Almagesti Title in upper margin, possibly added by another hand F

〈I〉 Omnium recte phantium verisimilibus coniecturis etc.

〈…〉 17 lines left blank, evidently meant for a commentary on the preface of Book I F

〈I.1〉 Demonstratio prima. Demonstratio prima] d. prima i. m. F (all demonstration numbers are in the margin) Data circuli diametro latera decagoni, pentagoni, exagoni, detragoni atque trianguli omnium ab eodem circulo circumscriptorum reperire. Unde manifestum est quod, si nota fuerit circuli diametrus et prenominata latera erunt nota, corde quoque que residuis semicirculi arcubus subtenduntur erunt eque note.

Sit circulus ABG, cuius diameter ADG, centrum D, a quo per undecimam primi geometrie erigatur DB perpendiculariter super AG divisoque DG in puncto H per equalia per decimam primi. Ducatur BH que maior est DH per nonam decimam primi et minor AH per septimam octavi per tertiam primi resecetur de linea BA equalis linee HB que sit HZ. Ducta linea BZ dico quod DG est latus exagoni et DZ latus decagoni et BZ latus pentagoni ab eodem circulo circumscriptorum et nota. Probatio: cum DG que per correlarium 15 quarti sit latus exagoni et semidiameter circuli est nota, quoniam 60 est latus exagoni notum et divisum in H per equalia cui additur DZ, quare per sextam secundi ductus DZ in DZ cum quadrato DH equatur quadrato HZ, ergo quadrato HB. Sed per penultimam primi quadratum HB valet quadratum BD et quadratum DH. Ergo ductus GZ in ZD et quadratum DH valent quadrata BD et DH. Dempto ergo communi quadrato DH remanet ductus GZ in ZD equalis quadrato DB et ita quadrato DG. Sit ergo ZG prima, GD secunda, DZ tertia cum ergo ductus prime GZ in ZD, tertiam equatur quadrato DG secunde, erit per secundam partem 16 sexti eadem proportio ZG ad DG que GD ad DZ. Et ita ZG dividitur in D secundum proportionem habentem medium dueque extrema, et ita per conversam 13ⁱ DG erit latus decagoni, cum DG sit latus exagoni et notum. Quod sic constabit: DB est 60 cuius medietas est DH, quare utrumque notum, et ita eorum quadrata nota, quare quadratum BH illis equale notum, quare et BH linea radix sua nota, et ita HZ sibi equalis nota cuius pars HD nota, ut prius patuit, quare remanet linea ZD nota. Sed cum per penultimam primi quadratum BZ sit equale quadrato BD quod est latus exagoni et quadrato DZ quod est latus decagoni, erit BZ per conversam decime 13ⁱ latus pentagoni et notum, cum quadratum eius valeat quadrata BD et DZ, ut prius patuit, nota. Ducto etiam BG quam patet esse latus quadrati circulo inscripti per quartam primi cuius quadratum per penultimam primi equatur quadratus BD DD que, cum sint nota, ut prius patuit, erit quadratum BG notum, et ita radix sua BG nota. Item per secundam quarti eidem circulo inscribatur triangulus equilaterus cuius latus sit AC, cuius quadratum per octavam tertii decimi triplum erit ad quadratum DG. Cum ergo quadratum DG sit notum et suum triplum quadratum AC erit notum, quare et sua radix que est linea AC. Et ita patet propositum.

〈I.2〉 2. Si quadrilaterum infra circulum describatur, rectangulum quod continetur sub duabus eius dyametris est equale duobus rectangulis pariter acceptis que sub utrisque eius oppositis lateribus continetur.

Verbi gratia: sit circulus cui inscribatur quadrilaterum cuius dyametri sint BD, GA, dico quod ductus BD in GA est equalis ductui BG in AD et BA in GD. Probatio: fiat angulus ABE per 23^am primi equalis angulo GBD, erunt ergo duo trianguli, scilicet BAE, BGD, similes, cum anguli BAC, BDG sint equales per 26^am tertii, cum respiciatur eundem arcum qui est BG. Quare per quartam sexti proportio BA ad BD est proportio AE ad GD. Et ita habentur hee linee quatuor proportionales quorum prima secundum ordinem AB, secunda BD, tertia AE, quarta GD. Et ita per primam partem 15 sexti ductus AB in GD equatur ductui BD in AE detur memorie. Item anguli GBE, ABD sunt equales, ut patet ex prioribus, et anguli BGE, BDA sunt equales per 26^am tertii. Et ita tertius tertio angulo propter 32^am primi et ita trianguli BGE, BDA sunt equianguli. Quare per quartam sexti proportio BG ad BD est sicut GE ad DA. Et ita quatuor habemus lineas proportionales quorum prima BG, secunda BD, tertia GE, quarta AD. Unde per primam partem 15 sexti ductus BG primi in AD quartum equatur ductui BD secundi in GE tertium. Sed ex illo quod dabatur memorie patet quod ductus BD in AE valet ductum BA in GD. Et ita cum per partem secundi ductus BD in AE et in EG valeat ductum eiusdem BD in totam AG, valebit ductus BD in AG ductum AB in GD et ductum BG in AD, quod est propositum.

〈I.3〉 3. Si in semicirculo corde arcuum inequalium note fuerint, corda quoque arcus quo maior minorem superat erit nota.

Sit circulus cuius arcuum corde sint BA minor ut latus exagoni, AG maior latus pentagoni que note sunt per antepremissam, dico ergo quod corda GB erit nota. Probatio: ducatur linea AD per centrum E circuli transiens. Ductis ergo rectis BD, GD, cum angulus AGD sit in semicirculo et ita per 30^am tertii rectus, per penultimam primi quadratum AD valebit quadratum AG et quadratum GD, sed quadratum AD notum, cum sit dyameter et quadratum AG notum, cum AG notum fuerit ex ypotesi. Quare dempto quadrato AG noto de quadrato AD noto remanet quadratum GD notum, et ita GD nota. Item BD penitus eadem ratione erit nota, cum AB ex ypotesi nota fuerit et angulus ABD rectus, quia in semicirculo et ita in quadrilatero ABGD quinque sunt linee note due dyametri BD, GA propter quod et earum ductus, scilicet unius in alteram notam, et BA, GD et similiter note et per consequens ductus unius in alteram notus. Cum ergo per premissam ductus BD in GA equatur ductui BA in GD et AD in BG et ductus BD in GA est notus, ut prius patuit, erunt ductus BA in GD et AD in BG notum. notum] sic probably for noti F A quo dempto ductu BA in GD noto ut patuit, remanebit ductus AD in BG notus quem si dividas per AD notum, quoniam dyameter exibit BG BG] add. i.m. F nota, quod est propositum.

〈I.4〉 4. Si in semicirculo corda alicuius fuerit nota, corda quoque que eiusdem arcus medietati subtenditur erit nota.

Verbi gratia: sit semicirculus ABGD cuius arcus unius qui sit ABG corda AG sit nota in puncto B equaliter divisi. Ductis BA, BG rectis que sunt corde medietatum arcus ABG, dico quod corda AB nota erit et similiter BG. Probatio: invento per primam tertii centro circuli quod sit E, ducantur linee BE, GE, AED. Patet ergo per descriptionem circuli et 25^am tertii et octava primi angulos GEB, AEB equos esse, unde per quartam primi patebit lineam BE secare lineam AG ut in puncto H ortogonaliter per equalia. Cum ergo AG nota sit ex ypotesi, erit sua medietas GH nota cuius quadratum cum quadrato HE valet quadratum GE per penultimam primi. Cum angulus GHE sit rectus, sed quadratum GE notum, cum GE sit semidiameter, a quo si subtrahatur quadratum GH, ut prius patuit, notum, remanebit quadratum HE notum et ita HE nota, que si subtrahatur de EB EB] corr. ex BEB F nota, quoniam semidiameter remanebit linea HB nota. Quare et suum quadratum notum et quadratum HG, ut prius patuit, notum. Quare quadratum BG illis duobus duobus] followed by crossed-out predictis F. quadratis equale per penultimam primi. Cum angulus BHG sit rectus, est notum et ita corda BG nota et ratione penitus consimili erit corda AB nota, quod est propositum.

〈I.5〉 5. Si due corde duorum arcuum in semicirculo fuerint note, corda quoque quoque] corr. ex veroquoque F que toti subtenditur arcui nota erit.

Verbi gratia: sit circulus ABGD cuius duorum arcuum continue se sequentium corde sint note ut AB, BG, dico cordam AG totius arcus compositi notam fore. Probatio: ducatur diameter circuli BD atque linee GD, AD. Cum ergo angulus BAD fuerit per 30^am tertii rectus, quia in semicirculo valebit per dulcarnon quadratum BD quadrata BA, AD a quo subtracto quadrato BA noto, quia BA ex ypotesi nota, remanebit quadratum AD notum et ita AD nota et ratione consimili erit GD nota. Quare habetur quadrilaterum ABGD cuius omnia latera sunt nota et dyametrum unum eius quod est BD notum. Quare, cum per secundam huius ductus GD in AB atque ductus GB in AD valeant ductum BD in AG et illi duo ductus sint noti, quia sua latera nota, ut iam patuit, erit ductus BD in AG notus, qui si per BD dividatur exibit AG, quod est propositum.

〈I.6〉 6. Que inequales linee in circulo si protrahantur maioris ad minorem quam arcus longioris ad arcum brevioris minor erit proportio.

Verbi gratia: sit circulus ABGD cuius corda AB minor sit corda BG, dico quod proportio corde BG ad cordam BA minor est proportione arcus GB ad arcum BA. Probatio: ducatur linea AG et per nonam primi dividatur angulus ABG per equalia per lineam BD secantem AG in puncto E. Patet ergo per tertiam sexti quod proportio BG ad GE est sicut BA ad AE. Quare cum BG sit maior BA, erit per quartam decimam quinti GE maior EA. Ductis ergo rectis DA, DG per 25^am et 28^am tertii equalibus, erunt anguli AGB, GAD equales per quintam primi. Ducta ergo DZ perpendiculariter per duodecimam primi super AG, erunt per 26^am primi anguli GDZ, ADZ equales et linea AG in puncto Z equaliter divisa et in Z cadet inter G et E. Cum ergo angulus EZD sit rectus, erit ED longior DZ per 19^am primi et per eandem erit ED minor DA, cum angulus DEA per 16^am primi fuerit obtusus. Quare posito pede circini in puncto D pes alius transiens per punctum E, secabit lineam AD ut in puncto H inter A et D et lineam DZ continuatam ultra Z ut in T. Et ita triangulus EDZ minor eius sectore EDT et triangulus EDA maior sectore EDH. Quare per primam partem octave quinti proportio EDT ad EDH maior est proportione EDZ ad idem EDH, sed per secundam partem eiusdem octave quinti proportio EDZ ad EDH maior est proportione EDZ ad EDA. Quare maior est proportio EDT sectoris ad EDH sectorem quam EDZ trianguli ad EDA triangulum. Cum omnis proportio maior maiore est maior minore, sed proportio EDT sectoris ad EDH sectorem est sicut proportio trianguli EDT ad angulum EDH, adiuante adiuante] sic for adiuvante F ultima sexti, et proportio trianguli EDZ ad triangulum EDA sicut basis EZ ad basim EA per primam sexti, quare maior est proportio anguli EDZ ad angulum EDH quam linee ZE ad lineam EA. Quare coniunctim maior est proportio anguli ZDH ad angulum EDH quam linee ZA ad lineam EA. Et similiter maior est proportio dupli anguli ZDH, ZDH] followed by crossed-out ad angulum EDH quam linee ZA ad lineam EA F et qui est GDH, ad angulum EDH quam duple linee ZA que est GA ad EA. Quare disiunctim maior est proportio anguli GDE ad angulum EDH quam line line] sic for linee F GE ad lineam EA, sed proportio anguli GDE ad EDH est sicut arcus GB ad arcum BA per ultimam sexti. Quare proportio arcus GB ad arcum BA maior est proportione linee GE ad lineam EA, ita maior proportione corde GB ad cordam BA. Et e contrario erit minor proportio corde GB ad cordam BA quam arcus BG ad arcum BA, quod est propositum. Postquam declarata sunt que diximus, ponamus tunc circulum in trescentum sexaginta gradus dividi, cui latus decagoni inscripti notum est per primam huius, quod est corda 36 graduum, sed et latus exagoni per eandem, quod est corda 60 graduum est notum. Cum ergo 60 gradus superent 36 per 24, erit arcus superpluctatis superpluctatis] sic F inter ipsos 24 graduum cuius corda corda] corr. ex cordam F per tertiam huius erit nota. Cum ergo 12 sint medietas, 24 erit corda 12 graduum per quartam huius nota et consimili ratione corda sex graduum, sed et per eandem cordam trium graduum et corda gradus et semis et corda trium quartarum. Et hac via ostendetur, sicut patet in tractatu nostro de modo operandi, quod corda vel gradus et semis est pars una et 34 minuta et 15 secunda, corda vero trium quartarum, 47 minutorum et octo secundarum. Ex quibus per sextam huius invenietur corda unius gradus et erit pars una, duo minuta et 50 secunda, quod patet in supra dicto tractatu de modo operandi. Cum ergo nota fuerit corda unius gradus, nota erit corda medietatis gradus per quartam huius, sed corda gradus et semis prius erat nota. Quare per cordam semis et cordam unius et semis corda duorum graduum erit nota adiuvante quinta huius et sic de ceteris cordis singulorum arcuum totius circuli.

