⟨IV⟩ ⟨Liber IV⟩
Quartus incipit.
⟨IV.1⟩ Verum locum Lune in ecliptica certius per eclipses lunares quam instrumenta vel considerationes respectu stellarum fixarum aut eclipses solares deprehendi.
Patet quia semidiameter magnitudinis terre sensibilis est quantitatis respectu distantie Lune a terra, ideoque diversitas aspectus in Luna contingit que impedimento est ut verus eius locus per instrumenta vel considerationes respectu locorum stellarum fixarum aut eclipses solares certus deprehendi non semper possit. In eclipsibus vero lunaribus, lunaribus] corr. ex luminaribus cum facile per principium et finem medium eclipsis cognoscatur, in medio vero Luna sit Soli diametraliter opposita, ex loco Solis per priora cognita cognita] cognito W certus habebitur Lune locus.
⟨IV.2⟩ 2. Reditiones Lune in circulo diversitatis sue et in orbe signorum atque latitudine diversas videri.
Videmus enim eam sub una et eadem parte zodiaci nunc tarde, nunc velociter, nunc motu mediocri moveri, nec eandem semper sub eadem parte zodiaci servare latitudinem, que satis nobis significant quod reversio eius in circulo diversitatis motus equalis est alia a reversione ipsius in orbe signorum et etiam quod nodus orbis eius declivis moveatur in ecliptica; hinc et reditiones in latitudine diversas esse.
⟨IV.3⟩ 3. Qua via maiores nostri in circulo diversitatis atque in orbe signorum reditiones Lune deprehenderint. deprehenderint] recitare add. i. m.
Quia viderunt motum Lune apparentem diversum esse, nunc velocem, nunc mediocrem, nunc tardum, oportuit in circulo diversitatis sue 4 puncta esse in quorum uno contingat motus Lune velocissimus et in huius opposito tardissimus et in duobus mediis mediocris, que quidem puncta circulum in 4 portiones dividunt. In prima portione motus Lune est a motu velocissimo eius ad medium primum, et est velox diminutus. In secunda erit medius diminutus, in tertia tardus additus, in quarta mediocris additus. Aspicientes itaque quotidie ad motum Lune scire poterunt poterunt] corr. in poterant in qua portione circuli sui Luna moretur.
Elegerunt ergo duas eclipses lunares in quarum unaquaque Luna in eadem portione circuli sue diversitatis eadem motus velocitate mota esset. Unde coniecturam fecerunt Lunam in secunda eclipsi rediisse ad punctum sui circuli in quo fuit in prima eclipsi, et quod intervallum temporis inter ambas ambas] corr. ex ambos contineret integras reditiones in circulo sue diversitatis. Utque tale spatium temporis certissime verificatum haberent, consideraverunt etiam duas alias eclipses lunares in quibus Luna in portione circuli sue diversitatis priori opposita iterum equaliter mota esset. Inveneruntque intervallum harum duarum equale intervallo primarum duarum et verum motum Lune in primo intervallo equalem vero motui eius in secundo intervallo.
Hipparchus autem quantitatem huius intervalli reperit 126,007 dies et horam unam, et in hoc in hoc] corr. ex hoc in intervallo fuerunt menses lunares 4267, quod facile per numerum noviluniorum considerare potuit. Reditiones autem in circulo diversitatis fuerunt 4573, quod etiam per motus Lune conditionatos tardum, medium, velocem, et medium deprehendit. Reditiones vero in orbe signorum 4612 minus 7 gradibus et medietate fere. Tantum enim Sol minuit in 345 revolutionibus huius temporis eo quod in reditionibus istis processum est in relatione ad stellas fixas. Intervallum itaque dictum divisum per numerum mensium ostendit quantitatem unius mensis lunaris. Item quia in uno quoque mense lunari Luna circulum perficit et addit tantum quantum est motus Solis in mense lunari, hoc igitur totum divisum per spatium mensis lunaris declarabit motum Lune mediocrem in uno die. Circulus divisus per motum in die ostendit ostendit] ostendet W revolutionem motus Lune mediocris, vel ex numero reditionum in orbe signorum et per intervallum ipsum, cognosces revolutionem unam in orbe signorum et motum in uno die. Sic etiam ages de numero reditionum in circulo diversitatis multiplicando eum in circulum et productum dividendo per dies intervalli. Et exibit motus in circulo diversitatis in uno die. Item dicti numeri, scilicet 4267 mensium et 4573 reditionum diversitatis, habent se in proportione 251 ad 269. Igitur Igitur] in add. W 251 mensibus lunaribus revertitur similis diversitas motus, et in tanto tempore fiunt 269 revolutiones diversitatis.
⟨IV.4⟩ 4. Si intervallum duarum eclipsium priorum fuerit equale intervallo duarum eclipsium posteriorum, fueritque in eclipsi secunda motus Lune in eadem portione portione] corr. ex proportione circuli diversitatis et eiusdem velocitatis in qua fuit in prima, item in quarta in eadem portione et eiusdem velocitatis cuius in tertia, motusque Lune verus in primo intervallo equalis motui Lune vero in secundo intervallo, necesse erit utrumque intervallum integras reditiones Lune in circulo diversitatis sue continere.
Habeat Luna epiciclum ABGD, cuius centrum E, centrum mundi Z, aux A, oppositum G, linea per augem AEGZ, due linee contingentes ZB et ZD. Erunt duo puncta B et D transitus mediocris. Sit Luna in prima eclipsi super H, in tertia super P ita ut duo incessus eius sint diversi, ut unus sit cum augmento, alter cum diminutione. Sit tamen in secunda eclipsi motus eiusdem velocitatis cuius in prima et in portione AD, in quarta etiam eiusdem velocitatis cuius in tertia et in portione GB. Sintque intervalla equalia et veri motus Lune in utrisque intervallis equales. Dico quod in secunda eclipsi necessario redierit ad punctum H et in quarta redierit ad punctum P. Quoniam si non, sit in secunda in T et in quarta in Q. Quia igitur intervalla sunt equalia, oportet ut TH sit equalis QP et medius motus Lunae in primo intervallo equalis medio motui Lune in secundo. Et quia incessus in T et H diversi sunt ab incessibus in Q et P quod unus est cum augmento, alter cum diminutione, oportet ut motus Lune verus in primo intervallo differat a motu eius vero in secundo per quantitatem duorum angulorum equacionum diversitatum respondentium arcubus TH et QP. Huius autem contrarium fuit ypothesis.
