⟨Dedicatio⟩

Magistri Ioannis de Kunigsperg prohemium in Epitomam Almagesti sive Magne constructionis Ptolemei factam partim per eum, partim per magistrum Georgium de Peurbach, et dedicatam Reverendissimo Domino Cardinali Niceno Magistri…Niceno] i. m.

Admiranti mihi saepenumero vel potius graviter et inique ferenti tam raros esse etate nostra optimarum disciplinarum non modo preceptores verum eciam studiosos, satis compertum videtur depravata potius hominum natura id fieri quod ad vicia proclives virtutem ac bonas artes pro nihilo habeant, quam quod rerum ipsarum difficultas eos absterreat. Siquidem maiores nostri vel ab iis que iam inventa erant tradendis vel ab inveniendis novis nulla unquam sunt difficultate perterriti, quia scilicet magno semper studio elaboravere ut posteritatem non tam auro atque opibus quam virtute et bonis artibus redderent locupletem. Nondum enim ambitio et cetere cupiditates hominum ingenia inficere ac labefactare coeperant. Sola virtus in pretio erat. Sua cuique satis placebant; nullus extrinsecus honor querebatur. Ubi vero paulatim cupido habendi mortalium animis irrepsit, defluere bonas artes atque obsolescere virtutem necesse fuit. Hinc nihil preter aurum suave creditum est, discipline probro habite sunt, eoque postremo deventum est miserie ut non modo promendis novis artibus operam non navemus, sed potius quo impunius errare liceat, inventas olim ac traditas per socordiam atque ignaviam velut somnolenti pretereamus. Haec igitur causa est cur pauci etate nostra docti sint, cur pauci studiosi, cur iaceant studia bonarum arcium, et quasi sepulta emergere ac suscitari non possint. Fieri tamen interim potest ut difficultate rei discende homines perterreantur, nec tamen deesse debet veniae locus. Sunt enim non nullarum disciplinarum aditus supra modum difficiles atque ardui, qualis est eius disciplinae quae astrorum peritiam pollicetur, tum propter magnitudinem atque excellenciam rerum in quibus versatur, tum propter scabrositatem librorum qui ex peregrinis linguis in Latinam inepte conversi. Incredibile dictu est quantam pre se difficultatem ferant. Nam a Latinis editi pauci admodum extant. Habet profecto prestans hec atque insignis disciplina excellentem quandam materiam ac scitu perdifficilem, celeste videlicet corpus in quod si tanquam in speculum direxeris aciem immensam quandam et vere admirandam creatoris virtutem intuebere. Tales spectare iussit astrorum choros dum mortalibus ora daret sublimia rerum conditor, dignum profecto arbitratus quem universis prefecerat creaturis medium inter eas considere ut pede quidem calcante terrenis imperare videretur, fronte vero sublimi atque erecta divinis frueretur deliciis. Quid enim iocundius, quid amoenius, quid denique suavius afficere oculos potest quam illa tot et tantorum luminum venustissima atque ordinatissima series.

Eo quippe si rapiaris animo, experieris nihil te unquam sensisse in omni vita delectabilius. Hinc maior huius discipline pendet difficultas, quamquam nec illa quidem parva est quam nobis pereginorum pereginorum] peregrinorum W codicum interpretes pepererunt. Difficile est sane atque arduum ut que in aliena lingua benedicta sunt eundem decorem eandemque facilitatem in translatione conservent etiam si a disertis viris summo studio ac diligentia translata fuerint. Quod si parum vel disertus vel curiosus fuerit interpres, scabra prorsus et turbulenta oratio redundat, quod mihi plane evenisse videtur in Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei preclarissimo illo libro quem Magnam compositionem vocant, quod opus cum apud Grecos mira facilitate facundiaque resplendeat ita apud Latinos durum ineptumque habetur ut ne Ptolomeus Ptolomeus] corr. in Ptolemeus quidem ipse si reviviscat ipsum sit pro suo recepturus. Id cum tu tecum aliquandiu mente voluisses, excellentissime princeps Bessarion, gravi supra modum molestia affectus fuisti, non tam quod aureum illud flumen ingenii gentilis tui interpretum vicio in tantam barbariem devenisset quam quod Latini nostri, quos singulari amore benivolentiaque prosequeris, tam excellenti ac preclaro opere carerent. Satis enim videbantur carere eo qui ita barbare atque inepte translatum habebant. Decrevisti sane tunc, vir utriusque lingue peritissimus nec minus Latinam quam patriam callens, una et patrie tue et nostre consulere, illi quidem restituendo splendorem pristinum, nobis vero illius veram effigiem donando cuius antea deforme simulachrum habebamus. Coepisti igitur preclarum illud opus iterum Latinum facere ut Latinos tuos et studiosissimam hanc patriam maioribus quotidie beneficiis demereris. demereris] corr. in demerseris Verum onus delegate tibi tunc apud piissimum imperatorem provincie a proposito revocavit, nec publica christiane rei publice rei publice] religionis W negocia quibus incumbere necesse erat vacare te litterarum studiis permisere. Quocirca per alium aggressus, quod per te ipsum non poteras prestare, suasisti Georgio astronomo Cesaris, qui tum Vienne erat preceptori meo, viro ut moribus et integritate vite ita omni studiorum genere primario, in mathematicis vero supra omnes nostre etatis homines erudito, ut Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei de quo loquimur librum quem ille quasi ad litteram memorie tenebat breviorem lucidioremque facere conaretur. Quod ille mox orsus, incredibile dictu est quam clariores reddidit sententias, dividens eas geometrarum more ut et apertius intelligerentur et facilius commendarentur memorie et tenacius hererent. Sed vix absolutis sex libris quasi in medio cursu, heu memoriam quoque eius rei lugubrem atque acerbam, immatura morte nobis indignissime rapitur. Verum paulo antequam e vita discederet cum in manibus et gremio moribundum tenerem, vale inquit, ‘mi Iohannes, vale. Et si quid apud te pii preceptoris memoria poterit, opus Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei quod ego imperfectum relinquo absolve. Hoc tibi ex testamento lego ut etiam vita defunctus, defunctus] corr. ex functus parte tamen mei meliore superstite, Bessarionis nostri optimi ac gratissimi principis desiderio satisfaciam.’

Grande profecto opus et meis impar viribus moriens preceptor humeris nostris nostris] del. imposuit, et quod subire temerarii foret, recusare vero ingrati ac pene sacrilegi. Sed fluctuanti mihi tu, prestantissime pater Bessarion, confirmasti animum, et ut tantum opus prosequerer tuo numine compulisti. Absolvi igitur opus a preceptore inceptum, idque tuo sacratissimo nomini dedicavi ut inter ceteros bibliothece tue libros colloces atque custodias. Ad quem enim digniorem vel principem vel patronum bonarum artium monimenta confugiant quam ad te, qui ut ut] om. W es doctrina et omni virtutum genere prestantissimus ita optimos quosque codices diligentissime indagaris? Summo studio comparas atque custodis ut nemo sit meo iudicio hodie te locupletior in hoc preclarissimo genere supellectilis. Quo fit ut divino quodam consilio factum censeam ut in communi Grecie pernicie pernicie] provincie W tu Rome feliciter vixeris, quo naufragantes librorum Grecorum reliquias et mox peritura tot doctissimorum virorum volumina conservares. Notum omnibus est quantum studii ac diligentie in ea re posueris, quos labores, quos sumptus sustuleris, nihil perniciosius accidere posse existimans quam si cum patria eciam libri periissent.

Tanto igitur tamque tamque] perhaps corr. in tam que pretioso librorum acervo hoc quoque epitoma nostrum adiungere pro tua mansuetudine dignaberis ut te auctore te principe optimarum artium studiosis commune fiat, qui, si quid forte difficultatis in primordiis offenderint, legant libellos duos quos de triangulis edidimus, et sic reliqua, nisi nos opinio fallit, facile superabunt.

