〈I〉 Ex Theone Ptolemaei commentatore

〈I.9〉 De particularium scientiis

De initiis alicuius doctrinae dicturus planius, sicut in prioribus, ea quae de mathematticis speculationibus summatim oportebat proponere, a communibus notionibus et ab iis quae ad phaenomena spectant inchoare debet. Propterea posuit primo Generales demonstrationes, firmaturas per se operis per sectionem ex sequentibus particularium demonstrationibus. Incipit autem enarrationem particularium, distinguens ea quae prius sunt ducta per capita, et inquit: Haec igitur plane generalis de initiis doctrinae scientia et deinceps. Et haec, si quidem universalis et principalis praecognito, sic in summa ex simplicioribus observationibus ab eo sumta, hanc methodum habet. In particularium autem demonstrationibus, primam duxit esse demonstrationem per quam quae sit quantitas inter duos polos et aequinoctialis, circa quem fit primus motus, et zodiaci, circa quem fit secundus motus. Hoc est, quot partium, descripto per utrosque dictos polos maximo circulo, qualium ipse circulus est 360. Ulterius vero dicit: Ante hanc ipsam demonstrationem, necessarium videmus proponere tractatum rectarum in circulo linearum; hoc est, quomodo, data aliqua circumferentia magnitudine, et subtendens recta data sit. Proponit autem hanc, ut plurimum, consisterem linearibus demonstrationibus; plurima enim in constructione theorematum per eam demonstrat.

〈I.10〉 De quantitate rectarum in circulo linearum

Igitur, post explicationem huius tractatus, et per fabricam canonis, illam exponit, ut, si quando incidamus in particularium considerationes, aut a circumferentiis rectas sumere aut a rectis circumferentias, confestim ratiocinari possimus. Quoniam convenit magnitudines rectarum et circumferentiarum definitas quasdam esse, supponit quidem circulum dividi in 360 360] corr. ex 120 M partes aequales, et appellat unumquodque intervallum partem; diametrum vero in 120 partes aequales, et eas similiter appellat partes, ut magnitudines circumferentiarum sint, qualium circulus 360, rectarum vero, qualium diameter 120. Vero ad expositionem canonis utitur incremento circumferentiarum in semicirculo, et addit illis convenientes quantitates rectarum subtendentium illas, talium qualium, sicut diximus, linea diametri 120. Divisi autem, dicit, diametrum in 120 partes propter commoditatem computandi quae in illis numeris existit. Verisimile vero, illam magis uti tali divisione, quia in multis demonstrationibus quantitatem eius quae ex centro eo numero perficere potest. Commodissimus autem omnium numerorum est sexagenarius, eo quod tractabilior est omnibus reliquis qui possunt habere plures partes aliquores. aliquores] corr. ex minores M Propterea, diametrum in 120 partes divisit, ut ea quae ex centro sit 60 partium. Primo autem demonstrabimus quomodo quantum fieri potest et deincepts. Et demonstrata quidem est haec doctrina rectarum in circulo linearum ab Hypparcho 12 libris, insuper a Menelao 6 libris. Mirari aliquis possit quomodo expeditius, per pauca et facilia theoremata, inventionem quantitatis earum fecerit. Et postquam per brevia lemmata demonstravit pauca maxime utilia theoremata ad scientiam quantitatis rectarum linearum, consequenter etiam per eadem ostendit inquisitionem canonis factam, ut non solum ex tabula, citra inquisitionem, habeamus magnitudines positas, sed etiam lineari demonstrationem ipsarum inquisitionem perficere possimus, ut, si forte aliquis error circa numeros in canone comprehensus sit commissus, facile per lineas rectificare possimus. Universaliter quidem utemur incursibus numerorum, et hic iterum, compendiositati prospiciens, vult nos partes partium in sexagesimas particulas accipere. Ut si primam partem resolutionis in 60 in multiplicationibus, exempli gratia, pro eo quod multiplicamus semissem, quadrantem, et vigesimam partem in sese, multiplicemus 48 sexagesimas primas, quod non tantam in se difficultatem habet; neque solum partes resolvere in primas sexagesimas, sed etiam primas in secundas, et secundas in tertias, et tertias in quartas, et continuo ordine consequenter, ad quantum usus exigit. In multiplicationibus autem et divisionibus, sequemur, et ad docendi methodum pertinet, ut pauca praesumamus de multiplicationibus et divisionibus, quarum manifestiorem inquisitionem in propriis locis de illorum numerorum constructione faciemus, ubi magis in conspectum proponemus. Consequens erit et hic declarare quae species proveniat ex multiplicatione partium in partes, et in sexagesimas primas, et in secundas, tertias, et quartas, et sic consequenter. Si enim pars in multiplicationibus per species unitatis ordinem observaverit, immutabilis est. Eundem enim locum unitas, per tria (exempli gratia) multiplicata, ipsum ternarium numerum retinet; et si in quartum, quartum; et si in octavum, octavum. Sicut et Diophantes inquit: Quando unitas immutabilis et firma ubique existit, species aliqua in illam multiplicata, illa ipsa species manebit. Eodem etiam modo, pars in quam speciem multiplicata fuerit, illam ipsam speciem servat. Quare, pars, si quidem in partem multiplicetur, partem faciet; in primas vero sexagesimas, primas sexagesimas; in secundas vero, secundas; in tertias vero, tertias, et ordine consequenter. In minutiis vero alicuius partis non idem reperimus, sicut deinceps demonstrabimus. Quocunque enim rursum modo, iuxta Diophantem, in multiplicationibus partium unitatis species mutatur (ternarius enim in se multiplicatus, quadratum que efficit et speciem mutat), eodem etiam modo hic minutiae partis mutant species, sicut inde manifestum erit, quia pars cognatione quandam ad unitatem et eius partes servat, et rationi convenientius quidem sic. Ut autem etiam lineari demonstratione ostendamus quae species proveniat ex multiplicatione partium in primas, secundas, et tertias sexagesimas, et ulterius, et primarum sexagesimarum in sese, et in secundas et tertias, et deinceps, et insuper etiam reliquarum, ponantur dua rectae lineae sibi invicem ad rectos angulos, AB BG, et sit una quaeque earum unius partis, et compleatur quadratum AG. Erit igitur et ipsum unius partis; et secatur BG in sexagesima partes aequales, et sit BD unius primae sexagesimae, et ducatur parallela DE.

Quoniam igitur, sicut GB ad BD, sic AG ad AD. Sexagecupla est autem GB ad BD; sexagecuplum igitur est et quadratum AG ad rectangulum AD. Et AG est unius partis; AD igitur erit unius sexagesimae primae partis, et includitur a linea AB, quae est unius partis, et BD, quae est sexagesimae primae. Pars igitur, si multiplicetur in primas sexagesimas, primas sexagesimas efficit. Similiter etiam, si abscindamus BZ, sexagesimam partem lineae BD, et per Z parallelam ducamus ZH, erit parallelogrammum ZA unius sexagesimae secundae, inclusum a linea AB unius partis et linea BZ sexagesimae secundae. Si igitur pars multiplicet in sexagesimas secundas, secundas sexagesimas efficit. Et similiter in tertias, tertias; et in quartas, quartas, et deinceps. Dico igitur quod, si primae sexagesimae multiplicentur in primas sexagesimas, secundas faciunt. Dividatur etiam AB in sexaginta aequales partes, et sit linea BT eius sexagesima pars, et ducatur per T lineae BD parallela, quae sit TK. Fuit igitur et parallelogrammum BK sexagesima pars parallelogrammi AD. Parallelogrammum autem AD est sexagesimarum primarum; igitur BK parallelogrammum erit sexagesimarum secundarum. Et includitur a linea BT et BD, quarum utraque est sexagesimae primae. Quare, primae sexagesimae in primas, secundas faciunt. Rursum, demonstrandum quod primae sexagesimae in secundas, tertias constituunt. Quoniam enim AZ parallelogrammum est sexagesimae secundae, et eius sexagesima pars est ZT parallelogrammum, igitur ZT est sexagesimae tertiae, et includitur a linea BT, quae est sexagesimae primae, et a BZ secundae. Quare, primae sexagesimae in secundas, tertias faciunt. Insuper vero, demonstrandum quod secundae sexagesimae in secundas, quartas faciunt. Sumatur lineae BT sexagesima pars BL, eritque secundae sexagesimae, et per L parallela ducatur lineae BZ, quae sit LM. Et quoniam ZT parallelogrammum demonstratum est tertiae sexagesimae, et eius sexagesima pars est parallelogrammum BM, BM igitur est sexagesimae quartae. Et compraehenditur a BL et BZ, quarum utraque est sexagesimae secundae; quare, sexagesimae secundae in secundas, quartas efficiunt. Et si consequenter simili modo modo] add. sup. lin. M dividamus rectas, inveniemus et reliquas sexagesimarum species. Postquam a nobis demonstratum est quod pars eandem speciem in quam multiplicata fuerit retinet (hoc est, sive in primas sexagesimas, primas; si vero in secundas, secundas; sivero in tertias, tertias), deinceps etiam demonstrabimus proportionaliter quae species provenit ex multiplicatione sexagesimarum. Et id quidem in numeris (quoniam etiam Ptolemaeus in multiplicationibus eundem dicit numerum provenientem) proponemus, et ponatur, ut ordine subscriptum est, magnitudo partis et magnitudines sexagesimarum partium. Quoniam igitur tres numeri proportionales sunt, sicut pars ad unam sexagesimam, sic sexagesima prima ad sexagesimae secundae. Unaquaeque enim species alterius sexagecupla est; species igitur quae provenit a primo et tertio numero aequalis est ei quae provenit ex secundo.

