⟨X⟩ ⟨Liber X⟩
Decimus incipit.
⟨X.1⟩ Diameter ecentrici Veneris per longitudinem longiorem eius atque propiorem transiens quibus in punctis eclipticam secet experiri.
Non aliter quam in Mercurio illud investigandum est. Considerabimus enim duo loca Solis media, Venere maximas et inter se equales a loco Solis medio longitudines contrarias habente. Nam punctus inter hec loca Solis medians cum puncto sibi diametraliter opposito erunt quos querimus. In anno autem 16mo Adriani 21 diebus mensis Formuthem octavi transactis, consideravit Taion, ut refert Ptolemeus, stellam Veneris iam in maxima longitudine vespertina vespertina] spelled vesperitina a loco Solis medio constitutam, et videbatur precedere mediam Pliadum quantitate longitudinis Pliadum. Fuit itaque secundum numerationem Ptolemei Venus in uno gradu et 30 minutis Tauri. Solis autem locus medius tunc erat in 14 partibus et 15 minutis Piscium. Quare longitudo vespertina maior erat 47 partium et 15 minutorum. Deinde in anno quarto Anthonini 11 diebus mensis Thoth transactis in mane diei 12mi, Ptolemeus consideravit stellam Veneris distantem a stella fixa que est in genu sinistro Gemini Sequentis per quartam partem gradus fere versus orientem et septentrionem. Fuit ergo locus Veneris in 18 partibus et 30 minutis Geminorum. Solis autem locus medius tunc erat in 5 gradibus et 45 minutis Leonis. Quare longitudo matutina fuit maxima 47 graduum et 15 minutorum. Dum autem arcum duobus Solis mediis locis interceptum dimidiabimus, ad finem 25ti gradus Tauri perveniemus. Quare longitudo longior et propior in 25 gradu Tauri et 25to Scorpionis erunt, quod investigavimus.
Idem per alias duas confirmabimus consideraciones. Taion ille in anno quarto Adriani 19 diebus mensis Athus tercii transactis in mane diei 20mi consideravit Venerem distantem a stella fixa que est in extremitate ale meridiane Virginis secundum quantitatem longitudinis Pliadum, dempto fortasse arcu cui ipsamet stella Veneris subtenditur. Videbatur autem Venus versus meridiem distare a dicta stella secundum quantitatem diametri lunaris. Et quia secundum numerationem Ptolemei hec stella in [in] quarto anno Adriani fuit in 28 gradibus et 50 minutis Leonis, si addiderimus quantitatem longitudinis Pliadum, scilicet unum gradum et 30 minuta, veniet locus Veneris ad 20 minuta primi gradus Virginis. Sol autem medio cursu suo erat in 17 gradibus et 52 minutis Libre. Quare longitudo maior matutina fuit 47 gradus et 32 minuta. Deinde in anno 21o Adriani nona die mensis Mesor sexti hora vespertina, consideravit Ptolemeus Venerem apud stellam 26tam Aquarii eam, scilicet que septentrionalis est in parvo quadrilatero quod circa primam insinuationem aque est. Et videbatur precedere eam in duabus quintis unius gradus. Apparuit etiam Venus tunc scintillans admodum. Huius autem stelle fixe locus fuit in 20 gradibus Aquarii secundum computacionem Ptolemei. Quare locus Veneris verus fuit in 19 gradibus et 36 minutis Aquarii. Sol vero secundum cursum medium erat in 2 gradibus et 4 minutis Capricorni. Quare longitudo maior vespertina fuit 47 gradus et 32 minuta. Quod si differentiam duorum locorum Solis mediorum dimidiabimus, ad 25tum gradum Tauri et 25tum Scorpionis, quemadmodum superius, perveniemus. In quorum uno ponemus longitudinem ecentrici Veneris longiorem, in alio autem propiorem.
⟨X.2⟩ 2. Longitudini Veneris longiori atque propiori sua seorsum loca assignare.
Certitudo iam est alteram longitudinum esse in 25to gradu Tauri et alteram in 25to gradu Scorpionis. Sed utra hic vel illic sit duas per considerationes docebimur, quarum unam fecit Taion, Ptolemeo recitante, in anno 13o Adriani in mense Egiptiorum Athica, undecimo scilicet, duobus diebus transactis in mane diei tercii. Tunc enim videbatur Venus precedere lineam rectam que transit per precedentem trium stellarum in capite Arietis existentium et per eam que in pede eius postremo est. Precedere, inquam, videbatur per unum gradum et 24 minuta, et erat distancia Veneris ab ea stella que est in capite Arietis fere dupla distantie ipsius Veneris a stella que in postremo pede est. Stellae autem que in capite Arietis est locus erat tunc in 6 gradibus et 36 minutis Arietis, et eius latitudo septentrionalis 7 graduum et 20 minutorum secundum numerationem Ptolemei. Illius autem que in pede postremo est locus erat in 14 partibus et 45 minutis, et latitudo eius meridionalis 5 gradus et 15 minuta. Unde concluditur Venerem fuisse in 10 gradibus et 36 minutis Arietis, habendo latitudinem meridionalem unius gradus et 30 minutorum. Sol autem per cursum medium erat in 25 gradibus et 24 minutis Tauri. Quare longitudo matutina maior fuit 44 gradus et 48 minuta.
Alia fuit consideratio Ptolemei in anno 21o Adriani, duobus diebus mensis Tobi Tobi] perhaps corr. ex Tybi quinti scilicet transactis, hora vespertina. Videbatur enim Venus per relationem ad duas stellas que sunt in duobus cornibus Capricorni in 12 gradibus et 50 minutis Capricorni. Sol autem medio cursu suo erat in 25 gradibus et 30 minutis Scorpionis. Quare fuit longitudo vespertina maior 47 gradibus gradibus] gradus W et 20 minuta. Quia autem longitudines maiores respectu medii loci Solis fiunt solum propter epiciclum dum ipse in auge vel opposito augis ecentrici fuerit quoniam diversitas quam ingerit ecentricus tunc nulla est, huiusmodi autem longitudo maior invenitur apud 25 gradum Scorpionis quam apud 25 Tauri, palam quod in 25to gradu Tauri hoc tempore fuit longitudo longior longior] corr. ex propior ecentrici Veneris et longitudo propior in eius opposito, cuius petebatur cognitio.
⟨X.3⟩ 3. Semidiameter epicicli Veneris ad semidiametrum ecentrici quam proportionem habeat investigare.
