Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨XIII⟩ ⟨Liber XIII⟩

Terciusdecimus.

⟨XIII.1⟩ Latitudinibus trium superiorum viam speculationis aperire.

Crebris Ptolemeus observationibus coniecit tempore suo maximas Saturno et Iovi accidere latitudines dum in principio Libre aut prope constituerentur, Marti vero circa finem Cancri et fortasse in auge ecentrici posito, latitudines inquam septentrionales; in partibus vero diametraliter oppositis maximas latitudines meridionales. Quo satis explorato cepit observare planetas, unumquemque in meta latitudinis sue maxime, nunc quidem in auge epicicli vera aut prope quoniam in auge epicicli vix aut numquam oculo satis aparet planeta radiis solaribus id agentibus, nunc vero in augis opposito. Notavit autem pluri latitudine planetam in opposito augis epicicli existentem ab ecliptica removeri quam in ipsa auge tam in parte ecentrici septentrionali quam meridionali. Utraque autem latitudinum ad augem epicicli veram et eius oppositum pertinentium in medietate ecentrici septentrionali videbatur septentrionalis, et in medietate meridionali utraque meridionalis cernebatur. Que res significavit totam epicicli diametrum versus septentrionem ab ecliptica aut totam versus meridiem removeri, quod haud evenire potest nisi centrum epicicli et pars superficiei ecentrici in qua ipsum epicicli centrum statuitur versus eandem partem declinet.

Conclusit igitur philosophus noster superfitiem superfitiem^‌1] i.e. ‘superficiem’ ecentrici ad superfitiem superfitiem^‌2] i.e. ‘superficiem’ ecliptice inclinatam esse, duosque sectionis terminos, quemadmodum in Luna, nodos appellavit. Epicicli itidem superfities superfities] i.e. ‘superficies’ ad superfitiem superfitiem] i.e. ‘superficiem’ ecentrici eodem iuditio comprobatur inclinata. Nisi enim id certum esset, nequaquam cerneres planete diversas quantitate latitudines ad augem epicicli et eius oppositum accidere. Deinde haud inertius inertius] corr. ex inercutius expectavit adventum centri epicicli in alterum nodorum ita ut ipsum a termino boreali per quadrantem distare intelligeret, sed et corpori planete distantiam quadrantis ab auge epicicli vera delegit. Quocienscumque duas considerationes istas confluxisse vidit, non deprehendit astri aliquam latitudinem. Idem quoque comperit planeta in aliis epicicli partibus existente, epiciclo tamen in nodo manente. Hoc iuditio iuditio] corr. in inditio convicit convicit] corr. ex convincit totam epicicli superficiem in hoc situ ecliptice superfitiem superfitiem] i.e. ‘superficiem’ nusquam transilire. Ad sumam sumam] i.e. ‘summam’ igitur Ptolemei vestigia sectando asseremus quod superficies ecentrici in his tribus superioribus ad superficiem ecliptice inclinata sit inclinatione fixa, superficiesque epicicli ad superficiem ecentrici non tamen fixa inclinatione ita quod longitudo epicicli propior ad eam partem ab ecentrico elongatur ad quam tendit pars ecentrici in qua ipse epiciclus constituitur. Diameter vero epicicli per longitudines medias transiens sicut in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecliptice iacere cognoscitur, epiciclo in altero nodorum manente; ita extra hos duos situs ecliptice concluditur equedistare.

⟨XIII.2⟩ 2. Pro Veneris denique et Mercurii latitudinibus preambula quedam absolvere.

Dum sedulo aspiceret Ptolemeus quid varietatis in suis haberent latitudinibus Venus et Mercurius, deprehendit quod centro epicicli in auge ecentrici constituto eandem haberet planeta latitudinem in auge epicicli vera existens quam in eius opposito. Simile repperit centro epicicli in opposito augis ecentrici manente. Hec autem latitudo in Venere quidem ad ambos epicicli dictos situs erat septentrionalis, in Mercurio vero meridionalis. Unde liquidum erat quod tota diameter epicicli per augem eius et oppositum transiens et ideo etiam centrum epicicli in Venere quidem versus septentrionem tenderet, in Mercurio autem ad meridiem, quod accidere nequit nisi pars ecentrici que tunc epiciclum continet eo declinet. Postea vero alios planete in epiciclo situs observare studuit, epiciclo tamen in auge ecentrici manente; potissime tamen maximas planete a Sole longitudines et matutinas et vespertinas advertendas censuit. Invenit igitur epiciclo Veneris in auge ecentrici constituto longitudinem vespertinam pluris declivitatis ad septentrionem quam longitudinem matutinam; contrarium vero huius expertus est in opposito augis ecentrici. Ibi enim plus ad septentrionem tendere notavit longitudinem matutinam quam vespertinam. Sed in Mercurio aliter. In auge enim ecentrici longitudinem eius vespertinam plus ad meridiem reperit declinatam quam longitudinem matutinam, in opposito vero augis ecentrici huius contrarium.

Non pigrius inde experimenta habuit dum epicicli centrum in altero nodorum situaretur. Consideravit enim quod planeta utrinque ab auge epicicli per quartam circuli distans nullam ab ecliptica haberet latitudinem; in auge vero atque eius opposito latitudine non careret, et quidem differenter. Vidit enim quod longitudo propior epicicli Veneris in parte ecentrici sinistra, ubi scilicet est motus longitudinis diminutus, declivior esset ad meridiem quam eius longitudo longior. Contrarium autem in reliquo nodo; ibi enim longitudo propior epicicli declivior erat ad septentrionem. Has autem latitudines in Mercurio per omnia contrarias invenit. In nodo enim medietatis ecentrici sinistre longitudo propior epicicli declivior erat ad septentrionem quam longitudo longior; econverso autem in reliquo nodo.

Summatim igitur intelligemus utriusque istorum duorum ecentricum ab ecliptica declinationem pati non quidem fixam sed variatam, cuius quidem mutatio cursum epicicli verum imitatur. Epiciclo enim in auge ecentrici aut eius opposito existente, maxima est huiusmodi deviatio. Eo autem ab hoc situ recedente pedetentim minuitur donec nulla fiat sed tota superficies ecentrici in superficie ecliptice situetur, dum scilicet centrum epicicli in altero nodorum fuerit. Inde vero recedens iterum deviatio ecentrici crescere incipit. In Venere quidem ut dictum est semper versus septentrionem; in Mercurio autem versus meridiem. Epiciclus vero hoc habet varietatis. In nodis diameter eius per augem et eius oppositum transiens non in superficie deferentis est sed ad eam inclinatur. In auge autem ecentrici atque eius opposito tota illa diameter in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecentrici sita est. Diameter vero epicicli orthogonalis ad dictam diametrum, ⟨in⟩ eo situ scilicet augis ecentrici aut eius oppositi, non in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecentrici est sed ab ea reflexione maxima seperata. seperata] i.e. ‘separata’ In nodis autem non modo in superfitie superfitie^‌1] i.e. ‘superficie’ ecentrici verum etiam in superfitie superfitie^‌2] i.e. ‘superficie’ ecliptice situm sibi vendicat. Hanc speculationem si ampliorem cupias, introductorios ad artem nostram consule libellos.

⟨XIII.3⟩ 3. Nunc quante sint universe Veneris et Mercurii latitudines disserere. Unde liquido singularium superficierum ad alias constabunt inclinationes.

Venus in auge epicicli aut eius opposito manens comperitur habere latitudinem 10 minutorum sive epiciclus ipse in auge ecentrici sive in eius opposito fuerit constitutus; Mercurius vero 45 minutorum. Tanta igitur erit cuiusque eorum deviatio sive inclinatio ecentrici ad superficiem ecliptice. Nec mirari oportet quo pacto id considerandi fuerit potestas cum uterque eorum in auge epicicli manens aut eius opposito ne consideratori appareat radius solaris impedimentum afferat. Dico equidem planetam non in hiis duobus observatum esse sitibus sed in locis eis propinquis ita ut conicere possis tantam accidere latitudinem planete in auge epicicli aut eius opposito existenti. Preterea in locis memoratis ecentrici reflexiones differre compertum est in 5 gradibus, in Venere quidem sine diversitate sensibili in auge atque eius opposito; in Mercurio autem differentia reflexionum in opposito augis ecentrici contingentium super eas que in auge ecentrici accidunt addunt medietatem gradus ita ut si mediocrem inter extremas reflexionum differentias pensaveris quinque gradus quemadmodum Veneri et nunc Mercurio vendicabis, hinc elicitur maximam reflexionem alterius medietatum epicicli a superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecentrici esse fere 2 graduum et dimidii. Hec enim reflexio duplicata 5 gradus reintegrat. Angulum autem inclinationis superfitiei superfitiei] i.e. ‘superficiei’ epicicli ad superfitiem superfitiem] i.e. ‘superficiem’ ecentrici paulo inferius eliciemus.

