⟨V⟩ ⟨Liber V⟩
Quintus incipit.
⟨V.1⟩ Instrumentum armillarum componere.
Due armille decentis et eiusdem magnitudinis superficierum lenium ita primum sibi invicem inserantur ut una vicem ecliptice, alia vicem coluri solsticiorum teneat. In polis ecliptice, scilicet in coluro, figantur figantur] corr. ex figurantur duo claviculi rotundi equalis magnitudinis ita quod exterius et interius promineant. His superaddemus duas alias armillas, unam quidem affixam interius ut super polis zodiaci volvatur in claviculis predictis ita ut motu facili sua exteriori superficie contingat ecliptice superficiem interiorem, aliam affixam in eisdem claviculis exterius ut super eisdem polis ecliptice motu facili in predictis claviculis volvi possit sua interiori superfitie superfitiem superfitiem] corr. ex super exteriorem ecliptice contingendo. Armilla autem que vicem ecliptice tenet divisiones habeat 360 gradus, et horum prout fieri potest subdivisiones. Similiter armilla que interius claviculis affixa est, que vicem circuli latitudinis Lune aut stellarum tenet, 360 divisiones graduum habeat. Huic interiori armille, que latitudinum est, adaptabimus aliam armillam que in ea moveri possit, et habeat ex opposito diametraliter duas pinnulas. Verum in idem redibit si centro huius interioris armille aptabis regulam regulam] corr. ex regulas cum pinnulis et linea fidutie sicut in astrolabio fit. Potest enim vicem armille supplere. Id fit propter latitudines Lune et stellarum accipiendas. Preterea in armilla que vicem coluri solstitiorum tenet, secundum quantitatem maxime declinationis summes summes] i.e. ‘sumes’ puncta a polis ecliptice, quibus axes polorum mundi infigendi sunt ut super eis totum hoc instrumentum volvi possit.
Tandem ei sedes preparanda est, que sit armilla, exterius quidem quadrata, interius vero circularis, immobilis habens sibi claviculos polorum mundi infixos ut totum instrumentum secundum motum primi mobilis in eis volvi possit, habens polos elevatos secundum regionis in qua fueris habitudinem. Et sit hec armilla vicem meridiani tenens orthogonaliter super orizontem superficiem erecta.
⟨V.2⟩ 2. Locum stelle in longitudine et latitudine huius instrumenti auxilio invenire.
Situato instrumento in regione tua ut debet quod armilla immobilis vicem meridiani tui suppleat et poli instrumenti polis mundi respondeant, dum Solem et Lunam ambos simul super terram videris et voles locum Lune in longitudine et latitudine per locum Solis cognitum cognoscere, pone armillam exteriorem volubilem in polis zodiaci super loco Solis in ecliptica cognito. Et volve eam fixam in loco suo cum toto instrumento versus Solem donec utraque armilla sese obumbret, scilicet ecliptice et exterioris transeuntis super loco Solis. Et sic situs ecliptice instrumenti situi ecliptice in celo respondebit. Fixo itaque instrumento subito armillam intrinsecam in partes divisam volve cum regula sua aut armilla in ea mobili ad Lunam donec per foramina aut acies pinnularum Lunam in celo videas, pariterque ecliptice et exterior armille sese obumbrent. Et tunc sectio armille interioris cum ecliptice armilla locum Lune in longitudine arcusque armille interioris inter eclipticam et regulam pinnularum latitudinem Lune ab ecliptica ostendunt.
Simili via per locum Lune cognitum loca aliarum stellarum in longitudine et latitudine verificabis. Adverte tamen quod in Luna hec consideratio fallere potest propter diversitatem aspectus eius, ut patebit.
⟨V.3⟩ 3. Lune diversitas secunda quibus indiciis reperta sit declarare.
Sepe instrumento armillarum locum Lune Ptolemeus verificavit et ut diversitatem aspectus excluderet cum in medio celi esset observavit. Invenitque locum eius per considerationem inventum aliquando concordem esse loco eius quem ex superioribus numeratio dedit, aliquando vero discordem, et quandoque differentia fuit parva, quandoque multa. Quanto autem consideratio fuit vicinior coniunctioni aut oppositioni tanto differentia minor; quanto vicinior quadrature tanto maior. Nullam etiam reperit dum esset in auge epicicli aut opposito augis, sed maximam differentiam comperit dum Luna ab auge epicicli per quartam in quadratura ad Solem distaret. Et tunc si diversitas fuit minuenda, invenit per considerationem locum Lune magis diminutum quam numeratio dabat; et si fuit addenda, invenit magis auctum quam numeratio exigebat. Ex his palam fuit quod Luna preter diversitatem primam haberet etiam diversitatem secundam, et quod talis maxima accidere potest in quadraturis eius ad Solem, nullam vero in coniunctionibus aut oppositionibus esse. Sic bis in mense lunari hec secunda diversitas perficitur.
⟨V.4⟩ 4. Huius secunde diversitatis causam reddere.
Quia itaque in quadraturis Lune ad Solem maxima diversitas veri motus Lune a medio maior est maxima diversitate veri motus Lune a medio maior…medio2] i. m. reperta per numerationem, necesse est ut centrum epicicli Lune in quadraturis vicinius sit centro mundi quam in coniunctione aut oppositione. Propter huius enim ad terram accessum fit ut anguli diversitatis prime maiores contingant. Oportet igitur ut centrum epicicli ad centrum terre accedat et recedat ut in mense lunari bis sit in maxima accessione bisque in maxima eius elongatione a centro mundi, in maxima quidem accessione in quadraturis ambabus, in maxima distantia in coniunctionibus et oppositionibus. Id vero fit si centrum orbis ecentrici moveatur circa centrum mundi in contrarium successionis ita ut dum centrum epicicli Lune fecerit unam revolutionem secundum successionem signorum redeundo ad lineam medii motus Solis, centrum ecentrici Lune fecerit quoque unam revolutionem contra successionem etiam redeundo ad lineam medii motus Solis. Hoc enim motu addito ad priores motus quos diximus, scilicet motus motus] we would expect ‘motum,’ but it is not in the witnesses centri epicicli in longitudinem et motum medium in latitudine atque motum in diversitate epicicli, manebunt apparentia superius dicta de diversitate prima, atque accidunt convenientia iam dictis de diversitate secunda.
Ut in figura imaginemur circulum in superfitie orbis Lune declivis, cuius centrum sit centrum mundi, qui sit ABGD super centro E et eius semidiametro AE. Sit autem propter exemplum aux ecentrici, centrum epicicli, et punctus circuli declivis maxime declinans ad septentrionem, locus Solis medius, atque principium Arietis simul super linea EL ita ut intelligamus tres lineas mobiles, scilicet EA, EB, ED, iacere super linea EL tanquam immobili. Dico quod in die una movebitur punctus circuli declivis maxime declinans dictus secundum motum nodi Capitis contra successionem tribus minutis fere, donec sit in 29 gradibus 57 minutis Piscium, qui designatur per motum linee EA separate ab EL immobili. Et centrum epicicli movebitur in eodem die secundum successionem 13 gradibus et 11 minutis Arietis, cuius motus designatur per motum linee EHB separate ab EL. Sic motus in latitudinem ea die fiet arcus BA compositus ex motu longitudinis secundum successionem et motu nodi contra 13 gradus 14 minuta. Et aux ecentrici movebitur contra successionem quantitate residui de duplo longitudinis medie inter Solem et Lunam, hoc est 11 gradibus 12 minutis, scilicet per arcum LD, ita ut totus arcus BAD sit 24 graduum et 23 minutorum quod est aggregatum ex arcu BA motu latitudinis et arcu AD motu augis ecentrici contra successionem. Et fit illud aggregatum, scilicet motus centri epicicli ab auge ecentrici, equale duplo longitudinis medie inter Solem et Lunam, ideoque duplex longitudo vocatur. Sic linea medii motus Solis semper media est inter centrum epicicli Lune et augem ecentrici dum centrum epicicli non sit in auge ecentrici.
Hinc accidit ut in quadraturis mediis linee BE et ED sint opposite ideoque Luna tunc in opposito augis ecentrici et revertetur semper ad augem ecentrici in omni coniunctione media atque oppositione. Palam itaque est ex hoc accidere apparentia que huic huic] corr. ex hinc secunde diversitati reperte conveniant. Nam cum centrum epicicli fuerit in coniunctione cum Sole aut oppositione eius, nulla fit huiusmodi diversitas secunda, sed eveniunt omnia que ad primam diversitatem secuntur. Ut sit ecentricus AH super centro suo Z et centro mundi E et epiciclus super auge ecentrici A. Fiet proporcio EA ad AM que reperta est superius per tres eclipses. Angulusque super E consistens qui epiciclum continet erit minimus omnium qui hinc sequuntur. Nam procedente centro epicicli versus oppositum augis ecentrici, continue maiorabitur maiorabitur] corr. ex morabitur ille angulus propter centri epicicli ad centrum E accessum, et ita apparebit angulus diversitatis maior proportioque linee inter centrum mundi et centrum epicicli ad semidiametrum epicicli minor donec centrum epicicli sit in longitudine propiori ecentrici, quod in quadraturis accidit. Tunc angulus dictus est omnium maximus et proporcio dicta omnium minima, ideoque tunc angulus diversitatis maximus apparebit. Hinc centro epicicli versus longitudinem longiorem ecentrici procedente, propter eius a terre centro remotionem, angulus dictus minorabitur et proporcio dicta maiorabitur donec in longitudinem longiorem ecentrici perveniat.
⟨V.5⟩ 5. Quanta sit maxima secunda diversitas patefacere.