] there should be a point B on the circumference of the large circle Pro huius explanatione sit circulus ecentricus Veneris ABG super centro D, in cuius diametro AG sit punctus E centrum mundi, G vero longitudo longior, et A propior. Et super duobus centris A et G duos circulos vice epicicli describam, quos contingant due linee EH et EZ in punctis H et Z, ductis lineis GH et AZ. Sitque stella in duabus consideracionibus predictis in duobus punctis H et Z. Quia autem ex premissa angulus GEH longitudinis maxime, scilicet longitudinis matutine, notus est, et angulus H rectus, erit proporcio GH semidiameter semidiameter] semidiametri W epicicli ad lineam EG nota. Item propter angulum AEZ longitudinis vespertine maxime notum et angulum Z rectum, fit nota linea AE respectu AZ. Quare tota linea AG respectu GH sive AZ semidiametri epicicli nota fiet, et eius [medius] medius] perhaps del. V2; media W medietas eodem respectu nota; unde et linea DE nota. Et quia agregatum duarum longitudinum maiorum epiciclo existente in transitu medio ecentrici, quemadmodum ex consideracionibus crebris compertum est, non est minus agregato huiusmodi quod accidit epiciclo existente in longitudine longiore ecentrici, nec est maius eo quod accidit epiciclo existenti in longitudine propiore ecentrici sicut in Mercurio contingebat, ymmo ymmo] i.e. ‘ymo’ procedente epiciclo a longitudine longiore versus propiorem, continue crescit hoc agregatum sive angulus ille cui epiciclus subtenditur, et a longitudine propiori versus longiorem eundo, continue decrescit, liquido constabit ecentricum Veneris esse fixum. Volo dicere quod centrum eius non movetur sicut Mercurii nisi quantum fit ad motum stellarum fixarum, de quo hic nihil disseritur. Habemus igitur proporcionem semidiametri epicicli ad semidiametrum ecentrici et ad distantiam duorum centrorum, mundi scilicet et circuli ecentrici. Posita Posita] corr. ex posito autem semidiametro ecentrici 60 partium invenitur distantia huiusmodi duorum centrorum unius partis et 15 minutorum fere et semidiameter epicicli 43 partium et 10 minutorum fere, quod intendebatur.
⟨X.4⟩ 4. Punctum quoddam cuius respectu motus Veneris in longitudinem regularis est determinare.
Hoc per duas habebimus considerationes, quarum una Ptolemei fuit in anno 18 Adriani, secundo die mensis Formuth scilicet octavi transacto, in mane diei tercii. Videbatur enim Venus plurime longitudinis a medio loco Solis in 11 gradibus et 55 minutis Capricorni, aptato instrumento armillarum per stellam cordis Scorpionis. Sol autem medio cursu fuit in 25 gradibus et medietate gradus Aquarii. Fuit itaque longitudo maior matutina a medio loco Solis 43 gradus et 35 minuta. Alia consideratio Ptolemei fuit in anno tertio Antonini Antonini] perhaps corr. ex Antonii V2 die quarto mensis Phormuth, octavi scilicet, ⟨hora⟩ vespertina. Videbatur enim Venus plurime longitudinis a loco Solis medio in 13 gradibus et 50 minutis minutis] misspelled miutis Arietis dum Sol medio cursu suo esset in 25 gradibus et medietate gradus Aquarii. Fuit itaque longitudo maior vespertina a medio loco Solis 48 gradus et 20 minuta. Collectis autem his duabus longitudinibus maioribus habebimus arcum circuli magni cui subtenditur epiciclus 91 graduum et 55 minutorum, eo quidem distante a longitudine longiore ecentrici per quartam circuli. Et hic arcus proposito nostro inserviet.
Sit igitur diameter ecentrici AG per longitudinem longiorem et propiorem transiens, in qua punctum B sit centrum mundi, A longitudo longior, et G longitudo propior. D vero punctus sit ille quesitus cuius respectu motus regularitas perpenditur, a quo educo perpendicularem DE ad lineam AG. Et super centro E, describo circulum epicicli, ductis duabus lineis BZ et BH eum contingentibus in punctis Z et H, quos continuabo cum centro epicicli lineis EZ et EH. Centrum quoque epicicli E continuabo cum centro mundi per lineam EB. Producam etiam BN equedistantem DE, quam constat esse lineam medii motus Solis et Veneris. His itaque itaque] ita W dispositis queramus quanta sit DB respectu semidyametri epicicli. Angulus HBZ notus est quoniam agregatus est ex duabus longitudinibus. Quare eius medietas, scilicet angulus EBH, cognita, et angulus H rectus. Unde proportio EH ad EB nota. Angulus vero EBN scitus relinquitur, subtracto angulo NBH longitudinis matutine noto ab angulo EBH noto. Erit itaque ei coalternus angulus BED inventus. Sed angulus BDE rectus est. Fit igitur triangulus BDE notorum angulorum. Unde proportio EB ad BD nota, sed erat EH semidiametri semidiametri] ei add. but then del. epicicli ad EB nota proporcio. Ergo proporcio EH ad BD nota fit, et propterea erit proportio BD ad semidiametrum ecentrici nota. Posita autem semidiametro ecentrici 60 partium reperitur linea BD duarum partium et 30 minutorum fere. Superius autem linea que est inter centrum mundi et centrum ecentrici erat unius partis et 15 minutorum. Constat igitur centrum ecentrici mediare inter centrum mundi et centrum motus regularis. Poteris etiam idem experiri ad quecumque quecumque] quemcumque W situm epicicli non distantis a longitudine longiori per quartam circuli dum saltem habeas agregatum huiusmodi duarum longitudinum maiorum ad unum huiusmodi situm epicicli. Verum via qua iam incessimus ponendo distantiam a longitudine longiori quartam circuli planior est.
⟨X.5⟩ 5. Distanciam Veneris a longitudine longiore epicicli media comperire.
Pro huius executione supponemus locum longitudinis longioris ecentrici superius repertum, et proporciones linearum quas elicuimus, locum denique verum planete, qui per considerationem manifestatur. Ptolemeus observavit Venerem in anno secundo Antonini, Antonini] Anthonii W 29 diebus mensis Tybi Tybi] corr. ex Tobi quinti scilicet transactis, que quidem tunc non erat in maxima longitudine a loco Solis medio, et videbatur in 6 gradibus et 30 minutis Scorpionis. Erat enim tunc in linea recta que secundum visum transivit per centrum Lune et stellam primam Scorpionis, eam scilicet que in fronte Scorpionis magis ad septentrionem tendit, et erat distantia Lune a Venere secundum successionem signorum sesquialtera distantiae Veneris a stella predicta. Latitudo autem Veneris septentrionalis Ptolemeo videbatur 2 graduum et 30 minutorum. Fuit namque consideratio illa post medium noctis quatuor horis transactis equalibus et 45 minutis. Sol enim fuit in 23 gradibus Sagittarii, et medium caeli fuit secundus gradus Virginis. Sol vero secundum cursum medium erat in 22 gradibus et 9 minutis Sagittarii.
Hoc premisso sit dyameter ecentrici per longitudinem longiorem et propiorem ecentrici Veneris transiens AE, cuius quidem punctus A sit longitudo longior, E vero propior. In hac diametro D punctus sit centrum mundi, G centrum ecentrici, et B centrum motus equalis. Sitque, quemadmodum in consideratione cecidit, centrum epicicli HTK punctus Z, et planeta ipse in puncto K. A punctis denique B et D educantur linee per centrum epicicli BZT et DZH, item semidiameter ecentrici GZ. Punctus quoque K continuetur cum punctis D et Z lineis DK et ZK, et tandem, si libet, ducantur perpendiculares linee, GL quidem ad BZ, DM ad eandem, ZN vero ad DK. Quia autem locus longitudinis propioris notus est et locus medius Solis sive Veneris, erit angulus GBZ notus. Quare cum proporcio BG ad GZ nota sit, erit BZ BZ] corr. ex BC nota respectu GZ et consequenter respectu BD. Unde etiam DZ nota erit et angulus BZD similiter, cui equalis est HZT. Angulus quoque BDZ notus fit, et sibi coniunctus ZDE. Cum autem locus planete compertus sit, erit angulus EDK cognitus. Et propterea angulus KDZ residuus erit datus. Sed proportio DZ ad ZK cognita est quoniam utraque linearum DZ et ZK ad lineam GZ proporcionem habet notam. Fit igitur angulus DKZ notus; quare et extrinsecus HZK notus, a quo si dempseris angulum HZT notum, relinquitur relinquitur] relinquetur W angulus KZT notus, et arcus KT notus fit. Residuus quoque de circumferentia arcus THK cognitus, et ipse est distantia planete a longitudine longiore epicicli media, quam querebamus.