Tandem quoque Veneris epiciclo in altero nodorum constituto stella ipsa in auge epicicli existens latitudinem ad utrumque latus ecliptice habuisse cernitur unius gradus; in opposito vero augis epicicli 6 graduum et tertie unius gradus. Unde concluditur angulum inclinationis superficie epicicli ad superficiem ecentrici in hoc situ continere duos gradus et medietatem unius gradus. Si enim a centro mundi per centrum epicicli in hoc situ rectam duces lineam que secet superfitiem superfitiem] i.e. ‘superficiem’ convexam epicicli in duobus punctis et a summo earum quocumque velis 2 gradus et dimidium numeraveris, due linee terminos huiusmodi arcus continuantes angulum in centro mundi continebunt unius gradus ut quatuor recti sunt 360. Ab infimo vero puncto si tantumdem tantumdem] corr. ex tandem numerabis et modo dicto lineas in centro mundi confluentes intellexeris, erit angulus ab ipsis comprehensus 6 graduum et 20 minutorum fere. Hic autem inclinationis angulus latitudinibus singulis eliciendis inferiori loco usu veniet. Latitudo vero Mercurii in auge epicicli existentis uno gradu et 45 minutis complectitur, in opposito vero augis epicicli quatuor gradibus fere, ita ut inclinatio superficiei epicicli ad superficiem ecentrici 6 gradus et quartam partem gradus unius sibi postulare videatur.

⟨XIII.4⟩ 4. Angulum inclinationis huiusmodi geometrica via investigare.

Angulos huiusmodi inclinationum itinere geometrico didicisse volens, intellige superficiem planam perpendiculariter incidentem ecliptice transeundo per nodos utrosque, que quidem secet epicicli spheram, et sectio communis sit circulus HKE circa centrum D descriptus. Linea augis ecentrici sit AB centrum mundi G in se continens, a quo fluat linea GD eclipticam nusquam transiliens itemque linea GH que continuetur donec DZ ei perpendiculariter insistere possit. Planeta vero nunc intelligatur in E auge epicicli, nunc vero in H opposito augis. Cum igitur angulus latitudinis DGH notus sit ex consideratione, erit proporcio GD ad DZ nota. Sed HD semidiameter epicicli ad GD distantiam epicicli a centro mundi proportionem scitam habet. Ergo eiusdem ad DZ proportio erit manifesta; unde angulus DHZ datus. Ideoque reliquus angulus GDH intrinsecus haud ignorabitur. Et ipse est angulus inclinationis quesitus.

⟨XIII.5⟩ 5. Per maximas Martis latitudines quante sint circulorum suorum inclinationes patefacere.

Veneri et Mercurio hoc unum commune novimus quod tametsi stella ipsa multivarias paciatur latitudines, dum tamen altera earum reperiri solet maxima, reliqua nulla est. Altera itaque alteri cedit quatenus utramque singulatim quanta sit perspicere possit astronomus. In Marte autem, Saturno, denique et Iove, longe diversius evenit. Maxima enim quam quisque eorum solet habere latitudo partim ex epiciclo partim vero ex ecentrico pendet. Itaque alteram altera aperte et seorsum cognosci non sinit. Igitur propositum executuri alio tramite proficiscemur. Mars in opposito augis epicicli sedem habens dum epiciclus ipse in auge ecentrici statuitur, Phebeum iter transilire cernitur spatio quatuor graduum et quarte unius gradus; in opposito vero augis ecentrici quantitate septem graduum.

Pingamus ergo figuram, in qua due linee AB et GD sectiones communes sint superficiei perpendiculariter ecliptice et ecentrico incidenti cum ipsis superficiebus sectis. AB quidem in ecliptica iaceat; GD vero ecentrici superficiem nusquam excedat, in qua denique super duobus centris G et D duos circulos epiciclum representaturos describamus, qui sint HTK et MNS. Sitque diameter epicicli HGK inclinata ad diametrum ecentrici, similiter MDS super eandem, productis a centro mundi E lineis EH, EK, EM, et ES ad quatuor puncta H, K, M, et S. Stella igitur in opposito augis epicicli existens epiciclo in auge ecentrici posito videtur habere latitudinem secundum quantitatem anguli anguli] corr. ex epicicli AEK; in opposito vero augis ecentrici ab ecliptica secernitur per angulum BES. Hii duo anguli cogniti sunt, ut supra visum est. Neuter tamen angulorum GEK et DES scitus habetur, verum differentia qua alter alterum superat comperta est. Ipsa enim est differentia duorum angulorum AEK et BES datorum, cum angulos AEG et BED sibi contrapositos equales esse oporteat. Si itaque proportionem anguli GEK ad angulum DES scitam quis daret, mox eorum uterque prodiret inventus.

Ut igitur hec proportio prope verum cognoscatur, imaginemur lineam rectam transire per centrum mundi et centrum epicicli in duobus sitibus intellecti. Puncta sectionum huius linee cum superfitie convexa epicicli ex parte oppositi augis epicicli notemus. Quotquot igitur arcus circumferentie epicicli ab altero horum punctorum numerabimus equales, et eorum terminos centro mundi continuabimus. Erunt omnes anguli quos dicte linee cum linea per centrum epicicli et centrum mundi ducta continet continet] continent W inter se equales. Idem accidit in reliquo epicicli situ. Ex eis autem que in undecimo libro circa angulos diversitatum ab epiciclo pendentium explanata sunt, si certum arcum ab opposito augis epicicli numerabimus, facile constabit quanto angulo apud centrum mundi ipse subtendetur, et quidem non difficilius in opposito augis ecentrici quam in ipsa auge. Tales igitur arcus equales accipiamus de circumferentia epicicli in auge ecentrici et eius opposito intellecti, ex parte tamen oppositi augis epicicli. Et quantis angulis in centro mundi ipsi subtenduntur exploremus. Si enim hos duos inter se conferemus angulos, prope verum habebimus proportionem eam quam nostri nunc habent anguli latitudinum. Ea proportio in rem nostram ⟨nota⟩ nota] not in witnesses erit hoc pacto. Sit alter illorum angulorum P et alter Q, P quidem maior et Q Q^‌2] perhaps corr. ex B minor. Differentia eorum sit R. Cum itaque proportio P ad Q sit sicut anguli DES ad angulum GEH, GEH] we would expect ‘GEK,’ but it is not in the witnesses erit divisim proporcio R ad Q sicut differentie duorum angulorum DES et GEK ad angulum GEK. Sed R et Q anguli cum differentia angulorum iam dicta noti sunt. Quare angulus GEK non ignorabitur, cui si differentiam sepe memoratam adieceris, angulus DES notus resultabit. Igitur trianguli GEK, cuius duo latera EG et GK nota sunt cum angulo GEK, angulus EGK scitus veniet per scientiam triangulorum planorum. Et ipse est angulus inclinationis ad superfitiem ecentrici, quem Ptolemeus conclusit habere 2 gradus et quartam unius gradus. Angulum vero AEG, inclinationis scilicet ecentrici ad eclipticam, uno gradu contineri didicit. Quod si opus huiusmodi precisius reddendi libido incesserit, arcu TK sive angulo EGK utaris ad extrahendum terminos proporcionis superius memorate; inde vero ut prius per omnia procedas.

⟨XIII.6⟩ 6. Saturnus postremo cum Iove suorum inclinationes circulorum astronomo cognitas volunt.

Hii duo, tametsi plerasque cum Marte communes in motibus habeant passiones, hoc tamen uno a se diversiores prospitiuntur prospitiuntur] perspiciu⟨n⟩tur W quod Martis latitudines in auge ecentrici atque eius opposito accidentes sensibiles habent differentias relativis ad se collatis latitudinibus, quod vero latitudinibus Saturni et Iovis in oppositis augium epiciclorum existentium atque in terminis maximarum latitudinum suarum accidentibus interest sensui non apparet. Quamobrem aliud medium propositi nostri finem aperiet.

Converte oculos ad figuram precedentis, verum non aspicias circulum epicicli nisi eum qui in auge ecentrici situatus est super centro G. Inventa autem est latitudo Saturni in auge epicicli constituti, epiciclo autem in termino boreali manente, per coniecturam que in apparitionibus eius atque occultationibus haberi potuit, 2 graduum fere; in opposito vero augis epicicli 3 graduum. Iovis vero in auge epicicli unius gradus; in opposito vero augis epicicli 2 graduum. Igitur in hac figura angulus HEK prodit cognitus. Ipse enim est differentia duarum latitudinum. Et si proportio anguli HEG ad angulum GEK nota esset, quis ignoraret utrumque eorum? Item si arcus HZ sive TK sibi equalis foret cognitus, statim haberetur uterque duorum angulorum HEG et GEK cum proporcio etiam linee EG ad lineam GH sive GK nota sit. Sed neque isti arcus cogniti sunt. Accipiamus igitur duos arcus equales quanticumque sint, propinquos tamen secundum estimationem arcubus HZ et KT adhuc ignotis, quod faciemus per tabulas diversitatum coniungendo duos diversitatum angulos arcubus equalibus apud augem et oppositum augis epicicli respondentes donec reperiamus agregatum equari angulo HEK noto. Et quanti sint anguli quibus ipsi apud centrum mundi subtenduntur exploratum habeamus per ea que in libro undecimo circa finem conclusa sunt. Erit namque eorum ⟨angulorum⟩ proporcio equalis fere proporcioni anguli HEG ad angulum GEK. Sitque unus eorum P et reliquus Q, P quidem maior et Q minor. Si igitur proportio P ad Q est sicut anguli KEG ad angulum GEH, erit coniunctim proporcio P et Q et Q] i. m. ad Q sicut totius anguli HEK noti ad angulum HEG. Ex tribus igitur notis quantitatibus nota fiet quarta, scilicet angulus HEG, quo adiecto ad angulum AEH, minime scilicet latitudinis, colligetur totus angulus AEG notus, qui est angulus inclinationis ecentrici ad eclipticam. Proportio denique linee EG ad semidiametrum epicicli GH nota est propter situm epicicli notum, et angulus GEH. Quare per scientiam triangulorum planorum angulus EGH cognoscitur, quo dempto ex duobus rectis manebit angulus HGZ scitus, qui mensurat inclinationem epicicli ad superficiem ecentrici.

