⟨III⟩ ⟨Liber III⟩
Tercius incipit.
⟨III.1⟩ 1. Ingressum Solis in punctum equinoctii instrumenti adiutorio colligere.
Disponatur quadrans ABC in superficie meridiana sicut in 22 primi huius ostensum est, et cum eo prope equinoctii tempus, quod facile ex meridianis altitudinibus conicies, observa. Note namque prius tibi sunt per observationes tuas regionis tue latitudo, maxima Solis declinatio, etiam ad singula puncta ecliptice declinationes ipse. Ideo si aliquo die altitudo meridiana fuerit precise complementum altitudinis poli in tua regione, scito eo die in meridie equinoctium esse. Per altitudines autem meridianas proxime minorem et maiorem complemento altitudinis poli, si nulla altitudo meridiana precise equalis sit complemento altitudinis poli, reperies horam ingressus Solis in punctum equinoctii sic. Si fuerit iuxta vernale, pro quolibet minuto differentie minoris altitudinis meridiane et complementi altitudinis poli, unam horam accipe, horisque a meridie precedente equinoctium numeratis fit talis ingressus. Si autem iuxta autumnale fuerit, tot horis a meridie precedente equinoctium computatis quot sunt minuta differentie maioris altitudinis meridiane et complementi altitudinis poli, fiet ingressus in equinoctium. Tali tamen observationi autumnali autumnali] autumnale W magis convenit quod tunc aer purior sit. Ingressus vero in puncta tropica difficilioris sunt observationis propterea quod tunc declinatio Solis parum et insensibiliter varietur, propter quod fere ad quatuor dies eadem altitudo Solis meridiana maneat. Sed ingressus in equinoctii puncta magis huic rei commodi sunt quod tunc declinatio Solis plurimum varietur sic ut altitudo meridiana in die 24 minutis unius gradus vel augeatur vel minuatur.
⟨III.2⟩ 2. Anni quantitatem per observationem elicere.
Diversi diversas circa anni quantitatem considerationes habuere. Vetustissimi enim Egiptiorum annum solarem reditionem Solis ad aliquam stellarum fixarum esse dicebant, inveneruntque id fieri in 365 diebus, quarta diei, et 130ma parte diei. Verum hec anni assignatio non convenit propterea quod stelle fixe motum separatum habeant a motu totius, parique ratione reversio Solis ad Saturnum aut Iovem annus dici deberet. Ideoque Ipparchus et Ptolemeus dixerunt annum esse reditum Solis in aliquod punctum equinoctii aut solstitii. Quantum itaque temporis est ab ingressu Solis in punctum equinoctii autumnalis usque proximum eius ingressum in idem punctum tantum quantitatis annus habere dicitur. Verum propter instrumentorum quibus talis talis] tales W ingressus deprehenduntur fallatiam, vix potest vera anni quantitas inveniri nisi per multorum annorum spatium, quantoque inter duas observationes maius temporis intervallum interciderit tanto veratius hanc anni quantitatem reperire poterimus. Hinc Ipparchus reperit quantitatem anni 365 dierum et quarte unius. Ptolemeus vero reperit annum 365 dierum et quartae minus 300ma parte diei hac via procedens. Sumit observationem Ipparchi qua subtiliter, ut dicit, equinoctium autumnale consideravit in anno 32do revolutionis tertie secundum Calippum, fuitque a morte Alexandri anno 178vo Egiptio. Et dicit eam fuisse die tertia ex 5 superadditis hora noctis medie in Alexandria, cuius crastinum fuit dies quarta superadditarum. Summit Summit] i.e. ‘sumit’ deinde observationem suam qua anno 463o Egiptio a morte Alexandri equinoctium autumnale consideravit, dicitque eam fuisse nona die mensis Athyr, qui est tercius Egiptiorum, post ortum Solis fere per unam horam. Intervallum autem inter ambas observationes fuit 285 anni Egiptii, 70 dies, et quarta et 20ma diei. Quia itaque in hoc intervallo fuerunt 285 reversiones Solis et si annus constitisset ex 365 diebus et quarta unius, oportuisset ipsum intervallum fuisse 285 anni Egiptii, 71 dies, et quarta unius, sed non fuit intervallum nisi 285 anni, 70 dies, 7 hore, et quinta unius. Ergo anni quantitas minor est 365 diebus et 6 horis. Differentia vero inter hec intervalla est 23 hore et quatuor quinte unius, que sunt 19 20me unius diei. Proporcio autem 19 ad 20 est velut 285 annorum ad 300 annos, quare conclusit Ptolemeus quod in 300 annis solaribus deficiet unus dies a numero dierum quem facerent 300 anni si annus ex 365 diebus et quarta unius constaret. Ideoque veram anni quantitatem constare dixit ex 365 diebus et quarta unius minus 300ma parte diei. Hanc eandem quantitatem reperit via simili per observationes plures.
Deinde Albategni anno a morte Alexandri 1206to, scilicet post Ptolomeum Ptolomeum] corr. in Ptolemeum annis 743, observans, suam considerationem cum Ptolomei Ptolomei] corr. in Ptolemei consideracionibus comparando, reperit in 106 annis unum diem deficere a numero dierum quem 106 anni constituunt dum quilibet ex 365 diebus et quarta constet, ideoque dixit annum esse 365 dierum et quarta unius minus 106ta parte diei, que est 13 minuta hore et tres quinte unius minuti. Nam consideratio Albategni fuit post predictam Ptolemei autumnalem considerationem annis 743 Egiptiis, 178 diebus, medietate et quarta diei minus duabus quintis unius hore. Ptolemeus enim in Alexandria consideravit; Albategni vero in Aracta que orientalior est in gradibus 10. Et equalitas Albategni fuit ante Solis ortum horis 4 et tribus quartis unius fere respectu sui meridiani; Ptolemei vero respectu meridiani Albategni fuit post ortum hora una et duabus tertiis unius. Sic ultra dies integros in intervallo fient hore 17 et tres quinte unius fere. Anni autem solares 743, unoquoque ex 365 diebus et quarta constante, sunt 743 anni Egiptii, et 185 dies, 18 hore, qui excedunt ipsum intervallum in 7 diebus et 25 minutis hore, que si divisa fuerint per 743 annos solares, fiet ut uni anno proveniant 13 minuta hore et tres quinte unius minuti. Posuit igitur annum solarem 365 dies, 5 horas, 46 minuta, et duas quintas unius.
Propter huiusmodi diversitatem in quantitate anni a variis reperta, similibus tamen viis et instrumentis quesita, Thebit causam huius diversitatis inquirens permotus fuit ut motum octave sphere, quem trepidationis dicimus, super duobus circulis parvis, in quibus capita Arietis et Libre mobilia circumferrentur, poneret. Qua positione tam variationes declinationum ecliptice quam anni varias quantitates salvare nititur, ut patet [in] huius motus qualitatem contemplanti. Dixitque anni quantitatem non esse tempus ab equinoctio ad simile equinoctium, nec a solstitio ad simile solstitium, sed reditum Solis ab aliquo puncto ecliptice mobilis in idem sive reversionem Solis ab aliqua stella fixa ad eandem, quod dixit fieri in 365 diebus, 6 horis, 9 minutis, et 12 secundis.
⟨III.3⟩ 3. Medium motum Solis tabulare.
Ex premissa cognoscitur quanto tempore Sol medio motu suo circulum, idest 360 gradus, perficit. Per tot igitur dies et fractiones suas si 360 gradus diviseris, habebis medium motum Solis in una die. Hunc Ptolemeus posuit 59 minuta, 8 secunda, 17 tertia, 13 quarta, 12 quinta, et 31 sexta. Ex hoc facile tabulas compones.
⟨III.4⟩ 4. Duos esse modos quibus motus planete equalis in orbe suo diversus appareat in orbe signorum.