⟨X.6⟩ 6. Huiusmodi distantiam iterum investigare. Unde medium motum argumenti Veneris certiorem, si opus fuerit, constituemus.
Timocharis consideravit, Ptolemeo narrante, in anno 52o a morte Alexandri decimooctavo die mensis Egiptiorum ultimi Mesre stellam Veneris, et vidit eam coniunctam stelle Virginis, ei scilicet sequenti illam que est in summitate ale meridiane Virginis. Fuit itaque locus Veneris in quatuor gradibus et 10 minutis Virginis. Sed tunc fuit locus longitudinis propioris Veneris in 20 gradibus et 55 minutis Scorpionis propter motum eius cum stellis fixis. Non autem fuit Venus in hac consideracione plurime longitudinis a loco Solis medio quoniam post tres dies, in die scilicet 21mo dicti mensis, in nocte quidem quam sequitur dies 22us, videbatur videbatur] corr. ex videatur iam in 8 gradibus et 50 minutis. Inditium Inditium] i.e. ‘indicium’ igitur fuit Venerem tunc esse in superiori medietate epicicli et preteritam esse hanc longitudinem maximam matutinam. In hac vero consideratione medio suo cursu Sol erat in 17 gradibus et 20 minutis Libre fere; quare distantia loci Veneris a medio loco Solis fuit 43 graduum et 10 minutorum. In secunda vero consideratione, scilicet post tres dies, locus Solis medius erat in 20 gradibus et 59 minutis Librae, et ideo distantia Veneris a loco medio Solis erat 42 graduum et 9 minutorum.
Hiis stantibus resumo superiorem figuram in nullo variatam preterquam quod epiciclus sit ante longitudinem propiorem ecentrici, quemadmodum consideratio ipsa cogit. Erit autem angulus GBZ notus propter locum longitudinis propioris notum et locum Solis medium. Sed proporcio BG ad GZ est nota; quare BZ nota respectu BG et consequenter respectu BD. Unde et linea DZ hoc respectu nota dabitur, et duo anguli BZD et BDZ dati erunt; itemque duo anguli HZT et ZDE. Et quia locum planete in zodiaco consideratio fecit notum, erit angulus EDK notus, a quo si subtraxeris angulum EDZ notum, manebit angulus KDZ notus. Est autem proportio DZ ad KZ nota quoniam ambe ad lineam GZ proportionem habent notam; ergo angulus DKZ notus et angulus extrinsecus HZK datus. Et tandem angulus totus KZT cognitus, cui arcus THK subtensus erit notus, quo de toto circulo dempto manebit arcus TK notus. Et ipse est distantia planete a longitudine longiore epicicli media.
Habebimus itaque ex duabus huiusmodi consideracionibus duas planete a longitudine longiori epicicli distantias, et inde patebit arcus epicicli, si quis sit, post integras revolutiones descriptus. Qui si equalis fuerit motui argumenti motui argumenti] corr. ex argumenti motui sive diversitatis ad tempus medium per tabulas extracto, bone sunt tabule. Si vero inequalis, excessus dividatur in dies qui sunt inter duas considerationes, et exiens adiciatur motui argumenti unius diei ex tabulis invento si arcus epicicli per considerationes extractus maior fuerit arcu quem tabule dederunt, aut minuatur ab eo si minor fuerit. Et habebitur motus argumenti medius in uno die rectificatus, quod intendebat corolarium.
⟨X.7⟩ 7. Mediorum motuum Veneris pro tempore placito radices constituere.
Sol, Venus, et Mercurius et in quantitate et radicibus medii motus longitudinis conveniunt. Sed pro radice medii motus argumenti sive diversitatis in Venere, elige considerationem cui fidem habere potes, et per eam velut in premissa distantiam planete a longitudine longiori epicicli media conclude. Deinde pro tempore quod est inter dictam considerationem et primum instans temporis ad quod radicem statuere voles, ex tabula medium motum diversitatis collige. Si itaque instans pro quo radicem queris precedit instans considerationis, subtrahe motum medium diversitatis tempori medio correspondentem a distantia planete a longitudine longiori epicicli media, aut adde eidem si sequitur. Et habebis quesitum, hoc attento quod revolutiones integre mutuentur si opus fuerit, aut abiciantur secundum operis exigentiam.
⟨X.8⟩ 8. Qualiter diversitas in motibus trium superiorum, Saturni scilicet, Iovis, et Martis, cognosci possit ostendere.
Principio omnium opus est ut inveniatur locus longitudinis longioris et propioris cum distantia centri ecentrici a centro mundi. Nam deinde poterit haberi quantitas diversitatis secunde, cuius epiciclus occasio est. Sed in hiis tribus ingenium quod nos ad loca augium Veneris et Mercurii perduxit locum non habet. Illi enim certos limites respectu Solis non possunt excedere; quamobrem in hora certa nobis constabit eos esse in lineis a centro mundi epiciclum contingendo ductis. In istis autem non sic quoniam motus eorum in longitudinem ad Solem non habet colligantiam. Cogitandum igitur fuit quo pacto ad id perveniendi esset facilitas. Melior autem et certior via non est nisi ut locus verus centri epicicli aliquotiens inveniatur. Hoc enim habito procedemus fere sicut in Luna secundum modum ecentrici. Visum autem fuit Ptolemeo quod hii tres superiores in centris orbium suorum eam haberent habitudinem quam Venus, scilicet quod centrum ecentrici deferentis epiciclum mediaret inter centrum mundi et centrum motus equalis et quod aux media epicicli semper centrum motus equalis dictum respiceret, quemadmodum in Venere et Mercurio. Sed quid rationis eum ad hoc compulerit non satis liquet nisi quia huic positioni concordat experimentum aut quia in omnibus aliis stellis duas diversitates habentibus invenit duplitia duplitia] i.e. ‘duplicia’ puncta, unum quidem quod esset centrum ecentrici epiciclum deferentis, aliud vero ut esset determinativum motus equalis sive in epiciclo, velut in Luna, sive in epiciclo et ecentrico, quemadmodum in Venere et Mercurio.
⟨X.9⟩ 9. Quilibet trium superiorum in auge vera epicicli aut eius opposito existens in linea medii motus Solis fore comprobabitur.