Quod si precisius eniti voles, utere arcu HZ nunc propter angulum HGZ noto loco eius quo mediante superius proportionem huic rei necessariam elicuisti. Reliqua vero ut ante hac exequaris, opusque huiusmodi itera tam diu donec ad bonam precisionem anguli GEH venies. Ptolemeus vero proportionem qua usus est ad Saturnum posuit ut 18 ad 23, ad Iovem vero ut 29 ad 43. Angulum inclinationis ecentrici ad eclipticam in Saturno conclusit esse duorum graduum et 26 minutorum; in Iove autem unius gradus et 24 minutorum. Verum facilitate operationis persuasus in Saturno accepit pro inclinatione ecentrici duos gradus et dimidium; in Iove autem unum unum] misspelled unun gradum et dimidium. Epicicli autem ad ecentricum inclinationem dimensus est in Saturno quidem quatuor gradibus et dimidio; in Iove autem duobus gradibus et dimidio.

⟨XIII.7⟩ 7. Quod precedens docuit via geometrica lucubrare.

Hec precedenti superaddit novum illud quo pacto ex linea GK cognita respectu linee GE et angulo HEK uterque angulorum HEG et GEK cognosci possit, et inde anguli inclinationum quesiti. Ex figura igitur precedenti triangulum HEK resecabo, cui circumscriptus circulus HLK centrum habeat O, continuata EG in L punctum circumferentie. A quo quidem centro procedant tres semidiametri, OP scilicet, OK, et OX, quarum una lineam LE in puncto R, altera vero lineam HK per medium et orthogonaliter secans secans] corr. in secet in puncto G. Per quod denique punctum G linea EGL educatur. Per…educatur] del. Ex dato igitur angulo HEK cum proporcione EG ad GK, querimus intentum. Quia igitur angulus HEK notus supponitur, erit corda HK respectu diametri circuli nota et eius medietas GK, cuius quadratum a quadrato semidiametri subtractum relinquet quadratum linee GO notum. Unde ipsa linea GO nota dabitur. Item linea GE ad lineam GK, semidiametrum scilicet epicicli, proportionem habet notam. Quare linea GE ad diametrum circuli relata haud ignote fiet fiet] corr. ex fi^†a^†t quantitatis. Ex qua quidem et linea LG tantum fit quantum ex HG in GK sive GK in se. Unde LG nota erit hoc respectu, ideoque tota LE et eius medietas LR. A qua si dempseris lineam LG residuabitur GR nota. Trianguli itaque OGR rectanguli duo latera OG et GR cognita sunt, quare angulus eius acutus GOR scietur; ideoque arcus PX, quem si ex medietate arcus EXL propter cordam suam LE noti reieceris, manebit arcus LP notus. Hoc denique ex arcu HP sublato relinquetur arcus HL notus, et ideo angulus HEL non ignorabitur. Item arcum LP cum arcu PK iam notis ex toto arcu LE minuas, et habebis arcum residuum KE scitum; quare angulus EHK scietur. Duo autem anguli intrinseci HEL et EHK iam noti equipollent angulo EGK extrinseco, quare ipse notus erit, qui est angulus inclinationis epicicli quesitus. Ex angulo autem HEL cognito cum latitudine astri minore, cognoscetur angulus inclinationis ecentrici ad eclipticam, quae fuere demonstranda.

⟨XIII.8⟩ 8. Quantam latitudinem sive Venus sive Mercurius in omni eius ab auge epicicli distantia habeat perpendere.

Veneri et Mercurio idem processus eademque figuratio inserviet. Igitur epiciclum ETD in altero nodorum constitutum secet superficies plana ecliptice perpendiculariter insistens et per centrum epicicli B transiens, sitque sectio communis huius superficiei cum epiciclo linea DE. Sectio autem communis huic superficiei secanti cum ecliptica sit linea AB ita quod B representat representat] perhaps corr. in representet centrum epicicli in transitu ecentrici medio manentis. Diametrum epicicli DE secet alia eius diameter HZ perpendiculariter, totaque superficies epicicli dicte superficiei secanti ad rectos incidant incidant] corr. in incidat angulos, quo fit ut omnis linea in superfitie epicicli perpendicularis ad lineam DE superficiei ecliptice equedistet, una dumtaxat linea HZ dempta, que in ipsa ecliptice superficie iacet. Sit igitur planeta in puncto T notam ab auge epicicli aut eius opposito habens distantiam. A quo quidem puncto T ad superfitiem ecliptice perpendicularis TM demitatur, demitatur] i.e. ‘demittatur’ duoque puncta T et M M] in add. but then del. centro mundi copulentur per lineas AM et AT. Querimus itaque quantitatem anguli TAM ex notis quibusdam rebus, scilicet angulo ABE et proportione linee AB ad BE distantiaque puncti T ab altero duorum punctorum D et E. Huius executionem faciemus si orthogonalem lineam a puncto T ad lineam DE protendemus, que sit TK; item perpendicularem KL ad superfitiem ecliptice, productis duabus lineis TB et LM. Unde consequitur quadrilaterum TKLM esse equedistantium laterum et rectorum angulorum. Nunc silogismo innitaris. Cum angulus EBT notus supponatur et angulus K sit rectus, utraque duarum linearum TK et KB respectu semidiametri epicicli BT cognita erit; hinc LM linea data. Item trianguli KBL angulus KBL notus est per quintam huius et angulus L rectus; igitur KL nota erit respectu KB aut ei equalis TM. Linea quoque LB nota erit. Unde omnes respectu linee BT note fiunt et inde respectu linee AB. Ex qua si lineam BL subtraxeris, manebit AL non ignota, que cum linea LM propter angulum L rectum suscitabunt lineam AM notam et angulum LAM cognitum, qui quidem est angulus diversitatis in longitudine. Ex linea autem AM scita iam et linea TM superius elicita, constabit linea AT cum angulo TAM, qui est angulus latitudinis quesitus.

⟨XIII.9⟩ 9. Inclinationem epicicli nihil erroris sensibilis motui longitudinis immittere.

In principio noni libri dum habitudines orbium explanaremus, superfitiem ecentrici a superfitie ecliptice nusquam recedere superficiemque epicicli in superfitie ecentrici iacere supposuimus, quod etiam fecimus dum per considerationes plerasque occasiones diversorum motuum eniteremur, quasi superfitierum ad se invicem inclinationes, si que essent, si…essent] corr. ex essent que si nihil varietatis afferrent. Neque id ante hunc locum experiendi fuit potestas. Nondum enim idonea apparuerunt media. Nunc vero huiusmodi rem absolvere nihil prohibet. Sit igitur circulus epicicli DT super centro B imaginatus in superfitie ecliptice, et in puncto T planeta ipse statuatur notam habens a puncto E distantiam, ex qua quidem angulus TBK notus fit. Sed angulus K rectus est. Quare et KT et KB linee respectu BT cognoscentur, unde et respectu AB; igitur residua AK haud ignota, que cum linea KT suscitabunt lineam AT cognitam. Quare etiam angulus BAT datus fiet, qui est angulus diversitatis non quidem verus, sed conferendus ad angulum diversitatis BAM verum ex precedenti notum. Invenit autem Ptolemeus in Venere plurimam horum angulorum differentiam 2 minuta, in Mercurio vero 3 minuta, que utique erroris insensibilis vestigia censentur.

⟨XIII.10⟩ 10. Latitudines universas trium superiorum dimetiri.