Hoc est, species a parte et secundis sexagesimis aequalis est speciei quae provenit a primis sexagesimis. Sed species quae provenit ex parte et sexagesimis secundis est sexagesimarum secundarum, quoniam, ut demonstratum, in quam speciem pars multiplicatur, eadem constituit speciem. Primae igitur sexagesimae in primas sexagesimas, secundas faciunt sexagesimas. Demonstrandum etiam est quod sexagesimae primae primae] add. sup. lin. M in secundas, tertias constituunt. Iterum enim, quoniam sicut pars ad sexagesimas primas, sic secundae ad tertias, species autem sub primo et quarto numero aequalis est ei quae sub secundo et tertio. Igitur, species sub parte et sexagesimis tertiis aequalis est ei quae sub primis et secundis sexagesimis. Sed species sub parte et tertiis sexagesimis facit tertias sexagesimas; igitur, species sub primis et secundis sexagesimis, tertias efficit. Insuper, primae in tertias efficiunt quartas, hoc modo: quoniam enim sicut pars ad sexagesimas primas, sic tertiae ad quartas; igitur species sub parte et sexagesimis quartis aequalis est ei quae sub primis et tertiis sexagesimis. Sed species sub parte et quartis sexagesimis quartas constituit sexagesimas; primae igitur et tertiae sexagesimae quartas faciunt. Similiter etiam, primae in quartas, quintas faciunt; in quintas vero, sextas, et consequenter. Rursum, demonstrandum quod secundae in secundas, quartas faciunt. Quoniam enim sicut primae sexagesimae ad secundas, sic secundae ad tertias, igitur species sub primis et tertiis aequalis est ei quae sub secundis. Sed demonstravimus quod species sub primis et tertiis quartas facit; secundae igitur in secundas, quartas efficiunt. Demonstrandum etiam quod secundae in tertias, quintas faciunt. Quoniam enim sicut primae sexagesimae ad secundas, sic tertiae ad quartas, species igitur sub primis et quartis aequalis est speciei sub secundis et tertiis. Sed species sub primis et quartis demonstrata est quintarum sexagesimarum; secundae igitur sexagesimae in tertias sexagesimas, quintas constituunt. Similiter etiam, secundae in quartas, sextas faciunt; in quintas vero, septimas, et ordine consequenter. Propterea, tertiae in tertias multiplicatae, sextas faciunt sexagesimas. Quoniam enim rursum, sicut secundae sexagesimae ad tertias, sic tertiae ad quartas, quae igitur sub secundis et quartis aequalis est ei quae sub tertiis. Demonstravimus autem eam quae sub secundis et quartis fieri sexagesimae sextae. Tertiae igitur sexagesimae in seipsas multiplicatae, sextas facient sexagesimas, et insuper tertiae in quartas, septimas faciunt, et ordine consequenter. Declaratis ergo nobis multiplicationum speciebus, manifestae fiunt divisiones specierum expositarum. Primae enim sexagesimae per partes divisae, primas sexagesimas facient; per primas autem sexagesimas, partes. Secundae autem sexagesimae, si per partes dividantur, secundas facient; per primas autem sexagesimas, primas. Si vero tertiae sexagesimae per partes dividantur, tertias facient; per primas autem, secundas; per secundas autem, primas, et sic de reliquis. Ut sit superficies AD sexagesimas primas partis, linea vero AB sit unius partis. Manifestum igitur quod, si superficies AD dividatur per lineam AB, lineam AG constituet sexagesimas primas, quoniam, si pars in sexagesimas primas multiplicetur, primas sexagesimas constituit. Si vero per AG, quae est sexagesimas primas, dividatur, lineam AB partis integrae constituet.

Rursum, sit superficies AD sexagesimae secundae. Manifestum verum, sicut si per AB partem dividatur superficies AD, constituet AG secundas sexagesimas, quoniam si pars multiplicetur in secundas sexagesimas, secundas constituunt. Si vero per AG sexagesimae secundae, AB partem constituet. Si non linea AB fuerit sexagesimae primae, et per eam superficies AD dividat, constituet AG rursum primas sexagesimas, quoniam si primae sexagesimae in primas multiplicentur, secundas constituunt. Rursum, sit superficies AD sexagesimae tertiae. Si igitur iterum AB fuerit pars et dividatur per eam superficies AD, erit AG sexagesimae tertiae; si vero per AG tertias sexagesimas invenietur AB pars. Si vero AB fuerit sexagesimae primae, invenietur AG secundas sexagesimas; et similiter etiam de reliquis. Amplius demonstrabimus quomodo numerus congregatus ex multiplicatione trium datarum specierum (1 partis 1′ 11′′) accipiatur, et e converso, quomodo, dato aliquo numero earundem trium specierum, divisio aut comparatio eius fiat per ductas species, et hoc declaretur per seriem numerorum. Igitur, multiplicaturi latus decagoni (quod, ut demonstrabitur, est 37° 4′ 55′′) in sese, pono ipsum latus, et rursum idem sub sese, ut subscriptum est. Et primo, multiplicatis partibus 37 in sese et in primas, quae secundas sexagesimas; deinde 4 primis in 37 partes et in sese et in sexagesimas secundas; et tertio secundis in partes et in primas et in sese. Sic habeatur multiplicatio earum expedite sumpta. Si quidem 37 partes in se multiplicatae gignunt 1369 partes; in 4 autem producunt 148 sexagesimae primae, et insuper in 55′′ faciunt 2035′′. Et ulterius, 4′ in 37 partes producunt 148′; in sese gignunt 16′′, et in 55′′ faciunt 220′′′. Iterum, 55′′ in 37 partes congregant 2035′′; in 4′ vero producunt 220′′′; et in sese gignunt 3025′′′′. Et hic est ordo numerorum, ut subscriptus est. Congregantur autem hoc modo. Primo, si dividimus 3025′′′′ per 60, faciemus 50′′′ et 25′′′′. The following table appears in the margin M

Deinde, tertiae sexagesimae, cum ad iunctis 50′′′ ex divisione quartarum, faciunt in universum 490′′′, quae faciunt 8′′ et 10′′′. Et consequenter, secundae congregatae 4094′′ faciunt sexagesimae primae 68′ et 14′′. Et eandem, primae sexagesimae coniunctae 364′, faciunt 6 partes 4′, et fiunt in universum partes 1375 4′ 14′′ 10′′′ 25′′′′. Ideo prolem, postquam addidit eos ordine, fecit additionem usque ad secundas sexagesimas, et posuit 1375 partes 4′ 14′′ proxime, tertiis et quartis neglectis.

E converso, sit numerus datus dividendus per partes primas, 7 secundas sexagesimas. Et sit datus numerus 1515° 20′ 15′′, dividendus per 25° 12′ 10′′. Hoc est, quaerendum quoties numerus 25° 12′ 10′′, in 1515° 20′ 15′′, sit comprehensus. Dividimus primum ipsum per 60, eo quod 61 superat, et subtrahimus 25° 12′ 10′′, sexagies. Et prius 25, et fiunt 1500. Deinde, resolvimus 15 partes reliquas in 900′, et his addimus 20′, et a toto congregato numero 920′, subtrahimus sexagies 12 (hoc est, 720). Et a reliquis sexagesimis primis 200, et secundis 15, subtrahimus rursum sexagies 10′′, quae fiunt 600′′ (aut 10′). Relinquuntur 190′ et 15′′. Has rursum incipientes, dividimus per 25, et fit divisio per 7, quia superat eum octies. Et sexagesimas primas, quae fiunt ex comparatione 175′, subtrahimus a 190′, quibus addimus 15′′, et a toto subtrahimus septies 12 sexagesimas primas (hoc est, 84 secundas), quia 7 etiam sunt sexagesimae primae, et remanent 83′′. Et adhuc subtrahimus similiter septies 10 sexagesimas secundas, quae fiunt vertice sexagies 70 (hoc est, 1′ et 10′′), et remanent 829′′ et 50′′′. Has rursum per 25, et fit divisio per 33. Ex comparatione autem sexagesimarum secundarum 825, relinquuntur residuae sexagesimae secundae 4′′ et 50′′′. In universum vero, 290 sexagesimae vertice. Deinde, rursum subtrahimus 12 sexagesimas primas tricesies ter, et fiunt 396′′′, ut divisio, quam proxime, 1515° 20′ 15′′, fiat per 25 partes 12′ 10′′, 60° 7′ 33′′; quoniam, e converso, si hunc numerum multiplicaverimus per 25 partes 12′ 10′, congregantur similiter 1515 partes 20′ 15′′ proxime.

Postquam disposuimus ea quae praemittenda erant de multiplicationibus, scilicet partium et sexagesimarum, et earum divisionibus, restat ut de ducto tractatu, quem ab eo praemitti oportuit (dico de quantitate rectarum in circulo linearum), loquamur. Antequam autem istius demonstrationem incipit, ponit primum theorema, in quo demonstrat quot partium est latus decagoni, quod circumferentiam 36 partium subtendit, et latus pentagoni, quod circumferentiam 72 partium subtendit; praeterea, latus hexagoni, quod circumferentiam 60 partium subtendit, et consequenter latus tetragoni, quod circumferentiam 90 partium subtendit, et praeterea latus trigoni, quod circumferentiam 120 partium subtendit (qualium ambitus circuli 360), in lineis autem subtendentibus illas (qualium diameter 120). Utitur autem tali demonstratione. Ponit semicirculum ABG circa diametrum AG, cuius centrum D, et a puncto D lineae AG ad rectos angulos ducit lineam DB, et secat DG in duas aequales partes super puncto E, et coniungit BE. Et lineae BE aequalem abscindit lineam EZ, et rursum coniungit BZ.