Unus est secundum orbem ecentricum tantum, alius secundum orbem concentricum concentricum] spelled contentricum cum epiciclo. Sit enim orbis ecentricus ABGD, cuius centrum E sit extra centrum mundi Z. Dyameter Dyameter] misspelled dyamiter eius transiens per longitudinem longiorem A et propiorem D et per ambo centra sit AEZD. Dico si planeta moveatur equaliter in orbe ABGD, tunc motus eius apparebit diversus super centro mundi Z. Sint enim AB et GD arcus equales. Ductis lineis EB, EG, ZB, et ZG, constabit per ultimam sexti angulos AEB et DEG esse equales. Sed AEB est maior angulo AZB, et GED est minor minor] corr. ex maior angulo GZD. Igitur angulus GZD maior est angulo AZB. Sed in tempore equali secat hos angulos propterea quod arcus AB equalis est arcui GD. Igitur motus equalis respectu E centri fiet diversus respectu Z centri.
Item sit concentricus planete ABGD super centro mundi E, et in circumferentia huius concentrici sit centrum orbis epicicli A et circumferentia epicicli ZHTK. Et diameter transiens per centrum mundi, centrum epicicli et longitudinem longiorem epicicli Z et propiorem T sit ZATEG. Dico si centrum epicicli A moveatur equaliter in concentrico ABGD et planeta moveatur equaliter in circumferentia ZHTK, motus eius equalis in hiis apparebit diversus super centro E. Nam ductis lineis EH EK, si planeta motus sit per arcum epicicli ZH, motus eius in epiciclo addet super motum centri epicicli in concentrico arcum anguli AEH. Et si motus sit per arcum epicicli TK, motus eius in epiciclo minuet de motu centri epicicli in concentrico arcum anguli AEK. Addet itaque super motum equalem per unam medietatem epicicli, scilicet ZHT, et per alteram, scilicet TKZ, minuet ab eodem. Sic in una medietate epicicli motus apparens maior est medio; in altera vero minor.
Hinc palam est secundum viam ecentrici maior est motus apparens in longitudine propiori quam in longiori. Secundum viam autem concentrici cum epiciclo, potest tam in longitudine longiori quam in propiori motus maior maior] corr. ex maiori accidere. In figura enim ecentrici angulus GZD maior est angulo AZB. In figura autem epicicli dum centrum epicicli ab A versus B moveatur, si motus planete sit a Z versus H, maior est motus in longitudine longiori, sed si tunc motus planete esset a Z versus K, minor esset motus in longitudine longiori et maior in propiori.
⟨III.5⟩ 5. Sumptis duobus arcubus in medietate ecentrici equalibus, qui longitudini propiori vicinior fuerit maiorem in centro terre subtendit angulum. Ex hoc constat quanto planeta longitudini propiori vicinior fuerit tanto motus eius apparens maior erit.
] the point at the bottom should be labelled ‘G,’ and there should also be lines KZ and HZ, as in W’s figure In ecentrico ABGD, cuius centrum E, diameter per longitudines longiorem et propiorem transiens sit AEZG, in qua centrum terre Z. Duo arcus TH BK sint equales. Unde angulus HET equalis erit angulo KEB. Dico angulum KZB maiorem esse angulo HZT propterea quod arcus KB longitudini propiori sit vicinior. TZ et BZ continuate occurrant periferie ecentrici in L et D. Ductisque lineis HL et KD et perpendicularibus super eas ZP et ZQ, quia angulus HLT est equalis angulo KDB per 25 tertii et angulus ZPL equalis angulo ZQD, igitur per 4 sexti proporcio ZD ad ZL sicut ZQ ad ZP. Sed ZD maior est ZL per 7 tertii, ergo ZQ maior est ZP. Linea autem HZ maior est linea KZ per eandem 7 tertii. Ergo per 8 quinti proporcio HZ ad ZQ maior est quam proporcio KZ ad ZQ, et per eandem HZ ad ZP maior est quam HZ ad ZQ. Igitur proporcio HZ ad ZP maior est proportione KZ ad ZQ. Quare ex ratione sinuum seu cordarum angulus ZKQ maior est angulo ZHP, ideoque duo anguli ZKQ et ZDQ simul maiores sunt duobus ZHP et ZLP. Igitur per 32 primi angulus KZB maior est angulo HZT, quod fuit ostendendum. Corrolarium manifestum est.
⟨III.6⟩ 6. Sumptis duobus arcubus in medietate epicicli superiori equalibus, qui longitudini longiori vicinior fuerit maiorem in centro terre subtendit angulum.
] there should be label ‘G’ at the perigee Sit epiciclus ABG super centro E diametro AEG transeunte per longitudinem longiorem A, propiorem G et centrum terre Z. Sumpti sint in parte superiori duo arcus HT et BK equales, HT quidem vicinior ad longitudinem longiorem. Dico angulum HZT maiorem esse angulo BZK. Secent enim TZ et KZ epiciclum inferius in L et M, et super continuatas HL et BM cadant perpendiculares ZP et ZQ. Sunt itaque HLT et BMK anguli equales per 25 tercii, ideoque eorum contrapositi ZLP et ZMQ sunt equales. P autem et Q sunt recti. Ergo per 4 sexti MZ ad LZ proportio est sicut ZQ ad ZP. Sed MZ est maior LZ per 8 tercii, igitur ZQ est maior ZP. Sed et ZH est maior ZB per eandem 8 tercii. Quare per 8 quinti HZ ad ZQ proportio maior est quam BZ ad ZQ; HZ autem ad ZP maior quam HZ ad ZQ per eandem. Igitur HZ ad ZP maior est quam BZ ad ZQ. Igitur ex ratione sinuum angulus ZBQ maior est angulo ZHP. Sed extrinseci eorum BMK et HLT sunt equales. Igitur residui duo intrinseci sunt inequales, scilicet angulus HZT maior angulo BZK, quod est intentum.
Ex his manifestum est tam per modum ecentrici quam epicicli stellam in temporibus equalibus in orbe signorum inequales arcus describere.
⟨III.7⟩ 7. Secundum modum ecentrici maxima differentia inter motum equalem et apparentem continget in puncto transitus medii, quem determinat linea motus apparentis super diametro per ambo centra eunte stans perpendiculariter.
Sit ecentricus ABGD, per cuius centrum E et per centrum mundi Z et longitudinem longiorem A et propiorem G transeat diameter AG. Linea motus apparentis stans super AG orthogonaliter sit ZB. Ductaque BE angulus diversitatis inter motum equalem et apparentem est EBZ. Motus enim equalis tunc est angulus AEB, sed apparens est AEB…est2] i. m. AZB. Fiant etiam duo alii anguli diversitatum apud duo puncta T et K, qui sint ETZ et EKZ. Dico angulum B maximum horum esse. Continuetur enim BZ in D, et ducantur TD, ED, et KD. Quia per 7 tercii TZ est longior ZD, igitur per 19 primi erit angulus TDZ maior angulo DTZ. Sed EDT equalis est angulo ETD per diffinitionem circuli et quintam primi. Igitur residuus ZDE maior est residuo ETZ. Sed EDZ equalis est angulo EBZ. Igitur angulus EBZ maior est angulo ETZ. Similiter probabis EBZ maiorem esse EKZ.
Vel sic ostende. Sint H T puncta in arcu AB. Ductis EK et EL perpendicularibus super HZ et TZ, per penultimam primi patet EZ longiorem esse EK et EK longiorem EL. Sed EB, EH, et ET sunt equales, ergo per 8 quinti proportio TE ad EL maior est proportione HE ad EK, et HE ad EK proportio maior proporcione BE ad EZ. Ideoque ex ratione sinus angulus B est maior angulo H, et angulus H maior angulo T.
Ex hoc infertur: quanto linea motus apparentis puncto transitus medii vicinior fuerit tanto differentia inter motum equalem et apparentem est maior. Idem ostendere poteris de punctis inter B et G.
Hinc etiam constat arcum a longitudine longiori, idest puncto motus minoris, ad punctum transitus medii esse maiorem arcu a puncto transitus medii ad longitudinem propiorem, idest punctum motus maioris, in duplo maxime diversitatis. Nam quanto angulus AEB est maior angulo AZB tanto eciam angulus GZB maior est angulo GEB. Ideo angulus AEB maior est angulo GEB in duplo anguli EBZ, quod est intentum.
