Ptolemaeus Arabus et Latinus

⟨VI⟩ ⟨Liber VI⟩

Sextus incipit.

⟨VI.1⟩ Quo pacto tempus et locus medie coniunctionis luminarium reperiatur.

Exemplum Ptolemei quo primam mediam coniunctionem in annis Nabonassaris extraxit. Ex eis que premissa sunt in superioribus libris, habuit quod in meridie primi diei mensis Tuz quo fuit principium annorum Nabonassaris, locus Solis medius fuit 45 minuta principii Piscium; media elongatio Lune a Sole 70 gradus 37 minuta. Argumentum Solis, quod vocavit medii loci Solis ab auge circuli sui distantiam, fuit 265 gradus 15 minuta; argumentum medium Lune 268 gradus 49 minuta. Et distantia medii loci Lune a puncto circuli declivis maxime septentrionali, quam vocamus argumentum latitudinis Lune ⟨medium⟩, fuit 354 gradus 15 minuta. Divisit igitur elongationem mediam Lune a Sole per elongationem huiusmodi que fit in uno die, et prodierunt 5 dies, 47 minuta, et 33 secunda unius diei. Fuit igitur ante meridiem primi diei mensis Tuz per 5 dies et sua minuta proxima que precessit media luminarium coniunctio. Sed mensis lunaris, hoc est tempus ab una coniunctione media ad proximam, habuit 29 dies, 31 minuta, et 50 secunda unius diei. Igitur a meridie primi diei mensis Tuz per 23 dies, 44 minuta, et 17 secunda unius diei fuit proxima sequens media luminarium coniunctio. Oportuit itaque eam fuisse 24^ta die mensis Tuz post meridiem minutis 44 et 17 secundis. Preterea addidit radicibus prefatis medios motus Solis, argumentum Lune, et argumenti latitudinis Lune in diebus 23, minutis 44, et 17 secundis, et exibant in predicta media coniunctione locus medius luminarium 24 gradus, 8 minuta, 50 secunda Piscium; argumentum Solis 288 gradus, 38 minuta, 50 secunda; argumentum Lune medium 218 gradus, 57 minuta, 15 secunda; argumentum latitudinis Lune medium a puncto maxime septentrionali computando 308, 17, 21. Ad similitudinem huius exempli in ceteris agas.

⟨VI.2⟩ 2. De tabulis coniunctionum et oppositionum luminarium disserere.

Fabricavit Ptolemeus tabulas deservientes huic negotio super meridianum Alexandrie et ad annos principii Nabonassaris. In differentia prima posuit annos collectos et currentes per 25 ita ut in prima linea poneret annum primum Nabonassaris et in directo eius tempus prime coniunctionis medie, scilicet dies mensis Tuz 24, minuta 44, 17 secunda. Item argumenta Solis et Lune et latitudinis Lune media, que in premissa reperta fuerunt. In secunda vero linea posuit annum 26^tum Nabonassaris et in directo huius numeri tempus, scilicet dies et minuta mensis Tuz quo fuit coniunctio prima media, et argumenta Solis et Lune et latitudinis Lune hoc ingenio. Consideravit quod in omnibus 25 annis Egiptiis in tempore anticiparentur coniunctiones medie in 2 minutis, 47 secundis, et 5 tertiis diei; ideo per huius numeri subtractionem perfecit aream temporis prime coniunctionis usque ad 1101^mum annum Nabonassaris. In hoc vero tempore motus Solis medius ultra integras revolutiones fuit 353 gradus, 52 minuta, 34 secunda, 13 tertia; argumentum Lune medium 57 gradus, 21 minuta, 44 secunda, unum tertium; et argumentum medium latitudinis Lune 117 gradus, 12 minuta, 49 secunda, et 54 tertia. Per horum motuum additiones ad primas radices, perfecit totam differentiam primam, que est coniunctionum mediarum in annis collectis.

Ad similitudinem huius posuit differentiam secundam, que est oppositionum mediarum. Dixit enim medium mensem lunarem esse 14 dies, 45 minuta, 55 secunda; motumque Solis medium in hoc tempore 14 gradus, 33 minuta, 12 secunda; argumentum Lune medium 192 gradus, 54 minuta, 30 secunda; argumentum latitudinis medium 195 gradus, 20 minuta, 6 secunda. Id diminutum ex radicibus prime coniunctionis primi anni Nabonassaris reliquit radices prime oppositionis medie eiusdem anni Nabonassaris, quibus habitis continuavit eas quoque sicut radices coniunctionum ad 1101^mum annum Nabonassaris.

Deinde perfecit differentiam tertiam, que est coniunctionum et oppositionum in annis expansis. Consideravit enim excessum 13 lunationum super 365 dies, et fuit 18 dies, 53 minuta, 51 secunda, 48 tertia; item in hoc tempore 13 lunationum motus Solis medius 18 gradus, 22^a minuta, 59 secunda, 14 tertia; argumenti Lune medii 335 gradus, 37 minuta, 1 secundum, 51 tertia; argumenti latitudinis medii 38 gradus, 43 minuta, 3 secunda, 51 tertia. Consideravit etiam spatium 12 lunationum, quod fuit 354 dies, 22 minuta, unum secundum, 40 tertia; et in hoc tempore motum Solis 349 gradus, 16 minuta 36 secunda, et 16 tertia; argumentum Lune 309 gradus, 48 minuta, 1 secundum, 52 tertia; argumentum latitudinis medium 8 gradus, 2 minuta, 49 secunda, 42 tertia. Ex his perfecit tabulam annorum expansorum ad annos 25, aliquando quidem addendo numeris positis in prima linea 12 lunationes cum motibus suis et inde abiciendo 365 dies, aliquando excessum 13 lunationum dictum cum motibus suis. Tunc quidem 12 lunationes cum vidit si excessum dictum addidisset plus una lunatione provenisset.

Tandem tabulam mensium posuit, quam ad 12 extendit. Una enim lunatio fuit 29 dies, 31 minuta, 50 secunda, et 4 tertia, et 20 quarta; in hoc tempore motus Solis medius 29 gradus, 6 minuta, 23 secunda, 1 tertium; argumentum Lune 25, 49, 0, 8; argumentum latitudinis 30, 40, 14, 9. Ex his complevit tabulam mensium via additionis.

⟨VI.3⟩ 3. Usum talium tabularum depromere.

Cum annis currentibus a principio Nabonassaris intra tabulas. Quod si precise inveneris numerum eorum in annis collectis, in directo eorum habebis coniunctionem aut oppositionem mediam in primo mense, scilicet Thoth, scilicet Thoth] corr. ex Thoth scilicet V₂ atque motum argumenti Solis medii et argumenti Lune et argumenti latitudinis Lune ad eandem. Si vero supersunt anni ultra collectos proxime minores in tabula repertos, cum eis intra tabulam annorum expansorum, et que in directo eorum inveneris iunge cum eis que cum collectis annis accepisti, quodlibet quodlibet] iter. but then del. quidem suo generi. Et consurget coniunctio vel oppositio media computando tempus a principio mensis Thoth, et motus dicti ad eandem. Deinde per additionem positorum in tabula mensium, habebis quamcumque voles coniunctionem sequentem aut oppositionem.

⟨VI.4⟩ 4. Superationem veram Lune in hora considerare.

Scire preoportet veros motus Solis et Lune in hora. Id communiter queritur. Et certior est via equandi Solem et Lunam ad principium talis hore, item ad finem eiusdem; tunc diferentia motuum erit motus in hora quesitus.

Facilius sic, et habebis rationem compositionis tabule motus veri in hora. Considera equationem argumenti Solis ad tempus pro quo cupis habere motum Solis verum in hora. Huius equationis et equationis argumenti proximo uno gradu maioris differentiam nota, de qua sume partem proporcionalem secundum proportionem 2 minutorum et 28 secundorum ad 60 minuta, quam deme ab 2 minutis et 28 secundis si argumentum Solis sit minus 93 gradus vel adde eisdem si plus usque ad 180 gradus. Et exibit verus motus Solis in hora. Sic compones tabulam ad semicirculum. Ratio est quia argumentum Solis augetur in una hora per 2 minuta et 28 secunda. Item similiter fiat in Luna. Considera equationem argumenti Lune dati, item equationem argumenti uno gradu maioris. De differentia harum sume partem proporcionalem secundum proportionem 41 minuti et 49 secundorum ad 60 minuta. Hanc subtrahe a 32 minutis et 56 secundis si argumentum fuit minus 95 gradibus aut adde si a 95 in 180. Sic compones tabulam ad semicirculum. Ratio quia argumentum verum Lune post unam horam a coniunctione media vel ante differt ab argumento medio in hora coniunctionis medie per motum argumenti medii in hora et equationem centri que uni hore correspondet, que simul faciunt 41 minuta 49 secunda. Equationes etiam Lune crescunt usque ad 95 gradus argumenti, post ad semicirculum decrescunt. Habitis motibus veris Solis et Lune in hora, aufer motum Solis de motu Lune, et manebit superatio quesita.

⟨VI.5⟩ 5. Veram applicationem luminarium et locum dinumerare.