⟨I⟩ ⟨Liber I⟩

Epitoma primi libri Ptolemaei

Recte profecto meo iudicio nobiliores philosophi, o Syre, distinxerunt inter theoricam philosophie et practicam partem. Nam etsi ipsi practico practico] practice W accidat prius theoricam esse, nilminus multum inter eas interest, non solum quoniam aliquas moralium virtutum posse inesse aliquibus eciam absque disciplina videmus, speculationem vero universi impossibile esse absque disciplina adipisci, sed eo maxime quod ibi quidem tota utilitas ex frequenti circa ipsas res operatione, hic autem ex speculatione advenit. Quare nos eciam putavimus decere operationes quidem nostras dirigere secundum considerationem eorum que apparent ut neque in minimis deviemus ab optima et ordinata universi dispositione, maiorem vero ocii partem circa speculationes que multe venusteque sunt adhibere. Etenim ipsam speculativam Aristoteles decenter certe in tria prima genera dividit, naturale scilicet, mathematicum et theologicum. Cum enim omnia encia ex materia, forma et motu consistant, quorum unumquodque videri quidem seorsum non potest, sed solum intelligi eciam absque ceteris. Primam quidem motus universi causam deum ipsum invisibilem atque immobilem recte quis putabit, eiusque investigativam scientiam theologicam merito nominabit, cuius operationem sursum circa sublimiora mundi esse ponet omnino seiunctam a substancia sensibilium. Quod vero materialem et semper motam qualitatem investigat circaque album et calidum, dulce et molle, et huiuscemodi versatur, naturale utique appellabit, quod inter corruptibilia ut plurimum et subtus orbem lunarem invenitur. Id autem quod species motusque locales qualitatis manifestat, figuram ac quantitatem tum discretam tum continuuam, item locum et tempus et similia querit mathematicum iuste appellabit, quod inter duo predicta locum habet, non solum quoniam et per sensum et absque sensu percipi potest, sed eciam quoniam omnibus simpliciter entibus accidit tum mortalibus tum immortalibus. Nam illis que semper mutantur communicat secundum motum localem; eternis vero secundum immutabilitatem atque immobilitatem forme sue. Quo fit ut alia quidem duo speculationis genera coniecturam potius quam scientiam aliquis nominabit, theologicam quidem propter eius nimiam obscuritatem et incomprehensibilitatem, naturalem vero propter continuum et incertum materie fluxum, propter quod neque sperare quis possit philosophos de ea concordes esse futuros. Solam autem mathematicam, si quis attente accedat ad eam, certam et indelebilem scienciam studiosis eius generare confitebitur. Siquidem eius probationes per certissimam arithmetice arithmetice] corr. ex arithmetrice geometrieque scienciam fiant.

Ob quas res nos eciam compulsi sumus quoad fieri possit omnem quidem speculationem sed eam precipue que circa divina celestiaque versatur exercere, tanquam illa sola sit que circa ea que semper et eodem modo se habeant consideret, et ideo possibilis sit primo quidem in sui ipsius comprehensione, cum nihil obscurum, nihil inordinatum ibi sit semperque et eodem modo se habeat, quod proprium sciencie est. Deinde eciam ad aliarum intelligenciam non minus quam illemetipse illemetipse] ipsemet W cooperetur. Nam et ad theologicam scienciam hec maxime nos ducit cum sola possit recte considerare immobilem et separatam substanciam ab earum vicinitate que sensibilibus quidem moventibusque ac motis, eternis vero et impassibilibus substanciis accidant, tum circa lationes tum circa ordines motuum. Nec eciam ad naturalem modicum conferet. Fere enim tota materialis substancie proprietas a proprietate localis celestium motus manifestatur. Corruptibile namque et incorruptibile a recto et circulari motu, grave vero et leve aut passivum et activum a motu in medium et a medio causatur.

Atqui ad morum actionumque decorem hec pre ceteris aliis nos solicitos efficit. Cum a similitudine circa divina ordine, ordine] ordinis W commensuratione, et modestia que in eis reperitur, amatores huius decoris efficiat eos qui eam sequuntur, et consuetudine quadam quasi natura animum eorum ad similem dispositionem impellat.

Hunc igitur amorem, ea scilicet speculanti que semper et similiter se habent, continue nos quoque augere conamur, tum ea discentes que a nostris maioribus scite optimeque inventa sunt, tum eciam ipsi innitentes tantum illis addere quantum temporis inter eos et nos intervallum manifestare potuit, et ea que putamus in presentia nobis manifestiora fuisse conabimur quam paucioribus fieri potest. Et ita ut illi qui qualitercumque hanc scienciam degustarunt sequi possint, possint] corr. ex possunt; et add. litteris mandare, et ut tractatus perfectus sit, omnia quidem que ad celestium speculationem utilia sunt per ordinem exponemus. Ut autem sermo noster non fiat longior, ea quidem que a maioribus nostris complete dicta sunt breviter discurremus. Que autem vel nullomodo deprehensa fuerint vel non sufficienter exposita ea longiori exequemur sermone.

Hanc igitur propositam compositionem precedit quidem universalis ambitus tocius terre ad totum celum consideratio. Eorum vero que particulariora et posteriora sunt primum quidem erit reddere rationem situs circuli obliqui et locorum nostre habitationis et de eorum que adinvicem secundum unumquemque orizontem propter inclinationem fit differencia. Eorum enim speculatio precedens considerationem aliorum faciliorem reddit. Secundum vero de motibus Solis et Lune et de accidentibus eis tractare. Absque enim eorum scientia non erit nobis via ad speculandum ea que circa ceteras stellas accidunt. Cum autem ultimum sit ad hunc tractatum de stellis disputare, merito eciam hic precedet consideratio sphere non errantium, consequenter earum que errantes vocantur. Unumquodque autem horum conabimur probare tanquam principiis et fundamentis in inquisitione utentes eis que manifeste apparent et certis tum antiquorum tum eorum qui temporibus nostris fuerunt observationibus et eis consequenter addentes lineares probationes. Quod autem universaliter dicendum est tale quidem erit: quod videlicet sphericum sit celum et quod circulariter feratur. Quodque terra figura quidem et ipsa spherica est quo ad sensum accepta secundum universales suas partes, situ autem media tocius celi tanquam centrum. Magnitudine autem et distancia puncti rationem habet quo ad spheram non errantium, nullumque ipsa motum localem habeat. De eorum autem quolibet breviter commemorationis gratia aliqua dicemus.

⟨I.1⟩ 1. Celi figuram esse sphericam et motum eius circularem.

Triplici ad hoc confitendum inducemur silogismo, experimentali videlicet, confutativo et rationabili. Experimur equidem stellas oriri paulatimque elevari donec tanquam fastigium itineris sui attingant, deinde vero pedetentim descendere ad superficiem orizontis, quem ubi contingunt, mox disparere occipiunt, et aliquamdiu latere sub terra, denuoque oriri et cursum pristinum repetere.

Magnitudines autem stellarum hoc pacto motarum diversis in locis non reperiuntur varie. Unde nimirum stelle ipse stelle ipse] we would expect ‘stellas ipsas,’ but the witnesses have it as here a terra, cui vicinus est oculus considerantis, equales in motibus suis conservare distancias et ideo circulariter moveri nemo dubitabit. Quod si obieceris apud orizontem maiores videri quam in medio celi, confitebor equidem, sed in ea re sensum decipi perspectivis conclamatum est.

Huiusmodi autem motus circularis manifestiorem se prebuit in stellis semper apparentibus. Vise sunt enim iste stelle perfectos describere circulos invicem equedistantes, inequales tamen, quorum centrum commune (nondum enim poli nomen sortitum erat) immobile coniecerunt. Stellas autem quanto plus a dicto centro distantes tanto in maioribus revolvi circulis, stellas autem occidere solitas id proprietatis proprietatis] proprietates W sortiri didicerunt ut quo earum quelibet a supra memorato centro minus distaret, eo breviorem sub terra moram pateretur. Cumque mirarentur tam amicam tanquam invariatam stellarum circuitionem, coniecerunt eas in uno corpore grandi colligatas haberi et ad motum ipsius circumferri, nullo adhuc (ut assolet inicio nascentis discipline) erraticis et fixis stellis interiecto discrimine. Demum corpori tam nobili dignissimam et motui circulari accomodatissimam attribuebant figuram sphericam.

Ceterum cum experiamur stellas oriri, supra terram versari, occidere, et sub terra morari, tandemque repetere viam pristinam, nemini licebit opinari motum celi rectum esse in infinitum. Oporteret denique stellarum hoc pacto motarum paulatim augeri ab oculo distantias, easque idcirco continue minores videri donec prorsus disparerent, quod nequaquam accidit. Stelle Stelle] misspelled with the cauda on the first e enim ubi supra terram delate sunt tendentes ad disparitionem suam, non modo non minores videntur, verum eciam maiores erroneo quidem sensus iuditio reputantur. Motum itaque stellarum et celi esse circularem nemo inficiabitur.

