Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨II⟩ ⟨Liber II⟩

Incipit secundus.

⟨II.1⟩ 1. In orizonte obliquo latitudinem ortus dati puncti ecliptice per arcum semidiurnum talis puncti demonstrare. Unde palam est quod proportio sinus totius ad sinum arcus semidiurni alicuius puncti ecliptice sit sicut proportio sinus complementi declinationis eiusdem puncti ad sinum complementi latitudinis ortus eius.

Orizon obliquus seu declivis dicitur super quem alter polorum mundi elevatur.

Latitudo ortus alicuius puncti ecliptice vocatur arcus orizontis inter ortum talis puncti et equinoctialem interceptus.

Arcus semidiurnus alicuius puncti ecliptice est medietas arcus paralelli paralelli] misspelled pararelli talis puncti existentis supra orizontem.

] label ‘D’ has been cut off Sit in figura circulus meridiei ABGD, medietas equatoris AEG, medietas orizontis obliqui BED secans equatorem super E. Polus mundi sub orizonte vel supra sit Z. Punctus ecliptice datus oriatur supra H. Fiet latitudo ortus eius arcus EH. Transeat arcus circuli magni a polo Z per H, qui sit ZHT. A terminis itaque duorum arcuum magnorum descendentium AZ AE, reflectuntur duo ZT et EB se secantes supra H. Igitur per 21 primi huius proportio sinus EA ad sinum AT componitur ex duabus, scilicet proportione sinus EB ad sinum BH et proportione sinus HZ ad sinum ZT. Quinque autem arcus ex his dati sunt. Nam EA, EB et ZT sunt quarte circulorum, AT vero arcus semidiurnus, sed HZ complementum declinationis puncti ecliptice cuius ortus est in H. Igitur per regulam sex quantitatum notus fiet arcus BH, cuius complementum est HE, residuum de quarta circuli, quod querebatur.

Corrolarium vero ex his trahitur. Nam in his sex quantitatibus prima, tercia et sexta sunt inter se equales. Ergo eodem argumento quo superiora corrolaria ostensa sunt proportio prime ad secundam fiet sicut proportio quinte ad quartam. Prima autem est sinus totus, secunda sinus arcus semidiurni, quinta sinus complementi declinationis puncti, quarta vero sinus complementi latitudinis ortus, igitur et cetera.

⟨II.2⟩ 2. Idem per altitudinem poli cognoscere. Manifestum est igitur quod proporcio sinus altitudinis equatoris ad sinum totum sit sicut proporcio sinus declinationis puncti ecliptice ad sinum latitudinis ortus eiusdem puncti.

Sit figura prior. Quia proporcio sinus ZA ad sinum AB componitur ex duabus, scilicet sinus ZT ad sinum TH et proporcione sinus HE ad sinum EB per 21 primi huius, sed quinque arcus sunt noti, nam ZA, ZT et EB sunt quarte, AB autem complementum altitudinis poli, TH vero declinatio puncti dati; ideo sextus, scilicet HE, notus fiet. Corrolarium patet eo modo quo priora corrolaria patuere, et conversam proporcionalitatem.

⟨II.3⟩ 3. Ex noticia arcus semidiurni alicuius puncti ecliptice et latitudine ortus eius altitudinem poli deprehendere. Constat itaque quod proporcio sinus complementi arcus semidiurni ad sinum talis arcus sit composita ex duabus, scilicet proporcione sinus latitudinis ortus puncti ecliptice ad sinum complementi huius latitudinis et proporcione sinus altitudinis poli ad sinum totum.

] label ‘B’ has been cut off Sit iterum prior figuratio. Patet quod proporcio sinus ET ad sinum TA est composita ex duabus, scilicet proportione sinus EH ad sinum HB et proportione sinus BZ ad sinum ZA. Sed quinque arcus sunt noti, scilicet ET complementum arcus semidiurni, TA arcus semidiurnus, EH latitudo ortus, HB complementum huius latitudinis, et sexta scilicet ZA quarta circuli. Per regulam igitur sex quantitatum quinta, scilicet scilicet^‌2] sinus add. W BZ, cognita fiet.

⟨II.4⟩ 4. Idem aliter patefacere. Palam est ergo quod proportio sinus totius ad sinum complementi altitudinis poli sit sicut proporcio sinus latitudinis ortus ad sinum declinationis puncti ecliptice.

Corrolarium primo manifestum est ex corrolario secunde huius et conversa proporcionalitate. Cum itaque latitudo ortus et declinatio puncti ecliptice note sint, fiet et per regulam quatuor numerorum numerorum] proporcionalium add. i. m. nota altitudo poli, que querebatur.

⟨II.5⟩ 5. Cuiuscumque puncti ecliptice arcum semidiurnum per altitudinem poli notificare. Unde proportio sinus altitudinis poli ad sinum complementi eiusdem componitur ex duabus, scilicet sinus complementi declinationis puncti ecliptice ad sinum declinationis eius et sinus differentie arcus semidiurni et quarte ad sinum totum.

In priori figura proportio sinus ZB ad sinum BA componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZH ad sinum HT et proporcione sinus TE ad sinum EA. Sed quinque arcus dati sunt. Nam ZB est altitudo poli, BA complementum eius, ZH complementum declinationis puncti ecliptice dati, HT declinatio eiusdem, et EA quarta. Ex quibus per regulam sex quantitatum notus fiet arcus TE, qui est differentia arcus semidiurni et quarte circuli, quo noto noscetur et arcus semidiurnus.

⟨II.6⟩ 6. Idem aliter habebis per latitudinem ortus.

Ex prima huius proportio sinus HZ ad sinum HB sicut proporcio sinus totius ad sinum AT, igitur et cetera.

⟨II.7⟩ 7. Inventionem differentie semidiurni equalis et brevissimi in omni regione ad quatuor quantitates proportionales redigere.

] label ‘D’ has been cut off Figuratio quinte huius habuit proportionem ZB sinus ad sinum BA componi ex duabus, scilicet sinus ZH ad sinum HT et sinus TE ad sinum EA. Sed dum H fuerit punctum ortus tropici Capricorni, sequitur ut ZH et HT et EA maneant eedem quantitates in omni regione. Est enim ZH complementum maxime declinationis, HT maxima declinatio, EA quarta circuli. Multiplicatio igitur sinus HT in sinum EA faciat L. L autem divisum per sinum ZH producat N. Dico quod proporcio N ad sinum TE sit sicut proporcio sinus BA ad sinum ZB. Multiplicatio enim sinus ZH in sinum TE faciat M. Ex regula additionis proportionum constat quod M ad L proportio sit sicut proporcio sinus ZB ad sinum BA, sed M ad L per 15 quinti est ut sinus TE ad N. Ergo proporcio sinus TE ad N est sicut proportio sinus ZB ad sinum BA. Ideoque conversim proportio sinus BA ad sinum ZB est sicut proporcio N ad sinum TE. N vero manebit idem in omni regione propter quantitates ZH, HT et EA easdem manentes ex quibus productum fuit N. Ideo sinum altitudinis poli in regione qua volueris duc in N, et productum divide per sinum complementi eiusdem altitudinis poli, et exibit sinus differentie semidiurni equalis et brevissimi in eadem regione. Fietque hoc ingenio tabule diei longissimi in omni regione compositio facilis.

