quartae. Huius numeri radix quadrata sunt 56,387 secundae, quas postquam per sexaginta dividimus more solito, habuimus 15 gradus 39 minuta et 47 secundas, subtensam scilicet, quae medietati arcus dati AB subtenditur, hoc est 15 gradus. Per hanc propositionem, ut inquit Ptolemaeus, possunt multae subtensae inveniri. Hactenus de hac propositione.

Sit rursum.］ Per hanc propositionem quatuor arcuum subtensae, sicut parebit, investigari possunt, nempe subtensa arcus compositi ex duobus arcubus datis, subtensa arcus residui de semicirculo BGD, subtensa arcus GDE et subtensa arcus residui ad semicirculum GD. Tota operatio huius propositionis perficitur adminiculo duarum propositionum, quarum altera est penultima primi, altera vero decimaseptima sexti. Itaque cum lubet quaerere quanta sit chorda quae subtenditur arcui 16 graduum et 30 minutorum, qui componitur ex 15 gradibus et 1 gradu ac 30 minutis, quemadmodum est arcus AG in hac figura, huius, inquam, arcus subtensam hoc modo quaesivimus, scilicet primo per AG lineam notam, quae est 1 gradus et 34 minutorum ac 15 secundarum, et per AD lineam, opitulante penultima primi, investigata est nobis chorda BD, quam invenimus esse 119 graduum 59 minutorum et 23 secundarum. Tanta est chorda arcus BGD, residui de semicirculo, qui est 178 graduum et 30 minutorum. Ad eundem modum invenimus per penultimam primi et chordam notam BG, quae in hoc exemplo est 15 graduum 39 minutorum et 40 secudarum, chordam GE, nam multiplicavimus BG in se, et diametrum, scilicet lineam AD, in se, et subtraximus quadratum ipsius BG a quadrato AD; residui radix educta est, quae erat 118 graduum 58 minutorum et 24 secundarum. Tanta est subtensa arcus residui de semicirculo, hoc est ipsius GDE, qui est 165 graduum quorum tota circumferentia circuli est 360. Ut supra meminit Ptolemaeus, harum duarum subtensarum producta iuxta sententiam decimaeseptimam sexti multiplicata sunt unum cum altero, et provenerunt 185,011,480,752 quartae, ab his subtraximus productum lineae BG ductae in lineam DE, quae sunt opposita latera, scilicet 318,868,485, et remanserunt 184,692,612,267. Hunc numerum dividimus per lineam AD, scilicet 120 gradus, et prodierunt 427,529 secundae. Has redegimus per 60 in minuta, et minuta in gradus, et habuimus 118 gradus 45 minuta ac 29 secundas pro linea GD, sine qua impossibile est inveniri subtensam arcus compositi, scilicet AG, sic habetur etiam chorda arcus GD residui ad semicirculum, nempe 163 graduum et 30 minutorum. Nunc porro multiplicavimus 118 gradus 45 minuta et 29 secundas in se, productum servabatur nobis seorsim, deinde multiplicavimus diametrum in se, a cuius producto subtraximus id quod servatum est seorsim, radix residui fuerunt 61,989 secundae, quibus divisis per 60 venerunt 1,033 minuta et remanserunt 9 secundae, his iterum divisis per 60 prosilierunt 17 gradus et reliqua fuerunt 13 minuta productum, scilicet lineae arcus compositi AG est 17 graduum 13 minutorum 9 secundarum.

Perspicuum autem est.］ Hoc animadvertere decet, quod cum volueris alicuius arcus compositi rectam lineam invenire, semper altera linearum cognitarum, ex quibus arcus compositus, cuius subtensa quaeritur, constat, debet esse linea illa, quae uni gradui, et triginta minutis subtenditur, sicut in hoc exemplo est linea AB, quae est 1 gradus 34 minutorum 15 secundarum; huius lineae arcui adde seu appone arcum alterius lineae notae qui sit minor quam quarta semicirculi, ut exempli gratia: volo quaerere per compositionem lineam quae subtenditur arcui 37 graduum et 30 minutorum, qui arcus constat ex 1 gradu 30 minutis et ex 36 gradibus, horum 36 graduum subtensa est 37 graduum 4 minutorum et 55 secundarum, altera scilicet linea nota, et per subtractionem habebis etiam 142 gradus 30 minuta residuum, scilicet de semicirculo: nam per hanc propositionem possunt quatuor arcuum subtensae investigari, sicut superius dixi, hoc solum animadvertas quod ratio arcus AB et ratio arcus BGD, residuum de semicirculo respectu arcus AB, semper manet invariabilis in operatione huius propositionis.

Dico igitur.］ Priusquam Ptolemaeus doceat quomodo linea quae uni gradui de circumferentia subtenditur venari queat, affirmat geometricis demonstrationibus quod datis duobus arcubus inaequalibus maioris arcus proportio ad minorem sit maior, et proportio subtensae maioris arcus sit minor ad subtensam arcus minoris.

Hoc ita proposito.］ Quod supra ingeniose demonstravit, nunc exemplis ob oculos ponit. Sit arcus AB 30 minutorum et 15 secundarum et arcus ABG gradus unius, huius chorda quaeritur, quae hac ratione nobis nota fiet, nam ex quo proportio arcus ABG ad arcum AB sit sesquitertia, hoc est arcus ABG complectatur arcum AB semel et unam tertiam eius, erit linea AG minor quam linea