Figuram autem celi sphericam haberi nimirum quispiam dubitabit. Non enim soli sphere motus debetur circularis verum omni corpori quod a superficie plana circa axem immotum circumducta describitur, ut est columna rotunda, piramis rotunda, corpus spheroidale, et similia. Si itaque corpus celeste stellas circumducens kilindricum estimarit aliquis, non tolletur motus stellarum circularis. Verum cum sphere celestes sint multe sibi circumquaque involute et circa diversos axes moveantur, ut infra aperietur, siquis aliam quam sphericam celo primo figuram deputaverit aut spheris inferioribus, motum proprium abnegare cogetur aut corpora celestia scissionem pati fatebitur, que, cum sint inconvenientia, nemini recte sapienti admittenda sunt. Ad idem denique inconveniens redigemus adversarium si quam figuram angularem celo asscripserit.

Postremo rationibus directis propositum confirmabimus. Nature enim peccatum fugienti universis in rebus comoditas placet quam maxima. Celo igitur cuncta reliqua comprehensuro figuram impressit sphericam omnium capacissimam.

Ad velocitatem quoque motus que in hoc corpore reperitur maxima et regularissima, decuit eligere figuram sphericam. Sphera enim ad quamlibet positionis differenciam circa centrum suum mota nihil penitus habet resistencie similitudine partium superficiei spherice id efficiente. Nam unaqueque earum locum sibi vicine partis subintrat, nullo extrinseco corpore aut cedente aut resistente, quod profecto nullis alterius figure corporibus accidere constat. constat] corr. ex potest

Satis igitur ostendisse videmur celum esse sphericum et motum eius circularem.

⟨I.2⟩ 2. Terram esse rotundam.

Quod sensui videtur sphericum vocare solemus rotundum. In omni superficie licet considerare geminam divisionem, longitudinis videlicet et latitudinis. Longitudinem itaque in superficie terre intelligimus ab occidente ad orientem, latitudinem autem per transversum. Terram igitur esse rotundam secundum longitudinem ex eo convincitur quod stelle non in eodem tempore oriuntur et occiduntur oriuntur…occiduntur] i. m. neque ad meridianos perveniunt orientalibus et occidentalibus, sed illis quidem ante, istis autem posterius, quod eclipsate Lune deprehenditur inditio. Conferendo namque tempus unius eclipsis computatum secundum orientales ad tempus eiusdem eclipsis secundum occidentales numeratum, reperitur tempus orientalium maius tempore occidentalium in computo, quidem non autem in re ipsa. Nam in uno et eodem tempore toti mundo est eclipsis. Unde oportet Solem distinctorem temporis plus recessisse a meridiano orientalium quam a meridiano occidentalium. Similiter accidet si temporis computatio ad orizontem referatur, quod nequaquam eveniret nisi terra rotunda foret. Cui deinceps alludit quod notatis quotlibet computationibus ad unam et eandem eclipsim differentie computorum proportionales habeantur distanciis locorum in quibus eclipses iste iste] corr. ex ipse considerate sunt. Necesse igitur est hanc terre dimensionem esse gibbosam. Si enim cava esset, ante viderentur stelle occidentalibus quam orientalibus. Si recta, simul utrisque apparerent, que res experimento non consonant.

Dimensionem autem transversalem gibbosam esse facilius constabit. Procedenti enim ab austro ad boream stelle polaris altitudo crescere videtur. Cetere quoque stelle apud eam altitudines medinocturnas habent maiores. Non nulle eciam que ante hac hac] corr. ex hanc oriebantur oriebantur] iter. but then del. et occidebant nunc neque oriuntur neque occidunt. Contrarium autem horum accidit si a borea versus austrum profecti fuerimus. Cumque metiemur intervalla stationum nostrarum, reperiemus eas proportionales differentiis altitudinum predictarum. Nihil autem horum videretur si hec dimensio aut recta esset aut cava. Illud autem accidens generale est undecunque iter inchoaverimus in terra, quod profecto sufficiens existit inditium rotunditatis tametsi eclipsium considerationes neglexerimus. Non aliter immo facilius declarabimus aquam esse rotundam si corpora celestia quemadmodum in terra suspitiemus. Manifesto preterea signo id confirmabitur. Existentibus enim in mari preter celum et aquam, ut aiunt, nihil circumspicitur. Ubi vero littora petimus, montes, scopuli arces, et huiusmodi paulatim surgere cernuntur acsi ex aqua emergantur, quod non accideret si aut plana aut cava haberetur aqua.

⟨I.3⟩ 3. Terram in medio mundi sitam esse.

Nisi enim in medio constitueretur, oporteret terram aut esse in axe motus celi inequaliter tamen distantem a duobus polis, aut extra axem equaliter ab utroque polorum elongatam, aut item extra axem inequaliter quidem a polis remotam. Quod si primus horum situum terre cedat, nullus orizon celum in duo equa parcietur preterquam rectus et obliquus ille quidem in cuius superficie est linea recta a centro mundi exiens et terram contingens. Nemini igitur orizontem alium habenti semper apparebunt sex signa supra orizontem, cuius contrarium experiri licet. Preterea orizon alius equinoctialem non secabit per equas partes. Unde non erit equinoctium Sole in medio duorum tropicorum constituto, immo prorsus non erit equinoctium in orizonte obliquo aut ipsum erit Sole inequaliter a duobus tropicis distante. Orizon enim huiusmodi nullum circulorum quos motu diurno Solem describere aiunt in equa scindet, aut si forsitan quempiam bipercietur, bipercietur] i.e. ‘bipartietur’ non erit ille medius inter duos tropicos. Quo demum eveniet ut augmenta et decrementa dierum sicut non in temporibus equalibus accidunt, ita ita] itaque W neque alterno respectu invenientur. Volo dicere, si duo puncta equaliter ab equinoctii puncto remota signaverimus, non erit hic augmentum diei ad diem equinoctialem tantum quantum illic decrementum. Nihil autem horum accidentium comperimus. Terre igitur eum quem introduximus situm nemo nisi insanus deputabit. Item fines umbrarum quas notamus in superficiebus orizonti equedistantibus videntur describere lineas rectas Sole equaliter a duobus tropicis distante, quod haud accideret nisi terra sub equinoctiali circulo iaceret.

Si deinceps secundo loco terram constituas, fiet ut nullo orizonte celum in equas dividatur partes nisi eo cui axis mundi perpendiculariter insidet insidet] i.e. ‘incidet’ aut in cuius superficie est centrum mundi. Quare et hunc situm predicta inconveniencia comitabuntur, hoc quidem insuper adiecto quod stellarum magnitudines iudicio quidem sensus variari oporteat. Multivariam enim ab oculo distanciam afferet diversus stellarum supra orizontem situs.

Quod si tertio situ locatam opineris terram, commemorata omnia promiscue accident. Sed et eclipses eclipses] misspelled with cauda on the first e lunares non contingent semper in oppositione luminarium neque necessario venient lunares eclipses Sole et Luna secundum mundi diametrum oppositis. Cum itaque nihil horum appareat, nullus trium adductorum situum terram continebit. Reliquum igitur est ut in medio mundi resideat.

Possumus preterea idem directa argumentatione confirmare. Videmus enim gravia libere secundum mundi semidiametrum semidiametrum] corr. ex diametrum descendentia superficiei terre ad angulos equales incidere ubicumque fuerimus. Linea autem superficiei spherice secundum angulos equales occurrens per centrum eius continuata transibit. Omnes igitur quos mundus habet diametros diametros] corr. ex diiametros intra terram se secare patulum est. Punctus autem sectionis huiusmodi diametrorum centrum mundi necessario habetur. Quare centrum mundi intra terram reperiri, ideoque terram in medio mundi sitam esse liquebit.

⟨I.4⟩ 4. Terram respectu firmamenti puncti vicem habere.

Ubicunque enim existentibus nobis in superficie terre et considerantibus stellas in diversis locis, non videntur magnitudines neque earum inter se distantie variari. Unde et eas equaliter a terra terra] in add. but then del. remotas haberi comprobatur, sensu id estimante. Terra igitur centri sphere et ideo puncti sortietur offitium. Idem accidit terre ad spheram Solis comparate, quod et aliis comperitur indiciis. Nam corpora in centris instrumentorum circularium posita umbras proiciunt ea lege motas qua et Sol ipse radians motu primo circumfertur. Ex regularitate itaque motus umbre quam sensu deprehendimus elicitur Solem circa centra instrumentorum regulariter moveri; ideoque centra huiusmodi instrumentorum centri mundi, circa quod motus primus regulatur, vicem obtinere. Cum itaque terre crassitudo nihil in his rebus immittat varietatis, verum proposuisse videmur. Preterea orizon oculo in se existenti dimidium celum occultat dimidiumque videri sinit, quod profecto nulli superficiei plane ⟨nisi⟩ per centrum sphere transeunti proprium est. Aliter autem eveniret si terra sensibilem respectu firmamenti haberet magnitudinem.