⟨IV.5⟩ 5. In inquisitione temporis reditionum Lune in diversitate sua, cavendum est ab eclipsibus in quibus Luna est prope puncta transitus medii.
Eligibiliores eclipses in hac re sunt in quibus motus Lune verus plurimum differt a mediocri. Id vero accidit prope puncta longitudinis longioris et propioris. Minus autem accomodate sunt et fallaces in quibus Luna est prope transitus mediocres. Nam si in prima eclipsi fuerit Luna prope D, scilicet in M, propter vicinitatem horum punctorum et minimam motus apparentis varietatem, possibile est ut in secunda eclipsi sit supra D in N, in quo motus eius apparens non est sensibilis varietatis a motu eius in M. Et si in tertia eclipsi sit in K puncto prope B ita ut BK arcus sit equalis arcui DN, possibile est in quarta eclipsi ut sit in L sub B ita ut arcus BL sit equalis arcui DM. Nos itaque putabimus Lunam in secunda eclipsi rediisse rediisse] corr. ex redisse ad locum eius quo fuit in prima et in quarta rediisse ad locum eius quo fuit in tertia. Et licet ita sit ut verus motus intervalli primi sit equalis vero motui intervalli secundi propterea quod angulus diversitatis respondens arcui KL sit equalis angulo diversitatis respondenti arcui NM, et ambo anguli sunt unius generis, scilicet quo ad augmentum aut diminutionem in vero motu, et intervalla etiam temporis sint equalia propter arcus NM et LK equales, tamen in neutro intervallo facte sunt reditiones integre in diversitate. Similiter fieret si in prima eclipsi esset in puncto transitus medii primo et in quarta in puncto transitus medii altero, in secunda autem et tertia in uno duorum punctorum N et K aut L et M.
⟨IV.6⟩ 6. Reditionem Lune in latitudine deprehendere.
Consideraverunt observatores intervallum duarum eclipsium in quarum utraque pars diametri eclipsata unius quantitatis fuit et Luna in utraque in eodem puncto circuli diversitatis sue constiterit et pars eclipsata in utraque versus septentrionem aut in utraque versus meridiem aput unum et eundem nodum fuerit. Nam harum conditionum positionem sequitur ut longitudo Lune in prima harum eclipsium a nodo sit equalis longitudini eius a nodo in secunda earum et in eandem partem. Ideoque hoc intervallum continebit reditiones integras Lune in latitudine et centri orbis revolutionis eius in orbe declivi. Invenit autem Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus hoc intervallum continere 5458 menses in quibus fuerunt 5923 reditiones in latitudine. Diviso itaque intervallo temporis per numerum reditionum, proveniet tempus reditionis unius; et diviso circulo per tempus unius reditionis, proveniet motus Lune in latitudinem uno die.
⟨IV.7⟩ 7. Si motus Lune in ecentrico fuerit equalis aut similis motui Lune in epiciclo, moveaturque ecentricus ad partem successionis signorum secundum quantitatem excessus medii motus longitudinis supra medium motum diversitatis, fuerintque ecentricus et concentricus eiusdem magnitudinis et ecentricitas equalis semidiametro epicicli, quicquid diversitatis secundum unum modorum accidit continget et secundum reliquum.
Sit concentricus ABG super centro mundi D, et diametro ADK, et epiciclus EZ super centro G, sitque arcus concentrici AG medii motus longitudinis a puncto A, in quo dum centrum epicicli fuit, Luna stetit in longitudine longiore epicicli sui. Interea dum centrum epicicli peregit arcum AG, Luna in epiciclo peragat arcum EZ. Et quia arcus AG est maior portio de suo circulo quam EZ de suo, ideo sit arcus BG similis arcui EZ. Quare secundum positionem oportebit centrum ecentrici esse in linea DB ducta. Et motus ecentrici in eodem tempore fiet angulus ADB, qui est excessus anguli ADG super angulum EGZ. Sit ergo DH equalis GZ. Et ducta HZ ipsa fiet equalis linee GD per 34 primi. Super H centro fiat ecentricus eiusdem magnitudinis cum concentrico, qui sit TZ cuius longitudo longior T. Dico itaque sive ponamus Lunam in epiciclo moveri ita ut centrum epicicli secundum quantitatem medii motus in longitudine volvatur super concentrico et Luna in epiciclo secundum quantitatem motus diversitatis sive ponamus Lunam in ecentrico moveri secundum quantitatem motus diversitatis et cum hoc augem ecentrici seu ecentricum ad eandem partem secundum quantitatem excessus medii motus in longitudine super motum in diversitate, idem semper apparebit quo ad motum eius apparentem. Nam quadrilaterum GZHD semper est equedistantium laterum. Quare angulus EGZ equalis angulo GDB. Sed et GDB equalis est angulo ZHT, ideoque arcus EZ similis arcui TZ. Quare secundum utrumque modorum Luna apparebit super puncto quem indicat linea DZ.
⟨IV.8⟩ 8. Idem etiam accidere si ecentricus et concentricus inequales fuerint, proportio tamen semidiametrorum ecentrici et concentrici sit sicut proportio distantie centrorum ad semidiametrum epicicli, servata ratione motus ut antea.