〈I.7〉 7. Duabus rectis lineis ab angulo uno descendentibus aliisque duabus sese secantibus ab earum descendentium reliquis terminis in easdem reflexis, utralibet reflexarum alterius conterminalem sic figet ut proportio ipsius fixe ad eam sui partem que supra fixionem est producatur ex duabus proportionibus, ex una dico proportione quam habet sibi conterminalis reflexa ad eam sui partem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet alterius reflexe inferior sub sectione portio ad eam totam cuius pars est lineam.

Exempli gratia: sint linee AG, AB ab angulo A descendentes fixe GD, BE reflexe sese in Z secantes AB, AG in punctis D, E, dico ergo quod proportio GA ad AE producatur ex proportione GD ad DZ et ZB ad BE. Probatio: a puncto E ducatur per 30^am primam primi EH equidistanter GD secans BA in puncto H, palam ergo per secundam partem 24^e none primi quod trianguli GDA, EHA sunt equianguli. Quare per quartam sexti proportio GA ad AE erit proportio GD ad HE, sed proportio GD ad HE constat ex proportione GD ad DZ et ZB ad BE. Quare proportio GA ad AE constat ex eisdem, quod est propositum. Probatio assumpti: per predictam secundam partem 29^e primi trianguli HBE, DBZ sunt equianguli. Quare per quartam sexti proportio ZB ad BE est tamquam proportio ZD ad HE, et ita proportio GD ad DZ cum proportione ZB ad BE valet eandem proportionem GD ad DZ cum proportione DZ ad HE. Sed ex proportione GD ad DZ et proportione DZ ad HE producitur proportio GD ad HE per secundam de proportionibus. Quare proportio GD ad HE producitur ex proportione GD ad DZ et ZB ad BE, quod equat assumptum.

〈I.8〉 Duabus rectis lineis ab angulo uno descendentibus aliisque duabus sese secantibus ab earum descendentium reliquis terminis in easdem, utralibet reflexarum alterius conterminalem sic figet ut proportio portionum fixe, inferioris dico partis ad superiorem, producatur ex duabus proportionibus, ex una inquam proportione quam habet sibi conterminalis reflexe inferior sub sectione portio ad reliquam partem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet relique descendentis inferior sub sectione portio ad eam totam cuius pars est lineam.

Verbi gratia: sint AG, AB linee ab angulo A descendentes fixe GD, BE reflexe sese in Z et fixiones in punctis D, E secantes, dico ergo quod proportio GE ad EA producitur ex proportione GZ ad ZD et DB ad BA. Probatio: a puncto A ducatur AH per 30^am primam primi equidistanter EB concurrens cum GD continuata in puncto H, erit ergo per primam partem secunde sexti proportio GE ad EA tamquam proportio GZ ad ZH, sed proportio GZ ad ZH producitur ex proportione GZ ad ZD et proportione DB ad BA. Quare proportio GE ad EA producitur ex eisdem, quod est propositum. Probatio assumpti: proportio GZ ad ZH producitur per secundam de proportionibus ex proportione GZ ad ZD et proportione ZD ad ZH, posito ZD medio, sed proportio ZD ad ZH est tamquam proportio DB ad BA, ut probabo. Quare proportio GZ ad ZH producitur ex proportione GZ ad ZD et DB ad BA, quod est primum assumptum. Probatio secundi assumpti: anguli DZB, DHA coalterni equantur equantur] corr. ex coequantur F per 29^a primi et anguli HAD, ZDB contrapositi equantur per 15^am primi. Quare trianguli ZDB, HDA sunt equianguli et ita per quartam sexti ZD ad DH sicut BD ad DA et ita coniunctim per 18^am quinti ZD ad ZH sicut DB ad BA, quod erat secundum assumptum.

〈I.9〉 9. Si in circulo continui arcus sumantur et uterque minor semicirculo, diametrus producta a communi eorum termino lineam rectam reliquos eorundem terminos continuantem secabit secundum proportionem corde dupli arcus unius ad cordam dupli arcus alterius.

Verbi gratia: sit circulus ABG cuius duo arcus continui sint AB, BG quorum uterque minor sit semicirculo, quod hic et in sequentibus est intelligendum, quare detur memorie. Et sit D centrum circuli et linea continuans terminos predictorum arcuum AG quam secet diameter DB in puncto E. Per duodecimam ergo primi ducatur a puncto A ortogonaliter super DB, que sit AZ, et a puncto G alia, que sit GH, eritque AZ corde medietas arcus AB duplicate, quod ostendetur per secundam partem tertie tertii et 4 primi et 27^am tertii, propter quod dicitur corda mediata. Dicitur etiam et sinus arcus AB equalis, et similiter dicitur sinus eiusdem rectus. Unde corda mediata sinus equalis sinus rectus idem ZB, vero dicitur sagitta sive sinus versus. Idem dico de de] followed by crossed-out I F GH, sed per 15^am quinti proportio AZ ad GH tamquam proportio corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG, dico ergo quod proportio AE ad EG est tamquam proportio corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG. Probatio: trianguli AEZ, HEG sunt equianguli, quoniam anguli apud H et Z recti ex ypotesi et anguli HEG, AEZ equales per 15^am primi. Quare tertius tertio propter 32^am primi et ita illi trianguli equianguli. Quare per 4 sexti proportio AE ad EG sicut AZ ad HG. Ex quo etiam dicto sequitur propositum.

〈I.10〉 10. Si unus arcus notus in duos dividatur fueritque nota proportio corde dupli arcus unius ad cordam dupli arcus alterius eorum, ambo ipsi erunt noti.

Verbi gratia: sit circulus ABG cuius arcus AG notus divisus in puncto B proportioque corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG nota, dico ergo quod arcus AB notus erit et similiter arcus BG. Probatio: sit centrum circuli D et ducatur diameter BD secans cordam AG in puncto E ductaque DA ducatur DZ ortogonaliter super AG, erit ergo AZ per tertiam tertii medietas AG. Quare cum AG sit nota propter notitiam sui arcus, erit AZ nota, sed per premissam proportio AE ad EG est sicut proportio corde dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BG, BG] corr. ex GBG F que nota est ex ypotesi. Quare proportio AE ad EG nota et ita cum AG tota fuerit nota, erit tam AE quam EG nota per 35^am primi de numeris datis. Subtracta ergo AE nota de AZ nota remanebit ZE nota. Cum ergo in triangulo AZD fuerint duo latera, scilicet AZ, AD, nota et angulus AZD notus quia rectus, erit reliquum latus, scilicet ZD, notum et reliqui anguli similiter noti per propositionem de notitia laterum et angulorum triangulorum. Item cum EZ, ZD latera trianguli EZD sint iam nota et angulus EZD notus quia rectus, rectus] followed by crossed-out re F erit erit] followed by crossed-out reliquum latus F angulus ZDE notus, sed prius fuit angulus ZDA notus, a quo si dematur ZDE notus, remanebit angulus EDA notus et ita arcus AB sibi subtensus notus, quem si de toto arcu AG noto subtraxeris, remanebit arcus BG notus, quod est propositum.

〈I.11〉 11. Si ab uno termino arcus semicirculo minoris linea ipsum arcum secans educatur donec cum dyametro per reliquum eiusdem arcus terminum extracta concurrat, fiat proportio linee preter centrum transeuntis ad partem sui extrinsecam sicut proportio corde dupli arcus de quo sermo est ad cordam dupli arcus illius quem educte linee includunt.

Verbi gratia: sit arcus GA propositus ducta DA diametro circuli illius arcus ductaque recta AG termino illius arcus ipsum secante in puncto B atque cum dyametro extra concurrente in puncto E a puncto G ducatur ortogonaliter super diametrum, que sit GH, et a puncto B alia, que sit BZ. Cum ergo anguli apud Z et apud H sint recti, erunt BZ, GH equidistantes per 28^am primi et erit GH per tertiam tertii medietas corde arcus GA duplicati et BZ medietas corde arcus BA duplicati. Dico ergo quod proportio GE ad EB est tamquam proportio GH duplicate ad BZ duplicatam, quod est propositum. Probatio: trianguli EHG, EZB sunt equianguli, cum anguli EZB, EHG et similiter anguli EBZ, EGH equales sint per 29^am primi et angulus apud E communis. Quare per quartam sexti proportio GE ad EB est sicut GH ad BZ, sed GH ad BZ sicut duplum GH ad duplum BZ per 15^am quinti et duplum GH est corda dupli arcus AG et duplum BZ est corda dupli arcus AB. Quare adiuvante undecima quinti quinti] followed by crossed-out dupli arcus F proportio corde dupli arcus AG ad cordam dupli arcus AB est sicut proportio GE ad EB, quod est propositum.

〈I.12〉 12. Si arcus dicto modo divisi lineis ut prescriptum est donec concurrant eductis maior portio nota fuerit et proportio corde dupli arcus ipsius divisi ad cordam dupli arcus lineis eductis inclusi constiterit, ipse arcus inclusus notus erit.

Verbi gratia: sint EBG, EAD linee tales quales fuerunt in figura premissa et sit D centrum circuli ut prius ducta DB ducatur DZ ortogonaliter super BG. Quare per tertiam tertii dividit ipsam in partes equales, cum GB sit notus, dico quod BA notus erit, cum corda dupli arcus GA notam habeat proportionem ad cordam dupli arcus BA. Probatio: quia cum per premissam proportio GE ad EB sit sicut proportio corde dupli arcus GA ad cordam dupli arcus BA, que ex ypotesi est nota, erit proportio GE ad EB nota et hoc est coniunctim. Quare disiunctim proportio GB ad BE nota erit. Ita cum GB sit nota quia suus arcus ex ypotesi notus, erit BE nota et similiter BZ que est medietas BG note, quare quare] followed by crossed-out E F tota EZ nota detur memorie. Item cum latera duo trianguli DZB, que sunt DB, BZ, sint nota et angulus DZB notus quia rectus, erunt anguli et latera trianguli illius omnia nota et ita DZ notum latus suum et angulus ZDB notus. Item trianguli EDZ duo latera EZ, ZD iam probantur nota et angulus EZD notus quia rectus, erunt reliqui anguli illius trianguli noti et ita angulus totalis EDZ notus cuius pars, scilicet BDZ, prius erat notus. Quare remanet angulus ADB reliqua pars sui notus et ita arcus AB sibi subtensus notus, quod est propositum.

〈I.13〉 13. In superficie spere duobus arcubus magnorum orbium semicirculo divisim minoribus ab uno communi termino descendentibus aliisque duobus non minorum orbium ab illorum reliquis terminis in eosdem sese secando reflexis, utervis reflexorum alterius conterminalem arcum sic figet, ut proportio corde arcus duplicantis inferiorem portionem arcus fixi ad cordam arcus duplicantis inferiorem portionem arcus fixi ad cordam arcus duplicantis] add. i. m. F superiorem eiusdem fixi portionem producatur ex gemina proportione, ex ea videlicet quam habet corda arcus duplicantis inferiorem arcus reflexi portionem qui ipsi fixo conterminalis est ad cordam arcus duplicantis reliquam eiusdem reflexi portionem, et ea proportione quam habet corda arcus duplicantis inferiorem alterius descendentis arcus partem ad cordam duplicantis arcum ipsum cuius pars est totalem.

Verbi gratia: sint arcus maiorum circulorum in spera AB, AG a puncto A descendentes in superficie illius spere inter quos sint alii duo arcus, scilicet GD, BE, sese in puncto Z et arcus descendentes in punctis D, E secantes, dico ergo quod proportio corde dupli arcus GE ad cordam dupli arcus AE aggregatur ex duabus, scilicet ex proportione corde dupli arcus GZ ad cordam dupli arcus ZD et proportione corde dupli arcus DB ad cordam dupli arcus BA. Probatio: invento centro spere per secundam primi Theodosii de speris, quod sit H, ducantur linee recte HE, HZ, HB, GD, GA et AD, donec concurrat AD cum HB in puncto T que quidem AT, HT sunt in superficie circuli arcus ADB, cum H sit centrum spere et propter hoc in superficie cuiuslibet circuli maioris in spera descripti. Palam ex prima 11 quod totus triangulus GAD est in eadem superficie in qua propter primam eiusdem est tota linea ADT et ita T in illa. Item linea HB est in superficie circuli arcus EZB et ita tota HBT erit in eadem propter primam undecimi et ita T est in iam dictis duabus superficiebus quarum altera alteram secabit per tertiam undecimi super lineam rectam, que sit TKL, palam quoniam superficies predictus circuli secat lineam GD sit in K et lineam GA sit L. Item manifestum est quod a puncto A descendunt due linee AG, AT quas in eadem superficie due linee reflexe se se] corr. ex sese F secantes in puncto K, scilicet GD, TL secant in punctis D, L et ita habetur dispositio late. Et ita per octavam huius proportio GL ad LA aggregatur ex proportione GK ad KD et DT ad TA, sed proportio corde dupli arcus GE ad cordam dupli arcus EA est tamquam proportio GL ad LA et proportio corde dupli arcus GZ ad cordam dupli arcus EA, ZD est sicut proportio GK ad KD per nonam huius et proportio corde corde] add. sup. lin. F dupli arcus AB ad cordam dupli arcus BD est sicut proportio AT ad TD per undecimam huius. Et ita e contrario proportio corde dupli DB ad cordam dupli arcus BA est sicut DT ad TA per undecimam huius et ita e contrario proportio corde dupli DB ad cordam dupli arcus BA est sicut DT ad TA] add. i. m. F et ita propter equalitatum equalitatum] sic for equalitatem F istarum proportionum hinc inde sicut proportio GL ad LA producitur ex proportione GK ad KD et DT ad TA producetur proportio corde dupli arcus GE ad cordam dupli arcus EA ex proportione corde dupli arcus GZ ad cordam dupli arcus ZD et ex proportione corde dupli arcus DB ad cordam dupli arcus BA, quod est propositum.