Ex antepremissa primum mediam applicationem cognoscas cum argumentis Solis et Lune. Ex quibus secundum doctrinas superiores vera loca luminarium deprehendas. Quod si concordia fuerit, tempus medie applicationis est et tempus vere. Si discordia, differentiam eorum nota. Huic, ut Ptolemeus dicit, adde suam duodecimam quod tantum interea fere Sol moveatur, et totum divide per motum verum Lune in hora repertum per premissam, vel melius differentiam eorum simplicem divide per superationem veram Lune in hora. Et tempus quod sic proveniet est distantia inter veram et mediam applicationem. Sequetur autem vera mediam si locus Solis precessit locum Lune; si vero locus Lune precessit Solem, tunc per dictum tempus ex divisione proveniens, secuta fuit media veram. Hinc motus Solis in hora ductus in tempus distantie inter veram et mediam applicationem producet verum motum Solis in dicto tempore, per quem noscetur locus applicationis vere. Verum quia id opus aliquando non sufficit licet sit prope verum, ideoque oportebit equare ad hoc tempus sic inventum loca luminaria luminaria] corr. in luminarium secundario. Et si reperietur concordia, satis est; si discordia, opus est iterum more priori tempus verum elicere.

⟨VI.6⟩ 6. Duabus eclipsibus quibus Luna fuit prope longitudinem propiorem epicicli, semidiametros umbre et Lune elicere.

Prima fuit in octavo annorum Naboth, qui fuit a principio annorum Nabonassaris annus quingentesimus et septuagesimus quartus, transactis 27 diebus mensis Famenoth, qui est septimus Egiptiorum, cuius mane fuit dies 28^vus, et fuit a principio hore octave ad finem hore decime. Plurimum partis eclipsate a parte septentrionis fuit 7 digiti. Tempus medium fuit post medium noctis duabus horis temporalibus et medietate, et Sol in 7 gradu Tauri. Tempus a principio annorum Nabonassaris fuit 573 anni, 206 dies, 14 hore, et tertia unius temporis differentis, sed medii fuit 14 hore tantum usque ad medium huius eclipsis; locus Lune medius 7 gradus 49 minuta Scorpii, verus 6 gradus 19 minuta eiusdem; argumentum 160 gradus 40 minuta; et argumentum latitudinis a puncto maxime septentrionali 98 partes 20 minuta. Secunda fuit anno 607^mo annorum Nabonassaris diebus mensis Tobi quarti transactis duobus, cuius mane fuit dies tertius, ante medium noctis hora una equali, medietate et tertia. Et eclipsatum a parte meridiei fuit 3 digiti, Sole in 5 gradu et octava unius partis Aquarii; tempus a principio Nabonassaris 606 anni Egiptii, dies 91, hore 10, et sexta hore fere fere] om. W utriusque temporis; Luna secundum medium motum in 5 gradibus 15 minutis Leonis, secundum verum 5 gradibus 8 minutis eiusdem; argumentum 178 gradus 46 minuta; argumentum latitudinis a puncto maxime septentrionali 80 gradus 36 minuta. Quia itaque distantia Lune a nodo in prima eclipsi fuit 8 gradus 20 minuta, fuit latitudo Lune meridionalis 43 minuta 3 secunda. Et in secunda, distantia a nodo fuit 10 gradus et tres quinte; fuit latitudo meridiana 54 minuta, medietas et tertia. Differentia autem partium eclipsatarum fuit tertia diametri Lune, et differentia latitudinum 11 minuta 47 secunda. Necesse est igitur ut tota diameter Lune fuerit 35 minuta et tertia. Huius vero quarta est 8 minuta, medietas et tertia, scilicet pars eclipsata in secunda eclipsi, equalis parti diametri ab extremitate umbre ad centrum Lune. Ea ablata a latitudine Lune in secunda eclipsi, manebunt 46 minuta, semidiameter umbre in loco transitus Lune dum Luna fuerit prope oppositum augis epicicli. Sic iterum reperta est eadem proporcio semidiametri Lune ad semidiametrum umbre que superius et ita firmavit eam.

Quidam semidiametros Lune et umbre in applicationibus, Luna inter augem epicicli et oppositum eius existente, ex his que in auge et opposito reperte sunt, sic inveniunt. Sit epiciclus AGB super centro D in applicationibus, A quidem aux, B oppositum augis, E centrum mundi. Sitque Luna in G. Semidiameter Lune in A est minima, in B maxima que esse potest in applicacionibus, et differentia ex dictis nota est, que sit LM. GZ sit sinus argumenti AG. Erit igitur GZ sinus notus et similiter ZA sinus versus. Sed AB est notarum partium quibus DE est 60. Igitur in eisdem AZ, ZG, ⟨ZD⟩ note fient; igitur EZ nota. Hinc EG nota, que sit equalis EH, quare AH data. Sine sensibili autem differentia proportio BA ad AH est ut LM ad augmentum quo semidiameter Lune existentis in G excedit semidiametrum eius existentis in A. Quare illud augmentum notum erit; hinc semidiameter umbre nota fiet.

Certior tamen via hec reperiendi superius in 22^a quinti data est. Ostensis itaque quantitatibus semidiametrorum Lune et umbre in maxima accessione ad terram tempore eclipsis, prefiniuntur termini eclipsium, ut sequitur.

⟨VI.7⟩ 7. Terminos eclipsium solarium prefinire.

Ex premissa patet semidiametrum Lune maximam in eclipsibus esse 17 minuta 40 secunda. Semidiameter autem Solis ex superioribus habetur 15 minuta 40 secunda, que licet propter ecentricitatem Solis variabilis sit, id tamen non curatur quod fere sit insensibile. In contactu itaque eclipsis solaris distantia inter ambo centra luminarium fit 33 minuta 20 secunda. Diversitas autem aspectus in latitudine maxima que esse potest in omnibus climatibus septem communiter positis versus meridiem quidem est 58 minuta, et tunc diversitas aspectus in longitudine est maior que esse potest 15 minuta; sed versus septentrionem est 8 minuta, et tunc diversitas aspectus in longitudine est 30 minuta. Sed etiam plurimum differentie quod cadere potest inter locum verum applicacionis vere et locum medium applicacionis medie medium…medie] corr. ex medie applicacionis medium est 3 gradus, quod habetur si maxime equationes luminarium iungantur et totius 13^a pars accipiatur et huius etiam 13^a propterea quod dum Luna perambulat agregatum maximarum equationum, Sol interea perambulat 13^am huius et dum Luna hanc 13^am secat, Sol quoque interea per 13^am huius moveatur. Quod itaque Sol secat in tempore quo Luna agregatum maximarum equationum transit est duodecima pars fere huius agregati. Que duodecima si iuncta fuerit cum maxima equatione Solis proveniet quod plurimum intercidere potest inter locum medium medie applicacionis medium…applicacionis] corr. ex medie applicacionis medium et locum verum vere applicationis, idque secundum numerationem Ptolomei est 3 gradus. Et illud est fere equale differentie inter argumentum latitudinis medium in hora medie applicacionis et argumentum latitudinis verum in hora vere applicacionis. Non enim differt hec ab illa nisi in motu Capitis in hoc tempore.

Sit igitur ecliptica AB, deferens Lune BD. Et sit D locus Lune verus, visus autem in coniunctione visibili sit E, et arcus AEG orthogonalis super eclipticam, A locus Solis. Erit igitur G locus visus Lune in deferente, AZ semidiameter Solis, EZ semidiameter Lune, sitque DE diversitas aspectus in circulo altitudinis. Erit DG fere diversitas aspectus in longitudine, EG in latitudine. Dum igitur diversitas aspectus in latitudine fuerit ad partem meridiei, quod semper contingit dum Luna a polo orizontis versus meridiem fuerit, erit EG 58 minuta. AZE autem est 33 minuta 20 secunda. Sic fiet AG 1 gradus, 31 minuta, 20 secunda. Proportio autem AG ad GB prope est sicut unum ad 11 et semis, quod patet ex maxima Lune latitudine et via que data superius est declinationes ecliptice et latitudines Lune tabulandi. Fiet igitur arcus BG 17 gradus 30 minuta fere. Sed cum G sit locus visibilis coniunctionis, ponamus veram adhuc futuram. Dum igitur Luna transit arcum GD, qui est 15 minutorum, Sol interea transit duodecimam huius, que duodecima sit GK. Erit itaque K locus vere coniunctionis. Sic arcus BK erit 17 gradus 31 minuta fere. Ponamus quoque quod media coniunctio etiam adhuc futura sit, sed inter verum locum vere et medium locum medie, ut superius tactum est, cadere possunt 3 gradus. Centrum igitur epicicli in media coniunctione distabit a nodo 20 gradibus et medio fere.

Sed dum EG diversitas aspectus in latitudine fuerit versus septentrionem maxima, scilicet 8 minuta, Luna tamen in latitudine meridiana existente, ita intellige BG portionem deferentis ab ecliptica meridianam, erit AG 41 minuta. Hinc GB secundum proportionem dictam erit prope 7 gradus 52 minuta; GD vero 30, cuius duodecima est 3 minuta fere. Sic KB erit 7 gradus 55 minuta, cui KH, scilicet 3 gradus, additi faciunt 10 gradus 55 minuta fere.