] label ‘E’ is partially cut off 
] the lowest point should be labelled ‘P’ Sint in figuris diversis circulus concentricus ABG super centro mundi D et diametro ADK, sitque A punctum in quo centrum epicicli est dum Luna est in auge epicicli. Centrum epicicli distet ab A per arcum AG. Epiciclus sit super centro G. Et dum centrum epicicli peragit arcum AG, Luna peragat arcum EZ. Item in alia HTK circulus ecentricus alterius magnitudinis super centro suo L et centro mundi M et diametro TLP. Sit tamen proporcio TL ad LM sicut DG ad GZ. Dum centrum epicicli est in A, sit in figura secunda Luna super H, et in tempore quo centrum epicicli movetur per angulum ADG, motus sit ecentricus per angulum HMT, cui angulo equalis sit angulus ADB in prima figura. In eodemque tempore Luna in epiciclo descripsit angulum EGZ, cui sit equalis angulus TLK quem in eodem describit Luna mota ab auge in secunda figura. Dico quod secundum ambos modos Luna in eodem loco celi appareat. Hoc patebit si probabimus angulum ADZ equalem esse angulo HMK. Quia angulus EGZ equalis est angulo TLK, ergo residuus ZGD equalis residuo MLK. Et duo latera ZG et GD sunt proportionalia duobus lateribus ML et LK. Igitur per sextam sexti erit angulus GZD equalis angulo LMK. Sed angulus GZD equalis est angulo ZDB propter equedistantiam linearum GZ et DB, que sequitur ex ypothesi. Igitur angulus LMK equalis angulo BDZ. Sed et ADB est equalis HMT quia uterque sit excessus medii motus in longitudine super motum medium in diversitate. Quare totus ADZ equalis est toti HMK, quod est propositum.
Quoniam igitur secundum ambos modos idem contingit et, ut postea dicemus, in Luna reperta est etiam diversitas secunda que provenit ex diversa habitudine Lune ad Solem, comodius est ut hanc primam diversitatem Lune salvemus per epiciclum et ecentricum servemus diversitati secunde.
⟨IV.9⟩ 9. Proportionem semidiametri epicicli ad lineam inter centrum terre et centrum epicicli per tres eclipses notas patefacere.
Assumit Ptolemeus eclipses antiquas, quarum prima fuit in anno primo Mardochei 29 diebus transactis mensis Tus Egiptiorum, cuius mane fuit 30mus dies, Sole existente in 24 gradibus gradibus] perhaps gradu et 30 minutis Piscium ante mediam noctem in Alexandria tribus horis et tertia hore. Secunda fuit in secundo anno Mardochei transactis 18 diebus mensis Thus, cuius mane fuit 19 dies, in qua eclipsati fuerunt a parte meridiei tres digiti, in Babilonia quidem in media nocte, sed in Alexandria ante medium noctis medietate et tertia hore, quibus orbis meridiei Alexandrie precedit orbem meridiei Babilonie, Sole tunc in 13 gradu et medietate et quarta gradus Piscium existente. Tertia quoque fuit in anno secundo Mardochei transactis 9 diebus mensis Chamaut Egiptii, cuius mane fuit decimus, qua Luna eclipsata est plus medietate a parte septentrionis, ante medium noctis in Alexandria horis 4 et tertia hore, Sole tunc in tercio gradu et quarta unius signi Virginis existente. Verus itaque motus Solis in intervallo prime prime] corr. ex primo et secunde eclipsis fuit 349 gradus 15 minuta et Lune totidem post revolutiones integras, et in intervallo secunde et tertie 169 gradus 30 minuta. Intervallum vero inter primam et secundam fuit 354 dies, 2 hore, et medietas dierum differentium, sed dies mediocres addunt 15am partem hore. Intervallum inter secundam et tertiam fuit 170 dies, 20 hore, et medietas dierum differentium, sed reductum ad dies mediocres faciet 170 dies, 20 horas, et quintam hore. Motus vero equalis in diversitate in primo intervallo est per tabulas post revolutiones integras 306 partes et 25 minuta, sed motus equalis in longitudinem est 345 gradus et 51 minuta. Item in intervallo secundo motus equalis in diversitate est 150 gradus 26 minuta, in longitudine 170 partes et 7 minuta. Manifestum est igitur quod motus diversitatis in primo intervallo addit motui Lune medio in longitudine 3 gradus 24 minuta, sed motus diversitatis in secundo intervallo minuit ex medio motu in longitudine 37 minuta.
Describamus itaque epiciclum Lune ABG super centro K et sit A locus Lune in medio prime eclipsis, B locus in medio secunde, G vero tertie. Et sit motus Lune a puncto B versus A et ab A versus G prout modus epicicli postulat. Erit igitur arcus AGB 306 gradus 25 minuta addens ad motum medium in longitudine 3 gradus 24 minuta. Et arcus BAG erit 150 gradus 26 minuta minuens a medio motu in longitudine 37 minuta. Quare arcus BA 53 gradus 35 minuta necessario minuet a medio motu longitudinis 3 gradus et 24 minuta. Ideoque arcus AG 96 gradus 51 minuta addet supra motum medium in longitudine 2 gradus 47 minuta. Ex hoc necessarium est ut longitudo propior epicicli non sit in arcu BAG propterea quod est minor medietate circuli et minuit ex motu medio in longitudine. In eo enim oporteret Lunam secundum successionem signorum moveri. Fiat igitur figuratio ut his rebus sit consona. Centrum quidem D orbis signorum, linea transiens a centro mundi per centrum epicicli et suas longitudines propiorem et longiorem sit DMKL, M quidem longitudo propior, L longior. Propositum est ex his invenire proportionem linee LK ad lineam KD. Ductis lineis DEB, DA, DG, AE, AG et super AD perpendiculari EZ et super DG perpendiculari EH et super AE perpendiculari GT, quia angulus ZDE est 3 graduum 24 minutorum, ideo nota est proporcio DE ad EZ. Et angulus BEA notus propter arcum BA notum. Fiet residuus angulus intrinsecus EAD notus, ideo proporcio AE ad EZ nota. Quare proporcio DE ad AE nota fiet. Item quia angulus GDE est 37 minuta, ideo proportio DE ad EH nota. Et angulus BEG extrinsecus propter arcum BAG notus est, ideo residuus intrinsecus EGD notus. Quare proportio HE ad EG nota. Ideoque et proportio DE ad EG nota. Item quia angulus AEG notus est propter arcum AG datum, nota fiet proporcio EG ad utramque GT et TE. Ergo et proporcio DE ad lineas GT et ET, et ET] ET et W TA nota. Quare etiam proporcio eius ad lineam AG nota fiet. Est igitur triangulus AEG notorum laterum in partibus quibus DE est nota. Sed et AG est corda arcus AG noti, ideo nota fiet semidiameter epicicli in partibus quibus DE nota est. Ex semidiametro epicicli et EG in eisdem partibus quibus AE nota est notis, noscetur corda arcus EG, ideo arcus EG notus; hinc totus BAE, scilicet 159 gradus 11 minuta, notus, et sua corda BE, quam reperit minorem diametro epicicli. Ideo certus fuit quod K centrum epicicli esset extra portionem BAE. Erit itaque tota DB nota in partibus tam DE quam semidiametri epicicli. Sed quod fit ex BD in DE equale est ei quod fit ex LD in DM, cui si iunxeris quadratum KM, exibit quadratum KD. Ideo proporcio LK ad KD nota fiet, que querebatur. Invenit autem LK esse 5 partium 13 minutorum quibus KD est 60.