Dico, inquit, quod latus DZ est latus decagoni, BZ vero pentagoni. Quoniam enim DG in duas aequales partes secta est super puncto E, in directum autem ei adiacet quaedam linea DZ, rectangulum quod continetur sub tota cum apposita et apposita, una cum quadrato quod fit ex dimidia, aequum est quadrato quod fit ex linea composita ex dimidia et apposita. Hoc est, rectangulum quod fit ex GZ ZD, cum quadrato quod fit ex DE, aequum est quadrato quod fit ex ZE (hoc est, quadrato quod fit ex EB), quod quidem aequum est quadratis ex BD DE. Quare, rectangulum quod fit ex GZ ZD, cum quadrato quod fit ex DE, aequum est quadratis quae fiunt ex BD, DE; auferatur commune quod fit ex DE. Reliquum igitur rectangulum sub GZ, ZD, aequale est quadrato quod fit a linea DB, hoc est quadrato quod fit a linea DG. Tres igitur rectae sunt proportionales: sicut ZG ad GD, sic GD ad ZD. Et quoniam GZ divisa est in partes inaequales super puncto D, et sicut tota GZ ad maiorem sectionem GD, sic illud ipsum maius segmentum (ut maior sectio GD) ad minus DZ, igitur GZ extrema et media ratione secta est super D. Et maius segmentum GD est aequale lateri hexagoni;

DZ igitur est latus decagoni, quoniam in Elementis, quod si latus hexagoni et decagoni coniungantur in eodem circulo, tota recta extrema et media ratione secta est. Ipse autem converso modo sumit. Demonstrandum autem etiam ita: quia DZ aequalis est lateri decagoni. Si enim non, sive maior est latere decagoni aut minor. Sit prius maior, et ponatur linea DH aequalis lateri decagoni. Igitur GH extrema et media ratione secta est super puncto D, et est sicut HG ad GD, ita GD ad DH. Et quoniam ZG maior est linea HG, ZG ad GD maiorem habet rationem quam HG ad GD. Sed sicut ZG ad GD, sic GD ad DZ. Sicut autem HG ad GD, sic GD ad DH. GD igitur maiorem habet rationem ad DZ quam ad DH. Ad quod vero idem maiorem habet rationem, illud minus est. Minor igitur DZ quam DH, quod absurdum est. Non igitur DZ est maior latere decagoni. Simili modo demonstrabimus quod neque minor. Igitur DZ est latus decagoni. Aut etiam sic: si enim DH est decagoni latus, et propterea GZ media et extrema ratione secta est, et ideo rectangulum quod continetur a GZ ZD, aequum est quadrato quod fit ex DG. Similiter vero, et rectangulum quod continetur sub GH HD, est aequale quadrato eidem quod fit ex GD. Igitur quod ex GZ ZD, est aequum ei quod fit fit del. M fit ex GH HD, quod est absurdum. Non igitur latus decagoni minus est linea DZ; similiter demonstrabimus quod neque maius. Aequale igitur. Rursum, quoniam in 13 Elementorum demonstratum est quod latus pentagoni potentia tantum valet quantum latus hexagoni et decagoni, si sunt in eodem circulo, igitur ZB valet BD DZ. Et BD quidem aequalis est lateri hexagoni, DZ autem lateri decagoni. BZ igitur est latus pentagoni. Quoniam igitur linea demonstratione nobis demonstrata sunt latera decagoni et pentagoni, nunc ordine inventionem quantitatis eorum trademus, qualium diameter est 120. Quoniam enim diameter circuli supposita est 120 partium, sit linea DG earum 60, linea DE vero (quae est dimidia eius) 30 partium, et quadratum ex ea est 900 partium. Est vero et linea DB 60, et quadratum ex ea 3600. Quadrata igitur ex ED DB (hoc est, quadratum ex linea BE coniuncta) constituunt 4500. Longitudine igitur erit BE (hoc est, EZ) 67° 4′ 55′′ proxime, sicut in sequenti theoremate demonstrabimus, ubi de inventione lateris tetragonici dicemus. Est vero DE 30 partium; igitur reliqua DZ erit 37° 4′ 55′′ proxime. Igitur decagoni latus, quod subtendit circumferentiam XXXVI partium (qualium circulus est CCCLX, nam XXXVI sunt decima pars CCCLX partium totius circuli), est 37° 4′ 55′′, qualium diameter est 120. Quoniam igitur demonstravimus quod DZ sit partium 37 4′ 55′′, erit quadratum ex ea 1375° 4′ 15′′, ut paulo ante in multiplicationibus. Est vero et quadratum ex BD 3600, quae coniuncta constituunt quadratum quod fit ex linea ZB, 4975° 4′ 15′′. BZ igitur erit longitudine 70° 32′ 3′′. Igitur latus pentagoni, quod subtendit partes LXXII (qualium circulus CCCLX), erit talium 70° 32′ 3′′, qualium diameter 120. Manifestum quoque quod latus hexagoni, quod subtendit LX partes (qualium circulus est CCCLX) et aequalis ei quae ex centro circuli, erit et ipsa 60 partium, qualium diameter 120. Rursum, quoniam latus tetragoni potentia tantum valet quantum duplum eius quae ex centro (nam quadratum ex eo aequum est duobus quadratis earum quae ex centro, quae comprehendunt angulum rectum, quam subtendit). Demonstratum etiam in 13 Elementorum quod trigoni latus potentia triplum est eiusdem quae ex centro. Et quadratum eius quae ex centro est 3600; quadratum igitur ex latera tetragoni erit 7200; quadratum autem ex latera trigoni 10800. Igitur latus tetragoni, quod subtendit XC partes (qualium circulus CCCLX), erit 84 partium 51′ 10′′, qualium diameter 120; trigoni autem latus, quod subtendit CXX partes circumferentiae, earundem 103° 55′ 23′′. Hae igitur subtensae faciliter et per sese ex elementaribus theorematibus datae sint; per se vero dicit, quia quaelibet harum ex propria et una propositione demonstrata est. Deinceps vero plures ex una propositione faciet; propterea dicit: Perspicuum est inde quod, datis quibuscunque rectis, confestim etiam dantur reliquae, subtendentes circumferentias reliquas ad dimidiarum circulum, propterea quod quadrata ex eis coniuncta efficiunt quadratum ex linea diametri.

Si enim describamus semicirculum ABG super diametrum AG, et auferamus AB circumferentiam partium XXXVI, et coniungamus AB BG, erit, ut demonstratum est, recta AB partium 37 4′ 55′′, et quadratum ex ea 1375 partium 4′ 55′′. Quadratum autem ex diametro 14400, et angulus ad B est rectus. Igitur quadratum quod fit ex linea AG aequale est quadratis quae fiunt ex AB et BG. Si igitur a quadrato lineae AG (hoc est, 14400) auferamus quadratum lineae AB (hoc est, 1375° 4′ 55′′), relinquetur nobis quadratum ex BG, 13024° 55′ 5′′. Ipsa vero recta BG, 114° 7′ 37′′. Quare, BG recta, quae subtendit reliquas a XXXVI partibus circumferentiae partes in dimidiatum circulum (CXLIIII), erit partium 114 7′ 37′′, qualium diameter 120. Consequenter vero, rursum in eodem theoremate eadem utemur demonstrationem, et ponemus circumferentiam AB partium LXXII. Habebimus lineam rectam subtensam, inveniemus etiam lineam subtendentem reliquas partes CVIII ad dimidiatum circulum, partium 97 4′ 56′′. Et similiter, a recta quae subtendit LX, inveniemus eam quae subtendit CXX: 103° 55′ 23′′, qualium diameter 120. His ita cognitis, ordine deinceps praesumere nos oportet quomodo, data aliqua superficie quadrati non habentis latus rationale, longitudine eius quadrati proxime latus tetragonicum ratiocinari possimus. Et hoc quidem est manifestum ex quadrato quod habet latus rationale, ex 4 theoremate 2 librum Elementorum, cuius est propositio haec: Si linea recta secetur fortuito, id quadratum quod ad totam describetur aequale futurum est quadratis ad segmenta descriptis, et illi simul loco quem segmenta bis cum angulo recto includunt.

Si enim habemus datum numerum quadratum, ut 144, qui habet latus rationale AB rectam, et accipimus eius minus quadratum 100, cuius latus est 10, et supponimus AG 10, et duplicamus ipsam (quia bis fit rectangulum ex segmentis), et fiunt 20, et comparamus ad 44 reliquum, erit reliquorum 4 quadratum quod fit ex GB longitudine 2. Erat vero AG 10; tota igitur AB est 12 partium, quod demonstrare oportuit. Ut autem in non aliquo compraehenso in constructione in conspectu fiat dividicatio subtractionum partialium, faciemus demonstrationem in 4500 numero, cuius posuit latus partium 67 4′ 55′′. Ponat superficies quadrata ABGD potentia tantum rationalis, cuius quadratum sit partium 4500, unde oporteat latus tetragonicum quam proxime ratiocinari.

Quoniam igitur numerus quadrati 4500, qui rationale latus habet, est integrarum partium 4489 (ex latere 67), auferatur ab ABGD quadrato AZ quadratum partium 4489, cuius latus est partium 67. Erit reliquus gnomon BZD partium 11, quas si resolvimus in primas sexagesimas, 660 ponemus. Deinde, si duplicaveri veri] add. sup. lin. Mmus EZ (quia bis fit rectangulum ex EZ) quasique in directum lineae EZ linea ZH sumentes, dividemus primas sexagesimas 660 per 134 ex duplatione factas, et sexagesimis primis 4 ex divisione factis, habebimus utrumque latus ET HK. Et si impleverimus TZ ZK parallelogramma, habebimus ea 536 primarum sexagesimarum, aut unumquodque eorum 268. Post rursum, si reliquas 124 sexagesimas primas resolverimus in sexagesimas secundas 7440, et auferemus supplementum ZL 16 secundarum sexagesimarum, ut si addimus gnomonem priori quadrato HZ, habeamus AL quadratum ex latere 67° 4′, congregatum 7497° 56′ 16′′, et reliquum rursum BL LD gnomomem partium 2 3′ 44′′ (hoc est, 7424′′). Ulterius ergo, si rursum duplicaverimus TL lineam, quasi in directum lineae TL lineam LK, et per 134° 8′ 8′] add. sup. lin. M, diviserimus 7424′′ sexagesimas secundas, sexagesimis secundis 55′′ factis ex divisione proxime, habemus proxime unumquodque laterum TB KD. Et si compleverimus BL LD parallelogramma, habebimus et eadem sexagesimis secundis quidem 7377′′ et 20′′′; unumquodque autem secundis 3688′′ et 40′′′. Remanent vero et secundae sexagesimae 46′′ et 40′′′, quia quia] add. sup. lin. M quidem proxime constituunt LG quadratum ex latere 55′′, et habemus latus ABGD quadrati, quod est partium 45†…†67 4′ 55′′ proxime. Et universaliter: si quaesiverimus alicuius numeri tetragoni cum latus, accipiamus primo latus numeri quadrati prope; deinde latus ipsum duplamus, et per numerum provenientem dividimus reliquum numerum resolutum in primas sexagesimas; a numero ex divisione facto subtrahimus quadratum, et rursum resolvimus reliquas in sexagesimas secundas, et dividimus per duplum partium et sexagesimas. Habebimus numerum lateris superficiei quadratae quaesitum proxime.

