est tamquam proportio eiusdem DG ad HE per septimam quinti Euclidis. Cum DZ et HE sint quarte, ut prius patuit, quare proportio HT ad TZ producitur ex proportione GD ad HE et HE ad EG, pono ergo GD primum, HE secundum, GE tertium. Per secundam ergo de proportionibus proportio GD ad EG producitur ex proportione GE ad HE et HE ad EG et ex illis producebatur proportio HT ad TZ. Quare proportio GD ad EG est sicut proportio HT ad TZ, sed GD nunc primum est notum per predictam, quia sive ED fuerit maior sive minor quarta, eodem modo notificabuntur GD et ED, et ET secundum notum, et HT tertium ignotum, sed ZT quartum notum. Quare per primam regularum exibit HT notum et ita angulus HET super polis notus, quod est propositum. Correlarium locum habet in secundo casu et patet per modum procedendi in operando per primam regularum, cum GD sit altitudo gradus celi medii. Et ita totum liquet propositum.
〈II.31〉 31. Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a polo orizontis egressi ad duo puncta circuli signorum eiusdem a puncto tropico distantie, cum ipsa etiam a circulo medii diei ante et post secundum equalia tempora destiterint, sunt equales et faciunt angulos cum circulo signorum extrinsecum et intrinsecum ex eadem parte sibi oppositum equales duobus rectis.
Verbi gratia: sit circulus meridionalis GBA, G polus equatoris, septemtrionalis B scenith sive polus orizontis. Item sint Z et D duo puncta zodiaci a puncto tropico equaliter distantia, et D tantum distet a meridie versus orientem quantum Z ab eodem meridie versus occidentem. Palam quoniam punctus tropicus erit in meridie qui sit A et ita arcus zodiaci orientalis erit ADE pars occidentalis AZH. Intelligantur item arcus circuli altitudinis BD, BZ, dico ergo BD et BZ equales esse et angulum BDE cum angulo BZA intrinseco duobus rectis adequari. Probatio: ductis duobus meridianis GD, GZ manifestum est quod ipsi sunt equales, cum declinationes punctorum D, Z equales sint quod liquet ex penultima primi. Quare duos habemus triangulos ZGA, DGA quorum latera unius equantur lateribus alterius, quare et anguli eorum sunt sese respicientes equales erunt et ita anguli ZGA, DGA equantur. Et sic habemus alios duos triangulos, scilicet BZG, BDG, quorum duo latera unius, scilicet ZG, DG, equantur et BG commune et anguli ipsis contenti equales. Quare et reliqua latera et reliqui anguli et ita arcus BZ et BD equantur, quod est prima pars propositi. Et anguli GZB, GDB equales, sed GDE, GZA equantur duobus rectis per 23am huius secundi et ita eis equales qui sunt BDE, BZA duobus angulis equalibus predictis uno, scilicet BZG, ablato altero, scilicet BGD, apposito duobus rectis erunt equales, quod est secunda pars propositi.
〈II.32〉 32. Omnes bini arcus binorum orbium altitudinis a cenith capitum egressi usque ad unum punctum circuli signorum cum ipsum a linea meridiei ante et post secundum equalia tempora destiterit, sive cenith capitum a punctis celum mediantibus septemtrionale fuerit sive meridianum, sunt equales et faciunt angulos duos ad idem punctum duplo maiores pariter angulo ex concidentia meridiani et circuli signorum ad idem punctum provenientes.
Sit circulus meridiei AGBA et D polus septemtrionalis, G polus orizontis primo ex parte septemtrionis respectu punctorum mediantium sitque E quodvis punctum zodiaci ex parte orientis secundum quamvis distantiam a meridie et sit A punctus zodiaci, tunc in meridie existens postea intelligatur predictum punctum revolvi ad occidentem secundum similem distantiam a meridie, tunc vocetur H et punctum zodiaci medians