⟨II.8⟩ 8. Quilibet duo paralelli per puncta ecliptice equalis distancie a duobus punctis tropicis euntes secant de orizonte obliquo ab utraque parte equinoctialis arcus equales, et fit alternatim arcus diei unius equalis arcui noctis alterius. Idem quoque fit de paralellis euntibus per puncta ecliptice a duobus punctis equinoctiorum equalis distantie.

] label ‘D’ has been cut off Sint talia duo puncta ecliptice, unum ad partem septentrionis ab equatore, alterum ad partem meridiei. Meridionale oriatur in orizonte obliquo in H, septentrionale in K. Porciones paralellorum per ea euntium sint NK et MH. Quarte circulorum magnorum a polis venientium sint ZHT et LKS. Dico arcum HE equalem esse arcui EK et alternatim arcum diei unius arcui noctis alterius. Nam cum puncta data sint equalis distantie a punctis tropicorum aut equinoctiorum, oportet per ea que de declinatione habentur ipsa esse equalis declinationis. Sic arcus HT equalis erit arcui KS. Ergo ambo paralelli equalis erunt magnitudinis quod sinus arcus HZ sit equalis sinui arcus LK, qui sunt semidiametri paralellorum. Ergo per sextam primi Theodosii orizon circulus magnus resecat ex eis alternatim arcus equales. Quare arcus MH fiet equalis arcui NK. Sed NK est arcus semidiei puncti orientis in K, MH autem arcus seminoctis puncti in H orientis. Item his similes sunt arcus AS et TG, igitur etiam equales, a quibus demptis AE et EG equalibus remanebunt TE et ES equales. Igitur et residui AT et SG sunt equales, arcus semidiei puncti orientis in H arcui seminoctis puncti orientis in K, quod est secundum.

Preterea cum duo arcus ET TH sint equales duobus arcubus ES SK, et anguli T et S recti, et anguli ad E contrapositi equales, sequitur per modum probacionis in quarta primi Euclidis arcum EH equari arcui EK, quod erat primum.

Vel posses hoc primum probare per ea que demonstrata sunt in secunda huius quod proporcio sinus BA ad totum est sicut proporcio sinus HT ad sinum HE. Item proporcio sinus DG ad totum est sicut proporcio sinus KS ad SE. SE] we would expect ‘KE,’ but it is not in the witnesses Sed AB est equalis DG et HT equalis KS, ergo sinus TH ad HE sinum sicut TH ad EK. Quare per 9 quinti HE equalis erit EK. Simili via secundum probabis per ea que dicta sunt in probacione premisse quod proporcio N ad sinum TE sit sicut N ad sinum ES et cetera.

⟨II.9⟩ 9. Data Solis altitudine umbram rectam seu versam perscrutari. Unde necesse est ut proportio sinus altitudinis date ad sinum complementi eius sit sicut proporcio longitudinis umbrosi ad umbre sue longitudinem recte.

Umbram rectam dicimus umbram quam res orthogonaliter super superficiem orizontis erecta efficit in ipsa orizontis superficie. Sed umbram versam vocamus umbram quam res orizontis superficiei equedistans efficit in superficie orthogonali super orizontem, velut est umbra stili in chilindro dependente. Sit itaque circulus altitudinis ABG, cuius centrum E, et propter insensibilem quantitatem semidiametri terre respectu semidiametri orbis Solis, ponimus ut centrum huius circuli sit caput umbrosi facientis umbram. Sitque tale umbrosum EG orthogonaliter superficiei orizontis, in qua sit linea GZ, infixum. Semidiameter EB equedistet superficiei orizontis. Sit etiam nunc data Solis altitudo arcus BC. Ducta linea CE representans radium solarem obviet orizonti in Z. Umbroso itaque GE respondet umbra recta GZ dum altitudo Solis fuerit BC arcus. Cadat CD super BE perpendicularis et CL super EA etiam perpendicularis. Fiet per 28 et 34 primi CD equalis et…equalis^‌1] i. m. LE et CL equalis DE. CD autem est sinus altitudinis BC et CL sinus complementi eiusdem altitudinis. Sed per quartam sexti CD ad DE proportio sicut EG ad GZ. Sed prima tria data sunt, igitur quartum notum fiet. Hinc etiam corrolarium probatum est.

Sed de umbra versa sit MO orthogonalis super orizontem cui infixum sit umbrosum equedistans orizonti quod sit ME, cuius extremitatem E sicut antea reputabimus tanquam centrum circuli altitudinis propter parvitatem semidiametri terre respectu semidiametri orbis Solis. Altitudine Solis itaque existente arcu BC, umbrosi EM umbra versa est MN, que queritur. Nota autem fiet ex quarta sexti quod ED ad DC proportio sit sicut EM ad MN. Sed prima tria sunt data, igitur quartum MN notum fiet. Infertur ex hoc corrolarium illud: proporcio sinus complementi altitudinis date ad sinum altitudinis est sicut proportio longitudinis umbrosi ad suam umbram versam.

⟨II.10⟩ 10. Ex umbra seu recta seu versa altitudinem Solis conicere.

Sit primo GZ umbra recta data umbrosi GE. Quadrabo utramque longitudinem. Producti radix erit linea ZE. Sed ZE ad EG proportio sicut EC sinus totius ad CD sinum altitudinis que queritur. Sed tria prima sunt data, igitur quartum cognitum fiet. Item sit MN umbra versa data. Ex qua et EM nota fiet EN, sed EN ad NM sicut EC ad CD, ergo sicut antea et cetera.

⟨II.11⟩ 11. Sub equatore omnes dies sunt equales noctibus, et omnes stelle ortum habent et occasum, et umbre quandoque versus meridiem, quandoque versus septentrionem, quandoque nusquam declinant.

Orizon enim habitantium sub equatore secat ipsum equatorem et omnes paralellos in portiones semicirculos. Et quia transit per polos mundi, super quibus fit stellarum revolutio, oportet ut omnes oriantur omnesque occidant. Et cum Sol in hora meridiei nunc sit meridianus a cenith, nunc septentrionalis, nunc vero in ipso cenith, quod est polus orizontis, verum constat quod de umbris dicitur.

⟨II.12⟩ 12. Sub omni paralello versus septentrionem ab equatore, bis tantum fit dies equalis nocti in anno, et dies estivi hibernis longiores, noctes breviores, et quanto ab equinoctiis distantiores tanto estivi productiores, hiberni correptiores, et quedam stelle apparentes semper, quedam occulte semper, et distantia cenith ab equinoctiali equalis altitudini poli.