Ptolemeus tamen addidit illos tres gradus super agregato ex distantia visi loci Lune in visibili coniunctione et diversitate aspectus in longitudine, sed cum ipsi sint differentia maxima inter medium locum medie coniunctionis et verum locum vere coniunctionis, oportet ut addantur ad distantiam veri loci Lune in hora vere coniunctionis ut exeat distantia centri epicicli Lune a nodo in hora medie coniunctionis qua possibile est ut Luna Solem contingat secundum visum. Ideo termini ecliptici sui paulo maiores sunt. Habemus igitur per omnia septem climata terminos eclipticos solares hos, videlicet medium argumentum latitudinis meridiane a nodo 10 gradus 55 minuta et argumentum latitudinis septentrionalis a nodo 20 gradus et medius fere. Extra hos autem terminos non est possibilitas eclipsis solaris in dictis climatibus, sed in media coniunctione, centro epicicli Lune existente intra dictos terminos, possibilis est Solis eclipsis. Albategni autem, quia alias semidiametrorum quantitates seu equationum maximarum ponit, dicit terminos hos: in meridiem quidem 10 gradus 40 minuta, in septentrionem 20 gradus 12 minuta.

⟨VI.8⟩ 8. Lunaris eclipsis terminos assignare.

Sit AB ecliptica, BG declivis circulus Lune, sitque A centrum umbre, G vero centrum Lune dum circuli umbre et Lune visuales maximi se primum contingant in Z. Erit GZ 17 minuta 40 secunda et ZA 45 minuta 56 secunda. Quare AG fiet unus gradus, 3 minuta, et 36 secunda, ideoque secundum proportionem dictam GB fiet fere 12 gradus 12 minuta. Si itaque media oppositio sequatur veram per maximam distantiam possibilem, addendi sunt gradus 3 de quibus dictum est, et fiet 15 gradus 12 minuta maxima distantia centri epicicli Lune a nodo in oppositione qua Luna contingit circulum umbre sine eclipsi. Extra hunc terminum non est possibile Lunam eclipsari. Albategni tamen dicit terminum esse 14 graduum 45 minutorum.

⟨VI.9⟩ 9. Solem aut Lunam in sex mensibus bis eclipsim pati est possibile.

Intelligamus ABGD circulum Lune declivem, qui secet eclipticam in nodis A et G Capitis et Caude, et medietas septentrionalis sit ABG, meridionalis GDA. Termini ecliptici a parte septentrionali sint E et F, a parte meridiana sint K et L. Erunt itaque AE et FG in solaribus uterque 20 graduum et medii, sed GL et AK 10 graduum 55 minutorum. Quare arcus EBF continet 139 gradus. Medius autem motus argumenti latitudinis in 6 mensibus lunaribus equalibus habet 184 gradus et minutum unum integris revolucionibus semotis. Quare motus argumenti latitudinis in 6 mensibus maior est arcu EBF et minor arcu KBL. Item LDK est 158 gradus 10 minuta; quare dictus motus argumenti latitudinis maior est arcu LDK et minor FDE. Possibile est igitur quod si nunc motus latitudinis sit in termino ecliptico, quod post sex menses iterum cadat in terminum eclipticum Solemque in sex mensibus bis eclipsari. Item in lunaribus eclipsibus fient arcus terminorum 15 gradus 12 minuta. Quare tam EBF quam LDK fient fient] fiet W 149 gradus 36 minuta. Erit igitur motus argumenti latitudinis dictus utroque horum maior, minor tamen arcu KBL aut FDE. Patebit itaque verum esse quod dicit propositio.

⟨VI.10⟩ 10. Lunam in quinque mensibus bis eclipsari est possibile, cumque id accidit, necesse est ut in ambabus eclipsibus versus eandem partem porrigantur tenebre.

Sit enim ut in his quinque mensibus Sol vadat a longitudine media sui ecentrici per propiorem versus alteram longitudinem mediam, eritque tunc motus Solis velox; Luna autem in epiciclo ultra integras revolutiones perficiat motum per partem epicicli superiorem ubi tarda cursu existit. Fient igitur hii quinque menses maiores in quibus Sol movetur motu suo maiore et Luna minore. Medius ⟨motus⟩ motus] not in witnesses Solis et Lune in quinque mensibus mediis abiectis revolucionibus fiet 145 gradus 32 minuta. Et sumamus ut longitudo propior Solis dividat hunc per equa. Addet igitur super medium cursum equatio Solis hinc inde sumpta 4 gradus 38 minuta. Motus autem Lune in epiciclo in 5 mensibus est 129 gradus 5 minuta. Hunc quoque per equa dividat longitudo longior epicicli. Minuet igitur ex medio cursu equatio hinc inde sumpta 8 gradus 40 minuta. In tempore itaque 5 mensium illorum quod Sol sit velox, Luna autem tarda cursu, precedet Sol Lunam in 13 gradibus 18 minutis; hoc est verus motus Solis maior est vero motu Lune in hac quantitate. Sed dum Luna id perambulat donec Solem consequatur, Sol duodecimam huius movetur, que est 1 gradus 6 minuta. Hec duodecima si addatur super 4 gradus 38 minuta, que fuerunt differentia veri motus Solis et medii, provenient 5 gradus 44 minuta, scilicet quantum 5 menses maiores addunt super 5 menses medios. Oportet enim in talibus disposicionibus primam harum oppositionum verarum precessisse mediam tanto tempore quanto ultima harum mediam sequitur. sequitur] perhaps sequetur Constat autem quod differentia locorum applicacionum, veri quidem in vera et medii in media, fere equalis est differentie argumentorum latitudinis veri in vera et medii in media. Quare differentia argumentorum latitudinis veri et medii in predictis quinque mensibus erit fere 5 graduum 44 minutorum. Sed argumentum latitudinis in 5 mensibus mediis est 153 gradus 21 minuta, ideoque argumentum verum latitudinis in 5 veris mensibus lunaribus est 159 gradus 5 minuta. Termini denique ecliptici lunares Luna existente in longitudine media epicicli sunt 11 gradus et 30 minuta. Tunc enim agregatum semidiametrorum Lune et umbre est gradus unus propterea quod Luna in auge epicicli existente in applicacionibus tale agregatum sit 56 minuta 24 secunda, sed in propiori longitudine epicicli sit 1 gradus, 3 minuta, 36 secunda. Respice modo figuram premisse. Fiet iam uterque arcuum EF et LK 157 gradus, ideo minor argumento vero latitudinis in 5 mensibus maioribus per 2 gradus 5 minuta. Si igitur hic motus latitudinis ab E per unum gradum in arcu AE ceperit et finierit in arcu FG per unum gradum fere ab F, possibile est ut in utraque fiat eclipsis Lune. Sic etiam ostenditur per arcum LDK. Et dum motus iste fuerit per arcum EBF, eclipsabitur in utraque eclipsi pars meridiana Lune; sed per arcum LDK, septentrionalis. Verum tales obscurationes ⟨fere⟩ sunt insensibiles.

⟨VI.11⟩ 11. Lunarem eclipsim in septimo mense iterari non est possibile.

Ostensio similis est que precedens. Accipiamus ad hoc septem menses minimos qui possibiles sunt, et oportet ut in his Sol moveatur minore suo cursu, Luna vero maiore. In 7 mensibus equalibus motus luminarium medius est 203 gradus 45 minuta; argumentum Lune 180 gradus 43 minuta. Sit autem ut longitudo longior Solis per equa dividat Solis medium et longitudo propior Lune per equa dividat argumentum istud. Fiet igitur ut equatio Solis hinc inde sumpta minuet ex motu medio 4 gradus 42 minuta, et equatio Lune addet medio motui 9 gradus 58 minuta. Erit igitur in hoc tempore 7 mensium medius Solis minor motu vero Lune in 14 gradibus 40 minutis. Huius autem duodecima est 1 gradus 13 minuta; addita super equationem Solis facit 5 gradus 55 minuta, scilicet quantitas qua verus Solis in 7 mensibus minoribus deficit a medio cursu Solis in mensibus 7 equalibus. Sed tantum etiam differt argumentum latitudinis verum in 7 mensibus minoribus ab argumento latitudinis medio in 7 mensibus mediis. Argumentum autem latitudinis medium in 7 mensibus mediis est 214 gradus 42 minuta. Quare argumentum latitudinis verum in 7 mensibus minoribus erit 208 gradus 47 minuta. Totus autem arcus in figura KBL aut FDE non est nisi 203 gradus, Luna quidem in longitudine media epicicli existente. Non est igitur possibile si Luna eclipsatur in oppositione prima 7 mensium minorum, quod etiam eclipsetur in ultima illarum, quod fuit propositum.

⟨VI.12⟩ 12. Solem in quinque mensibus bis eclipsari in pluribus plagis terre habitatis non est prorsus impossibile.