Pro hiis tribus superioribus quoniam inclinationes epiciclorum permixte sunt inclinationibus ecentricorum, alia via pergendum est. Sit igitur superficies plana erecta super eclipticam secans epiciclum, cuius quidem et ecliptice sectio communis sit AB linea. Differentia vero communis ipsius cum superfitie epicicli sit linea DGE et sit centrum orbis signorum A punctum et centrum orbis revolutionis punctum G, circa quod epiciclus DEZH lineetur, producta diametro eius HZ orthogonaliter secante diametrum DE. Sicque epicicli superfities situetur ut omnis linea in superfitie epicicli perpendiculariter super lineam DE producta superficiei ecliptice equedistet. Sit igitur arcus ET ET] corr. ex AT datus distantie videlicet planete ab opposito augis epicicli. A quo quidem puncto perpendicularem TK produco, sed et a duobus punctis T et K duas perpendiculares ad superfitiem ecliptice demitto, que sint TL et KB, continuando duo puncta B et L productisque lineis duabus AT et AL. Intendimus Intendimus] querere add. i. m. ex angulis inclinationum ecentrici et epicicli et ex proporcione linee AG ad GE et ex situ planete in epiciclo angulum BAL, scilicet diversitatis in motu longitudinis, et angulum TAL latitudinis. Sed prius ad lineam AG demittam perpendicularem KM, productis etiam duabus lineis GT et AK. Ex triangulo itaque GKT rectangulo, cuius angulus TGK notus supponitur, unaqueque linearum TK et KG respectu GT semidiametri epicicli notam habebit quantitatem. Sed angulus KGM inclinationis epicicli notus est, et angulus M rectus. Igitur due linee KM et MG respectu KG et ideo respectu GT cognite venient. Cum autem situs epicicli supponatur notus, erit proportio linee AG ad lineam GT cognita. Omnes igitur linee KT, KG, KM, et MG respectu linee AG innotescent. Dempta autem MG iam nota ex AG relinquitur AM non ignota, ex qua cum linea KM nota veniet linea AK propter angulum M rectum; hinc etiam angulus MAK scitus. Erat autem ⟨angulus⟩ GAB inclinationis ecentrici cognitus; quare totus angulus KAB notus erit. Et angulus B rectus; igitur utraque linearum KB et AB respectu AB AB^‌2] AK W prius note cognita dabitur. Item linea BL est nota quoniam equalis KT superius cognite. Est enim quadrangulum TKBL equedistantium laterum et rectorum angulorum. Ex lineis itaque AB et BL cum angulo B recto, dabitur linea AL cognita, ideoque angulus BAL scitus, qui est angulus diversitatis motus longitudinis. Preterea ex linea AL iam nota et linea TL equali KB pridem note et angulo ALT recto, prodibit linea AT scita, et angulus TAL nequaquam ignorabitur, qui quidem est angulus latitudinis quesitus.

Quod si angulum BAL diversitatis verum angulo diversitatis qui elicitur epiciclo in ecliptica iacente conferemus, nullam aut insensibilem differentiam sentiemus. Ptolemeus namque differentiam horum angulorum in Saturno et Iove invenit fere unius minuti; in Marte autem penitus insensibilem.

⟨XIII.11⟩ 11. Maximam reflexionis latitudinem in puncto contactus accidere.

Facilitatis causa ponamus centrum epicicli in superfitie orbis signorum, sitque ipsum B, circa quod describatur epiciclus DEZH. Ductaque linea a centro mundi per ipsum epicicli centrum, que sit ABG, ducatur alia contingens epiciclum AE, alia item secans epiciclum in duobus punctis D et Z. A punctis vero D, E, et Z bine protrahantur perpendiculares: une quidem ad superfitiem orbis signorum, DM scilicet, EN, et ZS; alie vero DT, EK, et ZL ad lineam AD. AD] we would expect ‘AB,’ but it is not in the witnesses Continuenturque termini harum perpendicularium lineis TM, KN, et SL. Ducaturque linea AN, itemque linea ASM. Oportet hec enim tria puncta ASM in una recta linea esse quoniam ipsa sunt in sectione communi superfitiei orthogonaliter secantis eclipticam et transeuntis per lineam AD. Quibus ita dispositis ostendendum est quod planete in puncto E existenti maxima reflexionis latitudo evenire solet. Sunt enim tres trianguli DTM, EKN, ZLS equianguli quoniam unusquisque habet angulum rectum. Reliqui autem anguli equales sunt quoniam bine linee eos continentes inter se equedistant. Erit igitur proportio EK ad EN sicut DT ad DM et sicut ZL ad ZS. Sed maior est proportio EK ad EA quam DT ad DA itemque maior quam ZL ad ZA. Si itaque a proportione KE ad EA, que maior est proportione TD ad DA, subtraxeris proportionem KE ad EN equalem proporcioni TD ad DM, similiter proporcionem TD ad DM reieceris ex proportione TD ad DA, manebit proportio NE ad EA maior proportione DM ad DA, ipsaque proportio NE ad NA maior ex simili medio proportione ZS ad ZA. Cum autem tres anguli ANE, AMD, et ASZ sint recti, erit angulus EAN maior angulis DAM et ZAS. Simili via probabis de reliquis planete in semicirculo GEH sitibus, omnes videlicet conferendo ad punctum E.

⟨XIII.12⟩ 12. Epiciclo in auge ecentrici aut eius opposito manente, quanta sit superficiei sue ad superficiem ecentrici inclinatio depromere.

Venus et Mercurius hac in re unam suscipiunt dispositionem, in qua superficies epicicli sit circulus GDE super centro B inclinatus ad superfitiem ecentrici. A centro autem orbis signorum prodeat linea AD contingens epiciclum in puncto D, et alia linea ED ED] AED W; we would expect ‘AEB,’ but it is not in the witnesses per centrum epicicli transiens, epicicli epicicli^‌2] epiciclique W circumferentiam in duobus punctis G et E secans. Deinde a puncto D tres linee producantur, DB quidem semidiameter epicicli, DZ perpendicularis ad lineam GE, et DH perpendicularis ad superfitiem ecentrici. Punctum quoque H cum duobus punctis A et Z continuetur continuetur] corr. ex continuentur lineis HZ et HA. Erit autem HZ necessario perpendicularis ad lineam GE. Ex angulo igitur reflexionis DAH, quem precedens demonstravit in hoc situ planete accidere maximum, querimus angulum DZH, qui determinat inclinationem quesitam. Ex tertia autem huius angulus DAH notus concludebatur. Quia igitur proporcio linee AB ad BD nota est, erit et AD respectu utriusque earum nota propter angulum ADB rectum. Sed proporcio AB ad AD iam nota nota] notam W est ut proportio BD ad DZ ex similitudine triangulorum. Quare cum tres prime sint note, erit quarta, scilicet linea DZ, respectu reliquarum nota. Item propter angulum DAH notum et angulum H rectum, fit nota proportio linee DH ad lineam DA. Unde linea DH ad lineam DZ proportionem habebit notam. Cum autem angulus DHZ sit rectus, erit angulus DZH cognitus, qui est angulus inclinacionis quesitus. Invenit autem Ptolemeus hunc angulum in Venere quidem continere tres gradus et medietatem gradus ut quatuor recti sunt 360; in Mercurio autem 7 gradus. Non conturberis autem ex eo quod in tertia huius latitudines reflexionum respectu ecliptice consideratarum aggregavimus et medietatem aggregati proposito presenti adaptavimus cum tamen centrum epicicli in hiis considerationibus non fuerit in superfitie ecliptice. Tam parva est enim ecentrici ad eclipticam inclinatio quod nihil in hoc erroris sensibilis accidere potest.

⟨XIII.13⟩ 13. Maximum angulum diversitatis vere apud punctum contactus reperiri.

Terminos quibus utemur primum intellexisse consilium est. Angulum diversitatis in longitudine estimatum voco eum qui proveniret si superficies epicicli in superfitie ecliptice iaceret, quemadmodum in fine undecimi supposuimus. Angulum autem diversitatis verum non imaginaberis nisi perpendiculariter erexeris duas superfities planas ad ecliptice superfitiem, quarum una centrum epicicli includat, altero altero] alia V₁ vero per quemlibet circumferentie epicicli punctum incedat. Angulus enim quem continebunt due sectiones communes harum superfitierum duarum cum ecliptica vocabitur et et] sub lin. est angulus diversitatis in longitudine verus, quod duobus locis epicicli scilicet et planete veris in ecliptica intercidat. Presenti tamen in proposito hunc angulum diversitatis verum facilitate operationis persuasi in superfitie ecentrici considerabimus. Tanta est enim ecentrici ad eclipticam inclinatio ut varietatem sensibilem non adducat.

Repetita enim enim] igitur W prorsus figura undecime huius ostendendum est quod angulus NAK maior sit omnibus diversitatum angulis in semicirculo GEH contingentibus. In ea enim undecima ostendebatur quod proporcio linee EN ad EA maior sit proporcione linee DM ad lineam DA. Fit igitur conversim proportio EA ad EN minor proportione DA ad DM. Quare quadrati EA ad quadratum EN minor erit quam quadrati DA ad quadratum DM. Quadratum autem EA propter angulum ENA rectum valet quadrata duarum linearum EN et EA. EA] we would expect ‘NA,’ but it is not in the witnesses Similiter quadratum DA equipollet duobus quadratis linearum DM et MA. Fit igitur proportio duorum quadratorum NA et NE ad quadratum NE minor proportione duorum quadratorum MA et MD ad quadratum MD. Unde divisim minor proportio quadrati NA ad quadratum NE quam quadrati MA ad quadratum MD. Igitur etiam proporcio linee NA ad lineam NE minor erit quam linee MA ad MD. Est autem proportio linee EN ad NK sicut DM ad MT. Quare proportio NA ad NK minor est quam MA ad MT, et conversim maior concluditur proportio KN ad NA quam TM ad MA. Angulus igitur diversitatis NAK maior est angulo diversitatis MAT. Idem inferes ubicumque de semicirculo GEH aliud ab E punctum signaveris, quod quidem proponebatur ostendendum.

⟨XIII.14⟩ 14. Maximam differentiam angulorum diversitatis, quorum unus estimatus, alter autem verus, apud contactus punctum evenire.