〈I.14〉 14. In superficie spere quatuor arcubus supradicto modo depictis fiet ut proportio corde arcus duplicantis unum descendentium totalem ad cordam arcus duplicantis superiorem ipsius descendentis portionem componatur ex gemina proportione, ex ea videlicet quam habet corda duplicantis arcum totum ab eiusdem descendentis termino reflexum ad cordam duplantis illam ipsius reflexi portionem que sectioni interiacet et fixioni, et alia proportione quam habet corda arcus duplantis inferiorem sub sectione alterius reflexi portionem ad cordam arcus duplicis ad eundem reflexum cuius pars est totum.

Verbi gratia: describantur ut in premissa portiones circulorum modo penitus consimili, dico ergo quod proportio corde dupli arcus GA ad cordam dupli arcus AE aggregatur ex proportionibus duabus, scilicet ex proportione corde dupli arcus GD ad cordam dupli arcus DZ et proportione corde dupli arcus ZB ad cordam dupli arcus BE. Probatio: sit centrum spere H et ducatur linea HA atque linea GE, donec extra concurrant ut in puncto L et similiter ducantur linee EZ, HB concurrentes in puncto T, sed et linea GZ concurrens cum HD extra protracta ut in puncto K. Palam ex dictis in premissa figura quod T, K, L sunt in eadem recta quod ostendi potest per intersectionem superficierum circulorum arcuum GA, GD, BA, BE et superficiei trianguli GEZ adiuvante tertia undecimi et ita ut in premissa in lineis istis rectis habetur dispositio kate cuius sunt due linee LG, LC a puncto L descendentes fixe quas secant, ut patet, TE, GK sese secantes reflexe. Palam ergo ex septima huius quod proportio GL ad LE aggregatur ex proportione GK ad KZ et ZT ad TE, sed proportio GL ad LE sicut proportio corde dupli arcus GA ad cordam dupli arcus AE per undecimam huius et proportio corde dupli arcus GD ad cordam dupli arcus DZ sicut proportio GK ad KZ per eandem undecimam et proportio corde dupli arcus ZB ad cordam dupli arcus BE sicut proportio ZT ad TE et ita propter equalitatem proportionum sicut proportio GL ad LE aggregatur ex proportione GK ad KZ et ZT ad TE, sic proportio GA ad AE, que equatur proportioni GL ad LE, aggregatur ex duabus proportionibus illis reliquis equalibus, et hec est ex proportione corde dupli arcus GD ad cordam dupli arcus DZ et proportione corde dupli arcus ZB ad cordam dupli arcus BE, quod est propositum.

〈I.15〉 15. Maximam declinationem per instrumenti artificium considerationem reperire.

Paratur itaque itaque] followed by crossed-out et F lamina quadrate forme cubitalis vel eo amplius mensure ad unguem polita et planissima in cuius una superficie circulus, ut medicum medicum] sic probably for modicum F extra labrum relinquatur, describitur. Ipsumque labrum in circuitu in CCCLX partes equissime linea centro supposita dividatur et queque pars in minuta quot capere potuit subdistinguatur. Deinde ad circuli descriptionem cavatur et cavata aptissime planatur. Post hec minoris quantitatis et forme orbicularis nec minus plana queratur lamina ad spissitudinem labri in alia relicti spissa ut cum ei super centrum inserta fuerit, in una cum labro fiat superficie. Et in huius minoris duobus punctis per diametrum oppositis due erigantur equales et per omnia sibi similes pinne sic ut linea secans utramque pinnulam erectam per medium sic super diametrum. Et a duobus terminis diametri due in directum promineant lingule in extremitate sua gracillime quarum erit officium ut, cum minor lamina infra maiorem super centrum rotata fuerit, lingule sectiones partium in labro diametraliter oppressas numerent et inducent. Eis igitur ita paratis et minore maiori ut in ea vuolvi vuolvi] sic for volvi F possit centraliter inserta, quotiens erit opus per eas operari. Latus lamine quadrate super lineam meridianam in plano protractam erectum constituemus superficie minoris incluse ad meridiem obversa. Sic quoque aptabimus et firmabimus ut latus suppositum orizonti equidistet et superficies erecta a meridiano non declinet quorum primum arte livelli efficies secundum experientia perpendiculi. Solis ergo umbram circa utrumque solstitium in omni meridie observans, tamdiu volvens interiorem rotulam, donec superior pinna totam inferiorem obumbret. Et per hec duorum tropicorum distantiam cuius medietas est maxima declinatio nec non et distantiam puncti in sumitate capitum ab equinotiali deprehendens.

Paratur et aliud commodius et facilius instrumentum. Laterem, scilicet ligneum vel lapideum vel eneum, quadratum quere cubitalis latitudinis et apte altitudinis ut super latus sine tortuositate et inclinatione erigi possit sicque una superficierum lenissima et equalis. Positoque centro centro] followed by an unclear crossed-out letter or sign F in uno angulorum super ipsum quartam circuli describe. Et ab eo centro duas lineas rectas angulum rectum continentes et quartam circuli includentes protrahe, et quartam in 90 partes et unamquamque partium in minuta quot poteris partire. Deinde duas pinnas tornatiles piramidales equales longitudine et grossitie quere. Et unam centro ortogonaliter infige et alteram extremitati linee a centro descendentis. Quo expleto erige instrumentum super latus suum duabus primis ad orientem conversis et ea, que in centro est, superiori et alia deorsum inferiori. Sitque superficies in qua fixe sunt obversa orienti cum perpendiculo a superiori pinna in inferiorem demisso ad meridiani superficiem et orizontis equidistantem adaptam umbramque pinnule in centro existentis quorsum in meridie cadat diligenter attende. Et per hoc sicut superius distantiam tropicorum et remotionem summitatis capitum ab equinotiali contemplare. Notandum autem quod diversitas in maxima declinatione reperta est a diversis considerationibus in suis temporibus. Nam Indi invenerunt eam esse proximi graduum, Tholomeus 23 graduum et 51 minutorum et 20 secundarum, Albategni vero 23 graduum et 35 minutorum, Arzachel quoque 23 graduum et 33 minutorum et 20 secundarum. Ideo sollerter adhuc est inspiciendum et magis visui quam auditui credendum.

Quia predicta instrumenta recte disponi ad considerandum non possunt linea meridionali ignota, hinc modo restat ipsam invenire quod sic fiet: superficie marmoris aut cuiusvis alterius in fine veritatis polita secundum equidistantiamque superficiei orizontis per artem livelli disposita in ipsa describatur circulus mensurate magnitudinis, super cuius centrum stilus ortogonaliter erigatur cuius quantitas sit circa quantitatem medietatis semidiametri illius circuli. Cuius capud fiat gracile tamquam conus pyramidis et apud sui erectionem equaliter distans a qualibet parte circuli, quod per pedes circumquaque sibi et circumferentie circuli applicatos potest dinosci. Quo facto circa solstitium estivale ante meridiem cuiusvis diei signet considerator introitum umbre ex parte occidentali et post meridiem finis eiusdem umbre ex parte orientali. Quibus signatis dividantur arcus hinc inde. Inter iam dictas signationes in partes equales quorum media continuentur linea recta quam patet lineam esse meridionalem.

〈I.16〉 16. Cuiuslibet puncti in circulo declivi cuius discensus ab equinotiali est notus declinationem invenire. Unde manifesta est hec regula: si sinus portionis ab equinoctiali inchoate cuius finalis puncti declinatio queritur ducatur in sinum maxime declinationis productumque dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus quesite declinationis.

Nota quod loco cordarum arcuum duplicatorum quibus usi fuimus prius in proportionando de cetero utemur sinibus quibus illarum cordarum sunt medietates quia idem proveniet quod patet 15 quinti. Item nota quod, quod] followed by crossed-out l F cum fiat mentio hic de aliqua regula, intelligendum est hic de regulis quinque, quarum prima est de proportionalitate quatuor quantitatum et quatuor, alie de sex quantitatibus alibi habitis. Sit ergo circulus qui dicitur in spera colurus distinguens solstitia transiens per Z polum septemtrionalem equinoctialis et per B capud Cancri et per D capud Capricorni. Infra quem describatur semicirculus zodiaci qui sit BED et semicirculus equinoctialis GA secans BD in puncto E qui sit capud Arietis, et sumatur punctus arcus EB qui sit H cuius declinatio queritur et cuius discessus qui est arcus EH sit notus. Super quem et polum transeat arcus circuli maioris qui sit ZH secans equinoctialem in puncto T. Palam ergo quod a puncto A descendunt duo arcus AZ, AE inter quos se secant alii duo, scilicet EB, ZT, in puncto H. Quare per 14^am huius proportio sinus arcus ZA ad sinum arcus BA producitur ex proportione sinus arcus HE ad suum suum] sic for sinum F arcus EB et proportione sinus arcus ZT ad sinus arcus HT, sed proportio ZT ad HT est sicut EB ad HT per septimam quinti. Cum tam ZT quam EB sit quarta circuli maioris, quare proportio sinus ZA ad sinum BA producitur ex proportione sinus HE ad sinum AB et proportione sinus EB ad sinum HT, sed per secundam de proportionibus proportio sinus HE ad sinum HT producitur ex eisdem posito sinu HE primo et sinu EB secundo et sinu HT tertio. Quare proportio sinus ZA ad sinum BA est sicut proportio sinus HE ad sinum HT. Quare si ducas sinum AB nunc secundum et notum, cum AB sit notum per premissam, in sinum HE tertium notum ex ypotesi notum, proveniet et erit ductus sinus ZA in sinum HT per 19^am septimi. Quam si dividas per sinum arcus ZA noti quia quarta circuli, exibit sinus arcus HT. Et ita sinus arcus notus qui est arcus HT et hec est declinatio puncti H ab equinoctiali, quod est quesitum. Cum declinatio cuiusvis gradus zodiaci sit arcus circuli super ipsum et polos equinoctialis descripti inter ipsum et equinoctialem interceptus, unde patet correlarium: cum arcus AB sit maxima declinatio et arcus HE sit portio ab equinoctiali incoata cuius puncti finalis queritur, declinatio et arcus ZA sit quadrans, id est quarta.

〈I.17〉 17. Cuiuslibet portionis circuli declivis elevationem invenire in spera recta. Unde patet regula: si sinus perfectionis maxime declinationis ducatur in sinum declinationis portionis inchoate ab equinoctiali linea cuius portionis queritur elevatio, productumque dividatur per sinum perfectionis declinationis illius portionis, et quod exibit ducatur itidem in sinum elevationis unius quadrantis, productumque dividatur per sinum maxime declinationis, exibit sinus quesite elevationis.

Nota quod elevatio arcus zodiaci est arcus equinoctialis qui cum ipso incipit et definit oriri. Repetatur supraposita figura et erit arcus ET elevatio arcus EH cuius notitiam ad presens querimus, cum a puncto A descendant duo arcus AZ, AE inter quos se secant in puncto H, alii duo, scilicet EB, ZT, per 13^am huius proportio sinus ZB ad sinum BA aggregatur ex proportionibus sinus ZH ad sinum HT et sinus TE ad sinum EA, sed AB notus quia maxima declinatio, et AZ totus notus cum sit quarta. Quare remanet BZ notus et HT notus per premissam cum HE sit notus ex ypotesi, et TZ notus cum sit quarta. Quare et H notus et item item] corr. ex idem F EA est quarta quare notus. Et ita in iam dicta dispositione kate sunt quinque arcus noti de numero sex arcuum, scilicet ZB primum, BA secundum, ZH tertium, HT quartum, sed TE quintum ignotum, EA sextum et notum. Quare et eorum sinus quinque noti, sed sinus quinti quinti] add. i. m. F; followed by crossed-out noti F in ordine ignotus. Cuius notitia sic habetur: Ducatur sinus ZB primum in sinum HT quartum et productum dividatur per sinum ZH tertium, et quod provenit se habebit ad sinum BA secundum sicut sinus TE quintum ad sinum EA sextum per tertiam quinque regularum. Quare per primam illarum regulam proveniet sinus TE quinti notus. Et ita arcus ET notus, quod est propositum quesitum. Correlarium vero patet, cum ZB sit perfectio †…† †…†] unclear (one word) F declinationis et HT declinatio portionis zodiaci proposite et ea quarta circuli. Et notandum quod in hac et etiam in premissa sufficit propositum ostendere in singulis gradibus unius quarte solum, quia quod accidit de declinatione et elevatione in circulo recto in quarta una, in tribus ceteris quartis accidet. Explicit prius Almagesti.

〈II〉 Orizon declivis est cui polus elevatur. Spera declivis est vel obliqua est hiis qui orizonte declivi utuntur. Cenit capitum est punctum sumitatis capitum, etiam est polus orizontis. Longitudo regionis est distantia eius ab orientis vel occidentis principio et est arcus paralelli ad equinoctialem inter cenit capitis et eum circulum qui super amphitricis circuitum in celo est dispositus. Latitudo regionis est distantia cenit capitis ab equinoctiali et est arcus meridiani inter cenit capitis et circulum equinoctialem interceptus. Locus notus dicitur cuius longitudo et latitudo nota. Speralis angulus dicitur angulus ex duobus arcubus in superficie spere proveniens. Speralis angulus rectus dicitur cui sub duobus arcubus maiorum orbium contento quarta circuli supra cuius polum ipse angulus consistit subtenditur.

