⟨IX⟩ ⟨Liber IX⟩
Nonus incipit.
⟨IX.1⟩ Spherae celestes quo ordine habende sint ostendere.
Maiores nostri varias de hoc habuere sententias. Hoc in uno tamen conveniebant omnes quod sphera stellarum fixarum ceteris omnibus planetarum orbibus sublimior esset, sub qua spheram Saturni, inde spheram Iovis, et sub hanc Martis spheram concorditer ordinabant. Lune item infimum deputabant locum et quidem sapienter sive quod solaris eclipsis perhibeatur occasio sive quod diversitatem aspectus inter omnia astra cognitu manifestiorem habeat. De reliquis autem tribus contraversia fuit. Vetustissimi enim sub Marte Solem, sub quo Venerem, et supra Lunam Mercurium ordinabant. Posteri vero qui coniunctionibus Solis cum Venere et Mercurio oculos adiecere crebriores, dum Solis eclipsim Veneris et Mercurii venisse occasionibus numquam sentirent, eos supra Solem locandos censebant. Alpetragius autem, qui motuum diversitates atque eorum apparentes velocitates incurtacione quadam accidere putabat, sub Marte Venerem, sub qua Solem, deinde Mercurium statuebat. Minus enim incurtat Venus a motu primo quam Sol, ut aiebat ex parte quidem epicicli, Mercurius autem plusquam Sol. Harum opinionum ea quam antiqui sectabantur modernis autem autem] del. accepta est. Nec mirum si a Venere et Mercurio Soli sub quo sunt coniunctis, Sol ipse non eclipsetur. Potest namque Soli alter eorum coniungi secundum zodiaci longitudinem, sic tamen quod linea recta Solis et oculi centra continuans per centrum planete non transeat, velut in coniunctionibus luminarium sepe accidit. Quare tunc radios Solis ad oculum venire non prohibebunt. Preterea cum eorum corpora Solis comparatione admodum parva videantur ita quod antiqui Veneris diametrum visualem, referente Albategni, Solis subdecuplam ponebant, et ob hoc superficiem eius visibus nostris obiectam, que ut plana est apud sensum, subcentuplam ad superficiem Solis esse oportet, si posuerimus tria centra Solis, Veneris, et oculi in una recta linea, insensibile erit quod Venus ex superficie Solis visui subtrahet.
Amplius maxima Lune a centro mundi distantia semidiametrum terre 64 fere vicibus continet; minima vero Solis a centro mundi distantia eandem terre semidiametrum 1070 vicibus aut amplius habet. Fiet igitur ut distantia inter duo luminaria sibi quam vicissime vicissime] vicinissime W aproximata aproximata] i.e. ‘approximata’ semidiametrum terre 1006 fere vicibus contineat. Hoc autem spatium natura non sinit vacuum; necessario igitur quoddam celeste corpus ipsum occupabit. Sed id corpus de integritate non erit orbium Solis et Lune. Frustra enim tanta moles in celo permitteretur. Quamobrem spatium illud Veneris et Mercurii duobus orbibus comoditate comoditate] i.e. ‘commoditate’ naturali vendicabitur. Uter autem horum supra alterum situetur nulla certitudine deprehendi potest. Mercurius enim in plerisque climatibus rarissime apparet, et si apparet, id fit quando est circa longitudines medias epicicli. Tunc autem licet habeat diversitatem aspectus, ea tamen multo minor est quam ipsa quam haberet si esset in opposito augis epicicli. Quare huiusmodi diversitas aspectus ad unguem non potest elici cum nec in instrumentis huic rei necessariis neque in motibus Mercurii numerandis omnem precisionem habere possimus. Idem de Venere estimandum erit.
⟨IX.2⟩ 2. Diversitates motuum qua via cognite sint exprimere.
Principio in his quinque stellis manifeste apparuit motus secundum successionem signorum, ab occidente scilicet ad orientem, per relationem ad stellas fixas. Deinde notabant primi philosophi aliquanto tempore ad sensum loca sua non mutare, et post contra successionem signorum moveri. Intelligebant etiam quod huius motus diversitas ad Solem haberet colligantiam. Nam post coniunctionem alicuius trium superiorum cum Sole, viderunt eos moveri motu admodum veloci et pedetentim minui velocitatem hanc donec apparerent stationarii et postea retrogradi, dumque totum tempus retrogradationis dimidiarent, invenerunt in huius temporis medio Solem ipsis oppositum. Et quia crebris observationibus idem sub una habitudine redire videbant, iam certum conclusere quod in omni coniunctione media Solis cum aliquo horum trium, rediret diversitas huius motus, similiter in omnibus equalibus eorum a Sole distanciis. Postea vero considerabant eos dum haberent equales a medio loco Solis distancias post coniunctionem eorum cum Sole, inveneruntque motus eorum in his temporibus fere equalibus non equales. Idem etiam fecerunt per distantias locorum in quibus stelle post coniunctionem videbantur stationarie; eas namque distantias inequales comperiebant. Id vero nequaquam accidere potuit nisi aut motus orbium super centris suis fuissent irregulares, quod natura quidem horret, aut centra orbium eorum a centro mundi essent diversa. Et quia duplices invenerunt diversitates, duplices orbes, quibus eas accidere verisimile esset, ponere cogebantur. Ei autem diversitati que in coniunctione eorum cum Sole revertitur dederunt orbem revolutionis. Nam tempus quod est a motu velotiori velotiori] i.e. ‘velotiore’ planete ad motum mediocrem videbatur maius tempore quod est a motu mediocri ad motum tardiorem, quod maxime orbi revolutionis competit, minime vero ecentrico. Item ad motus latitudinum salvandos, de quibus inferius, hic orbis est accomodatior. Sed diversitati secunde ecentricum attribuerunt. Invenerunt enim tempus quod est a motu tardiore ex hac diversitate veniente ad motum mediocrem maius tempore quod est a motu mediocri ad motum velotiorem. velotiorem] i.e. ‘velociorem’ Preterea duo loca in quibus motus velocissimus et motus tardissimus hac quidem diversitate accidunt, moveri ad motum stellarum fixarum comperiuntur, quod non nisi ecentrico orbi accidere potest. In Venere autem et Mercurio epiciclos itidem, quibus motus retrogradi esset occasio, posuerunt. Dum vero agregatum ex duabus longitudinibus a medio loco Solis, vespertina scilicet et matutina, considerabant in uno loco zodiaci, invenerunt ipsum diversum in quantitate ab agregato huiusmodi quod in alio loco accidebat. Oportuit ergo epiciclum in uno loco terre viciniorem esse quam in altero. Ideoque orbem cui epiciclus infigitur necessario posuerunt ecentricum.
⟨IX.3⟩ 3. Medios motus harum stellarum quibus temporibus mensurari incertum sit enumerare.
Quia animum inducimus scire loca harum stellarum vera ad omne tempus et motus earum veri ex supradictis in sua velocitate irregulares sunt, cogitandum fuit de medio, quo extraherentur huiusmodi vera loca, scilicet de tempore noto cui motus medius respondeat notus. Illud autem non potuit fieri per staciones stellarum velut antiquorum quidam fecere, scilicet ut arcum a stella pertransitum in tempore quod est inter duas stationes diceremus esse medium motum huic tempori respondentem. Nam neque tempus illud satis precise comprehendi potest cum stella tempore notabili in uno loco pene manere videatur, neque arcus huiusmodi inter binas staciones primas equales sunt propter ecentricum. Per ortus etiam earum non erit via. Stelle enim primo apparentes subito disparent ita quod loca earum comprehendi nequeant, atque aer ipse ut nunc cicius nunc tardius appareant occasio est. Preterea per considerationes ad stellas fixas nihil efficietur. Licet enim in tempore noto planetarum aliquis ad stellam fixam rediens arcum descripserit notum, tamen quia motus eius circa centrum mundi irregularis est, accidet forte quod hunc arcum aut ei equalem describet alias in tempore maiori aut minori. Non igitur comprehensus erit arcus medii motus. Illud denique non nihil erroris ingerit quod stelle apud orizontem et apud caeli medium non equaliter inter se distare videntur.