] the epicycle’s apogee should be labelled ‘H’ Apud punctum contactus aiebam. Non enim in ipso puncto semper maximam reperies huiusmodi differentiam nisi in Mercurio. In Venere autem alibi plerumque differentiam hanc maximam reperiri contingit, quemadmodum inferius paulo explanabitur. Sequar igitur nunc Ptolemeum ponendo circulum epicicli GEH super centro B. Centrum autem mundi punctus A intelligatur, a quo veniat linea AG per centrum epicicli et linea EA contingens epiciclum in E puncto. Sitque alius punctus epicicli ubilibet signatus D, quem itidem centro mundi copulabo per lineam DA. Deinde a duobus punctis E et D binas educam perpendiculares: unas quidem ad superfitiem ecentrici, que sint DM et EN; alteras ad diametrum epicicli, DT scilicet et EK. Terminosque harum perpendicularium continuabo lineis MT et NK. Sed et duo puncta M et N centro mundi copulabo per lineas MA et NA.

Ostendendum itaque est more Ptolemei quod maior sit differentia duorum angulorum EAK et NAK quam duorum DAT et MAT. Cum enim trianguli EKN angulus N sit rectus, erit latus EK longius latere KN. Resecetur itaque ex EK equalis KN, que sit KX, ducta linea XA. Similiter sit TL equalis TM, continueturque continueturque] corr. ex contineturque punctus L cum centro mundi A. Erit igitur angulus EAX differentia duorum angulorum EAK et NAK. Est enim angulus XAK equalis angulo NAK propter duo latera XK et KA equalia duobus NK et KA et angulum AKX et AKN rectos. Similiter angulus DAL differentia est duorum angulorum DAT et MAT. Si igitur excessus anguli EAX super angulum DAL consequeretur excessum proporcionis linee EX ad lineam EA super proportionem linee DL ad lineam DA, quemadmodum supponebat Ptolemeus, procederet intentum nostrum hoc pacto. Linea DA DA] i. m. necessario secabit lineam EK; secet igitur in R. A puncto autem E ducatur equedistans linee AR, quam necesse est concurrere cum KA quantum sat est continuata. Fiunt enim duo anguli apud K et E minores duobus rectis. Concurrat igitur ei in puncto P. Erit autem EP longior EA quoniam maiori angulo trianguli EAP opponitur. Quare proportio KE ad EA maior est proportione eiusdem KE ad EP. KE autem ad EP est sicut KR ad RA sive DT ad DA. Igitur maior est proportio KE ad EA quam DT ad DA, quod etiam in undecima huius tanquam certum assumebatur. Proportio autem EK ad KX est sicut DT ad TL quoniam KX equalis resecta est KN et LT equalis TM. Eversim igitur proportio EK ad EX est ut proportio DT ad DL. Proportio autem EK ad EA constat ex duabus, proportione scilicet EK ad EX et ex proportione EX ad EA. Similiter proportio DT ad DA ex duabus integratur, proportione scilicet DT ad DL et proportione DL ad DA. Auferendo igitur ab inequalibus equalia, utrobique scilicet proporcionem unam, manebit proportio EX ad EA maior proportione DL ad DA. Quod si consequentia Ptolemei rata esset, sequeretur evestigio angulum EAX superare angulum DAL, quod erat demonstrandum.

⟨XIII.15⟩ 15. Maximam huiusmodi angulorum differentiam Mercurio in puncto contactus infallibiliter accidere.

Confusionis tollende gratia duos triangulos EAK et DAT in figura precedenti sibi implicatos hic segregabo, eo tamen pacto ut in A puncto communicent. Quia igitur in Mercurio angulus EAK est minor medietate recti, maximus enim diversitatis sue angulus qui ab epiciclo pendet 24 gradus ut quatuor recti sunt 360 non excedit, erit angulus DAT multo minor medietate recti cum ipse sit minor angulo EAK. Unde etiam angulus AEK maior maior] corr. in minor erit angulo ADT cum uterque angulorum K et T sit rectus. Angulus igitur TDF equalis sit angulo AEK. Ductis lineis DF et LF erunt itaque duo trianguli AEK et FDT equianguli. Quare proporcio AE ad EK erit ut proportio FD ad DT. Sed proporcio EK ad EX est ut proportio TD ad DL, quemadmodum in precedenti firmatum est. Per equam igitur proporcionalitatem concluditur proportio AE ad EX equalis proporcioni FD ad DL. Sed angulus FDL equalis ponebatur AEX. Duo igitur trianguli AEX et FDL erunt equianguli, et erit angulus AXE equalis angulo DLF; similiter angulus EAX equalis angulo DFL. Angulus autem AXE valet angulum rectum cum angulo KAX, qui minor est medietate recti; quare et angulus DLF eosdem valet. Item angulus DAT minor est medietate recti; unde duo anguli DLF et DAT minores sunt duobus rectis. Circuli igitur circumscribentis triangulum DLF circumferentia secabit lineam LA. Non enim potest hec circumferentia ire per punctum A. Sic enim duo anguli oppositi DLF et DAF quadranguli DLFA inscripti circulo essent minores duobus rectis. Si vero transierit transierit] transiret W infra A, iterum longe minores essent duobus rectis, quod contrarium est 21^e tertii Euclidis. Secet igitur dicta circumferentia lineam LA in puncto Q, producta linea DQ cum linea QF. Erunt itaque duo anguli DFL et DQL in circumferentia consistentes et in arcum unum cadentes inter se equales. Sed angulus DQL extrinsecus ad angulum DAQ maior est eo. Quare etiam angulus DFL maior est angulo DAL. Sed erat angulus DFL equalis angulo EAX. Igitur angulus EAX maior est angulo DAL, cuius petebatur demonstratio.

⟨XIII.16⟩ 16. In Venere autem maximam huiusmodi angulorum differentiam extra punctum contactus plerumque reperiri necesse est.

Resumo figuram precedentem nihil prorsus variando. Angulus autem KAX centro epicicli in auge ecentrici constituto minor est medietate recti, quemadmodum ex secunda decimi trahitur. Ibi enim angulus ille concluditur 44 gradus et 48 minuta complecti. Tunc igitur, velut in Mercurio, maxima huiusmodi angulorum differentia in puncto contactus invenitur. Dum vero angulus KAE maior est medietate recti, quod equidem in multis epicicli sitibus accidit, possibile est dare punctum circumferentie epicicli in quo differentia dictorum angulorum maior est quam ea que solet fieri in puncto contactus. Sit enim uterque duorum angulorum KAX et KAE maior medietate recti, quod utique possibile est. Angulus vero DAT sit medietas recti. Fretus itaque mediis in precedenti assumptis concludam angulum DLF equalem angulo AXE. Sed angulus AXE maior est recto et medietate recti. Ipse enim equipollet duobus angulis, K scilicet recto et KAX qui ex ipothesi maior est medietate recti. Et quia angulus DAT ponebatur medietas recti, erunt duo anguli DLF et DAF maiores duobus rectis. Circumferentia igitur circuli circumscribentis triangulum DLF non secabit lineam LA. Si enim secabit eam, sit ut in puncto Q, productis lineis FQ et DQ ut in figura precedentis, erunt duo anguli DLF et DQF equales duobus rectis. Sed idem angulus DLF cum angulo DAF erant maiores duobus rectis. Quare angulus DQF minor est angulo DAF, quod est impossibile per 21^am primi Euclidis. Neque transibit per A. Sic enim idem esset maius se ipso. Transeat itaque infra A. Et continuetur LA donec occurret huic circumferentie ad imaginationem in puncto S. Productis autem lineis FS et DS, erit angulus DSL equalis angulo DFL cum in circumferentia consistentes in unum cadant arcum. Sed angulus DAL maior est angulo DSL extrinsecus intrinseco; igitur et maior angulo DFL, qui erat equalis angulo EAX. Si igitur a centro mundi duarum linearum exeuntium, una per centrum epicicli, alia vero epiciclum secans transeat, que medietatem anguli recti contineant, fit ut in utroque puncto sectionum maior accidat dictorum angulorum differentia quam in ipso puncto contactus. Non itaque in puncto contactus semper accidet plurima horum angulorum differentia, sed quandoque extra, quod erat deducendum.

Quod si posueris angulum DAT minorem medietatem recti, equalem equalem] misspelled equalen tamen angulo AXK, qui etiam minor est medietate recti, reliquis ut ante manentibus, transibit circumferentia circuli circumscribentis triangulum DLF per punctum A, et erit ad ultimum angulus EAX equalis angulo DAL. Huius autem deductionem ipse enitaris. Similis enim est prioribus.

⟨XIII.17⟩ 17. Quanta ut plurimum possit inveniri angulorum huiusmodi differentia concludere. Unde liquebit reflexionem epicicli nihil varietatis sensibilis motui longitudinis immittere.