In observatione huius rei tria necessaria sunt: scilicet ut Luna sit in quadratura media Solis, nam tunc centrum epicicli eius est in opposito augis ecentrici; et ut distet ab auge epicicli sui circiter quartam circuli quia tunc est maximus angulus diversitatis inter medium verumque locum Lune qui fieri potest; atque ut sit per quartam a a] corr. ex ab gradu ascendente vel prope quia tunc nulla fit diversitas aspectus in longitudine, que nobis impedimento esse posset. Sic enim per observationem verus locus eius deprehensus differret a medio loco eius per numerationem veram invento in maximo angulo diversitatis, qui queritur. Observavit itaque Ptolomeus Ptolomeus] corr. in Ptolemeus locum Lune in secundo annorum Antonii 25to die mensis Chamaut, qui est septimus mensis Egiptiorum, ante meridiem horis 5 et quarta unius. Fuitque Sol visus per considerationem in 18 gradibus, medietate et tertia unius Aquarii, et fuit medium celi in hora considerationis 4 gradibus Sagittarii. Lunaque visa est in 9 gradibus et duabus terciis Scorpionis, et ille fuit verus eius locus quod tunc non fuerit fuerit] fuit W ei diversitas aspectus in longitudine. Fuit autem autem] enim W tunc elongatio Lune ab orbe meridiei Alexandrie per horam unam et medietatem hore circiter.
Tempus autem a principio regni Nabonassaris usque ad hanc considerationem fuit 885 anni, 203 dies, 18 hore, medietas et quarta unius utriusque temporis. Cum quo inventus est Sol secundum cursum medium 16 gradus 27 minuta Aquarii, sed secundum verum 18 gradus 50 minuta, quod considerationi per instrumentum concordat. Inventa autem est Luna secundum medium motum in longitudine 17 gradus 20 minuta Scorpii, et elongatio eius media a Sole circiter quartam circuli, et elongacio a longitudine longiori epicicli 87 gradus 19 minuta, que maximum angulum diversitatis facere fere solet. Fuit itaque cursus Lune verus per observationem repertus minor medio per numerationem invento 7 gradibus et duabus terciis loco 5 graduum que sunt angulus diversitatis prime. Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus quoque in anno 50mo tertie revolutionis annorum Calippi 16 die mensis Athair, videlicet annis a principio Nabonassaris 619 Egiptiis, 314 diebus, 17 horis, et medietate et tertia unius de tempore differenti, sed de mediocri 17 horis, medietate et quarta. Vidit Solem per considerationem in 8 gradibus atque medietate et medietate sexte unius Leonis, et Lunam in 12 gradibus et tertia gradus Tauri absque sensibili diversitate aspectus. Distantia itaque inter Lunam et Solem fuit 86 gradus 15 minuta. Per numerationem autem Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei invenitur Sol secundum medium motum fuisse in 10 gradibus 27 minutis Leonis et secundum verum in 8 gradibus 20 minutis, Luna vero in longitudine secundum medium in 4 gradibus 25 minutis Tauri. Fuit itaque longitudo media inter Solem et Lunam circiter quartam quartam] quarta W circuli, et distantia a longitudine longiori epicicli 257 gradus 47 minuta, in qua etiam fere contingit maximus angulus diversitatis medii motus a vero. Sic distantia inter verum locum Solis et Lune locum medium est 93 gradus 55 minuta, et inter vera loca amborum est 86 gradus 15 minuta. Ergo locus Lune secundum considerationem addit loco eius medio per numerationem invento 7 gradus et duas tertias unius loco 5 graduum qui sunt angulus diversitatis prime. Quoniam igitur consideratio Ptolemei prime diversitati diminuit 2 gradus et duas tertias unius, consideratio vero Ipparchi Ipparchi] corr. in Hipparchi eidem addit addit] addidit W 2 gradus et duas tertias unius, et in pluribus aliis considerationibus similiter conditionatis idem inventum est, patet hanc esse quantitatem maximam secunde diversitatis, que fuit quesita.
⟨V.6⟩ 6. Quanta sit centri ecentrici Lune a centro terre distantia cognoscere.
Sit centrum epicicli in longitudine propiori ecentrici G, centrum ecentrici D, centrum mundi E, linea ET ET] sup. lin. contingens epiciclum HBZ. Ducta TG querimus quantitatem DE. Quia angulus TEG repertus iam fuit 7 graduum 40 minutorum et angulus T est rectus, ergo proportio TG ad GE est nota. Sed iam ex undecima quarti huius TG ad EA nota fuit, ergo GE ad EA nota erit. Invenit autem Ptolemeus GE esse 39 partes et 22 minuta quibus EA est 60, ideoque AG 99 partium et 22 minutorum fiet. Eius medietas, scilicet DA, est 49 partium et 41 minutorum. Ergo DE fuit 10 partium et 19 minutorum quibus EA est 60, quod querebatur.
⟨V.7⟩ 7. Data elongatione centri epicicli ab auge maximum angulum diversitatis veri motus a medio qui in ea contingit videre.
Sit ecentricus ABG, centrum eius D, centrum mundi E, et sit centrum epicicli super B ita ut angulus AEB sit datus. Ductis lineis ET contingente epiciclum et TB, querimus angulum TEB. Ducatur DB, item item] i. m. DP perpendicularis super EB. Quia itaque notus est angulus AEB, nota erit proportio DE ad EP et PD. Ex DB itaque et DP notis, nota fiet BP; hinc tota BE. Sic ex EB et BT notis noscetur angulus BET, qui querebatur.
⟨V.8⟩ 8. Qua re indicatum sit quod diameter epicicli Lune transiens per augem epicicli mediam et eius oppositum respiciat punctum oppositum centro ecentrici tantum a centro terre distantem quantum ab eodem centro terre centrum ecentrici distiterit. distiterit] explanare add. i. m.
Frequentavit enim Ptolemeus considerationes suas per instrumentum in observando loca Lune in reliquis elongationibus Lune a Sole, scilicet cum centrum epicicli extra augem ecentrici et eius oppositum fuerit. Et cum centrum epicicli fuit in medietate ab auge ecentrici versus oppositum augis eius et Luna in auge epicicli, invenit locum Lune per considerationem diminutum a loco per numerationem invento, sed Luna tunc in opposito augis epicicli existente, invenit locum considerationis auctum super loco numerationis. In reliqua autem medietate ecentrici centro epicicli existente Lunaque in auge epicicli, invenit locum per considerationem maiorem loco numerationis, sed Luna tunc in opposito augis epicicli existente, invenit locum considerationis minorem loco numerationis. Maximam autem in his diversitatem reperit, Luna existente in sextilitate aut triplicitate ad Solem atque in auge epicicli aut opposito eius; sed Luna existente in transitibus mediis epicicli, scilicet ubi maximi anguli diversitatum argumenti contingunt, nullam in his varietatem reperit.
Hac igitur re significatum fuit ei quod diameter epicicli transiens per augem mediam epicicli et oppositum eius non semper recte respitiat respitiat] i.e. ‘respiciat’ centrum mundi sed punctum aliud oppositum ei. Ad probandum autem quante distantie esset ille punctus oppositus a centro terre, assumpsit duas observationes Ipparchi Ipparchi] corr. in Hipparchi ad hoc. In quarum prima fuit Luna prope sextilitatem Solis et prope oppositum augis epicicli sui, fuitque observatio in Rodo in anno a morte Alexandri 197mo undecimo die mensis Formuthe octavi Egiptiorum in principio temporalis hore secunde diei. Vidit Solem in septimo gradu, medietate et quarta Tauri, Lunam in 21mo gradu et duabus tertiis Piscium per aspectum, sed diversitate aspectus remota in 21 gradibus, tertia et octava unius gradus Piscium. Ergo distantia a vero Solis in verum locum Lune fuit 313 gradus 42 minuta fere. Principium autem hore secunde temporalis distabat a meridie 5 horis et duabus tertiis unius equalibus; ideoque a principio annorum Nabonassaris ad horam huius considerationis fuerunt 620 anni Egiptii, 219 dies, 18 hore, et tertia temporis differentis, sed mediocris 18 hore tantum. Per cuius numerationem cursus Solis medius fuit 6 gradus 41 minuta Tauri, verus 7 gradus 45 minuta, medius Lune 22 gradus 13 minuta Piscium, et elongatio eius ab auge media epicicli 185 gradus 30 minuta, distantia medii loci Lune a vero ⟨loco⟩ loco] not in witnesses Solis 314 gradus et 28 minuta.
] the figure is missing label ‘Z’ for the epicycle’s apogee Sit igitur ecentricus Lune ABG super centro D et diametro ADG, centrum orbis signorum E, epiciclus ZHT supra centrum B. Et quia distantia media Solis et Lune est 315 gradus 32 minuta, duplata facit 271 gradus 4 minuta distantia centri epicicli ab auge secundum successionem. Igitur angulus AEB fuit 88 gradus et 56 minuta. Super EB sit perpendicularis DK. Propter angulum DEK notum nota erit proportio ED ad DK et KE; ideo in partibus quibus ED est 10 partes et 19 minuta, DK et KE note fiunt. Sed in eisdem iam semidiameter ecentrici DB nota fuit quia 49 partes et 41 minuta; ideo nota erit BK, hinc BE. Et quia elongatio medii loci Lune a vero Solis fuit 314 gradus 28 minuta, sed elongatio veri loci Lune per considerationem a vero Solis fuit 313 gradus et 42 minuta, horum differentia est 46 minuta, quibus elongatio medii Lune a vero Solis maior est. Sed EB est linea medii loci Lune, ideo sit angulus BEH 46 minuta. Fiet igitur locus Lune consideratus super H iuxta oppositum augis epicicli T eo quod elongatio eius ab auge media epicicli sit 185 gradus 30 minuta. Super EH sit BL perpendicularis, ductaque BH propter angulum BEL notum nota erit proportio EB ad BL. Sed iam nota fuit proportio EB ad semidiametrum epicicli dum semidiameter est 5 partes 15 minuta. Nota fiet igitur proportio HB ad BL, ideo angulus BHL notus. Quare et reliquus intrinsecus scilicet EBH datus, cuius quantitas est arcus TH, qui repertus fuit 6 gradus 21 minuta, scilicet distantia Lune ab opposito augis vere epicicli. Sed quia distantia eius ab auge media epicicli fuit 185 gradus et 30 minuta, oportet igitur ut Luna sit ultra oppositum augis medie 5 gradibus 30 minutis. Sit itaque oppositum augis medie epicicli punctus M, et super BMN ductam sit perpendicularis ES. Erit itaque angulus EBS 11 gradus 51 minuta, ideo proporcio BE ad ES nota. Et ex angulo AEB extrinseco notus fiet reliquus intrinsecus ENB, ex quo nota fiet proportio NE ad ES. Quare BE ad EN proportio dabitur. Reperta igitur est EN partium 10 et 18 minutorum quibus EA est 60, et in eisdem DE fuit 10 partes et 19 minuta. Quare constat punctum quod respicit ipsa diameter epicicli transiens per augem mediam et oppositum eius tantum distare a centro terre quantum centrum ecentrici ab eodem distat.