Omnes superfities superfities] i.e. ‘superficies’ epiciclorum et ecentricorum in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecliptice nunc supponamus esse propter facilitatem negocii. Nam quod earum ab ecliptica declinatio ingerere potest erroris insensibile est. Sit circulus ecentricus epicicli delator ABG super centro D, cuius augem et oppositum augis diameter AG indicet, in qua quidem sit E centrum mundi et Z centrum motus equalis. Et super centro B describo circulum epicicli TKL. Ductis duabus lineis per centrum epicicli, ZT quidem a centro equantis et EH a centro mundi, erit itaque punctus H aux vera epicicli et K oppositum eius; punctus autem T aux media, cuius cuius] om. W scilicet respectu motus argumenti regulam habet, et sit L oppositum eius. Et sit planeta aut in puncto K aut H. Dico quod linea EH erit medii motus Solis linea aut aut2] corr. ex autem ei directe coniuncta. Nam intelligamus lineam medii motus Solis et centrum epicicli incepisse moveri ab auge A et iam pervenisse ad hunc quem figuravimus situm, et sit primo planeta in puncto H. In hoc itaque tempore planeta descripsit arcum TKH epicicli per medium cursum diversitatis et centrum epicicli circa centrum motus equalis angulum AZB descripsit, qui valet duos angulos BEZ et EBZ sive ei contrapositum TBH. Si itaque collegerimus motum planete in epiciclo cum motu longitudinis, veniet totus circulus et angulus AEB. Illud autem aggregatum equatur medio motui Solis in hoc tempore, quemadmodum ex eis que circa principium noni dicta sunt elicitur. Descripsit itaque linea medii motus Solis totum circulum et amplius angulum AEB. Et quia ipsa incepit moveri a puncto A, constat eam esse iam eandem cum linea EH.
Nunc vero ponamus planetam in K ceteris ut ante manentibus. Iam erit angulus TBK medii motus argumenti in hoc tempore, cui addamus angulum AZB motus longitudinis sive duos EBZ et BEZ; provenient itaque duo anguli recti cum angulo BEZ. Quare linea medii motus Solis amplius quam semicirculum descripsit quantum est angulus BEZ. Sit igitur ipsa linea EM ita quod angulus GEM equalis sit angulo BEZ. Propter illud igitur linea EM directe coniuncta erit linee EB. Planeta ergo erit in linea medii motus Solis utrinque continuata quantumlibet, quod erat propositum.
⟨X.10⟩ 10. Lineam a centro epicicli ad centrum corporis planete extra augem vel oppositum eius existentis productam linee medii motus Solis equedistare.
Resumo figurationem proximam, hoc tamen attento quod planeta sit in puncto N et linea medii motus Solis ES, inceperintque moveri simul centrum epicicli et linea medii motus Solis ab auge ecentrici A, planeta autem ab auge epicicli media. Descripsit igitur linea medii motus Solis angulum AES, et planeta in epiciclo angulum TBN, centrum vero epicicli angulum AZB, qui equipollet duobus angulis EBZ et BEZ. Tres igitur anguli TBN, BEZ, et EBZ, qui est equalis HBT, equabuntur angulo AES. Dempto igitur communi angulo AEB manebit angulus BES equalis angulo HBN. Quare linee ES et BN convincuntur equedistantes, quod erat demonstrandum.
⟨X.11⟩ 11. Quilibet trium superiorum in linea medii motus Solis quantumlibet protracta constitutus in auge vera epicicli aut eius opposito fore convincetur. Unde constabit centrum epicicli et centrum corporis planete sub uno caeli puncto reperiri.
Hec est conversa none huius. Tunc autem in auge epicicli vera erit planeta quando secundum verum cursum ad medium Solis locum ipse perveniet; in opposito vero augis quando eidem opponetur, quod sic demonstrabo. Si enim planeta non fuerit in auge aut eius opposito, non erit centrum epicicli in linea medii motus Solis quantumlibet protacta protacta] protracta W sed extra eam. Protrahatur igitur linea linea] i. m. a centro planete ad centrum epicicli, que quidem per premissam equedistabit linee medii motus Solis. Sed et ipsa secat eam quoniam hee due linee concurrunt in centro corporis planete. Due igitur linee equedistantes se secabunt, quod est impossibile. Destructo hoc igitur impossibili astruetur intentum. Veritas autem corolarii aperta est. Planeta enim numquam est in auge vera epicicli aut eius opposito nisi sit in linea a centro mundi per centrum epicicli producta. Cum igitur necessario sit in auge vera epicicli aut eius opposito, ut probatum est, erit ipse quoque in huiusmodi linea a centro mundi per centrum epicicli producta, que quidem ad firmamentum usque continuata unum punctum offendet, sub quo et planeta et centrum epicicli constituentur.
⟨X.12⟩ 12. Verum locum epicicli alicuius trium superiorum percontari.
Instrumento veridico planete locum observa aut ad stellas fixas quarum loca nota sunt referas ut locum eius verum agnoscas, quem si in opposito medii loci Solis comperies, idem erit, quemadmodum conclusit premissa, verus epicicli et planete locus. Quare ipse epicicli locus inventus erit. Idem quoque haberes si instans quo planeta ad medium locum Solis applicat deprehendere posses; verum hec coniunctio comprehendi nequit quoniam radii solares ne planeta videatur impedimento sunt. In Solis igitur oppositionibus, quas prisci vocabant habitudines extremitatis noctis, possibile erit invenire verum epicicli locum, qui, quemadmodum infra videbitur, ad ecentricitatem et locum augis ecentrici comperiendum utilis veniet.
⟨X.13⟩ 13. Loco augis Martis reperiendo oportuna media premittere.
Per tres habitudines extremitatis noctis in quibus tria loca epicicli subtiliter explorata sunt, id efficiemus quemadmodum in Luna iuxta modum ecentrici tribus locis eius cognitis operati sumus. Fuit autem una Ptolemei consideratio ad Martem in anno 15mo Adriani, 26 diebus mensis Tobi Tobi] corr. ex Tybi quinti scilicet transactis, in nocte, hora videlicet una post medium noctis completa. Tunc enim stella videbatur in 21 partibus Geminorum; unde etiam verus locus centri epicicli ibidem fuerat. Secunda fuit in anno 19no Adriani sexto die mensis Formuthe transacto ante medietatem noctis tribus horis equalibus, et videbatur stella in 28 gradibus et 50 minutis Leonis. Tertiam considerationem fecit ille philosophus clarissimus in anno secundo Antonini, Antonini] perhaps corr. ex Antonii V2 die duodecimo mensis Athica undecimi scilicet transacto, ante medietatem noctis duabus horis equalibus, et apparuit stella Martis in 2 gradibus et 33 minutis Sagittarii. Intervallum autem temporis quod prime et secunde consideracionibus intercidit fuit quatuor anni Egiptii, 69 dies, et 20 hore equales. Tempus vero inter secundam et tertiam fuit quatuor anni Egiptii, 96 dies, et una hora equalis. In primo autem temporis intervallo motus medius longitudinis Martis fuit 81 partes sive gradus et 44 minuta; in secundo 95 partes et 28 minuta. Motus autem longitudinis verus intervalli primi erat 67 partes et 50 minuta; intervalli autem secundi 93 partes et 44 minuta. Illis recitatis principio supponamus illud quod etiam in Luna exercuimus quodque circa principium noni premisimus, computando motus omnes in superficie ecliptice tametsi mobilia ipsa non semper in ecliptica sint quoniam error circulorum reliquorum super eclipticam inclinatione proveniens aut nullus accidit aut modicissimus. Ad illud nos invitat ipsa facilitas operacionum.
