Sed ipsi sunt coalterni inter DP et ZE lineas equidistantes, ergo sunt equales. Non minus autem stare non potest, si dicatur stella in ecentrico transisse punctum T, utpote ad punctum Y pervenisse, cum stella in epiciclo pervenit in punctum K. Oportet igitur ut pervenerit stella in ecentrico ad punctum T in fine dicti temporis. Hinc probatum est quod propositio promittit. Est enim ADT angulus medii motus in ecentrico equalis AEZ angulo medii motus in concentrico. Angulus vero AEK est hinc inde angulus motus apparentis itemque angulus KEZ qui, quantum ad epiciclum est, angulus est excessus medi motus super apparentem equalis est angulo DTE coalterno sibi inter lineas equidistantes. Est autem DTE superfluitas medii motus in ecentrico super apparentem in eodem estque locus apparens stelle quantum ad utrumque modum in linea EK. Quod si posuero epiciclum in loco ubi maxima est superfluitas medii motus et apparentis, utpote si protraxero super punctum E lineam SL orthogonaliter secantem AG lineam et fecero punctum L punctum contactus super circulum revolutum HL, tunc erit angulus HEL maxima differentia duorum motuum secundum modum epicicli. Sed posito ibi epiciclo necesse est secundum positionem presentis propositionis stellam esse in puncto sectionis linee SL et ecentrici, hoc est in puncto B quantum ad ecentricum, et erit ibi maxima differentia motuum angulus EBD quem propter equidistanciam duarum linearum HE et BD oportet esse equalem angulo LEH. Patet ergo propositum.

〈III.8〉 8. Data utralibet radicum diversitatis motum si fuerint duo anguli motus apparentis equales et constituti vel hinc inde circa dyametrum euntem super inicia motuum vel in eadem medietate citra et et] corr. ex vel P ultra punctum medii transitus, necesse erit angulos superfluitatum inter illos et angulos medii motus non esse diversos.

Verbi gratia: Sit primum secundum modum ecentrici probandum quod dicitur et sit ecentricus ABG circulus circa centrum D, centrum mundi E, dyameter vadens super inicia motuum que sint puncta A et G sit ADG. Sint autem duo anguli apparentis motus HEG et GEZ equales et sint anguli diversitatum DHE et DZE. Dico ipsos esse equales quia enim equales sunt duo anguli HEG et ZEG circa lineam ADG. Ex tercii Euclidis sequitur ut linee collaterales HE et EZ sint equales. Sed etiam equales sunt ratione centri linee DH et DZ. Ergo linee DH et HE trianguli DHE sunt equales lineis EZ et ZD in triangulo DEZ et basis [basis] basi quia eadem, scilicet linea DE. Ergo angulus DHE est equalis angulo DZE. Sint modo dati dati] sup. lin. P anguli apparentis motus AEB et angulus GDZ et sint equales. Sint igitur anguli diversitatum DBE et DZE et dico quod sunt equales. Quia enim equales sunt anguli AEB et GEZ oportet lineam BZ esse unam rectam. Sed equales sunt [sunt] linee BD et DZ. Ergo anguli super basim, scilicet anguli DBE et DZE, sunt equales. Sint iterum dati equales equales] followed by one word crossed out by the scribe: anguli P apparentis motus anguli GEH et AEB citra et ultra punctum medii transitus quod sit punctum X. Erunt ergo anguli diversitatis DBE et DHE anguli quos convincam esse equales. Protraham enim lineam BE usque in punctum circumferentie quod sit punctum Z et traham lineam DZ. Sunt sunt] corr. ex sint P igitur anguli motus apparentis ZEG et AEB equales per sectionem linearum AG et BZ. Ergo etiam equales sunt anguli ZEG et HEG. Ergo ut iam probatum est anguli DHE et DZE sunt equales. Sed etiam equales sunt anguli B et Z super basim BZ.

Infer ex hoc propositum secundum modum ecentrici nunc constantem. Ponam modo secundum modum epicicli ut sit concentricus ABG circa centrum E et occurrat motus epicicli motui stelle et describant hii motus in una tempore arcus similes de epiciclo et concentrico. Ponam autem tres angulos motus apparentis equales, scilicet AEB et GEF et GED et sint centra epiciclorum Z K N. Erunt igitur anguli BEZ FEK et PEQ anguli diversitatis