Quoniam igitur demonstravit quantitates rectarum subtendentium circumferentias ductas (hoc est, eius quae subtendit XXXVI, et eius quae LXXII, et eius quae LX, et XC, et CXX, et CXLIIII, et insuper eius quae subtendit CVIII partes), ponit lemma omnino utile ad faciliorem declarationem scientiae reliquarum ab his, cuius propositio talis est: Si in circulum quadrilatera figura describatur, locus qui sub eius dragoniis lineis cum recto angulo includitur aequalis est eis qui a lateribus ipsuis oppositis cum angulis rectis includuntur. Et licet manifesta est in hoc ab eo posita demonstratio, habet tamen brevem aliquam instantiam, qua fecit ipsam demonstrationem tanquam in aequalibus existentibus angulis qui sub sectione diagonus lineae comprehenduntur. Ne autem hoc ipsum theorema relinquamus nos tanquam aequalibus existentibus ipsis angulis, demonstrationem restituemus. Sit enim circulus cui sit inscripta figura quadrilatera ABGD, coniectantur eius diagoniae lineae AG BD, et sit aequalis angulus ABD angulo GBD. Dico quod locus ab AG BD, inclusus cum recto angulo, aequalis est ambobus qui ab AB GD, et DA BG, cum rectis angulis includuntur. Quoniam enim angulus ABD aequalis est angulo GBD, est autem et angulus BDA angulo BGA aequalis est autem et angulus BDA angulo BGA aequalis] add. i. m. M (super eadem enim circumferentia consistunt), reliquus igitur angulus BAD reliquo BZG aequalis est. Aequiangulum igitur est ABD in angulum triangulo BZG. BZG] corr. ex BDG M

Sint ergo BD ad DA, sic BG ad GZ. Locus igitur qui a BD GZ, cum recto angulo includitur, aequalis est ei qui a DA BG, cum recto angulo includitur. Rursum, quoniam angulus ABD aequalis est angulo GBD, est vero et BAZ angulus aequalis angulo BDG. Manifestum igitur quod angulus BZA aequalis est angulo BGD. Sicut ergo si habet BD ad DG, sic BA ad AZ. Igitur locus qui includitur a BD AZ, cum angulo recto, aequalis est ei qui a DG BA. Demonstratum autem etiam est quod locus a BD GZ, inclusus aequalis est ei qui a DA BG, inclusus est. Igitur locus qui ab AG BD, includitur aequalis est ambobus, et ei qui ab AB DG, et ei qui ab AD BG. Postquam ergo tale lemma demonstratur, deinceps eo utitur in aliarum rectarum doctrina. Et iterum ponit semicirculum ABGD circa diametrum AD, et ducit ab extremitate diametri duas datas rectas lineas AB AG, et coniungens BG, inquit: Dico quod etiam haec data est.

Coniungit vero rursum BD et GD, et dicit: Quia in circulo est figura quadrilatera ABGD, locus igitur qui ab AB BD, enim recto angulo includitur aequalis est ambobus, et ei qui ab AB GD, et ei qui ab AD BG. Et quoniam datae sunt AB et AG, datae sunt ergo et BD GD, eo quod sunt reliquae ad dimidiatum circulum. Data etiam est AD diameter. Datae igitur sunt hae quinque: AB AG BD GD AD.

Et quoniam locus ab AG BD, inclusus aequalis est ambobus, et ei qui ab AB GD, et ei qui ab AD BG, et si a loco dato ab AG BD, incluso sub aufer, aufer] add. sup. lin. M trahamus locum qui sub AB GD, includitur, datum relinquetur etiam reliquus qui ab AD BG, includitur, datus. Sed data est AD; data igitur est BG recta. Et manifestum nobis est quod si dentur duae circumferentiae et rectae eas subtendentes, dabitur etiam recta subtendens excessum duarum circumferentiarum datarum. Patet vero quod per hoc theorema alias non paucas rectas inscribemus, et illam quidem quae subtendit circumferentiam XII partium, quoniam habemus eam quae subtendit LX et eam quae LXXII subtendit. Manifestum vero, inquit, quod per hoc lemmatium alias non paucas rectas in canonem inscribemus, et quidem rectas subtendentes excessus duarum datarum circumferentiarum, quarum rectae subtendentes ipsas datae sunt. Si enim rursum ab extremitate diametri ducimus rectam subtendentem circumferentiam partium XXXVI et partium LX, inveniemus etiam rectam subtendentem excessum earum, hoc est, rectam subtendentem circumferentiam XXIIII partium. Et rursum, si ducimus lineam subtendentem circumferentiam XXIIII partium et circumferentiam LXXII partium, invenimus invenimus] corr. ex etiam M rectam subtendentem earum excessum, XLVIII partium. Et rursum, si ducimus rectam subtendentem circumferentiam XLVIII partium et subtendentem circumferentiam XC partium, inveniemus rectam subtendentem circumferentiam XLII partium. Et hac ratione plures inveniemus, et quoque, ut dixit, etiam rectam subtendentem circumferentiam XII partium, cum habeamus subtendentem circumferentiam LX et subtendentem circumferentiam LXXII partium. Nam in eadem figura ponit rectam AB latus hexagoni esse partium 60 (qualium diameter 120), subtendentem vero circumferentiam LX partium (qualium circulis CCCLX), et rectam AG pentagoni latus esse partium 70 32′ 3′′, subtendentem vero circumferentiam ABG LXXII partium. Dico, inquit, quod etiam recta BG data est, subtendens circumferentiam XII partium, excessum videlicet LXXII partium ad LX partes. Quoniam enim in circulo quadrilatera est figura ABGD, locus igitur ab AG BD, diagoniis lineis inclusus aequalis est ambobus, et ei qui ab AB GD, et ei qui ab AD BG (hoc est, a lineis ex opposito). Et locus quidem sub lineis diagoniis inclusus, AG BD, est 7330 partium 7′ 34′′. Quia AG recta est partium 70 32′ 3′′ (subtendit enim circumferentiam LXXII partium), BD vero est 103 partium 55′ 23′′ (quia subtendit reliquas CXX partes partium LX ad dimidiatum circulum). Et fit locus ex 70 partibus 32′ 3′′, et ex 103° 55′ 23′′, ductarum, 7330 partium 7′ 34′′. Est vero et locus ab AB GD, 5824 partium 56′, eo quod recta AB est 60 partium, GD vero, subtendens GD circumferentiam, reliquum AG circumferentiae in dimidiatum circulum (partium CVIII) est partium 97 4′ 56′′. Et fit rursum locus ex 60 partibus et 97 partibus 4′ 56′′, partium 5824° 56′. Si itaque a 7330 partibus 7′ 34′′ (hoc est, a loco ex AG BD) subtrahamus 5824 partes 56′ (hoc est, locum ab AB GD, inclusum), relinquetur locus ab AD BG, inclusus, partium 1505 11′ 34′′. Sed diameter AD est 120 partium; reliqua igitur BG recta, subtendens circumferentiam XII partium, erit 12 partium 32′ 36′′, consequenti canonis expositione. Hoc prius demonstrato, deinceps ponit alterum theorema, in quo demonstrato quomodo, si aliqua circumferentia data fuerit et recta subtendens ipsam datur, recta subtendens dimidiam circumferentiae datae. Et ponit iterum semicirculum ABG super diametro AG, et aufertur circumferentiam BG datam et rectam subtendentem circumferentiam datam, et bifariam secat BG circumferentiam in puncto D; et coniuncta DG, demonstrat etiam hanc datum subtendentem dimidiam circunferentiae BG datae. Connectit enim lineas AB AD BD. Et ducit lineam perpendicularem a puncto D super lineam AG, quae est DZ, et aequalem ponit lineam AE lineae AB; et connexa DE, dico, inquit: Quod ZG est dimidia excessus lineae AG super lineam AB. Quasi perfecto hoc in eo ad facilitatem propositio demonstrationis.

Quoniam enim AB aequalis est AE, communis vero AD, sed et angulus BAD angulo DAG aequalis est (quia etiam GD circumferentia aequalis est DB circumferentiae), ergo basis BD recta basi DE aequalis est. Sed BD est aequalis lineae DG; ergo et ED aequalis est lineae DG. Triangulum igitur DEG est duorum aequalium crurium. Et quia in triangulo aequalium crurium a vertice ad basim perpendicularis linea DZ ducta est, aequalis est EZ lineae ZG; dimidia est igitur ZG lineae EG. Sed EG est excessus lineae AG super lineam AB; igitur ZG est dimidia earundem excessus. Et quoniam supposita est BG recta data, data vero et BA reliqua ei ad dimidiatum circulum (hoc est, AE linea), data vero et diametro AG, reliqua etiam EG data est. Quare etiam dimidia eius ZG data erit. Et quoniam rectus est angulus ADG in semicirculo existens, rectus vero etiam angulus DZG, et communis angulus AGD tum trianguli rectanguli ADG tum DZG trianguli, et reliquus igitur angulus DAG reliquo GDZ aequalis est. Aequiangula igitur sunt triangula ADG DZG. Ergo, sicut se habet AG ad GD, sic DG ad GZ. Igitur tres rectae, AG GD DZ, sunt in proportione. Igitur rectangulum comprehensum sub AG GZ, aequum est ei quod fit ex DE. Et quoniam AG data est, data vero et GZ datum, igitur quod sub AG GZ, quare et illud quod a DG fit, datum est, et ipsa GD longitudine data erit, quae subtendit dimidia circumferentiae BG datae. Et inquit: Et per hoc quoque theorema aliae plurimae rectae sumentur, et quae sequuntur. Quod vero AZ maior est linea AB (hoc est, quod a puncto A lineae AB aequali posita AE, punctum Z cadit inter E, G puncta), sic monstrabimus. Connectatur ZB. Et quoniam maior est GD linea DZ, aequalis vero GD lineae DB, maior itaque et BD linea DZ. Quare etiam angulus BZD maior est angulo DBZ. Et quoniam angulus ABD est in minori segmento quam semicirculo, maior est recto DZA. Inter quos minor angulus est DBZ angulo BZD, reliquus igitur angulus ABZ multo maior est angulo AZB. Quare et latus AZ latere AB (hoc est, AE) maior est. Invenitur autem ex computationibus recta subtendens unam et semissem partis, partium 1 34′ 15′′ proxime, talium qualium diameter est 120; subtendens vero semissem cum quadrante, earundem 0 partium 47′ 8′′ proxime. Hoc modo: sit enim per idem theorema, ex recta subtendente circumferentiam XII partium inventa, ut diximus, recta subtendens circumferentiam VI partium et recta subtendens circumferentiam III partium. Et sit recta subtendens circumferentiam III partium, ut in canone posita est, partium 3 8′ 28′′. Invenienda est nobis per computationes recta subtendens unam et semissem partis, quae sit, ut ipse posuit, 1 partis 34′ 15′′. Supponatur itaque circumferentia BGD III partium, et recta subtendens ipsam 3° 8′ 28′′. Erit igitur AB recta subtendens reliquas CLXXVII partes ad dimidiatum circulum, sumpta ut expositio canonis comprehendit, 119° 57′ 32′′ (hoc est, recta AE), et reliqua rursus EG erit 0 partis 2′ 28′′. Et vero eius dimidia est 0 partis 1′ 14′′. Est vero AG diameter 120 partium. Locus igitur sub AG GZ, hac est qui sub DG congregabitur, partium 2 28′. Igitur DG erit longitudine 1 partis 34′ 15′′, inventa secundum priorem methodum. Ita si descripsero superficiem quadratam, minus quadratum ex ea aufero, cuius latus est 1 partis, et quadratum similiter unius partis.