Describantur igitur in superfitie superfitie] i.e. ‘superficie’ ecliptice tres circuli equales, ecentricus quidem delator epicicli ABG super centro D, circulus equans EZH super centro T, et circulus KLM super centro N, quod sit centrum mundi. Hec tria centra sint in recta linea una SQFC, et sit linea NT divisa per medium in puncto D, quemadmodum circa principium noni institutum est. In ecentrico autem epicicli delatore sint tria puncta A, B, G tria loca centri epicicli in dictis tribus observationibus represententia, represententia] representancia W que quidem puncta cum centro T motus equalis continuabimus lineis TAE, TBZ, et THG. Itemque producemus lineas NKA, NLB, et NGM. Erit itaque arcus EZ circuli equantis quem descripsit centrum epicicli in primo temporis intervallo, ZH vero arcus quem descripsit in secundo intervallo, quorum uterque notus venit propter tempora intervallorum nota. Similiter arcus KL quem descripsit linea veri motus epicicli in primo intervallo notus est; et arcus LM notus quem in secundo intervallo peragravit. Si igitur arcui EZ equantis arcus KL subtenderetur et arcui ZH arcus LM responderet, non oporteret posuisse ad fortunam, ut sic loquar, punctum D medium inter N et D, neque aliter quam superius in Luna iuxta viam ecentrici prime diversitatis operaremur. Sed arcus KL notus subtenditur arcui AB ignoto, et arcus LM notus arcui BG ignoto respondet. Oporteret autem hos et illos fuisse notos. Quod si duxerimus lineas NE, NZ, et NY secantes circulum KLM in punctis R, O, Y, arcui EZ noto subtendetur arcus RO ignotus, sed et arcui ZH noto arcus OY respondebit ignotus. Oportuit autem binos esse notos ad hoc ut faciliter et precise propositum eniteremur. Hoc autem esse nequit nisi sciantur arcus illi parvi RK, LO, et YM. Hiis enim adiectis aut demptis quemadmodum res ipsa exigit, prodibunt arcus RO et OY noti. Sed istos arcus parvos cognoscendi non est via nisi habeatur locus augis ecentrici. Alterum itaque ex altero pendet. Facilius tamen erit et certius, quandoquidem recta via et precisa incedendi non est potestas, ex loco augis secundum estimationem cognito arcus hos parvos invenisse quam arcubus istis parvis ad estimationem acceptis locum augis inquirere, et cetera si experimentis consonent attentare. attentare] corr. ex attemtare
⟨X.14⟩ 14. Distantiam centri aequantis a centro mundi prope verum estimando investigare.
Non enim ad precisum veniendi primis passibus iter est. Sed prius accipiemus in figura prehabita arcus EZ et ZH in rei veritate cognitos et arcus RO et OY ignotos tanquam notos arcus, qui quidem paulo differunt ab arcubus KL et LM. Et ex eis inveniemus locum augis et ecentricitatem, qua deinde per medium divisa queremus arcus parvos RK, LO, et MY. Et eos adiciemus arcubus prius notis aut ab eis dememus, si res ipsa postulabit, ut arcus quos cupivimus exeant nobis noti. Et denuo inveniemus locum augis et ecentricitatem et huiusmodi arcus iterum parvos. Hoc opusque repetemus donec ad sufficientem precisionem perveniemus.
Pingam igitur huius causa circulum ecentricum super cuius centro motus planete in longitudine est equalis, qui sit circulus ABG. Et sit arcus AB quem motu equali descripsit epiciclus ab habitudine extremitatis noctis prima ad secundam; arcus vero BG quem descripsit in tempore quod est inter secundam et tertiam habitudines. Intra hunc circulum sit punctus D centrum mundi, a quo producam lineas DA, DB, et DG. Et continuabo lineam GD donec secabit circumferentiam circuli equantis in puncto E. Tria quoque puncta E, A, B lineis rectis copulabo complendo triangulum EAB. Tandem etiam lineas perpendiculares producam, EZ quidem ad DA, AT ad BE, et EH ad DB. Erit autem in hac figura angulus ADB velut angulus ENZ in superiori figura, item angulus BDG sicut angulus ZNY; qui licet ignoti sint, tamen anguli ANB et BNG noti sunt ex precedenti, qui paulo a predictis differunt. Hiis igitur interea utar. Quia itaque angulus BDE sive HDE notus est propter angulum BDG notum et angulus H rectus, erit proportio DE ad EH nota. Item angulus BED propter arcum BG notum non ignorabitur. Quare angulus EBD scietur. Unde proporcio BE ad EH cognita veniet, et ideo proporcio DE ad BE manifestabitur. Item angulus EDZ notus est propter angulum ADG cognitum, et angulus Z rectus; quare proporcio DE ad EZ nota erit. Sed et angulus DEA notus est propter arcum ABG numeratum, quare proporcio AE ad EZ; et ideo etiam proporcio DE ad AE non erit ignota. Cum itaque utraque linearum BE et AE ad lineam DE notam habeat proporcionem, erit proporcio BE ad AE cognita. Preterea angulus AEB notus est propter arcum AB notum et angulus T rectus. Ergo tam AT quam TE respectu AE cognita fiet, unde et residua BT nota, et ideo AB cognita. Item AB nota est respectu diametri circuli ABG cum ipse arcus AB numeratus sit. Quare AE nota erit respectu eiusdem, et consequenter arcus AE notus. Unde totus arcus EAG notus, cuius equidem quantitas utrum centrum circuli ABG in linea EG fuerit, an in porcione EBG, aut in alia porcione EG indicabit. Ex predictis etiam linea DE nota erit respectu diametri circuli, et ipsa tota EG cum arcus eius sit notus.
Ut autem habeamus distantiam centrorum sic procedemus. Si arcus EBG esset semicircumferentia, constaret centrum circuli equantis esse in linea EG; et quia ED esset nota respectu EG diametri et medietatis medietatis] corr. ex medietas eius, esset faciliter distancia centrorum nota. Sed quia nunc cadit extra lineam EG et portio EABG maior est semicirculo, sit punctus K in alia quidem figura centrum equantis. Ducatur diameter circuli ABG per duo puncta K et D, que sit LKDM. Cum igitur utraque linearum ED et DG respectu diametri circuli nota sit, erit quod fit ex altera in alteram notum. Id autem equale est ei quod fit ex DM in DL, quare et illud notum, quo dempto ex quadrato semidiametri, relinquetur quadratum linee DK notum. Unde et ipsa nota veniet, quod intendebatur.
⟨X.15⟩ 15. Quantum in unaquaque trium habitudinum ab auge ecentrici planeta distet coniectare.
In figura simili prehabita prehabita] prehabite W ducatur semidiameter KS dividens lineam EG per medium et orthogonaliter in puncto Z. Erit autem DZ linea nota quoniam tota EG nota est et eius medietas cum linea DG. Trianguli igitur KDZ duo latera KD et DZ nota sunt et angulus Z rectus, quare angulus DKZ notus et arcus MS cognitus. Sed erat totus arcus EG datus, a cuius medietate GS arcu MS ablato, relinquetur arcus GM notus, qui est distantia tertie habitudinis ab opposito augis ecentrici, quam si ex semicirculo reicerimus, reicerimus] perhaps variant spelling of reiecerimus, as is found in V1 manebit eius ab auge ecentrici distantia. Erat etiam arcus BG notus, qui ex arcu LG iam noto sublatus relinquet arcum LB notum, distantiam scilicet secunde habitudinis ab auge ecentrici. Item arcus AB notus fuit, a quo si demas BL arcum iam cognitum, remanebit distantia habitudinis prime ab auge cognita. Inventio autem loci veri augis ecentrici neque certa adhuc esse potest neque utilis. Sed distantie habitudinum ab auge quas iam extraimus extraimus] i.e. ‘extrahimus’ ad arcus parvos inveniendos valebunt.