⟨III.8⟩ 8. Secundum modum epicicli dum centrum epicicli in concentrico planetaque in epiciclo equecito circueant fueritque motus minor in longitudine longiori, maxima differentia inter motum equalem et apparentem continget dum linea motus apparentis a puncto longitudinis longioris quarta circuli distiterit.
Sit concentricus ABGD super centro E, sitque A locus centro epicicli dum planeta fuerit in longitudine longiori epicicli. Z vero sit locus centri epicicli dum linea EN motus apparentis distiterit ab A per quartam circuli seu angulum rectum AEN. Dico angulum ZEN, qui est diversitas inter motum equalem et apparentem, esse omnium maximum. H sit longitudo longior epicicli. Propter motus proporcionales oportet angulum HZN esse equalem angulo ZEA. Ergo per 28 primi ZN equedistat AE. Ideo per 29 anguli coalterni AEN et ZNE sunt equales. Igitur ZNE quoque rectus erit. Quare per corolarium 15 tercii linea EN est contingens epiciclum, ideo fiet angulus ZEN maximus. Item sit centrum epicicli in duobus aliis punctis, puta T et K. Oportebit similiter angulum HTL esse equalem angulo TEA et HKM equalem angulo KEA propter positionem motuum equalium. Sic angulus HTL maior fiet angulo HKM, ideoque per 8 tertii EM longior fiet EL quod arcus HM minor sit arcu HL. Et ex hoc angulus TEL maior erit angulo KEM.
Palam est ergo: quanto linea motus apparentis fuerit puncto transitus medii vicinior tanto diversitas inter motum equalem et apparentem est maior. Voco autem punctum transitus medii B in concentrico quem indicat linea EN orthogonaliter stans super AG. Idem posset ostendi si puncta T et K essent inter Z et G.
Hinc iterum palam est: tempus quod est a puncto motus minoris ad punctum transitus medii maius est tempore quod est a puncto transitus medii ad punctum motus maioris in duplo tempore maxime diversitatis. Quo enim angulus AEZ maior est angulo ZEG eo etiam angulus HZN maior est angulo NZE. Sed AEZ maior est angulo ZEG in duplo anguli ZEN. Igitur et cetera.
⟨III.9⟩ 9. Si tres motus equales sint, videlicet stelle in ecentrico, epicicli in concentrico, stelleque in epiciclo, motu tamen eius in longitudine longiori existente minori, fuerintque ecentricus et concentricus eiusdem magnitudinis et semidiameter epicicli equalis distantie centrorum, quicquid diversitatis secundum unum modorum accidit continget etiam secundum reliquum.
Sit concentricus ABG super centro D, et huic equalis sit ecentricus EZH super centro T. Diameter communis per longitudinem longiorem et propiorem amboque centra transiens sit EG. Concentrici arcus ad libitum sit AB. Super B tanquam centro epicicli descriptus sit epiciclus secundum quantitatem semidiametri BK equalis linee DT. Huius epicicli sectio cum ecentrico sit Z. Dico quod locus stelle secundum utrumque modorum erit in sectione tali. Nam propter equalitatem motuum semper sunt tres arcus AB, KZ, et EZ similes. Quadrilaterum etiam BZTD opposita latera habet equalia. Igitur semper est equidistantium laterum dum centrum epicicli extra A et G fuerit. Quare KBZ, BDA, et ZTE anguli semper sunt equales, ideoque motus apparens semper determinabitur linea DZ. Quare secundum utrumque modum locus stelle apparens est in puncto Z, unaque motus equalis et apparentis differentia. Nam secundum modum ecentrici differentia talis est angulus TZD, et secundum modum epicicli in concentrico differentia2…concentrico] i. m. ipsa est angulus BDZ. Ipsi autem sunt coalterni. coalterni] igitur equales add. W Palam itaque est quod secundum epicicli modum stella ecentricum describit nec usquam ab eo discedet.
⟨III.10⟩ 10. Idem etiam accidet si circuli ecentricus et concentricus inequalis magnitudinis fuerint dum saltem proportio semidiametrorum ecentrici et concentrici sit sicut proporcio distantie centrorum ad semidiametrum epicicli.
Sit ecentricus ABG super centro D, diametro AG, in qua centrum mundi sit E, longitudo longior A, propior G, sitque stella in puncto ecentrici B. Palam est quod locus eius apparens est super linea EB et angulus diversitatis motus equalis et apparentis est DBE. Sit deinde EH equedistans DB, et secundum quantitatem semidiametri EK sumptam ad libitum imaginor concentricum. Secundum modum itaque epicicli in concentrico, quando stella est in B, centrum epicicli erit in K propter motuum equalitatem et angulos ADB AEK equales. Sit igitur semidiameter epicicli KH tante quantitatis ut proporcio AD ad EK sit sicut proportio DE ad KH. Item sit KZ equedistans EA. Erit igitur secundum modum epicicli locus stelle in Z. Dico Z esse in directo linee EB ita ut EBZ sit linea una. Ducatur linea EZ. Quia ZK et EA equedistant, erit angulus KZE equalis suo coalterno AEZ. Item quia KE equedistat BD et ZK equedistat ED, igitur per 34 primi angulos oppositos equales esse oportet, scilicet BDE et EKZ. Sed et laterum proporcio est una quia BD ad EK sicut DE ad KZ. Quare per 6 sexti triangulus BDE est equiangulus triangulo EKZ, quare angulus KZE equalis est angulo DEB. Sed iam angulus KZE equalis fuit angulo AEZ. Igitur angulus DEB est equalis angulo AEZ, quare EB et EZ sunt linea una, quod fuit ostendendum.
Unde et angulus ZEK equalis est suo coalterno, scilicet angulo EBD, scilicet angulus diversitatis secundum modum epicicli angulo diversitatis secundum modum ecentrici. Patet itaque quod semper secundum quamlibet duarum radicum locus stelle apparens determinatur per lineam EB et diversitas in utraque est una sive ecentricus concentrico maior sit sive minor.
⟨III.11⟩ 11. Iuxta modum ecentrici diversitates motuum equalis et apparentis eedem sunt dum linea loci apparentis in orbe signorum a longitudine longiore et propiore equaliter distiterit.
Ut sit ecentricus ABGD super centro E. Centrum orbis signorum sit Z. Diameter per longiorem et propiorem sit AEZG, sintque anguli AZB, DZG, HZG equales. Dico tres angulos diversitatis, scilicet B, H et D, esse equales. Est enim per 5 primi angulus B equalis angulo D. Sed et duo trianguli EHZ et EDZ sunt equalium laterum. Nam EH equalis ED ex ratione circuli, et ZH equalis ZD per 7 tercii. In punctis tamen A et G nulla erit motuum diversitas.
Conversa huius etiam patet. Sint anguli B et H equales. Dico angulos AZB et GZH esse equales. Nam si alter eorum maior esset, resecto eo ad equalitatem alterius, per hanc undecimam sequitur contra septime huius corolarium quod quanto linea apparentis motus puncto transitus medii vicinior fuerit non tanto differentiam diversitatis maiorem esse, quod est impossibile.
Palam etiam est lineam transitus medii semper angulum motus apparentis inter puncta earundem diversitatum contenti per equa secare.
⟨III.12⟩ 12. Iuxta modum epicicli idem etiam accidere.
