sinum complementi lateris KN est sicut proportio sinus complementi lateris EN ad sinum quarte. Eadem ratione in triangulo EHP cuius P angulus rectus est proportio sinus complementi lateris EH ad sinum complementi lateris HP est sicut proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte. Sed proportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KN est sicut proportio sinus complementi lateris EH ad sinum complementi lateris HP propter equalitatem laterum EK et EH et laterum KN et HP. Ergo proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte est sicut proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte. Sed tam EP quam EN minus est quarta. Inde sequitur quod equalis sit arcus EN arcui EP. Item arcus TN equalis est arcui ZP quia ipsi sunt elevationes arcuum TK et ZH in spera recta. Ergo TP arcus est equalis arcui ZN. Ergo arcus ET equalis est arcui EZ, quod est propositum.
〈II.17〉 17. Cum in circulo declivi sumpti fuerint duo arcus equales equaliter distantes ab alterutro puncto tropicorum necesse est ut eorum ascensiones in spera declivi coniuncte sint equales elevationibus ipsorum coniunctis in spera recta.
Sit circulus meridiei ABGD, circulus orizontis obliqui AEG et circulus equinoctialis BED, puncta quoque equinoctialia sint Z et H, arcus zodiaci equales et equaliter distantes ab uno punctorum solsticialium sint arcus ZT et HT et si placet arcus HT sit signum Piscium et ZT signum Libre et quia arcus HT et ZT sunt equales et equaliter distantes a puncto solsticii necessario habent equales declinationes et in quo puncto orizontis oritur principium signi Piscium in eodem oritur finis Libre. Sit illud punctum T et sit utriusque declinatio TM. Item orizontis declivis et equinoctialis sectio sit E. Patet autem quod diviso zodiaco in Z media in punctis solsticialibus illa medietas in qua est Aries minus ponit in ortu in spera declivi quam in recta quia oritur cum minori parte equinoctialis in spera declivi quam in recta. Contrarium est [est] in altera medietate. Ergo arcus HT cum minori arcu equinoctialis oritur in spera declivi quam in recta et est differentia ortium arcus EM. Arcus vero ZT econtrario sit etiam differentia ortium eius arcus ME. Dico equales esse differentias ortium. Quo habito inferam propositum. Consideram ergo in primo ortu arcus HT triangulum in quo angulus M rectus est. Ergo ex 15a precedentis que est proportio sinus sinus] sup. lin. P complementi lateris ET ET] corr. ex EM P ad sinum complementi complementi] corr. ex quarte P lateris TM eadem est proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Item in ortu finis Libre considera triangulum ETM, [similiter] in quo similiter M angulus est rectus. Ergo etiam ibi est proportio sinus complementi lateris ET ad sinum complementi lateris TM et eadem est sinus complementi lateris ME ad sinum quarte. Sed arcus TM et ET sunt idem hinc inde. Ex hoc igitur scire poteris quod arcus EM et arcus ME sunt equales. Infer inde propositum.
〈II.18〉 18. Cuiuslibet portionis circuli declivis ortum in spera obliqua invenire, si notus sit eius orizon.
Orizon dicitur esse notus cum nota est poli elevatio. Sit itaque circulus meridiei ABGD, sit zodiacus LTH, sit equinoctialis BED. Sit orizon notus AEG et sit T punctum vernale sitque KT datus arcus in zodiaco notus cum quo oritur ET de equinoctiali. In spera declivi volo hunc notificare. Sit ergo KM declinatio arcus TK. Vides igitur KME triangulum in quo M angulus rectus est. Ergo ex 15a precedentis proportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KM est sicut proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Sed nota est porportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KM quia notus est arcus EK ex quinta et notus est arcus KM ex tercia. Ergo nota est proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Sed notus est sinus quarte. Ergo notus est sinus complementi lateris EM et arcus EM minor est quarta. Ergo notus est arcus EM. Sed notus est arcus TEM ex quarta. Ergo notus est arcus ET et hoc est quod volui.