⟨IX.4⟩ 4. Nunc qua via incedendum sit eligere.
Observandum est ut eorum aliquis a medio loco Solis certam habeat distantiam et sic sic] corr. in sit in parte zodiaci nota secundum longitudinem. Deinde vero expectandum donec planeta revertetur ad eundem locum et cum hoc eam quam prius a medio loco Solis distantiam habeat. Hac conditione stante certum est rediisse priores diversitates, in epiciclo quidem propter eandem a loco Solis medio distantiam et in ecentrico quia ad locum in quo prius erat centrum epicicli reversum est. Sed notum erit tempus inter duas considerationes, et notus erit numerus revolucionum in longitudine et diversitate. Nam in tribus superioribus numerus revolutionum integrarum in longitudine et numerus revolucionum integrarum in diversitate ad certum tempus equantur numero revolucionum Solis in eodem tempore, ut facile ex superioribus dictis elicies. In Venere autem et Mercurio numerus revolutionum longitudinis equatur numero revolutionum Solis. Hii enim tres motus medios equales habent quoniam a Sole Venus et Mercurius certos limites nunquam excedunt. Ceterum numerus revolutionum Veneris et Mercurii in diversitate facile habebitur si tempus unius revolutionis huiusmodi prope verum prius considerabimus.
Reditiones autem has velut ex Ipparcho Ipparcho] corr. in Hipparcho didicit Ptolemeus recitat hoc ordine. Saturnus habet 57 revolutiones diversitatis in 59 annis solaribus, die uno et medietate et quarta diei fere. Annum vero vocat tempus more suo quo Sol ad punctum equinoctii seu solsticii revertitur. In tempore autem dicto Saturnus habet revolutiones longitudinis duas et ultra has gradum unum et duas tertias et medietatem decime unius gradus. Iupiter habet 65 reditiones diversitatis in 71 annis solaribus, demptis 4 diebus, medietate et tertia et 15a parte diei fere; revolutiones autem longitudinis 6, demptis 4 gradibus et medietate et tercia unius gradus. Mars habet revolutiones diversitatis 37 in 79 annis solaribus et tribus diebus et sexta diei et parte decima diei fere, et revolutiones longitudinis 42 et gradus tres et sextam unius. In his tribus numeris numeris] corr. in numerus revolucionum in longitudine cum numero revolutionum in diversitate simul iuncti equales sunt numero revolutionum Solis. Venus habet quinque revolutiones diversitatis in 8 annis solaribus, demptis duobus diebus et quarta diei et parte 20a diei fere; revoluciones vero longitudinis tot quot Sol, scilicet 8, demptis duobus gradibus et quarta unius. Mercurius habet 145 revolutiones diversitatis in 46 annis solaribus et die uno et parte 30a diei fere, et revolutiones longitudinis 46, quot Sol, et partem unam.
⟨IX.5⟩ 5. Medios motus quinque stellarum errantium ad singulas temporum dimensiones elicere.
Numerum annorum solarium quibus sue respondeant revolutiones diversitatis in dies converte, quibus adde dies qui ultra integros annos superfluunt cum fractionibus si addendi sunt aut minue si minuendi. Numerum etiam revolutionum huius temporis in 360 partes multiplica, et productum divide per numerum dierum iam habitum cum fractionibus suis. Et exibit motus diversitatis medius uni diei naturali respondens. Huius ad medium motum Solis in die differentia in tribus superioribus est motus medius in longitudine uni diei correspondens. Invenit itaque Ptolemeus quantitates quantitates] corr. ex quantitas mediorum motuum in his quinque planetis, prout in hac tabella vides, ex qua facile est ad singula tempora medios motus calculare.
Medii motus longitudinis in die
gradus minuta 2a 3a 4a 5a 6a
Saturni 0 2 0 33 31 28 51
Iovis 0 4 59 14 26 46 31
Martis 0 31 26 36 53 51 33
Veneris 0 59 8 17 13 12 31
Mercurii 0 59 8 17 13 12 31
Medii motus diversitatis in die
gradus minuta 2a 3a 4a 5a 6a
Saturni 0 57 7 43 41 43 40
Iovis 0 54 9 2 46 26
Martis 0 27 41 40 19 20 58
Veneris 0 36 59 25 53 11 28
Mercurii 3 6 24 6 59 35 50
⟨IX.6⟩ 6. Trium superiorum et Veneris diversis motibus occasiones comodas adaptare.
Tribus quidem superioribus et Veneri quantum ad motus longitudinis una serviet habitudo, quam in figura sic accipe. Sit circulus ecentricus ABG super centro D, cuius diameter per centrum orbis signorum transiens sit ADG, in qua centrum orbis signorum sit punctus E. Erit itaque punctus A longitudo eius longior et punctus G longitudo propior. Sectaque linea DE per medium in puncto Z, super eo secundum quantitatem AD describo circulum HTK equalem circulo ADG. Et super centro T orbis revolucionis circulum describo, qui sit circulus LM, protracta linea LTMD. Ymaginemur autem superficies horum omnium circulorum in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ orbis signorum esse propter facilitatem sequentium. Primo itaque estimandum est quod linea EA per longitudinem longiorem et propiorem ecentrici transiens moveatur ad motum orbis stellarum fixarum deferendo secum duo puncta Z et D; deinde quod superficies orbis ecentrici HTK, qui defert orbem revolutionis LM, moveatur semper secundum signorum successionem super centro suo Z, non tamen regulariter super eodem sed super puncto D; post quod epiciclus super centro suo moveatur deferendo corpus planete, in superiori quidem medietate ad successionem signorum, in inferiori autem econtra. Huius tamen motus regularitas ad punctum in sumitate epicicli respectum habeat, qui quidem punctus in linea per punctum D et centrum epicicli transeunte existit. Hoc itaque pacto ei que per sensum comperta est diversitati similis videbitur evenire.
⟨IX.7⟩ 7. Ad habitudines diversorum motuum Mercurii congrue speculari.
Describam primo circulum ABG, super cuius centro D motus Mercurii in longitudine regularis statuitur. Transeatque linea recta per centrum D et centrum orbis signorum E, que sit ADEG. Eritque A longitudo longior huius ecentrici, cui cui] iter. but then del. nomen equantis est, G vero propior. Deinde ex DA accipio DZ equalem DE, et super centro Z secundum quantitatem ZD fiat circulus parvus, qui sit DH. Estimandum itaque erit quod centrum circuli ecentrici deferentis epiciclum moveatur contra successionem signorum describendo circumferentiam huius parvi circuli. Sit nunc igitur centrum ecentrici deferentis in H puncto, super quo fiat circulus TK ecentricus deferens equalis circulo AG ecentrico equanti. Ductaque linea ZHT angulo AZT fiat equalis ADK. Super K describam epiciclum LM. Iam iterum ut in ceteris putemus lineam EA moveri ad motum stellarum fixarum, deferendo secum duo puncta D et Z punctaque A et G, scilicet longitudinem longiorem et propiorem equantis. Punctum vero H centrum deferentis epiciclum una cum linea ZHT imaginemur moveri contra signorum successionem regulariter super centro Z, in anno solari revolutionem unam faciendo. Similiter ecentricum TK estimemus moveri super centro suo H deferendo centrum epicicli K una cum linea DKL ad successionem signorum, in anno itidem solari reditionem unam faciendo. Fietque motus centri epicicli regularis super centro D, ideoque circulo AG, cuius D est centrum, nomen equantis inditum est. Hinc manifestum erit quod linea DKL habens in se centrum epicicli bis in anno solari obviet linee ZHT habenti in se centrum ecentrici deferentis, una quidem vice super linea DA, alia super DG, eo quod semper cum centrum epicicli sit in auge ecentrici, centrum deferentis in auge parvi circuli DH consistat. Epiciclum denique putemus circa centrum K moveri deferendo corpus Mercurii, in superiori quidem medietate ad successionem signorum, contra vero in inferiori. Motus tamen planete in epiciclo regularitatem sumat a puncto in sumitate epicicli signato, quem indicat linea a centro equantis per centrum epicicli veniens. Hec est ergo speculatio motuum in his quinque erraticis; que quamobrem huiusmodi posita sit, inferiori loco pedetentim aperietur.