Dum superius in nono et decimo occasionibus diversorum motuum Veneris et Mercurii reperiendis operam dedimus, superfitiem epicicli in superfitie ecliptice comprehendi supposuimus; non autem ita est secundum quod in hoc libro ostendimus. Investiganda igitur nobis est maxima differentia angulorum longitudinis, quorum unus accideret si epiciclum in superfitie ecliptice poneremus, alius vero si ponemus ei inclinationem, ut sciamus refellere maledicta huic divino studio adversantium qui supposita fundamenta suspicantur infirma. Dabunt enim veniam si error ille quem astronomo imputant insensibilis fuerit. In hoc enim quiescendum est cum in hac arte punctum geometricum sive precisionem attingendi non sit potestas instrumentis id efficientibus.

Nunc autem tametsi plurima huiusmodi angulorum differentia non semper in puncto contactus accidat, cum Ptolemeo philosophorum clarissimo stabimus facilitate operationis persuasi ac si ea differentia in puncto contactus fiat maxima. Igitur duodecime huius figurationem resumamus. In qua propter angulum ADB rectum et duas lineas AB et BD inter se notas, linea AD nota erit. Et angulus diversitatis BAD estimatus ac si superfities epicicli sit in superfitie ecliptice cognitus fiet. Est autem proportio BA ad AD ut BD ad DZ. Ex tribus itaque notis quarta, scilicet DZ, haud ignorabitur. Ex angulo etiam DAH, maxime scilicet latitudinis, et angulo H recto, nota fiet utraque linearum DH et HA. Sed et due linee DZ et DH lineam ZH notam suscitabunt, que denique cum HA linea linee ZA cognoscende viam parabunt. Unde quoque angulus ZAH cognitus erit, quem si angulo BAD pridem scito conferas, in Venere differentiam unius minuti, recitante Ptolemeo, in Mercurio vero 6 minutorum reperies, que quidem differentie parvipend⟨end⟩e parvipendende] the witnesses lack a syllable needed for the gerundive form sunt. Et hec declaranda proposuimus.

⟨XIII.18⟩ 18. Quae pro inclinatione superficiei epicicli ad superficiem ecentrici determinata sunt an considerationibus respondeant sensualibus indagare.

Querendo angulum inclinationis unde pendet latitudo reflexionis, posuimus epiciclum in longitudine ecentrici media. Nunc autem servato eodem inclinationis angulo ponemus epiciclum primo in auge ecentrici, postea in eius opposito. Et per opus numerorum investigabimus quanta possit utrobique maxima provenire reflexio propter epicicli huiusmodi inclinationem. Quod si reperiemus latitudines reflexionis maximas equales hiis que sensuali observatione deprehendimus, non iniuria laudabimus et approbabimus inventionem dicte inclinationis. Qua quidem inclinatione reflexionis latitudines ad ceteros situs planete quoslibet eliciemus. Figura igitur qua usi sumus circa duodecimam duodecimam] spelled duodetimam huius huius] et in precedenti add. i. m. resumentes ex lineis AB et BD notis cum angulo ADB recto, sciemus lineam AD. Sive enim ponamus epiciclum in auge ecentrici sive in augis opposito, lineam AB per ea que in nono et decimo explanata sunt respectu semidiametri epicicli cognitam intuebimur. Cum autem sit proportio AB ad AD ut BD BD] corr. ex B ad DZ, erit linea DZ propter reliquas tres scitas cognita. Ex duodecima autem huius angulum DZH notum fecimus. Quare cum angulus DHZ sit rectus, erit DH respectu DZ et ideo respectu DA cognita. Sed angulus AHD rectus est. Igitur angulus DAH cognitus erit, qui est angulus reflexionis quesitus.

Numero autem Ptolemeus didicit angulum DAH ad augem ecentrici Veneris 2 graduum et 27 minutorum; ad augis autem oppositum 2 graduum et 34 minutorum. Reflexio itaque per hanc operationem ad augem ecentrici invenitur minor ea quam longitudini medie vendicavimus in tribus minutis; in opposito autem augis maior eadem in 4 minutis. Sed neque 3 neque 4 minuta sensu comprehendere possumus. Bene igitur stat negotium Veneris. Mercurius autem in auge ecentrici, si numero Ptolemei credimus, habet reflexionem 2 graduum et 17 minutorum, in opposito augis 2 graduum et 46 minutorum. Ecce minor est reflexio hic in 13 minutis et maior ibi in 16 ea quam in longitudine media posuimus. Diminutio quidem in quarta parte gradus fere accidit et additio, que satis respondent experimentis instrumentorum. Bene igitur res se habet circa Mercurium, quod dudum optavimus.

⟨XIII.19⟩ 19. Maximus angulus diversitatis in longitudine ad maximum angulum latitudinis eam ferme proportionem suscipit quam alius quispiam longitudinis angulus ad angulum latitudinis sibi respondentem.

Nostro proposito undecime huius figuratio inserviet, in qua angulus EAK diversitatis in longitudine maximus ad angulum latitudinis EAN eam fere proponitur habere proportionem quam habet angulus DAT ad angulum DAM aut quilibet alius longitudinis angulus ad angulum latitudinis sibi respondentem. Intelligantur enim duobus triangulis EAK et EAN circumscribi duo circuli, quos equales esse constat cum unam habeant diametrum, scilicet lineam EA, quod uterque angulorum AKE et ANE rectus sit. Similiter duobus triangulis DAT et DAM circulos duos circumscribamus, qui pari ratione sibi equales probabuntur. Est autem proportio linee KE ad lineam EN sicut proporcio CD CD] we would expect ‘TD,’ but it is not in the witnesses ad DM. Sed KE ad EN proportio est fere ut proporcio suorum arcuum, itemque proporcio cordarum TD et DM ut suorum arcuum fere propter parvitatem eorum. eorum] earum W Quare arcus quem cordat linea KE ad arcum quem cordat EN est ut proporcio duorum arcuum quos cordant TD et DM. Horum autem arcuum proporcio est ut angulorum in circumferentia super puncto A consistentium et in eos arcus cadentium cum circuli bini sint equales. Quare angulus EAK ad angulum EAN fere proportionem habebit eam quam angulus DAT ad angulum DAM, quod erat concludendum. Unde manifestum est quod cognitis duobus angulis EAK et EAN cum singulis angulis diversitatum in longitudine, cognoscentur singule reflexionum latitudines, quarum gratia presens cudebatur theoreuma.

⟨XIII.20⟩ 20. Data planete ab auge epicicli distancia angulum reflexionis eius dimetiri.

Epicicli circulum GDE secet linea AG per centrum mundi A et centrum epicicli B transiens, sitque planeta in D puncto notam habens a puncto G, quod est aux epicicli, distantiam. Ductisque perpendicularibus DT quidem ad diametrum epicicli et DM ad superfitiem ecentrici, protrahantur linee AD, AM, et TM cum semidiametro epicicli BD. Ex angulo igitur GBD noto et angulo T recto, linea DT respectu semidiametri epicicli nota veniet cum linea TB. Unde etiam tota AT hoc respectu scita erit, que cum DT linea suscitabunt AD cognitam. Item ex angulo DTM inclinacionis epicicli noto et angulo DMT recto, erit DM linea respectu DT et ideo respectu AD cognita. Quare cum angulus AMD sit rectus, invenietur angulus latitudinis DAM numeratus. Pariformiter ad reliquos planete situs operaberis. Si igitur incertitudinem quam antecedens pre se fert propositio horreas, hanc consule presentem, que ambigui nihil admittit.

⟨XIII.21⟩ 21. Minuta proporcionalia latitudinum adaptare.

Universa de latitudinibus superius dicta posuerunt epiciclum aut in maximarum punctis latitudinum aut in nodis. Pro locis autem mediis nihil actum est. Si igitur ad loca media latitudines singulas eniti volemus, angulum inclinationis epicicli ad superfitiem ecentrici presciamus necesse est. Non enim invariatus manet ille inclinationis angulus ut erat in termino boreali aut meridionali aut in nodis. Verum huiusmodi inclinationes ad omnem epicicli situm in ecentrico invenire labor est non modicus. Cogitandum igitur erat de alio medio quo latitudines ad situs epicicli ceteros prope verum addiscerentur facile. Eam autem habere debuit medium illud conditionem ut quemadmodum latitudines maxime propter motum epicicli decrescunt in aliis sitibus, ita et medium istud proporcionabiliter faciat. Quo quidem fit ut cognito decremento istius medii, palam fiat quantum latitudines ipse decreverunt.