Sit concentricus AGF super centro mundi D, punctus F locus centri epicicli dum stella fuerit in longitudine longiori epicicli, G vero dum in propiori. Item sint tria loca centri epicicli A, L, O in sitibus quibus linee motuum apparentium equaliter distiterint ab longitudine longiori et propiori in orbe signorum, ita ut linee motuum apparentium sint DZ, DN, DQ, ut tres anguli ZDF, NDG, QDG sint equales. Dico angulos diversitatum, scilicet ADZ, LDN et ODQ, esse equales. Ex positione motuum equalium oportet AZ, LN et OQ equedistare diametro FG. Igitur tres anguli AZH, MNL, OPQ OPQ] OQP W sunt equales quia eorum coalternus et intrinseci positi sunt equales. Hinc trianguli tres ZAH, NLM, QOP per 5 et 32 primi sunt equianguli. Sed latera ZA, NL, QO sunt equalia, igitur per quartam sexti ZH, NM et QP sunt equalia. Sed que fiunt fiunt] corr. in sunt ex ZD in DH et MD in DN et ex PD in DQ sunt equalia eo quod unumquodque horum equale sit ei quod fit ex ED in DT, ut patet ex 35 tercii. Quare si ZH, MN, PQ per equalia dividantur, tunc per sextam secundi communemque scientiam probabis tres lineas ZD, MD, PD esse sibi invicem equales. Sunt igitur trianguli ZAD, MLD, POD equalium laterum, scilicet quodlibet suo relativo. Per 8 primi concludes propositum, scilicet angulos ADZ, LDM, ODP esse equales.
Conversam quoque huius ostendes: si anguli ADZ, LDN, ODQ sint equales, etiam angulos FDZ, GDN, et GDQ esse equales. Quoniam si alter maior esset, resecto ad equalitatem alterius per hanc 12 sequeretur contrarium corolarii octave huius, quod est impossibile.
Ex hoc patet motum equalem, qui est angulus ADL in hac disposicione, equalem esse motui apparenti, qui est angulus ZDN, qui equaliter dividitur linea eunte ad duos transitus medios. Item linea a centro mundi epiciclum secante et stella posita in duobus punctis sectionum equales habebit diversitates motuum equalis et apparentis, ut linea DZ secante epiciclum in Z et H sive stella fuerit in H sive Z, angulus diversitatis est ADZ. Tunc autem erit in H quando centrum epicicli situabitur in L. Erunt enim tunc H et N punctus unus. Angulus motus equalis a longitudine longiore, scilicet EAZ, maior est angulo motus apparentis, qui est AZD seu ZDT, ZDT] ZDF W in angulo ADZ, qui est diversitatis. Preterea angulus motus equalis a longitudine propiori, qui est LDG seu DLN, minor est angulo motus apparentis ab eadem longitudine propiori, scilicet angulo MNL seu MDG, in angulo NDL, qui est eiusdem quantitatis cum angulo ADZ. Sic quantum in situ A unus excedit alium tanto in situ L excedetur ab alio dum a longitudine viciniori fuerit computacio.
Ex premissis constat quod possibile est quod in diversitate motus apparentis in aliqua stella causa fiat secundum unum modum tantum, velut secundum modum ecentrici aut secundum modum epicicli in concentrico, in aliqua fiat secundum ambos. In Sole tamen una tantum diversitas reperta est, videlicet quod tempus a minore motu eius ad medium maius est tempore a medio eius motu ad maiorem semper. Ideo satis est assignare ei unum horum modorum tantum. Sed quia modus ecentrici planior et levior est completurque uno motu tantum, modus autem epicicli duobus motibus indiget, ideo convenientius est Soli ecentricum assignare.
⟨III.13⟩ 13. Proportionem semidiametri ecentrici Solis ad centrorum distantiam locumque longitudinis longioris ecentrici indagare.
Hipparchus invenit tempus ab ingressu Solis in punctum equinoccii vernalis usque ad solsticium estivum 94 dies et medium, a solstitio estivo ad equinoctium autumnale 92 dies et medium. Similiter dicit se reperisse Ptolemeus. Ex his invenit ecentricitatem et locum augis hoc modo. Sit orbis signorum ABGD super centro E, A quidem punctum vernale, B estivale, G autumnale, D hiemale. Et quia tempus ab equinoctio vernali ad autumnale fuit plus anni medietate, ex hoc patuit augem ecentrici esse in medietate ecliptice ABG. Similiter quia tempus ab equinoctio vernali ad solstitium estivum fuit maius tempore ab estivo solstitio in equinoctium autumnale, ex hoc cognitum fuit augem ecentrici Solis esse in quarta zodiaci AB. Sit igitur in hac parte Z centrum ecentrici, et super eo ecentricus TKLM. Sintque due linee equedistantes duabus AG et BD secantes se in Z, NQ quidem equedistans AG et FR equedistans BD, ductaque linea EZ occurrat orbi signorum in H. Queritur quantitas linee EZ et arcus BH. Ex dictis constat quod Sol perambulat arcum TK in 94 diebus et medio et arcum KL in 92 duobus duobus] diebus W et medio. Ergo ex tabula medii motus Solis uterque horum arcuum notus erit. Sed FT est equalis FL, ideo FT notus. Et FN est quarta circuli; ideo NT notus fiet. Etiam ex notis TF et TK noscetur FK, ideo sinus arcuum TN et FK noti, qui sunt equales lineis ZC et CE. Ex quibus propter rectum angulum C nota erit ypotenusa EZ talium partium qualium ZF est sinus totus. Invenit autem Ptolemeus eam 2 partes, 29 minuta, et medium fere qualium ZF est 60. Sic proporcio semidiametri ad ecentricitatem est ut 24 ad unum fere. Ideo maximam diversitatem posuit 2 gradus 23 minuta. Ex lateribus trigoni ECZ noscetur angulus ZEC, cuius arcus est AH, distantia augis Solis a principio Arietis, quem Ptolemeus reperit 65 gradus et medium, sicut et Ipparchus Ipparchus] corr. in Hipparchus reperit. Ex hoc conclusit Ptolemeus augem Solis immobilem et fixam respectu punctorum equalitatis vernalis et autumnalis.
Albategni reperit ecentricitatem predictam 2 partium, 4 minutorum, 45 secundorum et arcum BH 7 graduum 43 minutorum. Arzarchel autem, licet motum medium variaverit, tamen eandem quam Albategni invenit ecentricitatem, sed arcum BH 12 graduum 10 minutorum, quod certe mirum apparet cum Arzarchel post Albategni fuerit. Vide igitur cuius observacioni fidem habeas. Albategni ab equinoctio vernali ad solstitium estivum invenit 93 dies et horas 14 fere, sed ab equinoctio vernali ad autumnale 186 dies, 14 horas, 45 minuta; ideoque posuit maximam equationem Solis 1 gradus, 59 minuta, 10 secunda. Arzarchel post Albategni 193 annis quatuor considerationes fecit circa puncta 4 media inter puncta equalitatis et solstitiorum, et reperit BH esse 12 partes 10 minuta. Ideo coactus fuit dicere quod centrum ecentrici Solis moveretur in circulo quodam parvo velut in Mercurio habetur.
⟨III.14⟩ 14. Aliter idem reperire.
Quia non sine magna difficultate per instrumentum haberi potest ingressus Solis in puncta tropica propter declinationem que in ea parte minimum variatur, ideo per tria alia loca quorum observacio poterit esse certior, illud idem cogitavimus investigare. Velut sint nobis per instrumentorum observacionem dati introitus Solis in ambo equinoctia, item in principium alterius signi vicini punctis equinoctiorum. Sit itaque ecentricus Solis HLT super centro Z. Centrum mundi sit E, aux H, oppositum augis O. LET sit linea distinguens loca Solis in ingressibus in punctum vernale T, autumnale L. Item Q sit punctus ingressus in principium Tauri aut medietatis eius, quod ideo eligo quod per instrumentum illud facilius deprehendi potest quam ingressus in principium Cancri. Ductis lineis QEP, TP, et perpendiculari PR super TL, quia tempus quo Sol perambulat arcum TQ est notum ex observationibus, ideo arcus TQ notus. Simili racione arcus LT notus ex noto tempore quo Sol perambulat arcum LOT. Item quia angulus TEQ est notus ex motu apparente per observaciones cognito et angulus intrinsecus QPT propter arcum QT, igitur reliquus intrinsecus PTL notus fiet. Quare arcus PL datus erit. Hinc ambo arcus PT et PQ dati, et corda PT, similiter corda PQ, notarum fiet partium qualium est OH diameter circuli duplum sinus totius. Preterea ex angulo QET seu sibi contra posito PER, nota fiet proporcio EP ad PR. Similiter ex angulo PTL, nota fiet proporcio TP ad PR. Quare et nota erit proporcio TP ad PE, ideoque PE et EQ date erunt in partibus quibus OH est diameter circuli nota. Sed quod fit ex PE in EQ est equale ei quod fit ex OE in EH per 34 tercii. Ideo quod fit ex OE in EH notum est. Sed per 5 secundi quod fit ex OE in EH cum quadrato ZE est equale quadrato ZH. Ideo sublato quod fit ex OE in EH a quadrato ZH, remanebit quadratum ZE notum. Ideo nota fiet ZE, que querebatur. Tunc ducta ZQ ex notis lateribus ZEQ cognoscetur angulus HEQ, distantia loci augis a loco zodiaci quem ostendit linea EQ.