⟨I.5⟩ 5. Quod terra localem motum non habeat declarare.

Ex superioribus constat terre non accidere motum rectum. Sic enim medium mundi relinquere cogeretur, quod ante hac prohibuimus. Oporteret denique terram velocissime moveri mole sua id agente, unde reliqua corpora minus gravia terre adiacentia in aere relinquerentur si omnia gravia ad unum niterentur terminum, quod nusquam apparet. Terra demum circularem non habet motum. Si enim circa axem mundi moveretur ab occidente ad orientem, omnia que in aere moverentur semper versus occidentem moveri viderentur. Non enim possent consequi motum terre, cuius contrarium in nubibus motis atque avibus sepenumero experimur. Idem quoque accideret si aerem una cum terra hoc pacto moveri putaveris. Terra postremo circa alium quempiam axem non movetur. Sic enim altitudo poli nobis in terra quiescentibus varia haberetur, quod cum nemini appareat, terram hac lege moveri non posse constat.

⟨I.6⟩ 6. Motus celestes in duplici differentia reperiri.

Est enim motus quidem cunctis celestibus corporibus communis ab oriente ad occidentem, quem in prima huius circularem et regularissimum ostendimus super duobus polis mundi, quem quidem motum consequitur ut omnia puncta extra axem suum signata circulos inter se equedistantes et ad axem ipsos ipsos] ipsum W erectos describant. Horum circulorum maximus describitur a puncto equaliter a polis mundi remoto, quem equinoctialem vocant quod Sole ipsum occupante dies nocti habeatur equalis.

Alius est motus predicto contrarius, ab occidente videlicet ad orientem, non super polis mundi sed aliis quoniam secundum hunc motum non describuntur circuli equedistantes equinoctiali, quod profecto accideret si uterque motus eosdem sortiretur polos. Quo autem pacto motus ille secundus innotuerit sic intelliges. Primi admiratores corporum celestium et eorum motuum consideraverunt Solem oriri et paulatim elevari donec meridianum attingeret, quo denique meridiano relicto tendere ad occasum et inde morari sub terra rursusque oriri ut pridem. Id ipsum in reliquis astris deprehenderant, cumque notassent loca ortus et occasus in terra, viderunt post dies multos Solem in eisdem non oriri et occidere sed aut ad meridiem aut ad septentrionem accessisse, itemque Solem in meridiano circulo constitutum nunc quidem ad vertices capitum vergere, nunc autem ab eis longius removeri. Unde coniecerunt Solem in alio quodam orbe moveri, non quidem super polis mundi, cum in motu suo non servaret equales ab ipsis polis distancias. Amplius autem idem apparuit in ceteris plurimis circa stellas fixas notatis. Viderunt enim quod stelle fixe suas inter se servarent distantias locaque ortuum occasuum non variari. Putabant igitur stellas fixas non nisi secundum motum primum moveri. Planetas autem alio insuper motu deferri concluserunt quod ipsi apud stellas fixas notati post tempus aliquantum ab eis versus orientem recessisse viderentur. Cumque in hoc motu non servarent easdem a polis mundi distancias, sed nunc quidem ad austrum, nunc vero ad septentrionem declinarent, oportuit motum huiusmodi circa polos alios accidere. Verum declinationem Solis et ceterorum planetarum declinationes eisdem ferme claudi limitibus didicerunt. Unde ratum asserebant eos non super polis mundi sed aliis in circulo quodam obliquo ad equinoctialem circumferri.

Has conclusiones, tametsi nihil ambigui aut difficultatis pre se ferant, in capite operis nostri decrevimus collocandas, quo imitatio nostra fidelior estimetur. Ceterum a prefatione Ptolemei serie verborum retenta tum ob reverentiam tanti viri tum et maxime propter sentencias suas cognitu dignissimas ordiri libuit. Nunc vero omissis vocabulorum que in hoc primo occurrent diffinitionibus cum admodum usitate sint, ad cognitionem cordarum circuli descendere iubemur. Has…iubemur] W has a rather different last paragraph: Has sex conclusiones tametsi nullam pre se ferant difficultatem in capite operis nostri conscribere decrevimus. Prefactionem autem Ptolomei ad litteram exprimere libuit tum propter crebras in ea sentencias scitu dignissimas tum propter auctoritatem ipsius Ptolomei quo eciam imitano nostra fidelior redderetur. Nunc ad scientiam cordarum feliciter descendamus.

⟨I.7⟩ 7. Data circuli diametro latera decagoni, exagoni, pentagoni, tetragoni atque trianguli isopleurorum eidem circulo inscriptorum reperire.

] The diameter’s missing endpoint should be labeled ‘A,’ as in W’s figure Sit semicirculus ABG supra diametrum ADG et centrum D erectus. Protraham DB perpendicularem supra AG per undecimam primi Euclidis, lineamque DG divido per equalia super puncto E, et ducam lineam EB. Huic equalem facio EZ. Productaque BZ dico ZD esse equalem lateri decagoni et BZ equalem lateri pentagoni, quod sic ostendam. Quia GD dividitur in duo equa super E et addita est ei in longum DZ, ergo per sextam secundi quadrangulum quod fit ex GZ in ZD cum quadrato DE equum est quadrato linee EZ. Sed EZ est equalis EB, et per penultimam primi quadratum EB equum est duobus quadratis BD et DE. Quod igitur fit ex GZ in ZD cum quadrato DE equale erit duobus quadratis BD et DE. Ablato communi quadrato DE, erit quod fit ex GZ in ZD equale quadrato BD, ideo eciam DG quadrato equale. Ergo per secundam partem 16^me sexti GZ ad DG proportio fiet sicut DG ad ZD proportio. Ideo per principium sexti linea GZ est divisa in puncto D secundum proportionem habentem medium et duo extrema. Sed maior eius portio, scilicet DG, est latus exagoni per corolarium 15^e quarti. Ideo per conversam none 13^mi minor eius portio, portio] corr. ex proportio scilicet DZ, est latus decagoni, quod est primum. Et quoniam per penultimam primi quadratum BZ est equale duobus quadratis BD et DZ et BD est latus exagoni et DZ latus decagoni, ideo per conversam decime 13^mi BZ erit latus pentagoni, quod est secundum. Quod si duxeris lineam AB, constabit ipsam ex sexta quarti esse latus quadrati circulo inscriptibilis. Sed et per octavam 13^mi manifestum est latus trigoni potentialiter triplum esse lateri exagoni seu semidiametro.

Qualicumque igitur divisione diameter divisa fuerit, in eadem constabit eius medietas, scilicet latus exagoni, cuius quadratum et medietatis quadratum sunt quadratum linee ZE; ideo ZE nota, a qua ablata DE, remanebit ZD nota corda decime partis circuli. Sed et huius quadratum cum quadrato lateris exagoni sunt quadratum lateris pentagoni. Ideo corda quinte partis circuli nota fiet. Quadratum vero lateris tetragoni duplum est quadrato lateris exagoni, et quadratum lateris trigoni triplum eidem quadrato lateris exagoni. Ideo utrumque horum notum fiet.

Corolarium septimae huius. Data alicuius arcus corda nota fiet corda arcus residui de semicirculo.

Patet ex 30^ma tercii angulum quem continent tales corde rectum esse. Ideo per penultimam primi quadratum diametri circuli equum erit erit] quadratis add. W duobus ipsarum cordarum, igitur et cetera. Sic ex latere decagoni invenies cordam arcus 144 graduum, ex latere pentagoni cordam arcus 108 graduum, et similiter de aliis.

8. Si quadrilaterum inscriptum circulo fuerit, rectangulum quod sub duabus eius diametris continetur est equale duobus que sub lateribus eius oppositis continentur rectangulis pariter acceptis.