⟨IX.8⟩ 8. Centro epicicli equaliter ab alterutra longitudinum ecentrici remoto, angulos diversitatis qui propter ecentricum accidunt, eos quoque maximos quibus in centro mundi existentibus semidiameter subtenditur epicicli, equales esse. Unde apertum erit longitudines Veneris maximas a loco Solis medio et contrarias aequales esse.
Pingo propter hoc circulum ecentricum delatorem epicicli ABGD super centro E, cuius diameter per centrum mundi Z transiens sit AEZG. In qua quidem diametro resecetur EH equalis EZ ut H sit punctus ad quem motus regularitas attenditur, A longitudo longior, G propior. Sumptis angulis AHB et AHD equalibus, super centris B et D statuo duos circulos equales epiciclum in duobus sitibus representantes. Et produco a centro mundi duas lineas ZB ZD, item duas ZL et ZM epiciclum contingentes, item semidiametros epicicli BL et DM. Sitque Venus in punctis L et M. Quibus sic dispositis dico angulum HBZ equari angulo HDZ, itemque angulum BZL angulo DZM. Quia enim angulus AHB equalis positus est angulo AHD, erit linea HB equalis HD. Facta autem HZ communi per 4 primi Euclidis fiet ZB equalis ZD et angulus HBZ equalis angulo HDZ, qui sunt anguli diversitatis propter ecentricum accidentes. Deinceps quoniam anguli L et M recti sunt, et linea BZ equalis DZ, linea quoque BL equalis DM, fiet igitur ex penultima primi LZ equalis ZM. Inde per 8 primi angulus BZL equalis angulo DZM, qui sunt maximi ad hunc situm epicicli quibus semidiameter epicicli subtenditur, que fuere demonstranda.
Pro corolario autem sint ZQ et ZP equedistantes duabus HB et HD. Ipse profecto per medium locum Solis et Veneris transibunt. Fient autem duo anguli BZQ et BZP BZP] corr. in DZP inter se equales propter eorum coalternos equales, quibus demptis ab angulis BZL et DZM equalibus, relinquant relinquant] corr. in relinquetur QZL equalis PZM. Sed ipsi sunt due longitudines Veneris maxime a medio loco Solis et contrarie ad hunc situm epicicli in ecentrico et planete in epiciclo, maxime quidem propter ZL et ZM contingentes epiciclum, contrarie vero quod una earum vespertina sit, alia matutina.
⟨IX.9⟩ 9. In Mercurio quoque idem indubitanter accidere.
In linea recta AN punctus A sit centrum orbis signorum, B centrum motus regularis; G vero punctus tantum a puncto B distans quantum B ab A, sit centrum parvi circuli cuius circumferentiam centrum ecentrici deferentis epiciclum describit. Ponamque epiciclum in duobus sitibus super centris D et E sic quod productis lineis DB et EB fiant anguli GBD et GBE equales. Ob hoc enim epiciclus equales a longitudine longiore habebit distantias. Deinde a centro mundi, quod est A, duco duas lineas quarum una AL, alia AM contingentes epiciclum in L et M, in quibus contactibus ad imaginationem putemus stellam esse. Ab A quoque ducte sint AE et AD, et due semidiametri epicicli sint DL EM. Iam dico duos angulos ADB et AEB itemque duos DAL et EAM inter se equales. Super puncto enim G statuo angulum NGZ equalem angulo GBD posita GZ equali GB, similiter angulum NGH equalem angulo GBE posita GH equali GB. Ductisque lineis ZD et HE planum est ex supradictis propter equalitatem motum centri epicicli quidem super B et centro ecentrici super G in partes contrarias, duo puncta Z et H vices habere centri deferentis epiciclum ad hos duos situs epicicli. Item ZG continuata occurrat BD in O. Similiter HG continuata occurrat BE in Q. Denique a puncto Z descendat ZT perpendicularis super BD, et similiter ab H descendat HK perpendicularis super BE. Quia itaque duo anguli NGZ, NGZ] et NGH add. i. m. et ob hoc OGB, et GBO sunt equales duobus GBQ et QGB latere GB communi, erit angulus BOG equalis BQG, et BO equalis BQ, similiter GO equalis GQ. Et cum GZ et GH sint semidiametri circuli parvi, tota ZO equalis erit toti HQ. Sed angulus ZOT equalis est angulo HQK quod ZOB sit equalis HQB, et anguli T et K sunt recti. Quare TO equalis QK, et perpendicularis ZT equalis perpendiculari HK. Ideoque BT equabitur BK. Item ZD equalis est HE quod utraque sit semidiameter ecentrici, et ZT equalis HK, et anguli T et K recti; ideo DT equalis erit EK. Quare tota BD equalis toti BE. Et facta BA communi duobus angulis DBA et EBA equalibus, fiet AD equalis AE et angulus BDA equalis angulo BEA, qui sunt anguli diversitatis propter ecentricum accidentes. Deinde quia anguli L et M sunt recti et due linee AD et DL equales duabus AE et EM, fiet AL equalis AM. Hinc angulus DAL equalis angulo EAM, qui sunt anguli maximi quibus semidiametri epicicli subtenduntur ad hunc situm. Hinc autem sicut in Venere probabis duas longitudines Mercurii maximas a medio loco Solis esse equales.
⟨IX.10⟩ 10. Qualitatibus diversi motus Mercurii cognoscendis viam parare.
Ad qualitatem diversorum motuum Mercurii cognoscendam, non erat via nisi primo locus longitudinis longioris aut propioris haberetur. Hic vero locus non nisi per duas elongationes maximas a medio loco Solis equales quidem et contrarias inveniri potuit. Dum enim huiusmodi due elongationes reperte fuerint et distancia locorum Solis mediorum dimidiata fuerit, punctus medius erit locus aut longitudinis longioris aut propioris. Verum non satis erit invenisse generaliter huiusmodi duas elongationes maximas equales et contrarias, scilicet quarum una sit vespertina et alia matutina, sed expediet ut ipse sint proprie et manifeste contrarietatis. Volo dicere ut una manifestum habeat augmentum et alia manifestum decrementum.
Et ut illud planius fiat in figura, sit circulus ecentricus equans motum centri epicicli ABGD super centro E, cuius diameter AEZG transeat per centrum mundi Z, lineaque BD orthogonaliter secet lineam AG in puncto Z. Erit itaque A longitudo longior equantis, G vero propior, sed B et D longitudines medie. Apud duo puncta A et G nulla est diversitas que propter ecentricum accidit, apud B autem et D maxima, sic quod procedendo ab A ad B continue crescit angulus huius diversitatis, a puncto vero B ad G continue decrescit, sed a G ad D rursus crescit, et a puncto D ad A decrescit. Diversitas autem que est propter epiciclum maxima procedendo ab A ad eum locum in quo epiciclus terre propinquissimus est continue crescit, ita ut secundum maiorem accessionem ad terram maior fit illa diversitas, et secundum minorem minor. Ponamus itaque epiciclum in arcu AB circulum LM super centro K. Ductis contingentibus ZL ZM et lineis EK, KL, KM, et ZN equedistante EK, erit ex supradictis ZN linea medii motus Solis et LZN elongatio matutina maxima a medio loco Solis ad hunc situm epicicli et angulus MZN elongatio vespertina. Et ad hunc modum in toto arcu ABG, elongatio matutina maxima constabit ex angulo diversitatis diversitatis] maxime add. but then del. ecentrici et angulo diversitatis maxime epicicli; longitudo vero vespertina maxima residuum erit post ablationem anguli diversitatis ecentrici ab angulo diversitatis epicicli maxime. Sed huius contrarium accidet in semicirculo GDA. Procedente vero epiciclo versus B utriusque diversitatis angulus crescit. Et propterea longitudo matutina manifestam habet causam crementi sui; unde facile in hoc situ considerari potest longitudo matutina maxima. Longitudo vero vespertina incerti et dubii crementi erit aut non manifesti. Licet enim angulus KZM crescat, tamen cum hoc etiam angulus NZM crescit, qui quidem demendus est ab angulo KZM ut relinquatur longitudo vespertina. Accidet itaque in certo loco arcus AB ut quantum addit crementum anguli KZM tantum fere minuat angulus KZN. Incertum itaque erit quando planeta in hoc situ epicicli maximam habeat longitudinem vespertinam, ymo in pluribus partibus sibi vicinis putabitur habere equales longitudines vespertinas. Quamobrem inter longitudines maximas que in arcu AB contingunt, matutina dumtaxat nobis consideranda censetur. In arcu vero BG, quia diversitas ecentrici decrescit et diversitas epicicli crescit usquequo veniat epiciclus ad locum terre vicinissimum et cum longitudo matutina ex his tunc completur, erit ipsa incerti crementi. Quantum enim in certo loco huius arcus diversitas epicicli crescit tantum forte diversitas ecentrici minuit. Longitudo autem vespertina quia relinquitur post subtractionem diversitatis ecentrici a maxima diversitate epicicli, et diversitas ecentrici decrescit, alia vero tunc crescit, habebit angulus residuus post subtractionem duplicem causam crementi sui. Ideoque in hoc arcu longitudo vespertina sola observanda veniet et longitudo matutina non curanda. In arcu vero GD post locum maxime accessionis centri epicicli ad terram, diversitas propter epiciclum decrescet, sed diversitas ecentrici crescet. Et longitudo matutina residuatur post subtractionem anguli diversitatis ecentrici ab angulo diversitatis epicicli. Fiet elongatio matutina notabilis decrementi; vespertina vero incerti et dubii. In arcu denique DA ambe diversitates decrescunt. Ex quibus longitudo vespertina consistit, quare ipsa vespertina elongatio manifesti erit decrementi; matutina autem incerti.