⟨X.16⟩ 16. Arcum parvum prime habitudinis numerare.
Repeto partem figure 13me huius, et intendo invenire arcum parvum KR. Prius tamen continuo lineam ET ut supra ipsam cadere possint due perpendiculares DP et NH. Quia igitur ex precedenti angulus ETS notus fuit, erit angulus DTP notus. Et angulus P est rectus. Quare proportio DT, que est medietas NT, ad DP nota erit; itemque eiusdem DT ad PT cognita erit proporcio. Erat autem DT cognita respectu DA sive TE. Quare etiam utraque linearum DP et PT eodem respectu cognoscetur. Unde linea AP nota erit, cui si HP equalem PT addiderimus, proveniet tota AH scita. Est autem NH dupla ad DP cognitam. Igitur propter lineas NH et AH notas angulumque H rectum, nota erit linea NA cum angulo NAH. Item TE nota est quoniam semidiameter ecentrici equantis, et TH est nota. Ergo tota EH cognita fit, que cum NH superius scita manifestabunt lineam EN. Unde et angulus NEH scietur, qui subtractus ab angulo NAH prius noto relinquet angulum ANE notum. Quare arcus KR notus veniet, qui querebatur.
⟨X.17⟩ 17. Secunde habitudinis arcum parvulum indagare.
Partem figure superioris in quam cecidit secunda habitudo repetitam volo, et pro arcu OL reperiendo operam dabo. Cum autem angulus ZTS notus sit, erit utraque linearum DP et PT respectu DT et ideo respectu DB semidiametri ecentrici nota. Linee quoque PH quidem equalis PT et NH dupla ad DP note fient. Quare cum angulus H sit rectus nota, fiet NB linea cum angulo NBH. Linea autem ZH ex duabus notis, ZT scilicet semidiametro equantis et TH alias, nota constat, ex qua et linea NH cognita patefiet linea NZ. Unde angulus NZH innotescit, quem si ex angulo NBH noto dempseris, remanebit angulus BNZ notus, et ideo arcus LO cognitus, qui petebatur.
⟨X.18⟩ 18. In tertia habitudine quantitatem arcus parvi comprehendere.
Huius habitudinis ex figura dicta secabo partem, in qua propter angulum FTH notum, erit proporcio DT ad DP nota. Similiter proporcio eiusdem DT ad PT cognita erit. Unde tota XT fiet nota. Et ideo residua HX de HT semidiametro equantis nota manebit, que cum NX dupla ad DP notam eliciet lineam NH cognitam. Unde et angulus NHX manifestus erit. Deinde propter DG semidiametrum ecentrici notam et lineam DP, innotescet linea PG, PG] corr. ex †O†G cui si lineam PX equalem PT abstuleris, relinquetur GX nota, que cum linea NX dabunt ⟨lineam⟩ NG notam et angulum NGX scitum. Quo dempto ex angulo NHX noto relinquetur angulus GNH inventus, et arcus YM cognitus erit. Inventis igitur illis tribus arcubus parvis revertere ad figuram primam 13me huius. Novisti autem ex 15 huius augem ecentrici cadere inter duas primas habitudines; unde oportet duos arcus parvos RK et OL iam notos ad propinquum addi arcui KL noto ut inde colligatur totus arcus RO quantum adhuc possibile est notus. Item arcus LM notus est per considerationes circa 13mam huius recitatas. Et duo arcus parvi OL et MY iam numerati sunt, quos si a toto LM demas, relinquetur arcus OY ad propinquum notus.
Nunc denuo invenias ecentricitatem et distantiam uniuscuiusque trium habitudinum ab auge ecentrici, utendo arcubus mediorum motuum quibus ante, scilicet EZ et ZH, itemque arcubus RO et OY iam cognitis prope verum. Extracta autem ecentricitate et distantia trium habitudinum ab auge ecentrici per numeros, enitere iterum arcus parvos RK, LO, et MY. Per eos quoque arcus RO et OY vero viciniores redde. Deinde et tertio totum opus repete, dando operam inventioni ecentricitatis et distantie trium habitudinum ab auge. Quid multis moror. Opus illud iterandum est donec arcus illi parvi in novissima operatione venientes equentur hiis quos in priori operatione reperiebas. Hoc enim viso gaudeas te metam attigisse. Habebis enim ecentricitatem quantum opus est precisam et trium habitudinum sepe dictarum ab auge ecentrici distantiam, quibus infra uteris. Invenit autem Ptolemeus finaliter distantiam illam inter centrum mundi et centrum circuli equantis 12 partium fere huiusmodi quarum semidiameter ecentrici deferentis habet 60. Unde distantia centri deferentis a centro mundi concluditur hoc respectu 6 partes habere.
⟨X.19⟩ 19. Quae pro ecentricitate et trium habitudinum ab auge distanciis conclusa sunt an experimentis consonent observationum ingeniose scrutari.
Patet ex supradictis proporcio ecentricitatis ad semidiametrum ecentrici cum distanciis trium habitudinum ab auge ecentrici, distanciis inquam numeratis in circulo equantis. Considerationes autem ostenderunt distantias trium habitudinum inter se respectu centri orbis signorum, ad quas quidem nunc per lineas rationales veniendi paratum est iter. Quod si eas tantas reperiemus quante ex consideracionibus accepte sunt, rata censebimus omnia que hactenus sunt conclusa.
] the figure should have its lowermost point labelled ‘Z,’ as in W Sit igitur ecentricus epicicli delator AEZ super centro D, in cuius diametro EZ per centrum mundi N transeunte sit punctus T centrum motus equalis. Et sit centrum epicicli in prima habitudine super puncto A, quem cum tribus punctis N, D, T per tres lineas AN, AD, et AT continuabo, productis super lineam AT satis continuatam duabus perpendicularibus DP et NH. Erat autem per postremam operationem precedentis angulus ATE cognitus. Quare fit utriusque linearum DP et PT ad lineam DT nota proporcio. Sed DA semidiameter ecentrici nota est. Igitur et AP nota erit, cui si PH equalem PT adieceris, colligetur tota AH cognita. Ex qua denique et linea NH et cognoscentur linea AN et angulus NAH. Hic autem angulus NAH ex angulo ATE demptus relinquet angulum ENA scitum, qui est distantia habitudinis prime ab auge ecentrici respectu quidem centri orbis signorum.
In secunda vero habitudine reliquis ut ante hac dispositis, epicicli centrum in punctum punctum] puncto W B constituo. Propter angulum igitur ETB ex precedenti notum, fit nota utraque linearum DP et PT respectu semidiametri ecentrici. Quare linea BP nota fiet, et quemadmodum in prima habitudine, tota linea BH cognita veniet cum linea NH, propter quas etiam innotescet linea NB. Et ideo angulus HBN scietur, qui ex angulo ETB reiectus relinquet angulum ENB cognitum, qui ostendit distantiam secunde habitudinis ab auge ecentrici respectu centri orbis signorum.