Sit circulo ABGD inscriptum quadrilaterum ABGD, cuius diametri sint AG AG] perhaps corr. ex AB et BD. Dico quod fit ex BD in AG rectangulum est equale duobus que fiunt ex AD in BG et ex AB in DG rectangulis. Ponam enim per 23 primi angulum ABE equalem angulo DBG. Addito cuilibet horum angulo EBD, fiet angulus ABD equalis angulo EBG. Angulus autem BDA per 20 tertii equalis est angulo BGE. Ideo per 32 primi tertius angulus, scilicet BAD, equalis erit tercio, scilicet BEG. Sunt igitur trianguli ABD et EBG similes sive equianguli. Ergo per quartam sexti proportio AD ad EG est sicut proporcio BD ad BG. Quare per 15 sexti quod fit ex AD in BG equale est ei quod fit ex BD in EG. Item angulus ABE ex ypotesi equalis est angulo DBG, et ex 20 tertii angulus BAE equalis angulo BDG. Ergo per 32 primi tertius tertio equalis. Sunt igitur trianguli ABE DBG equianguli. Ideo per quartam sexti AB ad BD sicut AE ad DG. Quare per 15 sexti quod fit ex AB in DG equale est ei quod fit ex BD in AE. Iam autem ostensum fuit quod fit ex AD in BG equale esse ei quod fit ex BD in EG. Sed per primam secundi quod fit ex BD in EG et ex BD in AE equale est ei quod fit ex BD in AG. Ergo quod fit ex BD in AG equale est his que fiunt ex AD in BG et ex AB in DG, quod erat ostendendum.

⟨I.9⟩ 9. Notis cordis inequalium arcuum in semicirculo arcus quo maior minorem superat corda nota fiet.

] label ‘D’ is partially cut off Ut in semicirculo ABD super diametro AD note sint corde AB AG. Dico notam fieri cordam BG. Nam per corolarium septime huius note eciam fient corde BD et GD. Sic in quadrilatero ABGD diametri AG et BD note sunt, et latera AB et GD opposita nota. Igitur per premissam quod fit ex AD in BG notum fiet. Sed AD nota quia diameter circuli, ideo BG nota fiet, que querebatur. Per hanc plurimorum arcuum cordas cognosces. Reperies enim cordam arcus quo quinta pars circumferentie sextam superat, scilicet cordam arcus 12 graduum, et sic de aliis.

⟨I.10⟩ 10. Cuiuscumque Cuiuscumque] we would expect to find ‘si cuiuscumque,’ but the conjunction is not in the witnesses arcus in semicirculo corda data fuerit, cordam medietatis talis arcus notam fieri.

Sint in semicirculo ABG super diametro AG collocato arcus BG et sua corda dati. Et punctum D per 29 tertii secet arcum BG per equalia. Dico cordam BD aut DG datam fieri. Ductis enim cordis AB, AD, BD, DG, et per 12 primi a puncto D eat DZ perpendicularis super AG. Ostendendum primo est ZG esse medietatem excessus AG super AB sic. Sit per terciam primi AE equalis AB, ductaque DE duo latera DA et AB trianguli DAB sunt equalia duobus lateribus DA et AE trianguli DAE, et angulus DAB equalis angulo DAE per ultimam ultimam] misspelled ultiam sexti vel 26 tercii eo quod arcus dictos angulos suscipientes sunt equales. Ergo per quartam primi basis BD equalis basi DE. Sed BD est equalis DG per 28 tertii. Ergo triangulus EDG fiet duum equalium laterum. Quare per 5 primi angulus DEG equalis est angulo DGE. Sed uterque angulorum ad Z est rectus quod DZ sit perpendicularis. Ideo triangulus EDZ est equiangulus triangulo GDZ. Hinc per quartam primi EZ fiet equalis ZG. Sed EG est excessus AG super AB. Ergo ZG est medietas illius excessus. Per corolarium autem septime huius ex data corda BG nota fiet corda AB. Ideo EG excessus excessus] i. m. notus fiet. fiet^‌2] Quare et eius medietas scilicet ZG data fiet. add. W Quoniam autem in triangulo ADG rectangulo per 30 tertii a recto angulo descendit perpendicularis DZ ad basim, igitur per octavam sexti DG est media proportionalis inter AG et GZ. Quare per 16 sexti quod fit ex AG in GZ equale est quadrato DG. Sed AG et GZ sunt date, ideoque DG data fiet, que querebatur. Hac itaque doctrina plurimorum arcuum cordas reperies, ut ex superiori nota est corda arcus 12 graduum, ita nota fiet corda arcus sex graduum. Hinc corda arcus trium graduum. Hinc corda arcus gradus unius unius] gradus add. but then del. et semis. Hinc corda arcus semis et quarte.

⟨I.11⟩ 11. Datis cordis duorum arcuum in semicirculo cognoscetur et corda arcus ex his compositi.

] point A has been cut off Sint in circulo ABD, cuius centrum Z et diameter AZD, duorum arcuum AB et BG notorum due corde AB et BG date. Dico arcus tocius AG cordam notam fieri. Ductis enim lineis AG, BD, GD, item diametro BZE et GE et DE, per corolarium septime huius, ex AB scietur BD et ex BG scietur GE. Quadrilateri igitur BGDE diametri BD et GE date sunt et duo latera BG et DE data. Est enim per 15 primi et ultimam sexti et 25 tertii et 28 tertii AB equalis DE, et latus eciam BE cognitum quia diameter circuli. Igitur per octavam huius quartum latus scilicet DG notum fiet. Hinc ex corolario septime huius AG cognoscetur, quod est propositum. Ex his itaque premissis patefacte sunt corde omnium arcuum in semicirculo per unum gradum et semis crescentium.

⟨I.12⟩ 12. Arcuum inequalium in semicirculo maioris ad minorem est proportio maior quam corde maioris ad cordam minoris.

Sit in semicirculo arcus BG maior arcu AB. Corda maioris sit BG. Minoris sit AB. Dico proportionem arcus BG ad arcum AB esse maiorem proportione corde BG ad cordam AB. Dividam enim angulum ABG per equalia linea BD per nonam primi, et protraham AG secantem BD in E, item AD et DG. Per 25 et 28 tercii fiet AD equalis DG. Quoniam autem per terciam sexti proportio BG corde ad AB cordam est sicut GE ad EA, et GB est maior AB, ergo GE est maior EA. Punctus itaque Z dividens AG per equalia erit in EG, et ducta DZ erit per 8 primi uterque angulus ad Z rectus. Ideo in triangulo EZD per 18 et 32 primi latus DE est maius latere DZ, et per easdem in triangulo AED latus DA longius est latere DE. Quare si statuamus D centrum circuli cuius circumferentia vadat per E, necesse est ut ea periferia abscindat DA transiens infra A et non attingat DZ transiens supra Z. Abscindat itaque DA in H et DZ continuata occurrat periferie in T. Quia ergo sector EDT est maior triangulo EDZ, erit per 8 quinti sectoris EDT ad sectorem EDH proportio maior proportione trianguli EDZ ad sectorem EDH, sed et per eandem trianguli EDZ ad sectorem EDH proportio est maior proportione trianguli EDZ ad triangulum EDA. Igitur a fortiori proportio sectoris EDT ad sectorem EDH est maior proportione trianguli EZD ad triangulum EDA. Sed proportio sectoris ad sectorem in eodem circulo per demonstrata Archimedis de area circuli est sicut arcus unius ad arcum alterius. Arcus autem ad arcum per ultimam sexti sicut angulus unius qui est super centro ad angulum alterius. Item proportio trianguli EDZ ad triangulum EDA per primam sexti est ut ZE ad AE. Quare proportio anguli EDZ ad angulum EDA est maior proportione ZE ad EA. Ergo coniunctim per tertiam additarum quinti anguli ZDA ad angulum EDA proportio est maior proportione ZA ad AE. Sed GA ad ZA est dupla sic eciam angulus GDA ad angulum ZDA est duplus. Igitur anguli GDA ad angulum ADE proportio est maior proportione GA ad AE. Quare et disiunctim per quartam additarum quinti anguli GDE ad angulum EDA proportio maior est proportione GE ad EA. Per ultimam autem sexti anguli GDB ad angulum BDA proporcio est ut arcus BG ad arcum AB et per terciam sexti GE ad EA est ut corde BG ad cordam AB. Ideo arcus BG ad arcum AB proporcio maior est proporcione corde BG ad cordam AB, quod fuit propositum.

⟨I.13⟩ 13. Arcus unius gradus cordam cordam] i. m. absque sensibili errore patefacere.