Sit meridianus ABCD, axis mundi in eo AEC, duo poli A et C, equinoctialis BED, paralellus meridianus HI unus, FT alter, septentrionales vero LM, OP, SG. Erit itaque AEC loco orizontis in spera recta. Et quia in obliqua alter polorum elevatur, sit ille C et linea orizontem obliquum designans FEG. Palam est autem quod orizon FGE FGE] FEG W equatorem BD tantum per equa secat. Reliquos vero paralellos inequaliter secare necesse est. Et OQ maiorem esse LN, item LN maiorem BE, et BE maiorem HK. Item stelle intra paralellum GS semper erunt supra orizontem et intra paralellum FT semper sub orizonte. Item cenith capitum sit R, fietque arcus BR equalis arcui CG quod BC sit quarta et RG quarta.

⟨II.13⟩ 13. Sub remotiori paralello ab equatore maior est dierum et noctium inequalitas, maiorque pars stellarum semper apparentium, maior eciam semper occultarum.

Ut si in figura superiori orizontem obliquum magis inclines et designaris eum per lineam VEX, in paralello OP tunc arcus semidiurnus signabitur per OY, nocturnus per YP. In orizonte autem minus obliquo punctus Q hec separabat, sed maior est inequalitas OY et YP quam OQ et QP. Item pars stellarum semper apparentium iam distinguetur paralello &X. Et non apparentium VZ. Sed hii paralelli plura includunt quam paralelli SG et FT.

⟨II.14⟩ 14. Sub omni paralello inter equinoctialem et tropicum Cancri, umbre meridiei quandoque versus septentrionem, quandoque meridiem flectuntur, et bis in anno nusquam.

Quando enim est in gradu paralelli per cenith euntis nusquam flectitur umbra meridiana. Sed in gradu meridiano ab hoc declinat umbra versus septentrionem, in septentrionali versus meridiem.

⟨II.15⟩ 15. Sub tropico Cancri semel in anno nulla fit umbra meridiana. Nunquam autem ad meridiem fiet inflexio.

Flexu quidem caret Sole in principio Cancri existente. In reliquis vero locis ecliptice semper flexum eius versus septentrionem necesse est esse.

⟨II.16⟩ 16. Inter tropicum Cancri et circulum articum umbra meridiana nunquam flexu caret, sed omnes versus septentrionem inflectuntur.

Patet quia Sol cenit hore hore] corr. in horum nunquam attingit.

⟨II.17⟩ 17. Sub circulo artico semel in anno dies 24 horarum sine nocte constituitur, et umbra in eo ad omnem partem orizontis circuit, semelque nox 24 horarum sine die producitur.

Illic enim tropicus Cancri orizontem contingendo nunquam mergitur sicut tropicus Capricorni nunquam emergetur. emergetur] emergitur W

⟨II.18⟩ 18. Sub polo mundi medietas sphere apparet semper et reliqua occulta est semper, annoque dimidio lux continua et reliquo nox una.

Equinoctialis enim illic in superfitie orizontis est, ideo patet propositum.

⟨II.19⟩ 19. In orizonte obliquo quilibet duo ecliptice arcus equales a punctis equinoctiorum inchoati equales habent ascensiones. Unde constat quoslibet duos arcus ecliptice equales equaliter a punctis equinoctiorum distantes equales habere ascensiones.

] point B has been cut off Sit meridianus ABGD, medietas equatoris AEG, medietas orizontis obliqui BED, duo arcus ecliptice equales ZH et TK ita ut quisque punctorum Z et T sit punctus equinoccii. Palam est quod cum arcu ZH oritur arcus equatoris ZE et cum arcu TK oritur arcus equatoris TE. Dico duos arcus ZE et TE equales esse. Sint poli mundi L et M. Ducantur arcus circulorum magnorum LEM, LK, LT, MH et MZ. Quia H et K sunt puncta equalis distantie a sectione equatoris et ecliptice, igitur per ea que habentur de declinatione declinationes eorum et complementa declinationum suarum sunt equalia, ita arcus LK equalis arcui MH. Sed LT equalis MZ quod uterque sit quarta, et TK equalis ZH ex posito. Igitur per scientiam triangulorum spheralium angulus ZMH equalis est angulo TLK. Item per 8 huius EK equalis est EH et duo KL et LE equales duobus HM et ME. Igitur per eandem scientiam angulus KLE equalis angulo HME, ergo residuus ELT equalis residuo EMZ. Sed duo latera ZM ME sunt equalia duobus EL LT quia omnes sunt quarte. Igitur basis ZE equalis basi ET, quod fuit ostendendum. Hinc patet corrolarium et ex conceptione si ab equalibus equalia demas, remanentia fiant equalia.

⟨II.20⟩ 20. Quilibet duo arcus ecliptice equales et equaliter ab alterutro puncto tropico distantes habent ascensiones in orizonte obliquo coniunctas equales ascensionibus rectis eorundem pariter coniunctis.

] label ‘D’ has been cut off Sint ut antea meridianus ABGD, medietas equatoris AEG, medietas orizontis obliqui BED. Duo arcus zodiaci equales et equalium distantiarum a puncto tropico hiemali sint ZH TH ita ut T sit punctum equinoccii vernalis, Z equinoccii autumnalis, quos necesse est in H terminari per 8 huius etiam per equalitatem complementorum suarum declinationum. Palam est autem quod ZH elevatur in orizonte obliquo cum ZE, et TH elevatur cum TE eo quod cum cum^‌2] sup. lin. punctus T pervenerit ad orizontem, tam TH quam TE sunt perorti. Igitur totus arcus TEZ equatur ascensionibus obliquis duorum arcuum ZH et TH. Preterea sit polus meridianus K, a quo per H veniat quarta circuli magni KHL. Per dicta superius de ascensionibus rectis, palam est quod in sphera recta ZH elevatur cum ZL et TH elevatur cum TL. Sed duo arcus TL et LZ equales sunt duobus arcubus TE et ZE, ergo patet propositum.

Ex his infertur hoc corrolarium: notis ascensionibus obliquis in una quarta ecliptice note quoque fient in quartis reliquis. Notis enim ascensionibus in quarta ab Ariete in Cancrum per premissam noscentur et ascensiones in quarta a Capricorno ad Arietem. Inde per hanc reliquarum quartarum ascensiones patefient. Habes etiam quod differentie ascensionum in sphera recta et obliqua arcuum ecliptice equalium et equaliter a puncto tropico distantium sunt eedem, et quod per medietatem ecliptice septentrionalem ascensio recta sit obliqua maior, per reliquam vero minor.

⟨II.21⟩ 21. Cuiuslibet arcus ecliptice a puncto equinoccii vernalis inchoati ascensionem in orizonte obliquo demonstrare.

