angulus terre nuncupatur. Nadir vero ascendentis est occidens. Aliter potestas medium celi invenire quia per ascendentem datum sic: quere per premissam ascensionis omnis ab initio Arietis usque ad ascendentem et habebis gradum equinoctialis qui cum ascendente stat in orizonte. Et quia semper ab orizonte usque ad medium celi est quarta circuli equinoctialis, si ipsam, id est 90, ab illis ascensionibus dempseris, si fieri potest. Sin autem illis ascensionibus 360 aggrega et ex toto 90 subtrahe. Et arcus qui relinquitur est portio equinoctialis que ab initio Arietis angulum terre transit in ortu lato, cuius portionis zodiaci sit iste arcus elevatio in spera recta per ultimam primi huius addiscas et invenies punctum quod angulus terre dicetur. Cuius nadair est medium celi. Si vero per medium celi super terram ascendentem scire volueris, ab elevationibus eius in spera recta per ultimam primi huius iuentis iuentis] sic for inventis F aufer 90 et cuius portionis zodiaci fuerit residuum elevatio per premissam invenies et ubi perveneris, erit ascendens. Ex hiis patet ascensionum multas esse utilitates. Iam dicta in spera sunt manifesta.
〈II.20〉 20. Datas Datas] corr. ex dadtas F horas temporales ad equales vertere et datas equales ad inequales reducere.
Hore temporales date sunt quarum quantitates note sunt et hec est quot graduum revolutionem continet, quelibet illarum unde istas multiplicando per numerum graduum unius hore gradus efficies, pro quorum quodlibet 15 horam unam equalem ponas. Item hore equales date sunt quarum numerus notus, quelibet enim earum semper revolutionem 15 graduum continet. Propter quod si numerum earum per 15 multiplices gradus earum provenient, quos si per tempora unius hore temporalis diviseris, hore inequales emergent. Ratio huius operis existentia multiplicationis et divisionis atque horarum descriptionibus manifeste patet.
〈II.21〉 21. Proportio speralis anguli supra polos alicuius circuli consistentis ad quatuor rectos est sicut arcus eiusdem circuli qui ei subtenditur ad totam circumferentiam.
Angulus speralis est qui provenit ex intersectione circulorum maiorum in spera descriptorum. Ratio quoque huius propositionis ex eque multiplicibus primi et tertii et iterum secundi et quarti est manifesta sicut in ultima propositione sexti Euclidis de angulis planis in circulo consistentibus.
〈II.22〉 22. Omnes duo anguli ex duobus meridianis cum circulo signorum ad eandem distantiam a puncto equinoctiali provenientes quorum alter extrinsecus, alter intrinsecus ex eadem parte sibi oppositus sunt equales.
Sit arcus circuli equinoctialis ABG et arcus circuli signorum DBE secans equinoctialem in puncto B, ex cuius utraque parte sint arcus BT, BH zodiaci equales. Descriptis ergo per 21am primi Theodosii arcubus circulorum maiorum super polum Z et puncta H, T secantibus equinoctialem in punctis K, L qui sint ZKH, ZTL, dico quod ZHT angulus intrinsecus equalis est angulo ZTE extrinseco. Probatio: TL, KH arcus sunt equales cum sint declinationes punctorum ab equinoctio equaliter distantium quod ex penultima primi huius potest manifestari. Sed et BL et BK similiter equantur cum sint equalium arcuum ab equinoctio incepto in spera recta elevationes quod liquet ex ultima primi huius. Et sic sunt duo trianguli KBH, TBL sibi invicem equilateri et ita per simile octavi primi Euclidis anguli KHB, LTB equantur, trianguli LTB, ZTE equales per simile 15e primi Euclidis, quare ZTE et HT equales, quod est propositum.