Sit arcus AB medius gradus et quarta unius. Corda eius AB erit per premissa iuxta Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei inventionem 47 minuta 8 secunda. Item sit arcus AG gradus unus. Corda eius queritur. Per precedentem apertum est quod maior est proporcio arcus AG ad arcum AB quam proporcio corde AG ad cordam AB. Sed arcus AG continet arcum AB et eius terciam. Igitur corda AG continet cordam AB et minus eius tercia. Tercia autem corde AB est 15 minuta, 42 secunda, et due tercie unius secundi, que addita ad 47 minuta 8 secunda faciunt unum gradum, 2 minuta, 50 secunda, et duas tercias unius secundi. Id igitur necessario maius est corda unius gradus. Item sit arcus AB unus gradus et arcus AG gradus et semis. Ex prioribus Ptolomeus Ptolomeus] corr. in Ptolemeus invenit cordam AG esse 1 gradum, 34 minuta, et 15 secunda. Queritur ex hac corda AB. Per premissam maior est proportio arcus AG ad arcum AB quam proporcio corde AG ad cordam AB, sed arcus AG continet iam arcum AB et eius medietatem. Igitur corda AG continet iam cordam AB et minus medietate sua. Si itaque terciam AG, que est BG, dempsero ab AG, remanet AB. Ideo eciam si terciam corde AG, scilicet 31 minuta 25 secunda, dempsero a tota AG, que est 1 gradus, 34 minuta, 15 secunda, remanet 1 gradus, 2 minuta, 50 secunda, quod necessario oportet minus esse corda arcus unius gradus. Erit itaque corda arcus unius gradus plus 1 gradu, 2 minutis, 50 secundis et minus 1 gradu, 2 minutis, 50 secundis, et duabus terciis unius secundi. Conveniens igitur fuit ut corda arcus unius gradus poneretur 1 partis, 2 minutorum, et 50 secundorum, et nullus ex hoc in calculationibus astronomicis sensibilis error sequeretur sequeretur] corr. in sequetur propter parvam et insensibilem differentiam quantitatum inter quas eam iam constare conclusum fuit. Ex corda arcus unius gradus iuxta doctrinam decime huius constabit corda arcus dimidii gradus. Hinc iuxta premissarum doctrinas perficies cordas omnium arcuum augmentatorum per gradum dimidium.

⟨I.14⟩ 14. Si a terminis duarum linearum ab angulo aliquo descendentium due linee sese secantes super descendentes descendentes] ad partem suam add. but then del. mutuo reflexe fuerint, erit linee descendentis ad partem suam superiorem proportio ex duabus proporcionibus, quarum una est a termino huius descendentis reflexe ad partem eius supra sectionem, alia est partis infra sectionem alterius reflexe ad totam eandem reflexam, composita.

Ut ab angulo A descendant due linee AB AG. A terminis earum B et G reflectantur due mutuo super descendentes, que sint BE GD secantes se in Z. Dico quod proportio GA ad AE est composita ex duabus, scilicet proporcione GD ad DZ et proporcione ZB ad BE. Ducatur enim per 31 primi EH equedistans GD. Fiet per 29 primi angulus DGA equalis angulo HEA, et angulus GDA equalis angulo EHA, et angulus A est communis utrique triangulo. Ideo per quartam sexti proportio GA ad AE erit sicut GD ad EH. Inter GD et EH ponamus DZ mediam. Fiet GD ad EH composita ex duabus, scilicet GD ad DZ et DZ ad EH. Sed per 29 primi et 4 sexti DZ ad HE est sicut ZB ad BE. Igitur GD ad EH composita est ex duabus, scilicet GD ad DZ et ZB ad BE. Quare et GA ad AE proporcio composita est ex duabus, scilicet GD ad DZ et ZB ad BE, quod fuit intentum.

⟨I.15⟩ 15. Item proportio partium linee descendentis inferioris ad superiorem componetur ex duabus, quarum una est proportio partium a termino huius descendentis reflexe inferioris ad superiorem, alia est proportio partis inferioris alterius descendentis ad totam eandem descendentem.

Ut sint descendentes sicut antea et reflexe. Dico quod proportio GE ad EA est composita ex duabus, scilicet proportione GZ ad ZD et proportione DB ad BA. Ducatur enim per 31 primi AH equedistans EB, cui GD continuata occurrat in H. Fient ut prius trianguli AHD et BZD equianguli. Trianguli autem GAH duo latera secat EZ tertio equedistans. Ergo per 2 sexti GE ad EA est est] ut add. W GZ ad ZH. Sed inter GZ et ZH ponamus DZ mediam. Fiet igitur proportio GZ ad ZH composita ex duabus scilicet GZ ad ZD et ZD ad ZH. ZD autem ad ZH per quartam sexti coniunctam et conversam proportionalitates est ut DB ad BA. Quare proporcio GZ ad ZH composita composita] est add. W ex duabus, scilicet GZ ad ZD et DB ad BA. Liquet igitur proporcionem GE ad EA componi ex duabus, scilicet GZ ad ZD et DB ad BA, quod est intentum.

⟨I.16⟩ 16. Duobus arcubus continuis in semicirculo sumptis semidiameter ad terminum communem eorum ducta cordam arcus compositi ex eis secundum proporcionem corde arcus dupli unius ad cordam arcus dupli alterius secabit.

In semicirculo sint duo arcus AB et BG, quorum aggregati cordam AG secet semidiameter DB in puncto E. Dico proportionem AE ad EG esse sicut proporcionem corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG. Sint enim super DB perpendiculares AZ et GH. Per quartam sexti fiet AE ad EG proporcio sicut AZ ad GH. Sed per terciam tertii AZ est medietas corde arcus dupli AB et GH medietas corde arcus dupli BG. Quare per 15 quinti AE ad EG proporcio est sicut proporcio corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG, quod fuit ostendendum.

⟨I.17⟩ 17. Si arcus cognitus in semicirculo in duos dividatur proportioque corde dupli unius ad cordam dupli alterius data sit, uterque eorum in quos dividitur cognitus erit.

Quia totus ABG arcus cognitus est, ergo sua corda AG ex tabula cordarum data erit. Et quia proporcio corde arcus dupli AB ad cordam arcus dupli BG data est, sed ea per premissam est sicut AE ad EG, quare proportio AE ad EG data. Et cum tota AG data sit, per coniunctam proporcionalitatem et 15 sexti quelibet duarum AE et EG patefiet. Ducatur autem a centro D perpendicularis ad AG que sit DZ. Per tertiam tertii AZ erit equalis ZG. Ideo EZ, excessus medietatis AG super AE, nota nota] corr. in notus erit. Sed angulus ADZ suscipit medietatem arcus AG ideo notus. Et cum angulus Z in triangulo ADZ sit rectus, per 32 primi notus fiet angulus DAZ. DAZ] quia angulus DAZ cum angulo ADZ faciunt unum rectum add. W Ergo triangulus ADZ, cum sit orthogonius et notorum angulorum, fiet per tabulam cordarum notorum laterum. Vel per penultimam primi ex AZ et AD cognoscetur ZD. Item per eandem penultimam primi ex EZ et ZD notis nota fiet ED. Trianguli itaque EDZ orthogonii notorum laterum in partibus quibus AD est 60. Per 15 sexti nota fient latera in partibus quibus DE est 120. Hinc per tabulas cordarum noti fient eius anguli prout tres anguli trianguli orthogonii correspondent toti circulo sibi circumscripto, id est prout rectus est 180 gradus, ergo et noti fient eius anguli cum rectus angulus est 90. Sic notus erit angulus ZDE. Sed prius notus fuit ADZ. Ergo notus erit angulus ADE, cuius quantitas est arcus AB, qui querebatur.

⟨I.18⟩ 18. Si linea preter centrum ab uno termino arcus semicirculo minoris arcum secans educatur donec diametro per reliquum eiusdem arcus terminum educte concurrat, proportio linee preter centrum transeuntis ad partem eius extrinsecam circulo fiet sicut proporcio corde arcus dupli tocius ad cordam dupli partis eius quam extracte linee includunt.

Sit circulus ABG super centro D, in quo per terminum arcus AG exeat diameter LDA in E et linea alia preter centrum transiens ab alio alio] altero W termino arcus sit GBE secans arcum in B et occurrens diametro continuate in E. Dico quod proportio GE ad EB sit sicut proportio corde arcus dupli AG ad cordam arcus dupli AB. A punctis B et G descendant perpendiculares BZ et GH super LE. Ideo per 28 primi trianguli GHE et BZE fient equianguli, quare per 4 sexti GE ad EB sicut GH ad BZ. Sed per tertiam tercii et ultimam sexti GH est medietas corde dupli arcus AG et BZ medietas corde dupli arcus AB. Quare per 15 quinti proportio GE ad EB est sicut proportio corde dupli arcus AG ad cordam dupli arcus AB, quod est propositum.