Secunda consideratio Ipparchi Ipparchi] corr. in Hipparchi fuit eodem anno, scilicet 197mo a morte Alexandri, in Rodo die 17mo mensis Teguz decimi Egiptiorum, 9 horis et tertia diei transactis. Viditque Solem in undecimo Cancri gradu minus decima unius, Lunam in 29 gradibus Leonis sine diversitate aspectus; ergo distantia visi loci Lune a vero Solis fuit 48 gradus et 6 minuta. Novem autem hore temporales et tertia unius tunc fuerunt post meridiem 4 horis equalibus. Intervallum igitur a principio Nabonassaris fuit 620 anni Egiptii, 286 dies, et 4 hore temporis differentis, sed mediocris hore tres et due tertie unius. Per hoc Solis cursus medius numeratus est 12 gradus 5 minuta Cancri, verus 10 gradus 40 minuta, locus Lune medius 27 gradus 20 minuta Leonis. Distantia itaque medii Lune a vero Solis fuit 46 gradus 40 minuta, et longitudo Lune ab auge media epicicli 333 gradus 12 minuta. Describantur ergo secundum hec ecentricus Lune ABG super centro D et diametro ADG, in quo centrum terre sit E, et epiciclus ZHT super centro B. Ductis lineis DB et ETBZ. ETBZ] corr. ex BZ Longitudo vero medii Lune a medio Solis duplicata fecit 90 gradus 30 minuta, tantus erit angulus AEB. Ducaturque DK perpendicularis super BE. Angulus residuus de duobus rectis, scilicet DEK, notus erit. Ex hoc proportiones ED ad lineas DK et KE note fient. Ergo in partibus quibus DE est 10 et 19 minuta, note fient ipse linee, et in eis DB semidiameter ecentrici iam fuit 49 partes et 41 minuta. Ex his nota fiet BE. Et quia distantia veri loci Lune a vero Solis per considerationem iam fuit 48 gradus et 6 minuta, sed distantia medii loci Lune a vero Solis per numerationem fuit 46 partes 40 minuta, ergo verus motus maior est medio in 1 gradu et 26 minutis. Sed linea EB est medii motus, ideo sit angulus BEH 1 gradus 26 minuta. Erit H prope augem epicicli locus Lune in epiciclo. Ductis itaque BH et linea BL perpendiculari super EH, nota erit proportio EB ad BL. Sed et nota fuit EB ad BH, quare BH ad BL proportio nota, ideo angulus BHL notus. Sed extrinsecus ZBH equalis est duobus BHL et BEL, ideo notus. Ideo arcus ZH, scilicet distantia Lune ab auge vera epicicli, nota et fuit 14 gradus 43 minuta. Sed distantia Lune ab auge epicicli media fuit contra motum in epiciclo 26 gradus 48 minuta, scilicet residuum ultra 333 gradus et 12 minuta. Sit itaque aux M epicicli media. Fiet MZ, scilicet distantia augis medie a vera, 12 gradus quinta quinta] 5 W minuta. Ducta autem ES perpendiculari super MBN, ex angulo EBS noto nota fiet proportio BE ad ES. Item ex angulo EBS et extrinseco AEB notus erit alter intrinsecus ENS. Quare NE ad ES proportio nota fiet, igitur et BE ad EN proportio data. Et ita reperta est EN 10 partium et 20 minutorum qualium EA est 60. Qua re iterum ostensum est quod centrum mundi mediet per equedistantiam inter centrum ecentrici et punctum oppositum quod diameter epicicli transiens per longitudinem longiorem et propiorem epicicli respicit.
⟨V.9⟩ 9. Data elongatione centri epicicli ab auge ecentrici, quantus sit arcus epicicli inter utramque eius augem comperire.
Sit in figura precedenti angulus AEB datus. Querimus ex hoc arcum epicicli MZ. Ductis DK et NS perpendicularibus super EB, propter datum angulum erit angulus DEK notus. Ideo proportio DE ad EK et KD nota. Sic ex BD et DK nota erit BK, a qua ablata KS, que est dupla KE, nota erit BS. Sed SN equalis est DK. Ideo ex BS et SN nota, fiet BN, ideoque angulus NBS notus, cui opponitur arcus MZ quesitus. Hac via facta est equatio centri in Luna; per cuius additionem ad argumentum medium dum centrum epicicli fuerit in medietate ecentrici ABG, aut eius subtractionem ab eadem in altera medietate, consurgit distantia Lune ab auge vera epicicli, que vocatur argumentum verum.
⟨V.10⟩ 10. Datis mediis motibus Lune in longitudine et diversitate et distantia media eius a Sole, verum locum eius demonstrare.
Sit in figura locus linee EB datus; distantiaque media Lune a Sole duplicata sit angulus AEB datus; item arcus epicicli MH datus. Ex his querimus locum quem ostendit linea EH. Per premissam nota erit linea EB in partibus quibus BH data est; item arcus MZ, quare arcus ZH cognitus erit. Ideo proportio BH ad HL data, similiter BH ad LB. Quare nota fiet EL, ex qua et LH cognoscetur EH; hinc angulus HEL. Ergo locus quem ostendit EH dabitur. Ex hac trahitur quomodo facte sunt equationes argumentorum verorum ad augem ecentrici atque oppositum eius tantum EA et EG sumendo loco EB, quomodoque fieri possint ad quemlibet situm centri epicicli in ecentrico.
⟨V.11⟩ 11. Tabulas equationum Lune complere.
Ex nona huius perfectas habebis equationes centri; ex 18 quarti equationes argumenti Luna in coniunctione media vel oppositione cum Sole; ex eadem equationes argumenti Lune centro epicicli existente in opposito augis ecentrici, nisi quod iam proportio linee a centro terre ad centrum epicicli ad lineam que est semidiameter epicicli sit ut 60 ad 8; hinc diversitas diametri circuli brevis nota. Restat itaque tantum minuta proporcionalia facere, que sic fiunt. Invenias per 7 huius maximam equationem argumenti per singulos gradus centri seu duplicis distantie ad semicirculum. Et differentiam horum horum] corr. in harum que contingunt in auge et opposito augis ecentrici constitue 60 minuta, et secundum proportionem hanc efficies reliquas differentias, scilicet earum que contingunt in auge ecentrici et aliis locis, minuta. Et factum est. Ut in exemplo, sit distantia duplex 120 gradus. Reperietur EB 43 partes 43 minuta secundum quantitatem qua semidiameter ecentrici est 49 partes et 41 minuta; ideo angulus BEM maxime diversitatis tunc 6 gradus 54 minuta. Sed diversitas maxima in auge ecentrici fuit 5 gradus minutum 1 et in opposito augis fuit 7 gradus 40 minuta. Differentia ergo eius que in auge fit et que in opposito augis est 2 gradus 39 minuta, sed differentia eius que in auge et que in distantia ab auge 120 gradus est 1 gradus 53 minuta. Quando itaque duo gradus 39 minuta fiunt 60 minuta, tunc unus gradus 53 minuta fiunt 42 minuta et 36 secunda.
⟨V.12⟩ 12. Aequationem argumenti dati hora vere applicationis luminarium parum differre ab aequatione eiusdem hora medie applicationis.
Possibile enim est ut distantia vere coniunctionis aut oppositionis a media sit hore 14 fere, quod accidit cum in hora medie applicationis utrumque luminarium habeat maximam diversitatem veri motus sui a medio et diversitas unius sit addenda et alterius diminuta ita ut distantia inter medii loci inter…loci] corr. in inter media loca V2; intermedia loci V1 amborum fiat 7 gradus 24 minuta, scilicet aggregatum ex maxima diversitate Solis et maxima diversitate Lune. Et in tali vera applicatione oportet distantiam centri epicicli Lune ab auge ecentrici esse 14 graduum 48 minutorum. Propter hoc erit differentia inter equationes eiusdem argumenti que fiunt in hoc situ centri epicicli et in auge ecentrici. Talis autem differentia maxima est, Luna existente in longitudinibus mediis epicicli, scilicet in linea contingente epiciclum. Hec tamen differentia duo minuta non transcendit. Sit enim angulus AEB 14 gradus 48 minuta, et B centrum epicicli. Contingens epiciclum sit ET. Erit BT ducta perpendicularis super ET, sitque DM perpendicularis super EB. Ex angulo DEM dato nota erit proportio DE ad EM et MD. Et ex BD et DM nota fiet BM, hinc tota BE. Et ex EB et BT notus erit angulus BET, quem Ptolemeus invenit 5 gradus et 3 minuta. Sed existente centro epicicli in auge ecentrici, repertus est 5 gradus, 1 minutum. Est igitur horum differentia 2 minuta tantum, quod est propositum.
Preterea cum Luna in coniunctione vera aut oppositione fuerit in auge epicicli aut opposito augis medie, possibile est quod distantia medii Solis a medio Lune sit fere maxima diversitas Solis que est 2 gradus 23 minuta. Distabit ergo tunc centrum epicicli ab auge ecentrici 4 gradibus 46 minutis fere. Sit itaque Luna super L oppositum augis epicicli medie. Ductis LN et ZS perpendicularibus super EB, ut antea ex angulo DEM nota fiet BE, et DM et ME sunt equales ZS et SE. Ergo ex BS et SZ nota fiet BZ, ideo angulus ZBS notus. Sed BZ ad ZS sicut BL ad LN; item BZ ad BL sicut BS ad BN. Ideo LN et BN note erunt in partibus quibus BE nota fuit. Ex LN et NE nota fuit fuit2] corr. in fiet EL, ideoque angulus LEN, qui repertus est a Ptolemeo minuta 4. Erit igitur tunc in applicatione vera distantia veri loci Lune a medio 4 minutorum, que in applicatione media nulla fuisset. Huiusmodi autem differentiam Ptolemeus nihilifecit, non quia difficilis esset in his veritatis inventio, sed quia parum sensibilis erroris ea neglecta inducere potest. Nam ad maximum hec quatuor minuta neglecta ad octavam unius hore transire possunt, sed sepe huiusmodi in eclipsibus error deprehenditur, qui evenit tum propter diversitatem aspectus Lune in observationibus obmissam, tum propter eius motus variabilitatem et per instrumenta non satis certe certe] corr. ex cert†…† verificatam.