] label ‘D’ has been cut off Sit meridianus ABGD, medietas orizontis obliqui BED, medietas equatoris AEG, medietas ecliptice ZHT, punctus equinoccii vernalis H, arcus ecliptice HL datus. Palam est quod eius ascensio in hoc orizonte est arcus HE, qui queritur. Sit polus septentrionalis K, a quo veniat quarta circuli magni per L, que sit KLM. Palam est quod arcus HL ascensio recta est HM, que ex superioribus nota est. Eius autem et ascensionis oblique differentia est EM, que sic nota fiet. Quia duo arcus KM et ED a terminis duorum GK et GE ducti secant se super L, ergo proporcio sinus arcus KD ad sinum arcus DG composita est ex duabus, scilicet proporcione sinus arcus KL ad sinum arcus LM et proportione sinus arcus ME ad sinum arcus EG. Sed quinque arcus noti sunt. Nam KD est elevatio poli super orizontem propositum, DG complementum eius, KL complementum declinationis puncti L, et LM sua declinatio, et EG quarta circuli. Igitur per regulam sex quantitatum ME cognitus erit, ideoque et HE residuus de HM datus erit, qui querebatur.

⟨II.22⟩ 22. In quocunque orizonte obliquo dato inventionem iam dictam ad quatuor quantitates redigere. Hinc manifestum est si sinus altitudinis poli in orizonte tuo ductus fuerit per sinum totum et quod exit divisum per sinum complementi eiusdem altitudinis poli, erit eius quod hac divisione provenit ad sinum differentie ascensionum recte et oblique oblique] est add. but then del. V₂; que queritur add. W proporcio veluti sinus complementi declinationis ad sinum eiusdem declinationis proportio.

Habes enim ex premissa premissa] quod add. sup. lin. proportio sinus KD ad sinum DG composita est ex duabus, videlicet proporcione sinus KL ad sinum LM et proportione sinus ME ad sinum EG. Utram harum postremarum preposueris nihil refert. Duc sinum KD in sinum EG exeat Q. Divide Q per sinum DG, proveniat R. Dico quod R ad sinum ME proportio sit sicut sinus KL ad sinum LM proportio. Nam KD sinus in EG sinum facit Q, item sinus DG in R facit etiam Q. Ergo per 15 sexti proporcio KD sinus ad sinum DG est sicut proportio R ad sinum EG. Quare proporcio R ad sinum EG componetur quoque ex duabus ex quibus sinus KD ad sinum DG est composita. Necesse est igitur ut R ad sinum ME proportio sit sicut sinus KL ad sinum LM, quod est propositum et corrolarii intentio. R itaque in unaquaque regione proposita semper idem manebit propterea quod in ea KD, DG et EG arcus idem continue maneant, ex quibus R producitur.

⟨II.23⟩ 23. Cuiuslibet arcus ecliptice ascensionum recte et oblique differentiam per arcum circuli magni a polo mundi venientem determinare.

] label ‘B’ has been cut off Sint circulus meridiei ABGD, medietas orizontis BED, medietas equinoctialis AEG, et ecliptice ZEH ita ut E sectio equinoctialis, ecliptice et orizontis sit punctum vernale. Sit autem de ecliptica arcus ET datus. Portio paralelli transeuntis per T sit TK. A polo meridionali L procedant arcus quartarum circulorum LTM, LKN, LE. Palam est arcum zodiaci ET in spera recta oriri cum arcu ME et in obliqua cum arcu MN. Oritur enim in obliqua cum arcu paralelli TK, cui similis est arcus MN. Cum eadem autem portione oriuntur similes arcus paralellorum in omni loco et tempore. Est igitur EN differentia ascensionum recte et oblique arcus ipsius ET determinata per arcum circuli magni LKN a polo venientis, quod est intentum. Quare talis ascensionum differentia semper determinabitur per arcum circuli magni venientis a polo per punctum sectionis paralelli et orizontis.

⟨II.24⟩ 24. Ascensionum rectarum et obliquarum differentias via compendiosiori deprehendere. Patet ex hoc quod proporcio sinus totius ad sinum ascensionum rectarum alicuius arcus ecliptice ab Ariete inchoati sit sicut proportio sinus differentie semidiurni minimi et equalis ad sinum differentie ascensionum recte et oblique talis arcus.

Maneat meridianus, orizon et equator ut in figura superiori. Et punctum H sit sectio orizontis obliqui et paralelli tropici hiemalis, et sectio orizontis et paralelli transeuntis per finem arcus ecliptice incepti ab E puncto vernali cuius ascensio obliqua queritur sit K. Quarte magnorum circulorum a polo Z venientium sint ZHT ZKL. Palam est ex antedictis LE esse differentiam ascensionum que queritur et TE esse differentiam semidiurni minimi et equalis. Cum autem a terminis duorum arcuum TZ TE reflectantur duo alii ZL et EH secantes se in K, fiet proporcio sinus ZH ad sinum HT composita ex duabus, scilicet proporcione sinus ZK ad sinum KL et sinus LE ad sinum ET. Sed ex ultima primi huius patet quod sinus ZH ad sinum HT proporcio componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZK ad sinum KL et proporcione sinus elevationis recte talis arcus ecliptice cuius terminus oritur in K aut cuius paralellus habet declinationem KL ad sinum totum. Necesse est igitur ut proportio sinus arcus TE ad sinum arcus EL sit sicut proporcio sinus totius ad sinum elevationis recte talis arcus ecliptice. Patet itaque propositum.

⟨II.25⟩ 25. In regione cui polus mundi elevatur 45 gradibus proporcio sinus complementi declinationis alicuius arcus ecliptice ad sinum declinationis eiusdem est sicut proportio sinus totius ad sinum differentie recte et oblique ascensionum talis arcus.

Sit talis regionis orizon BED, medietas equatoris AEG, et meridianus ABGD, polus mundi K. Punctum vernale sit H. Arcus ecliptice datus sit HL. Quarta circuli magni a polo venientis sit KLM. Erit itaque arcus equinoctialis HM ascensio recta arcus ecliptice HL, et eius ascensio obliqua erit HE. Differentia autem harum ascensionum est EM. EM] corr. ex M Dico quod proportio sinus KL ad sinum LM est sicut proporcio sinus EG ad sinum EM. Proporcio enim sinus KD ad sinum DG componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus KL ad sinum LM et proporcione sinus ME ad sinum EG. Sed in hac regione KD est equalis DG, quare proportio equalitatis constituitur ex duabus iam dictis. Igitur per regulam de additione proportionum quod fit ex ductu sinus KL in sinum ME est equale ei quod fit ex ductu sinus LM in sinum totum. Ideo per 15 sexti proportio sinus KL ad sinum LM est sicut proportio sinus tocius ad sinum ME, quod est intentum.