⟨IV.10⟩ 10. Distanciam Lunae ab auge epicicli in qualibet trium dictarum eclipsium locumque Lune secundum medium cursum elicere.
Sit, ut in figura superiori, epiciclus LBM super centro K, et linee a centro mundi ducte DMKL et DEB, B quidem locus Lune in secunda eclipsi. Sit KNS perpendicularis super EB. Et ducta BK, quia in premissa proporcio DE ad EB nota, et EN est medietas EB, etiam proporcio DE ad DK data, fuit igitur nota erit proportio DK ad DN. Quare notus erit angulus DKN, quare et residuus KDN, qui est angulus diversitatis medii loci Lune a vero in eclipsi secunda. Ideo notus erit medius locus Lune in ea. Sed angulus DKN notificat arcum MS. Ergo residuus de semicirculo, scilicet LBS, notus. Sed BS est medietas BE arcus, ergo nota. Ideoque residuus LB, scilicet distantia Lune ab auge epicicli in secunda eclipsi nota. Invenit autem 12 gradus 24 minuta, et angulum KDN 59 minuta; hinc locum Lune medium 14 gradus 44 minuta Virginis. Ex his trahes et radices alias facile.
⟨IV.11⟩ 11. Quod premisse proposuerunt per alias tres eclipses indicare.
Hee tres eclipses a Ptolemeo subtiliter in Alexandria considerate sunt. Prima fuit in 17o annorum Adriani 20 diebus mensis Tegni Egiptiorum transactis, cuius mane fuit dies 21mus, cuius tempus medium fuit ante medium noctis medietate hore et quarta. Et fuit tota Luna eclipsata, Sole in 13 gradibus et quarta unius Tauri. Secunda fuit in anno 19no eiusdem duobus diebus mensis Signach transactis, cuius mane fuit dies tertius. Medium huius eclipsis per considerationem fuit ante medium noctis hora una, et eclipsatum est in Luna a parte septentrionis medietas et tertia diametri eius, Sole in 25 gradibus 10 minutis Librae. Tertia fuit in anno 20mo annorum Adriani transacto 19no die mensis Formuthe Egiptiorum, cuius mane fuit 20mus. Et fuit medietas huius eclipsis post medium noctis 4 horis, et eclipsata fuit medietas diametri Lune a parte septentrionis, Sole in 14 gradibus 5 minutis Piscium.
Motus itaque verus Solis et Lune post integras revolutiones in primo intervallo fuit 161 gradus 55 minuta; in secundo intervallo 138 gradus 55 minuta. Intervallum primum annus Egiptius et 166 dies, 23 hore, medietas et quarta hore de tempore differenti, sed de tempore mediocri fuerunt ultra 23 horas, medietas et octava hore. Intervallum secundum annus unus, et 137 dies, 5 hore de tempore differenti, sed de tempore mediocri ultra 5 horas medietas hore. Medius autem motus in diversitate in primo intervallo secundum numerationem habetur 110 gradus 21 minuta; in secundo intervallo vero 81 gradus 36 minuta. Et medius motus Lune in longitudine in primo intervallo 169 gradus 37 minuta; in secundo autem intervallo 137 gradus 34 minuta. Manifestum est igitur quod motus diversitatis in primo intervallo minuit ex medio motu in longitudine 7 gradus 42 minuta, et motus diversitatis in secundo intervallo addit super medium cursum in longitudine gradum et 21 minuta.
Figuremus nunc circulum ABG epiciclum Lune. Locus Lune in medio prime eclipsis sit A, secunde B, tertie G. Et sit motus Lune ab A in B et a B in G prout epicicli positio postulat. Eritque arcus AB 110 gradus 21 minuta minuens ex medio motu 7 gradus 42 minuta, et arcus BG 81 gradus 36 minuta addens medio motui gradum unum et 21 minuta. Ergo arcus GA residuus de circulo, scilicet 168 gradus 3 minuta, erit addens super medium cursum in longitudine 6 gradus 21 minuta. Ideo oportet ut longitudo longior epicicli sit in arcu AB eo quod non potest esse in arcu BG nec in arcu GA propterea quod uterque eorum sit minor semicirculo et addens. Oportet enim in arcu minori semicirculo in quo est longitudo longior Lunam moveri contra successionem signorum.