] instead of line ZRT, the figure should have line ERT, as in W’s figure Advertendum tamen si semper argumento medio usus fueris in applicationibus pro equato, possibile est ut aliquando maiorem errorem incidas, velut si in applicatione vera equatio Lune esset 3 gradus minuenda a medio Lune et Solis esset 2 gradus addenda medio eius. In tali distantia centri epicicli ab auge ecentrici foret foret] fieret W 10 gradus. Ex angulo itaque AEB 10 graduum invenires arcum KH gradum unum et semis fere sive faceres opus per lineas sive per tabulas. Et ex angulo BER trium graduum invenires arcum KT 40 graduum fere. Ideoque arcus HT argumenti medii fieret 38 gradus et semis fere, cum quo tanquam argumento equato si queres equationem, invenires 2 gradus 54 minuta loco trium graduum. Iam fieret error in minutis 6, que quasi quintam unius hore faciunt.
⟨V.13⟩ 13. Regulas Ptolemei fabricare.
Tres regulas planas superficierum paralellogramarum longitudinis 4 cubitorum grossitudinis sufficientis ut sine tortura manere possint invenias. In dimidio latitudinis cuiuscumque cuiuscumque] misspelled cuiuscumsque recta linea ducatur, quas quidem lineas presentes in margine signent AB, AD, CDE. Earum fortior AB atque grossior basi FG equedistanti orizonti infigatur perpendiculariter ita ut in foramine B circumvolvi possit. In alia vero, que sit AD, due pinne contineantur cum foraminibus more regule in astrolabio. Sint vero AB et AD coniuncte sibi in A ita ut AD volvi possit super axe in A fixo per modum cruris in circino. Longitudini AD equalis sit longitudo AC. Longitudo vero regule tertie, scilicet CE, sit equalis lateri quadrati inscriptibilis circulo cuius semidiameter est AD. Sitque CE CE] iter. but then del. coniuncta regule AB in C ita ut CE volvi possit super axe in C fixo. Et sit regule CE portio CD equalis linee AC divisa in 60 partes equales, de quibus habebit tota CE 84 et 51 minuta. Regula etiam CE sit cavata usque ad lineam CE ita ut extremitas regule AD equitare possit super linea CE. Lineam autem AB orthogonalem esse super superficiem orizontis probabit perpendiculi officium. Et factum est.
⟨V.14⟩ 14. Latitudinem Lune maximam elicere.
Ptolemeus in Alexandria, cuius latitudo ab equinoctiali dicitur 30 graduum et 58 minutorum, observavit Lunam cum regulis dum esset in principio Cancri in extremo sue latitudinis versus septentrionem. Invenitque distantiam Lune a polo orizontis 2 graduum et octave unius per observationem cum regulis. Nam elevavit regulam DA cum pinnulis donec vidit per foramen pinnularum Lunam, et fini D adhibuit lineam CE. Et per cordam CD reperit arcum 2 graduum et octave unius. Et quia tam parvam distantiam habuit a cenith et fuit polus ecliptice tunc in superficie meridiei, qui erat circulus altitudinis, si qua fuit diversitas aspectus Lune in circulo altitudinis, ipsa fuit insensibilis. Ideoque si 2 gradus et octavam octavam] this should be nominative, but it is accusative in the witnesses a 30 ⟨gradibus⟩ et 58 minutis demuntur, remanent 28 gradus 51 minuta et medium, que excedunt maximam declinationem, scilicet 23 gradus 51 minuta et tertiam unius, in 5 gradibus fere. Quare conclusit latitudinem Lune maximam esse gradus 5. Cognita maxima latitudine Lune, per eam fiunt latitudines eius alie ad quamcumque distantiam eius a nodo datam per viam qua in primo huius confecte sunt tabule declinationis ecliptice.
⟨V.15⟩ 15. Diversitatem aspectus Lune in circulo altitudinis concludere.
Consideravit Ptolemeus in 20mo annorum Adriani, die 13mo mensis Athuz, qui est tercius Egiptiorum, 5 horis, medietate et tertia hore equalis a media die. Visa tunc fuit per instrumentum regularum Luna distare a polo orizontis gradibus 50 et minutis 55. Fuit autem consideratio a principio annorum Nabonassaris 882 annis Egiptiis, 72 diebus, 5 horis, medietate et tertia unius hore temporis differentis, sed equalis 5 horis et tertia unius. Cum hoc tempore verificavit loca luminarium, invenitque Solem medio motu in 7 gradibus 31 minutis Libre; vero autem motu in 5 gradibus 24 minutis Libre; Lunam secundum medium 25 gradus 43 minuta Sagitarii; mediam elongationem Lune a Sole 78 gradus 13 minuta; argumentum medium 262 gradus 20 minuta; argumentum latitudinis medium a puncto septentrionali maxime latitudinis 354 gradus et 40 minuta; equacio Lune addenda 7 gradus 26 minuta. Ideo verus Lune secundum numerationem fuit 3 gradus 9 minuta Capricorni, et argumentum verum latitudinis 2 gradus 6 minuta; ideo latitudo vera septentrionalis ⟨fuit⟩ 4 gradus 59 minuta. Declinatio autem veri loci Lune fuit 23 gradus 49 minuta, et latitudo regionis 30 gradus 58 minuta. Fuit igitur vera elongatio Lune a polo orizontis 49 gradus 48 minuta, sed visa ut dictum est fuit 50 gradus 55 minuta. Igitur diversitas aspectus in circulo altitudinis fuit 1 gradus et 7 minuta.
⟨V.16⟩ 16. Quanta sit distantia centri Lune a centro terre in partibus quibus semidiameter terre est una in hora dicte observationis pandere.
Sit in figura circulus terram designans AB super centro K, et super eodem centro circulus transiens per Lunam et polum orizontis sit GD. Item circulus altitudinis respectu cuius corpus terre est punctus sit ET, sitque D centrum Lune. Et linea KAGE procedat a centro terre per locum aspitientum A et G et E in axe orizontis. Ductisque ADT et KDH erit H locus verus Lune, T autem visus, HT vero diversitas aspectus, EH longitudo vera Lune a cenith, et ET longitudo eius visa per instrumentum. Ex arcubus EH et ET datis querimus proportionem linee DK ad lineam AK. Fiat AZ equedistans KH linee, et AL perpendicularis super KB. Quia AK est insensibilis quantitatis respectu EK ex posito, ideo necesse est ut ZH sit insensibilis quantitatis respectu circuli ET. Igitur ZT arcus insensibiliter differt ab HT arcu, et simili ratione ⟨angulus⟩ ZAT insensibiliter differt a quantitate anguli constituti in centro K quem subtendit arcus ZT. Ex premissa autem ZT fuit 1 gradus 7 minuta dum arcus EH fuit 49 gradus 48 minuta. Ideo angulus ZAT tunc fuit gradus 1 et 7 minuta, cui est equalis angulus ADL. Ergo proportio DA ad AL et etiam DA ad LD data. Sed DL insensibiliter brevior est DA, ideo nihil erroris sequitur si DL eiusdem quantitatis cum DA ponas. Angulus autem AKL est 49 gradus 48 minuta. Ideo nota erit proportio KA ad AL et ad LK. Quare AL et LK note erunt prout AK est pars una. In eisdem quoque LD nota fiet. Tota itaque DK fuit 39 partes 45 minuta qualium AK est una, quod erat ostendendum.
Facilius sic. Quia angulus EAT per observationem est notus, insensibiliter enim differt ab angulo EKT si produceretur KT, et angulus AKD notus per numerationem, igitur trigonus ADK erit notorum angulorum. Quare proportio laterum est nota, que que] sup. lin. querebatur.
⟨V.17⟩ 17. Proportiones semidiametrorum ecentrici et epicicli Lune atque ecentricitatis ad semidiametrum terre ex dicta observatione inferre.
Sint in hora dicte observationis ecentricus ABG super diametro AG eunte per centrum ecentrici D, centrum mundi E, et punctum oppositum Z; item epiciclus HL super centro B ita ut angulus AEB sit duplum longitudinis medie inter Solem et Lunam, scilicet 156 gradus 26 minuta. Et locus Lune in epiciclo sit L. Ductis lineis ut in figura vides, oppositum augis epicicli medie sit K, vere sit T. Ideo cum in observatione dicta argumentum medium Lune fuerit 262 gradus 20 minuta, fiet arcus KL 82 gradus 20 minuta. Cum igitur angulus AEB sit notus, nota erit proporcio ED ad DM et ME. Sed iam nota fuit BD ad DE proportio, ideo proportio BD ad DM et ME nota. Ex duabus autem BD et DM nota fiet BM; hinc ex BN et NZ nota fiet BZ, ergo angulus ZBN notus, et est arcus TK, quem reperit Ptolemeus 7 gradus 40 minuta. Sed iam fuit KL 82 gradus 20 minuta, ideoque fuit TL arcus 90 graduum, sic angulus EBL rectus. rectus] corr. ex et sic de aliis V2; et sic de aliis W Linea vero BD fuit 49 partes 41 minuta dum BL erat 5 partes et 15 minuta. Et in eisdem fuit EB 40 partes 4 minuta. Sic ex EB et BL invenit EL 40 partium 25 minutorum. Sed iam ostensum in premissa quod EL fuit 39 partium 45 minutorum qualium semidiameter terre est una. Igitur ex dicta linearum proportione fiet DB talium 48 partium et 51 minutorum, BL talium 5 partium 10 minutorum, DE talium 10 partium 9 minutorum, que querebantur. Ideoque EA talium est 59 partium fere, et EG talium 38 partium 43 minutorum.