Preterea in tertia habitudine epicicli centrum in G puncto statuatur. Reliqua autem similia sint sint] corr. ex sunt prioribus, hoc dempto quod perpendiculares NH et DP aliter cadent. Ex premissa constabat angulus GTZ. Quare proportio DT ad DP nota erit, eiusdemque DT ad lineam PT non ignorabitur proportio. Utraque igitur linearum DP et PT respectu semidiametri ecentrici DG nota fiet, et ideo PG nota veniet. Reliqua quoque GH manifestabitur ablata PH equali PT. Sed NH dupla dupla] corr. ex duplata est ad DP cognitam. Ergo linea GN nota erit, et angulus HGN innotescet, quem si angulo GTZ adiecerimus, proveniet angulus GNZ cognitus. Qui subtractus a duobus rectis relinquet angulum ENG notum, qui est distantia tertie habitudinis ab auge ecentrici respectu centri orbis signorum.
Collectis igitur duobus angulis ANE et BNE, habebis distantiam duarum habitudinum prime et secunde, quam si diligentiam ⟨numerando⟩ feceris, equalem invenies distantie superius circa 13am huius recitate. Similiter si angulum BNE ex angulo GNE minues, relinquetur relinquetur] corr. ex relinqueretur distantia duarum habitudinum, secunde scilicet et tertie, nimirum equalis ei quam dederunt consideraciones superius recitate.
⟨X.20⟩ 20. Tandem augis ecentrici locum verum investigare. Unde etiam distantia epicicli ab auge ecentrici et planete ab auge epicicli secundum cursus constabit medios.
Quamlibet trium habitudinum dictarum aut per te consideratarum elige. Et modo pretacto invenias distantiam unius earum ab auge aut eius opposito, quam distantiam si a loco stelle in hac habitudine noto numeraveris secundum ⟨successionem⟩ successionem] not in witnesses signorum aut econtra, sicut res ipsa postulat, ad locum augis perduceris. Exemplo Ptolemei qui reperit distantiam epicicli in tertia habitudine a longitudine propiore 52 partium et 56 minutorum; stelle autem locus erat in 2 gradibus et 35 minutis Sagittarii, cui quidem loco secundum continuacionem signorum adiecit 52 gradus et 56 minuta. Et invenit oppositum augis sive longitudinem propiorem in 25 gradibus et 30 minutis Capricorni; augem vero ei oppositam in 25 gradibus et 30 minutis Cancri. Sed pro corolario sit epicicli circulus KLM super centro G. In tertia habitudine erat superius angulus ETG notus, et ipse ipse] corr. ex ipsa est distantia epicicli ab auge secundum cursum medium. Item locus augis iam notus est, et locus planete erat notus; quare angulus GNZ scitus, a quo si angulum GTN notum abstraxeris, relinquetur angulus TGN cognitus et arcus KL inventus. Ille igitur ex semicirculo reiectus relinquet arcum MK notum, qui est distantia planete ab auge epicicli media.
⟨X.21⟩ 21. Qua in parte zodiaci aux ecentrici sit alio processu comperire.
Memorata superius omnia hoc unum numquam demonstratum supponunt, quod centrum ecentrici deferentis a duobus centris, mundi scilicet et equantis, equedistet in una quidem recta linea cum eis existens. Speciose autem demonstracioni si quid incerti admiscebitur, nauseabit extemplo intellectus. Quod si fugere voles, hanc amplectere viam, verum non minus fortasse molestie pariet hic difficultas quam alibi incertitudo. Quatuor habitudines extremitatis noctis tales observabimus ut temporis intervalla que inter binas sunt equalia sint. Hec enim conditio augem in medio binarum habitudinum esse indicabit. Hoc tamen, ut planius appareat, in figura speculaberis. Sit circulus orbis signorum ABGD super centro E, et sint quatuor habitudines considerate per lineas EA, EB, EG, et ED. Duo quoque tempora que sunt inter A et B habitudines et inter G et D habitudines sint equalia. Dividaturque arcus BG per medium in puncto Z ducta linea ZH, in qua dico esse augem et oppositum augis ecentrici. Nam continuatis lineis AE, BE, GE, et DE donec secabunt circumferentiam in punctis T, K, L, M, erunt hec quatuor loca Solis media in habitudinibus dictis. Et quoniam tempora inter binas habitudines sunt equalia, erit arcus TK equalis arcui LM; unde etiam arcus AB equalis arcui GD. Igitur in hiis duobus intervallis equalibus centrum epicicli planete de orbe signorum arcus equales secuit, quod equidem fieri nequit nisi arcus isti isti] corr. ex iste equaliter ab auge aut eius opposito distent, quemadmodum ex eis que de Sole dicta sunt faciliter elici potest.
⟨X.22⟩ 22. Proportionem ecentricitatis ad semidiametrum ecentrici concludere.
Ad huius executionem pono circulum ecentricum epicicli delatorem ABG super centro D, in cuius circumferentia tria puncta A, B, G epicicli centrum in tribus habitudinibus representent. Linea vero transiens per augem et oppositum augis ecentrici sit ZH, in qua sit centrum mundi punctus E et centrum motus equalis punctus U. Et ipsa linea ZH dividat arcum BG per medium. Producam deinde lineas AE, BE, et GE, itemque lineas AU, BU, et GU. Tria etiam puncta A, B, G inter se continuabo lineis AB, BG, et AG. Tandem quoque producam diametrum huius ecentrici, que sit BDL. Quia igitur tempus quod est inter habitudinem secundam et tertiam notum est, erit angulus BUG notus cum eius medietate BUZ; unde etiam angulus BUE notus. Sed propter locum augis ex precedenti notum et propter locum habitudinis secunde notum, datus erit angulus BEU. Trianguli itaque BUE notos angulos habentis latera inter se nota erunt. EU igitur ad BU proporcionem habebit scitam. Sed trianguli AUE anguli noti erunt per similia media cum locus habitudinis prime sit datus et locus augis. Ob hoc enim angulus AEU notus erit, sed et angulus AUZ datus quoniam BUZ notus est et AUB similiter propter tempus quod est inter primam habitudinem et secundam cognitum. Quare proporcio EU ad AU nota. Unde etiam proportio BU ad AU nota. Cum autem angulus AUB datus sit, erit proportio AU ad AB nota, angulus quoque ABU cognitus. Item triangulus BUG angulum BUG habet notum, sed angulus GBU est equalis angulo BGU. Igitur unusquisque eorum scitus et proporcio BU ad BG data; quare etiam BG respectu AB nota. Cum autem angulus ABG ex duobus angulis constet iam notis, scilicet ABU et GBU, et duo latera AB BG inter se nota sint, erit angulus BAG notus. Quare etiam arcus BG datus et eius corda BG respectu semidiametri circuli ABG nota. Sed erat BG nota respectu UE sicut omnes relique linee. Ergo etiam UE linea respectu semidiametri ecentrici nota erit, et ipsa est ecentricitas circuli equantis.
Deinde quia arcus BG notus est, erit residuus GL notus et angulus GBL scitus. Dempto autem angulo GBU noto manet angulus UBL notus. Sed et proporcio BU ad BD semidiametrum ecentrici nota est. Ergo eodem respectu linea DU nota fit, qua dempta de tota EU EU] corr. ex eum relinquitur DE nota, et ipsa est ecentricitas circuli deferentis. Sic igitur utraque ecentricitas elicita est. In hoc tamen processu centra equantis et deferentis supponuntur esse diversa, quod utrum ita sit an non hac via cognosces. Angulum GBU habuisti notum cum angulo GBL, qui si diversi fuerint, centra predicabis diversa. Si vero eos coincidentes inveneris, dic et ecentricos in centro communicare. Hec omnia tenent ponendo centrum mundi cum centris ecentricorum in una linea recta. Quod si aliter esset, aliter procedendum esset.