〈II.1〉 Arcum diei minimi vel maximi in quovis climate per notam poli altitudinem angnoscere. Unde manifestum est quod si sinus altitudinis poli ducatur in sinum maxime declinationis, et productum dividatur per sinum perfectionis maxime declinationis, et quod provenerit ducatur in semidiametrum, productum dividatur per sinum perfectionis altitudinis poli, exibit differentia mediata minime diei ad equinoctialem diem.

Verbi gratia: sit circulus meridiei ABGD infra quem sit orientalis medietas orizontis BED, sed et medietas equinoctialis AEG designetur super polum australem notam Z circulus et super yemale solstitium ascendens in oriente notam H, cuius quarta sit ZHT secans equinoctium in puncto T. Patet ergo adiuvante principio quarto Theodosii de speris quod circumducta ZHT quarta H et T puncta duos duos] corr. ex duo F describunt paralellos quorum arcus ZT arcus et ZA similes sunt per decimam secundi Theodosii de speris. Quare habita notitia totius unius habetur notitia alterius et ita habita notitia AT habetur notitia medietatis medietatis] corr. ex medietas F portionis tropici yemalis super orizontem existentis in puncto H ascendentis. Sed cum AE sit quarta circuli habita notitia arcus TE, facile habetur per subtractionem notitia arcus AT, sed notitia TE sic habetur: cum a puncto A duo descendant arcus AZ inter quos se secant alii duo arcus ZT, EB in puncto H per 13^am primi huius, erit proportio ZB ad BA – de sinibus loquor hic et in sequentibus propter breviloquium – aggregata ex proportione ZH ad HT et proportione TE ad EA, quare cum ZB nota sit ex ypotesi, cum sit altitudo poli et BA similiter notus, cum sit perfectio altitudinis per subtractionem. Et ita primum et secundum nota, sed et TH notus per 15^am primi huius, cum sit maxima declinatio, quare remanet sua perfectio que est HZ nota. Et ita tertium et quartum nota, sed et sextum, scilicet AE, notum, cum sit quarta circuli, quare exibit TE quintum notum. Secundum quod operatur in ultima primi huius quod si subtraxeris de quarta AE, remanebit arcus TA notus qui duplicatus est arcus diei minimi quia similis arcui tropici yemalis supra orizontem existenti. Et ita patet propositum nec non et eodem modo possumus invenire arcum cuiusvis alterius diei nec est differentia nisi in hoc quod non utemur in singulis diebus maxima declinatione nec sua perfectione, sed loco maxime declinationis utemur declinatione gradus in quo existit Sol in die illa et sua perfectione. Ex istis dictis patet correlarium.

〈II.2〉 2. Arcum orizontis in quovis climate quod est inter ortum tropici et equinotialem per assignatum minimi diei arcum investigare. Unde patet quod si ducatur sinus dimidii arcus diei minimi in sinum perfectionis maxime declinationis, productumque dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus perfectionis arcus orizontis qui est inter ortum utriuslibet tropicorum et circulum equinoctialem. Similique ratione inveniri potest distantia arcus cuiuslibet signi vel gradus ab equinoctiali.

Premissa dispositione sicuti est manente arcum HE querimus. Quare per 14^am primi proportio EA ad AT producitur ex proportionibus EB ad BH et HZ ad ZT. Quare perversim per quartam de proportionibus proportio TA ad AE componitur ex proportionibus HB ad BE et ZT ad ZH, sed HB ad BE sicut ad ZT per septimam quinti. Cum BE et ZT sint quarte, quare proportio TA ad AE componitur ex proportione BH ad ZT et ZT ad ZH, sed proportio HB ad HZ componitur ex eisdem per secundam de proportionibus. Posito BH primo, ZT secundo, ZH tertio et sic proportio AT ad AE est tamquam proportio BH ad HZ, sed AT est notum quia medietas arcus diei minimi positi et TE notum quia medietas differentie eiusdem diei minimi ad equinoctialem et HZ notum per 15 primi huius. Cum sit perfectio maxime declinationis, quare per primam quinque regularum exibit BH notum quod, si subtraxeris de quarta BE, remanebit arcus HE notus, quod est propositum. Correlarium vero patet: cum in iam dicto ordine AT sit primum et AE secundum et BH tertium, HZ quartum adiuvante prima quinque regularum iam dicta, sed et simili ratione potest reperiri arcus orizontis inter ortum cuiusvis gradus vel signi et equinoctialem, accepta declinatione illius gradus per 16^am huius primi inventa loco maxime declinationis et sua perfectione loco perfectionis maxime declinationis.

〈II.3〉 3. Altitudinem poli per arcum diei minimi notum presto indagare. Regula: si sinum differentie medie diei minimi ad equinoctialem diem ducas in sinum perfectionis quarte orizontis, productumque dividatur per sinum arcus orizontis qui est inter ortum tropici et equinoctialem, atque quod exierit ducatur in sinum quadrantis, productumque dividatur dividatur] scrips. bis F. Read only one dividatur per sinum arcus medii diei minimi, exibit sinus altitudinis poli.

Verbi gratia: repetita supra dicta figura per arcum AT querimus arcum BZ. Sic proportio ET ad TA per 13^am primi huius producitur ex proportione EH ad HB et BZ ad ZA. Cum ergo TE primum sit notum, eo quod medietas differentie minimi diei ad diem equinoctialem, et AT secundum notum quia medietas iam dicti diei, et EH tertium per premissam notum, et HB quartum sua perfectione similiter notum, et AZ sextum, cum sit quarta circuli, notum, exibit BZ quintum notum, quod est propositum. Si enim ducas EC EC] sic probably for ET F primum in BH quartum et productum dividas per HE per tertium, exibit quod se habebit per demonstrationem tertie regularum ad AT secundum sicut BZ quintum ad ZA sextum. Quare per primam regularum si illud exiens ducas in AZ et productum dividas per AT, exibit BZ notum, quod est propositum. Correlarium patet ex isto modo procedendi.

〈II.4〉 4. Arcum orizontis qui est inter ortum tropici et equinotiale per altitudinem poli notam reperire. Unde patet regula: si sinum maxime declinationis ducas in semidimetrarum, semidimetrarum] sic for semidiametrum F et productum dividas per sinum perfectionis altitudinis, exibit sinus arcus orizontis qui inter tropicum et equinoctialem deprehenditur.

Verbi gratia: supraposita figura sepe repetita per arcum ZB querimus arcum HE. Sic per 14^am primi huius proportio ZH primi ad AB secundum producitur ex proportione ZT tertii ad TH quartum et HE quinti ad EB sextum. Quare perversim per quartam de proportionibus proportio BA secundi ad AZ primum producitur ex proportione HT quarti ad TZ tertium et EB sexti ad HE quintum. Sed per septimam quinti proportio TH ad TZ est sicut eiusdem TH ad EB, cum TZ et EB sint quarte. Quare proportio BA ad AZ componitur ex proportionibus TH ad BE et BE ad EH, sed proportio TH ad HE componitur ex eisdem per secundam de proportionibus, posito TH primo et BE secundo et HE tertio. Et ita cum proportio BA ad AZ componatur ex eisdem ex quibus componitur proportio TH ad HE, erit proportio BA ad AZ sicut proportio TH ad HE. Cum ergo BA nunc primum notum sit quia perfectio altitudinis poli et AZ nunc secundum notum quia quarta et TH nunc tertium notum per 15^am primi huius quia maxima declinatio, exibit HE quartum notum, quod est propositum. Si enim ducas AZ secundum in HT tertium quod exibit est notum, sed per 19^am septimi vel quintam decimam sexti illud est quod provenit ex ductu AB in HE. Quare cum illud dividas per AB notum, exibit HE notum et sic patet propositum nec non et correlarium.

〈II.5〉 5. Quilibet duo circuli paralelli circulo equinoctiali eiusdem longitudinis a duobus tropicis sive ab ipso equinoctiali equales arcus orizontis ex utraque parte equinoctialis, resecant et fit alternatim nox unius diei alterius equalis.

Verbi gratia: in predicta figura describatur arcus HL supra orizontem paralelli equinoctiali, et sub orizonte ex alia parte equinoctialis describatur arcus KM paralelli equinoctiali, tantum ab ea distans quantum et HL secans orizontem in puncto K et angulum terre in puncto M, sed et LH LH] followed by crossed-out KM F secet meridionalem in puncto L. Dico ergo quod HE et EK sunt equales, sed et LH, KM similiter equales. Primum breviter patet per sextam primi Theodosii et primam partem septime secundi eiusdem. Secundum similiter patet per sextam primi Theodosii et ultimam partem 18^e secundi eiusdem, sed quia modus iste procedendi non est modus Tholomei, propter hoc ipsum sequendo, ducamus per polum Q septemtrionalem arcum QKS circuli maioris secantem equinoctialem in puncto S. Cum ergo paralelli KM, HL equaliter distant ab equinoctiali, sunt equales per sextam primi Theodosii. Quos cum secet orizon, erunt arcus LH, KM per ultimam per 18^e secundi Theodosii equales, sed KM, SG sunt similes per decimam secundi Theodosii de speris, et similiter LH, AT sunt similes per eandem. Quare cum KM et LH sint partes equales equalium circulorum, erunt similes. Et ita SG et AT illis similes erunt inter se similes per simile simile] corr. ex seimile F 20^e proportionis sexti Euclidis, et ita equales quibusdem quartis GE, AE subtractis remanebit SE, ET equales, sed et SK, HT equantur ex ypotesi, eo quod predicti paralelli equaliter distant ab equinoctiali et anguli KSE, HTE sunt recti sperales per 16^am primi Theodosii. Et ita erunt duo trianguli quorum duo latera unius, scilicet KS, KS] scrips. KSS F. Read only KS SE, equantur duobus lateribus alterius, scilicet HT, TE, et anguli illius †communitati† †communitati† uncertain reading F equales. Quare basis basi HE equalis basi EK et sic totum patet propositum.

〈II.6〉 6. Nota Solis altitudine proportionem umbre iacentis ad gnomonem erectum invenire et conversim nota proportione umbre ad gnomonem altitudinem Solis indagare. Regula: si sinum altitudinis in partes gnomonis quantaslibet, et productum dividas per cordam per communis altitudinis, exibunt partes quantitatis umbre similes partium gnomonis, et e contrario, si radicem duorum quadratorum gnomonis et umbra cum nota sint extrahas et per eam id quod ex ductu gnomonis in semidiametrum provenit dividas, exibit sinus quesite altitudinis.

Sit circulus altitudinis ADG cuius centrum E quem linea ZG, que linea orizontis intellegitur, contingat in puncto G a quo erigatur ortogonaliter linea GE in cenit capitum terminata quod est A. Ducatur etiam FE equidistans GZ que vicem orizontis similiter optinebit et e vicem centri universi quod quidem intellegi potest propter insensibilem terre quantitatem ad celum, et sit GE gnomo erectus DF altitudo Solis et DZ sit radius solaris per summitatem gnomonis transiens concurrens cum GZ in puncto Z, et ita erit umbra linea GZ. Dico ergo quod, si notus fuerit arcus DF, erit nota proportio EG ad GZ et ita GZ notum secundum partes eius EG 12 dicitur continere sicut et cuiuslibet rei status probatio ducatur DT equidistans FE et DM equidistans TE. Quare DT est sinus perfectionis altitudinis et DM sinus altitudinis. Arguam ergo sic: triangulorum DET, GEZ anguli EDT, EZG equales et similiter anguli ECD, EGZ equales per primam partem 29^e primi et anguli DET, ZEG equales per 15^am primi, quare trianguli sunt equianguli, quare per quartam sexti proportio ET ad TD sicut EG ad GZ. Sed ET est notum quia suum equale quod est DM est notum, eo quod est sinus altitudinis date, sed et DT notum quia sinus perfectionis date altitudinis. Et ita primum quod est ET notum et secundum quod est DT notum et tertium quod est EG notum quia semper 12. Quare per primam regularum exibit GZ notum. Similiter si poneretur BC umbra erecta et CE gnomo iacens per altitudinem DF, invenietur quot partes continet CB, DE cuius EC continet 12. Sunt enim trianguli EBC, EDM, ut patet, equianguli, quare proportio EM ad MD per quartam sexti sicut proportio EC ad CB. Et ita cum DM sit notum et ME similiter, eo quod equatur DT et ET, eo quod IR notum, exibit quartum CB notum, quod est propositum. Conversa sic patebit: si nota est proportio GE ad GZ et GE IR notum est quantum continet de duodecimis ipsius GE, quare si ducas utramque in se ductus erunt noti qui simul erunt quadratum linee EZ per penultimam primi, cum angulus ZG sit rectus et ita radix illius quadrati nota que est EZ. Quare, ut prius patuit, propter equiangularitatem triangulorum erit proportio ZE ad EG sicut DE ad ET. Sed ZE primum, ut iam patuit, est notum et EG notum quia IR, et ED notum quia 60 exibit et notum per primam regularum. Et ita DM notum, quare et suus arcus qui est DF erit notus, quod est propositum. Simili modo si HF sit altitudo posita exibit GP sua umbra nota et e contrario per notitiam umbre GP et ita si DF sit minima altitudo Solis in meridie et HF maxima altitudo, erit HD arcus inter tropicos cuius medietas erit maxima declinatio. Et ita per umbram possunt inveniri distantia inter tropicos et maxima declinatio nec non et altitudo poli. Quoniam si maximam declinationem minime altitudini addidis et totum aggregatum de quarta, que est 90, subtraxeris, remanebit latitudo regionis, quoniam distantia inter cenit capitum et equinoctialem que semper equatur altitudini poli.