Ex his modo facile cognoscentur distantie Lune a centro terre in partibus quibus semidiameter terre est pars una in horis applicationum Solis et Lune, similiter in quadraturis eorum. Suadeo tamen in hoc opere ut lineas iam dictas, scilicet AE, ED, DB, BL, in his numeris teneas, scilicet AE 60,000, ED 10,317, DB vel DA 49,683, BL 5250, et in his agas propter vitare fractionum multitudinem, donec in illis quantitatibus reperias EL. Manebitque quadratum DA semper idem, scilicet 2,468,400,489. Inventa EL in eisdem invenies etiam EL in partibus quibus EA est 59, et factum erit.
⟨V.18⟩ 18. Quantitates diametrorum Solis et Lune visualium et etiam umbre in loco transitus Lune maxime remoto declarare.
Quia neque per instrumenta aquarum aquarum] corr. ex aliquarum nec per elevationes circuli equinoctialis illud satis precise reperiri potest, elegit ad hoc duas eclipses lunares, quarum prima fuit in 127mo annorum Nabonassaris 27mo die mensis Athuz Egiptiorum. Fuitque tempus a principio annorum Nabonassaris 126 anni, 86 dies, 17 hore temporis differentis, sed equalis 16 hore, medietas et quarta unius; locus Lune medius 25 gradibus 22 minutis Libre; verus 27 gradibus 5 minutis Libre; argumentum Lune 340 gradus 5 minuta; et longitudo Lune ab uno nodorum 9 gradus, tertia unius, igitur latitudo Lune septentrionalis fuit 48 minuta et medietas unius. Et fuit eclipsatum de diametro Lune quarta fere a parte meridiei. Secunda fuit annis Nabonassaris 224, diebus 196, horis 10, et sexta unius temporis differentis, sed equalis horis 9 et medietate et tertia, Sole in 18 gradibus 12 minutis Cancri; Luna secundum medium in 20 gradibus 20 minutis Capricorni, sed secundum verum in 18 gradibus 12 minutis. Argumentum Lune 28 gradus 54 minuta; longitudo Lune a nodo 7 partes et 4 quinte unius, ideoque latitudo Lune meridionalis 40 minuta et due tertie unius. Et fuit eclipsatum de diametro medietas a parte septentrionis.
Ponamus itaque in figura circulum umbre in loco transitus Lune, eo quod in ambabus eclipsibus fuerit fere eiusdem distantie a centro mundi, circulum AFBE super centro C, et vicem ecliptice teneat ACB. In prima eclipsi Luna sit super D centro, in secunda super E. Fietque FG quarta diametri Lune, EK medietas eius. Fiet igitur CD 48 minuta et medietas unius, et CE 40 minuta et due tertie unius. Sed CE est equalis CF, igitur FD erit 7 minuta et quinque sexte unius. Sed FD est quarta diametri Lune. Fiet Fiet] corr. ex fi†a†t igitur tota diameter Lune visualis 31 minuta et tertia unius, et semidiameter umbre, scilicet CE 40 minuta et due tertie unius. Cum autem fecerimus proportionem KE ad CE, invenimus quod CE contineat KE bis et tres quintas eius. Et cum in pluribus aliis considerationibus invenerimus hanc proportionem eandem manere, conveniet ut semper secundum hanc operabimur. Diametrum autem Solis visualem dicit Ptolemeus per regulas suas invenisse equalem diametro Lune visuali iam reperta, videlicet dum Luna fuerit in maxima a terra longitudine.
⟨V.19⟩ 19. Proportionem semidiametri terre ad semidiametrum corporis Lune atque semidiametrum umbre ostendere.
Sit circulus super N centro designans terram et circulus super T centro designans Lunam in maxima sua remotione a terra. Ductaque NT linea et NH contingente et TH perpendiculari ad NH, quia angulus TNH ex premissa cognitus est quia 15 minuta et 2/3 unius, ergo proportio NT ad TH data. Sed NT est 64 partes 10 minuta talium qualium MN semidiameter terre est una, ut patuit ex antepremissa. Ergo TH nota fiet in eisdem. Sic ex proportione HT ad TZ cognita quoque fiet TZ semidiameter umbre in eisdem partibus. Invenit itaque TH esse 17 minuta 33 secunda et TZ 45 minuta 38 secunda.
⟨V.20⟩ 20. Solis diametrum et centri eius a centro terre distantiam atque longitudinem axis umbre terre in partibus quibus semidiameter terre est pars una manifestare.
Compertum dixit Ptolemeus quod Luna in maxima sua remotione totum Solem tegat sine mora, que res fuit signum eius ut tunc semidiameter Solis eidem angulo subtenderetur apud visum cui semidiameter Lune subtenditur. Sit itaque circulus ABG super centro D representans Solem et circulus EH super T representans Lunam in maxima sua remotione et circulus KLM representans terram super centro N. Et sint N, T, D in linea recta. Linee contingentes Solem et terram sint AK et GM concurrentes in cono umbre S. Axis umbre fiet NS. Corde arcuum incluse a contactibus in Sole quidem sit ADG, in terra KNM, item in Luna sit ETH dum NE et NH continuate contingunt Solem quoque. Constat autem propter longitudines Solis et Lune a terra quod tales corde insensibiliter differunt a diametris suorum circulorum. Item sit NF equalis NT et QFC diameter umbre in loco transitus Lune maxime remoto. Propositum est invenire proportionem DG ad NM, item DN ad NM et NS ad NM. Procedat EH ad Z. Quia dictum est quod angulus TNH sit notus, ergo per premissam proportio NT et TH ad NM est nota. Et inventa fuit TH 17 minuta 33 secunda qualium NM est pars una. Sed proportio TH ad FC fuit sicut unius ad duo et tres quintas, ideo FC nota; et fuit 45 minuta 38 secunda in eisdem. Sed propterea quod NT equalis est NF, fient due linee linee] misspelled line FC et TZ simul sumpte equales duplo NM, quod facile pateret ducta per M equedistante et equali TF. Ergo FC et TZ simul sunt due partes; quare ablatis FC et TH manebit HZ 56 minuta 49 secunda. Sed proporcio NM ad HZ est sicut NG ad GH, et NG ad GH est sicut ND ad DT. Quare NM ad HZ sicut ND ad DT. Ideo si linea ND fuerit una pars, erit DT 56 minuta 49 secunda et TN residua 3 minuta 11 secunda; ergo proportio TN ad ND nota. Ideo cum NT sit 64 partium 10 minutorum talium qualium NM est una, fiet ND 1210 partium fere. Item NT ad TH sicut ND ad DG, ideo DG fiet talium quinque partium et 30 minutorum fere; hinc et nota proporcio DG ad TH. Item NM ad FC sicut NS ad SF, igitur FN ad NS nota; sic inventa est NS 268 partium talium qualium NM est una seu NF 64 et 10 minuta.
⟨V.21⟩ 21. Proportiones trium corporum Solis, terre, et Lune ad invicem assignare.
Ex premissis habes proportiones semidiametrorum suorum, igitur triplicatis proportionibus consurgent proportiones corporum. Sic cum DG sit 5 et medietas talium qualium NM est una, cubi horum sunt 166, una quarta et octava unius, item unum. Quare Sol centies sexagesies sexagesies] sexagies W sexies maior terra et insuper tres octavas eius continens. Preterea cum DG continet TH decies octies et quatuor quintas, cubus huius est 6644 et dimidium fere; ideo Sol maior est Luna sexiesmilies sexcenties quadragesies quater et insuper continens medietatem. Item NM continet TH ter et duas quintas fere. Huius cubus est 39 et quarta fere, ideo terra maior Luna trigesies novies et insuper continens quartam fere.
Hec itaque sunt proportiones proportiones] corr. ex portiones trium corporum invente a Ptolemeo. Sed ipse constituit Solis et Lune diametros secundum visum eidem angulo subtendi, Luna in sua maxima remotione a terra existente. Diametro vero Solis nullam variationem posuit propter parvam eius ecentricitatem respectu distantie eius maxime. Albategni autem eclipses a se observatas diversas reperit in quantitate et tempore ab his que ex numeratione Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei ostendebantur. Inquit enim se duas solares considerasse quarum prima fuit anno Adhilcarnaim 1202, qui est a morte Alexandri annus 1214; vera quidem coniunctio post dimidium octave diei mensis Ab in Aracta civitate per spatium hore temporalis, eclipsatumque fuit ex Sole plus duabus tertiis secundum visum. Et secundum numerationem fuit Sol motu medio in 20 gradu 54 minutis Leonis, vero in 19 gradu 14 minutis eiusdem; Luna medio motu in 17 gradu 50 minutis Leonis, vero cum loco Solis; argumentum Lune equatum 332 gradus 57 minuta; argumentum latitudinis medium 174 gradus 43 minuta, equatum 176 gradus 41 minuta. Eclipsis autem medietas, scilicet coniunctio visibilis, veram coniunctionem per octavam fere hore partem secuta est; ergo tunc argumentum latitudinis equatum 177 gradus et 11 minuta, latitudo vera 16 minuta septentrionalis, visa autem 6 minuta meridionalis. Secundum numerationem autem Ptolemei fieri fieri] corr. ex fierit debuit ut eclipsatum plus esset medietate et quarta et eclipsis medietas per unius hore spatium visam per instrumentum precederet. Secunda fuit anno dicto ante mediam diem 23 diei mensis Calbat tribus horis et duabus tertiis unius hore equalis in Antiochia, eclipsatumque fuit de Sole modico plus medietate secundum visum. In Aracta vero fuit vero fuit] corr. ex fuit vero eclipsis medietas ante meridiem tribus horis et dimidio unius equalis, eclipsatumque -- ibidem apparuit -- de Sole minus duabus tertiis eius secundum visum. Sol secundum numerationem suam fuit medio motu 7 gradus 9 minuta Aquarii, vero in 8 gradu 35 minutis; Luna medio cursu in 12 gradu 49 minutis Aquarii; argumentum equatum 126 gradus 22 minuta; argumentum latitudinis medium 173 gradus 25 minuta, equatum autem 169 gradus 41 minuta. Visibilisque coniunctio precessit veram per dimidium hore. Ideo tunc argumentum latitudinis equatum 168 gradus 45 minuta; latitudo vera 59 minuta, sed visa 10 minutorum fuit. Secundum Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei vero numerationem Sol totus eclipsari debuit, et eclipsis medium post visam a nobis duabus horis fere contingere.