Ponamus ad hoc quinque menses maiores, ut in antepremissa. Ostensum est verus motus latitudinis Lune in his est 159 gradus 5 minuta. Agregatum autem duarum semidiametrorum Solis et Lune cum fuerint in longitudinibus mediis est 32 minutorum 20 secundorum; est enim medium inter agregatum quod fit in auge et id quod fit in opposito augis. Si itaque latitudo Lune fuerit 32 minutorum 20 secundorum, fiet Lune a nodo distantia 6 gradus 12 minuta. Quare arcus EBF seu LDK, in quo non contingit eclipsis, fiet 167 gradus 36 minuta. Palam igitur si nulla nulla] Luna W nullam habuerit diversitatem aspectus in latitudine, non esse possibile ut bis sit Solis eclipsis in 5 maioribus mensibus propterea quod arcus EBF aut LDK sit maior vero motu latitudinis in 5 magnis mensibus -- maior inquam per gradus 8 et 31 minuta. Et si verum motum latitudinis disposuerimus ut per punctum B maxime declinationis dividatur per equa, distabit quilibet suorum terminorum a nodo per 10 gradus 28 minuta fere. Horum latitudo est 54 minuta et medium fere, a qua cum sublatum fuerit agregatum semidiametrorum Solis et Lune, remanet rema/54v/net] remanent W 22 minuta et medium fere, excessus latitudinis terminorum veri motus latitudinis super tale agregatum, qui bis sumptus, scilicet hinc et illinc a partibus B, facit 45 minuta, que sunt etiam latitudo argumenti latitudinis graduum 8 et 31 minutorum, ut patet ex proportione sepe dicta unius ad 11 cum dimidio. Servatur enim hec proportio circa terminos eclipticos ubique, ut in figura GF ad FO sicut GN ad NP sic etiam FN ad NM dum MP sit equalis FO. Sic cum FN est 8 graduum 31 minutorum erit NM, scilicet differentia NP super FO, 45 minutorum. minutorum] note here in margin: Necesse est ergo si in una harum coniunctionum extremarum aut in ambabus simul fuerit diversitas aspectus Lune in latitudine maior 45 minutis, ut sit possibile in utraque harum coniunctionum Solem eclipsari quia tunc latitudo Lune visa potest minor esse aggregato semidiametrorum.

Ad cognoscendum autem quibus horis et locis ecliptice id fieri possit, videndum est tempus quinque mensium maiorum, quod taliter deprehenditur. Tempus quinque mensium equalium habet 147 dies, 15 horas, et medietatem et quartam unius hore. In hoc ut patuit cum Luna sit tarda cursu, Sol velox, verus motus Solis maior est vero motu Lune in 13 gradibus 18 minutis, quod spatium dum Luna medio motu perambulat ad Solis consecutionem, interea Sol duodecimam huius transit. Fit ergo totum 14 gradus 24 minuta, quod si divisum per medium cursum Lune in die fuerit, proveniunt dies una, hore 2, et quarta unius. Luna enim in talibus coniunctionibus fere motu medio movetur. Differentia ergo quinque mensium maiorum super quinque medios est dies una, hore due, et quarta. Quare tempus quinque mensium maiorum fit 148 dies 18 hore fere. Liquet igitur si prima earum fuerit iuxta Solis occasum, fiet altera sex horis ante Solis occasum. Item si prima fuerit tribus horis post meridiem, erit altera tribus horis ante meridiem. Item verus motus Solis in predicto tempore 5 mensium maiorum, prout ex antepremissa colligitur, est 151 gradus fere, quos longitudo propior Solis per equa dividit, que cum nostro tempore sit in principio Capricorni. Fiet locus prime coniunctionis in 15^mo gradu Libre et locus secunde in 15^mo Piscium vel circiter hec loca. In quibuscumque igitur climatibus ita accidit quod, 15 gradu Libre versus occasum descendente, item 15^mo Piscium prope medium celi existente, diversitas aspectus Lune in latitudine in uno horum locorum aut in ambobus simul agregata maior fuerit 45 minutis, in eis in talibus coniunctionibus fit Solis obscuratio. Sub equinoctiali vero in dictis locis et horis coniunctionum, dum diversitates aspectus in latitudine agregantur, non attingunt 45 minuta. Sed a climate secundo incipiendo deinceps versus arctos, 45 minuta transcendunt, ideoque in his plagis possibile est videre Solis eclipsim bis in quinque mensibus, quantoque plaga septentrionalior tanto possibilitas maior quod diversitas in latitudine augeatur. Neque hoc contingit nisi cum Luna viam in latitudine septentrionali fecerit a Capite versus Caudam ita ut in prima eclipsi fuerit iuxta E et in secunda iuxta F.

⟨VI.13⟩ 13. Solis eclipsim in septem mensibus bis fieri eidem plage terre contingit.

Sint septem menses minores. In his patuit verum argumentum latitudinis Lune esse 208 gradus 47 minuta. Sed arcus FDE ex premissa est 192 gradus 24 minuta, qui est a termino ecliptico accedente ad Caudam ad terminum eclipticum recedentem a Capite. Clarum est igitur si Luna diversitatem aspectus non habeat in latitudine, non est possibile ut Sol bis eclipsetur in his septem mensibus, scilicet in prima harum coniunctionum et extrema propterea quod 208 gradus 47 minuta excedant arcum FDE in 16 gradibus 23 minutis. Arcus autem veri motus latitudinis dispositus dispositus] understand as ‘dispositus sit’ ut punctum D, quod est maxime latitudinis in meridiem, meridiem] meridie W dividat ipsum per equa; distabit quilibet suorum terminorum a nodo gradibus 14 minutis 23. A latitudine his correspondente ablata quantitate semidiametrorum luminarium, excessus bis sumptus facit 1 gradus 25 minuta fere. Et tanta etiam est latitudo argumenti latitudinis 16 graduum 23 minutorum, ut patet ex proportione unius ad 11 et semis. Ita si incipias argumentum verum latitudinis computare ab F procedendo per D, ipsum excedet arcum FDE in gradibus dictis, qui sint EN. Quare termini sui latitudo, scilicet NP, excedet latitudinem puncti E, que est EO, scilicet agregatum semidiametrorum luminarium, in parte proporcionali ad 16 gradus et 23 minuta secundum proporcionem unius ad 11 et semis; et ipsa est NM 1 gradus 25 minuta. Liquet igitur si in septimo mense eclipsis Solis redire debeat, quod oportet Lunam habere diversitatem aspectus in una harum coniunctionum aut agregatum ex eis in ambabus que sit maior uno gradu 25 minutis.

Videndum est autem in quibus horis et quibus locis id fieri queat. Tempus 7 mensium equalium habet 206 dies 17 horas fere, in quo Sol tardiore cursu, Luna velotiore movetur et medius Solis minor vero Lune in gradibus 14 minutis 40, quem arcum cum sua duodecima Luna medio cursu perambulat in die una et horis quinque. Septem igitur menses minores qui esse possunt habent dies 205 et horas 12. Quare tempus coniunctionis extreme fiet post dies integros ab hora coniunctionis prime horis 12; ideoque si prior fit iuxta Solis ortum, altera erit iuxta Solis occasum. Verus autem motus Solis in dictis 7 mensibus minoribus, ut ex antepremissa colligitur, est 198 gradus fere, quos aux Solis per medium dividit, que nostro tempore est in principio Cancri. Fiet locus prime coniunctionis harum circa 21 gradus Piscium et alterius circa 9 gradus Libre. In plagis vero septentrionalibus a quarto climate incipiendo, in predictis locis et horis contingit ut diversitates aspectus in latitudine ablata diversitate aspectus Solis excrescant super uno gradu 25 minutis. Ideoque in illis climatibus possibile est ut Solis eclipsis in 7 mensibus bis videatur. Necesse est autem ut id accidat Luna in prima coniunctionum accedente versus nodum Caude, in secunda vero ⟨ea⟩ a nodo Capitis recedente.

⟨VI.14⟩ 14. Eclipsim Solis in uno mense bis fieri apud homines unius climatis est omnino impossibile.

Licet ad hoc omnium causarum convenientia sit impossibilis, ponamus tamen ad imaginationem causas congregatas esse, scilicet ut Luna sit in coniunctionibus in longitudine propiori, et sic maximam diversitatem aspectus in latitudine habeat, et ut sit lunatio minima que esse possit, et sic motus verus argumenti latitudinis in mense fiat minimus et minimum addat super arcum circuli declivis inter duos terminos eclipsis solaris contentam, contentam] corr. in contentum et ut sint coniunctiones ille in horis et locis quibus maxime fiunt diversitates aspectus. Quia itaque in uno mense equali medius motus luminarium est 29 gradus 6 minuta et argumentum Lune 25 gradus 49 minuta, sit ut longitudo longior Solis per equa hunc arcum medii Solis dividat et longitudo propior Lune argumentum Lune etiam per equa dividat. Fiet ut equatio Solis hinc inde sumpta minuet ex medio Solis unum gradum et 8 minuta, et argumentum Lune addet 2 gradus 28 minuta. Equaciones autem ille coniuncte faciunt 3 gradus 36 minuta. Huius duodecima pars, scilicet 18 minuta, si addita equationi Solis fuerit, producitur gradus unus minuta 26, scilicet differentia qua verus Solis in minimo mense deficit a medio motu Solis in mense equali. Sed tantum etiam fere differt argumentum latitudinis verum in minimo mense ab argumento latitudinis medio in mense equali. Argumentum autem latitudinis medium in mense equali est 30 gradus 40 minuta, ideoque cursus verus latitudinis in mense minimo est 29 gradus 14 minuta. Ponamus autem ut hunc nodus per equa dividat. Habebit unusquisque terminorum suorum latitudinem unius gradus, 16 minutorum, et medii fere, que duplicata facit 2 gradus 33 minuta fere, scilicet latitudinem argumenti 29 graduum 14 minutorum secundum proportionem sepe dictam. Agregatum autem semidiametrorum luminarium Luna in longitudine propiori existente est 33 minuta, que ablata a gradu uno et 16 minutis et medio relinquunt 43 minuta, que ab utraque parte sumpta nodi, id est bis sumpta, faciunt unum gradum 27 minuta fere. Non est igitur possibile ut Sol bis eclipsetur in mense uno nisi ut Luna nullam habeat diversitatem aspectus in latitudine in una coniunctionum et in altera diversitatem aspectus habeat maiorem gradu uno et 27 minutis, aut sit ei in utraque coniunctione diversitas aspectus in eandem partem et differentia ipsarum maior gradu uno et 27 minutis, aut sit ei in utraque coniunctione diversitas aspectus in partes contrarias et agregatum ipsarum sit maius gradu uno et 27 minutis. Oportet enim in eclipsibus ut latitudo visa in utraque coniunctione sit minor agregato semidiametrorum, quod fieri non potest in his coniunctionibus nisi conditiones iam dicte serventur. Est etiam opus ut latitudo vera Lune in prima cum latitudine vera Lune in secunda simul perficiant 2 gradus et 33 minuta, que est latitudo veri argumenti latitudinis in mense minori.