〈II.7〉 7. Sub equinoctiali linea omnes dies sunt equales noctibus et sibi invicem et dicimus omnes stelle ortum habent et occasum et umbre meridiane quandoque ad meridiem quandoque ad septemtrionem quandoque nusquam declinant.

Ibi enim orizon, eo quod transit per polos equinoctialis et omnium ei paralellorum ipsos secat et equaliter per 16^am primi Theodosii et, quia illos paralellos omnes secat, fiunt revolutiones Solis in omni die et nocte semel. Et super stelle describentes illos paralellos aliquando sunt in portionibus eorum supra orizontem et aliquando in portionibus sub orizontem. Et ita ortum habent et occasum. Et quia orizon non qualitercumque secat, sed equaliter, ideo Sol in omni revolutione describens tantam portionem sub, quantam supra quia medietates, ideo dies suis semper equantur noctibus. Sed et quia omnes arcus predictorum paralellorum supra orizontem, qui sunt diurni, sunt similes, eo quod medietates et partes similes equidistantium revolvuntur in temporibus equalibus sive in eodem, quod patet per decimam secundi Theodosii. Erunt omnes dies sibi invicem equales et eadem ratione noctes omnes sibi invicem adequantur. Et quia cenit est in equinoctiali semper secante zodiacum in duas partes equales, quarum una declinat pars ab equinoctiali ad septemtrionem, et Sol existens in illa similiter et etiam a cenit capitum declinat pars illa et Sol existens in ea declinat ad septemtrionem. Et umbra semper cedit in oppositum luminis, quare umbra tunc erit in parte parte] corr. ex partem F meridiana. Consimili ratione Sole existente in parte opposita zodiaci erit declinans versus meridiem a cenit capitum et umbra septemtrionalis, et cum Sol fuerit in equinoctio, ut in capite Arietis vel Libre, cum tunc describat equinoctialem in meridie, erit in cenit capitum, quare umbra nusquam declinat. Et sic patet propositum.

〈II.8〉 8. Sub omni alia linea equidistante linee equinoctiali bis tantum dies fit equalis nocti in anno et dies estivi hibernis prolixiores, noctes vero breviores. Et quanto ab equinoctio distantiores dies estivi productiores, hiberni vero correptiores. Et quedam stelle apparentes semper, quedam occulte semper. Et distantia cenit ab equinoctio equalis altitudini poli.

Verbi gratia: sit circulus meridionalis ABG cuius orizontis puncti sectio communis sit ADG vicem orizontis recti teneat, communes duas duas] uncertain reading F sectiones ex eiusdem circuli et orizontum obliquorum sit BO, QE, communis vero sectio predicti circuli et equinoctialis sit TG et aliorum paralellorum HI, KL, MN, XO, VE sint paralelli tantum a polo distantes quantum sunt elevationes poli in orizontibus et BS, QR in parte opposita sibi similes. Quia ergo in spera declivi polus unus elevatur supra orizonta, ut AP, palam 18 secundi Theodosii quod inter omnes predictos paralellos solum maiorem eorum, scilicet equinoctialem, in partes dividit equales. Quare solum dies equatur nocti quando Sol describit equinoctialem, sed hec est bis tantum anno, ut patet, quare tantum bis in anno dies nocti adequatur. Sed et quia per 18^am secundi Theodosii partes paralellorum supra orizontem ex parte poli elevati existentium maiores sunt medietate et partes paralellorum supra orizontem ex parte poli depressi medietatibus sunt minores, erunt dies estivi hibernis prolixiores, noctes vero e contrario. Et quia arcus paralellorum supra orizontem existentes ex parte poli elevati, quanto plus polo appropinquant, tanto plus medietas excedunt, quod liquet ex 19 secundi Theodosii, erunt dies estivi ab equinoctio distantiores productiores et pro eandem eandem] probably om. causam F hiberni correptiores, quantum ab equinoctio sint magis distantes. Et si ymaginetur circulus paralellus contingens orizontem ex parte septemtrionis stella ipsum describens solum orizontem contingent, ut patet, et numquam sub eo descendet. Omnes vero stelle inter circulum illum et polum existentes circulos describunt orizontem nec contingents, ut patet, nec secantes, quare nec ipse orizontem contingent nec sub ipso descendunt. Et ita sunt propter apparentes stelle vero in parte opposita tantum a polo meridionali distantes quantum ipse distant a polo septemtrionali, pari ratione nec orizontem contingunt nec supra ipsum ascendunt adiuvante sexta primi et sexta secundi Theodosii de speris. Quare ille sunt sempiterne occultationis et quia cenit capitum est polus orizontis, distat ab ipso per quartam circuli et equinoctialis, distat a polo mundi per quartam circuli, quare distantia inter polum mundi et cenit capitum remota remanebit distantia inter cenit capitum et equinoctialem altitudini poli equalis. Et ita patet propositum.

〈II.9〉 9. Sub remotiori linea ab equinoctiali maior est inequalitas dierum et noctium et maior pars celi apparens semper et maior pars celi occulta semper.

Quia quanto maior est remotio, tanto maior est elevatio poli per 〈…〉 The reference to Theodosius is missing F Theodosii et tanto partes paralellorum supra orizontem partes sub orizonte magis superabunt. Et ita cum penes inequalitatem arcuum illorum diversetur quantitas dierum et noctium, erunt dies et noctes per inequalitatem sibi sibi] uncertain reading F magis differentes. Sed et cetera ibi polus magis elevetur maior pars celi erit semper supra orizontem, et ita maior pars celi semper apparens non habens occasum, et maior pars celi eadem ratione semper sub orizonte quam sub linea minus remota ab equinoctiali.

〈II.10〉 10. Sub omni linea cuius distantia minor ab equinoctiali maxima declinatione, umbre in meridie ad utramque partem alternatim declinant et bis in anno declinatione carent.

Nimirum quia paralellus super cenit capitum eorum descriptus secat zodiacum in duobus punctis et erit pars una zodiaci versus septemtrionem in qua Sole existente erit umbra meridiana. In alia vero parte Sole ente erit umbra ad septemtrionem. Cum Sol predictum paralellum describit et hec est cum fuerit in altero duorum predictorum, transit per cenit capitum. Et ita umbra declinatione carebit. Et cum sint talia duo puncta et solum bis in anno umbra nusquam declinabit, quod est propositum.

〈II.11〉 11. Sub linea cuius discensus equalis est maxime declinationi, umbra semel in anno declinatione caret, et umbra numquam declinat ad meridiem.

Sole enim in capite Cancri existente umbra in meridie, eo quod Sol tunc est in cenit capitum flexu carebit et quia ab hoc loco numquam fit septemtrionalis, numquam umbra flectetur in meridie. Ex quo etiam manifestum est quod sub omni paralello ab equinoctiali maxima declinatione remotiori numquam umbra declinatione caret quia Sol numquam usque ad cenit capitis accedet, nec umbra cadit in meridie quia Sol numquam ab ea sit septemtrionalis.

〈II.12〉 12. Sub linea cuius discepsio discepsio] sic for discessio F est ut poli zodiaci ab equinoctiali, umbra in aliquo die ad omnem partem orizontis flectitur, et sit spatium 24 horarum dies sine nocte et ex opposito nox sine die, et quanto discessus ab hac linea maior maius tempus abit sine nocte et ex opposito maius tempus sine die.

Ibi enim cenith erit in paralello poli zodiaci et capud Capricorni in orizonte circumvolvetur cum tam orizon quam capud Cancri a polis suis distent per quartam circuli, quare cum Sol fuerit in capite Cancri revolvetur supra orizontem circulum perfectum describendo. Et ita erit per 24 horas Sol apparens, unde dies illa erit 24 horarum. Ratione consimili erit nox Sole existente in capite Capricorni 24 horarum. Quod si cenit fuerit plus distans ab equinoctiali quam polus zodiaci, erit pars quedam, scilicet ex parte Capricorni, plus distans ab equinoctiali quam polus zodiaci, erit pars quedam, scilicet ex parte Capricorni, plus distans quam per quartam circuli, eo quod polus semper per quartam distet. Quare pars illa semper sub orizonte tali erit occulta et pars consimilis ex parte Cancri semper apparens. Et ita Sole existente in parte illa erit dies sine nocte, unde si pars illa sit signum unum, erit dies illa continens quantitatem unius mensis, et si duo signa duorum mensium, si tria trium et sic de ceteris. In parte vero opposite, eo quod tantum occultatur de zodiaco per sextam et 17^am secundi Theodosii, quare nox tanta erit sine die quanta dies sine nocte. Ista in spera sunt manifesta.

〈II.13〉 13. Sub polo medietas celi est apparens semper et medietas occultata semper et anni spatium die una cum nocte sua. sua] corr. ex una F

Ibi enim sicut cenith qui est polus orizontis est in polo equinoctialis sic orizon et equinoctialis idem circulus erunt, quod ostendetur per 17^am primi Theodosii. Quare sicut equinoctialis secat zodiacum in capite Arietis et Libre et medietas zodiaci a parte Cancri semper declinet ab equinoctiali ad septemtrionem, eadem ratione pars illa erit semper supra orizontem que est medietas zodiaci per duodecimam Theodosii. Quare cum Sol fuerit in illa medietate supra orizontem circumrotabitur et in alia medietate semper sub orizonte. Quare erit ibi dies anni medietas et nox et alia medietas anni spatium dies una cum nocte sua.

〈II.14〉 14. In spera declivi quilibet duo arcus equales circuli declivis et equaliter a puncto equinoctii distantes equales habent ascensiones.

Verbi gratia: sit circulus meridiei ABGD et medietas orizontis declivis BED et medietas equatoris AEG et sint due portiones zodiaci ZH, ZH] del. et F TK ex utraque parte capitis Arietis equales et intelligatur T primum punctum Arietis et Z ultimum punctum Piscium que sunt punctum unum sitque TK supra orizontem, manifestum est ergo quod cum ipso oritur TE arcus equinoctialis. Et sit ZH sub orizonte, palam ergo quod cum ipso oritur ZE et hec in spera patet capud Arietis in orizonte revolvendo, dico ergo quod si TK et ZH sint equales quod TE, EZ equabuntur. Probatio: sit L polus septemtrionalis, M polus meridialis quorum unum, scilicet L, continuabo cum punctis T, K et alium, scilicet M, cum punctis H, Z per arcus circulorum maiorum, sed etiam ipsos polos continuabo cum circulo maiori cuius medietas transeat per E. Palam ergo quod LK equatur MK, cum sint perfectiones declinationum equalium per 16^am primi huius, et ita erit triangulus KLT equilaterus triangulo HMZ. Quare et anguli TLK, ZMH per simile octave primi Euclidis. Item arcus EK, EH equales sunt per 4 huius secundi et ita trianguli LEK latera equantur lateribus MEH et ita anguli KLE, HME equales, ut prius, quibus ab angulis KLT, HMZ hinc inde remotis remanebunt anguli TLE, ZME equales, quare per simile quarti primi Euclidis cum EL, TL, EM, ZM sint quarte circulorum maiorum. Et ita equales erunt TE et ZE equales, quod est propositum.

〈II.15〉 15. Quilibet duo arcus circuli declivis equales et equaliter ab alterutro punctorum tropicorum distantes habent in spera obliqua ascensiones coniunctas equas eis ascensionibus quas idem arcus habent in spera recta coniunctis. Ex quo et premissa propositione manifestum est quod si note fuerint ascensiones unius quarte in spera obliqua, note erunt ascensiones omnium.

Verbi gratia: sit circulus meridiei ABDG, medietas orizontis obliqui BED, medietas equatoris AEG, sit etiam TH arcus zodiaci ut signum Piscium et arcus ZH Libra que, cum sint equalia et equaliter a punctis tropicis distantia, dico eorum ascensiones in quacumque spera obliqua coniunctas eorundem ascensionibus in spera recta coniunctis esse equales. Probatio: cum ZH et TH arcus zodiaci sint equales, circulus equinoctiali paralellus transiens per medietatem unius transit per extremitatem alterius. Cum arcus equales et equaliter ab equinoctiali distantes equales habent declinationes, quod patet per penultimam primi huius, et ita in eedem puncto orizontis ascendunt quod quidem punctum sit H, palam ergo quod cum TH elevatur elevatur] followed by crossed-out TH F TE et cum ZH elevatur ZE, describatur etiam super polum meridianum KHL, palam ergo quod cum TH in spera recta ascendit TL et cum HZ ascendit ZL, sed TE et EZ simul equantur TL, LZ. Quare constat propositum, quoniam LE differentiarum vicem optinet differentie, scilicet in qua ortus Piscium in spera obliqua superatur ab ortu eiusdem in spera recta et in qua ortus ortus] scrips. bis F. Read only one ortus Libre in spera obliqua superat ortum eiusdem in spera recta, que quidem differentie per 13^am tertii Theodosii sunt equales. Correlarium vero patet quia, cum scitur ascensio Arietis per premissam, scitur ascensio Piscium et per ortum Cancri habetur ortus Aquarii et per ortum Geminorum habetur ortus Capricorni et item per ortum Arietis habetur ortus Virginis et per ortum Piscium ortus Libre per propositionem istam adiuvante ultima primi huius et sic de ceteris equaliter a punctis tropicis distantibus, unde totum liquet propositum.

〈II.16〉 16. Cuiuslibet portionis circuli declivis ascensionem in spera declivi invenire. Regula operationis: Si sinum altitudinis poli duxeris in sinum declinationis proportionis inchoate ab equinoctiali puncto, et productum dividas per sinum perfectionis declinationis et quod exierit intidem ducas in semidiametrum productum dividas per sinum perfectionis altitudinis exibit sinus differentie elevationum sumpte partis in spera recta et spera declivi.