Consideravit etiam duas eclipses lunares. Prima fuit anno a morte Alexandri 1206to die 23 mensis Kemir, cuius medium fuit in Aracta post meridiem horis 8 et modicum plus ex horis equalibus, et eclipsatum de diametro Lune modico plus medietate et tertia. Sol per numerationem fuit medio motu in 5 gradu 21 minutis Leonis, vero in 4 gradu 2 minutis; medius Lune in 8 gradu et 45 minutis Aquarii; argumentum medium 93 gradus, equatum autem 94 gradus 10 minuta; argumentum latitudinis medium 190 gradus 49 minuta, equatum vero 186 gradus 51 minuta; latitudo Lune meridiana 32 minuta fere. Sed secundum Ptolemei numerationem eclipsari debuit medietas, tertia, et octava pars diametri, et medium eclipsis tempus visum precedere debuit per dimidium et quartam hore equalis. Secunda fuit anno 1224to a morte Alexandri post meridiem secundi diei mensis Ab horis 15 et tertia unius fere in Anthiochia, sed in Aracta horis 15 et tertia ac quarta fere, eclipsatumque fuit modico minus diametro Lune. Secundum numerationem Sol fuit medio motu motu] in add. sup. lin. 16 gradu 10 minutis Leonis, vero cursu autem in 14 gradu 36 minutis; medius Lune in 19 gradu 24 minutis Aquarii; argumentum equatum 91 gradus 5 minuta; argumentum latitudinis equatum 185 gradus 21 minuta; latitudo Lune 28 minuta. Secundum computationem autem Ptolemei eclipsatum esse debuit medietas et tertia tantum, et tempus medii eclipsi eclipsi] eclipsis W fere per dimidiam et tertiam hore unius precessisse debuit.
Dicitque in pluribus aliis eclipsibus lunaribus et solaribus dissonantiam invenisse a numeratis secundum tabulas Ptolomei. Ptolomei] corr. in Ptolemei Duas tamen iam expositas sufficere voluit ad inquirendam diversitatis causam quod in utraque earum Sol fuerit prope augem ecentrici sui et Luna in longitudine media epicicli sui et fere eadem latitudo Lune fuerit in utraque in eandem partem. Differentia tamen latitudinum erat 3 minuta 50 secunda, sed differentia partium eclipsatarum fuit diametri octava et medietas octave unius quarte. Invenit itaque diametrum Lune esse tunc 33 minutorum minutorum] misspelled mitorum 20 secundorum et semidiametrum umbre 43 minuta 30 secunda fere. Consideravit autem proportionem veri motus Lune in hora tunc ad quantitatem diametri Lune visualis iam invente, et secundum eandem proportionem ex motu Lune vero in hora, Luna in auge epicicli in applicationibus existente, invenit diametrum Lune in auge epicicli 29 minutorum et dimidii. Similiter secundum eandem proportionem ex motu Lune vero in hora in opposito augis epicicli, invenit diametrum Lune 35 minutorum et unius fere. fere] tercie W Existimavit enim proportionem motus Lune diversi in hora ad diametrum visualem esse veluti 6 ad 6 minus octava unius, hoc est 48 ad 47. Secundum hanc ubique posuit ex motu diverso in hora diametrum Lune. Proportionem vero semidiametri Lune ad semidiametrum umbre quam Ptolemeus posuit servavit, scilicet 5 ad 13, hoc est unius ad 2 et tres quintas; sic semidiametrum umbre in loco transitus Lune longiori minorem reperit ea quam Ptolemeus posuit in duobus minutis ⟨fere⟩ et tertia unius.
Diametri quoque Solis variationem ponit. Nam in longitudine longiori dicit esse 31 minutorum et tertie, veluti Ptolemeus. Ideo infert totum Solem a Luna non posse obscurari, utroque in sua longitudine longiori existente. Consideravit etiam proportionem veri motus Solis in hora dum in longitudine longiori fuerit ad hanc suam diametrum, et secundum eam reperit diametrum Solis in locis aliis ex vero motu eius in hora, tenens quod motus Solis in hora se habeat ad diametrum Solis sicut 5 ad 66, hoc est sicut unius ad 13 et quintam. Quare Solis diameter in longitudine propiori fit 33 minutorum et duarum tertiarum unius. Sic Solis diameter inter suas longitudines longiorem et propiorem diversificatur duobus minutis et tertia unius.
Denique umbre diametrum propter Solis accessum et recessum variari contingit. Nam in loco transitus Lune remotissimo, Sole in auge ecentrici existente, reperit esse 1 gradum 17 minuta; sed Sole in auge Luna in longitudine propiori, 1 gradum 32 minuta. Convenit etiam ut diameter umbre Sole in longitudine propiori existente minor sit diametro umbre Sole in longitudine longiori existente minuto uno et 40 secundis.
Ex his igitur Albategni distantiam centri Solis a centro terre et longitudinem axis umbre alias invenit. Nam secundum predicta cum Sol et Luna in maxima eorum remotione fuerint, diameter Lune minor est diametro Solis secundum visum in uno minuto et 50 secundis. Variatio vero diametri Lune ab auge epicicli ad oppositum eius est 5 minuta 50 secunda. Accepit igitur de 10 partibus et tertia unius quibus distantia Lune a terra variatur ab auge epicicli ad oppositum partem proporcionalem secundum proportionem 5 minutorum et 50 secundorum ad 1 minutum 50 secunda, que fuit tres partes et quarta unius. Quibus ablatis a 64 partibus 10 minutis, scilicet maxima Lune distantia, relinquuntur relinquuntur] mispelled reliquuntur 60 partes 55 minuta. Hec erit distantia Lune a terra cum eius diameter visualis est 31 minutorum et tertie, et tunc semidiameter umbre iuxta portionem portionem] proportionem W assignatam fiet 40 minuta 40 secunda. Ex his secundum viam premisse reperta est ND, scilicet distantia Solis in auge sua, 1146 partes quibus semidiameter terre est una, et NS, scilicet longitudo axis umbre tunc, 254 partes de eisdem. Item ex proportione semidiametri ecentrici Solis ad distantiam centrorum ecentrici Solis et terre, reperit quod ecentricitas Solis 38 partes contineat quibus semidiameter terre est una. Ideoque fiet distantia Solis minima 1070 partes et media 1108 talium et quod Luna totum Solem occultat cum distantia inter ambo eorum centra, scilicet linea TD, 1085 vicibus semidiametrum terre continet. Et his proportionibus quantitatum diametrorum atque distantiarum in eclipsibus solaribus visa respondent, ut dixit Albategni, quo argumento concludit certas esse dictas proportiones.
⟨V.22⟩ 22. Semidiametros Solis, Lune, et umbre visuales via geometrica perquirere.
Presupponende sunt quantitates distantiarum Solis et Lune et semidiametrorum que contingunt in maximis eorum distantiis. Primo itaque de semidiametro Solis, sit igitur distantia Solis maxima ND, ⟨semidyameter Solis DG ducta GN. Sintque maxima distancia ND,⟩ ut Albategni ponit, 1146 partes quibus semidiameter terre est una et angulus DNG 15 minuta 40 secunda. Et quia angulus G est rectus, nota est igitur proportio ND ad DG, et fiet ut DG sit 5 partes 13 minuta quibus ND est 1146 seu quibus semidiameter terre est una. Sit postea Sol vicinior. Volumus reperire quantitatem semidiametri eius visualis. Id fiet postquam cognoveris distantiam eius a terra in partibus quibus semidiameter terre est una. Ideo sit ecentricus ABG super centro E, et centrum terre sit Z, angulus AEB datus. Fiet ZE 38 partes quibus semidiameter terre est una, et in eisdem est AE sive BE 1108. Fiet igitur ex proportione EZ ad ZK et KE nota ZB in partibus quibus semidiameter terre est una, scilicet distantia Solis a terra que querebatur. Sit itaque in figura priori talis distantia NU et super U semidiameter Solis UX equalis linee DG et tracta XN ita ut angulus UXN sit rectus. Nota igitur erit proportio NU ad UX quod NU sit distantia Solis iam data et UX sit 5 partes 13 minuta; quare angulus UNX notus, scilicet quem subtendit semidiameter ⟨Solis⟩ visualis, quod est propositum.
Nunc de semidiametro umbre in loco transitus Lune, sit N ut antea centrum terre. Semidiameter vero terre sit NM et semidiameter Solis DG. GM continuata concurrat axi umbre in S. Fietque conus umbre S ita tamen ut anguli DGM et NMS sint recti sicut fit in contactu laterum umbre. Item NF ⟨sit⟩ distantia Lune a terra ex prioribus nota, in cuius transitu sit semidiameter umbre FC orthogonalis super NS. Ducta linea NC querimus quantitatem anguli CNF, quem semidiameter umbre in loco transitus Lune subtendit, ex ND distantia Solis data et NF distantia Lune. Fiat enim ML equedistans ND. Erit DL equalis NM, ideo LG erit partes 4 minuta 13 quibus semidiameter terre est una. Sed GL ad LM sicut MN ad NS. Quare NS axis umbre cognitus fiet, ideoque FS nota. Item ex MN et NS nota fiet SM, verum propter insensibilem errorem poteris NS uti pro SM. Sed SM ad MN sicut SF ad FC, ideo FC nota. Similiter propter insensibilem errorem poteris NF sumere loco NC, hinc ex NC et CF reperire quantitatem anguli CNF, qui querebatur. Sic in maximis distantiis Sole et Luna existentibus, fiet semidiameter umbre in loco transitus Lune 40 minuta 54 secunda et axis umbre 271 partes 47 minuta quibus semidiameter terre est una. Sole vero in auge ecentrici et Luna in opposito augis epicicli in applicatione cum Sole, fiet semidiameter umbre 51 minuta 12 secunda. Sole in auge et Luna in longitudine media epicicli in applicatione tamen cum Sole, fit semidiameter umbre 45 minuta 37 secunda. Item Sole in opposito augis ecentrici et Luna in auge epicicli in applicatione tamen cum Sole, fit semidiameter umbre 40 minuta 2 secunda. Igitur variatio umbre propter descensum Solis ab auge ad oppositum augis ecentrici -- umbre inquam in loco transitus Lune in auge ecentrici et opposito augis epicicli existente -- est 52 secunda. Sed Sole in opposito augis ecentrici et Luna in opposito augis epicicli, semidiameter umbre est 50 minuta 18 secunda. Fit ergo propter descensum Solis ab auge ad oppositum eius variatio umbre in loco transitus Lune existentis in minima distantia eclipsali 54 secunda.
