punctum B contingenti si si1] corr. ex sic reliqua maior fuerit, aut minuam ab ea si reliqua minor fuerit. Et habebo longitudinem a loco Solis vero maximam que accidit Mercurio in principio Arietis existenti, quod intendebam.