Iterata figura superiori arcum EZ querimus. Cum ergo a puncto A descendunt duo arcus, scilicet AK, AE, inter quos se secant KL et EB ut in puncto H per 13^am primi huius, proportio KB ad BA producitur ex proportione KH et et] sic for ad F HL et LE ad EA, sed KB primum notum, eo quod altitudo poli in spera data et BA sua perfectio nota similiter quod est secundum, sed et KH tertium notum, cum sit perfectio declinationis finis Libre que notificatur per penultimam primi huius. Et ita HL quartum notum et EA sextum notum cum sit quarta. Quare per tertiam regularum exibit quinque, scilicet LE, notum quod si addideris ad LZ notum per ultimam primi huius, cum sit elevatio Libre in spera recta, habebis totum EZ notum quod patet esse elevationem Libre in spera declivi posita et similiter, si dempseris idem LE de arcu LT noto per ultimam primi huius, remanebit ET notus qui, ut patet, est elevatio Piscium in spera declivi et sic de ceteris. Quare liquet propositum. Nec non et correlarium per modum procedendi secundum tertiam regularum.

〈II.17〉 Differentiam asscensionum asscensionum] sic for ascensionum F in spera recta et spera declivi eiusdem portionis per arcum arcum] corr. ex arcus F. The Almagesti Minor at II.17 has per arcum circuli magni, so here in F it seems that circuli has been forgotten by the scribe. magni a polo venientis determinare.

Verbi gratia: sit circulus meridionalis ABGD, medietas orizontis BD et equatoris AEG, medietas vero zodiaci ZEH que medietas secent se in puncto E quod sit punctum vernale et sit polus punctus L. Sit ergo ET arcus zodiaci cuiusvis quantitatis per ortus et describatur arcus LT secans equinoctium in puncto M, et a puncto T descendat arcus paralelli equinoctiali TK secans orizontem in puncto K quod continuetur cum polo per lineam LK secantem equatorem in puncto M et ducatur arcus LE. Palam ergo per decimam secundi Theodosii quod MN, TK sunt similes, quare in temporibus equalibus in omni loco elevantur, sed TK, ut patet, elevatur in eodem tempore in quo elevatur TE super orizontem obliquum. Et ita TE elevatur in temporibus equalibus temporibus in quibus elevatur MN vel sibi equalis de equinoctiali. Ita cum elevatio TE in spera recta que est arcus EM, ut patet, eo quod LM et LE transeunt per polos et eiusdem elevatio in spera declivi sit MN, ut iam ostensum est, erit tunc NE differentia inter ascensiones arcus TE in spera recta et spera declivi et illa terminatur per lineam LKN. Et sic liquet propositum.

〈II.18〉 Cuiuslibet portionis elevationem in spera obliqua alia via rationis invenire. Unde manifestum erit quod si sinus differentie equalis diei ad minimum ducatur in sinum elevationis sumpte portionis in spera recta et quod exsierit dividatur per sinum quadrantis, exibit sinus quesite differentie.

Sit meridionalis circulus et medietas equinoctialis et medietas orizontis, ut in premissa, et sit punctus H ortus tropici yemalis et K ortus, id est punctus in quo oritur in orizonte principium Piscium et polus meridionalis et polus meridionalis punctus Z. Et ducantur arcus ZH, ZK secantes equinoctialem in punctis T, L. Cum ergo a puncto T descendant duo arcus, scilicet TZ, TE, inter quos se secant in puncto K EH, ZL, erit proportio ZH ad HT producta ex proportione ZK ad KL et LE ad ET, sed proportio ZH ad HT producitur ex proportione ZK ad KL et proportione elevationis portionis sumpte ad quartam de sinibus loquor, quod patet per ultimam primi huius, cum HT sit maxima declinatio, cuiusmodi erat in figura ultime propositionis primi huius arcus BA et KL declinatio sumpte portionis, cuiusmodi erat in predicta figura primi huius HT. Cum ergo proportio perfectionis maxime declinationis ad ipsam maximam declinationem producatur in ista figura ex proportione perfectionis declinationis portionis sumpte ad ipsam declinationem illius portionis, et hec est ZK ad KL et proportione LE ad ET, et proportio perfectionis maxime declinationis ad ipsam maximam declinationem in ultima figura primi huius producitur ex proportione ZH ad HT et TE ad EA, erunt proportiones ZK ad KL et LE ad ET in ista figura sicut proportio ZH ad HT et TE et et] sic for ad F EA in illa figura. Sed proportio ZK ad KL est eadem penitus cum proportione ZH ad HT, cum KL hic sit declinatio portionis sumpte et HT in illa figura primi sit declinatio portionis sumpte. Et ita si eadem hinc inde sumatur portio zodiaci, arcus KL et HT erunt unus et idem et similiter KZ et HZ erunt idem. Quare demptis illis portionibus hinc inde, scilicet ZK ad KL et ZH ad HT, remanebit portio LE ad ET hic sicut ET ad EA ibi. Quare quatuor habemus proportionalia quorum primum LE, secundum ET in ista figura, tertium TE in ista figura et quartum EA in eadem, sed TE secundum est notum per primam huius secundi, cum sit differentia minimi diei, ut patet, ad diem equinoctialem et arcus TE in illa figura notus, cum sit elevatio portionis sumpte in spera recta et quartum, scilicet EA, cum sit quarta circuli notum. Quare per primam regularum si ducas sinum TE secundi in sinum ET tertii et hec est sinum differentie minimi diei ad equinoctialem in sinum elevationis in spera recta portionis sumpte et productum dividas per sinum EA quarti et hec per semidiametrum sive per sinum quadrantis, proveniet sinus LE notus. Sed ipse per premissam est differentia elevationum portionis sumpte in spera recta et spera obliqua. Quare si ipsam dempseris de elevatione portionis sumpte in spera recta per ultimam primi, nota remanebit elevatio portionis sumpte in spera declivi posita. Et sic liquet propositum.

〈II.19〉 19. Per notas ascensiones et locum Solis notum quartitatem quartitatem] sic for quantitatem F arcus diei et quantitatem arcus noctis et numerum equalium horarum diei vel noctis et tempora inequalium ascendensque ac medium celi in omni omni] corr. ex omnia F ora reperire.

Arcus enim diei est arcus quem Sol describit supra orizontem ab ortu in occasum, qui si de toto circulo subtrahatur quod remanet, erit arcus illius noctis, eo quod in die et nocte una completur revolutio. Hora equalis est vicessima quarta pars unius revolutionis. Que quidem revolutio continet 360 gradus et ita una hora equalis continebit revolutionem 15 graduum, eo quod 15 sunt 24^a pars de 360, quod patet per divisionem et de huius de huius] uncertain reading F horis dies longiores plures 12 continebunt, hiberni vero pauciores 12. Hora inequalis est duodecima pars diei cuiuslibet vel noctis. Unde si dies maior nocte fuerit, et eius hora prolixior hora noctis. Et istarum horarum tempora dicuntur gradus equinoctiales qui ora illa super orizontem ascendunt. Ascendens est gradus sive signum cuius principium est in orizonte orientali. Medium celi est quod est in linea meridionali. Cum ergo locus Solis notus fuerit et ab ortu Solis ad occasum vi signa oriantur, eo quod orizon et zodiacus se per equalia secant per duodecimam primi Theodosii. Istorum vi signorum ascensiones per 15^am vel per premissam huius invenias que, ut patet, erunt arcus die, quas si per 15, que sunt quantitas unius hore equalis, diviseris, exibit numerus horarum diei illius equalium. Si vero illas ascensiones sive arcum diei de toto circulo dempseris, remanebit arcus noctis, ut patet, quem si per 15 diviseris, habebis quot horas equales nox illa continebit. Si vero predictos arcus diei per 12 diviseris, quantitatem hore inequalis invenies quam si de 30 dempseris, remanebit quantitas hore noctis inequalis, eo quod 12 diei et 12^a noctis simul sunt 12^a totius revolutionis et 30 similiter sunt 12^a pars totius circuli, id est 360. Nec queritur quantitas hore equalis, eo quod semper est una quia 15 nec numerus horarum inequalium, eo quod semper de die sunt 12 et de nocte similiter. Per horas datas invenies ascendens sic ipsas horas in gradus redige, scilicet quod qualibet ponendo 15 si fuerit equalis equalis] corr. ex equales F vel numerum temporum unius hore diei illius inequalis, et sic exibit arcus equinoctialis ab ortu Solis vel occasu emergens, cum quo quartum exortum sit de zodiaco a loco semel incoatum per premissam. Si vero 15^am addiscas continendo et gradum ad quem veneris calculando, est ascendens proculdubio. Si per horas datas a proximo meridie ad horam datam preteritas medium celi quesieris, ipsas, ut prius, in gradus reducas ut arcum equinoctialis qui a proximo meridie ad horam datam preteritas medium celi quesieris, ipsas, ut prius, in gradus reducas ut arcum equinoctialis qui a proximo meridie meridianum transiit habeas, cum quo quartum de zodiaco a loco Solis elevetur per ultimam primi huius invenias. Et gradus ad quem perveneris m†…†ando m†…†ando] unclear F erit celi medium, cui gradus †…† †…†] op (?) F angulus terre nuncupatur. Nadir vero ascendentis est occidens. Aliter potestas medium celi invenire quia per ascendentem datum sic: quere per premissam ascensionis omnis ab initio Arietis usque ad ascendentem et habebis gradum equinoctialis qui cum ascendente stat in orizonte. Et quia semper ab orizonte usque ad medium celi est quarta circuli equinoctialis, si ipsam, id est 90, ab illis ascensionibus dempseris, si fieri potest. Sin autem illis ascensionibus 360 aggrega et ex toto 90 subtrahe. Et arcus qui relinquitur est portio equinoctialis que ab initio Arietis angulum terre transit in ortu lato, cuius portionis zodiaci sit iste arcus elevatio in spera recta per ultimam primi huius addiscas et invenies punctum quod angulus terre dicetur. Cuius nadair est medium celi. Si vero per medium celi super terram ascendentem scire volueris, ab elevationibus eius in spera recta per ultimam primi huius iuentis iuentis] sic for inventis F aufer 90 et cuius portionis zodiaci fuerit residuum elevatio per premissam invenies et ubi perveneris, erit ascendens. Ex hiis patet ascensionum multas esse utilitates. Iam dicta in spera sunt manifesta.

〈II.20〉 20. Datas Datas] corr. ex dadtas F horas temporales ad equales vertere et datas equales ad inequales reducere.

Hore temporales date sunt quarum quantitates note sunt et hec est quot graduum revolutionem continet, quelibet illarum unde istas multiplicando per numerum graduum unius hore gradus efficies, pro quorum quodlibet 15 horam unam equalem ponas. Item hore equales date sunt quarum numerus notus, quelibet enim earum semper revolutionem 15 graduum continet. Propter quod si numerum earum per 15 multiplices gradus earum provenient, quos si per tempora unius hore temporalis diviseris, hore inequales emergent. Ratio huius operis existentia multiplicationis et divisionis atque horarum descriptionibus manifeste patet.

〈II.21〉 21. Proportio speralis anguli supra polos alicuius circuli consistentis ad quatuor rectos est sicut arcus eiusdem circuli qui ei subtenditur ad totam circumferentiam.

Angulus speralis est qui provenit ex intersectione circulorum maiorum in spera descriptorum. Ratio quoque huius propositionis ex eque multiplicibus primi et tertii et iterum secundi et quarti est manifesta sicut in ultima propositione sexti Euclidis de angulis planis in circulo consistentibus.

〈II.22〉 22. Omnes duo anguli ex duobus meridianis cum circulo signorum ad eandem distantiam a puncto equinoctiali provenientes quorum alter extrinsecus, alter intrinsecus ex eadem parte sibi oppositus sunt equales.

Sit arcus circuli equinoctialis ABG et arcus circuli signorum DBE secans equinoctialem in puncto B, ex cuius utraque parte sint arcus BT, BH zodiaci equales. Descriptis ergo per 21^am primi Theodosii arcubus circulorum maiorum super polum Z et puncta H, T secantibus equinoctialem in punctis K, L qui sint ZKH, ZTL, dico quod ZHT angulus intrinsecus equalis est angulo ZTE extrinseco. Probatio: TL, KH arcus sunt equales cum sint declinationes punctorum ab equinoctio equaliter distantium quod ex penultima primi huius potest manifestari. Sed et BL et BK similiter equantur cum sint equalium arcuum ab equinoctio incepto in spera recta elevationes quod liquet ex ultima primi huius. Et sic sunt duo trianguli KBH, TBL sibi invicem equilateri et ita per simile octavi primi Euclidis anguli KHB, LTB equantur, trianguli LTB, ZTE equales per simile 15^e primi Euclidis, quare ZTE et HT equales, quod est propositum.

〈II.23〉 23. Omnes duo anguli ex duobus meridianis cum circulo signorum ad eandem distantiantiam distantiantiam] sic for distantiam F a puncto tropico provenientes quorum alter extrinsecus, alter vero intrinsecus ex eadem parte sibi oppositi equantur duobus rectis.