Possemus idem etiam investigare per quecumque tria alia loca per tres observationes verificata, sed non sine labore, ut sic. Sint tria loca A, B, C ex observacionibus tribus cognita. Sit centrum ecentrici Z, centrum mundi D. Linea per augem et oppositum augis sit KZDN. Ductis lineis AZ, ADE, BDF, CDG, BC, CE, item perpendicularibus ZR super AD, CM super BE, EF super BD, EG super CD, ex angulo ADB, qui est motus apparentis inter primam et secundam observationes et sibi contraposito FDE in triangulo rectangulo, nota erit proporcio DE ad EF. Ex arcu AB, qui est motus equalis inter primas consideraciones, et suo angulo AEB, item extrinseco FDE, notus erit alter intrinsecus DBE. Hinc in triangulo BEF rectangulo nota erit proporcio BE ad EF. Sed iam nota fuit DE ad EF, igitur BE ad ED proporcio nota fiet. Preterea ex angulo ADC, qui est motus apparentis inter primam et terciam observaciones, et suo contraposito GDE, nota erit proporcio DE ad EG. Ex arcu quoque AC, qui est motus equalis inter primam et tertiam observaciones, et angulo suo AEC extrinsecoque GDE, notus erit angulus reliquus intrinsecus DCE. Hinc in triangulo rectangulo CEG nota erit proportio CE ad EG. Sed iam DE ad EG data fuit, ideo proportio CE ad DE nota erit. Sed et BE ad ED cognita fuit, ideo proporcio BE ad CE fiet manifesta. Denique arcus BC datus est quia motus equalis inter secundam et tertiam observaciones; ideo sua corda BC nota fiet in partibus qualibus KN est duplum sinus totius. Ex arcu quoque angulus BEC notus. Hinc in triangulo ECM rectangulo proportio EC ad CM, etiam EC ad EM data erit. Hinc CM et EM note erunt in partibus quibus CE nota est, igitur et residua MB. Ex BM et MC, nota erit BC in partibus eisdem. Sed iam nota fuit in partibus quibus KN est duplum sinus totius. Igitur tam BE quam ED in eisdem cognite fient. Quare arcus BCE datus erit; hinc ABE et sua corda ADE, cuius pars DE iam nota fuit. Igitur et residua eius pars AD nota. Sed quod fit ex ED in DA cum quadrato ZD, ut superius patuit, equale est quadrato ZK. Ideo ZD nota fiet. Hinc ex trianguli AZD notis lateribus notus erit angulus ADK, et cetera.
Sed hec via labore plena est, ut vides; ideo elige precedentem et serva ingressus in puncta equalitatis pro duabus observationibus. Pro tercia sume ingressum in quodcumque punctum medium in quartis 4, puta 15mum Tauri vel Leonis vel Scorpii vel Aquarii vel prope illa. Et ex quolibet horum cum duabus equalitatibus elicies quod dictum est faciliter. Poterisque equinoctia duo nunc cum illo, nunc cum alio iungere et videre si in eandem semper concordem inventionem perducaris.
⟨III.15⟩ 15. Quanta sit maxima diversitas inter equalem et apparentem motum in quantaque elongatione a longitudine longiori acciderit patefacere.
Sit ecentrici ABG diameter ADEG, centrum D, centrum orbis signorum E, stetque EB orthogonaliter super AG. Ductaque DB ex septima huius patet angulum DBE esse quem querimus. Cum autem proporcio BD ad DE sit nota ex premissis duabus et triangulus sit orthogonius, notus erit angulus DBE, qui queritur. Hinc ADB extrinsecus etiam patefiet. Varii observatores hanc maximam diversitatem variam invenerunt, ut superius dictum est, quod accidit propter variam proporcionem BD ad DE ab eis varie repertam.
⟨III.16⟩ 16. Iuxta viam ecentrici, dato angulo motus equalis a longitudine longiore, angulum diversitatis reperire.
Sit orbis signorum ABG super centro D et ecentricus EZH super centro T, linea per longitudines longiorem et propiorem et ambo centra transiens EATDHG. Angulus motus equalis datus sit ETZ, scilicet quantitas arcus EZ. Ductis lineis ZTK et ZD et perpendiculari DK super ZK, angulus motus apparentis erit EDZ. Diversitas eius ad motum equalem est angulus DZK, quem querimus. In trigono DTK orthogonio anguli T et D noti sunt, ideo proporcio laterum DT, TK, KD nota. Sed et proporcio ZT ad TD ex 13a huius nota. Ideo proporcio ZK ad KD nota, igitur angulus DZK notus, qui querebatur. Et ipse est differentia inter arcum EZ et arcum AB.
Econtra dato angulo EDZ motus apparentis notus erit ex hoc angulus ETZ. Sit enim TL perpendicularis super ZD. Propter angulum D trianguli DLT orthogonii notum, fiet proporcio DC DC] DT W ad DL et LT nota; ideo et proporcio ZT ad TL data, igitur angulus TZL notus. Hinc notus fiet angulus extrinsecus, scilicet ETZ, qui querebatur.
Preterea ex angulo diversitatis, scilicet TZL, dato poterimus reperire angulum ETZ motus equalis. Nam propter angulum Z datum nota erit proportio ZT ad TL. Sed prius nota fuit proportio ZT ad TD. Ergo nota erit proportio DT ad TL, quare LDT, et hinc extrinsecus ETZ notus.
Corolarium. Quocunque trium angulorum, scilicet motus equalis, motus apparentis et diversitatis, dato, noti quoque duo reliqui fient.
⟨III.17⟩ 17. Idem iuxta viam epicicli ostendere.
Sit orbis concentricus super centro D orbis signorum, F quidem punctum centri epicicli dum Sol est in auge epicicli, arcus medii motus FA, cui similis sit arcus epicicli EZ. Unde AZ equedistabit FD. Querimus angulum ADZ et arcum BF. Quia angulus KAZ trigoni orthogonii datus est, igitur nota est proporcio AZ ad ZK et KA. Sed prius nota est proporcio DA ad AZ. Quare nota fiet proportio DK ad KZ, hinc DZ ad ZK; quare angulus ADZ notus, et cetera.
Econtra dato angulo FDB seu BZA motus apparentis, cognoscemus etiam duos reliquos angulos. Nam in triangulo orthogonio ZAL nota erit proporcio ZA ad AL. Quare et nota erit proporcio DA ad AL, ideo angulus ADZ notus; hinc extrinsecus ZAE, qui querebatur.
Preterea ex angulo diversitatis, scilicet ADZ, reliqui duo anguli noti fient. Nam nota erit proportio DA ad AL. Ideo et nota fiet ZA ad AL; hinc angulus AZL notus, qui est [qui est] equalis angulo FDB motus apparentis, igitur et extrinsecus EAZ, qui est equalis motus.
⟨III.18⟩ 18. Iuxta viam ecentrici, dato angulo motus equalis a longitudine propiore, angulum diversitatis cognoscere.