⟨II.26⟩ 26. In omni alia regione obliqua proportio sinus complementi altitudinis poli ad sinum altitudinis poli est sicut proportio sinus differentie ascensionum recte et oblique alicuius arcus ecliptice in regione cui polus elevatur 45 gradibus ad sinum differentie ascensionum recte et oblique eiusdem arcus ecliptice in tali alia regione.

Repetatur figura proxime nisi quod KD et DG iam sint inequales. HL tamen et KL et LM maneant eiusdem quantitatis ut in proxima. Et sit gratia exempli KD iam 40 gradus. Dico quod in regione cui polus elevatur 40 gradus, gradus^‌2] corr. in gradibus proportio sinus DG ad sinum KD est sicut proporcio sinus ME in regione cui polus elevatur 45 gradus ad sinum ME in regione cui polus elevatur 40 gradus. Nam in regione elevationis poli 40 graduum proporcio sinus KD ad sinum DG composita est ex duabus, scilicet proporcione sinus KL ad sinum LM et proporcione sinus ME in illa regione ad sinum EG. Sed proporcio sinus KL ad sinum LM per premissam est sicut proportio sinus totius ad sinum ME regionis elevationis poli 45 graduum. Ergo proporcio sinus KD ad sinum DG in regione 40 est composita ex duabus, scilicet proporcione sinus totius ad sinum ME in regione 45 et proporcione sinus ME in regione 40 ad sinum totum. Utram harum ultimarum preposueris nihil interest. Faciunt enim simul proportionem sinus ME in regione 40 ad sinum ME in regione 45. Igitur conversim proporcio sinus DG ad sinum KD in regione 40 est sicut proporcio sinus ME in regione 45 ad sinum ME in regione 40, quod est propositum.

Reducta itaque proporcione sinus DG ad sinum KD in tua regione ad terminos quorum primus sit articulus in figuris significativis tantum unitatem habens, et habitis sinibus differentiarum ascensionum rectarum et obliquarum in regione 45, facillimum erit componere tabulam ascensionum obliquarum.

⟨II.27⟩ 27. Haec iam dicta ex 21^ma huius decerpere.

Ibidem conclusum est proportionem sinus KD ad sinum DG ex duabus componi, scilicet proportione sinus KL ad sinum LM et proportione sinus ME in orizonte obliquo dato ad totum. Ex sinu LM in totum fiat Q. Q divisum per sinum KL faciat R. Fiet igitur per 15 sexti proporcio sinus KL ad sinum LM sicut proporcio sinus totius ad R. Sed per 25 huius talis etiam est proportio sinus tocius ad sinum ME in regione 45. Quare per 9 quinti R erit equalis sinui ME in regione 45. Ex sinu KL in sinum ME alterius regionis fiat S. Erit ex additione proporcionum Q ad S proporcio sicut sinus DG ad sinum KD, sed per 15 quinti sic etiam est proportio R ad sinum ME alterius regionis. Quare patet propositum.

⟨II.28⟩ 28. Si super duo puncta ecliptice equaliter a puncto vernali aut auptumnali remota, duo arcus circulorum magnorum a polo mundi veniant, causabunt duos angulos ex eadem parte ecliptice extrinsecum equalem intrinseco sibi opposito.

] label ‘G’ has been cut off Sit medietas equinoctialis ABG, medietas ecliptice DBE, punctus equinoccii B. Duo puncta ecliptice sint H et T equaliter a puncto B remota. Duo arcus circulorum magnorum a polo Z veniant super illa puncta, qui sint ZKH ZTL. Dico angulum ZTE equalem esse angulo ZHB. Est enim KH equalis LT propter declinaciones equales, et BL equalis BK propter equales ascensiones rectas. Ideo trianguli BHK et BTL sunt equilateri, igitur et equianguli per ea que ex Theodosio et Mileo trahuntur. Ergo angulus BHK equalis est angulo BTL, sed BTL est equalis contraposito ZTE. Igitur propositum constat.

⟨II.29⟩ 29. Tales autem duos angulos pariter duobus rectis equos esse dum puncta ecliptice talia equaliter a puncto tropico distiterint.

In arcu ecliptice ABG punctum tropicum sit B. Duo puncta equaliter ab eo remota sint E et D, super que a polo Z arcus magni veniant ZE ZD. Dico angulum ZEG cum angulo ZDB pariter duobus rectis equos esse. Quia BE est equalis BD, erit propter declinationes pares ZE equalis ZD, ergo anguli supra basim ED sunt equales. Sed unus eorum cum angulo extrinseco alteri simul sunt equales duobus rectis. Patet propositum.

⟨II.30⟩ 30. Angulus ex concursu meridiani et ecliptice in puncto tropico rectus est.

Sit meridianus ABGD, medietas ecliptice AEG in qua A sit punctum tropicum. Dico angulum DAE rectum esse. Erunt enim tunc poli ecliptice in meridiano, sint D et B. Unde AD erit quarta circuli, sic et DG. Describamus circuli magni medietatem euntem per polos D et B. Huiusque poli sint A et G. Hic secet AEG in E. Constabit AE quartam esse sicut et EG. Quia itaque a polo D circuli AEG descendunt arcus circulorum magnorum super circulum AEG, scilicet DA, DE, DG, necesse est ut quisque sit quarta, ergo DE est quarta. Sed ipse subtendit angulum A, igitur angulus DAE est rectus, quod est intentum.

⟨II.31⟩ 31. Angulos tales in punctis equinoctiorum provenientes patefacere.

Meridianus ABGD polos mundi teneat B et D. Medietas equatoris sit AEG et ecliptice AZG ita ut A sit punctum autumnale. Per polos mundi et puncta tropica circuli magni procedentis medietas sit DB, qui erit colurus solstitiorum. Ideo Z punctum hiemale et EZ maxima declinatio et ED quarta circuli. Ergo anguli DAZ quantitas est arcus DEZ cognitus. Et per antepremissam residuum de duobus rectis est quantitas huius anguli in puncto vernali provenientis.

⟨II.32⟩ 32. Angulum talem in quolibet alio puncto ecliptice provenientem inquirere.

Si hos angulos sciverimus per quartam ecliptice que est a puncto estivo in punctum autumnale, tunc ex doctrina 28 atque 29 huius sciemus eos etiam in reliquis tribus quartis. Sit igitur meridiani circulus ABGD, ABGD] i. m. V₂; AKGD W equatoris medietas AEG, ecliptice medietas BZD ita ut Z sit punctum autumnale et B unus de punctis ecliptice in quarta que est a puncto estivo in punctum autumnale. Invenire volumus angulum KBZ. Fiat medietas circuli magni KETH cuius poli sint B et D. Unde BT erit quarta sicut et BH quod a polo circuli KTH super eum circulum veniant. Item quia amborum circulorum AEG et HEK poli sunt in circulo ABGD, oportet ut E sit polus circuli ABGD, ergo et EH quarta. Sed proporcio sinus BA ad sinum AH componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus BZ ad [ad] sinum ZT et proporcione sinus TE ad sinum EH. BA autem est declinatio puncti B dati, AH complementum eius, BZ est arcus zodiaci notus, ZT complementum eius, et EH est quarta circuli. Ideo per regulam sex quantitatum TE notus fiet. Sed EK est quarta, ideoque totus KT arcus, qui est quantitas anguli TBK, datus erit. Conemur id modo in quatuor quantitates redigere.