Verbi gratia: sit ABG arcus zodiaci, punctus B punctus tropicus a cuius duabus partibus sint arcus BE, BD equales. Ductis ergo per 21^am primi Theodosii arcubus ZE, ZB, ZD equinoctialem in KL secantibus dico angulum ZDE intrinsecum et angulum et angulum ZEG extrinsecum simul acceptos duobus rectis adequari. Probatio: LE, KD sunt arcus equales, eo quod declinationes punctorum ab equinoctio equaliter distantium, quare istis de suis quartis subtractis remanebunt arcus EZ, DZ equales, quare per simile octave primi anguli ZDB, ZEB equantur, sed ZEB, ZEG equantur duobus rectis per simile 13^e primi Euclidis. Quare anguli ZDE, ZEG similiter duobus rectis adequantur, quod est propositum.

〈II.24〉 24. Angulus ex circulo meridiano cum circulo signorum apud punctum tropicum proveniens rectus esse necessario comprobatur.

Verbi gratia: sit circulus meridionalis ABGD infra quem sit medietas circuli signorum AEG et sit punctus A punctus tropicus, dico ergo angulum BAE rectum esse. Probatio: cum quilibet meridionalis transeat per polos equinoctialis, transibit et equinoctialis per polos meridionalis quod liquet ex 16^a et 14 primi Theodosii. Describatur ergo semicirculus super A secundum spatium lateris quadrati qui sit BED, qui erit circuli maioris per octavam primi Theodosii. Cum ergo polus eius fuerit in puncto A et ita tam in zodiaco quam in meridionali, ipse transibit per polos eorum et ita per B polum zodiaci. Quare arcus BE erit quarta circuli et ita cum BE sic se habeat ad totum circulum per 21^am huius secundi sicut angulus BAE ad quatuor rectos, erit idem angulus quarta pars quatuor rectorum et ita rectus, quod est propositum.

〈II.25〉 25. Maxima declinatione nota angulum ex meridiano et circulo signorum apud punctum equinoctii provenientem notum esse. Unde patet quod si maximam declinationem addas super quartam vel ab ea subtrahas, exibit angulus quesitus.

Verbi gratia: sit meridianus ut in premissa infra quem describatur medietas zodiaci AZG et medietas equinoctii AEG. Posito ergo A polo describatur semicirculus secundum spatium lateris quadrati qui erit circuli maioris per 18^am primi Theodosii. Palam ergo per 16^am et 14^am primi Theodosii quod ipse transit per polos equinoctii et zodiaci, et ita erit tamquam colurus distinguens solstitia. Quare erit EZ maxima declinatio et ita cum ipsa EZ sit nota ex ypotesi et de quarta circuli quod liquet per 17^am primi Theodosii et 27^am tertii Euclidis, Euclidis] corr. ex Ecuclidis F cum D sit polus equinoctialis addito ZE, remanebit arcus ZD notus. Et ita per 21^am huius secundi erit angulus ZAD notus et eadem ratione est arcus EB quarta circuli a quo si subtraxeris arcum EZ, proveniet arcus ZB notus. Quare et angulus ZAB est notus et sic totum liquet propositum.

〈II.26〉 26. Quantitatem cuiuslibet anguli ex meridiano cum circulo signorum apud quodlibet punctum provenientis per notam puncti declinationem invenire. Unde liquet quod si declinationis puncti cuius angulus queritur sinum ducas in sinum perfectionis sumpte portionis a puncto equinoctiali, et productum dividas per sinum ipsius portionis, et productum iterum multiplices in semidiametrum, atque quod exierit dividas per sinum perfectionis declinationis, exibit sinus differentie duorum angulorum apud punctum propositum valentium duos rectos, quam si recto addideris vel subtraxeris, habebis utrumque.

Verbi gratia: sit circulus meridiei ABDG infra quem sit medietas zodiaci DZB et medietas equatoris GZA, punctum equalitatis sit Z, punctum quodvis zodiaci sit B cuius declinatio nota que est AB, ergo ponam B polum et describam circulum secundum spatium lateris quadrati cuius medietas sit HTEK, angulum ergo TBK sive angulum TBH querimus. Palam per 16^am primi Theodosii quod meridianus ortogonaliter dividit HTK in duo media et ab eo dividitur similiter in duo media per duodecimam eiusdem, quare HTK transit per polos meridionalis circuli per 14^am primi Theodosii. Sed eadem ratione circulus GEA equinoctialis transit per polos meridionalis, quare in communi sectione que est E equatoris et circuli HTK erit polus circuli meridionalis et ita EH quarta circuli, sed et BH quarta cum B sit polus. Arguam ergo sic: cum a puncto H descendant duo arcus HB, HE inter quos secant alii duo BT, EA in puncto Z, erit per 13^am primi huius, et hec est per katam disiunctam, proportio BA ad AH producta ex proportione BZ ad ZT et TE ad EH, sed BA primum notum ex ypotesi, cum sit declinatio puncti dati et AH secundum notum, cum sit perfectio illius declinationis et BZ tertium notum ex ypotesi, cum sit portio ab equinoctio sumpta et ZT quartum notum, cum sit perfectio portionis sumpte et TE quintum que est tamquam differentia licet ignotum, cum EH sextum fuerit notum eo quod quarta circuli, exibit TE notum per tertiam regularum ex modo operandi patet correlarium. Cum ergo TE notum fuerit et EK notum cum sit quarta, erit per additionem totus TEK notus et ita per 20^am huius secundi erit angulus TBK notus et TBH similiter notus per subtractionem TE differentie de quarta circuli que est EH, quoniam ipsa subtracta remanet arcus TH notus et ita per 20^am huius angulus TBH notus, quod est propositum. Et sic liquet qualiter investigande sunt quantitates angulorum zodiaco et meridionali contentorum apud quodlibet punctum zodiaci et consimili ratione habebitur notitia angulorum omnium in orizonte recto et circulo signorum provenientium, cum omnis meridionalis circulus sit tamquam orizon rectus.

〈II.27〉 27. Omnes duo anguli ex uno orizonte declivi cum circulo signorum ad eandem distantiantiam distantiantiam] sic for distantiam F a puncto equinoctiali provenientes quorum unus intrinsecus, alter vero extrinsecus ex eadem parte sibi oppositus sunt equales.

Verbi gratia: sit meridianus, ut prius, infra quem medietas equatoris AEG et medietas orizontis BED et sit capud Libre punctum Z sub orizonte et intelligatur arcus zodiaci ZHT secans orizontem in puncto H, deinde intelligatur predictum punctum, scilicet capud Libre, supra orizontem elevari in puncto K et arcus zodiaci KLM secans orizontem in puncto L. Si ergo KL equatur HZ, dico angulum THB extrinsecum equalem esse angulo KLB intrinseco sibi opposito. Probatio: HZ, KL ex ypotesi ypotesi] corr. ex ypostesi F equantur et ZE, EK per 13^am huius cum sint eorum ascensiones similiter equantur, sed et HE, LE similiter sunt equales per quintam huius cum L et H puncta equaliter distent ab equinoctiali et ita latera trianguli KLE, ZHE sunt equales, sed ZHE et THB equantur per simile 15^e primi Euclidis. Quare anguli KLE, THB equabuntur, quod est propositum.

〈II.28〉 Omnes duo anguli ex uno orizonte declivi in circulo signorum apud puncta opposita orientis et occidentis provenientes extrinsecus cum intrinseco equatur duobus rectis. Unde colligitur quod duo quoque anguli ad eandem distantiam a puncto tropico duobus rectis sunt equales. Quapropter notis angulis orientalibus unius medietatis ab Ariete Ariete] corr. ex Ariente F in Libram, noti erunt anguli orientales alterius medietatis et una anguli occidentales ambabus partibus.

Verbi gratia: sit circulus orizontis ABDG et circulus signorum AEGZ sese in punctis A, G secantes, palam per duodecim primi Theodosii quod ADG, AZG sunt semicirculi qui per 29 tertii Euclidis in punctis D, Z equaliter dividantur. Faciam ergo similiter DZ circulum maiorem transire per 21^am primi Theodosii cuius poli erunt puncti A, G per 17^am primi Theodosii, et ita per 20^am istius secundi erit proportio istius arcus DZ ad totum circulum sicut anguli DAZ ad quatuor rectos, et similiter sicut anguli DGZ ad quatuor rectos, et ita eadem est proportio anguli DAZ ad quatuor rectos sicut anguli DGZ. Quare ipsi erunt equales per 19^am quinti Euclidis, sed anguli DAZ, ZAB equantur duobus rectis per simile 13^e primi Euclidis. Quare anguli ZGD, ZAB duobus rectis adequantur et sic liquet prima pars propositi. Ex qua et premissa liquet quod duo anguli ad eandem distantiam a puncto tropico equantur duobus rectis quod est secunda pars propositi, eo quod per premissam anguli ad eandem distantiam a puncto equinoctiali sunt equales anguli, dico quorum uterque respectu zodiaci est meridionalis vel septemtrionalis et respectu orizontis orientalis vel occidentalis, et ita intellegimus cum loquimur de angulis Solis angulos orientales meridionales vel occidentales meridionales vel orientales septemtrionales vel occidentales septemtrionales et ita cum punctum quod tantum distat ab equinoctio quantum aliud ab eodem tantum distet a tropico quantum oppositum illius, quod manifeste patet in spera anguli apud duo puncta a tropico equaliter distantia duobus rectis adequantur. Cum autem anguli orientales septemtrionales ad singula puncta alterius medietatis noti per subtractionem anguli noti de duobus rectis, eo quod per primam partem huius anguli apud duo puncta opposita duobus rectis adequantur, et sic per notitiam angulorum orientalium septemtrionalium unius medietatis zodiaci notificantur consimiles anguli alterius medietatis. Et ita omnes totius zodiaci similes erunt noti, sed orientales septemtrionales et occidentales septemtrionales singuli cum singulis equantur duobus rectis de quibus si subtrahantur orientales, remanebunt occidentales. Et ita omnes anguli occidentales septemtrionales sunt noti, sed orientales septemtrionales occidentalibus meridionalibus et occidentales septemtrionales orientalibus meridionalibus per simile 15^e primi Euclidis adequantur. Quare omnes anguli meridionales erunt noti, si fuerint noti septemtrionales. Et ita si noti fuerint anguli orientales unius medietatis, et noti erunt omnes ceteri anguli tam orientales quam occidentales, quod est tertia pars propositi.

〈II.29〉 29. Nota poli altitudinem altitudinem] sic probably for altitudine F. This way it makes clear the reference to Nota like in the Almagesti Minor et tropicorum distantia angulum ex concursu orizontis declivis et signorum circuli apud utrumque punctum equinoctii notum esse necesse est. Unde constat quod si differentiam que est inter regionis latitudinem et maximam declinationem cum latitudo maior fuerit a quarta circuli diminuas, vel cum minor fuerit adicias, relinquatur angulus de capite Libre. A quo si quantitatem distantie inter duos tropicos abieceris, residuum erit angulus sub capite Arietatis. Arietatis] sic for Arietis F

Verbi gratia: sit circulus meridionalis, ut prius, infra quem medietas orizontis orientalis DEA et quarta equinoctialis ZE et quarta zodiaci BE et B capud Cancri, E capud Libre et alia quarta zodiaci sit GE, G capud Capricorni et E principium Arietis, et ita E duorum punctorum equinoctialium oppositorum vicem gerit et ista possunt per revolutionem spere, punctus H sit polus illius orizontis et quarta circuli altitudinis arcus HE. Palam ergo per 16^am et 14^am primi Theodosii quod punctus E est polus circuli meridionalis. Cum ergo altitudo poli sit nota ex ypotesi et latitudo regionis sibi adequatur, erit arcus HZ qui est latitudo regionis notus a quo si subtraxeris BZ notum ex ypotesi eo quod maxima declinatio, remanebit arcus HB notus. Sed et si arcum ZG eidem addideris, erit totus HG notus, si ergo subtraxeris HB que est differentia latitudinis et maxime declinationis de quarta HD, remanebit BD notus. Quare et angulus BED notus qui est angulus orizontis et circuli signorum sub capite Libre. Item cum arcus BD sit notus, ut iam fuerit ostensum, et arcus BG notus ex ypotesi cum sit distantia tropicorum, remanebit arcus GD notus et ita per 20 huius secundi erit angulus GED notus qui est orizontis et zodiaci sub capite Arietis. Si vero latitudo fuerit minor maxima declinatione, tunc erit H inter B et Z et tunc demere debes latitudinem, id est arcum HZ, notam ex ypotesi de BZ maxima declinatione et remanebit arcus HB notus quem si addideris quarte HD, proveniet totus BD notus. Quare et angulus BED notus et similiter GED, ut prius, notus, unde totum liquet propositum.

〈II.30〉 30. Quantitatem anguli ex concidentia orizontis et zodiaci apud quodlibet punctum per notum celi medium et eius declinationem notam investigare. Regula: si diametrum multiplices in sinum altitudinis gradus celi medii sub terra vel supra terram prout contigerit eam portionem minorem esse quarta, exibit sinus et quesiti arcus et quesiti anguli.