Pro semidiametris Lune fiat opus sicut factum est pro semidiametro Solis. Supposita enim semidiametro visibli eius in maxima distantia 14 minutorum 45 secundorum, fiat fiat] fiet W in prima figura huius angulus DNG tantus; ergo proportio ND ad DG nota sic. Dum ND est 64 partes 10 minuta, erit DG 16 minuta 30 secunda. Et cum Luna habuerit distantiam minimam, scilicet 33 partium et dimidie, quod accidit in opposito augis ecentrici et epicicli, ex NU et UX, que est equalis DG, reperies angulum UNX esse 28 minuta 11 secunda. Sed mirum est quod in quadratura, Luna in opposito augis epicicli existente, non tanta appareat, cum tamen si integra luceret, quadruplam opporteret apparere ad magnitudinem suam qua apparet in oppositione cum fuerit in auge epicicli. Habent et alii modum alium semidiametros Lune et umbre ex eis que in auge et opposito per observationem reperte sunt inveniendi, de quo dicetur in sexta sexti.
⟨V.23⟩ 23. Ex data Solis aut Lune a centro terre distantia et elongatione eius a polo orizontis, diversitatem aspectus in circulo altitudinis investigare.
Repetatur figura 16me huius. Ex angulo GKD et distantia KD, querimus arcum HT. Nota ⟨enim⟩ erit proportio AK ad AL et LK, ideo ideo] ideoque W DL nota fiet, que si vice DA summetur, nihil sensibilis erroris fiet. Hinc ex DA et AL notus erit angulus LDA, qui est equalis angulo DAZ. Sed ipse insensibiliter differt ab angulo quem ZT subtendit in centro K. Ergo ZT arcus notus erit. Et propter insensibilem quantitatem AK respectu EK, ZT insensibiliter excedit HT, igitur HT notus, qui querebatur.
⟨V.24⟩ 24. Tabulas diversitatum aspectuum in circulo altitudinis fabricare.
Ptolomeus in constituendo tabulas huiusmodi primo supposuit Soli eandem distantiam a terra, scilicet 1210 partes quibus semidiameter terre est una. Huius quantitatis posuit DK ubique, et reperit cum angulus GKD est 90 graduum arcum HT duorum minutorum 51 secundorum. Deinde fecit pro Luna diversitates aspectus in circulo altitudinis quatuor terminorum. Primi termini sunt Luna in auge ecentrici et epicicli existente; tunc reperit maximam 53 minutorum 34 secundorum. Secundi termini sunt Luna in auge ecentrici et opposito augis epicicli existente; tunc reperit maximam 1 gradum, 3 minuta, 51 secunda. Tercii termini sunt Luna in opposito augis ecentrici et auge epicicli existente; tunc maxima fuit 1 gradus 19 minuta. Quarti termini sunt Luna in opposito augis ecentrici et epicicli existente; tuncque fuit omnium maxima 1 gradus 43 minuta. KD in primo termino fuit 64 partes 10 minuta; in secundo habet partes 53 50 minuta; in tertio 43 partes 53 minuta; in quarto 33 partes 33 minuta.
Deinde ut ex his quoque cognosci possit diversitas aspectus in circulo altitudinis Luna extra hos quatuor terminos existente, subtili processit compendio. Et primo quasi centrum epicicli Lune sit in auge ecentrici ut in figura, EZ sit 60 partes quibus EA semidiameter epicicli est 5 et 15 minuta. Sit distantia Lune ab auge epicicli, scilicet AB, 60 gradus aut alius arcus. Erit igitur proportio EB ad BH et HE nota propter angulum H rectum et arcum AB notum. Ex ZH et HB nota fiet ZB. Excessus igitur ZA super ZB est 2 partes 27 27] 30 W minuta notus. Sed tota AD est 10 partes 30 minuta. Si itaque tota AD fieret 60 minuta proportionalia, fieret hoc loco excessus ZA super ZB 14 minuta fere. Hec minuta proportionalia scribantur in directo 30 gradus quod postea cum centrum epicicli fuerit in auge ecentrici et Luna inter augem epicicli et oppositum eius, intrabimus tabulam cum argumento dimidiato, et secundum proportionem minutorum proportionalium inter primum et secundum terminum ad 60, summemus partem proportionalem de differentia diversitatum primi et secundi termini, et eam addemus diversitati aspectus termini primi. Et proveniet nobis diversitas aspectus ad locum Lune in epiciclo quesita. Similiter fient minuta proportionalia inter tertium et quartum terminum, quasi centrum epicicli E sit in opposito augis ecentrici. Et tunc ZE ad EA proportio erit ut 60 ad 8, et ita supposita supposita] supposito W AB 60 graduum fiet excessus ZA super ZB 3 partes 37 minuta. Sed AD est 16, que si fiant 60 minuta proportionalia, fiet excessus propositus 13 minuta 33 secunda, que loco suo scribantur. Et cum centrum epicicli fuerit in opposito augis ecentrici et Luna inter augem et oppositum augis epicicli, intrabimus cum argumento dimidiato, et secundum proportionem minutorum proporcionalium tercii et quarti termini ad 60, summemus partem proporcionalem de differentia diversitatum aspectuum tercii et quarti termini. Et eam addemus diversitati aspectus termini tercii, et exibit diversitas aspectus ad locum Lune in epiciclo quesita.
Sit preterea ecentricus ABG super centro E, et centrum terre sit Z. Locus centri epicicli sit B. Angulus AZB 60 gradus, qui sit dum elongatio Lune a Sole media sit 30 gradus. Fiet igitur ZA 60 et ZB 54 partes 3 minuta, ZG 39 partes 22 minuta, excessus ZA super ZG 20 partes 38 minuta, excessus ZA super ZB 5 partes 57 minuta. Si igitur 20 partes 38 minuta fiant 60 minuta proporcionalia, fiet excessus ZA super ZB 17 minuta 14 secunda, que in directo 30 graduum scribantur in tabula minutorum proportionalium. Et sic perfecta sunt triplitia minuta proportionalia post quatuorum quatuorum] quatuor W terminorum diversitates. Quotiens itaque Luna non fuerit in auge ecentrici vel epicicli, equabis primo diversitatem aspectus eius per primum et secundum modos, deinde per tertium et quartum terminum; et differentiam harum harum] corr. ex horum nota. Deinde intrabis tabulam cum elongatione media Solis et Lune, et accipies ultima minuta proportionalia, secundum quorum proportionem ad 60 accipe partem proporcionalem de differentia notata, quam adde diversitati aspectus equate ex primo et secundo termino. Et proveniet diversitas aspectus Lune in circulo altitudinis quesita ad locum Lune in ecentrico et epiciclo.
⟨V.25⟩ 25. Diversitatem aspectus Lune ad Solem in circulo altitudinis considerare.
Inquire ex premissis utriusque diversitatem aspectus seorsum. Post Solis diversitatem aspectus aufer a Lune diversitate aspectus, et manebit quesitum, veluti in figura vides. Nota, quia distantia maxima Solis secundum Ptolemeum fuit 1210 sed secundum Albategni 1146, harum differentia est 64, que sunt fere 19na pars distantie Solis secundum Ptolemeum; ideo si quis ex tabulis Ptolemei volet diversitatem aspectus Solis rectificare, addet super eam 19nam sui partem. Sic maxima diversitas aspectus Solis existente in auge ecentrici sui fieret trium minutorum. Item quia Sole existente in opposito augis ecentrici diversitas aspectus maxima est 3 minutorum 13 secundorum, ideo pro aliis locis ecentrici Solis cum argumento Solis intrandum iubet Albategni tabulam equationum Lune pro minutis proportionalibus, et secundum eorum ad 60 proportionem de illis 13 secundis accipere partem proporcionalem addendam. Verum id prope verum esset. Melius est igitur secundum antepremissam agere, et fiet opus certius.
⟨V.26⟩ 26. Diversitatem aspectus Lunae aut Solis in longitudine et in latitudine dum Luna sub via ecliptice fuerit secernere.
Sit medietas ecliptice AEG, in qua locus Lunae aut Solis sit E ita ut EA sit quarta, similiter EG quarta. Medietas integri circuli altitudinis sit BED ita quoque ut EB sit quarta et ED quarta. Circulus transiens per polos horum amborum sit ABGD, in quo polus ecliptice sit Z. Diversitas aspectus Lune aut Solis in circulo altitudinis sit EH. Per H veniat a polo ecliptice circulus magnus ZHTK. Propositum est ex arcu EH et quantitate anguli BET secernere arcum HT diversitatem aspectus in latitudine et arcum ET diversitatem aspectus eius in longitudine. Ex angulo BET noscetur residuus, scilicet AEB, cuius quantitas est arcus AB; igitur AB notus. Proportio vero sinus BA ad sinum AZ est composita ex duabus, scilicet proportione sinus BE ad sinum EH et proportione sinus HT ad sinum TZ. AZ autem, BE, et TZ sunt quarte, et BA et EH dati, igitur HT notus fiet.
Corollarium: Proportio sinus totius ad sinum anguli ex concursu circuli altitudinis et ecliptice est sicut proportio sinus diversitatis aspectus in circulo altitudinis ad sinum diversitatis aspectus in latitudine.
Constituo deinde H polum circuli magni cuius portio sit KNM. Fientque HK et HN quarte. Et propter angulos T et K rectos, KNM et TEM procedent per polos circuli ZHK; ideo polus eius est M. Et hinc KM et TM fiunt quarte. Queremus prius prius] primo W quantitatem arcus KN, qui est quantitas anguli THE, si lubet. Quia proportio sinus HT ad sinum TK componitur ex duabus, scilicet proportione sinus HE ad sinum EN et proportione sinus NM ad sinum MK. Sed HT, TK, HE, EN, et MK noti iam sunt, ergo notus erit MN. Quare et complementum eius NK cognitum fiet, quod querebatur. Nota tamen quod si angulus AEB dematur a recto, manebit angulus fere equalis angulo EHT, quem si sumpseris loco anguli EHT, nulla sensibilis diversitas in eclipsibus proveniet. Nunc queramus quantitatem arcus ET. Quia proportio sinus MK ad sinum KN componitur ex duabus, scilicet proportione sinus MT ad sinum TE et proportione sinus EH ad sinum HN.