Sit ecentricus EZH super centro T, orbis signorum ABG super centro D, sitque angulus HTZ datus. Querimus angulum DZT, similiter angulum GDB. Facta DK perpendiculari super TZ, trianguli DTK laterum proporcio nota erit, quare et ZK ad KD; hinc ZD ad DK, ergo angulus Z notus et extrinsecus ZDH, qui querebatur. querebatur] querebantur W Econtra ex angulo GDB dato reliquos sciemus. Facta TL perpendiculari super BD proporcio DT ad TL nota fiet, hinc ZT ad TL; ex hoc angulus Z et intrinsecus ZTD noti. Preterea dato angulo diversitatis Z reliqui quoque noscentur. Nam nota fiet proporcio ZT ad TL, ideo etiam DT ad TL data; hinc angulus TDL seu GDB notus. Et reliquus ex hoc, scilicet HTZ, noscetur.
⟨III.19⟩ 19. Iuxta viam epicicli idem reperire.
Sit concentricus FAG super centro mundi D, et sit G punctus super quo est centrum epicicli dum Sol est in longitudine propiori. Distet centrum epicicli a G per arcum GA seu angulum GDA motus equalis dati. Erit HT arcus similis arcui AG propter motus equalitatem, et angulus HAK equalis angulo GDA. Ideo proporcio AH ad HK et KA nota. Sed DA ad AH prius nota est. Igitur DK ad KH proporcio nota fiet, ideoque et DH ad HK noscetur. Notus ergo erit angulus HDK diversitatis, hinc HDG motus apparentis.
Econtra ex angulo HDG motus apparentis reliquos noscemus. In triangulo HLA orthogonio ex angulo H dato, nota fiet proporcio HA ad AL, quare et DA ad AL data; ex hoc anguli LDA et ADG noti. Preterea dato angulo HDK nota fiet proportio DA ad AL, ideo HA ad AL nota. Quare angulus LHA equalis angulo LDG notus fiet; ex hoc et reliquus ADG, qui querebatur.
⟨III.20⟩ 20. Dato angulo motus apparentis equali angulo motus medii, angulum diversitatis utriusque et distanciam a longitudine longiore aut propiori deprehendere.
Sit in ecentrico AGD super centro E, centrum mundi F, longitudo longior A, longitudo propior D. Angulo BEC motus equalis sit equalis angulus BFC motus apparentis. Propositum est invenire angulum EBF et angulum AFB. Ducta linea BC cum angulus BEC sit equalis angulo BFC et anguli ad M contrapositi equales, erunt duo anguli diversitatis B et C equales. Ex hoc igitur quadrilaterum BEFC est circulo inscriptibile. Alias enim per 26 tertii sequeretur impossibile contra 16am primi si circulus per tria puncta B, E, F transiens non iret per C sed abscinderet FC aut supra iret. Quia itaque angulus BEC datus est, ergo uterque reliquorum equalium EBC et ECB datus erit, ideoque EFB equalis ECB notus. Hinc arcus quos subtendunt in circulo trigono EBC circumscripto noti, quare angulo ECB seu EFB subtensa corda BE nota. Sed et proportio BE ad EF per 13 huius nota est. Quare arcus FE notus erit. Ideoque et angulus EBF notus fiet. Quare extrinsecus AEB dabitur. Angulum autem EFB equari angulo DFC probavit conversa undecime huius, postquam anguli FCE et FBE sunt equales.
⟨III.21⟩ 21. Radicem motus equalis ad cuiuscumque temporis principium per observationem firmare.
Per tertiam huius habes medium motum tabulatum, et per 13am habes proportionem semidiametri ecentrici ad id quod cadit inter centra. Per 16 et 18 habes ex observatione et motu apparente motum equalem. Ex his nunc ad cuiuscumque temporis principium instans tue observationis antecedens aut sequens, poteris radicem medii motus firmare exemplo Ptolemei, qui supposuit augem seu longitudinem longiorem ecentrici immobilem. Reperitque distantiam puncti equalitatis autumnalis ab auge per 116 gradus 40 minuta secundum motum medium, velut in figura 18e huius si B foret principium Libre. Ex angulo BDG, quem putavit 65 gradus 30 minuta quia oppositum augis posuit in 5 gradibus 30 minutis Sagittarii, reperit angulum ZTH 63 gradus 20 minuta. Volens firmare radicem motus equalis ad principium annorum Nabonassaris, accepit considerationem suam subtilissimam et veracissimam equalitatis autumnalis in 17o annorum Adriani die septimo mensis Athyr Egiptii post mediam diem duas horas equales fere. Anni vero a principio regni Nabonassaris usque ad mortem Alexandri fuere 424 anni Egiptii; hinc ad principium primi anni regni Augusti 294 anni. Et hoc principium fuit primo die mensis Tus et in media diem. diem] die W Hinc ad dictam observationem 161 anni et 66 dies et 2 hore. Igitur a principio regni Nabonassoris, Nabonassoris] corr. in Nabonassaris quod fuit in principio mensis Tus in media die precedente, precedente] del. usque ad horam huius considerationis fuerunt anni Egiptii 879 et 66 dies et due hore. Motus Solis medius in hoc tempore post integras revolutiones fuit secundum positionem eius 211 gradus et 25 minuta; quem, si minuemus a loco Solis equali in dicta consideratione, remanebit locus Solis equalis 45 minuta prime partis Piscium in principio primi annorum Nabonassoris. Nabonassoris] corr. in Nabonassaris Secundum hoc exemplum in aliis facito. Fuit autem dicta Ptolemei consideratio post principium annorum Christi 131 annis Egiptiis, 301 diebus, horis 2. Nam a principio annorum Nabonassaris ad inicium annorum Christi, transivere 747 anni Egiptii et 130 dies.
⟨III.22⟩ 22. Dies naturales duplici causa inequales esse.
Dies naturalis dicitur tempus revolutionis Solis per motum primi mobilis ab orizonte aut meridiano donec ad ipsum redeat. Sic quantum est temporis a puncto meridiei in punctum meridiei tanta est dies naturalis. Et hoc est tempus in quo revolvitur totus equinoctialis et ultra hoc tanta porcio elevationis quanta correspondet ei arcui ecliptice quem in illo tempore Sol perambulat. Hoc autem additamentum ultra integram equinoctialis revolutionem duabus de causis diversificatur. Una quidem quod Sol in temporibus equalibus inequales arcus de orbe signorum abscindit. Alia quod arcus equales ecliptice inequales habent ascensiones tam rectas quam obliquas. Oportet igitur propter additamenta hec duplici causa diversificata dies naturales inequales esse, quod est propositum.
Ex hoc patet hos dies naturales, qui differentes dicuntur, non esse mensuram motuum aliorum cum inequales sint. Oportuit igitur in mensuram huiusmodi alios dies qui equales essent assumi hac ratione. Unus annus Solis est tempus in quo totiens revolvitur equinoctialis quotiens est unitas in numero dierum anni reperti iuxta doctrinam secunde huius addita revolutione una que revolvitur cum motu Solis vero peracto in uno anno a Sole. Diviso itaque hoc numero revolucionum per numerum dierum anni, egreditur quantitas diei mediocris, scilicet revolutio una equinoctialis cum additamento 59 minutorum et 8 secundorum equinoctialis iuxta quantitatem medii motus Solis in die. Hec vero additamenta inter se sunt equalia. Hinc constat dies mediocres inter se esse equales. Palam est igitur dies naturales differentes unum ab alio atque a mediocribus differre. Et licet unus dies differens parum a die una mediocri differat et insensibiliter, in pluribus tamen diebus hec diversitas collecta quantitatem de qua curandum est efficit, ut patebit.
⟨III.23⟩ 23. Causa inequalitatis dierum propter diversitatem motus Solis proveniens ab altera longitudinum mediarum incipit et ad oppositam finit, plurimumque differentie ex hoc collecte duplum est maxime diversitatis motuum equalis et differentis in Sole.