Ad sumam sumam] i.e. ‘summam’ igitur longitudines matutine in arcu AB longitudinibus vespertinis in arcu AD recte contrarie dicentur cum hec manifesti crementi, ille vero manifesti decrementi sunt. sunt] sint W Vespertine itidem in arcu BG ad locum centri epicicli centro terre vicinissimum matutinis in arcu GD a loco centri epicicli centro terre vicinissimo contrarie existunt quod ille manifeste crescant, hee vero manifeste decrescant. Reliquarum autem nulle merebuntur inter se dici contrarie; licet enim contrarias secundum matutinum et vespertinum denominationes accipiant, tamen secundum crementum et decrementum minime. Ille vero quas contrarias recte diximus instituto nostro conducent. Duabus enim huiusmodi repertis punctus medius inter duo loca Solis media certe locus erit longitudinis aut longioris aut propioris ecentrici Mercurii. Nam non possunt accidere hee longitudines contrarie equales nisi illud sit quod volumus ut locus longitudinis longioris aut propioris sit in medio.
⟨IX.11⟩ 11. Longitudo longior Mercurii sive propior qua in parte orbis signorum existat depromere.
Duas ad hoc accipiamus considerationes Ptolemei in quibus maiores elongationes Mercurii a medio Solis equales fuerunt, matutina scilicet vespertine. Harum prima fuit in anno 16mo Adriani 16mo die mensis Phemenit transacto hora vespertina. Videbatur enim Mercurius descripsisse unum gradum Piscium aptato instrumento per Aldebaran. Sol vero secundum cursum medium erat erat] in add. sup. lin. 9 gradibus, medietate et quarta unius Aquarii. Longitudo itaque eius vespertina a loco Solis medio fuit 21 gradus 15 minuta. Alia consideratio fuit in anno 18vo Adriani 18vo die mensis Athita transacto in mane diei 19ni. Tunc enim per Aldebaran instrumento rectificato videbatur in 18vo gradu, medietate et quarta Tauri, et erat Sol per medium cursum in 10 gradu Geminorum. Fuit igitur longitudo matutina maxima 21 partes 15 minuta. Differentia autem duorum mediorum motuum Solis fuit 120 gradus 15 minuta, cuius medietatem si adiecerimus ad 9 gradus et 45 minuta Aquarii, venient 10 gradus Arietis excepta octava parte unius gradus. Quare diameter ecentrici per longitudinem longiorem transiens secuit orbem signorum in 9 gradibus 53 minutis Arietis, cuius petebatur cognitio.
Idem quoque per alias duas considerationes Ptolemei exibit, quarum prima fuit in anno primo annorum Antonii Antonii] corr. in Antonini Pii 20 diebus mensis Egiptiorum Athita transactis, cuius mane fuit dies 21, hora quidem vespertina. Rectificato instrumento per stellam cordis Leonis invenit Mercurium in maxima longitudine vespertina in 7 gradibus Cancri, Sole secundum cursum medium existente in 10 gradibus 10 minutis Geminorum. Erat itaque longitudo Mercurii a medio Solis maxima 26 gradus 30 minuta. Altera harum fuit in quarto anno Antonii Antonii] corr. in Antonini 18 diebus mensis Phemenit transactis in mane diei 19ni. Tunc enim rectificato instrumento per stellam Anthus, que cor Scorpii creditur, reperit Mercurium in 13 gradibus 30 minutis Capricorni, Sole per cursum medium in 10 gradibus Aquarii existente; exivit itaque longitudo 26 graduum 30 minutorum. Differentia autem duorum mediorum locorum Solis fuit 120 gradus et 30 minuta, cuius medietas adiecta Solis loco medio prime considerationis producit 10 gradus 15 minuta Librae. Per hunc itaque locum diametrum ecentrici per ambas longitudines transeuntem opus est procedere.
⟨IX.12⟩ 12. Longitudinem longiorem ecentrici atque propiorem quemadmodum stellas fixas moveri.
Ex considerationibus Ptolemei et eorum qui ipsum precesserunt, concluditur illud hoc pacto. In anno 23o, quemadmodum scripsit Dionisius Ptolemeo referente, 21mo die transacto mensis Idis, videbatur Mercurius apud stellam vehementer lucidam que est orientalis in Capricorno, distans ab eadem quantitate trium diametrorum lunarium lunarium] corr. ex luminarium versus septentrionem. Tunc autem, ut Ptolemeus numeravit, hec stella fuit in 22 gradibus et tertia Capricorni. Fuit enim in anno 486to Nabonassaris 17mo die mensis Tanguth Egiptii transacto in matutino diei 18vi, Sole secundum cursum medium in 18 gradu Aquarii et sexta existente; ideo longitudo maior matutina a Solis medio loco fuit 25 gradus, medietas et tertia.
Huic autem longitudini Ptolemeus ex antiquis non invenit comparem; ex duabus tamen eam elicuit hoc modo. In anno predicto 23o, ut scripsit Dionisius, die quarta mensis Taternu in hora noctis prima, fuit linea que transit super duo cornua Tauri diminuta a loco Mercurii trium diametrorum lunarium lunarium] corr. ex luminarium quantitate, et estimabat quod in transitu eius longitudo ad meridiem fuerit maior tribus diametris lunaribus lunaribus] corr. ex luminaribus donec locus eius, secundum quod Ptolemeus numeravit, esset in 23 gradibus et duabus terciis Tauri. Nam fuit in anno Nabonassaris 486to in mense Phemimit in vespertino diei primi eius, Sole secundum cursum medium in 29 gradibus 30 minutis Arietis existente; ideoque longitudo vespertina Mercurii a loco Solis medio fuit 24 gradus 10 minuta. Item, ut scripsit Dionisius, in anno eius 28vo die septima mensis Geminalis, visa fuit stella Mercurii obvia capitibus Geminorum, meridionalior quidem capite Gemini Sequentis secundum quantitatem tertie partis diametri Lune, et videbatur distare ab eodem capite paulominus duplo eius quod est inter duo capita. Et quia caput Gemini Sequentis secundum numerationem Ptolemei tunc erat in 22 gradibus, 40 minutis Geminorum, elicitus est Mercurius videri in 29 gradibus 20 minutis Geminorum. Et consideratio fuit anno Nabonassaris 491mo 5 diebus transactis mensis Phormite hora noctis prima, Sole secundum medium cursum in 2 gradibus 50 minutis Geminorum existente. Quare longitudo vespertina Mercurii a loco Solis medio fuit 26 gradus 30 minuta. Preterea differentia mediorum locorum Solis in his duabus consideracionibus fuit 33 gradus 20 minuta, sed differentia longitudinum vespertinarum 2 gradus 20 minuta. Differentia autem longitudinis cui comparem querimus supra longitudinem primam harum considerationum est 1 gradus 40 minuta. Accipienda est itaque pars proporcionalis ex 33 gradibus 20 minutis secundum proporcionem unius gradus 40 minutorum ad 2 gradus 20 minuta. Ipsa autem provenit fere 24 gradus addendi ad locum Solis medium prime considerationis, scilicet 29 gradus 30 minuta Arietis. Prodibuntque 23 gradus 30 minuta Tauri, in quo quidem loco Sole existente fit longitudo Mercurii vespertina maxima 25 gradus et 50 minuta.