Fiat igitur secundum hoc figuratio. D centro centro] corr. in centrum orbis signorum, ductis lineis DEA, DB, DG, BG, EB, EG, et EH perpendiculari super DG, EZ perpendiculari super DB, et GT perpendiculari super EB. Quia itaque in triangulo EDZ rectangulo angulus D est notus, ideoque ideoque] ideo W proportio DE ad EZ est nota. Similiter in triangulo BEZ angulus B est notus propter extrinsecum AEB et intrinsecum EDB notos; ideo proportio BE ad EZ nota. Sed iam fuit proportio DE ad EZ data. Nota fiet igitur proportio DE ad EB. Similiter in triangulo EDH rectangulo propter angulum D notum, nota fiet proporcio DE ad EH. Et in triangulo GEH notus erit angulus G propter extrinsecum AEG et intrinsecum EDG notos; ideo nota erit proportio GE ad EH. Sed iam DE ad EH nota fuit. Quare nota erit proportio DE ad EG. Item propter angulum BEG notum in triangulo EGT, nota erit proportio EG ad GT et TE. Sic utraque GT et TE nota erit in partibus quibus DE nota fuit; ideo et residua TB. Et ex GT et TB dabitur BG nota, sed ex arcu BG nota fiet corda BG respectu partium semidiametri epicicli. Ergo et eodem respectu nota fiet EG, quare arcus EG datus. Hinc totus BGE notus. Quare residuus EA notus fiet, quem invenit 95 gradus, 16 minuta, 50 secunda.
Ex quo manifestum fuit quod centrum epicicli cecidit in portione ABE. Sit itaque K centrum epicicli. Ducta linea DMKL per M longitudinem propiorem et L longitudinem longiorem, iam mediante corda EG aut BG, nota erit proportio DE ad EA. Ergo tota DEA nota erit in partibus semidiametri epicicli et etiam DE in eisdem. Sed quod fit ex AD in DE cum quadrato semidiametri epicicli est equale quadrato KD. Ergo proportio LK ad KD nota erit, quod est propositum. Sic invenit LK esse 5 partes 14 minuta dum DK est 60, quod vicinum est inventioni ex eclipsibus antiquis.
Distantiam autem Lune ab auge epicicli et radicem medii motus Lune in predictis similiter reperit in forma simili priori ducendo lineam KNS perpendicularem super DEA ductaque linea AK. Quia iam nota fuit proportio DE ad EA et EN est medietas EA, ergo nota erit proportio ND ad DK. Ergo notus erit angulus DKN et eius arcus MES. Quare totus MSA notus erit, ergo et residuus AL, qui est distantia Lune ab auge epicicli in medio prime eclipsis. Ex quo cognoscuntur et arcus LB et LG. Invenitur autem arcus AL 45 gradus 43 minuta et LB 64 gradus 38 minuta et LBG 146 gradus 14 minuta. Item ex angulo DKN noto notus fuit residuus angulus, scilicet NDK, quem invenit 3 gradus 20 minuta. Per hunc cognovit locum Lune medium 9 gradus 55 minuta Scorpii in prima eclipsi; in secunda autem 29 gradus 30 minuta Arietis; in tertia autem 17 gradus 4 minuta Virginis.
⟨IV.12⟩ 12. Quantitatem mediorum motuum Lunae in longitudine et diversitate ex eclipsibus prefatis certificare.
In secunda trium eclipsium antiquarum locus Lune medius fuit 14 gradus 44 minuta Virginis; locus medius in diversitate 12 gradus 24 minuta ab auge epicicli. In eclipsi autem secunda trium posteriorum locus Lune medius fuit 29 gradus 30 minuta Arietis, et locus medius in diversitate 64 gradus 38 minuta ab auge. Intervallum autem inter has duas eclipses continet 854 annos Egiptios, 73 dies, 23 horas, et medietatem unius hore de tempore differenti, sed de equali 23 horas et tertiam unius hore. In quo per considerationes ultra integras reditiones medius motus Lune in longitudine fuit 224 gradus 46 minuta, et medius motus in diversitate 52 gradus 14 minuta. Sed in predicto tempore secundum numerationem medius motus Lune in longitudine, fuit ultra reditiones integras 224 gradus 46 minuta, sed in diversitate 52 gradus 51 minuta. Concordat itaque motus in longitudine secundum numerationem cum motu in longitudine secundum observationem, sed in diversitate differunt in 17 minutis. Ideoque hec 17 minuta divisa per dies intervalli ostenderunt quantum motui diversitatis in uno die prius tabulato foret detrahendum ut motus diversitatis in uno die correctus habeatur.
Simili via Albategni secutus suo tempore invenit motum medium diversitatis a Ptolemeo positum maiorem esse motu medio diversitatis quem ipse per eclipses reperit, et differentiam per numerum dierum inter Ptolemeum et suam observationem intercidentium divisit. Et quod exivit abstulit a motu diversitatis in die posito a Ptolemeo. Motum vero longitudinis eundum invenit quem Ptolemeus nisi quod addidit ei quod motui Solis addiderat. Illius enim lunationis equalis tempus accepit.
⟨IV.13⟩ 13. Radices medii motus Lune in longitudine et diversitate ad principium datum ex eclipsibus firmare.
Velut Ptolemeus volens ad principium annorum Nabuchodonosor Nabuchodonosor] The name is abbreviated here and elsewhere in IV.13, IV.15, and IV.16 as ‘Nabuchor’ or ‘Nabuor,’ which cannot expanded to V2’s normal spelling as ‘Nabonassaris.’ I expand these as the name is found in V1. radices has figere, consideravit intervallum inter principium hoc et medium eclipsis secunde trium eclipsium antiquarum, videlicet que fuit in secundo anno Mardochei, 18 diebus mensis Thuz Egiptiorum transactis, ante medietatem noctis per hore medietatem et tertiam. Fuitque intervallum 27 anni Egiptii, 17 dies, 11 hore, et sexta unius hore tam de tempore differenti quam mediocri. In quo quidem tempore medius motus Lune in longitudine habetur numeratione 123 gradus 22 minuta, in diversitate 103 gradus 35 minuta, que diminuta a loco medii motus Lune in longitudine et diversitate in hora secunde eclipsis, reliquunt reliquunt] relinquunt W radices motuum mediorum Lune ad principium annorum Nabuchodonosor: in longitudine quidem 11 gradus 22 minuta Tauri, in diversitate 268 gradus 49 minuta. Ideoque longitudo inter Solem et Lunam media tunc fuit 70 gradus 37 minuta, ut ex radice medii motus Solis habetur ex 21ma tertii huius.