Ideo incipit ab alterutra longitudinum mediarum quod ibi motus apparens motui medio adequatur ad diem unam. Procedendo autem per medietatem orbis signorum superiorem, in qua est longitudo longior ecentrici, patet medium motum differente maiorem esse in duplo anguli maxime diversitatis. Sed procedendo per medietatem inferiorem, in qua est longitudo propior, medius motus minor est apparente seu diverso in duplo eiusdem anguli. Sed duplum huius anguli Ptolemeus reperit 4 gradus et 45 minuta. Per superiorem itaque medietatem motus diversus minuit a medio 4 partes et tres quartas unius; per inferiorem vero addit tantumdem. Quod igitur per ambas medietates procedendo de additione et diminutione consurgit simul est gradus 9 et medius. Tantum dies differentes maiores addunt super dies differentes minores propter hanc quidem causam.
⟨III.24⟩ 24. Quo loco causa inequalitatis dierum propter inequalitatem ascensionum aput orizontem obliquum proveniens incipiat vel desinat quantaque sit differentia tota ex hoc collecta ostendere.
Locus ille secundum varietatem orizontium varius est; in omni tamen regione ante tropicum estivalem et post tropicum hiemalem deprehenditur. Ibi enim est inceptionis principium ubi unus gradus ecliptice cum uno gradu equinoctialis oritur. Id igitur per tabulam ascensionum obliquarum orizontis tui deprehendes. Vide itaque quanta sit portio portio] corr. ex proportio ecliptice inter hec duo loca et quanta sit huius portionis obliqua ascensio. Harum differentia est ea quam queris. Quantum autem ex hac causa sola dies mediocres addunt super differentes per portionem ecliptice in qua est Aries tantum differentes addunt super mediocres per reliquam portionem ecliptice. Ex hoc constat quod dies differentes maiores addunt super dies differentes minores duplum collecte differentie quantum provenit ratione huius cause. Palam etiam quod differentia sic inventa augmentum diei solsticialis super diem equinoctialis excedit propterea quod locorum in quibus inequalitatis huius est inceptio et finis, unus est ante tropicum estivum, alius post tropicum hiemalem. Propterea itaque quod hec causa varia sit secundum orizontum orizontum] perhaps corr. ex orizontem varietatem, sed causa diversitatis dierum que est propter inequalitatem ascensionum rectarum que fiunt respectu circuli meridiei est una in omni regione, comodius igitur est ut dies initium sumant ab instanti quo Sol in meridiano fuerit.
⟨III.25⟩ 25. Punctum in quarta ecliptice apud quod plurimum differentie est inter arcum ecliptice eo terminatum et ascensionem suam rectam determinare.
Sit quarta ecliptice a principio Arietis ad principium Cancri BA, quarta equatoris sibi conterminalis BG, quarta coluri distinguentis solstitia DAG, polus equinoctialis D. Erit GA maxima declinatio; complementum autem eius erit AD. Inter sinum arcus DG et sinum DA sit medio loco proporcionalis sinus cuius arcus sit DU. DU] DV W Per U U] V W eat circulus paralellus equinoctiali secans arcum ecliptice in E. Dico E punctum quesitum esse. Nam ducam quartam DEL, que secet equinoctialem in L. Sumamque ab utraque parte E puncta ad libitum, et sint Z et H, per que vadant quarte DZK DHT. Ab E veniant duo arcus, scilicet EM perpendicularis super DZ et EN perpendicularis super HT. Probandum est quod differentia EB super BL est maior quam differentia ZB super BK, etiam maior quam differentia HB super BT. Primum sic. Ex theoreumatibus Gebri, quia EM et LK cadunt orthogonaliter super DK, ergo proporcio sinus LK ad sinum EM est sicut sinus DL ad sinum DE. Sed hec ex ypothesi est sicut proporcio sinus DE ad sinum DA. Et proportio sinus DZ ad sinum DA maior est proporcione sinus DE ad sinum DA. Quare proporcio sinus ZD ad sinum DA maior est proporcione sinus LK ad sinum EM. Sed proporcio sinus ZD ad DA est sicut proporcio sinus ZE ad sinum EM quod DA et EM sint perpendiculares super ZA et ZD. Igitur proporcio sinus ZE ad sinum EM maior est proporcione sinus LK ad sinum EM. Quare sinus arcus EZ est maior sinu arcus LK, et cum uterque eorum sit minor quarta circuli, erit arcus EZ maior arcu LK. Sed arcus EB est maior arcu BL sicut ED est maior DA. Etiam ZB est maior BK. Ideoque excessus EB super BL maior est quam excessus ZB super BK, quod est primum.
Secundum sic. Quia proporcio sinus LT ad sinum EN est sicut proporcio sinus LD ad sinum DE seu sicut sinus DE ad sinum DA. Hec autem maior est proporcione sinus HD ad sinum DA, sed proporcio HD ad DA sinuum est sicut sinus HE ad sinum EN. Igitur proporcio sinus LT ad sinum EN maior est proporcione sinus HE ad sinum EN. Igitur cum arcus sint minores quartis, LT arcus maior erit arcu EH. Sed HB est maior BT, etiam EB maior BL. Igitur differentia HB super BT est minor differentia EB super BL, quare patet secundum.
Igitur arcus EB est ille qui plurimum suam ascensionem rectam excedit. Invenimus autem arcum DE esse 73 gradus 13 minuta et EL 16 gradus 47 minuta; hinc arcum BE 46 gradu 15 minuta et arcum BL 43 gradus 45 minuta et excessum BE super BL 2 gradus et medium.
⟨III.26⟩ 26. Arcus ecliptice plurimum a sua ascensione recta differens cum sua ascensione recta quartam circuli perficit, dum a puncto equalitatis inicium sumant.
Ut in figura sit arcus ecliptice BE ille qui plurimum ab ascensione sua differat, scilicet BL. Dico aggregatum ex EB et BL quartam circuli fieri. Trahitur ex demonstratis Milei. Sit in coluro solsticiali GD K punctus medius inter G et A, et KZ sit quarta circuli. Erit DZ medietas maxime declinationis. Quia ex Mileo trahitur quod proporcio quadrati sinus ZD ad quadratum sinus DK sit sicut proporcio sinus excessus EB super BL, qui est EM, ad sinum aggregati ex EB ex EB1] i. m. et BL, quanto igitur sinus aggregati ex EB et BL est maior tanto sinus EM est maior. Sed non potest esse maior sinu toto. Igitur quando EB et BL perficiunt quartam circuli, EM erit maximus, quod est propositum.
Vel sic. In figura superioris sinus EB ad sinum BL sicut sinus ED ad sinum DA. Sinus autem ED ad sinum DA ex posito sicut sinus LD ad sinum DE. Sed sinus LD ad sinum DE sicut sinus LG ad sinum EA. Quare sinus EB ad sinum BL sicut sinus LG ad sinum EA. Igitur quod fit ex sinu BE in sinum EA equale est ei quod fit ex sinu BL in sinum LG. Illud vero esse nequit nisi BE sit equalis LG et BL equalis EA. In duobus enim ortogoniis trigonis equalibus super una basi constitutis, necesse est ut duo latera unius sint equalia duobus lateribus alterius. Sunt enim inscriptibiles eidem circulo. Alias sequeretur per 30 tertii impossibile contra 16 primi. Et cum sint equales per 39 primi, erunt inter lineas equedistantes. Hinc ex angulis coalternis, 25 et 28 tertii, patebit propositum.
⟨III.27⟩ 27. Causa inequalitatis dierum propter inequalitatem ascensionum rectarum proveniens iuxta puncta media in quartis quas puncta principalia terminant incipit, atque iuxta punctum sequentis quarte medium desinit, totaque differentia cum collecta fuerit ad quinque gradus pervenit.
Ibi enim est hec inceptio ubi unus gradus equinoctialis cum uno gradu ecliptice in sphera recta oritur. Hoc autem contingit circa circa] corr. in in 16 Tauri, Tauri] corr. ex Thauri 14 Leonis, et punctis his oppositis, ut numeratio indicat. Sed porcio a 16 Tauri in 14 Leonis, que est 88 gradus, oritur in sphera recta cum 93 gradibus equinoctialis; propterea differentium dierum super mediocres differentia cum collecta fuerit quinque gradus perficit. Item porcio a 14 Leonis in 16 Scorpii, que est 92 gradus, oritur in sphera recta cum 87 gradibus equinoctialis; quare mediocrium dierum super differentes differentia cum collecta fuerit quinque gradus complet. Simile accidit in quartis oppositis. Palam igitur est quod dies differentes maiores superant dies differentes minores ob hanc causam quantitate 10 graduum.