⟨II.33⟩ 33. Proportio sinus complementi declinationis puncti ecliptice dati ad sinum complementi maxime declinationis est sicut proportio sinus arcus talis ecliptice a sectione equalitatis ad punctum datum ad sinum sue ascensionis recte.

Repetatur figura ultima primi huius, in qua meridianus vicem coluri solstitiorum habens est ABGD, equatoris medietas AEG, ecliptice BED, E sectio equalitatis, arcus EH datus. Polus mundi sit Z, a quo veniat quarta circuli magni ZHT. Erunt ex prioribus TH declinatio puncti H, HZ complementum eius, ET ascensio recta arcus EH. Dico proporcionem sinus ZH ad sinum ZB arcus, qui est complementum maxime declinationis, esse sicut proporcionem sinus EH ad sinum ET. Quod sic patet. Quia proporcio sinus ZB ad sinum BA componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZH ad sinum HT et proportione sinus TE ad sinum totum, scilicet arcus EA. Pono inter sinum ZB et sinum ZH medio loco sinum BA; tunc constabit quod proporcio sinus ZB ad sinum ZH componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZB ad sinum BA et proporcione sinus BA ad sinum ZH. Ergo proporcio sinus ZB ad sinum ZH constabit ex tribus, scilicet proporcionibus sinus BA ad sinum ZH et sinus ZH ad sinum HT et sinus TE ad sinum totum. Sed prime due faciunt proportionem sinus BA ad sinum HT. Ergo proportio sinus ZB ad sinum ZH componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus BA ad sinum HT et proporcione sinus TE ad sinum totum. Proportio autem sinus BA ad sinum HT per corrolarium penultime primi huius et permutatam proporcionalitatem est ut proporcio sinus tocius ad sinum EH. Quare proportio sinus ZB ad sinum ZH componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus totius ad sinum EH et proporcione sinus TE ad sinum totum. Utram harum preposueris nihil variat. Sed componunt proporcionem sinus TE ad sinum EH, quare proporcio sinus ZB ad sinum ZH est sicut proporcio sinus TE ad sinum EH. Ideoque conversim patet propositum. Ex hac iterum habes inventionem ascensionum rectarum ad quatuor quantitates redactam.

⟨II.34⟩ 34. Proportionem sinus complementi declinationis puncti ecliptice dati ad sinum complementi maxime declinationis esse ut proportionem totius sinus ad sinum anguli ex sectione ecliptice et meridiani super dato puncto provenientis.

Repetatur figura antepremisse, in qua BA fuit declinatio puncti B dati et AH complementum eius. Dico quod proporcio sinus AH ad sinum complementi maxime declinationis est sicut proporcio sinus totius ad sinum TK arcus, qui est quantitas anguli TBK. Nam proporcio sinus TK ad sinum totum, scilicet arcus KE, est composita ex duabus, scilicet proporcione totius sinus, qui est arcus TB, ad sinum arcus BZ et proporcione sinus ZA ad sinum AE, qui est totus. Utram postremarum ante posueris non mutatur. Ipse enim faciunt proporcionem sinus ZA ad sinum ZB. Quare proportio sinus TK ad sinum totum est ut proporcio sinus ZA ad sinum ZB. ZA autem est ascensio recta arcus ecliptice ZB. Ideoque cum per premissam sinus ZA ad sinum ZB proporcio sit ut proporcio sinus complementi maxime declinationis ad sinum HA, erit proporcio sinus TK ad sinum totum velut proportio sinus complementi maxime declinationis ad sinum HA. Ergo conversim patet propositio. Habemus igitur hoc opus reductum ad quatuor quantitates, in quibus due semper eedem manent, quod non parve facilitatis erit.

⟨II.35⟩ 35. Omnes duo anguli ex concursu ecliptice et orizontis obliqui in punctis ecliptice equaliter a punctis equinoccii remotis provenientes ex eadem parte, extrinsecus videlicet intrinseco sibi opposito, sunt equales.

] label ‘D’ has been cut off Sit meridianus ABGD, orizontis obliqui medietas BED, equatoris medietas AEG, duo arcus ecliptice equales ZH et KL ita ut tam Z quam K sit punctum autumnale. Dico angulum EHT equalem esse angulo DLK. Sunt enim trianguli ZHE et KLE equorum laterum. Nam ZH equale KL, HE equale LE ut ex secunda huius ostendi potest, et basis EZ equalis basi EK propter ascensiones obliquas obliquas] corr. ex ^†rectas^† V₂; rectas W equales ut ex 19 huius trahitur. Igitur anguli equis lateribus contenti equales erunt. Sic angulus EHZ equalis est angulo ELK, quare residuus EHT equalis residuo DLK, quod est intentum.

⟨II.36⟩ 36. Tales duos angulos, quorum unus fit in oriente, alter in occidente, unus quidem extrinsecus, alter intrinsecus ex eadem parte ecliptice oppositus, simul equales duobus rectis esse.

Sint orizontis circulus ABGD et circulus ecliptice AEGZ se in punctis A et G secantes. Dico duos angulos DGZ et DAE simul duobus rectis equales esse. Nam duo anguli ZAD DAE sunt equales duobus rectis. Sed ZAD est equalis angulo ZGD eo quod arcus maxime declinacionis horum circulorum velut arcus DZ transiens per puncta maxime declinationis eorum est unus. Quare duo anguli DGZ et DAE simul sunt equales duobus rectis, quod est propositum.

Ex hoc manifestum est: duos tales angulos qui fiunt in punctis ecliptice a puncto tropico equaliter remotis, orientalem quidem unum, alium occidentalem, simul duobus rectis equales esse. Quoniam enim in punctis ecliptice equaliter a puncto equinoccii remotis, duo anguli orientales ambo sunt equales ut in premissa angulus in H equalis angulo in L. Ideoque et anguli occidentales duorum punctorum punctis H et L oppositorum, unus alteri est equalis. Sed angulus orientalis puncti H cum angulo occidentali puncti oppositi L sunt punctorum equaliter a puncto solsticii remotorum. Sed ipsi simul sunt equales duobus rectis, igitur et cetera. Notis itaque angulis orientalibus ab Ariete in Libram, noti fient anguli orientales alterius medietatis et ex his patefient anguli occidentales utriusque medietatis.

⟨II.37⟩ 37. Angulos dictos in punctis equinoctiorum patefacere.