Hic enim numerus est proxime minor quadrato numero cuius quaeritur latus quadratam, et aufero partem ex 2 partibus et 28′. Reliquam partem resolvo in 60 sexagesimas primas, quibus etiam addo 28′; fiunt pariter 88′, quas divido per duplum unius partis (hoc est, per 2 partes). Et fit divisio per 34′, quia quia] corr. ex quis M bis sumptae fiunt 68′, quibus ablatis ex 88′, relinquuntur sexagesimae primae 20′, quas resolvo in secundas sexagesimas, et fiunt 1200′′. Ab his subtraho quadratum ex 34′ primis sexagesimas secundarum sexagesimas, 1156′′ factum, et relinquuntur sexagesimae secundae 44′′, quas rursum divido per duplum 1 partis et 32′ sexagesimarum primarum (hoc est, per 3 partes, 8′ sexagesimas primas), et fit divisio per 15′′ proxime. Et inventa est a me recta subtendens circumferentiam unius partis et semissis, partium 1 34′ 15′′ proxime. Et similiter, hac eadem rationem, inveniemus rectam subtendentem semissem cum quadrante, 0 partis 47′ 8′′ proxime, sic: auferatur enim rursum circumferentia BGD 1 partium et semissis, et connectatur BG recta, quae demonstrata est 1° 34′ 15′′. Si enim a numero quadrato 14400 ex diametro aufero quadratum ex BG congregatum, 2° 28′ 3′′, erit reliquus numerus quadratus ex AB, 14397° 34′ 57′′ (hoc est, quadratus ex AE). Erit autem haec longitudine 119° 59′ 22′′ 59′′′. Reliqua igitur EG, 0° 0′ 37′′ 1′′′; dimidia vero ipsius ZG, 0° 0′ 18′′ 30′′′ 30′′′′. Locus igitur ab AG GZ (hoc est, a DG) est sexagesimae secundae 2070′′ 1′′′. Longitudine autem erit DG dictarum 0° 47′ 7′′ 39′′′, quas ipsa dixit, tertium theorema κατὰ σύνθεσιν, tertium theorema κατὰ σύνθεσιν] add. i. m. M 0° 47′ 8′′ proxime. Deinceps vero, rursum ponit aliud theorema, quo perficit compositionem earum in canone, quod vocatur per compositionem, in quo demonstrat quod, si duae circumferentiae datae fuerint et rectae subtendentes ipsas, et recta subtendens utrasque simul circunferentias, dabitur. Habet quidem proprietatem quandam conversionis ad id ante sese, non autem universaliter. Ibi enim sumit circumferentiam datam et rectam quae eam subtendit, et secta circumferentia bifariam, demonstravit subtendentem semissem totius circumferentia. Hic vero sumit particulares circumferentias et rectas subtendentes ipsas, et demonstrat rectam subtendentem totam circumferentiam. Discrepat itaque a conversione, quia sumit inaequales circumferentias, videlicet, et rectas in hoc. Ponit itaque rursum circulum ABGD circa diametrum AD, cuius centrum Z, et aufert ab extremitate diametri ad punctum A duas ergo casuales circumferentias AB BG, datas, utrasque simul minores semicircirculo, quarum et rectas subtendentes datae sunt. Dico sane, inquit, quod etiam recta subtendens utrasque simul circumferentias (hoc est, AG) data est.

Ducit eum a puncto B diametrum BZE, et connexis lineis BD DE GE GD, consequenter dicit: Data est AB, et reliqua BD data est. Data vero est etiam BG; ergo etiam GE data est, propterea quod ea quod] add. sup. lin. M reliquum est circa BE etiam diametrum ad dimidiatum circulum. Et quoniam in circulo quadrilatera figura est GBDE, et in ea ductae sunt duae lineae diagoniae BD GE, datae, datus est locus sub BD GE, comprehensus. Datus vero etiam locus sub BG DE, et reliquus igitur sub BE GD, datus est. Et data diameter BE, etiam reliqua GD data. Vero etiam diameter AD, et AG igitur data est, quia reliqua est ad dimidiatum circulum. Dico sane quod, si utraque simul circumferentia AB et BG maior fuerit semicirculo, dabitur recta AG. Sicut in hac figura, ducta BZD diametro et connexis AD DG, quoniam BG data est, data etiam est GD. Et similiter, data BA, data est etiam AD.

Et quoniam in circulo figura est quatuor laterum BADG, datus vero est locus sub BD AG, et data est BD diameter; data igitur est etiam DG. Quare, universaliter: si quaedam circumferentiae sic datae fuerint et rectae subtendentes ipsas, etiam rectae utrasque simul circumferentias subtendens dabitur per hoc theorema. Perspicuum est autem quod semper si coniungimus cum praeductis lineis omnibus et quae sequuntur. Perspicuum, inquit, sicut cum habemus ex theoremate τῆς διχοτομίας rectam subtendentem sesquipartem et subtendentem III partes. Si post rectam subtendentem III partes inscripserimus subtendentem sesquipartem, ordine proposito theoremate computamus rectam subtendentem coniunctas in unum circumferentias (hoc est, subtendentem IIII½), inveniemus, et insuper rectam subtendentem CLXXV½. Habemus vero etiam eam quae subtendit circumferentiam VI partium et dimidiatione XII partium. Per hanc vero et illam quae subtendit CLXXIIII, habebimus rursum rectam subtendentem eas per compositionem (hoc est, eam quae subtendit VII½) et insuper rursum subtendentem CLXXII½. Et similiter, cum habeamus subtendentem VII½ et coniungimus subtendentem sesquipartem, inveniemus subtendentem IX partes et similiter subtendentem CLXXI. Et ordine consequenter coniungimus semper praedictis subtendentem sesquipartem, inveniemus subtensas per incrementa continua sesquipartis. Omnes simpliciter inscribemus, quaecunque duplicatae tertiam partem constituent. Inscribemus non in circulum rectas, dixit, sed circumferentias in canonem, quod etiam ex doctrina rectarum perspicuum est. Non enim ipsae duplicatae tertiam partem constituunt, sed circumferentiae per incrementa sesquipartis. Inscripsit vero ipsas in canonem cum rectis subtendentibus eas. Quod vero dixit, duplicatae tertiam partem constituent, communi quadam et una appellatione vult declarare omnes circumferentias iuxta incrementa ses s] add. sup. lin. Mquipartis, quarum etiam rectas eodem modo dicto sumpsit. Hac est usus. Hae enim solae omnes duplicatae tertiam partem constituunt, non divisa unitate, ut tres cum cum] add. sup. lin. M duplicantur et constituunt sexagesimam tertiam partem (hoc est, 2 efficiunt). Et similiter, IIII½ duplicatae fiunt IX, quae constituunt tertium partem III, et ordine consequenter. Et eae quae prius a nobis inventae et dictae sunt, usque in semicirculum, sunt iuxta incrementa sesquipartis. Si enim enim] enim enim M rectae subtendentes sesquipartem duplicatae fuerint, tertiam partem constituunt, ut subtendens XXXVI, et LX, et LXXII, et XC, et CVIII, et CXX, et CXLIIII, et insuper quae ex dimidiatione proveniunt, et reliquae. Propterea etiam dicit: Si coniungimus semper cum omnibus praedictis subtendentem sesquipartem et coniunctas computamus, omnes simpliciter inscribemus quae duplicatae tertiam partem constituent, et erunt residuae solae quae sunt intra spatia crescentium per sesquipartem, duae in singulis, quia per semissem partis incrementa in inscriptione facimus. Videtur, post demonstrata latera decagoni, hexagoni, et pentagoni, ex his longius demonstrare tetragoni et trigoni et reliqua in semicirculo, sive etiam per excessum sive per dimidiationem, non pauca esse, ut ipse dicit. Sufficiebat enim, per excessum lateris pentagoni et hexagoni, inventa inventa] corr. ex inventam M esse esse del. M subtendente subtendente] corr. ex subtendentem M circumferentiam XII partium, et per dimidiationem, subtendente subtendente] corr. ex subtendentem M sesquipartem; per compositionem huius, omnes iuxta incrementa ipsius usque ad CLXXX deprehendere. Demonstravit autem has modo prius demonstrato, magis utens divisione, quia expeditius hac ratione accipiuntur quam ex theoremate per compositionem. Quoniam igitur omnes rectae subtensae ab eo tractatae sunt per incrementa sesquipartis, vult vero in canone ponere, sicut superius declaratur, incrementa per semissem partis. Necessario, inquit, erit media spatia intra singulas sesquipartes in singulis duo spatia. Ut, quoniam invenit subtendentem sesquipartem et insuper subtendentem III partes, quaeruntur ab eo reliquae: subtendens II partes et subtendens II½. Et rursum similiter, quia invenit subtendentem III partes et subtendentem IIII½, quaeruntur ab eo rursum media spatia, hoc est, subtendens III½ et subtendens IIII. Et deinceps rursum consequenter. Quare, si invenerimus rectam subtendentem semissem partis, haec, tum per compositionem tum per excessum qui est ad rectas datas et comprehendentes intervalla et residuas omnes intermedias, nobis complebit. Inquit quod si invenerimus rectam subtendentem semissem partis, hanc, partim quidem si sumimus cum subtendente sesquipartem per theorema κατὰ σύνθεσιν, inveniemus rectam subtendentem circumferentiam II partium; partim vero utimur theoremate τῆς ὑπεροχῆς, ut si quaerimus semissem tertiae partis, inveniemus subtendentem II½ partium. Haec enim est excessus earum. Et ordine consequenter, si si] add. sup. lin. M sumimus datas rectas ab utraque parte quaesitorum spatiorum intermediorum, ut ibi auferamus auferamos] corr. in aueperamus M subtendentem sesquipartem et III partes ad demonstrandas subtensas II et II½ partium, complebimus universum canonem. Quoniam vero data aliqua recta, ut subtendente sesquipartem, recta subtendens tertiam partem istius circumferentiae per linearem demonstrationem non datur (si enim possibile esset, haberemus etiam subtendentem semissem pontis). Quoniam, inquit, data recta subtendente sesquipartem, non inveni per linearem demonstrationem subtendentem tertiam partem eiusdem circumferentiae, quemadmodum accepit subtendentem semissem circumferentiae datae. Si enim possibile esset hoc inquirere, inde haberet etiam subtendentem semissem partis, et facile per dictam compositionem aut etiam excessum complevisset canonem. Sed quia hoc est impossibile proxime per rectam subtendentem sesquipartem et subtendentem dodrantem demonstrat subtendentem circumferentiam unius partis, ut ordine per usum theorematis κατὰ διχοτομίας habeat subtendentem semissem partis. Sed quia haec eius demonstratio non universaliter indifferentem retinet doctrinam, attamen in minimis sic sumpsit ad inventionem unius partis, ut in subtensa dodrantis et sesquipartis indifferentem fere retinet demonstrationem. Ideo, inchoaturus demonstrationem, ponit prius lemmation sufficiens ad hanc demonstrationem, cuius haec est propositio: lemma] add. i. m. M Si in circulo ducantur duae rectae lineae inaequales, maior ad minorem minorem habet rationem quam circumferentia quam subtendit maior ad circumferentiam quam subtendit minor.