Corolarium. Proportio sinus totius ad sinum anguli ex concursu circuli altitudinis et circuli venientis a polo ecliptice per locum visum est sicut proportio sinus diversitatis aspectus in circulo altitudinis ad sinum diversitatis aspectus in longitudine.
Sed si libeat invenire ET absque noticia anguli EHT, sed solum per arcus EH, HT iam notos, quia proportio sinus HK ad sinum KT componitur ex duabus, scilicet proportione sinus HN ad sinum NE et proportione sinus EM ad sinum MT.
Corolarium. Proportio sinus complementi diversitatis aspectus in latitudine ad sinum totum est sicut proportio sinus complementi diversitatis aspectus in circulo altitudinis ad sinum complementi diversitatis aspectus in longitudine.
Nota etiam quod angulus TEH vocatur angulus latitudinis quia ei opponatur opponatur] opponitur W diversitas aspectus in latitudine. Angulus autem EHT vocatur angulus longitudinis quia ei opponatur opponatur] opponitur W diversitas aspectus in longitudine.
⟨V.27⟩ 27. Cuius rei inquisitionem precedere oporteat cum Luna latitudinem ab ecliptica habuerit.
Sit portio ecliptice ABG portioque circuli declivis Lune AD ut A sit nodus, D vero locus Lune in circulo declivi. A puncto D sit orthogonalis super eclipticam DB. A polo orizontis E veniant portiones circulorum altitudinum EB, EDHZ, sitque DH diversitas aspectus Lune in circulo altitudinis ut locus eius visus in eodem circulo sit H. Ab H cadant due portiones HK quidem perpendicularis super AB et HT perpendicularis super DB. Sic longitudo Lune a nodo vera erit AB, visa AK; diversitas aspectus in longitudine arcus HT seu KB et in latitudine DT. Querendi igitur sunt arcus DH, HT, et TD. Nobis vero ex premissis non constat arcus ED, sed notus est arcus EB. Ideoque si volumus scire arcum DH, opus est scire prius arcum ED loco arcus EB. Item si ex arcu DH cupiamus scire arcus HT et TD, opus est scire angulum EZG, qui sine sensibili differentia equalis est angulo DHT. Hic vero ex premissis nondum notus est, sed tantum angulus EBG notus fuit. Quare ad cognitionem arcuum DH, HT, et TD, oportet precognoscere arcum ED et angulum EZG, quod est intentum.
⟨V.28⟩ 28. Quando circulus altitudinis orthogonaliter ecliptice insistat, arcum inter polum orizontis et Lunam, item angulum ex concursu huius circuli altitudinis et ecliptice ostendere.
Sit portio ecliptice ABG portioque circuli altitudinis ZDBE incidentis super eclipticam ad angulos rectos, et tunc idem fiet etiam circulus longitudinis loci Lune. Et sit D vel E locus Lune. Palam tunc est quod nulla est diversitas aspectus in longitudine propterea quod circulus altitudinis per polos zodiaci transeat. Sit autem Z polus orizontis. Quia iam notus est arcus ZB ex premissis et data latitudo Lune BD vel BE, ideoque arcus ZD aut aut] corr. in et ZE noti fient, qui queruntur. Palam etiam est quod anguli aput puncta D et E ex circulo altitudinis et circulo declivi Lune provenientes insensibiliter a rectis differunt propter modicam latitudinem in eclipsibus; ideo nihil diversitatis sequetur si pro eis recti sumentur.
⟨V.29⟩ 29. Quando circulus altitudinis cum ecliptica unus fuerit, arcus et angulos propositos determinare.
Sit ecliptice et circuli altitudinis portio una ABG, in qua polus orizontis A. Portio circuli longitudinis loci Lune orthogonaliter ecliptice insistens sit DBE. Latitudo Lune sit DB vel BE. Ductis arcubus AD et AE querimus quantitatem arcuum AD et AE et angulorum BAD et BAE. In his utitur Ptolemeus arcubus ut lineis rectis propter diversitatis parvitatem. Sic cum anguli ad B sint recti, ex arcubus AB et BD et BE datis per penultimam primi, reperit quantitatem arcuum AD et AE; hinc tanquam in triangulis orthogoniis rectilineis quantitates angulorum BAD et BAE, que querebantur.
⟨V.30⟩ 30. Cum autem circulus altitudinis super eclipticam oblique inciderit, arcus et angulos dictos verificare.
Sit enim portio ecliptice ABT, cui arcus altitudinis ZBK oblique incidat, sitque Z polus orizontis. Circulus longitudinis loci Lune sit DBE, quem oportet orthogonaliter eclipticam secare, sitque Luna in D vel E. Ductis arcubus ZGD et ZET, ex arcu ZB et angulo ZBA et latitudine Lune BD vel BE, querimus arcum ZD vel ZE et angulum ZGA vel ZTA. Ducamus DK et EL perpendiculares arcus super ZBK. Utitur iterum arcubus tanquam rectis lineis propter diversitatem insensibilem. Ex angulo ZBA dato et recto EBA, notus erit angulus EBL aut DBK; ideoque proporcio EB ad EL et LB data; similiter proportio BD ad DK et KD KD] corr. in KB data. Et cum latitudines BE BD date sint, ideo arcus DK, KB, EL, et LB dati. Itaque ex ZK et KD scietur tanquam in rectis lineis arcus ZD. Similiter ex ZL et LE scietur ZE. Quare ex proportione laterum triangulorum anguli DZK et EZL noti fient. Sed DZK est differentia qua angulus AGZ excedit angulum ABZ, et EZL est differentia qua angulus ZTB minor est angulo ABZ. Igitur anguli AGZ et ATZ noti fient, qui querebantur.
Sic Ptolemeus posito arcu ZB 45 graduum et angulo ABZ 30 graduum, item latitudinibus Lune, scilicet BE, 5 graduum, similiter BD 5 graduum, invenit angulum BZT 5 graduum graduum] grad†us† W et 4 quintas unius, et angulum BZD 5 graduum graduum1] grad†us† W et sextam unius; sic angulus ATZ 24 graduum graduum2] grad†us† W et quinta unius et angulus AGZ 35 gradus et sexta unius. Arcus autem ZE repertus est ab eo 42 partes et 54 minuta, et arcus ZD 47 gradus 54 minuta.
Item maxima differentia que esse potest in diversitate aspectus in latitudine propter Lune latitudinem, contingit Luna in 90mo gradu ab ascendente posita quia tunc nulla erit diversitas aspectus in longitudine. Et cum Luna 5 graduum habuerit habuerit] corr. ex habuerint latitudinem, maximam maximam] maxima W differentia diversitatum aspectuum que propter hoc accidere potest est 10 minutorum fere. Sed cum latitudo Lune in eclipsi solari maxima fuerit, que gradus unius et medietas fere est, maxima differentia [in] diversitatum aspectus que propterea fit est minutum unum et medietas unius, quod tamen rarissime contingit.
⟨V.31⟩ 31. Arcum inter polum orizontis et Lunam in latitudine ab ecliptica existentem certius demonstrare.
Sit meridianus ABGD, medietas ecliptice ATFG, A quidem punctus in medio celi, F punctus oriens, medietas orizontis BHKFD, polus orizontis Z, locus longitudinis Lune in ecliptica T, arcus circuli longitudinis TOLX, latitudo Lune TO, duo arcus circuli altitudinum ZTH et ZOK. Ex datis arcubus AZ, ZT, et TO, propositum est reperire arcum ZO. Nam propter punctum celum medians notum, notus erit angulus ZAT. Hinc ex arcu ZT et angulo ZAT item arcu AZ, notus erit angulus ATZ. Item sit ZL perpendicularis super TX. In triangulo ZTL angulus ZTL est complementum anguli ATZ, ideo notum. Quare ex sinu toto et sinu arcus ZT item sinu anguli ZTL, notus fiet arcus ZL. Item ex complemento ZL, sinu toto, et complemento ZT, reperies complementum TL; quare TL datus; ideoque et OL notus. Hinc in triangulo ZLO ex sinu toto et sinu complementi OL et sinu complementi ZL, notum fiet complementum ZO, quod est KO; igitur ZO notus arcus, qui querebatur. Hec omnia ex scientia triangulorum speralium.
⟨V.32⟩ 32. Diversitatem quoque aspectus in longitudine et latitudine veratius tunc discernere.
Sit medietas meridiani BAZD, in qua polus orizontis sit Z, item medietas orizontis BED, et portio ecliptice ATE, in qua locus longitudinis Lune sit T, portio circuli longitudinis ut in premissa TOLX. Sitque X polus ecliptice, latitudo Lune TO, arcus circulorum altitudinum ZT ZON. Diversitas aspectus in circulo altitudinis sit ON. Arcus a polo ecliptice veniens ad locum visum Lune N sit XIN. Item arcus NQ orthogonaliter veniat super OTQ. Propositum est ex arcu ON reperire arcus NQ et QO. Ex premissa notus fuit arcus ZL. Hinc ex angulo recto et arcubus ZO et ZL, invenies quantitatem anguli ZOL seu QON. Hinc ex sinu toto et angulo QON et arcu ON, reperies arcum NQ, quem de certo scimus insensibiliter differre ab arcu TI. Item complementum anguli QON insensibiliter quoque differt ab angulo QNO. Hinc igitur ex sinu toto et angulo QNO arcuque ON, sciemus arcum OQ. Sed latitudo Lune TO nota est; ideoque TQ notus, qui quoque insensibiliter differt ab arcu IN, qui est latitudo Lune visa. Sed dico tibi hac precisione nihil opus esse. Sed si angulum ATZ et angulum ZTL tenueris pro angulis QNZ et ZOL, nihil unquam sensibilis differentie propterea invenies. Ideo tamen hec adducta sunt ut scires viam esse qua omnia cum precisione possent inveniri.
Finis quinti.