⟨IV.14⟩ 14. Si Luna in ecentrico positione superius dicta moveretur, proportionem semidiametri ecentrici ad distantiam centrorum ceteraque que superius expressa sunt elicere.
Positio fuit in septima huius etiam in octava expressa quod motus Lune in ecentrico esset secundum proportionem motus Lune in epiciclo, ita tamen ut aux ecentrici movetur movetur] moveretur W secundum successionem iuxta proportionem quantitatis excessus medii motus Lune in longitudine super medium motum eius in diversitate seu epiciclo. Sit nunc ea nobis positio. Volumus invenire ecentricitatem Lune per eclipses tres antiquiores de quibus in nona facta est mentio. Sit itaque ecentricus Lune BAGE super centro suo K, in quo sit centrum mundi D. Querimus distantiam KD. Locus Lune in ecentrico in prima eclipsi sit A, in secunda B, in tertia G, ductis lineis BDE, AD, GD, AG, GE, et perpendicularibus EZ super AD, EH super GD, et GT super AE. Quoniam in intervallo primo verus motus secundum longitudinem est 349 gradus 15 minuta, medius autem 345 gradus et 51 minuta, et medius in diversitate est 306 gradus 25 minuta, in secundo autem intervallo verus motus secundum longitudinem est 169 gradus 30 minuta, medius autem 170 gradus 7 minuta, et medius in diversitate 150 gradus 26 minuta, ergo motus augis ecentrici in primo intervallo fuit 39 gradus 26 minuta, scilicet excessus medii motus in longitudine super medium in diversitate, sed in secundo intervallo fuit 19 gradus 41 minuta. Ideoque motus diversus in ecentrico in primo intervallo fuit 309 gradus 49 minuta; nam motus verus Lune in longitudine secundum positionem excedit motum diversum in ecentrico tanto quanto medius motus longitudinis excedit medium motum diversitatis, ut ex figura septime huius colligitur. Et motus diversus in ecentrico in secundo intervallo fuit 149 graduum 49 minutorum simili ratione. Arcus itaque AGB est 306 gradus 25 minuta, sed arcus motus diversi sibi correspondens, scilicet QSP, concentrici super D fiet 309 gradus 49 minuta. Quare residuus de circulo 50 gradus 11 minuta, et est angulus BDA. Item arcus BAG est 150 gradus 26 minuta; sed arcus motus diversi sibi correspondens fiet 149 gradus et 49 minuta, et est angulus BDG.
Nunc processus est similis ei qui dictus est in 14 tertii huius. Ex angulo BDA nota fiet proportio DE ad EZ. Item ex arcu BA et suo angulo AEB et extrinseco BDA, nota fiet proporcio AE ad EZ. Sed iam fuit DE ad EZ nota, ideo proportio AE ad ED nota fiet. Item ex angulo BDG nota fiet proportio DE ad EH. Sed ex arcu BG suoque angulo GEB et extrinseco BDG nota erit proportio GE ad EH. Sed iam DE ad EH nota fuit, ideo proportio GE ad ED nota fiet. Quare et GE ad EA dabitur. Preterea ex arcu AG et suo angulo GEA, nota fiet proporcio EG ad GT, etiam ad TE, quare ad residuam TA. Hinc ex GT et TA nota fiet proportio EG ad GA. Sic triangulus AGE notorum laterum est respectu partium DE note. Sed et arcus AG notus quia excessus BG super BA. Ergo ex corda AG nota erit DE et AE vel GE in partibus quibus KM est sinus totus notus. Igitur arcus AGE notus, quare et BAE notus. Hinc sua corda BDE. Et cum porcio eius DE in eisdem partibus iam nota fuit, erit et residua, scilicet BD, in eisdem cognita. Sed quod fit ex ED in DB cum quadrato DK est equale quadrato KM. Ideo notum erit quadratum KD. Quare proportio DK ad KL nota fiet, que querebatur.
Quod si voles invenire arcum LB, facies illud ex trianguli BDK notis lateribus. Ducta enim KN perpendiculari super DB erit EN equalis NB, ideo DN nota. Sic ex KD et DN noscetur angulus NKD, igitur residuus ad complementum recti NDK notus, et cetera.
⟨IV.15⟩ 15. Quantitatem medii motus Lune in latitudinem rectificare.
Ad id sumende sunt eclipses lunares due sic conditionate quod quantitas eclipsata de diametro sit una et fiant fiant] corr. ex fient apud eundem nodum et ex eadem parte, scilicet septentrionis aut meridiei, et quod Luna in epiciclo sit in loco uno pene. Sic enim fiet ut distantia Lune a nodo in ambabus sit una et in intervallo integre reditiones facte sint.