Et ponit circulum circulum] corr. ex circumferentiam M ABGD, et in eo ducit duas lineas inaequales, minorem quidem AB, maiorem vero BG, et bifariam secat angulum ABG recta BD. Et connexis lineis AEG, AD, et DG, ulterius dicit: Quoniam angulus ABG bifariam sectus est a linea BD, aequalis quidem est linea AD lineae DG (quia etiam circumferentia AD circumferentiae DG aequalis est, eo quod anguli ad B sunt aequales), maior vero est linea GE quam EA (quia rursum AD aequalis est DG, et linea DE communis est, et angulus BDG maior angulo BDA, quia etiam BG circumferentia maior est circumferentia BA).

Quare etiam basis GE basi EA maior est. Ducit autem rursum perpendicularem lineam AD super lineam AG, quae est DZ, et manifestum est quod cadit in lineam EG, eo quod AD aequalis est DG G G] corr. ex D ME vero maior quam EA. Et quoniam AD maior est quam DE (maiorem enim subtendit angulum), per eadem, maior est ED quam EZ. Centro igitur D, intervallo vero DE, circulus descriptus lineam AD secat, lineam DZ vero superat, et describit arcum HET, et producit DZ ad T. Quoniam igitur DEZ trigonus minor est sectore DET, trigonus vero DEA maior est sectore DEH, igitur trigonus DEZ ad DET sectorem minorem habet rationem quam trigonus DEA ad DEH sectorem. Unissime ergo, trigonus DEZ maiorem habet rationem ad DEA trigonum quam DET sector ad sectorem DEH. Sed sicut trigonus DEZ ad DEA trigonum, sic recta ZE ad EA. Sicut vero sector DET ad DEH sectorem, sic angulus ZDE ad EDA angulum. Igitur recta ZE ad rectam EA minorem habet rationem quam ZDE angulus ad EDA angulum. Componendo Componendo] corr. ex Coniungendo M igitur, recta ZA ad AE minorem habet rationem quam angulus ZDA ad angulum ADE, et antecedentium dupla, recta GA ad AE minorem habet rationem quam GDA angulus ad angulum ADE. Et dividendo, recta GE ad AE minorem habet rationem quam angulus GDE ad EDA. Sed sicut GE ad EA, sic recta GB ad rectam BA, ut demonstratum est in tertio theoremate 6 Elementorum: Si trianguli in duas partes aequales sectus fuerit angulus, segmenta basis eandem rationem habent quam reliqua latera trianguli. Sicut vero angulus GDB ad angulum BDA, sic BG circumferentia ad BA circumferentiam. Igitur recta BG ad rectam BA minorem habet rationem quam circumferentia GB ad circumferentiam BA. Quod vero in aequalibus circulis sectores sic se habent ad invicem sicut anguli super quos constituunt, demonstratum est a nobis in editione Elementorum ad finem sexti libri.

Igitur, postquam hoc lemmation posuit, venit ad inventionem subtensae unius partis de circumferentia, et ponit circulum, et in eum duas inaequales rectas ducit, scilicet AB, subtendentem circumferentiae circumferentiae] corr. ex circumferentiam M dodrantis, dodrantis] corr. ex dodrantem M et AG, subtendentem unam partem. Utitur vero lemmate praesumpto. Est inquit: Quoniam recta AG ad rectam AB minorem habet rationem quam AG circumferentia ad AB circumferentiam. Sed circumferentia AG sesquitertia est AB circumferentiae. Nam una pars habet in se dodrantem et tertiam partem eius. Igitur recta AG ad AB minor est quam sesquitertia. Sed recta AB subtendens circumferentiae dodrantem demonstrata est superius 0° 47′ 8′′ qualium diameter est 120; igitur recta GA minor est 1° 2′ 50′′; hae enim sunt sesquitertia proxime 0° 47′ 8′′. Quare, iuxta hanc rationis comparationem, demonstrata est recta subtendens circumferentiam unius partis minor 1° 2′ 50′′ qualium diameter 120. Rursum, in eadem figura, AB recta supponatur circumferentiae unius partis, AG vero I½; per eadem enim quoniam circumferentia AG ἡμιόλιος est circumferentiae AB, quia sesqui pars habet in se partem et eius semissem; igitur GH recta minor est BA quam ἡμιόλιος. Sed paulo ante, cum comportavimus rectam subtendentem sesquipartem circumferentiae, demonstravimus 1° 34′ 15′′ qualium diameter 120; igitur AG recta maior est 1° 2′ 50′′, quia AG quae est 1° 34′ 15′′ ἡμιόλιος est 1° 2′ 50′′. Ratio vero eius ad rectam AB demonstrata est minor hemiolio; ut autem talium existens minorem hemiolio rationem habeat ad AB, necesse est crescent AB et fieri maiorem 1° 2′ 50′′. Quare, per eadem demonstrata est maior et minor; erit igitur recta subtendens unam partem ex huiusmodi computationibus a nobis inventa 1° 2′ 50′′ proxime qualium diameter 120. Et quoniam perturbatur quomodo huiusmodi demonstratio eandem magnitudinem maiorem et minorem demonstrat, quamque si quis consequenter inducens dicat quod est absurdum, demonstrabimus hanc demonstrationem non esse perturbatam. Sit enim rursum in eadem figura circumferentia AB dodrantis partis, AG vero unius partis. Quoniam itaque rursum recta AG ad AB minorem habet rationem quam circumferentia AG (sesquitertia enim est circumferentiae AB), igitur AG recta minor est AB quam sesquitertia. Sed recta AB demonstrata est 0° 47′ 8′′ qualium diameter 120; igitur GA recta subtendens circumferentiam unius partis minor est 1° 2′ 50′′ 40′′′; haec enim exacte sesquitertia sunt 0° 47′ 8′′. Rursum, recta AB subtendat circumferentiam unius partis, AG vero sesquipartem; et pariter quoniam recta AG ad AB minorem habet rationem quam circumferentia AG ad AB (ἡμιόλιος vero est AG circumferentia circumferentiae AB), igitur AG recta minor est recta AB quam ἡμιόλιος. Verum, quia AG recta demonstrata est 1° 34′ 15′′, igitur AG recta subtendens rursum circumferentiam unius partis maior est 1° 2′ 50′′; harum enim ἡμιόλια sunt 1° 34′ 15′′. Quare, AG recta subtendens, ut diximus, circumferentiam unius partis minor quidem demonstrata est quam 1° 2′ 50′′ 40′′′, maior vero quam 1° 2′ 50′′; et videlicet minore minore] corr. ex maioris M quidem maior est, maiore vero minor, et non eadem, et apparet nihil esse absurdi in prius dicta. Sed quoniam minor est 1° 2′ 50′′ 40′′′, maior vero 1° 2′ 50′′, potest autem esse 1° 2′ 50′′ et 3′′′ sexagesimarum tertiarum, ut proxime magit sit 1° 2′ 50′′ 40′′′ et non, ut ipse dixit, 1° 2′ 50′′, demonstrabimus exactius computantes quod tertiarum sexagesimarum multo pauciores sunt quam 30′′′; et recte convenit id quod dictum est, quia 1° 2′ 50′′ est proxime. Quoniam enim in prioribus demonstravimus, rectam subtendentem dodrantem unius partis 0° 47′ 7′′ 39′′; et harum sesquitertia sunt 1° 2′ 50′′ 12′′′; erit igitur per ducta recta subtendens unam partem minor 1° 2′ 50′′ 12′′′. Demonstrata est autem etiam maior 1° 2′ 50′′, et erit discrimen 12 tertiarum sexagesimarum, quae sunt pauciores multo quam 30, et nihil absurdi huiusmodi demonstrationem sequitur. Postquam igitur crassiore calculo demonstratur, quia non etiam in maioribus procedit, ad demonstrationem sicut ipse inquit in lemmatio, quod etsi non universaliter potest quantitates definire, quemadmodum hoc ordine demonstramus unam partem subtendentem 1° 2′ 50′′ proxime. Ordine theoremate dimidiationis prius demonstrato usus (hoc est, sumpsit circumferentiam unius partis inscripta recta subtendente ipsam), sequutus demonstrationem theorematis, invenit rectam subtendentem semissem eiusdem circumferentiae (hoc est, subtensam semissis partis), crassius videlicet usus recta subtensa unius partis, quae ex crassioribus, ut diximus, computationibus est desumpta, quae sunt positae ab eo 0° 31′ 25′′ proxime. Postquam itaque dicto modo per dimidiationem invenit subtendentem semissem partis, consequenter dictis ab eo paulo ante utitur, quia si habemus subtensam semissis, haec, tum per compositionem tum per excessum qui ad rectas datas et comprehendentes intervalla et reliquas omnes intermedias, nobis complebit. Deinceps, per semissem partis reliqua intermedia spatia complevit, quae fiunt per incrementa partis et semissis, quemadmodum in primo intervallo, exempli gratia, primae semissis partis ad tres, sequutus est theorema tum per compositionem tum per excessum. Ponit enim semicirculum et ordine sumit duas circumferentias, tum sesquipartis tum semissis partis, et coniunxit rectas datas subtendentes illas circumferentias, usus theoremate per compositionem, invenit recta utraque simul circumferentias in unum subtendentem (hoc est, subtendentem duas partes). Deinde etiam, ab extremitate diametri sumit circumferentiam semissis et circumferentiam trium partium, et rursum coniungit rectas sub illis datas, usus theoremate per excessum, invenit subtensam circumferentiae duarum partium. Haec enim est earum excessus, et erunt completa duo intermedia spatia se sesquipartis et trium partium. Consequenter etiam, ordine ratiocinatus est rectas subtendentes singula sesquipartis intervalla, usus his duobus lemmatis, tum per compositionem tum per excessum, usque ad quadrantem XC partium, eo quod confestim etiam dantur reliquae in semicirculo. Et in nobis hoc modo completa expositio rectarum in circulo linearum. His itaque sic habitis, quae vel aliquis quare aliqua ex parte usus theoremate per compositionem, aliqua vero per excessum, inventionem quaesitionem duarum rectarum secundum quodque spacium fecerit, et non omnia aut per theorema compositionis aut excessus (possibile enim erat complere ex positionem canonis quocunque horum sit usus). Dicimus itaque quod, volens illas iuxta incrementa sesquipartis ex utraque parte quaesitorum duorum intermediorum spaciorum ex acto ab eo per lineares demonstrationes rectus prime positas sumere ad computationem duorum intermediorum spaciorum, his duobus theorematis coniunctim usus est. Propterea dixit: Si invenerimus subtendentem semissem partis, haec, tum per compositionem tum per excessum, qui ad rectas datas et comprehendentes intervalla et reliquas inter medias omnes, nobis complebit. Solo enim theoremate per compositionem usus, invenit alterum intermedium spatium inter duas. Ibi vero sumpsit theorema per excessum per duas rectus crasse inventas, quantitatis inventionem faciens. Ut autem manifestum nobis fiat quod dictum est, ponutur semicirculus ABGD circa diametrum AD, et sint sumptae duae circumferentiae AB et AG, et sit AB sesquipartis, AG vero sit trium partium, et connectantur rectae AB AG, quae quidem datae et ex linearibus demonstrationibus, et sint tria intervalla inter haec duo iuxta E et Z.