Reperta est igitur longitudo compar prime. In quibus differentia locorum Solis mediorum est 95 gradus 20 minuta, cuius medietas 47 gradus 40 minuta adiecta loco Solis prime considerationis, qui fuit 18 gradus 10 minuta Aquarii, producit 5 gradus 50 minuta Arietis. Linea ergo per centrum mundi et longitudinem longiorem et propiorem ecentrici Mercurii transiens hoc tempore fuit in sexto gradu Arietis, que per observationes Ptolemei predictas venit ad 10 Arietis. Et quia inter has Dionisii et Ptolemei considerationes fuere 400 anni fere, constabit hanc lineam motam esse in 400 annis per 4 gradus; quare in 100 annis mota fuit per gradum unum fere. Sed et [in Tauro] Tauro] perhaps del. in tanto tempore tantus stellarum fixarum motus suo in loco per Ptolemeum predicabatur. Quare apertum est quod intendimus.
⟨IX.13⟩ 13. Ampliori observationum testimonio idem confirmare.
Dionisius ille, quemadmodum scripsit Ipparchus, in anno 24to 18 diebus mensis Leonum transactis consideravit Mercurium hora vespertina precedere Spicam, scilicet contra successionem signorum, plus tribus gradibus parum. Et ideo secundum Ptolemei numerationem numerationem] corr. ex considerationem V2; considerationum W Mercurius erat in 19 gradibus 30 minutis Virginis. Fuit autem hec consideratio in anno Nabonassaris 486to 30 die mensis decimi Beun; ideo Sol secundum numerationem per medium cursum in 27 gradibus 50 minutis Leonis. Quare longitudo vespertina a loco Solis medio fuit 21 gradus 40 minuta.
Huic vero longitudini vespertine non reperit Ptolemeus matutinalem comparem in scriptis antiquorum; elicuit tamen eam ex duabus aliis, quemadmodum in premissa factum est. In anno namque 75to Caldeorum quarto die Tisrim postremi, visus est Mercurius apud stellam orientalem que est supra lancem Libre meridionalem. Erat autem hec stella distans a Mercurio in latitudine quidem per cubitum et dimidium, et locus eius in 14 gradibus 10 minutis Librae. Fuitque consideratio hec in anno 512mo annorum Nabonassaris 9 diebus mensis Thoth transactis in matutino diei decimi, Sole secundum medium cursum in 5 gradibus 10 minutis Scorpii existente. Ideoque longitudo matutina a medio Solis fuit 21 gradus. Item in anno 67mo Caldeorum 5 diebus mensis Cheum primi transactis, videbatur Mercurius apud stellam orientalem et septentrionalem que est in fronte Scorpionis, cuius quidem tunc locus fuit secundum computacionem Ptolemei in 2 gradibus 20 minutis Scorpii. Sed hec consideratio fuit in anno Nabonassaris 504to 27 diebus mensis Thoth transactis in mane diei 28vi, Sole secundum cursum medium in 24 gradibus 50 minutis Scorpionis existente. Ideoque longitudo Mercurii matutina a medio loco Solis fuit 22 gradus et medietas. Habemus itaque duas longitudines matutinas: unam 21 graduum, Sole secundum cursum medium in 5 gradibus 10 minutis Scorpii; aliam 22 graduum et 30 minutorum, Sole secundum medium cursum in 24 gradibus 50 minutis Scorpionis existente. Querimus igitur quo in loco cursus medius Solis existat dum longitudo matutina sit 21 graduum et 40 minutorum, quod ita facimus. Differentia locorum Solis mediorum est 19 gradus 40 minuta. Differentia autem longitudinum matutinalium dictarum est 1 gradus 30 minuta, sed differentia prime longitudinis matutinalis et eius cuius locus queritur est 40 minuta. Sumatur ergo de 19 gradibus 40 minutis pars proporcionalis secundum proportionem 40 minutorum ad unum gradum 30 minuta; et ipsa est 8 gradus 45 minuta fere. Pro quibus, quia modicum interest, sumpsit Ptolemeus 9 gradus, quibus adiectis ad locum Solis medium prime longitudinis, exibunt 14 gradibus 10 minutis Scorpii.
Sole igitur secundum medium cursum in 14 gradibus 10 minutis Scorpionis existente, fit longitudo matutina maxima 21 gradus 40 minuta, que est compar longitudini vespertine quae fit Sole secundum cursum medium in 27 gradibus 50 minutis Leonis existente. Inter harum longitudinum longitudinum] media loca add. i. m. distantia est 76 gradus 20 minuta. Ideo punctus medius inter ea est 6 gradu Librae. Hoc igitur tempore linea longitudinis longioris et propioris ecentrici Mercurii transivit per sextum gradum Arietis atque sextum Libre. Sed tempore Ptolemei reperta fuit in 10 gradu Arietis et Libre. Non dubium ergo quin tempore medio, quod est 400 annorum, ad 4 gradus mota sit, et tantumdem sententia quidem Ptolemei stellas fixas moveri, constat. Quare per hec et similia in ceteris stellis errantibus inditia, inditia] indicia W estimare cogimur quod longitudines longiores et propiores ad motum stellarum fixarum colligantiam habeant.
⟨IX.14⟩ 14. Qua Qua] corr. ex quia in parte orbis signorum longitudo Mercurii longior sit experiri.
Due considerationes Ptolemei illud docebunt, quarum prima fuit in anno 19no Adriani 14 diebus mensis Atuz tercii Egiptiorum transactis in matutino diei 15i. Tunc enim rectificato instrumento per stellam que est super corde Leonis, visus est Mercurius maximam habere a loco Solis medio elongationem matutinam in 20 gradibus 12 minutis Virginis, Sole secundum cursum medium in 9 gradibus 15 minutis Libre existente. Et fuit ipsa longitudo matutina 19 gradus 3 minuta. Alia consideratio in eodem anno 19 die mensis Machir noni Egiptiorum completo, in quo videbatur Mercurius per instrumentum rectificatum per stellam lucidam Aldebaran in 4 gradibus 20 minutis Tauri, Sole secundum medium locum in 11 gradibus 5 minutis Arietis existente. Quare longitudo vespertina fuit 23 gradus 15 minuta. Quia itaque longitudo maior inventa est in Ariete quam in Libra, certum est longitudinem longiorem esse in Libra et propiorem in Ariete quoniam quod diversitatem in huiusmodi a Sole elongacionibus faciat preter accessionem epicicli ad centrum mundi nihil est. Diversitas enim que propter ecentricum evenire solet in hiis duabus considerationibus nulla est.
⟨IX.15⟩ 15. Proportionem semidiametri epicicli ad lineam contentam inter centrum epicicli in longitudine longiori et idem centrum epicicli in opposito constituti numerare.