⟨I.19⟩ 19. Data parte una arcus lineis eductis ut iam dictum est divisi notaque proportione corde dupli arcus tocius ad cordam dupli partis eius quam linee educte includunt, cognoscetur et arcus lineis inclusus.

Sit portio portio] corr. ex proportio GB una arcus AG nota, et proportio corde dupli AG ad cordam dupli AB data. Dico arcum AB notum fieri. Ducatur enim a centro D perpendicularis ad BG, que sit DZ. Fiet per terciam tercii BZ equalis ZG. Ideo cum tota BG sit data quod eius arcus sit notus, erit BZ nota. Et per ultimam sexti angulus BDZ suscipit medietatem arcus BG, ergo notus. Sed BD nota quia semidiameter. Ergo per penultimam primi DZ nota fiet. Item quia proportio corde dupli AG ad cordam dupli AB data est, sed per precedentem ea est sicut GE ad EB, et cum GB sit nota, per disiunctam proporcionalitatem et 15 sexti nota erit EB. Ergo tota EZ nota. Ex EZ autem et DZ notis per penultimam primi cognoscetur ED. Trianguli itaque EDZ orthogonii notorum laterum via que in antepremissa dicta est noti fient omnes anguli. Sic angulus ADZ notus est, a quo dempto angulo BDZ iam noto relinquetur angulus ADB, cuius quantitas est arcus AB, qui querebatur.

⟨I.20⟩ 20. Si in superficie sphere fuerint quatuor arcus circulorum maiorum quorum neuter sit semicirculo maior, duo quidem ab angulo uno descendentes, duo vero reliqui a terminis priorum alternatim reflexi sese secantes, proportio corde dupli partis inferioris unius descendentium ad cordam dupli partis eius superioris fiet composita ex duabus quarum una est proportio corde dupli partis inferioris reflexe a termino illius descendentis ad cordam dupli partis eius superioris, altera est proportio corde dupli partis inferioris alterius descendentis ad cordam dupli totius huius descendentis.

Sint in superficie sphere quatuor arcus circulorum magnorum et quilibet eorum sit semicirculo minor. Duo quidem descendentes ab angulo A sint AB et AG. Duo vero a terminis illorum reflexi super se sint BE et GD sese secantes in Z. Dico quod proporcio corde dupli arcus GE ad cordam dupli arcus EA est composita ex duabus proporcionibus quarum una est corde dupli arcus GZ ad cordam dupli arcus ZD, altera est proportio corde dupli arcus DB ad cordam dupli arcus BA. Ponamus enim centrum sphere H, a quo ad puncta B, Z, E ducantur semidiametri HB, HZ, HE, et corda AD continuata quantumlibet occurrat semidiametro HB continuate similiter in puncto T. Item corde GA et GD secent semidiametros HE et HZ in punctis L et K. Necesse est tria puncta L, K, T esse in una linea recta. Nam sunt in superficie circuli BZE. Sunt eciam in superficie trianguli ADG. Igitur neccessarium est ut sint in sectione harum superficierum communi, quam per terciam undecimi constat esse lineam rectam. A terminis itaque duarum linearum AT et AG, reflectuntur due alie TL GD secantes se super K. Ergo per 15 huius proporcio GL ad LA componitur ex duabus, scilicet proporcione GK ad KD et proporcione DT ad TA. Proporcio autem GL ad LA per 16 huius est sicut proporcio corde dupli GE ad cordam dupli EA. Et GK ad KD proporcio per eandem est sicut corde dupli GZ ad cordam dupli ZD. Item per 18 huius et conversam proporcionalitatem proporcionalitatem] proporcio add. W DT ad TA est sicut corde dupli DB ad cordam dupli BA. Quare oportet ut proporcio corde dupli GE ad cordam dupli EA sit composita ex duabus, scilicet proporcione corde dupli GZ ad cordam dupli ZD, item proporcione corde dupli DB ad cordam dupli BA, quod fuit probandum.

⟨I.21⟩ 21. Item proportio corde dupli unius arcuum descendentium ad cordam dupli partis eius superioris componetur ex duabus quarum una est proportio corde dupli arcus reflexi conterminalis huius descendentis ad cordam dupli partis eius superioris, altera est proportio corde dupli partis inferioris alterius reflexi ad cordam dupli totius huius reflexi.

Sint arcus ut in figura precedentis. Dico quod proportio corde dupli arcus GA ad cordam dupli AE est composita ex duabus, scilicet proportione corde dupli arcus GD ad cordam dupli DZ et proporcione corde dupli ZB ad cordam dupli BE. Sit enim H centrum sphere, a quo ducte semidiametri HA, HD, HB conveniant cum cordis continuatis GE, GZ, EZ in punctis L, K, T. Constabit hec tria in una linea recta fore quod sint in duabus superficiebus planis, scilicet circuli BDA et trianguli ZEG, quas constat per 3 undecimi sese secare in linea recta. Habes itaque quod a terminis duarum linearum LT et LG reflectantur due alie TE et GK secantes sese in Z. Igitur per 14 huius GL ad LE proportio componitur ex duabus, scilicet GK ad KZ et GT GT] ZT W ad TE. Sed per 18 huius patet has proporciones esse sicut corde dupli GA ad cordam dupli AE, item corde dupli GD ad cordam dupli DZ et corde dupli ZB ad cordam dupli BE. Constat igitur propositum.

⟨I.22⟩ 22. Distanciam duorum tropicorum instrumenti artificio deprehendere.

Dispones quartam circuli partem super linea meridiei et superficie plana orizontis orthogonalem, que sit AB super centro C ita ut CA sit in superficie orizontis atque circuli meridiani, BC vero sit pars axis transeuntis per cenith nostrum et nadir eius. Huic adaptabis regulam CD, que volvatur super C centro habentem duas pinnulas cum foraminibus a linea recta CD equaliter remotis. Observabisque circa solsticium hiemale in meridie radio Solis ambo foramina penetrante, quam minimam altitudinem meridianam Solis eo tempore inveneris in partibus 90 arcus AB. Sitque illa arcus AE, que erit altitudo tropici hiemalis. Similiter facies circa solsticium estivale ut maximam tunc altitudinem Solis meridianam cognoscas, et sit arcus AF, que erit altitudo tropici estivalis. Arcus itaque EF fiet distancia duorum tropicorum quesita. Hanc Ptolomeus Ptolomeus] corr. in Ptolemeus reperit 47 graduum, 42 minutorum, 40 secundorum. Invenit enim proportionem eius ad totum circulum sicut 11 ad 83. Posteri vero minorem invenerunt. Nos autem invenimus arcum AF 65 graduum 6 minutorum et arcum AE 18 graduum 10 minutorum, ideoque distantia tropicorum nunc est 46 graduum 56 minutorum. Ergo declinatio Solis maxima nostro tempore est 23 graduum 28 minutorum.

⟨I.23⟩ 23. Cuiuslibet puncti ecliptice cuius distancia a sectione ecliptice et equatoris data sit declinationem patefacere. Ex hoc constat quod proporcio sinus tocius ad sinum maxime declinationis ecliptice sit sicut proportio sinus distancie puncti a sectione dicta ad sinum declinationis eiusdem puncti.

Sit circulus meridianus transiens per puncta tropica ABZGD, item medietas equatoris AEG, medietas ecliptice BED, duo puncta tropica B et D, sectio equatoris et ecliptice E. Punctus in ecliptica sit H, cuius distantia a sectione, scilicet EH, sit data. Per polum mundi, qui sit Z, et H vadat arcus circuli magni, qui sit ZHT. Querimus arcum HT, qui est declinatio puncti H. Quoniam ab angulo A descendunt duo arcus AE et AZ a quorum terminis E et Z reflectuntur duo alii EB et ZT se secantes in H, et sunt omnes arcus circulorum magnorum minores semicirculis, ideo per 21 huius proporcio corde dupli ZA ad cordam dupli AB composita est ex duabus proportionibus, scilicet corde dupli ZT ad cordam dupli TH et corde dupli HE ad cordam dupli EB. Sed prima proporcio cognita est quod arcus ZA sit quarta circuli et arcus AB sit maxima declinatio. Tercia quoque cognita est quia HE est arcus datus et EB est quarta circuli. Igitur ablata tercia a prima remanebit proportio secunda cognita. Sed ea est sicut corde arcus dupli ZT ad cordam arcus dupli TH. ZT autem est cognitus quia quarta circuli. Ideo per 15 sexti et tabulam cordarum TH cognitus erit, qui querebatur.