Si igitur, inscripta recta subtendente semissem, ut recta BE, et connexa AE, ratiocinemur ordine per theorema compositionis, inveniemus crassius aliquomodo rectam AE (quia BE crasse sumpta usi sumus) subtendentem circumferentiam ABE duarum partium, et manifestum est quo ad huius inventionem sumpsimus rectam AB exacte per lineares demonstrationes inventam. Si utraque utraque] corr. ex ordine M coniunxerimus EZ, et usi fuerimus theoremate per compositionem ad inventionem subtendentis circumferentiam AEZ II½ partium et rectam AZ, erit nobis computatio ex rectis AE EZ, nulla earum exacte per lineas demonstrata, sed utraque ex crassioribus computationibus sumpta. Propterea ergo, sicut diximus, ut iuxta quamque inventionem accipiat exacte sumptam ab eo per lineares demonstrationes, usus est in hoc libro theoremate per excessum linearum inter duo intermedia spatia. Inscripsit enim rectam AH subtendentem semissem partis, et coniuncta recta HG, invenit rectam subtendentem circumferentiam HBG II½ partium, usus videlicet ad huius inventionem recta AG exacte data per lineares demonstrationes. Quare, propter hoc, usus est duobus hisce theorematis ad inventionem quaesitarum inter singulas sesquipartes secundum quodque intervallum ad impletionem canonis. Quod vero non ex solo theoremate per excessum potest duo intermedia spatia complere, sumptis rectis datis per lineares demonstrationes, sed etiam ad hoc in in] add. sup. lin. Mordinate sumit rectas quod perfecta quaesitorum intermediorum spatiorum necessario prima sumit, sic quidem cognoscemus. Sit enim rursum semicirculus ABGD, et AB recta data per lineares demonstrationes subtendat circumferentiam AB sesquipartis; AG vero recta, et ipsa data per lineares demonstrationes, subtendat circumferentiam ABG III partium, et sint duo intermedia spatia quaesita comprehensa ab E et Z: E quidem ad duas partes, Z vero ad II½.

Quoniam quidem si ab A fuerit sumpta recta subtendens circumferentiam semissis, ut recta AH, recta subtendens circumferentiam HBZ quae est II partium, non data est, eo quod AZ recta subtendens II½ non data est. Manifestum quod vero subtendens circumferentiam HBEG II½ partium data est (hoc est, HG; hoc est, AZ), quia AG recta data est per lineares demonstrationes, perspicuum est. Ulterius vero, rursum si habemus rectam AH subtendentem semissem partis et rectam AZ subtendentem II½, inveniemus etiam eam quae subtendit circumferentiam II partium, rectam se HZ, eodem utentes theoremate. Et perspicuum est quod hic rectam AH et AZ sumpsimus ad demonstrationem, quarum nulla per lineas demonstrata est, sed utraque ex crassioribus computationibus sumpta. Et manifestum est quod inordinata a nobis media est doctrina rectarum, quia prima subtendens circumferentiam II½ demonstrata, deinde verum subtendens circumferentiam II partium. Non igitur volvit semisse nec triente circumferentiae incrementum canonis facere, aut quia nequaquam quantitates rectarum minorum proportionaliter sumendo assequi potest, aut etiam quia per difficultatem calculi hoc ei apparet. Igitur, doctrina rectarum in circulo linearum hoc modo facillime tractata est. Verum, ut sicut paulo ante indicatum est, quantitates rectarum et circumferentiarum ad quemcumque usum in promptu habeamus, canonis fabricam earum posuit, ut in promptu quantitates earum habeamus computatas, et non in linearibus demonstrationibus haereamus. Fecit autem canonem quadragenorum quinorum versum propter commoditatem sequentem in apparentibus motibus Solis et Lunae et reliquarum stellarum. Posuit autem tres ordines. In primo ordine posuit circumferentias per semissem partis crescentes, qualium circulus est CCCLX. In secunda, quantitates rectarum respondentes circumferentiis, qualium diameter 120. In tertio vero, tricesimam partem excessus subtensarum circumferentiis crescentibus per semissem. Sumpsit autem tricesimam excessus rectarum, non tanquam tricesimae ipsius tricesimam semissis subtendentis (neque enim excessus rectarum quae sunt inaequales subtendunt semisses quae sunt aequales), sed quasi proportionali incremento circumferentiae et rectae augmentatae. Ut autem id quod dictum est in figura appareat, ponatur semicirculus ABGD super diametro AD, et sint ab extremitate diametri ductae duae rectae qualiter cunque AB AG, sitque BG semisis, et ponatur lineae AB aequalis AE.