Linea recta AG transeat per longitudinem longiorem et propiorem equantis, in qua punctus B sit centrum mundi. BA transeat per 10 gradus Libre, BG vero per 10 gradus Arietis. Et super duo puncta A et G duo circuli epicicli vicem habituri pingantur. Ductis BE et BD contingentibus epiciclos cum lineis AD et GE, sitque ad imaginationem planeta in longitudine matutina in puncto D, in vespertina vero in E. Quia itaque angulus ABD per precedentem notus est quoniam 19 gradus 3 minuta, et angulus D est rectus, nota erit proporcio DA ad AB. Similiter angulus EBG notus per premissam quoniam 23 gradus 15 minuta, et angulus E est rectus; ideo quoque nota fiet proportio EG ad GB. Quare nota erit proporcio DA ad AG, que querebatur. Sic Ptolemeus dum AB est 120 partes invenit AD esse 39 partes 9 minuta et BG 99 partes 9 minuta, ideo tota AG 219 partes 9 minuta. Divisa autem AG per medium in puncto Z, erit AZ 109 partes 35 minuta, ideoque ZB 10 partes 25 minuta.
⟨IX.16⟩ 16. Centro epicicli Mercurii bis in anno solari vicinitatem ad centrum mundi maximam accidere. Unde liquidum fiet epicicli delatorem ecentricum super centro contra signorum successionem moto circumvolvi.
Ex considerationibus Ptolemei superius in undecima huius recitatis, id accipitur in quibus distancia centri epicicli utrimque a longitudine longiore fuit 4 signorum fere. In ea namque que fuit in anno 16 annorum Adriani, Sole secundum cursum medium in 10 gradu Aquarii fere existente, longitudo vespertina fuit 21 graduum et 15 minutorum. Item in consideratione que fuit in anno quarto Antonii, Antonii] corr. in Antonini Sole et Mercurio secundum cursum medium iterum in 10 gradu Aquarii existentibus, inventa fuit longitudo matutina 26 graduum 30 minutorum. Agregatis autem his duabus longitudinibus veniunt 47 gradus 45 minuta. Tanto arcui subtenditur epiciclus in hoc situ, dum scilicet a longitudine longiori 4 signis distat.
Idem per alias et ad situm epicicli alium elicies. In anno enim 18 Adriani, Sole secundum medium cursum existente in 10 gradu Geminorum, inventa fuit longitudo matutina 21 graduum et 15 minutorum. In anno vero Antonini Antonini] perhaps corr. ex Antonii primo, Sole iterum per cursum medium in 10 gradu Geminorum existente, longitudo vespertina reperta fuit 26 graduum 30 minutorum. Quibus quoque longitudinibus collectis 47 gradus 45 minuta provenient, et tanto arcui subtenditur epiciclus in hoc situ. Verum longitudo vespertina a loco Solis medio in longitudine propiori reperta fuit 23 graduum 15 minutorum, cui equalem longitudinem matutinam in eodem loco fieri manifestum est. Duplatis igitur 23 gradibus 15 minutis veniunt 46 gradus 30 minuta, quibus subtenditur epiciclus in longitudine propiori existens.
Constat igitur viciniorem centro mundi esse epiciclum a longitudine longiori per 4 signa distantem quam in longitudine propiori constitutum. Propter hanc enim causam arcum maiorem de caelo occupat. Quare in figura superiori punctus Z non potuit esse centrum ecentrici, sed erat punctus equaliter a centro epicicli in longitudine longiori et eius opposito constituto elongatus. Centrum autem epicicli a centro ecentrici ipsum deferentis invariabilem habet distantiam, a puncto vero Z variabilem. Oportet ut centrum ecentrici deferentis epiciclum mobile sit, et in tempore quo epiciclus motus est a longitudine longiore ad eius oppositum, centrum ecentrici descripsit arcum semicirculi parvi contra signorum successionem, cuius centrum fuit punctus Z. Sic enim accidere potuit maior epicicli ad terram vicinitas in distantia 4 signorum a longitudine longiori quam in longitudine propiori.
⟨IX.17⟩ 17. Punctum cuius respectu Mercurius regularem longitudinis habet motum determinare.
Duabus ad hoc perveniemus considerationibus longitudinum magnarum quarum utraque sit in eodem loco a longitudine longiore, et ut facilius fiat opus, sit in utraque longitudinum distantia epicicli secundum medium cursum a longitudine longiori per tria signa communia versus eandem partem. Primam accipiamus, que fuit in anno 14to Adriani 18o die mensis Mesre duodecimi Egiptiorum completa hora vespertina, Taione considerante Mercurium distantiorem a principio Leonis in tribus gradibus et 50 minutis, quemadmodum refert Ptolemeus, quam ipsum cor Leonis. Fuit itaque Mercurius secundum numerationem Ptolemei in 6 gradibus et 20 minutis Leonis, Sole secundum cursum medium in 10 gradibus et 5 minutis Cancri existente. Quare longitudo vespertina relinquebatur 26 partes et 15 minuta. Alia fuit consideratio Ptolemei in anno vigesimo Antonii Antonii] corr. in Antonini 21o die mensis Mesre duodecimi Egiptiorum in matutino, in quo videbatur Mercurius armillis rectificatis per Aldebaran in 20 partibus et 4 minutis Geminorum, Sole per medium cursum in 10 gradibus et 20 minutis Cancri constituto. Fuit igitur longitudo maior 20 gradus et 15 minuta. Sic agregatum ex ambabus longitudinibus maioribus erat 46 gradus et 30 minuta.
Nunc propositi habendi gratia sit linea transiens per longitudinem longiorem et propinquiorem AG, in qua punctus B centrum mundi et punctus Z centrum parvi circuli. Huius quidem linee pars BA transeat per decimum gradum Librae quod ibi sit longitudo longior, BG vero per 10 gradum Arietis. Deinde a puncto B erigatur BM perpendicularis super AG, que erit linea medii motus Solis in his duabus considerationibus. Sitque circulus epicicli KL super centro E descriptus, quem contingant BK et BL in punctis K et L, ductis duabus semidiametris EK et EL. A puncto E ad lineam AG demitto perpendicularem EH, et continuabo E cum B linea linea1] corr. in linee EB. Erit itaque punctus H quem querimus cum linea BM supponatur etiam medii motus Mercurii. Quia autem agregatum ex duabus longitudinibus maioribus est notum, erit medietas eius nota et est angulus EBL. Et erit proporcio EL ad EB nota cum angulus L sit rectus. Item dempto angulo EBM EBM] we would expect ‘LBM,’ but it is not in the witnesses longitudinis matutine noto ab angulo EBL, manebit angulus EBM notus, cui equatur angulus BEH propter linearum HE BM equedistantiam. Et quoniam angulus H est rectus, erit proportio EB ad BH nota. Sed iam nota fuit proporcio EB ad BL, quare etiam proporcio EL semidiametri epicicli ad BH nota dabitur. Sed superius erat proporcio EL ad ZB nota. Erit igitur proporcio ZB ad BH nota. Sic Ptolemeus in partibus quibus invenit ZB esse 10 partes et 25 minuta reperit BH fore 5 partes et 12 minuta. Ideoque punctus H fere in medio est inter Z et B, quod fuit ostendendum.
Tu vero non credas necessarium esse ut in ambabus huiusmodi consideracionibus medius locus Mercurii distet a longitudine longiori per quartam circuli, immo potes accipere distantiam ad libitum quantamlibet. Huius tamen executionem, quia plana est, missam fatio. fatio] i.e. ‘facio’
⟨IX.18⟩ 18. Quantam circulus centrum revolvens ecentrici semidiametrum habeat absolvere.
Manente priori figuratione a puncto Z educatur versus sinistram perpendicularis ad lineam AG, que sit ZN equalis linee ZA ita quod utraque earum ex semidiametro ecentrici et semidiametro parvi circuli constet. Dum autem centrum epicicli in E puncto fuerit, erit propter motuum similitudinem et in contrarias posiciones centrum ecentrici in linea ZN. Sit igitur ipsum centrum ecentrici punctus M. Queritur itaque linea ZM hoc pacto. Angulus MZH est rectus et angulus EZH a recto parum differens, quare due linee NZ et ZE fere sibi directe coniuncte sunt et una linea. Ex 15a autem huius AZ respectu semidiametri epicicli reddebatur cognita. Fuit enim AZ 109 partes 35 minuta et semidiameter epicicli 39 partes 9 minuta; quare NZ nota. Sed ex precedenti BE nota fuit eodem respectu, cui equalis est ZE. Quare NZE tanquam recta est nota, et eius medietas NM sive MZE nota. Et hec est semidiameter ecentrici. Dempta igitur NM ex NZ relinquetur MZ nota, et equalis fere linee ZH, cuius petebatur scientia.