Assumpsit Ptolemeus eclipses duas. Prima fuit in anno 21o annorum Darii primi, tertio die transacto mensis Toe Egiptiorum, cuius mane fuit dies quartus, ante medium noctis Alexandrie per horam et tertiam unius, eclipsatique sunt de Luna a parte meridiei duo digiti. Secunda fuit in nono annorum Adriani die 17mo mensis Machir Egiptiorum, cuius mane fuit dies 18vus, ante medium noctis Alexandrie tribus horis et tertia et quinta. Eclipsata quoque est de Luna sexta diametri a parte meridiei. Fuit autem utraque iuxta nodum Caude, et Luna iuxta longitudines medias epicicli sui in utraque, quod sciri potuit per tabulas motus in diversitate iam factas et radicem eius in principio annorum Nabuchodonosor et differentiam temporis usque ad ambas eclipses. Fuit enim prima eclipsis a principio annorum Nabuchodonosor 256 annis Egiptiis, 122 diebus, 10 horis, et due tertie hore de tempore differenti, sed de mediocri 10 hore et quarta. Secunda vero fuit a principio annorum Nabuchodonosor 871 annis Egiptiis, 256 diebus, 8 horis, et duabus quintis unius de tempore differenti, sed de mediocri 8 hore et medietas sexte unius hore. In prima itaque eclipsi distabat Luna a longitudine longiori epicicli 100 gradibus 19 minutis, in secunda 251 gradibus 56 minutis. Ideoque in prima fuit cursus verus minuens ex medio 5 gradus. In secunda fuit cursus verus addens super medium 4 gradus et 53 minuta. Quare in intervallo duarum eclipsium, scilicet in 615 annis Egipciis, 133 diebus, 21 horis et 50 minutis unius, fiet cursus Lune in latitudine verus continens integras reditiones, sed cursus medius in latitudine minuet a vero revolutionum integrarum aggregatum ex ambabus diversitatibus, scilicet 9 gradus et 53 minuta. Sed secundum numerationem quam posuit Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus in predicto intervallo, minuit cursus medius in latitudine a vero 10 gradus 2 minuta. Fit igitur cursus medius in latitudine in predicto intervallo maior in 9 minutis eo quem assignavit Ipparchus, Ipparchus] corr. in Hipparchus que divisa per dies intervalli, scilicet 224,609, fere ostendunt addendum super motu medio latitudinis in uno die posito ab Ipparcho Ipparcho] corr. in Hipparcho ut exeat cursus rectificatus.
⟨IV.16⟩ 16. Distantiam Lune a nodo secundum cursum latitudinis medium atque verum per eclipses indagare atque radicem medii motus in latitudinem ad principium datum firmare.
Assumpsit ad hoc sciendum Ptolemeus eclipses duas, unam ex eis quam diximus, secundam trium antiquarum, scilicet que fuit in secundo anno Mardochei transactis 18 diebus mensis Thuz ante medium noctis Alexandrie medietate hore et tertia, in qua eclipsati sunt tres digiti a parte meridiei. Et fuit a principio annorum Nabuchodonosor 27 annis Egiptiis, 17 diebus, 11 horis, et sexta hore de utroque tempore, et distantia Lune a longitudine longiore epicicli sui 12 gradus 24 minuta, que minuebat a cursu medio 59 minuta. Aliam assumpsit que fuit in anno 20mo annorum Darii, qui regnavit post Philippum, 28vo die mensis Tuz Egiptiorum, cuius mane fuit dies 29nus ante medium noctis Alexandrie per unam horam, in qua eclipsati sunt similiter tres digiti a parte meridiei. Et fuit a principio annorum Nabuchodonosor 245 annis, 327 diebus, 10 horis et medietate et quarta de tempore differenti, sed de mediocri 10 horis et quarta hore. Et distantia Lune a longitudine longiori epicicli sui 2 gradus 44 minuta minuens a medio motu 13 minuta. Intervallum itaque ambarum eclipsium fuit 218 anni, 309 dies, 23 hore, et duodecima unius fere, in quo tempore medius cursus latitudinis per numerationem habet ultra revolutiones integras 160 gradus 4 minuta.
Sit igitur circulus Lune declivis ABG super diametro AG, nodus nodus1] corr. ex notus Capitis A, nodus Caude G, et B sit maxima declinatio huius declivis circuli ab ecliptica. Arcus AD sit equalis arcui GE ita ut Luna in eclipsi prima sit super D, in secunda super E. Item sit DZ distantia medii loci Lune a vero in prima eclipsi, et in secunda sit EH. Fiet itaque arcus ZH 160 gradus 4 minuta. Sed ZD est minuta 59, ideo HD est 161 gradus 3 minuta. HE autem est 13 minuta. Fiet ideo DE 160 gradus 50 minuta. Igitur residuum de semicirculo fuit 19 gradus 10 minuta, cuius medietas AD aut GE fuit 9 gradus 35 minuta, cursus Lune verus in latitudine a nodo. Ergo AZ fuit 10 gradus 34 minuta, distantia Lune a nodo secundum cursum latitudinis medium in prima eclipsi. Et BGAZ fuit 280 gradus et 34 minuta, distantia distantia] corr. ex distanti†e† Lune in latitudine secundum motum equalem a puncto maxime latitudinis in partem septentrionis. Ex hoc et intervallo inter principium annorum Nabonassoris, Nabonassoris] corr. in Nabonassaris firmata est radix huius motus. Nam motus medius in latitudine in predicto intervallo, scilicet 27 annis Egiptiis, 17 diebus, 11 horis, et sexta, fuit 286 gradus 19 minuta, quem si auferimus a 280 gradibus 34 minutis, remanent 354 gradus 15 minuta, radix medii motus in latitudine computando a puncto septentrionali maxime latitudinis in principio annorum Nabonassaris.
⟨IV.17⟩ 17. Quantus sit medius motus nodi contra successionem signorum concludere.
Quia medius motus Lune in longitudine ad unam diem minor est medio motu latitudinis ad unam diem, ideo oportet ut hoc accidat propter motum nodi contra successionem signorum. Aufer itaque medium motum in longitudine unius diei a medio motu latitudinis unius diei. Remanebit medius motus capitis Draconis unius diei, qui semper est contra signorum successionem.
⟨IV.18⟩ 18. Tabulam diversitatis primae primae] corr. ex primo componere.
Hec semper sufficit pro locis Lune equandis ad horam coniunctionis aut oppositionis vere. Componitur autem eo ingenio quod habitum est in 17 et 19 tercii huius de Sole secundum viam epicicli nisi quod hic proportio DA ad AE, hoc est linee a centro terre ad centrum epicicli ad lineam que est semidiameter epicicli, tenetur que est 60 ad 5 partes et quartam.