Verbi gratia: sit circulus meridionalis qui et prius medietas orizontis orientalis BED et medietas zodiaci AEG et punctus E ortus alicuius puncti dati zodiaci, alius a puncto equinoctiali, angulum GED querimus. Cum ergo equinoctialis et meridionalis secent orizontem in quartas, nota erit ED quarta, sed nec EG, quare aut erit maior aut minor. Sit quod maior, describam ergo super polum E circulum secundum spatium lateris quadrati cuius arcus ZT secet orizontem in T, zodiacum in H, meridionalem in Z, dico ergo Z esse polum orizontis. Probatio: orizon transit per E polum illius ZHT, quare ille circulus transit per polum orizontis. Sed palam quoniam polus orizontis est in circulo meridionali, quare erit in communi sectione ut in Z et ZHT, ZGD erunt quarte, sed et pari ratione ET, EH sunt quarte et ita note. Sed arcus EG erit notus, cum punctus G, scilicet medium celi, ex ypotesi sit notus, quia per ipsum scietur ascendens, id est punctus zodiaci E, per 18^am huius secundi. Item declinatio puncti G scietur per penultimam primi quam si latitudini orizontis dati addideris, proveniet arcus ZG notus et hec si declinatio fuerit meridiana. Sin autem septemtrionalis minorem de maiori subtrahas et sic remanebit arcus ZG notus. Quare et residuum de quarta, scilicet GD, erit notum. Vide ergo quod a puncto D descendunt duo arcus DE, DZ inter quos se secant EG, ZT in puncto H, quare per 14^am primi huius, id est per katam coniunctam, proportio ZD ad DG producetur ex proportione ZT ad TH et HE ad EG de sinibus intellige, cum ergo hic sint 6 quantitates quarum prima, scilicet ZD, nota quia quarta, secunda DG nota, prout iam fuerit ostensum, tertia ZT nota quia quarta circuli, et quarta TH ignota, sed quinta HE nota quia quarta, et sexta EG nota, ut iam patuit per quartam quinque regularum, exibit arcus HT notus cuius polus cum sit in E, erit angulus HET per 20 secundi huius notus. Si vero ED, EG non fuerint quarte, sed minores, dico adhuc angulum GED notum fore. Probatio: super polum E describam circulum, ut prius, secundum spatium lateris quadrati secantem, ut prius, orizontem in T et zodiacum in H que tunc cadant extra circulum. Vide ergo quod a puncto T descendunt duo arcus TE, TZ inter quos se secant ZD, EH in puncto G. Quare per katam coniunctam proportio ZT ad TH aggregatur ex proportione ZD ad DG et GE ad EH, quare perversim per quartam de proportionibus proportio HT ad TZ producitur ex proportione GD ad DZ et HE ad EG, sed proportio GD ad DZ est tamquam proportio eiusdem DG ad HE per septimam quinti Euclidis. Cum DZ et HE sint quarte, ut prius patuit, quare proportio HT ad TZ producitur ex proportione GD ad HE et HE ad EG, pono ergo GD primum, HE secundum, GE tertium. Per secundam ergo de proportionibus proportio GD ad EG producitur ex proportione GE ad HE et HE ad EG et ex illis producebatur proportio HT ad TZ. Quare proportio GD ad EG est sicut proportio HT ad TZ, sed GD nunc primum est notum per predictam, quia sive ED fuerit maior sive minor quarta, eodem modo notificabuntur GD et ED, et ET secundum notum, et HT tertium ignotum, sed ZT quartum notum. Quare per primam regularum exibit HT notum et ita angulus HET super polis notus, quod est propositum. Correlarium locum habet in secundo casu et patet per modum procedendi in operando per primam regularum, cum GD sit altitudo gradus celi medii. Et ita totum liquet propositum.

〈II.31〉 31. Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a polo orizontis egressi ad duo puncta circuli signorum eiusdem a puncto tropico distantie, cum ipsa etiam a circulo medii diei ante et post secundum equalia tempora destiterint, sunt equales et faciunt angulos cum circulo signorum extrinsecum et intrinsecum ex eadem parte sibi oppositum equales duobus rectis.

Verbi gratia: sit circulus meridionalis GBA, G polus equatoris, septemtrionalis B scenith sive polus orizontis. Item sint Z et D duo puncta zodiaci a puncto tropico equaliter distantia, et D tantum distet a meridie versus orientem quantum Z ab eodem meridie versus occidentem. Palam quoniam punctus tropicus erit in meridie qui sit A et ita arcus zodiaci orientalis erit ADE pars occidentalis AZH. Intelligantur item arcus circuli altitudinis BD, BZ, dico ergo BD et BZ equales esse et angulum BDE cum angulo BZA intrinseco duobus rectis adequari. Probatio: ductis duobus meridianis GD, GZ manifestum est quod ipsi sunt equales, cum declinationes punctorum D, Z equales sint quod liquet ex penultima primi. Quare duos habemus triangulos ZGA, DGA quorum latera unius equantur lateribus alterius, quare et anguli eorum sunt sese respicientes equales erunt et ita anguli ZGA, DGA equantur. Et sic habemus alios duos triangulos, scilicet BZG, BDG, quorum duo latera unius, scilicet ZG, DG, equantur et BG commune et anguli ipsis contenti equales. Quare et reliqua latera et reliqui anguli et ita arcus BZ et BD equantur, quod est prima pars propositi. Et anguli GZB, GDB equales, sed GDE, GZA equantur duobus rectis per 23^am huius secundi et ita eis equales qui sunt BDE, BZA duobus angulis equalibus predictis uno, scilicet BZG, ablato altero, scilicet BGD, apposito duobus rectis erunt equales, quod est secunda pars propositi.

〈II.32〉 32. Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a cenith capitum egressi usque ad unum punctum circuli signorum cum ipsum a linea meridiei ante et post secundum equalia tempora destiterit, sive cenith capitum a punctis celum mediantibus septemtrionale fuerit sive meridianum, sunt equales et faciunt angulos duos ad idem punctum duplo maiores pariter angulo ex concidentia meridiani et circuli signorum ad idem punctum provenientes.

Sit circulus meridiei AGBA et D polus septemtrionalis, G polus orizontis primo ex parte septemtrionis respectu punctorum mediantium sitque E quodvis punctum zodiaci ex parte orientis secundum quamvis distantiam a meridie et sit A punctus zodiaci, tunc in meridie existens postea intelligatur predictum punctum revolvi ad occidentem secundum similem distantiam a meridie, tunc vocetur H et punctum zodiaci medians celum B et ita erunt E et H unum punctum, sed secundum esse Q puncta duo a meridie equaliter distantia. Ductis ergo GE, GH arcubus circuli altitudinis, ipsos dico equales esse. Item ductis arcubus DE, DH qui realiter sunt unum et idem, dico angulos GEZ, GHB pariter acceptos angulo DEZ sive DHB qui idem est duplo maiores esse. Probatio: punctum propositum in motu suo describit paralellum cuius arcus inter punctum E et meridiem equatur arcui eiusdem inter eundem meridiem et punctum H ex ypotesi. Et ita per simile octave primi Euclidis anguli duo HDG, EDG erunt equales et ita per simile quarte primi Euclidis basis GE basi GH adequabitur, quod est prima pars propositi. Et anguli GED, GHD similiter erunt equales, item anguli DEZ, DHB equantur, immo sunt idem, quare ipsi simul sumpti sunt duplo maiores angulo DEZ. Quare et anguli eis equales qui sunt GHB, GEZ erunt eodem angulo DEZ duplo maiores, patet assumptum duobus angulis DEG, DHG equalibus uno, scilicet DHG, sublato alio DEG opposito et sic liquet totum propositum polo orizontis ex parte septemtrionis existente. Si vero G fuerit meridionalis, producam arcum GE usque in K et arcum GH usque in L, palam, ut prius, quod GE et GH sunt equales, quod est prima pars propositi. Et similiter anguli GED, GHD equantur, dico supposita priori dispositione quod anguli ZEK, BHL qui sunt anguli orientales septemtrionales de cuiusmodi in proposito in omnibus locis intendimus intendimus] corr. ex intendilmus F quod ipsi simul sumpti sunt duplo maiores angulo DEZ. Probatio: anguli DHG, DHL equantur duobus rectis similiter DEG, DEK, quare cum DHG equatur DEG, angulus DHL equabitur DEK, quare DHL addito angulo DHB et angulo DEK remoto de angulo DEZ, erunt anguli LHB, KBZ pariter accepti equales angulis DHB, DEZ pariter acceptis. Sed ipsi DHB, DEZ cum sint equales, immo idem, equantur duplo unius eorum ut anguli DEZ et ita sui equales, scilicet LHB, KEZ, equabuntur duplo anguli eiusdem DEZ, quod est secunda pars propositi.

〈II.33〉 33. Quod si unum punctorum celum mediantium sive orientalis portionis sive occidentalis meridianum fuerit a cenith capitum et alterum septemtrionale, anguli qui proveniunt ad punctum dictum superant duplum anguli ex arcu meridiano ad idem punctum facti quantitate duorum rectorum. Ex quibus omnibus colligitur quod si noti fuerint anguli antemeridiani et arcus in omni declinatione a principio Cancri usque ad principium Capricorni, noti erunt et arcus et anguli eorundem signorum postmeridiani et una anguli reliquorum signorum et arcus ante et post meridianam lineam.

Verbi gratia: sit, ut prius, DG circulus meridionalis, D polus, G cenith et sit A punctus portionis orientalis medians celum et B punctus portionis occidentalis medians celum sitque primo A cenith capitum meridionale et B septemtrionale, dico ergo quod anguli GEZ et LHB simul sumpti supant supant] sic for superant F duplum anguli DEZ quantitate duorum angulorum rectorum. Probatio: in eodem in quo anguli GEZ, LHB superant angulos DEZ, DHB in eodem superant duplum anguli DEZ, cum DHB, DEZ sint equales, immo idem, sed palam quod LHB et GEZ superant ipsos quantitate angulorum GED et LHB et illi equantur duobus rectis. Quare liquet propositum. Probatio assumpti: argues enim, ut in premissa, angulos GHD, GED equales esse et ita cum GHD, GHD] corr. ex GHDD F LHD equantur duobus rectis, similiter GED, LHD equabuntur duobus rectis, quod erat assumptum. Si vero A fuerit septemtrionalis et B meridionalis, eveniet oppositum. Dico enim tunc quod anguli KEZ, GHB qui sunt tales de †cuius† †cuius† uncertain reading F loquimur simul sumpti superantur a duplo anguli DEZ per duos rectos. Probatio: duplum anguli DEZ est angulus DHB cum angulo DEZ, cum ipsi sint equales et anguli KEZ, GHB superantur ab angulis DEZ, DHB per quantitatem angulorum DEK, DHB, sed DEK, DHG equantur duobus rectis. Quare KEZ, GHB superantur ab angulis DEZ, DHB quantitate duorum rectorum, et ita a duplo DEZ, quod est propositum. Probatio assumpti: ut prius anguli DHG, DEG equantur, quare DHG, DEK duobus rectis adequantur, cum DEG et idem DEK duobus rectis adequantur. Correlarium sic patet: si notus fuerit angulus antemeridianus et arcus circuli altitudinis ad punctum a principio Cancri usque in principium Capricorni in quacumque distantia a meridie, notus erit et angulus postmeridianus ad eundem punctum in equali distantia, quod patet per premissam. Si a punctis mediantibus celum fuerit cenith septemtrionale vel meridionale, eo quod illi duo pariter equantur duplo anguli ex concidentia meridiani et zodiaci provenientis noti per 15^am huius secundi. Si vero cenit capitum respectu unius punctorum mediantium celum fuerit septemtrionale, respectu alterius meridionale, erit angulus postmeridianus per notitiam anguli anguli] add. i. m. F antemeridiani notus, eo quod illi duo pariter aut sunt maiores aut minores duplo anguli ex concidentia meridiani et circuli signorum provenientis provenientis] corr. ex provenientes F quantitate duorum rectorum qui notus erit per 25^am huius secundi et ita anguli antemeridianus et postmeridianus eiusdem puncti pariter sunt noti. A quibus si subtraxeris angulum antemeridianum notum ex ypotesi, remanebit angulus postmeridianus similiter notus. Anguli postmeridiani punctorum alterius medietatis noti erunt, eo quod quilibet eorum cum fuerit in consimili distantia a meridie cum angulo antemeridiano puncti predicti semicirculi equaliter a puncto tropico et meridie distantis valet duos rectos per 31^am huius secundi. Quare si illum angulum antemeridianum de duobus rectis dempseris, remanebit angulus postmeridianus quesitus et per consequens angulus antemeridianus ad eundem punctum, ut iam patebit, notus erit.

〈II.34〉 34. Quemlibet angulum ex concidentia circuli altitudinis cum circulo signorum apud punctum medians celum vel apud punctum punctum] del. medians celum F orizontis et arcum quoque a sumitate capitum ad utrumque notum esse oportet.

Verbi gratia: sit circulus meridianus ABGD, medietas orizontis BED, medietas zodiaci ZEH, A sit cenith capitum a quo intelligatur circulus altitudinis AEG, dico ergo angulum AZE notum esse et arcum AZ similiter qui est arcus circuli altitudinis sicut et meridiei. Angulus enim AZE notus est per 26^am huius secundi, eo quod circulus altitudinis et meridianus idem. Item declinatio puncti Z est nota per penultimam primi huius, quam si de latitudine regionis date subtraxeris et hec si fuerit septemtrionalis, remanebit arcus AZ notus. Sed si declinatio puncti Z meridiana fuerit, ipsam latitudini regionis addere debes, ut arcum AZ habeas. Item dico angulum AEH notum esse et arcum AE similiter. Probatio: arcus AE semper est quarta circuli, eo quod cenith est polus orizontis et similiter AD est quarta. Quare angulus AED est rectus per 21^am huius secundi cui si addideris angulum DEH notum per 30^am huius secundi, totum angulum AEH habebis notum, quod est propositum.

〈II.35〉 35. Quantitatem arcus circuli altitudinis a sumitate capitum ad quodlibet punctum circuli signorum invenire.

Sit circulus meridiei ABGD infra quem medietas orizontis sit BED, medietas zodiaci ZHTK, et Z sit medians celum notum, et T oriens quod erit notum per 18^am huius secundi, A sit … A sit] the manuscript ends at this point abruptly