Regula subtractionis in proporcionibus. Regula…proporcionibus] i. m. Quando vero una proporcio ab alia fuerit subtrahenda, ut si velimus velimus] corr. ex vellimus proporcionem C ad D subtrahere a proporcione A ad B, ducimus terminum secundum auferende in primum terminum alterius, et productum statuimus terminum primum residue; et terminum primum auferende in secundum alterius, et productum facimus terminum secundum residue, ut D in A ductus faciat E, et C in B ductus producat F. Dico quod proporcio E ad F est que remanet post subtractionem proporcionis C ad D ab proporcione A ad B. Quod sic patet. Ex C in A fiat H. Quia itaque ex C in A fit H et ex C in B fit F, ergo per 15 quinti H ad F sicut A ad B. Item ex A in C fit H, et ex A in D fit E; ergo per eandem H ad E sicut C ad D. Sed H ad F est composita ex duabus, scilicet H ad E et E ad F. Quare et A ad B est ex eisdem duabus composita. Et cum H ad E sit ut C ad D, erit A ad B composita ex duabus, scilicet C ad D et E ad F. Quare ablata proporcione C ad D a proporcione A ad B, manebit proporcio E ad F, quod fuit ostendendum.

Regula additionis in proporcionibus. Regula…proporcionibus] i. m. Quando autem una fuerit alteri addenda, ducimus terminum primum unius in terminum primum alterius; productum statuimus terminum primum composite; item terminum secundum unius in terminum secundum alterius; et productum statuimus terminum secundum composite ex eis. Ut si proportio A ad B sit iungenda proportioni C ad D, duco A in C, fiat E. Item B in D fiat G. Dico E ad G esse proporcionem compositam ex duabus, scilicet proportione A ad B et proporcione C ad D. Quod sic patebit. Ex A in D fiat F, quod pono medium inter E et G. Quia itaque ex A in C D fiunt E et F, igitur per 15 quinti E ad F sicut C ad D. Item ex D in A et B fiunt F et G. Igitur per eandem F ad G sicut A ad B. Sed E ad G proporcio est composita ex duabus, scilicet E ad F et F ad G. Igitur est eciam composita ex duabus illis equalibus, scilicet A ad B et C ad D, quod erat declarandum. Hec quidem de additione et subtractione unius proporcionis ad aliam aut ab alia dicta sunt quod quod] i. m. in demonstracione huius propositionis mentio facta est de subtractione proportionum.

Probatio corolarii. Probatio corolarii] i. m. Nunc vero veniamus ad correlarium. Sinum Sinum] corr. ex sinus alicuius arcus voco dimidium corde dupli talis arcus. Quicquid igitur Ptolomeus Ptolomeus] corr. in Ptolemeus in figuris suis quas sectores vocant de proporcionibus cordarum arcuum duplorum ostendit, id eciam per 15 quinti patet verum esse de proporcionibus sinuum talium arcuum. Ideo in figura huius propositionis proportio sinus arcus ZA ad sinum arcus AB est agregata ex duabus proporcionibus, scilicet sinus arcus ZT ad sinum arcus TH et sinus arcus HE ad sinum arcus EB. Sed tres arcus ZA, ZT, EB sunt equales quia quilibet est quarta circuli magni, et cuiuslibet eorum sinus est semidiameter circuli, quam vocamus sinum totum. Erit igitur proporcio sinus totius ad sinum arcus AB, qui est sinus maxime declinacionis, composita ex duabus, scilicet proporcione sinus totius ad sinum TH et proportione sinus HE ad sinum totum. Utram harum postremarum primam feceris nihil interest. Sed due proporciones, scilicet proporcio sinus HE ad sinum totum et proporcio sinus tocius ad sinum TH simul efficiunt proporcionem sinus HE ad sinum TH quod sinus totus inter hos medius sit. Ergo proportio sinus totius ad sinum maxime declinationis est sicut proporcio sinus arcus HE ad sinum arcus TH. Tribus itaque primis notis per 15 sexti notus fiet sinus arcus TH. Hinc per tabulam sinus sinus] sinuum W arcus TH dabitur. Et ita patet veritas et usus corolarii. corolarii] corr. ex corrolarii

Regula sex quantitatum. Regula…quantitatum] i. m. Ex dictis constat cum fuerint sex quantitates et proporcio prime ad secundam sit composita ex proporcionibus tercie ad quartam et quinte ad sextam, si quinque harum quantitatum cognite sint, sint] sunt W fiet et sexta cognita, ut sit proporcio A ad B composita ex duabus, scilicet C ad D et E ad F. Sit autem unum ex his ignotum, reliqua sint nota. Dico ipsum eciam notum fieri. Nam necesse est in talibus sex quantitatibus ut multiplicatio prime in quartam ducta in sextam equalis sit multiplicationi secunde in tertiam ducte in quintam. Ex A enim in D fiat G et ex B in C fiat H. Per regulam dictam de subtractione proporcionum constat quod G ad H sit sicut E ad F. Ergo per 15 sexti ex G in F fit tantum quantum ex H in E. Si itaque F fuerit ignotum cum G ad H sit ut E ad F, G, H et E sint nota, fiet F notum. Si E esset ignotum cum H ad G sit ut F ad E, tria vero eorum prima data, dabitur et quartum. Si autem aliqua ex C et D essent essent] esset W ignota, ponerem loco illarum E terciam, F quartam, et agerem via iam dicta, et ignotum nosceretur. Si vero aliqua ex A et B esset ignota, ex C in E fiat K, ex D in F fiat L. Per regulam additionis proporcionum K ad L erit ut A ad B. Et cum K et L et altera ex A et B sint note, fiet et reliqua nota. Sic patet propositum.

⟨I.24⟩ 24. Cuiuslibet arcus ecliptice a sectione equatoris et ecliptice inchoati ascensionem in sphera recta ostendere. Hinc manifestum est quod proporcio sinus totius ad sinum complementi ascensionis recte sit sicut proporcio sinus complementi declinacionis puncti arcum ecliptice terminantis ad sinum complementi talis arcus ecliptice. Arcus inquam qui tali ascensioni recte correspondet.

Ascensio recta alicuius arcus ecliptice vocatur arcus equinoctialis qui cum tali arcu ecliptice incipit et desinit oriri in sphera recta.

Sit igitur figura superioris propositionis. In ea arcui ecliptice EH correspondet ascensio recta, que est arcus ET. Hec queritur. Quia duo arcus descendunt ab angulo AE et AZ a quibus reflectuntur duo alii EB et ZT sese secantes in H, igitur per 20 huius et 15 quinti proporcio sinus arcus ZB ad sinum arcus BA componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus ZH ad sinum HT et sinus TE ad sinum EA. Sed quinque arcus sunt noti, scilicet ZB, BA, ZH, HT, et EA. Nam ZB est complementum maxime declinationis; BA vero est maxima declinatio; ZH est complementum declinacionis puncti H; HT est declinatio H puncti; EA est quarta circuli. Igitur et horum quinque arcuum corde aut sinus noti fient per tabulas. Quare per regulam sex quantitatum sinus ET notus fiet, ergo et suus arcus, qui querebatur.

Verum hac via corrolarium non sequitur, sed ita procedet. Quia per 21 huius proporcio sinus EA ad sinum AT componitur ex duabus, scilicet proporcione sinus EB ad sinum BH et proporcione sinus HZ ad sinum ZT. Quinque vero sunt nota quia arcus EA, EB, ZT sunt quarte circulorum, BH vero complementum arcus EH dati, HZ vero complementum declinationis puncti H dati. Ergo per regulam sex quantitatum AT notus fiet, ergo residuum de quarta cognitum, quod querebatur.

Ex hac patet corrolarium quia proportio sinus totius ad sinum AT composita est ex duabus, scilicet proporcione totius sinus ad sinum BH et sinus HZ ad sinum totum. Non refert utram harum postremarum proporcionum alteri preposueris. Sequitur enim ut proporcio sinus HZ ad sinum BH sit equalis proporcioni sinus totius ad sinum AT. Sed harum quantitatum tres sunt cognite. Igitur et quarta patefiet. Patet igitur veritas corolarii corolarii] corr. ex corrolarii atque usus eius.

Finis primi.