Quod si precisius eniti voles omnia in hac figura, lineas NE et ME rectas producito. Et quia ex precedenti linea BH ex suis suppositis precise reperta fuit respectu linee BZ, mansit etiam linea HZ nota precise. Sed EH nota erit propter lineas EB et BH notas et angulum H rectum. Similiter EZ fiet cognita, et angulus EZH notus. Unde totus angulus EZN scitus veniet. Sed trianguli ZEN duo latera NZ et ZE iam nota sunt et angulus quem ipsa continent, quare angulus ZNE cognitus erit, qui equalis est angulo MEN cum utraque linearum NM et ME sit semidiametro ecentrici equalis. Erit itaque angulus ZME extrinsecus cognitus. Triangulus itaque ZEM tres angulos habet notos, quare laterum proporciones note erunt. Sed erat ZE nota respectu semidiametri epicicli aut respectu linee ZB; quare MZ respectu eodem nota erit.
⟨IX.19⟩ 19. Ad semidiametrum ecentrici omnes lineas reliquas certis sub proporcionibus referre.
Ponatur pro libito semidiameter ecentrici quotlibet partium ut 60 more Ptolemei. Cum autem proportio semidiametri epicicli ad lineam NZ inventa sit ex 15a huius et proporcio NZ ad NM semidiametrum ex precedenti pateat, erit proporcio semidiametri epicicli ad semidiametrum ecentrici in partibus quibuscumque nota. Quare etiam epicicli semidiameter in partibus semidiametri ecentrici ad libitum positis nota erit. Item ex 17a et precedenti proporcio semidiametri epicicli ad lineam BH et ad semidiametrum parvi circuli elicita est, sed et BH ad HZ nota concludebatur. Iam vero proportio semidiametri ecentrici ad semidiametrum epicicli nota est, quare exibunt proporciones semidiametri ecentrici ad lineas BH et MZ note, quod quidem intendebatur. Invenit autem Ptolemeus ponendo semidiametrum ecentrici 60 partium semidiametrum epicicli 22 partium et 30 minutorum et unamquamque linearum BH, HZ, et MZ trium partium.
⟨IX.20⟩ 20. Ea que de motibus Mercurii et linearum proportionibus conclusa sunt an experimentis concordent visualibus attemtare.
Superius in 15a huius reperimus per binas observationes longitudinum maiorum Mercurii quod eo per medium cursum a longitudine ecentrici longiore distantiam quatuor signorum communium habente, agregatum ex duabus longitudinibus magnis, vespertina scilicet et matutina, sit 47 graduum et 45 minutorum fere. Si igitur per numerationem suppositis proportionibus linearum et caeteris ante hac conclusis, idem concorditer inveniemus, fidem habebimus omnibus iam inventis. Huius itaque gratia sit linea AE transiens per longitudinem longiorem ecentrici et propiorem, et sit A longitudo longior ex parte Librae, E vero longitudo propior ex parte Arietis. In hac linea D sit centrum mundi, G vero centrum motus equalis, et B centrum parvi circuli. Sitque angulus AGZ quatuor signorum communium, scilicet 120 graduum ut quatuor recti sunt 360. Et super centro Z describo epicicli circulum TK, ductis duabus rectis eum contingentibus lineis DT et DK. Puncta vero contactuum centro epicicli copulabo per lineas TZ et KZ. Centrum etiam epicicli cum centro mundi continuabo per lineam DZ. Faciam quoque angulum ABH equalem angulo AGZ et lineam BH semidiametrum parvi circuli equalem BG, continuando duo puncta H et G per lineam HG. Deinde a puncto D ad lineam GZ demittam perpendicularem DL. Quibus sic aptatis inquiram angulum TDK, qui agregat duas longitudines Mercurii magnas in hoc situ epicicli. Quia angulus ABH equalis est angulo AGZ et linea BH semidiameter parvi circuli, erit propter motuum similitudinem punctus H centrum ecentrici. Angulus autem HBG est tertia pars duorum rectorum cum angulus ABH sit due tertie duorum rectorum. Quare duo anguli BHG et BGH equales equantur duabus terciis duorum rectorum; et ideo unusquisque eorum erit tertia pars duorum rectorum, et erit triangulus BGH equilaterus et equiangulus, et angulus BGH equalis angulo DGZ. Quare due linee HG et GZ sibi directe coniuncte sunt et una linea. Erit igitur linea HZ semidiameter ecentrici. Deinde quia triangulus GDL notorum est angulorum, erit DL nota respectu DG et similiter GL eodem respectu; unde tota linea HL nota et residua de semidiametro ecentrici LZ nota. Et quia linea DL est nota, erit DZ nota respectu semidiametri ecentrici HZ. Sed eodem respectu ZT nota est et angulus T rectus, quare angulus ZDT notus et duplus ad eum angulus TDK. Facta igitur diligenti numeratione exibit angulus TDK 47 partium et 45 minutorum fere ut quatuor recti sunt 360 partes. Tantus etiam experimento visuali comperitur hic angulus, quod quidem hactenus attemtavimus. Quod si ludendo te oblectare velis, poteris ad cetera loca in quibus maxime longitudines Mercurii consideratas habes numeros tuos aptare ut maiorem certitudinem habeas de proporcionibus linearum superius inventis. Si enim numerus observationi respondebit, haud dubium quin occasiones diversitatibus motuum Mercurii expedite invenerimus.
⟨IX.21⟩ 21. Quod maior sit epicicli ad terram vicinitas dum a longitudine longiore quatuor signis communibus distiterit quam dum in longitudine propiore ecentrici fuerit geometrice demonstrare.
Sit linea AE transiens per longitudinem longiorem et propiorem equantis, in qua punctus D centrum mundi, G centrum motus equalis, et B parvi circuli, F vero punctus in quo est centrum ecentrici epiciclo in longitudine longiore existente. Iamque contra successionem signorum descripserit semicirculum ita quod sit in G puncto, super quo tanquam centro describatur circulus AE vice ecentrici epiciclum deferentis. Propter similitudinem autem motuum, erit centrum epicicli in E puncto. Deinde statuatur angulus AGZ 120 graduum ut quatuor recti sunt 360 gradus. Et in linea GZ sit punctus Z centrum epicicli a longitudine longiore per 120 gradus distantis. distantis] corr. ex distantes Angulo quoque AGZ ponatur equalis ABH, et linea BH equalis BG sive BF. Ducta linea GH erit itaque unusquisque angulorum BGH et BHG tertia pars duorum rectorum et triangulus BHG equilaterus cum duo latera BH et BG sunt equalia et angulus HBG tertia pars duorum rectorum. Sed et angulus DGZ est tertia pars duorum rectorum. Quare due linee HG et GZ sibi directe coniuncte sunt et una linea. Et quia H est centrum ecentrici et epicicli centrum ponebatur in Z, erit HZ semidiameter ecentrici equalis quidem GE. Ablatis autem HG et GD equalibus manebit GZ equalis DE. Item ex 19a huius linea GD est 3 partes et totidem GH ut tota HZ est 60 partes; erit ergo GZ 57 partes. Quare angulus GDZ maior erit angulo GZD. Sed duo anguli dicti equantur duabus terciis duorum rectorum, ergo angulus GDZ est maior tercia parte duorum rectorum. Unde maior erit angulo DGZ, et ideo linea GZ longior linea DZ. Sed erat DE equalis GZ, quare DE longior est DZ. Utraque autem harum est distantia centri epicicli a centro mundi, linea quidem DZ dum centrum epicicli distat a longitudine longiori per quatuor signa communia, DE vero dum est in opposito augis ecentrici. Constat igitur propositum.
⟨IX.22⟩ 22. Motum medium argumenti Mercurii certum reddere.