Ut autem res hec cognitu facilior habeatur, exemplari positione utemur. Sit igitur ecliptice circulus ABGD, super quem inclinatus sit circulus declivis Saturni, quibus centrum mundi commune sit. Polus ecliptice sit punctus Z, a quo demittantur due quarte circulorum magnorum, una quidem ZA per punctum maxime latitudinis, terminum scilicet borealem, incedens secando circumferentiam circuli declivis puncto E, altera vero ZH secans circulum declivem in puncto F. Quemadmodum itaque quelibet Saturni latitudo dum epiciclus in E ponitur eveniens pedetentim decrescit procedente epiciclo ab E versus B nodum donec ibi manens nulla fiat, ita arcus circuli per polum ecliptice transeuntis qui ecliptica et termino boreali intercipitur paulatim minuitur donec in puncto B nullus reperiatur. Arcus igitur dicti et latitudines ipse videntur habere proporcionalem quandam colligantiam ita ut quantum arcus ille decrescat tantum proporcionabiliter et latitudo censeatur decrevisse. Illi igitur arcus collati ad arcum EA idonea fient media ad conitiendum conitiendum] i.e. ‘coniciendum’ quantum latitudo quelibet diminuta sit, minutaque proporcionalia non iniuria vocabuntur. Que si in numeris operacioni accomodatioribus cognoscere cognoscere] corr. ex cognosceres voles, hanc audi doctrinam. Ex arcu EA notus fiet arcus FH non aliter quam in latitudinibus Lune particularibus actum est. Pone igitur arcum EA 60 minuta, et quot de huiusmodi minutis in arcu FH inveniantur addiscas. Ipsa enim erunt minuta proporcionalia ad situm epicicli in F puncto que tantum tantum] perhaps corr. in quantum V₂; quantum W minuunt minuunt] corr. ex minuit ex totis minutis proporcionalibus, scilicet 60, tantum etiam proporcionabiliter quelibet latitudo planete ibi proveniens minuit ex latitudine sibi correlativa quam dat epiciclus in puncto E constitutus. Ptolemeus tamen, qui non modo inveniendis rebus ingenium habuit sed et inventis subtiliter utendi, accepit universas Lune latitudines iam dudum numeratas et quemadmodum totam latitudinem, 5 scilicet graduum, in 12 multiplicavit ut prodirent tota minuta proporcionalia 60, ita singulatim reliquas omnes latitudines duodecies repetivit ut ceteris locis sua fabricaret minuta proporcionalia. Hiis itaque minutis proporcionalibus in omnibus latitudinibus reliquorum situum numerandis uti solemus veluti tabularum explanatores precipiunt.

⟨XIII.22⟩ 22. Circa apparitiones planetarum atque occultationes postremo speculari.

Non iniuria Ptolemeus apparitionibus planetarum atque occultacionibus locum vendicavit postremum, post latitudines videlicet iam explanatas, quibus pretermissis hec scientia apparitionum et occultationum attingi nequit. Quicquid igitur superius in fine octavi libri de apparitione et occultatione stellarum fixarum diximus hoc in loco repetitum volumus. Quemadmodum enim ille nunc apparentes sero post Solis occasum aliquando disparere incipiunt Sole ad eas accedente; inde vero aliquandiu latent; postea vero Sole ab eis recedente mane iterum apparere incipiunt, ita et quinque stelle erratice faciunt, differenter tamen. In stellis enim fixis accessus Solis ad eas sive recessus ab eis occultationis sive apparitionis dumtaxat est occasio, quod etiam tribus planetis superioribus commune est; verum in Mercurio atque Venere copiosior est apparitionis vel occultationis occasio. Illi enim non modo propter Solem ad eos accedentem aut ab eis recedentem has habent passiones, sed et ipsimet Soli propinquantes aut eum fugientes hoc passionis genus sibi inferunt. Quo fit ut sicut stellis fixis simplices eveniunt ille passiones ita et tribus superioribus, Veneri autem Mercurio geminate. Tres enim superiores occultationem paciuntur vespertinam et apparitionem matutinam velut stelle fixe; Venus autem et Mercurius apparitionem non modo matutinam sed et vespertinam; occultationem itemque geminam sustinere comperiuntur.

Ut igitur hiis passionibus scitu iocundissimis priusquam evenirent, tempora prefigere disceret astronomus, inquirendum erat medium unum cuius precognitio tempora apparitionum et occultationum nobis aperiret. Ipsum autem non potuit esse arcus ecliptice Soli et stelle primum apparenti interiacens. Non enim potest esse unicus ad omnes quinque erraticas quoniam stella maior in principio apparitionis sue aut occultationis minus a Sole distare cognoscitur quam stella minor. Sed et in una stella variatio reperitur. Eadem enim stella nunc in ecliptica existens nunc vero ab ecliptica latitudinem habens variam habet a Sole distantiam initio apparitionis aut occultationis sue; itemque variam si nunc septentrionalem habuerit latitudinem nunc meridionalem. Minori enim arcu a Sole distat stella primum apparens si latitudinem habuerit septentrionalem quam si in ecliptica constituta fuerit aut extra eam versus meridiem. Preterea si stelle non fuerit latitudo aliqua aut si latitudo fuerit una, tamen orizon alius aliam stellae stellae] corr. ex stella^†m^† primum apparentis a Sole facit distantiam. In uno denique orizonte propter variam ecliptice super orizonta inclinationem, idem evenire nemo dubitat.

Invenit autem Ptolemeus medium unum quod variationem non patitur nisi secundum magnitudines stellarum, arcum videlicet circuli magni per polos orizontis et Solem transeuntis in principio apparitionis sive sive] corr. ex sue occultacionis, arcum inquam qui inter Solem sub orizonte existentem et orizontem ipsum clauditur. Quem quidem arcum ex offitio suo, uti etiam superius in octavo libro, arcum visionis nuncupabimus. Qui quantus unicuique debeatur qualiterque proposito serviet nostro inferius aperietur.

⟨XIII.23⟩ 23. Arcum visionis studiose percontari.

Quemvis planetarum initio apparitionis sue aut occultationis observa, quantum videlicet a Sole secundum zodiaci longitudinem removeatur. Et si quam latitudinem habeat, addisce cuiuscumque partis an septentrionalis sive meridionalis existat. Observationes autem huiusmodi eo amplius laudabo quo Cancri viciniores sunt initio. In ipso autem Cancri principio comodissime habebuntur. Eo enim in loco dum Sol existit, aeri mediocris accidit serenitas. Inventa igitur distantia inter Solem et stellam primum apparentem, eas que duodecime duodecime] spelled duodetime octavi libri serviebant repete figuras, primam quidem si latitudine careat planeta, secundam autem si latitudinem habuerit. Quid multis moror? Ad eam duodecimam prorsus refugias. Ibi enim quicquid facto opus est intueberis.

Invenit autem Ptolemeus Caldeorum vetustissimas ad hanc rem considerationes, quas in Syria habitas confitetur. Ex quibus trahitur quod Saturnus initio apparitionis sue in principio Cancri manens distat a Sole 14 gradibus. Iupiter autem primum apparens in eo loco distat a Sole 12 gradibus et tribus quartis unius gradus; Mars vero 14 gradibus et medietate gradus. Sed Venus in eo loco vespere oriens a Sole removetur 5 gradibus et duabus terciis gradus unius. Mercurius autem a Sole iam distans 11 gradibus et duabus terciis in dicto zodiaci loco constitutus serotinam habet apparitionem. Ex hiis distanciis unicuique planetarum suum visionis arcum elicuit: Saturno quidem 11 gradus, Iovi 10, Marti autem 11 gradus et dimidium fere, Veneri 5, et Mercurio 10. Constat igitur ex hiis arcum visionis Veneris minorem esse maxima eius latitudine, que reperitur 6 graduum et 20 minutorum dum in opposito augis epicicli fuerit. Quo fit ut ipsa quandoque mane appareat ante ortum Solis; quando tamen nondum ad oppositum augis epicicli pervenit. Unde etiam locum eius profundiorem oportet esse in ecliptica, volo dicere distantiorem a principio Arietis quam locum Solis. Quod utique miraberis nisi iam dictum Veneris singulare accidens inspexeris. Reliquis autem planetis hoc non reperitur commune. Cuilibet enim eorum maior debetur visionis arcus quam sit eius maxima latitudo. Nequaquam igitur mane apparebunt nisi Sol profundior in zodiaco quam aliquis eorum reperiatur.

⟨XIII.24⟩ 24. Quantus arcus ecliptice Soli et planete primum apparenti aut disparenti interiaceat sive latitudinem ab ecliptica habeat sive non explorare.

Quod presens ad discendum proponit tres ultime octavi libri apertissime docuerunt. Eas igitur ne pluri obtundaris sermone consuluisse expediet.

⟨XIII.25⟩ 25. Tempus quod est ab occasu vespertino ad ortum matutinum alicuius trium superiorum mensurare.

Ad huius rei investigationem sit circulus ecliptice ABG super centro D. Locus planete sero primum disparentis sit B et locus Solis A. Ex puncto itaque B noto per precedentem habetur arcus AB notus, quo videlicet planeta ipse distat a Sole. Ex quo denique arcu scietur in quanto tempore Sol describet arcum AB. Interea tamen planeta non quiescet. Moveatur itaque ad punctum C. Sole igitur punctum B attingente planeta erit in C. Ex distantia autem eorum, scilicet arcu BC, invenies tempus, scilicet in quo Sol describit arcum BC. Quo descripto planeta erit in H puncto propter motum eius in hoc tempore. Ita consequenter procedes donec ad sensum videbuntur coniuncti. Sint ergo nunc coniuncti verbi gratia Sol et planeta in puncto H. Ab instanti igitur occultacionis usque ad instans coniunctionis Sol descripsit arcum AH notum et planeta arcum BH notum, tempusque in quo dicti arcus describuntur per ea que iam dudum superius dicta sunt notum fiet. Quo duplato habebis prope verum tempus totum quod est a principio occultacionis usque ad principium apparitionis.

