primi Euclidis cum EL, TL, EM, ZM sint quarte circulorum maiorum. Et ita equales erunt TE et ZE equales, quod est propositum.
〈II.15〉 15. Quilibet duo arcus circuli declivis equales et equaliter ab alterutro punctorum tropicorum distantes habent in spera obliqua ascensiones coniunctas equas eis ascensionibus quas idem arcus habent in spera recta coniunctis. Ex quo et premissa propositione manifestum est quod si note fuerint ascensiones unius quarte in spera obliqua, note erunt ascensiones omnium.
Verbi gratia: sit circulus meridiei ABDG, medietas orizontis obliqui BED, medietas equatoris AEG, sit etiam TH arcus zodiaci ut signum Piscium et arcus ZH Libra que, cum sint equalia et equaliter a punctis tropicis distantia, dico eorum ascensiones in quacumque spera obliqua coniunctas eorundem ascensionibus in spera recta coniunctis esse equales. Probatio: cum ZH et TH arcus zodiaci sint equales, circulus equinoctiali paralellus transiens per medietatem unius transit per extremitatem alterius. Cum arcus equales et equaliter ab equinoctiali distantes equales habent declinationes, quod patet per penultimam primi huius, et ita in eedem puncto orizontis ascendunt quod quidem punctum sit H, palam ergo quod cum TH elevatur elevatur] followed by crossed-out TH F TE et cum ZH elevatur ZE, describatur etiam super polum meridianum KHL, palam ergo quod cum TH in spera recta ascendit TL et cum HZ ascendit ZL, sed TE et EZ simul equantur TL, LZ. Quare constat propositum, quoniam LE differentiarum vicem optinet differentie, scilicet in qua ortus Piscium in spera obliqua superatur ab ortu eiusdem in spera recta et in qua ortus ortus] scrips. bis F. Read only one ortus Libre in spera obliqua superat ortum eiusdem in spera recta, que quidem differentie per 13am tertii Theodosii sunt equales. Correlarium vero patet quia, cum scitur ascensio Arietis per premissam, scitur ascensio Piscium et per ortum Cancri habetur ortus Aquarii et per ortum Geminorum habetur ortus Capricorni et item per ortum Arietis habetur ortus Virginis et per ortum Piscium ortus Libre per propositionem istam adiuvante ultima primi huius et sic de ceteris equaliter a punctis tropicis distantibus, unde totum liquet propositum.
〈II.16〉 16. Cuiuslibet portionis circuli declivis ascensionem in spera declivi invenire. Regula operationis: Si sinum altitudinis poli duxeris in sinum declinationis proportionis inchoate ab equinoctiali puncto, et productum dividas per sinum perfectionis declinationis et quod exierit intidem ducas in semidiametrum productum dividas per sinum perfectionis altitudinis exibit sinus differentie elevationum sumpte partis in spera recta et spera declivi.
Iterata figura superiori arcum EZ querimus. Cum ergo a puncto A descendunt duo arcus, scilicet AK, AE, inter quos se secant KL et EB ut in puncto H per 13am primi huius, proportio KB ad BA producitur ex proportione KH et et] sic for ad F HL et LE ad EA, sed KB primum notum, eo quod altitudo poli in spera data et BA sua perfectio nota similiter quod est secundum, sed et KH tertium notum, cum sit perfectio declinationis finis Libre que notificatur per penultimam primi huius. Et ita HL quartum notum et EA sextum notum cum sit quarta. Quare per tertiam regularum exibit quinque, scilicet LE, notum quod si addideris ad LZ notum per ultimam primi huius, cum sit elevatio Libre in spera recta, habebis totum EZ notum quod