Sit meridianus ABGD, orizon obliquus AED, quarta equinoctialis EZ, E punctum vernale quarte ecliptice EG, item et E punctum autumnale quarte ecliptice EB, G punctus solsticii estivalis, B hiemalis. Dico angulos DEG DEG] iter. but then del. et DEB notos fieri. Ex ratione sphere patet ZB et ZG esse maximas declinationes ecliptice et DZ complementum altitudinis poli, cui si abstuleris ZG aut addideris ZB, provenient arcus DG et DB noti, scilicet quantitates angulorum DEG et DEB. Sed DEG est orientalis qui fit in puncto vernali. Residuum vero de duobus rectis est occidentalis qui fit in eodem puncto. DEB autem est orientalis qui fit in puncto autumnali. Residuum de duobus rectis est occidentalis qui fit in eodem puncto.

⟨II.38⟩ 38. Angulum orientalem qui fit ex sectione ecliptice et orizontis obliqui apud quodcumque punctum ecliptice per notum celi medium et eius declinationem investigare.

Sit meridianus ABGD, medietas ecliptice AEG, cuius duo puncta A et E sint data, medietas orizontis obliqui sit BED. Sit autem gratia exempli E punctus primus Thauri, ideoque per ascensiones notus notus] corr. ex notis erit punctus A in medio celi et ei oppositus G. Hinc arcus EG datus erit, sed ipse in regionibus regionibus] et punctis ecliptice add. i. m. septentrionalibus minor est quarta circuli. Sit itaque quarta EGH. Per H eat circulus magnus cui polus sit E, secans orizontem in T et meridianum in Z. Quia itaque anguli ad D et T sunt recti, necesse erit ut Z sit polus orizontis, ideoque ZD et ZT sunt quarte. Item per declinationem gradus medii celi et latitudinem regionis, nota fiet altitudo meridiana gradus medii celi, scilicet arcus AB, cui est equalis arcus DG. Sed proportio sinus ZT ad sinum TH componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZD ad sinum DG et proportione sinus GE ad sinum EH. Sed quinque ex his arcubus noti sunt. Nam ZT, ZD et EH sunt quarte, DG altitudo meridiana puncti medii celi, GE distancia gradus ascendentis a gradu medie noctis. Igitur arcus TH notus fiet, qui est quantitas anguli DEG, qui querebatur.

Ex his trahitur illud corrolarium: proportio sinus totius ad sinum anguli qui queritur est sicut proporcio sinus arcus ecliptice inter puncta ascendentis et medii celi ad sinum altitudinis puncti ecliptice in medio celi. Patet nam proportiones due que componunt primam faciunt proportionem sinus GE ad sinum GD. Sinus autem GE est idem cum sinu AE quod AEG sit semicirculus, igitur.

⟨II.39⟩ 39. Quelibet duo puncta ecliptice ab alterutro puncto tropico equaliter remota, dum a meridiano ad utramque partem per equos paralelli sui arcus distiterint, equales habent a circulis altitudinum a cenith distancias, angulique duo qui fiunt ex concursibus circulorum altitudinum et ecliptice in illis punctis, extrinsecus cum intrinseco sibi ex eadem parte opposito, simul sunt duobus rectis equales.

Sit porcio porcio] corr. ex proporcio meridiani ABG, in qua B polus orizontis, G polus mundi articus, duo arcus ecliptice, unus AZH versus occidentem, alter ADE versus orientem, in quibus sint duo puncta Z et D equaliter ab alterutro puncto tropico remota distentque per equos arcus paralelli sui a meridiano. Ductis arcubus circulorum altitudinum BZ, BD, BD] item add. sup. lin. GZ, et GD, dico duos arcus BZ et BD equales esse et angulos BZA et BDE simul equos esse duobus rectis. Nam propter equales punctorum Z et D a meridiano distancias, fiet angulus BGZ equalis angulo BGD, et propter pares declinationes GZ erit equalis GD. Hinc cum BG latus commune sit utrique triangulo BGZ BGD, concludes BZ equalem equalem] corr. ex equales BD, quod est primum, et angulum BZG BZG] corr. ex BGZ equalem angulo BDG. Sed ex 29 huius angulus GZA cum angulo GDE simul sunt equales duobus rectis. Dempto itaque BZG ex uno et alteri addito BDG, fient duo anguli BZA et BDE simul equales duobus rectis, quod est secundum.

⟨II.40⟩ 40. Cum fuerit idem punctus ecliptice ad utramque partem a meridiano per arcus paralelli sui equaliter remotus, equalis erit a polo orizontis distantie, angulique ex sectionibus circulorum altitudinum cum ecliptica in eo puncto, extrinsecus cum intrinseco sibi ex eadem parte opposito, simul sunt equales duplo anguli qui fit ex meridiano et ecliptica super eodem puncto sive puncta ecliptice tunc celum mediantia sint meridiana a polo orizontis sive septentrionalia.

Sit portio meridiani ABD, in qua G sit polus orizontis, polus articus D, due portiones ecliptice AEZ BHT in quibus H et E idem punctum ecliptice representant representant] corr. in representent cum equaliter a meridiano hinc atque inde distiterit per arcus paralelli sui, E quidem orientale, H H] corr. ex hoc occidentale. Et puncta ecliptice varia tunc celum mediantia sint A et B, distentque primo a polo orizontis G ad partem meridiei. Ductis arcubus circulorum magnorum GE et GH, DE, et DH, dico arcum GH esse equalem arcui GE et duos angulos GHB et GEZ simul esse equales duplo anguli DHB seu DEZ. Sicut enim in premissa propter arcus paralelli quibus punctum a meridiano distat equales, oportet angulum GDH equalem esse angulo GDE. Et propter eandem declinationem oportet arcum DH equalem esse arcui DE. Hinc faciendo latus GD commune utrique triangulo GDH GDE, fiet basis GH equalis basi GE, quod est primum, et angulus GHD equalis angulo GED. Sed DHB equalis est DEZ cum H et E idem punctum representent, et duo anguli GHB et GHD constituunt angulum DHB seu DEZ. Ergo duo anguli GHB et GED constituunt angulum equalem angulo DHB seu DEZ. Ergo tres anguli GHB, GED, DEZ sunt duplum angulo DEZ. Quare duo anguli GHB et GEZ sunt equales duplo angulo angulo] anguli W DEZ, quod est secundum.

Sint preterea duo puncta A et B a polo orizontis G septentrionalia. Arcus GH sit continuatus in L et GE in K. Dico angulos LHB et KEZ simul equales esse duplo anguli DEZ. Ostenditur enim GH equalis GE ut antea, et angulus DHG equalis angulo DEG. Igitur residuus DHL equalis residuo DEK. Sed quia DHB est equalis angulo DEZ cum H et E idem punctum representent, ergo totalis LHB equalis duobus DEZ et DEK. Addito utrobique KEZ erunt duo LHB et KEZ simul equales duplo anguli DEZ, quod est propositum.

