〈I.9〉 Caput IX
Quinque Ptolemaeus propositiones in hoc capite proponit, quibus docet tabulam rectarum linearum, quae singulis arcubus in semicirculo subtenduntur, conficere. Prima docet, data circuli diametro, latera decagoni, hexagoni, pentagoni, tetragoni et trianguli rectorum laterum invenire.
Secunda docet quomodo, data alicuius arcus chorda per primam inventa, innotescet chorda arcus residui de semicirculo. Tertia manifestat inventionem chordae qua differunt duo arcus inaequales, quorum chordae seu subtensae sunt datae. In quarta traditur doctrina de invenienda medietate chordae datae in semicirculo. Quinta tradit rationem quomodo, datis subtensis duorum arcuum in semicirculo, subtensa arcus ex his compositis investigetur. Ex his paucis propositionibus docuit Ptolemaeus ingeniosissime componere tabulam subtensarum.
Utemur.］ Gradus unus dividitur in sexaginta minuta, et minutum iterum in sexaginta partes quae secundae appellantur, et secundae per sexagenarium numerum in tertias, et sic deinceps.
Nam quoniam.］ Hac demonstratur propositione sexta secundi Euclidis. GD est linea tota cui additur DF, si multiplicabitur GF in FD et producto additur quadratum DE, prosiliet quantitas quadrati lineae FE, quae est dimidium lineae datae, et lineae adiectae. Sed cum DF sit ignota ac linea FE aequalis BE, erit EB quaerenda, quod fit pro penultimam primi, ubi docetur duo quadrata ED et DB tantum valere quantum quadratum BE; extracta radice, habebimus lineam FE, a qua subtracta DE, relinquetur FD latus decagoni. In extrahendis radicibus, quo plures adieceris cyphras, eo exactius prodibit quaesitum.
Linea ergo.］ Ratio dividendi aliquam lineam secundum proportionem habentem medium et duo extrema docet propositio 16 sexti et nona tredecimi.
Erit profecto.］ Hoc confirmatur per conversam decimae tredecimi.
Similiter quoniam.］ Ratio huius sententiae demonstratur ab Euclidis propositione octava, libri tredecimi.
Nam quoniam.］ Quod angulus ABG sit rectus habetur ex trigesima propositione libri tertii Elementorum, in qua affirmatur quod rectilineus angulus constitutus super semicirculum fit rectus, operatio absolvitur per penultimam primi. Duc AB in seipsum, et similiter AG, et subtrahe quadratum ipsius a quadrato AG, ex residuo quaere radicem quadratam, productum dabit tibi lineam BG, per hanc propositionem multae lineae subtensae investigantur, sive linea data sit maior sive minor semicirculo.
Prout forte.］ Priusquam perveniat ad contendendum quomodo differentia duarum subtensarum quae datae sunt investiganda sit, praemittit theorema in quo demonstrat quod quadrangulum quod fit ex duobus diametris diametris] diamemetris B quadrilatae figurae tantum valeat quantum duo quadrangula quae fiunt ex lateribus oppositis. Et cum angulus ABD sit aequalis angulo EBG, nam angulus EBD est communis, erit per sextam sexti proportio BG ad GE sicut BD ad DA, quare per 17 sexti quadrangulum AG in AD aequale est quadrangulo BG in EG. Ut,
Porro, cum triangulus ABE aequalium est angulorum cum triangulo BGD, erit proportio per eandem ipsius AB ad AE, sicut proportio BD ad GD, et quadrangulum quod fit ex AB in BG, per 17 sexti, quemadmodum quadrangulum quod fit ex BD in AE.
Nunc si duxeris numerum lineae BD in numerum lineae AG duorum diametrorum, erit productum aequale producto quod provenit ex multiplicatione laterum oppositorum, hoc est lateris BG in AD et lateris AB in GD.
Hoc ita opposito.］ Sed priusquam tradatur exemplum quo docebitur qua ratione differentia duarum subtensarum quarum quantitas nota est quaerenda sit, ut exempli gratia chorda arcus BG per duas datas, scilicet AB et AG, investigentur per penultimam primi duo diametri quadrilaterae figurae ABGD, scilicet per AB ipsa BD, et per AG, GD; quibus habitis, duc lineam AG in lineam BD, productum serva seorsim, deinde duc AB in GD, illud quadrangulum subtrahe a quadrangulo servato, et quod reliquum est divide per lineam AD, hoc est diametrum, productum erit ipsa differentia, scilicet linea BG.
Exemplum
Sit chorda arcus AB data per primam huius, quae est chorda pentagoni, scilicet 70 gradus 32