Verum non est locus in terra in quo diversitas aspectus Lune ad Solem in latitudine sit maior gradu uno et 27 minutis, nec est locus in quo in utraque coniunctione differentia diversitatum aspectus in latitudine in eandem partem sit maior uno gradu et 27 minutis. Si igitur debet uno mense bis eclipsari Sol, oportet ut diversitas aspectus in utraque coniunctione sit in partes contrarias et agregatum earum sit uno gradu maius et 27 minutis. Sub equinoctiali autem maxima diversitas aspectus in latitudinem latitudinem] latitudine W non est maior 25 minutis in quamcumque partem; neque in aliquo septem climatum versus septentrionem procedendo, diversitas aspectus in latitudine maior est gradu uno. Quare non est possibile ut uni plage terre Sol bis uno mense eclipsetur.

Nihil tamen prohibet homines unius habitabilis plage eclipsim Solis videre et in sequenti coniunctione alterius plage homines etiam eclipsim Solis habere quod ambe diversitates aspectus eis contingentes in partes contrarias simul maiores esse possunt gradu uno et 27 minutis, ut si una plaga esset ad meridiem ab equatore, ad septentrionem alia. Patet igitur non esse possibile quod in uno mense Sol bis eclipsetur apud homines unius climatis aut diversorum dum ab eadem parte equatoris sint. Contingens tamen est in locis contrariorum situum ab equatore.

⟨VI.15⟩ 15. Transitum Lune in circulo declivi inequales arcus in ecliptica secare, verum differentiam longitudinum in ambobus circulis admodum parvam esse.

A nodo A sint duo arcus sumpti, ecliptice quidem AG, circuli declivis Lune AB. Sit autem Luna in B. Procedat a puncto B arcus circuli magni perpendicularis super eclipticam, qui sit BG. Palam est quod verus locus Lune in ecliptica est in puncto G. Dato autem arcu AB per scientiam datam de ascensionibus rectis notus erit arcus AG, qui semper erit minor arcu AB. Et per scientiam 24^te tercii huius maxima differentia que inter hos esse potest reperitur 6 minutorum, et hoc dum arcus AB est circiter 45 gradus. Et latitudo maxima Lune supposita est iam 5 graduum. In terminis vero eclipticis differentia arcuum AB et AG maxima esse potest 4 minuta, ut si arcus AB sit 20 graduum, reperies AG esse 19 graduum 56 minutorum. Est enim proportio sinus BZ ad sinum ZF sicut proporcio sinus BA ad sinum AG dummodo Z sit polus ecliptice et AF et AL quarte. Cogniti autem sunt BZ et ZF et BA. Nam LF est 5 graduum. Et proportio sinus AF ad sinum FL sicut proportio sinus AB ad sinum BG. Sic dum AB est 20 graduum, BG est gradus unius et 42 minutorum. Item a puncto G cadat perpendicularis super AB, que sit GD. Quia proportio sinus AL ad sinum LF sicut proporcio sinus AG ad sinum GD, invenies GD insensibiliter differre a GB. Nam dum AB est 20 gradus, reperies GD esse 1 gradus 42 minuta fere. Nihil igitur erroris sensibilis sequetur si loco arcus GD in eclipsibus sumatur arcus GB, etiam si loco arcus AD sumatur arcus AB, quoniam si si] corr. ex sit G sit centrum Solis vel umbre, fiet B verus locus Lune in vera applicatione, sed D verus Lune in medio eclipsis. Est tamen possibilis arcuum GD et AD scientia, ut iam ostensum est de arcu GD. Arcum autem AD invenies per viam qua invente sunt ascensiones recte ex arcu AG iam noto, vel quia sinus complementi DG ad sinum complementi GA proportio sit sicut sinus totius ad sinum complementi DA. Si quis tamen, dicit Ptolemeus, huius rei exactam scientiam querat, multo iustius illum operis difficultas angat quam utilitas delectetur.

⟨VI.16⟩ 16. In eclipsi lunari ex latitudine Lune in medio eclipsis et agregato semidiametrorum Lune et umbre, digitos ecliptice ecliptice] corr. in eclipticos prenoscere.

Sit circulus designans umbram in loco transitus Lune BF; semidiameter eius AB; semidiameter autem Lune sit linea BC ita ut agregatum ambarum semidiametrorum sit ABC; portio ecliptice AD; circulus Lune declivis DE, in quo locus Lune in medio eclipsis sit E. Si itaque latitudo Lune AE sit equalis agregato semidiametrorum, scilicet AC, constat quod Luna continget circulum umbre et nihil eius eclipsabitur. Sed si latitudo Lune AE sit minor linea AC ita tamen ut sit maior linea AB, fiet eclipsis Lune parcialis. Ideo sublata latitudine AE ab agregato semidiametrorum, scilicet AH, remanebit EH, que est equalis FG parti diametri Lune eclipsate. Et cum tota diameter Lune sit nota, constituta ipsa 12 digitorum, constabit quot digitorum sit FG. Hoc fit si duxeris FG in 12 et productum diviseris per diametrum Lune. Si autem latitudo Lune minor esset semidiametro umbre in quantitate semidiametri Lune, fieret eclipsis totalis sine mora, et sic esset 12 digitorum. Quando vero semidiameter umbre excedit latitudinem Lune in pluri quam semidiametro Lune, tunc fit eclipsis totalis cum mora. Quando autem Luna careret latitudine, tunc in medio eclipsis centrum eius esset centrum umbre, fieretque eclipsis Lune maxima que possibilis est, precipue si foret cursu tarda.

Quando itaque voles invenire digitos eclipticos, aufer latitudinem Lune ab agregato semidiametrorum. Reliquum duc in 12, et divide per diametrum Lune. Si proveniunt puncta pautiora 12, erit parcialis eclipsis; si precise precise] erit add. but then del. 12, erit universalis ⟨sed⟩ sine mora; si plura 12, erit universalis cum mora. Conversa huius quoque nota est. Cum velis ex digitis eclipticis et semidiametris Lune et umbre latitudinem cognoscere Lune in medio eclipsis, duc digitos in diametrum Lune visualem et divide per 12. Quod exit aufer ab agregato semidiametrorum, et manebit latitudo quesita. Huius agregatum, agregatum] argumentum W hoc est distantiam a nodo, reperies vel per tabulam tabulam] tabulas W latitudinis Lune vel per proporcionem unius ad 11 et semis vel precisius si voles per triangulum speralem AED. Ex angulo D et latere AE et angulo E, invenies latus AD, hinc ED, quod queritur. Verum in precedenti ostensum est ea insensibiliter differre.

⟨VI.17⟩ 17. Minuta casus minutaque more cum moram habet in eclipsi lunari determinare.

Sit A centrum umbre in ecliptica AB, circulus Lune declivis BE, in quo sit in principio contactus Lune et umbre centrum Lune G, E vero centrum Lune in medio eclipsis. Erit AE ex premissis orthogonalis super BF. Minuta itaque casus que queruntur sunt arcus GE, cui sit equalis arcus EF. Eritque fere finis eclipsis in F, et principium in G. Ductis arcubus magnis AG et AF fiet tam AG quam AF agregatum ex semidiametris umbre et Lune, et AE latitudo Lune in medio eclipsis vel arcus parum ab ea differens ex antepremissa notus. Si tribus arcubus trianguli AEG utaris tanquam rectis lineis, nihil diversitatis erronee sequetur propter horum parvitatem; ideoque quadratum AE aufer a quadrato AG, et remanebit quadratum EG. Quare EG notus, qui querebatur. Similiter si Luna eclipsabitur cum mora, sit M centrum Lune in principio totalis obscuracionis et N centrum eius in fine totalis obscurationis. Fiet iterum EM fere equalis EN, et uterque horum arcuum dicitur minuta more. Et erit AM aut AN excessus semidiametri umbre supra semidiametrum Lune, ideo notus. Et sic ex arcubus EA et AM modo predicto invenies quantitatem arcus EM. Verum si precisionem sequi placet, poteris ex scientia trianguli speralis EAG, cuius duo latera EA et AG et angulus E rectus nota sunt, invenire quantitatem arcus EG. Est enim proporcio sinus complementi AG ad sinum complementi GE sicut proportio sinus complementi EA ad sinum totum.