⟨III.28⟩ 28. Quo loco principium additionis dierum differentium super mediocres sit, quantaque differentia tota sit ex utrisque causis simul collecta deprehendere.
Ex superioribus ad singulos dies differentias ex utraque causa provenientes collige, et cum ambe sint addentes aut minuentes super dies mediocres aut ab eis, eas in unum iunge. Sed cum una fuerit addens, altera minuens, minorem de maiori deme. Sed cum una minuit tantum quantum altera addit, eo loco dies differens equalis est diei mediocri. Si tunc posthac ambe simul addant aut una plus addat quam alia minuat, fit ibi principium additionis. Si autem posthac ambe simul minuant aut una plus minuat quam altera addat, fit ibi principium diminutionis.
Plurimum vero vero] differentie add. V1 huiusmodi aggregati quo ad additionem repertum est in portione que est a principio Scorpii usque ad medium signum Aquarii, sed quo ad diminucionem in porcione que est a medio Aquarii ad finem Libre. Nam in prima portione utraque differentia est addens, in altera utraque minuens. Et in his differentia ratione inequalitatis Solis est 3 gradus et due tertie; differentia autem ratione inequalitatis ascensionum rectarum est 4 gradus et due tertie, que simul faciunt 8 gradus et terciam unius, scilicet differentiam ex utrisque causis collectam. Illud vero quasi medietatem hore facit et 18vam partem hore, quam licet dum negligamus in Sole vel aliis planetis tardi motus, nihil erroris sensibilis fiat; in Luna tamen neglecta propter velocitatem motus eius sensibilis fit error eo, eo] om. W quod ad tres quintas unius gradus fere attingat.
⟨III.29⟩ 29. Dies differentes in mediocres et econtra convertere.
In tempore dato tam cursum Solis medium quam verum numera. Vero cursui elevationem in sphera recta correspondentem accipe, et eius ad medium motum Solis differentiam nota. Nam ipsa erit dierum equatio, cuius quilibet gradus 4 minuta unius hore representat. Tempus igitur huius equationis super dies differentes adde si elevatio recta cursum medium excesserit, aut minues si econtra fuerit. Et exibunt dies mediocres. Si vero dies equales ad diversos reducere voles, in tempore similiter cursum verum et equalem numera. Cursui vero ascensionem rectam respondentem accipe. Eius ad medium motum differentia erit dierum equacio, cuius tempus super dies equales aut mediocres adde si medius motus fuerit ascensione maior vel minue si econtra. Et prodibunt dies diversi seu differentes. Hac via certius deprehendes quod premissa exposuit.
Advertendum autem si radix temporis posita fuerit super principium additionis, hanc differentiam semper addendam fore diebus differentibus ut ex eis fiant mediocres, semperque minuendam a mediocribus ut ex eis fiant differentes. Econtra si radix temporis posita sit super principium diminutionis. Exemplum predictorum, sit verus motus Solis in die naturali ab equinoctio 59 minuta. Medius vero semper est 59 minuta fere. Ascensio respondens vero motui est 54 minuta. Differentia huius et medii motus est 5 minuta unius gradus equinoctialis. In tempus conversa faciunt terciam unius minuti hore. Est igitur dies medius maior die differente in tertia unius minuti hore. Unus dies igitur differens conversus in mediocres facit mediocrem minus tercia minuti hore. Sed unus dies mediocris conversus in differentes efficit unum differentem et terciam unius minuti hore. Ex hoc exemplo habes causam conversionis dierum differentium in mediocres et econverso.
⟨III.30⟩ 30. Principium diminutionis dierum differentium a mediocribus aliter inquirere tabulamque equationis dierum componere.
Tale principium iam ostensum est esse circa medium Aquarii, sed supposita fuit aux Solis immobilis. Nunc vero cum aux Solis comperta est moveri, querendum erit principium hoc precisius. Erit autem principium illud in eo loco circa medium tamen Aquarii ubi motus Solis equalis correspondens uni gradui motus veri fuerit precise equalis ascensioni recte correspondenti uni gradui veri motus Solis. Et ante tale punctum principii oportet diem differentem maiorem esse mediocri, et post tale punctum principii oportet diem mediocrem maiorem esse differente. Sit itaque in figura ecliptice portio a sectione vernali versus principium Capricorni BA, portio equatoris sibi conterminalis BG, polus mundi D. Item superficies ecentrici Solis in superficie ecliptice sit SHC, cuius centrum sit E, et centrum mundi F, longitudo propior S. Ex superioribus constat S esse sub principio Capricorni nostro tempore, scilicet sub A. Erit itaque principium diminucionis dierum differentium a mediocribus in portione AB. Sit ipsum punctum N, factoque MN gradu uno et NO gradu uno ductisque lineis et circulis ut in figura, vero motui NM respondent elevatio recta QP et medius motus KH. Sic vero motui ON respondent elevatio recta RQ et medius motus LK. Oportet si N est punctus principii diminutionis dierum differentium a mediocribus quod arcus RQ sit maior arcu LK et arcus KH sit maior arcu QP. Nam dum dies differens maior est mediocri, oportet ut additamentum verum maius sit additamento medio, sed dum dies medius maior est differente, oportet ut additamentum medium maius sit additamento vero. Additamentum autem medium non est aliud nisi medius motus Solis in tempore dato. Additamentum autem verum est ascensio recta que respondet vero motui Solis in tempore, ut patet ex ratione dierum differentium et mediocrium. Quare oportet ut ante punctum principii diminutionis dierum differentium a mediocribus, ascensio recta que respondet vero motui Solis in tempore dato sit maior medio motu Solis in eodem tempore, et post tale punctum sit econverso.
Ad inquirendum igitur punctum N et componendum tabulam equationis dierum, primo compone tabulam qua ex vero motu Solis ab auge dato extrahitur medius motus sibi correspondens. Id fac secundum doctrinam datam in 16a huius. Eius tabule adiutorio facile habebis propositum. Pone N finem 21 gradus Aquarii et NM unum gradum, similiter NO unum gradum. Et sit aux Solis in principio Cancri. Erit igitur A principium Capricorni. Ex tabula distantie medii motus a vero, fiet LK 58 minuta 33 secunda, KH 58 minuta 35 secunda. Ex tabula ascensionis recte erit RQ 58 minuta 49 secunda, QP 58 minuta 38 secunda. Quia itaque RQ excedit LK, etiam QP excedit KH, sunt adhuc dies differentes maiores mediocribus. Erit N, scilicet 21us gradus Aquarii, ante principium diminutionis quesitum. Item si pones N 21 gradus Aquarii et 15 minuta, invenies LK 58 minuta 34 secunda, KH 581…KH] i. m. 58 minuta 35 secunda, RQ vero 58 minuta 46 secunda, QP et HK et HK] del. 58 minuta 35 secunda. Cum itaque ante punctum N iam dies differens maior sit mediocri et in puncto N sint equales quod additamenta verum et medium sint equalia, fiet hoc nostro tempore principium diminutionis dierum differentium a mediocribus in 21 gradibus 15 minutis Aquarii, quod querebamus.
Mutabitur tamen successu temporis secundum augis mutationem. Habito principio tali facile compones tabulam equationis dierum. Posui namque namque] corr. in nanque principium in fine 21 Aquarii. Feci deinde arcum NM unum gradum, post duos, deinde tres, et sic ad complementum circuli. Et arcui NM quesivi correspondentiam KH et QP, invenique KH semper maiorem QP. Eorum differentiam tabulavi, nam ipsa est equatio dierum, addenda quidem ad tempus mediocre ut dies differentes exeant, et a differentibus minuenda ut tempus mediocre proveniat.
Finis tercii.