Superius ex quarta et quinta elicuimus huiusmodi motum medium suo tempori quantolibet. Et quia considerationes quibus numeri revolutionum et temporum fortasse reperti sunt grosse fuerunt et non satis exacte, exacte] corr. ex extracte dubia fides habetur earum recitacionum. recitacionum] recitacioni W Id igitur certius reddituri hoc pacto procedemus. Per unam considerationem, quemadmodum infra videbitur, considerabimus distantiam, si qua sit, planete a longitudine longiori media epicicli, et per aliam considerationem similiter. Quod si differentiam locorum planete in epiciclo hoc ingenio compertam ei motui argumenti medio qui per tabulas iam effectas tempori inter considerationes medianti elicitur equalem videbimus, sat est. Si vero non, excessum per dies illius temporis distribuemus, et portionem unius diei motui medio per tabulas invento adiciemus si addenda fuerit, aut minuemus si minuenda. Addenda autem erit dum motus per considerationes inventus motu per quartam et quintam huius invento maior fuerit, aut minuenda si econtra. Unam autem considerationum que proposito conducent nostro fecit Ptolemeus in anno 20mo Antonii Antonii] perhaps corr. in Antonini duobus diebus mensis Athica undecimi transactis vespere quidem instrumento per stellam cordis Leonis rectificato. Reperit enim Mercurium in 17 gradibus et 30 minutis Geminorum quoniam locus eius super locum Lune visum addidit gradum unum et 10 minuta. Fuit autem hec consideratio ante medietatem noctis in Alexandria quatuor horis equalibus et medietate hore dum in medio celi esset, ut docuit instrumentum, duodecimus gradus Virginis et Sol per cursum medium in 22 partibus et 34 minutis Tauri.
] the figure should have line GH, as in W Nunc in figura sit linea transiens per longitudinem longiorem et propiorem Mercurii ABGDE, in qua sit A longitudo longior, E vero propior, D centrum mundi, G centrum motus equalis, B centrum parvi circuli. Sitque epiciclus descriptus super centro Z. Et produco lineas DZ quidem in K summitatem sive augem epicicli veram, GZ vero in punctum T, quem vocant augem epicicli mediam. Planeta ipse quemadmodum in hac consideratione cecidet in puncto L situetur, quem continuabo cum duobus punctis D et Z per lineas LD et LZ, ducta perpendiculari ZS. Constituo denique angulum HBG equalem angulo DGZ et lineam BH equalem BG, ductis duabus lineis HG et HZ. Iam querendus est arcus TL, per quem quem] corr. ex qu†e† planeta distat a longitudine longiori media epicicli. Quia autem trianguli GBH angulus GBH notus est quoniam equalis est angulo DGZ propter locum longitudinis longioris et locum Solis medium noto, sed duo anguli BGH et BHG sunt equales propter latera BG et BH equalia, erit ergo unusquisque eorum notus et proportio linee HG ad BG nota. Est autem BG respectu semidiametri ecentrici nota, quare et HG eodem respectu cognita. Sed propter angulum BGH notum fit angulus HGZ trianguli HGZ notus, et proportio HZ semidiametri ecentrici ad HG iam nota est. Unde proportio linee HZ ad GZ nota erit, quare GZ nota. Triangulus itaque DGZ duo latera DG et GZ habet nota et angulum DGZ notum. Unde linea DZ respectu aliarum nota fiet et angulus DZG notus, cui contrapositus TZK quoque notus erit et arcus TK notus. Similiter angulus GDZ habebitur notus. Item locus planete verus observatione comprehensus est, et longitudinis propioris locus est notus. Fit ergo angulus EDL notus, sed et angulus EDZ cognitus est. Relinquitur ergo angulus ZDL notus. Triangulus itaque DZL duo latera DZ et ZL nota habet et angulum ZDL. Fit ob hoc angulus ZLD cognitus. Est autem angulus KZL equalis duobus ZDL et ZLD iam cognitis; quare ipse notus et arcus KL, qui ei subtenditur, numeratus. Cui si arcum TK ante hac notum adiecerimus, colligemus tandem totum arcum TL cognitum, quem querebamus.
Alia consideratio ad Mercurium fuit in anno 21o, quemadmodum scripsit Dionisius referente Ptolemeo, 22 diebus transactis de mense Alatrabi. Et fuit illud anno Nabonassaris 486o transactis 18 diebus mensis Thoth in mane diei 19i. Videbatur enim Mercurius splendidus secundum successionem signorum remotus a linea que transit per stellam septentrionalem in fronte Scorpionis et per stellam mediam que in fronte eius est quantitate diametri Lune. Distabat autem a stella septentrionali in fronte Mercurius versus septentrionem quantitate duarum diametrorum lunarium. lunarium] corr. ex luminarium Coniectura itaque dabit firma ipsum fuisse in tribus gradibus et 20 minutis Scorpionis, Sole per medium cursum tunc existente in 20 gradibus et 50 minutis Scorpionis. Et non erat tunc Mercurius in longitudine maxima a loco Solis medio quoniam post quatuor dies, scilicet die 26to mensis Alatrabi, videbatur distare a dicta linea quantitate diametri Lune et medietatis eiusdem. In his autem quatuor diebus motus Solis medius auctus est fere per quatuor gradus, et motus planete per medietatem diametri Lune dumtaxat.
] there should be a line ZB, as in W Nunc ut eliciamus locum eius in epiciclo, sit in linea AE punctus A longitudo longior, et E propior, D centrum mundi, G centrum motus equalis, et B centrum parvi circuli. Sitque epiciclus super centro Z descriptus ductis lineis ZD, ZG, ZB. ZG autem linea secet circumferentiam epicicli in inferiori parte super puncto K. Et sit locus planete in epiciclo secundum quod dat consideratio punctus L, quem continuabo cum centro epicicli et centro mundi per lineas LZ et LD. Deinde statuam angulum ABH equalem angulo AGZ et lineam BH equalem linee BG, producta linea HZ et linea HG. Quia itaque angulus ABH notus est quoniam equalis angulo AGZ propter medium locum Solis et longitudinem longiorem noto, longiorem noto] corr. ex noto longiorem et duo anguli BHG et BGH sunt equales, erit unusquisque eorum notus et linea HG nota respectu BG. Sed et notus est angulus AGZ, quare totus angulus HGZ trianguli HGZ notus est. Et due linee HZ et HG note. Fit igitur GZ respectu HZ et BG sive GD nota. Sed et angulus DGZ notus est, quare linea ZD respectu DG et ideo respectu HZ nota erit. Angulus quoque GDZ cognitus erit cum angulo GZD. Et quia angulus ADL notus est propter locum verum planete quem dedit consideratio et propter longitudinem longiorem notam, erit angulus residuus ZDL notus. Est autem proporcio DZ ad ZL nota; utraque enim earum respectu HZ nota est. Quare angulus DZL notus exibit. Superius autem cognitus erat angulus GZD. Relinquetur itaque angulus KZL notus et arcus KL similiter ei subtensus, qui quidem est distantia planete a longitudine propiore media epicicli, cui si semicirculum adieceris, distantiam eius a longitudine longiore conficies.
Habes tandem duas planete a longitudine longiore epicicli media distantias, quas ad se conferas et differentiam earum, si qua sit, agnosce. Que si fuerit equalis motui medio argumenti ad tempus inter considerationes medias per ⟨tabulas⟩ extracto, tabulis ipsis fidem habebis. Si vero non fuerit ei equalis, age ut superius precipitur.
⟨IX.23⟩ 23. Radices mediorum motuum Mercurii ad instans temporis certum constituere.
Medius motus in longitudine sibi radicem accipit Solis. Pro motu autem medio argumenti sive diversitatis, sic agito. Ex una considerationum suprascriptarum aut per te factarum, elicias distantiam planete a longitudine longiore media epicicli. Postea tempori quod est inter considerationem tuam et instans ad quod radicem constituendam voles, motum medium diversitatis per tabulas suas addisce. Quem quidem motum argumenti subtrahe a distantia planete ab auge epicicli quam dedit consideracio, accomodatis integris more solito, si opus fuerit, revolucionibus. Illud quidem facies si instans consideracionis instanti cui radicem elaboras posterius fuerit. Si vero prius fuerit, dicte distantie addas hunc motum medium argumenti, et abiectis integris, si que excreverint, revolucionibus habebis radicem cupitam.
Finis noni.