Quidam minuta casus et more, que que] i. m. per viam rectarum linearum invenerunt, definiciora sic reddunt. Sit ecliptica AB, in qua A centrum umbre. Agregatum ex semidiametris umbre et Lune sit AM, et via obliqua Lune BMZT. Sitque M centrum Lune Lune^‌3] M add. sup. lin. in contactu umbre, Z centrum Lune in oppositione vera, et T centrum Lune in contactu umbre postquam liberata est eclipsi, AD orthogonalis super AB. Erit in oppositione vera latitudo Lune AZ. Ex minutis itaque casus prius inventis, dum duodecimam superadicies, addiscas argumentum latitudinis ad principium et finem eclipsis, scilicet minuta casus cum sua duodecima auferendo ab argumento latitudinis AZ et eidem addendo. Ex quibus habebis latitudines Lune ad principium et finem eclipsis. Ad principium sit AE, ad finem AD. Ex EA et AM propter rectum angulum E nota fiet EM; EM] et ex ME et EZ notis nota fiet EM add. but then del. et ex ME et EZ notis nota fiet ZM minuta casus a principio eclipsis ad veram oppositionem. Similiter ex TA et AD propter angulum D rectum nota fiet TD, ex qua et DZ nota erit ZT, scilicet minuta casus a vera oppositione ad finem eclipsis. Simili via de minutis more procedunt. Verum, ut superius ostensum est in antepremissa, parum utilitatis hoc affert. Si tamen utique precisionem amas, age opus secundum viam antepremisse ut arcum inter verum locum oppositionis et locum medii eclipsis cognoscas, et tunc invenies cuncta definitiora.

⟨VI.18⟩ 18. Tria tempora in eclipsi Lune particulari seu quinque in universali diffinire.

Si non habet moram, tria tempora reperies, scilicet principium, medium, et finem. Veram oppositionem ex dictis habes, que nihil vel parum a medio eclipsis differt. Si tamen differt et voles precisius definire medium, ipsum ex doctrina data in 15^a huius cognosces. Arcum BD in figura eiusdem et et] corr. in quem cum sua duodecima divide per motum Lune in hora, vel ipsum solum per superationem Lune in hora divide; et exibit tempus inter veram oppositionem et medium eclipsis, ex quo cognosces medium eclipsis. Item minuta casus divide per superationem Lune in hora, et exibit tempus a principio ad medium, tantum quoque est a principio principio] we would expect ‘medio,’ but it is not in the witnesses ad finem. Si moram habet, habebit tempora 5, scilicet principium contactus umbre, principium totalis obscurationis, medium, finem totalis obscurationis, et finem eclipsis. Principium et finem reperies ut antea. Deinde divide minuta more per superationem Lune in hora, et exibit tempus quod est a principio totalis obscurationis ad medium eclipsis, et tantum est a medio ad finem totalis obscurationis. Ex his facile habebitur locus Lune in punctis horum temporum sive minuta casus cum sua duodecima addendo ad locum Lune in medio eclipsis et deinde demendo; item minuta minuta] misspelled miuta more cum sua duodecima addendo ad locum Lune in medio eclipsis aut demendo; sive velis agere per tempus casus aut aut] et W tempus more multiplicando ipsum per motum Lune diversum in hora et productum addendo et demendo ut dictum est. Ex his quoque latitudines Lune ad principia et fines facile disces.

⟨VI.19⟩ 19. Visum locum Lune in ecliptica ex vero eius loco dato ostendere.

Ad instans datum diversitatem aspectus Lune in longitudine ex premissis in libro quinto huius collige. Et si Luna fuerit inter ascendens et 90^m gradum ab ascendente, diversitatem aspectus Lune in longitudine adde super vero loco eius ad instans datum, et exibit locus eius visus. Sed si Luna fuerit inter gradum occidentem et 90^m gradum ab ascendente, diversitatem aspectus ⟨dictam⟩ minues ex vero loco Lune, et proveniet quod queris.

⟨VI.20⟩ 20. Latitudinem Lune visam comprehendere.

Ex prioribus habeas latitudinem Lune veram ad instans datum et diversitatem aspectus in latitudine. Et si ambo ambo] corr. in ambe fuerint in eandem partem ab ecliptica, unam alteri iunge. Si diversarum parcium, minorem minorem] iter. but then del. a maiori deme, et relinquetur latitudo Lune visa eius partis cuius maior fuit.

⟨VI.21⟩ 21. Motum Lune visum in hora assignata perpendere.

Per antepremissam ad principium hore assignate reperias visum locum Lune, et per eandem ad finem hore date invenias quoque visum locum Lune. Et differentia horum est quod cupis. Vel sic. Considera per predicta ad principium, similiter ad finem, hore diversitatem aspectus in longitudine. Et si diversitas ad principium hore sit maior quam diversitas ad finem hore, differentiam ipsarum minue a motu vero Lune in hora. Si autem diversitas ad principium hore sit minor diversitate ad finem hore, differentiam ipsarum adde motui vero Lune in hora. Et prodibit motus visus Lune in hora, et hoc si Luna fuerit inter ascendens et 90^m gradum. Cum vero Luna fuerit inter 90^m gradum ab ascendente et gradum occidentem, si diversitas ad principium hore sit maior diversitate ad finem hore, differentiam ipsarum adde vero motui Lune in hora. Si autem diversitas ad principium hore sit minor diversitate ad finem hore, differentiam ipsarum minue a vero motu Lune in hora. Et proveniet visus motus Lune in hora. Similiter reperires reperires] reperies W superationem Lune visam in hora sumendo loco motus veri superationem veram in hora et cetera.

⟨VI.22⟩ 22. Coniunctionem luminarium visibilem diffinire.

Ad tempus vere coniunctionis per precedentes doctrinas reperias diversitatem aspectus Lune ad Solem in longitudine. Si ea fuerit secundum successionem signorum, id accidit dum locus coniunctionis fuerit inter ascendens et 90^m gradum gradum] dum add. but then del. ab ascendente, coniunctio vera visibilem sequitur. Et cum in orizonte maior contingit diversitas aspectus in longitudine, fiet diversitas ipsa in hora visibilis coniunctionis maior quam in hora coniunctionis vere. Si autem ea fuerit contra successionem signorum, id accidit dum locus coniunctionis fuerit inter gradum occidentem et 90^m gradum ab ascendente, coniunctio vera visibilem precedit. Et cum iterum in orizonte maior contingit diversitas aspectus in longitudine, fiet ipsa diversitas in hora visibilis coniunctionis iterum maior quam in hora vere coniunctionis. Si autem nulla esset diversitas aspectus in longitudine, quod solum accidit quando locus coniunctionis est in 90^mo gradu ab ascendente, tunc simul fiunt coniunctio visibilis et vera.

Intelligamus itaque quartam ecliptice ab orizonte ad 90^m gradum ab ascendente GU ita ut in orizonte sit G, in 90^mo gradu U. In qua quarta locus vere coniunctionis sit L, et tunc sit diversitas aspectus in longitudine arcus LM, locus Solis quidem visibilis R, locus Lune visibilis M. Propositum est invenire punctum ecliptice in quo cum Luna sit secundum veritatem locus visus eius sit super R. Erit autem diversitas aspectus Lune ad Solem arcus RM. Huic equalis sit LC ad partem oppositam. Quando igitur Luna fuit in C, si diversitas aspectus eius est equalis arcui LM seu CR, C est punctus quesitus. Sed Luna existente in C, quia tunc vicinior orizonti fuit, diversitas aspectus eius in longitudine maior fuit quam dum est in L. Sit itaque Lune in C existentis diversitas CP que est maior priore in arcu RP. Huic equalis sit CQ in contrarium successionis. Si ergo Luna existens in Q haberet diversitatem aspectus in longitudine arcum QR, Q esset punctus quesitus. Sed cum sit vicinior orizonti dum est in Q, erit eius diversitas aspectus maior arcu CP aut QR. Sit itaque ipsa tunc QF excedens QR in arcu RF. Huic RF equalis sit QS in contrarium successionis. Dico esse S punctum quesitum. Nam si Luna fuerit in S secundum verum locum, erit locus eius visus super R fere aut insensibiliter ab eo differens. Precisius tamen habebis si QS facies equalem RF et tante parti RF quanta ipsa RF est pars RP. Simili via procederes in reliqua quarta ecliptice.

Est igitur opus tale. Diversitatem aspectus in longitudine Lune ad Solem, scilicet arcum RM, divide per motum verum Lune in hora. Tempus quod exit aufer ab hora vere coniunctionis si fuerit ante 90^m gradum ab ascendente vel adde idem sibi si post. Et ad tempus proveniens quere diversitatem aspectus in longitudine, que est arcus CP. Eius differentiam ad primam diversitatem, que fuit CR, scilicet arcum RP, divide per motum Lune in hora, et tempus proveniens iterum minue vel adde ut antea a tempore cum quo secundam diversitatem quesivisti. Et ad tempus iam proveniens tertio queras diversitatem aspectus in longitudine, que est arcus QF; eius differentiam ad secundam diversitatem, que fuit QR, est RF. Super RF, si sensibilis quantitatis sit, iungamus tantam partem RF quanta ⟨est⟩ RF pars RP ut RF cum parte sua sit equale QS. Erit itaque arcus SR diversitas aspectus Lune in longitudine in hora visibilis coniunctionis fere. Divide arcum SR per motum Lune in hora, et tempus minue vel adde ad tempus vere coniunctionis ut antea dictum est. Et exibit coniunctio visibilis, que querebatur.