⟨IV.19⟩ 19. Proportionem semidiametri epicicli ad lineam inter centrum terre et centrum epicicli inventam esse diversam a proportione distantie centri ecentrici a centro mundi ad semidiametrum ecentrici ex errore numerationis Ipparchi, Ipparchi] corr. in Hipparchi non ex horum modorum epicicli et ecentrici diversitate contigisse.
Idem enim secundum utramque viam accidere iam demonstratum est in octava huius. Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus autem reperit secundum viam ecentrici proporcionem semidiametri ecentrici ad distantiam centrorum proportionem 3144 ad 327 et 2/3 unius, et est velut proportio 60 ad 6 et quartam unius. Sed secundum viam epicicli dixit se invenisse proportionem linee a centro mundi ad centrum epicicli in coniunctione aut oppositione ad semidiametrum epicicli proportionem 3122 ad 347 et medietatem unius, et est velut proportio 60 ad 4 et 45 minuta. Proportio autem 60 ad 6 et quartam unius facit angulum maxime diversitatis veri motus a medio in eclipsibus 5 gradus 59 minuta, sed proportio 60 ad 4 et tres quartas facit angulum hunc 4 gradus et 34 minuta. Proportio autem quam Ptolemeus reperit, scilicet 60 ad 5 et quartam unius, facit hunc angulum 5 graduum et unius minuti. Propter variam itaque proportionem quam invenit, Ipparchus existimavit quod via epicicli aliud diverstitatis daret a diversitate quam dat via ecentrici, sed cum illud non posset esse, necesse fuit in numeratione eclipsium eum errasse.
Dicamus itaque eclipses tres quibus usus est in via prima. Prima harum fuit Lune parva parte eclipsata annis Nabonassaris 365, diebus 25, horis 18, minutis 30 temporis differentis, sed mediocris horis 18 minutis 15 in Alexandria, in qua Sol reperitur fuisse secundum numerationem in 28 gradibus 18 minutis Sagittarii, Luna vero in 28 gradibus 17 minutis Geminorum. Sed medius Lune tunc fuit in 24 gradibus 20 minutis Geminorum. Argumentum autem Lune 227 gradus 43 minuta. Secunda fuit annis 365 Nabonassoris, diebus 203, horis 8, minutis 15 de tempore differenti, sed mediocri horis 7 minutis 50. In hac Sol per numerationem reperitur fuisse in 21 gradibus 46 minutis Geminorum, Luna in 21 gradibus 46 minutis Sagittarii. Sed secundum motum medium Luna fuit in 23 gradibus 55 minutis Sagittarii; argumentum Lune 27 gradus 37 minuta. Tertia fuit universalis in annis Nabonassoris 366, diebus 15, horis 10, minutis ⟨10⟩ temporis differentis, sed mediocris horis 9 minutis 50, in qua Sol per numerationem reperitur fuisse in 17 gradibus 29 minutis Sagittarii; Luna in 17 29 Geminorum; sed secundum medium motum Luna in 22 gradibus 28 minutis Geminorum; argumentum Lune 81 gradus 12 minuta. Intervallum igitur primum fuit 177 dies, 13 hore, 35 minuta temporis mediocris, et verus ⟨motus⟩ Solis in eo 173 gradus 28 minuta. Intervallum secundum 177 dies hore 2 temporis mediocris, et verus Solis motus in eo 175 gradus 43 minuta. Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus autem dixit intervallum primum fuisse 177 dies, horas 13, et tres quartas unius, et cursum verum Solis in eo 172 gradus 53 minuta. Intervallum secundum dixit fuisse 177 dies, horam unam, et 40 minuta et cursum verum Solis in eo 175 gradus et 7 minuta. Erravit igitur in tempore intervalli in tertia unius hore fere et in cursu Solis in tribus quintis unius gradus fere.
Usus est etiam tribus eclipsibus aliis. Prima fuit annis Nabonassaris 546, diebus 345, horis 7 temporis differentis, sed mediocris horis 6 minutis 30, Sole secundum numerationem in 26 gradibus 6 minutis Virginis; et Luna in 26 gradibus 7 minutis Piscium, sed secundum medium motum Luna in 22 gradibus Piscium; argumentum Lune 13 graduum 13 minutorum. Secunda fuit universalis annis Nabonassoris 547, diebus 158, 13 horis et tertia utriusque temporis, Sole secundum numerationem in 26 gradibus 17 minutis Piscium; Luna in 26 gradibus 17 minutis Virginis, sed medius Lune in primo primo] 1 W gradu 7 minutis Libre; argumentum Lune 109 gradus 24 minuta. Tertia fuit eciam universalis annis Nabonassaris 547, diebus 334, horis 14 et quarta temporis differentis, sed mediocris horis 13 et tribus quartis unius, Sole per numerationem in 15 gradibus 12 minutis Virginis; Luna in 15 gradibus 13 minuta Piscium, sed medius Lune in 10 gradibus 24 minutis Piscium; argumentum Lune 249 gradus 9 minuta. Intervallum igitur primum fuit 178 dies, 6 hore, 50 minuta temporis mediocris, et verus motus Solis in hoc 180 gradus 11 minuta. Secundum fuit 176 dies, hore 0, minuta 25 temporis mediocris; verus Solis cursus in eo 168 gradus 55 minuta. Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus autem dixit intervallum primum fuisse 178 dies horas 6 et cursum Solis verum in eo 180 gradus 11 minuta. Et secundum intervallum dixit fuisse 176 dies, horam unam, et tertiam unius et Solis cursum verum in eo 168 gradus 33 minuta. Erravit igitur in tempore intervalli in medietate et tertia et decima unius hore fere et in cursu Solis in quinta et sexta unius partis. Ex hoc igitur errore provenire potuit ut diversas proportiones ecentricitatis ad semidiametrum ecentrici et semidiametri epicicli ad lineam inter centrum mundi et centrum epicicli reperiret.
Finis quarti.