Quod si precisius habere velis tempus illud, pone arcum KH equalem arcui BH. Erit igitur in principio apparitionis planeta aut in K puncto aut insensibiliter ab eo distabit. Per precedentem igitur invenias distantiam inter Solem et planetam in principio apparitionis sue eo in puncto K existente. Sitque distantia illa KG. Aggregatis itaque tribus arcubus AB, BK, et KG iam notis, resultabit totus arcus AG cognitus, quem in quanto tempore Sol peragrare potest non ignorabis si tercium huius operis librum satis vidisti. Et illud tempus erit a principio occultacionis usque ad principium apparitionis, quod querebamus.

Facilius tamen hec omnia comparabis si motum planete verum in uno die a motu Solis unius diei subtraxeris, et per residuum diviseris arcum AB. Exibit enim tempus quod inter principium occultacionis et tempus coniunctionis comprehenditur. Quo duplato tempus totius occultacionis integrabitur. Aut si tocius occultacionis tempus precisius habere voles, ad tempus illud, quod videlicet inter principium occultacionis et coniunctionem est, invenias motum planete verum, quem hic representat arcus BH; et eum dupla ut habeas locum planete in principio apparitionis. Ex quo denique distantiam eius a Sole ut prius investigabis. Qua divisa per superationem Solis in uno die, exibit tempus quod est inter instans coniunctionis et instans apparitionis. Coniunge hec igitur duo tempora et habebis intentum.

⟨XIII.26⟩ 26. Ab occasu matutino Veneris sive Mercurii usque ad ortum vespertinum quantum fluere temporis oporteat investigare.

Neque figuratio huius propositi neque executio in ullo a precedenti differunt nisi quod ubi prius ponebas Solem nunc ponas Venerem aut Mercurium, ubi vero in precedenti planete locum dabas nunc Solem ipsum collocabis. Sicut enim Sol tribus superioribus appropinquans eos cogit occidere ita Venus et Mercurius Solem insequentes sue disparitionis sunt occasio, quod et similiter de ortu accidere manifestum est. Verum hic numeramus tempus quod fluit ab occasu matutino usque ad ortum vespertinum precedens; autem mensurare docuit tempus tempus] i. m. occasui vespertino atque ortui matutino interiacens. Hoc autem qualitatem processus sive operationis nequaquam alterat. Planum igitur habes quod proponebatur.

⟨XIII.27⟩ 27. Quantum temporis ab occasu Veneris aut Mercurii vespertino usque ad ortum matutinum transire debeat enodare.

Due precedentes docuere tempora in quibus planetas constat semper esse directos. In tempore autem quod presens eliciendum proponit, planeta uterque retrogradus invenitur. Quare aliam operandi viam res ipsa postulat. In hac autem et precedentibus duabus locuti sumus ac si Mercurius quatuor semper habeat apparitionum et occultacionum tempora quemadmodum Venus, quod equidem non accidit, ut infra determinabitur. Sit igitur propositi habendi gratia circulus ecliptice ABG super centro D, in quo punctus B locum stelle vespere primum disparentis significet, A vero loco Solis habeatur. Per 24^tam itaque huius inveniatur arcus AB, quo quidem a Sole distat stella. Et quia planetam hoc in situ retrogradum esse liquet, sit ut ab instanti occultationis usque ad instans coniunctionis eius cum Sole contra successionem signorum descripserit arcum BC ita ut planeta ipse et Sol in puncto C coniungantur. Totum igitur arcum AB Sol et planeta coniunctim descripsere. Et ideo motum planete in uno die motui Solis in uno die adicias, et in collectum ex eis arcum AB distribue. Exibit enim tempus futurum inter principium apparitionis et instans coniunctionis. Quo duplato, ut brevius habeatur opus, tempus quod occasui vespertino ortuique matutino interiacet conflabitur.

Aut precisius operaturus quantitatem arcus BC ex tempore quod occasui vespertino et coniunctioni interest addiscas, cui iam cognito arcum CH contra signorum successionem equalem statuas. Erit enim prope verum H locus stelle mane apparentis, cuius iterum a puncto G, loco scilicet Solis, distantiam 24^ta huius notam efficiet. Quia autem ab instanti coniunctionis usque ad instans apparicionis matutine totus arcus HG iam notus a Sole et planeta una peragratur, eum more pristino in collectum ex motu planete motuque Solis in uno die partiaris. Exibit enim tempus quod cadit inter coniunctionem et matutinam apparitionem. Hec igitur duo tempora aggregata tempus futurum inter occultationem vespertinam et apparitionem matutinam integrabunt, quod quidem hoc theoreumate efficere instituimus.

⟨XIII.28⟩ 28. Quod ea que pro apparitionibus atque occultacionibus Veneris asservimus experimentis consonent visualibus promulgare.

Venus circa principium Piscium in opposito augis epicicli existens, dum scilicet latitudinem septentrionalem habet 6 graduum et 20 minutorum, comperta est latere sub radiis solaribus ad duos dumtaxat dies ita quod ab occasu eius vespertino ad ortum eius matutinum duo intercipiantur dies. Quod equidem preter opinionem accidit et admirabile videtur nisi causam rei aspitias. aspitias] i.e. ‘aspicias’ Cum ipsa quemadmodum compertum est circa principium Virginis in opposito augis epicicli existens, dum scilicet latitudinem meridianam habet 6 graduum et 20 minutorum, nequaquam appareat in spatio 16 dierum qui sunt ab occasu vespertino usque ad ortum eius matutinum.

Si itaque voles explorare an ea que determinata sunt de occultacionibus et apparitionibus istis respondeant experimentis, sic procede. Ad principium occultacionis per 24^tam huius elice distantiam planete a Sole; similiter ad principium apparitionis. Ex quibus per precedentem faciliter numerabis tempus quod occasui vespertino atque ortui matutino intererit. Aut si placet, inventa distantia planete a Sole in occasu vespertino, que est tanquam angulus diversitatis distantie certe Veneris ab opposito augis epicicli correspondens, nam centrum epicicli et Sol ipse fere in uno loco zodiaci secundum longitudinem situm habent, huic denique angulo diversitatis quantus apud oppositum augis epicicli arcus respondeat addiscas. Tantum enim arcum oportebit describi per planetam ab occasu vespertino usque ad coniunctionem eius cum Sole. Huiusmodi quoque epicicli arcum invenias ad principium apparitionis, aut prius inventum dupla. Habebis enim quantum ⟨arcum⟩ circumferentie epicicli planeta describat ab occasu vespertino usque ad ortum eius matutinum. Ex quo tandem quesitum tempus elicies quam facillime. Ptolemeus itaque numerando reperit huiusmodi arcum Venere in principio Piscium existente unius gradus et quarte partis gradus, cui respondent duo dies fere. Ad principium autem Virginis invenit huiusmodi arcum 10 graduum, quibus de tempore debentur 16 dies. Bene itaque respondent experimentis superius explanata, quod optavimus declarandum.

⟨XIII.29⟩ 29. In Mercurio denique idem attemptare.

Compertum est quod Mercurio in principio Scorpionis existenti et maximam quam ibidem habere potest a Sole distantiam habenti, non accidat ortus vespertinus. Sed et in principio Tauri existens visus est non habere ortum matutinum quamvis esset in maxima [a] a] om. W Solis elongatione. Si igitur conclusiones quas hactenus apparitionibus et occultacionibus adaptavimus huiusmodi consonabunt experimentis, digne erunt nimirum quibus fidem habeamus. Igitur per 24^tam huius ut quam brevissime dicam, inveniatur arcus ecliptice quem necesse est Soli et Mercurio circa principium Scorpionis existenti interiacere ad hoc ut stella vespere oriatur. In eo quoque loco numeretur maxima quam Mercurius a Sole potest habere in eo situ elongatio per ea que in fine duodecimi libri explanata sunt. Quod si hec maxima Mercurii a Sole elongatio minor fuerit ea distantia quam exigit vespertina apparitio, certum habebimus Mercurium in eo loco constitutum sero oriri non posse. Ipse enim tantum evadere non potest solares radios ut lumine suo visum moveat. Et si illud Mercurio maxime a Sole remoto non potest accidere, multo minus accidet ei a Sole minus distanti. Pro ortu autem matutino prorsus agamus similiter. Ptolemeus itaque Mercurio in principio Scorpionis existenti numeravit arcum apparitionis sue 22 graduum fere; hoc est Mercurium in eo loco appariturum distare oportuit a Sole per 22 gradus. Verum plurima quam ibi a Sole potest habere elongatio 20 gradus et 52 minuta complectitur. Non potest igitur Mercurius apparitionis sue terminum attingere. In principio denique Tauri apparitionis sue matutine arcum extraxit 22 graduum et 16 minutorum; maxima⟨m⟩ maximam] the witnesses lack the final ‘m’ autem a a] sup. lin. Sole in eo situ elongationem 22 graduum et 13 minutorum, que quoniam termino apparitionis matutine minor extat, Mercurium, ut visui appareat, solares non sinit evadere radios. Cessabit igitur in nobis vulgaris admiratio. Nam Veneri sero occidenti nunc subitum ferme accidere ortum, nunc vero tardum, Mercurium denique olim et sero et mane oriri, alias autem prorsus non videri tametsi plurimum a Sole distiterit, ratio convincit, quod postremo hoc in theoreumate explorare et cepto labori modum statuere decrevimus.

Finis terciidecimi.