Vel sic agas et facilius. Ad horam vere coniunctionis queras diversitatem aspectus Lune in longitudine et motum eius visum in hora, agendo in hoc per horam antecedentem veram coniunctionem si sit ante 90^m gradum aut sequentem si sit post 90^m gradum. Dividasque diversitatem aspectus in longitudine per motum Lune visum in hora, et exibit tempus distantie visibilis coniunctionis a vera, quod adde vel minue ut ante dictum est. Ad idem tempus visibilis coniunctionis, si certior fieri velis, queras vera loca luminarium et diversitatem aspectus Lune ad Solem. Quod si distantia verorum locorum luminarium equalis fuerit diversitati aspectus Lune ad Solem in longitudine, certum fuit opus. Si differant, repete opus donec ita fiat. Nam necesse est in visibili coniunctione ut predicta duo concordent. Ut in figura sit Luna in circulo altitudinis secundum veritatem in O, secundum visum in N. Sit Sol secundum veritatem in S secundum visum in M. Locus Lune verus in ecliptica T designatus per arcum a polo ecliptice venientem XOT; visus autem locus Lune in ecliptica sit I designatus quoque per arcum a polo ecliptice venientem XIN. Si visus Solis locus fuerit super hoc arcu, tunc fit visibilis coniunctio. Et diversitas aspectus Lune ad Solem in longitudine erit tunc arcus TS, et ipse est etiam distantia verorum locorum luminarium. In his scias ut superius dictum est quod angulus ATZ si sumptus sit loco anguli QNO, et arcus QN loco arcus TI, similiter QT pro NI, MP pro SI, nihil sensibilis differentie fiet.

⟨VI.23⟩ 23. Digitos eclipsis Solaris prenoscere.

Ad horam visibilis coniunctionis reperias latitudinem Lune visam, similiter diversitatem aspectus Solis in latitudine visam, et ex his scies distantiam centrorum secundum visum. Item invenias quantitates semidiametrorum visualium. Si itaque agregatum semidiametrorum visualium fuerit equale distantie centrorum secundum visum, non fiet eclipsis ad tuam regionem, licet Lunam Sol quo ad visum contingat. Si agregatum semidiametrorum sit maius, aufer distantiam centrorum ab eo, et remanebit pars diametri Solis eclipsata. Ipsa multiplicata in 12 et divisa per diametrum Solis visualem ostendit digitos quesitos. Et si nulla esset distantia centrorum visualis, centrum Lune fieret secundum visum centrum Solis, et contingeret maxima eclipsis, precipue si Sol esset in auge ecentrici et Luna prope oppositum augis epicicli. Nam tunc tota Luna totum Solem obtegeret et in obscuratione moram faceret. Ratio operis est in figuris, ut sit circulus AC Solis super B centro et DF Lune super E centro. Agregatum semidiametrorum est ED et BC. A quo si ablatum fuerit BE, remanebit CD pars diametri Solis eclipsata. Si autem E coincideret cum B, eclipsabitur de diametro Solis tantum quantum diameter Lune occupat. Hanc quoque sicut 16^am huius convertere potes, ex digitis et semidiametrorum agregato datis distantiam centrorum eliciendo.

⟨VI.24⟩ 24. In eclipsi solari minuta casus elicere.

Quadratum distantie centrorum in medio eclipsis aufer a quadrato agregati semidiametrorum. Residui radix ostendit minuta quesita. Ratio est eadem que in 17^a huius. Et si precisionis labor tibi placet, poteris uti scientia trianguli speralis. Nam latus GA est agregatum semidiametrorum Lune et Solis, AE est distantia centrorum in medio eclipsis, et angulus E est rectus, igitur.

⟨VI.25⟩ 25. Tria tempora eclipsis solaris extrahere.

Minuta casus divide per superationem Lune in hora, et exibit tempus a principio ad medium, et tantum nunc supponitur a medio ad finem. Vel adde minutis casus suam duodecimam, et habebis visum motum Lune a principio ad medium et a medio ad finem. Hunc motum converte in tempus dividendo ipsum per motum Lune visum in hora.

⟨VI.26⟩ 26. Haec tempora definitiora reddere.

Quia diversitas aspectus Lune in longitudine variatur in principio in medio et in fine eclipsis, et tamen arcus motus visus a principio ad medium sit equalis arcui motus visus a medio ad finem, fit in descriptione horum arcuum secundum visum diversitas, ita ut licet arcus sint equales, tamen in diversis temporibus videantur secundum visum describi. Sic tempus ab initio ad medium erit aliud a tempore a medio ad finem. Sit igitur arcus veri motus Lune a principio ad finem eclipsis ABC ita ut in principio sit secundum veritatem in A, in medio in B, in fine in C. Sed secundum visum in principio sit in G, in medio in E, in fine in F. Sic motus visus a principio ad finem sit GF. Erit autem GE insensibiliter differens ab EF, propter agregatum semidiametrorum in principio et in fine insensibiliter variatum. Si diversitates diversitates] corr. ex diversitas aspectus in longitudine sint secundum successionem signorum, quod accidit ante 90^m gradum ab ascendente, oportet ut AG sit maior EB; sic motus verus a principio ad medium maior est motu viso in eodem tempore in tanto in quanto AG excedit BE. Aufer igitur diversitatem EB a diversitate GA, et residuum adde cum EG. Exibit AB, quod divide per motum Lune in hora verum, et exibit tempus quo Luna secundum visum transit a G in E. Similiter ex diversitatibus FC et EB, invenies arcum CB et tempus suum. Si vero diversitates aspectus in longitudine fuerint contra successionem signorum, quod fit post 90^m gradum, erit AG minor BE et BE minor CF. ⟨Sic⟩ iterum verus motus Lune a principio ad medium maior est viso motu Lune in eodem tempore in differentia BE et AG diversitatum, quare aufer AG a BE. Residuum adde cum GE, et prodibit AB, quem divide per verum motum Lune in hora. Et exibit tempus quo Luna secundum visum a principio eclipsis cadit in medium eclipsis. Similiter ex differentia diversitatum CF et BE et arcu EF, invenies tempus quo Luna a medio eclipsis ad finem secundum visum excidit.

Ex his constat quod si differentia diversitatum aspectus in longitudine in principio et medio eclipsis sit equalis differentie diversitatum aspectus in longitudine in medio et in fine, tempus incidentie equale est tempori excidentie. Id autem contingit si medium eclipsis in 90^mo gradu ab ascendente fiet. Quando vero differentia diversitatum aspectus in longitudine in principio et medio eclipsis sit minor differentia diversitatum aspectus in longitudine in medio et fine, quod accidit ante 90^m gradum, tempus incidentie minus est tempore excidentie. Sed quando differentia diversitatum in longitudine in principio et medio eclipsis fuerit maior differentia diversitatum aspectus in longitudine in medio et fine eclipsis, quod fit post 90^m gradum, tempus incidentie maius est tempore excidentie. Quod autem differentie diversitatum aspectus in longitudine versus 90^m gradum maiores sint quam versus ascendens aut occidens trahitur ex scientia angulorum in secundo huius et tabulis suis.

Ut autem brevius singula complectantur, minuta casus divide per superationem Lune visam in hora visam…hora] corr. ex in hora visam repertam ad principium eclipsis, et proveniet tempus incidentie in medium eclipsis. Item divide ea per superationem Lune visam in hora repertam ad medium eclipsis, et proveniet tempus excidentie a medio eclipsis.

⟨VI.27⟩ 27. In eclipsi parciali ex digitis diametri eclipsatis quantitatem superficiei eclipsatam metiri.

Sit circulus ABGD representans Solem in eclipsi solari aut umbram in eclipsi lunari. Circulus vero AHGZ sit Lune. Centrum Solis aut umbre sit E, Lune vero T. Puncta vero Z D de diametro Solis aut Lune sint data. Propositum est invenire quantitatem superficiei ovalis figure ADGZ in proporcione ad totam superficiem circuli ABGD in eclipsi solari aut AHGZ in eclipsi lunari. Quia linea ET, scilicet quod est inter duo centra in medio eclipsis, est nota ex premissis, scilicet ex punctis datis et etiam semidiametris. Ductis autem lineis EA, AT, GE, GT, et AG secante ET in K, erunt EA et AT note quia semidiameter Solis aut umbre et Lune visuales. In triangulo autem AET differentia quadratorum AE et AT divisa per ET producet differentiam linearum EK et KT. Quare EK et KT note fient. Et quoniam anguli ad K recti sunt, ideo nota erit AK, que est equalis KG. Quare uterque triangulorum EAG et TAG notus pro ut pro ut] prout W communis mensura est quadratellum unius partis talis qualium EA, AT, et TE sunt notarum partium. Item ex proporcione EA ad AK notus erit arcus ADG per tabulam sinuum. Similiter ex proportione TA ad AK notus erit arcus AZG prout circumferentia circuli est 360 gradus. Proportio denique circumferentie circuli ad diametrum, ut ostendit Archimedes, est minor quam tripla sesquiseptima et maior quam tripla superparciens 10 septuagesimas primas. Inter has autem media proportio est trium partium, 8 minutorum, 30 secundorum ad unam partem. Ex hac itaque et notis semidiametris EA et AT, note erunt periferie circulorum ABG et AHG. Et ex proporcione arcus ADG aut AZG ad totam periferiam, noti erunt arcus ADG et AZG in partibus quibus EA et AT note erant. Ex ductu autem EA in AD consurgit sector EADG. Similiter ex ductu TA in AZ consurgit sector TAGZ. Quare sectores noti fient in partibus quibus iam trianguli EAG et TAG noti erant. Sed ablato triangulo EAG a sectore EADG manet portio arcu ADG et corda AG contenta; igitur ipsa nota fiet. Similiter portio arcu AZG et corda AG contenta innotescet. Quare tota figura ovalis AZGD nota fiet. Quare cum in eisdem partibus sit etiam nota superficies circuli ABG quia fit ex ductu EB in semiperiferiam DAB, nota fiet proportio ovalis figure AZGD ad totam superficiem circuli solaris ABGD. Similiter in eclipsi lunari nota erit eius proportio ad AHGZ superficiem circuli lunaris, quod fuit ostendendum.