Non igitur hoc sumit, quod recta EG circumferentiam BG subtendat, sed quia in quo AB circumferentia circumferentiae BG aurescit et recta AB (hoc est, AE) lineae EG sumit, etiam etiam] corr. ex †…† M in quo circumferentia AB, exempli causa, vertice parti linea linea del. M BG circumferentiae auretur et linea AE tertiae parti lineae EG. Similiter etiam, in quo circumferentia AB tricesimae parti BG circumferentiae, sic etiam AE tricesimae parti EG. Propterea etiam inquit, ut habentes primae sexagesimae partem proportionalem mediam non notabiliter discrepantem a praecipione. Posuit autem tertium ordinem sexagesimarum, ut facile sumere possimus rectas subtendentes et incrementa intermediorum spatiorum inter semissem partis. Ut incrementa inter V partes et V½, quasi 5 partes, exempli causa, et 10 sexagesimas. Si enim decies sumimus respondentes V partibus, vix tertium ordinem et subjectae quantitati rectae addimus iuxta secundum ordinem, habebimus rectam subtendentem V partes et X sexagesimas. Similiter etiam in reliquis incrementis intermediis, vix semissem partis, quorum inquisitionem ordine in numeris in constructione canonis comprehensis faciemus. Facile vero intelligi poterit quod, per eadem et theoremata superiora, etiam si aliquis error inscribendo circa aliquam rectarum in canone comprehensarum et reliqua. Manifestum, inquit, quod si incerti sumus de aliqua rectarum in canone comprehensarum, quasi non debuerit posita esse, confestim quomodo inquiri et emendari possit faciemus, scilicet: vel si subtensam dupli circumferentiae istius accipimus, aut aliquas habentes hunc excessum, vicissim, aut residuam ipsius in semicirculo. Sit enim nobis inquirenda subtensa X partium circumferentiae. Accipimus subtensam dupli eius (hoc est, XX partium) et ponimus circulum, et sumimus hanc ipsam circumferentiam, et coniungimus rectam subtensam et ipsam datam. Utentes theoremate dimidiationis, inveniemus subtensam semissis eius (hoc est, X partium). Aut etiam alio modo: si ponimus ponimus] corr. ex punimus M circumferentias aliquas quarum excessus est X partium (ut subtensam XX partium et XXX), si rem habemus rectas sub ipsis et rursum usi fuerimus theoremate excessus, inveniemus subtensam X partium. Insuper vero etiam sic: si accipimus residuas X partium in semicirculo (CLXX) et facimus quadratum ex ea, habemus etiam quadratum diametri, quod est aequale ei quod ex subtensa CLXX et ei quod ex subtensa X partium reliquarum (quia in semicirculo fit angulus rectus qui ab illis includitur). Si subtrahimus a quadrato quod fit ex diametro quadratum quod fit a linea subtendente CLXX et sumimus latus quadratum reliquorum, habebimus subtensam X partium circumferentiae. Et est extensio canonis huiusmodi. Cum exposita sit hactenus doctrina rectarum in circulo, duximus haec quoque adiungenda esse: quod minorum rectarum quantitates maioribus differentiis crescunt, †…†im incrementa circumferentiarum continue sunt aequalia; item quod rectae quae subtendunt circumferentias minores LX partibus numero sunt maiores circumferentiis quibus subtenduntur, quae vero post LX partes minores existunt; item quomodo data aliqua circumferentia quae cadit inter incrementa semissis, recta quae subtendit ipsam sumitur, et e converso, quomodo data aliqua recta quae cadit inter subtensas, circumferentia illi respondens datur. Demonstrabimus vero primo lineariter quomodo rectarum minorum quantitates maioribus differentiis crescant, si scilicet incrementa circumferentiarum sunt aequalia. Sit enim semicirculus ABC, et sit anuli a circumferentia AB, verbi gratia, X partium, circumferentia vero AD X½, AE vero XI partium. Et connectantur rectae sub ipsis, videlicet AB AD, et AE, et ponatur rectae AB aequalis recta AZ, rectae vero AD aequalis recta AH. Dico quod excessus rectae AD ad AB (hoc est, recta ZD) maior est quam excessus rectas AE ad AD (hoc est, HE). Ponatur enim rectae AB aequalis AT, connectantur rectae BD DE DH DT.

Quoniam enim recta AB aequalis est recta AT, communis vero AD, duae BA AD, duabus TA AD, aequales sunt, et angulus BAD angulo EAD est aequalis et angulus BAD angulo EAD est aequalis] add. i. m. M (quia circumferentia BD aequalis est circumferentiae DE). Igitur basis BD basi et aequalis est. Sed et BD aequalis est DE rectae; igitur etiam DE est aequalis rectae DT. sed et BD aequalis est DE, rectae igitur etiam DE est aequalis rectae DT] add. i. m. M Ideoque, triangulum DET est aequalium crurium, et anguli ad T T] corr. ex D M et E sunt acuti. Et quoniam recta AD aequalis est rectae AH, quarum AZ recta est aequalis rectae AT, reliqua igitur DZ reliquae TH est aequalis. Rursum, quoniam recta AD est aequalis rectae AH, angulus igitur sub ADH est aequalis angulo sub AHD; uterque igitur est acutus. Et quoniam angulus sub AHD acutus est, sed et angulus ad T, igitur recta a signo D ad rectam TE perpendiculariter ducta est est del. M inter puncta T et H cadet. Sit DK. Et quoniam in triangulo aequalium crurium DTE a vertice ad basim perpendicularis ducta est, secat basim per aequalia. Aequalis igitur est recta TK rectae KE. Maior igitur est TM (hoc est, ZD) quam HE. Et est ZD quidem excessus rectae AD ad AB, recta vero HE excessus est rectae AE ad AD. Igitur minorum rectarum excessus maiores sunt circumferentiis continue aequaliter crescentibus. Demonstrabimus etiam quod rectae quae subtendunt circumferentias maiores LX partibus numero sunt maiores quam circumferentiae earum, quae vero maiores circumferentias minores. Si hoc ipsum manifestum est ex theoremate ab ipso prius demonstrato. Sit enim circulus ABGD, et in eo sint ductae duae rectae, scilicet AB, quae subtendat circumferentiam XXX partium, AG vero subtendat circumferentiam LX partium. Et quoniam recta AG ad rectam AB minorem habet rationem quam circumferentia AG ad circumferentiam AB, circumferentia vero ABG dupla est circumferentiae AB. Igitur recta AG maior est quam dupla rectae AB, et recta HG est 60 partium. Igitur AB recta maior est quam 30 partium.

Quare, recta AB numero maior est quam ipsius circumferentia quam subtendit, quae est minor LX partibus. Rursum, sit ducta AD quae subtendat circumferentiam CXX partium, et quoniam recta AD ad rectam AG minorem rationem habet quam circumferentia AD ad circumferentiam AG, circumferentia autem AGD dupla est circumferentiae ABG. Igitur recta AD minor est quam dupla rectae AG. Sed recta AG est 60 partium; igitur AD recta minor est quam 120 partium, circumferentia existente partium CXX. Licet vero et hoc eodem modo colligere quod, cum rectae et maiores inventae sint numero circumferentiis quas subtendunt et minores, convenienter sit reperta etiam media aequinumera, quae sit aequi in aequalium, hoc est, quae sit partium 60. Quod vero hoc propositum theorema non determinat quantitates rectarum quae subtendunt maiores circumferentias, sicut ex subtensa semissi cum dodrante et ex subtensa sesquiparti venatus est subtensam cum parti proxime, ostendemus hoc modo. Supponatur enim rursum AB circumferentia XXX partium, et recta sub ipsam data 31° 3′ 30′′; circumferentia vero ABD partium CXX, et recta sub ipsam 103° 55′ 23′′, ex quibus sit investiganda subtensa partibus LX, ut recta AG. Quoniam igitur circumferentia AG est dupla circumferentiae AB, ideo recta AG minor est quam dupla rectae AB. Et est quidem AB 31° 3′ 30′′; igitur recta AG minor est quam 62° 7′. Rursum, per eadem, recta AD minor est quam dupla rectae AG, et AD est 103° 55′ 23′′. Igitur AG recta est maior 51° 57′ 42′′ proxime. Demonstrata est autem etiam minor 62° 7′. Manifestum itaque est quod non liceat proxime determinare quantitatem ipsius, quia differentia est 10 partium et 10′ sexagesimas proxime. Hoc demonstrare reliquum sit. Ulterius ostendere quomodo data aliqua circumferentia quae cadit inter spatia semissis, etiam recta sub ipsam confestim proxime dabitur. Et e converso, quomodo data aliqua recta quae cadit inter ea quae in canone sunt exposita, etiam circumferentia quam subtendit similiter dabitur. Libeat sane, data circumferentia X partium, XV′ sexagesimas, recta sub ipsam invenire, describit proxime minorem circumferentiam X partium, et rectam sub ipsam 10° 23′ 32′′, et insuper proxime maiorem circumferentiam X partium, XXX′, et rectam sub ipsam 20° 58′ 42′′; mediam vero datam circumferentiam X partium et XV′, ut subscriptum est: The following table appears in the margin M

Et quoniam iuxta regulare incrementum proportionaliter sexagesimis intermediis circumferentiarum sexagesimas rectarum proxime ratiocinatur, ut paulo ante a nobis declaratum est, accipimus excessum maioris circumferentiae ad minorem (hoc est, X partium, XXX′ sexagesimarum, ad X partes). Est vero excessus XXX′ sexagesimas primas, et rectarum sub ipsis excessus 31′ 13′′. Et insuper excessus X partium ad circumferentiam X partium XV′ est XV′ sexagesimarum. Et quoniam, ut dixi, proportionaliter quaeminus rectas correspondentes circumferentiis, si habemus tres magnitudines (duas excessuum in circumferentiis et imam excessus rectarum) et accipimus quartam proportionalem, inveniemus rectam subtendentem circumferentiam X partium XV′ sexagesimas primas. Invenit autem hoc modo: XV′ sexagesimas circumferentiae in 31′ 13′′ rectae multiplicare fiunt 469′′ sexagesimae secundae, 15′′′ tertie; has si dividimus per 30′ sexagesimas primas (excessus scilicet X½ partium maioris circumferentiae ad X partes minoris), habemus primas sexagesimas 15′ 38′′½, quas si addimus rectae subtensae X partibus circumferentiae, quae est 10° 23′ 32′′, habebimus subtensam X partibus XV′: 10° 43′ 10′′ proxime, neglectis 30′′′ tertiis sexagesimis parti facientes hanc differentiam. Rursum, iisdem suppositis, libeat e converso modo facere; hoc est, data recta 10° 43′ 10′′, sit invenienda est circumferentia ei respondens. Accipimus rursum excessum proxime maioris et minoris, hoc est 10° 58′ 49′′ ad 10° 23′ 32′′, qui est 31′ 13′′, et circumferentiarum similiter XXX′; et insuper 10° 43′ 10′′ ad 10° 23′ 32′′, qui est 15′ 38′′. Et ut rursum sumamus quartam proportionalem, multiplicabimus 15′ 38′′ in XXX′ et fiunt 450′′ 1140′′′; et dividemus per 31′ 13′′, et XV′ quae provenient addemus X partibus. Habebimus circumferentiam quae subtenditur a recta ducta partium X et XV′. Est vero facillime hoc tractare, sunt ipsi Ptolemaeo videtur: si enim indagaturi rectam datam quindecies sumamus quae comprehenduntur a X partibus in tertio ordine, et quod provenit addimus subtensae X partibus; etiam hoc modo habebimus subtensam X partibus 4 XV′ sexagesimas primas. Si vero, e converso, dictam rectam habemus et volumus accipere circumferentiam ipsius, accipientes excessum rectae quam habet ad proxime minorem (ut excessum 10° 43′ 10′′ ad 10° 23′ 32′′), ea qui comprehenduntur in tertio ordine a proxime minore, et dividimus per ea excessum duarum rectarum, et addimus quod provenit minori positae circumferentiae, ut X partibus, habebimus circunferentiam quae a recta dicta subtenditur.

Finis, 1 Decembris 56.