⟨II.41⟩ 41. Si vero unum punctorum tunc celum mediantium a polo orizontis esset meridionale, alterum septentrionale, anguli provenientes ex concursu ecliptice et circulorum altitudinis ambo simul differunt a duplo anguli qui fit ex concursu meridiani et ecliptice super eodem puncto duorum rectorum quantitate quantitate] corr. ex quantitatem ipso, quidem maiores dum punctum portionis orientalis meridionale fuerit, minores autem dum septentrionale.

Sit primo A meridionale, B septentrionale a polo orizontis G, et sint arcus ducti ut antea. Dico duos angulos GEZ et LHB simul maiores esse duplo anguli DEZ seu DHB quantitate duorum rectorum. Est enim DHG equalis angulo DEG. Sed duo anguli DHG DHG] corr. ex DHB DHL equantur duobus duobus] misspelled duobis rectis. Ergo et duo anguli DEG et DHL equales sunt duobus rectis. Sed angulus DEZ equalis est angulo DHB. Ergo duo anguli GEZ et LHB sunt equales duobus rectis et duplo anguli DEZ. Ideoque duo anguli GEZ et LHB maiores sunt duplo anguli DEZ quantitate duorum rectorum, quod est propositum.

Sit preterea A septentrionale, B meridionale. Cetera sint ut prius. Dico duos angulos KEZ GHB simul minores esse duplo anguli DEZ quantitate duorum rectorum. Ipsi enim simul minores sunt duobus angulis DEZ et DHB quantitate duorum angulorum DEK et DHG. Sed hii duo DEK DHG sunt duobus rectis equales quod DHG sit equalis DEG. Ergo duo anguli KEZ GHB simul minores sunt duobus angulis DEZ DHB quantitate duorum rectorum. Sed DEZ est equalis DHB quod E et H idem punctum ecliptice representent, igitur patet propositum.

Ex his palam est: si noti fuerint anguli antemeridiani ad unum quodque punctum zodiaci ab initio Cancri ad Capricornum, noti etiam erunt anguli eorundem postmeridiani; relique quoque medietatis zodiaci utrique anguli cogniti fient. Patet ex duabus premissis et presenti.

⟨II.42⟩ 42. Apud punctum ecliptice celum medians aut in orizonte existens, angulum ex concidentia circuli altitudinis et ecliptice atque arcum inter polum orizontis et punctum notum esse.

Sit meridianus ABGD, medietas orizontis BED, medietas ecliptice ZEH, poli orizontis A et G apud punctum Z datum. Ex 32 aut 34 huius noscetur angulus AZE, qui queritur. Hinc ex declinatione puncti Z et nota regionis latitudine, noscetur et arcus AZ. Sed apud punctum E in orizonte, quia AED est rectus et ex 38 huius per punctum E noscetur angulus DEH, quare totus AEH, qui querebatur, notus fiet. Arcus vero AE est quarta circuli.

⟨II.43⟩ 43. Portionem circuli altitudinis a polo orizontis usque ad punctum ecliptice datum ex noticia punctorum ascendentis et medii celi deprehendere.

] label ‘D’ has been cut off Sit meridianus ABGD, medietas orizontis BED, portio ecliptice ZHT, Z quidem punctus medii celi et T oriens puncti dati. Item in hac portione sit H punctus, per quem et polos orizontis eat circulus magnus, cuius medietas sit AHEG secans orizontem in E. Querimus quantitatem arcus AH. Quia proportio sinus AB ad sinum BZ ex duabus componitur, scilicet proporcione sinus AE ad sinum EH et proporcione sinus HT ad sinum TZ, sed AB et AE sunt quarte, BZ est altitudo meridiana puncti medii celi que nota est ex declinatione et latitudine regionis, HT distantia puncti H a puncto ascendente dato, TZ distantia medii celi a puncto ascendentis, quare et EH notum erit; hinc eius complementum, scilicet AH, qui querebatur.

Corolarium. Proporcio sinus arcus ecliptice inter puncta orientis et medii celi ad sinum altitudinis meridiane puncti medii celi est sicut proporcio sinus arcus ecliptice inter orientem punctum et punctum ecliptice datum ad sinum altitudinis eiusdem puncti.

Nam ex sinu toto in sinum EH fiat M. Item ex sinu toto in sinum BZ fiat N. Ex regula subtractionis constat M ad N esse proportionem sinus HT ad sinum TZ. Sed M ad N per 15 quinti est ut proportio sinus EH ad sinum BZ. Quare proportio sinus HT ad sinum TZ est ut sinus EH ad sinum BZ. Permutatim igitur conclude corolarium.

⟨II.44⟩ 44. Aliter idem perquirere.

Constituo T polum circuli magni transeuntis per maximam declinationem ecliptice ab orizonte, cuius quarta sit ANO, eritque TN quarta, similiter TO quarta. Et propter angulos N et O rectos necesse est eum ire per polos orizontis et ecliptice. Quantitas anguli HTE nota est ex 38 huius, et ipsa est arcus NO. Et quia proporcio sinus AO ad sinum ON componitur ex duabus, scilicet proportione sinus AE ad sinum EH et proporcione sinus HT ad sinum TN. Sed AO, AE, et TN sunt quarte circulorum. Ideo cum etiam NO et HT noti sunt, sunt] sint W notus erit HE; hinc eius complementum AH, qui querebatur.

Palam igitur ex hoc: proporcio sinus totius ad sinum altitudinis puncti ecliptice per quartam ab ascendente est sicut proportio sinus distantie puncti ecliptice dati ab ascendente ad sinum sue altitudinis. Due enim postreme ex quibus prima componitur componunt proporcionem sinus HT ad sinum EH.

⟨II.45⟩ 45. Apud quodlibet aliud punctum ecliptice angulum ex concidentia circuli altitudinis et ecliptice investigare.

Resumatur figura antepremisse. Querimus angulum AHT. Constituto H polo circuli magni, cuius portio sit KLM, duorum circulorum magnorum BED KLM poli sunt in circulo AEG, ideo EK erit maxima eorum declinatio. Quare E et K distant per quartas a sectione M, eruntque HK et HL quarte. Quia vero proportio sinus HE ad sinum EK componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus HT ad sinum TL et proporcione sinus LM ad sinum MK. Arcus autem HE, ⟨EK, HT, TL et MK noti sunt. Nam HE⟩ est altitudo puncti dati nota per alteram premissarum, EK est eius complementum, HT distantia puncti dati ab ascendente, TL eius complementum, MK quarta circuli. Igitur LM notus fiet, quare residuum residuum] corr. in residuus de quarta, scilicet arcus LK, notus erit, qui est quantitas anguli KHL. Ergo residuus de duobus rectis, scilicet angulus AHT, notus fiet, qui querebatur.

Finis secundi.