Exemplum Ptolemei. Semidiameter Solis EB est 15 minuta 40 secunda, quam servat invariatam. Semidiameter Lune visualis in longitudine media epicicli est 16 minuta 40 secunda. Quare secundum hanc proportionem dum BD est 12 digiti, erit ZH 12 digiti et 20 minuta fere. Ponamus autem ut ZD sit 3 digiti, quare EZ erit quoque tres digiti. Et ZT est 6 digiti et 10 minuta, ideoque ET erit 9 digiti 10 minuta. Quadratum EA est 36 digiti quadrati, et quadratum TA est 38 et 2 minuta fere. Differentia horum est 2 digiti et 2 minuta. Divisa per ET, scilicet 9 digitos et 10 minuta, exit differentia EK et KT 13 minuta 18 secunda. Quare EK erit 4 digiti 28 minuta et KT 4 digiti 42 minuta. Ex his igitur fiet utraque linearum AK et KG 4 digitorum. Ergo triangulus AEG est 17 digiti quadrati et 52 minuta, et triangulus ATG 18 digiti 48 minuta. Ex proporcione autem EA ad AK, dum EA est 60, erit AK 40; quare arcus AD est 41 gradus 49 minuta prout circumferentia circuli habet 360 gradus. Sic ex proporcione TA ad AK, que est 6 digitorum 10 minutorum ad 4 digitos, dum TA est 60, erit AK 38 et 55 minuta. Ergo arcus AZ est 40 gradus 26 minuta. Item secundum proportionem unius ad 3 et 8 minuta et 30 secunda, dum EA est 6, erit periferia ABGD 37 digiti 42 minuta, et area circuli solaris 113 digiti quadrati et 6 minuta. Et secundum eandem proportionem dum TA est 6 digiti et 10 minuta, fiet periferia AZGH 38 digiti et 45 minuta, et area circuli lunaris 119 digiti 29 minuta. Proportio autem periferie ABGD se habet ad arcum ADG sicut area circuli ad aream sectoris AEG. Sed ea est 180 ad 41 gradus 49 minuta; ideo area sectoris AEG est 26 digiti quadrati et 15 minuta fere. Similiter sector ATG fiet 26 digiti 51 minuta. Sed area trianguli AEG fuit 17 digiti 52 minuta, ergo portio ADGK est 8 digiti 23 minuta. Et area trianguli ATG fuit 18 digiti 48 minuta, ergo porcio AZGK est 8 digiti 3 minuta. Igitur area ovalis AZGD est 16 digiti superficiales et 26 minuta. Superficies autem circuli ABGD fuit 113 digiti et 6 minuta, quam si constituemus 12 digitos, erit ovalis AZGD digitus unus et 45 minuta fere, quod est intentum.

⟨VI.28⟩ 28. Quantitatem anguli ex ecliptica et circulo per ambo centra luminarium vel Lune et umbre transeunte provenientis inquirere.

Non queruntur hii anguli nisi ad principia eclipsium et fines et principia more et fines in luminaribus. luminaribus] corr. in lunaribus Sit igitur in eclipsi lunari in principio totius centrum umbre punctum A in ecliptica BA. Et portio circuli declivis Lune sit EG, que est tanquam equedistet ecliptice propter parvitatem arcus eius. In principio eclipsis sit Luna super E, in principio more super D, in medio super G. Productis lineis AE, AD, AG, propositum est invenire angulum BAE, item angulum BAD. Est autem angulus G insensibiliter a recto differens. Et AE est agregatum semidiametrorum Lune et umbre, AD autem semidiameter umbre minus semidiametro Lune, AG vero latitudo Lune in medio eclipsis, que nota sunt. In trigono itaque AEG proportio laterum EA AG nota, ergo tanquam in rectilineo notus erit angulus AEG qui est equalis angulo EAB quesito. Similiter per trigonum DAG notus erit angulus ADG equalis DAB quesito. In medio vero eclipsis talis angulus rectus est. Similiter in eclipsi solari AE erit agregatum ex semidiametris et AG distantia duorum centrorum in medio eclipsis, ex quibus quoque notus fiet angulus AEG et cetera.

Sed melius est ut agas in principio eclipsis per agregatum semidiametrorum et latitudinem Lune veram aut visam in principio eclipsis, et in principio more per semidiametrum umbre minus semidiametro Lune et latitudinem Lune veram in principio more. Et fiet opus precisius. Verum si omni precisioni inniti voles, fac opus per scientiam triangulorum speralium. Fecit Ptolemeus tabulam horum angulorum in quam fit introitus cum digitis eclipticis. Et supposuit Lunam in longitudine media epicicli. Ex digitis enim et agregato semidiametrorum reperit arcum AG, cum quo egit ut dictum est.

⟨VI.29⟩ 29. Flexus tenebrarum ad quam partem accident in eclipsi determinare.

Evidentie gratia sit in eclipsi lunari circulus umbre super centro A in ecliptica BAC. Et propter angulos quibus precedens doctrina fuit assignandos, sit circulus DNE, cuius polus sit A. Si itaque Luna in aliquo priorum temporum eclipsis fuerit super B, flexus tenebre eius respiciet versus orientem ad punctum E, et econtra in aliquo temporum posteriorum, si sit super T, T] corr. in C flexus tenebrarum eius respiciet versus occidentem ad punctum D. Si vero latitudinem habuerit in aliquo temporum, ut si in principio eclipsis vel more sit in latitudine septentrionali, puta in F, flectentur tenebre eius versus punctum K in partem orientalem meridionalem secundum quantitatem BAF anguli ex premissa noti. Sed si sit in latitudine meridiana, puta in L, flectentur tenebre eius versus O ad partem orientalem septentrionalem. Et econtra si in fine eclipsis vel more fuerit in latitudine septentrionali, puta in M, flectentur tenebre versus N ad partem occidentalem meridionalem. Et si sit in latitudine meridiana, flectentur tenebre versus H ad partem occidentalem septentrionalem secundum quantitates angulorum ex premissa repertorum.

Similiter intellige in eclipsi solari nisi quod loco umbre Solem accipias, et flexum tenebrarum intellige opposito modo fieri. Nam in principio eclipsis ⟨si⟩ sit Luna super B, flexus tenebrarum Solis erit versus occidentem, et in fine si sit Luna super C, flexus tenebrarum Solis erit versus occidentem, et sic de aliis. Fecit itaque Ptolemeus quantitates horum angulorum ad principia et fines eclipsium solarium, ut predictum est, item ad principia et fines eclipsium lunarium et principia et fines morarum.

⟨VI.30⟩ 30. Punctum orizontis quod flexus tenebrarum respicit certius diffinire.

Sit orizon NPOQ; N quidem punctus occidentis equinoctialis, O vero orientis, P meridiani, Q septentrionis, medietas ecliptice supra orizontem DBAC; D quidem punctus occidens et C oriens. D autem et C dati erunt ex tempore dato et premissis in secundo libro. Etiam arcus OC et ND equales noti ex eisdem fient. Sit etiam A centrum Solis aut umbre, F vero centrum Lune, latitudo Lune FB, circulus magnus transiens per duo centra sit LFAH. Propositum est reperire arcum OH seu sibi equalem NL. Sit polus orizontis T, a quo quarta circuli descendens per A sit AM, AM] TAM W et portio super LKAH perpendicularis sit TK, et continuata ad orizontem fiat KTG. Quia itaque trigoni speralis FAB duo latera BF et FA et angulus B rectus nota sunt, igitur angulus FAB notus. Angulus autem TAC propter punctum A notum et tempus datum ex 45 secundi notus erit, quare residuus TAB notus. Quare etiam angulus TAK notus fiet. Trianguli itaque TAK duo anguli A et K noti et latus TA notum ex 43 secundi, igitur et TK notum. Sed GT est quarta. Arcus ergo GTK, scilicet quantitas anguli GHK, notus; ideo trianguli AHM angulus H notus. Sed et AM notum quia complementum TA, et angulus HAM notus quia equalis angulo TAK. Quare arcus HM notus fiet. Sed etiam in triangulo CAM latus CA notum et angulus M rectus et angulus MAC notus quia equalis TAB, quare latus MC notum fiet. Sed iam notus fuit HM. Constabit igitur arcus CH. Ex prima autem secundi libri notus est OC; quare arcus OH notus, qui querebatur.

Finis sexti.