⟨X.23⟩ 23. Semidiametrum epicicli ad semidiametrum ecentrici Martis certa sub proportione conferre.
Aptiores ad hoc considerationes sunt que prope habitudines quas vocant extremitatis noctis fiunt. Hic enim sensibiliter variatur angulus diversitatis que propter epiciclum accidit. Unam considerationem Ptolemeus habuit in anno secundo Antonini tercio die post habitudinem extremitatis noctis tertiam superius recitatam, scilicet 15o die mensis Athica undecimi transacto, tribus horis ante medietatem noctis. Consideravit enim Martem per instrumentum armillarum ad Spicam rectificatum, et videbatur in uno gradu et 36 minutis Sagittarii dum Sol medio motu in 5 gradibus et 27 minutis Geminorum versabatur. Et medium caeli erat 20ma pars Libre. Apparuit etiam stella Martis sequi centrum Lune tunc per gradum unum et 36 minuta. Visum autem locum habuit Luna in principio Sagittarii, unde certissimus erat locus Martis.
Nunc describo circulum ecentricum epicicli delatorem ABG super centro D, cuius diameter per augem eius et oppositum transiens sit ADG, in qua punctus Z sit centrum motus equalis et E centrum mundi. Epiciclus autem HTK centrum suum habeat in puncto B, et sit planeta in puncto N. Ducoque lineas ZBH, DB, EB, EN, et BN, et perpendiculares duas EL et DM super lineam ZB, aliam vero perpendicularem BS super lineam EN continuatam. Erat autem distantia centri epicicli ab auge ecentrici in tertia habitudine nota, et ab eo instanti consideracionis usque nunc fluxit tempus notum. Quare et nunc distantia centri epicicli ab auge scita est; unde angulus AZB notus et angulus DZB. Proporcio igitur DZ ad utramque DM et ZM cognita erit. Quare utraque earum respectu semidiametri ecentrici DB nota fiet; unde etiam BL scietur. Est autem LM equalis MZ et EL dupla ad DM; igitur BL nota cum EL, et ideo linea EB numerata. Angulus quoque EBL invenietur cognitus. Cum autem locus longitudinis propioris scitus sit et locus astri consideratus, erit angulus GES datus. Angulus vero GEB notus redditur propter duos angulos BZE et EBZ cognitos. Relinquitur igitur angulus BES cognitus. Unde BE respectu BE BE2] corr. in BS nota veniet. Item distantia planete a longitudine longiore epicicli media nota est, quare angulus KBN notus. Sed erat cognitus KBT angulus; ergo reliquus NBT angulus scietur, qui cum angulo BEN cognito manifestabunt angulum BNS. Et ideo proportio BN ad BS scita emerget. Unde etiam proportio BE ad BN semidiametrum epicicli manifesta erit. Sed fuit BE respectu semidiametri ecentrici nota. Ergo etiam BN eodem respectu cognoscetur, quod fuit ostendendum. Invenit autem Ptolemeus semidiametrum epicicli Martis 39 partes et 30 minuta partis unius complecti dum semidiametrum ecentrici poneret 60 partium.
⟨X.24⟩ 24. Pro mediis motibus Marti rectificandis operam dare.
In anno 13mo Diionisii, anno scilicet 52o a morte Alexandri sive 476 a principio annorum Nabonassaris, quemadmodum narrat Ptolemeus, 20o die mensis Athuz tercii transacto in diluculo diei 21m, 21m] 21mi W stella Martis videbatur cooperire stellam fixam que est in latere septentrionali frontis Scorpionis. In hac autem consideratione Sol secundum cursum medium fuit in 23 gradibus et 54 minutis Capricorni, et hec stella fixa in 2 gradibus et 14 minutis Scorpionis. Locus autem augis in 21 gradibus et 25 minutis Cancri secundum computationem Ptolemei quoniam inter hanc considerationem et primum annum Antonini fuerunt anni Egiptii fere 409, quibus estimacione quidem Ptolemei respondent quatuor gradus et 6 minuta fere.
Hoc premisso sit ecentricus epiciclum deferens ABG super centro D, in cuius diametro per augem et eius oppositum transeunte punctus A sit aux, et G oppositum eius, E centrum mundi, et Z centrum motus equalis. Sitque epiciclus HT super centro B et planeta ipse in puncto T. Linea autem EL sit medii motus Solis. Ducantur etiam linee EB et ZBH, DB, BT, et BN perpendiculares perpendiculares] corr. in perpendicularis ad lineam ET. Linea vero TE continuetur continuetur] corr. ex cotinetur ultra E donec DM ad eam perpendiculariter incidere possit. Ducaturque linea DS equedistans linee ET. Quia itaque locus Solis medius est datus et locus planete verus, fit angulus TEL datus, cui equalis est BTE angulus. Cum ex decima huius linee BT et EL equedistent. Triangulus ergo BTN notorum est angulorum. Quare proporcio BT semidiametri epicicli ad BN nota est, et linea BN respectu semidiametri ecentrici nota. Deinde quia angulus TEG aut ei contrapositus DEM ex loco planete et longitudine propiore cognitis notus est et angulus M rectus, erit DM respectu DE nota. Sed DE respectu semidiametri ecentrici est nota, ergo et DM cui equalis est SN eodem respectu nota erit. Sed erat nota BN hoc respectu, quare BS residua data erit. Unde etiam propter semidiametrum BD notam data erit DS et angulus BDS cognitus. Est autem angulus SDE notus quoniam equalis angulo TEG dato; ergo totus angulus BDE cognitus et ei coniunctus BDZ. Sed et proporcio BD semidiametri ad DZ nota iam est. Quare angulus BZD notus exibit cum angulo AZB, qui est angulus distantie medii loci planete ab auge ecentrici. Anguli autem duo BZG et GEL equipollent angulo HBT. Quare cum ipsi noti sint, erit angulus HBT cognitus, qui ostendit distantiam planete ab auge media epicicli.
Habemus itaque motum medium planete ad hanc considerationem, superius quoque in tertia habitudine motus huiusmodi notus erat; quare differentia eorum motuum, si qua sit, nota. Sed tempus inter duas considerationes existens notum est, et motus longitudinis per quartam et quintam noni libri huic tempori correspondenter extrahi potest, qui si equalis fuerit differentie mediorum motuum ex consideracionibus accepte, certa est medii motus tabulatio; si vero inequalis, excessum notabis et eum more usitato in dies temporis medii distribues ut exeat portio erroris pro uno die, addenda quidem motui unius diei prius tabulato aut subtrahenda, quemadmodum res ipsa postulabit.
⟨X.25⟩ 25. Radices mediorum motuum Martis certo tempori coaptare.
Iam habes medium motum in longitudine. Numera igitur tempus quod est inter instans considerationis et instans pro quo radicem fundare instituis. Huic tempori motum medium ex tabula rectificata collectum a motu medio quem dedit consideratio subtrahe si radicem ad preteritum voles, aut adde si ad futurum. Et quod resultabit erit radix cupita. Similiter pro radice diversitatis ages. Verum cum distantia, si que sit, inter duo loca media Solis et planete semper equalis sit distantie planete ab auge media epicicli, satis erit pro medio motu planete in longitudine radicem statuisse.
Finis decimi.