Geber in libro 30 figurarum ad probationem sui propositi commodius habendam quedam premittit

Prima autem eius propositio eadem est prime Theodosii in primo.

Secunda autem proponit sensum quinque propositionum primi libri Theodosii, scilicet septime, octave, none, decime et undecime.

Sue autem tercie corrolarium facit 17^am Theodosii.

〈I〉

〈I.3〉 Omnis circulus signatus super speram a cuius polo egredientis ad circumferenciam linee quadratus est equalis medietati quadrati dyametri spere est ex magnis eiusdem spere.

Sit enim spera ABZ, circulus in ea signatus BGD cuius polus A exeat ab eo in circumferenciam circuli, linea AB cuius quadratus sit medietas quadrati dyametri spere. Ducam autem lineam inter A polum et E centrum dati circuli et producam eam ex alia parte in superficiem spere. Ergo ex primo libro Theodosii ipsa terminabitur in altero polo circuli BGD. Sit itaque ille polus Z inter quem et B producam BZ lineam. Est autem linea AZ dyameter spere ex primo libro Theodosii. Ergo triangulus ABZ consistit in semicirculo super arcum. Ergo ex 30^a tercii Euclidis angulus ABZ rectus est. Ergo ex penultima primi Euclidis et ypothesi presentis AB et BZ linearum quadrata sunt equalia. Ergo AB linea est equalis linee BZ. Hoc habito ducam EB lineam inter E centrum circuli dati et punctum B. Ergo ex primo Theodosii EB linea eadem perpendiculariter super AZ lineam. Ergo quadratum ZB linee est equale quadratis linearum EZ et EB et quadratum AB equale est quadratis linearum EB et EA. Ergo quadratum EZ equale est quadrato EA linee. Ergo linea EA est equalis linee EZ. Ergo E centrum est spere, sed erat etiam centrum circuli BGD. Ergo ex primo Theodosii circulus BGD est ex magnis.

Quarta primi Geber eadem est 21^e, hoc est penultime primi libri Theodosii.

Quinta eius continet ea que proponit 16^a, 15^a et 14^a primi libri Theodosii.

Sexta primi libri Geber habet sensum prime et secunde secundi Theodosii.

Septima primi Geber proponit primam partem decime Theodosii in secundo.

Octava primi Geber proponit undecimam Theodosii in secundo.

In nona autem primi Geber probatur nona secundi Theodosii, sed commodius in libro Geber et planius propter additionem converse. Ideo autem Geber commodius eam probat quia probat eam per suam octavam que est undecima in secundo Theodosii.

Modus autem Geber talis est. Sint duo circuli super speram se secantes ABGZ et BEGD super quorum polos eat circulus magnus AZD. Dico ergo quod secat in duo media BAG portionem et reliquas. Sit enim in circumferentia AZD polus circuli BEGD punctum H. Ergo portio HZ minor minor] followed by two words crossed out by the scribe: est portione P medietate totius portionis AZD erigitur orthogonaliter super dyametrum circuli BAGZ et linee a puncto H descendentes super puncta B et G sunt equales ratione poli. Ergo ex octava huius BZ et ZG arcus sunt equales. Sed ZBA est equalis arcui ZGA quia uterque semicircumferentia. Ergo equalis est arcus BA arcui AG. Item arcus ZD minor medietate totalis arcus AZD orthogonaliter erigitur super dyametrum circuli BGD et linee a puncto Z in puncta B et G exeuntia sunt equales quia sunt corde BZ et ZG arcuum equalium. Ergo arcus EB est equalis arcui EG et ideo arcus BD equalis est arcui GD. Item posito quod circulus magnus AZD secet duorum datorum circulorum abscisiones quamlibet per medium dico quod etiam transit per eorum polos. Si enim non transeat alter magnus, ergo, ut iam probavi, ille abscisiones datorum circulorum secat equaliter et ita tangit datum circulum AZD in quatuor punctis sectionum 4 datorum arcuum circulorum, quod non est possibile. Item si dividat circulus AGD unum datorum circulorum per medium et transeat super polos unius eorum, dividit etiam alius portiones equaliter et transit super ambos polos. Dividat enim portiones circuli BGD per medium et transeat primo super polum eiusdem qui sit H. Ergo linee, si ducerentur a puncto H in puncta B et G, essent equales. Ergo ex octava huius habere potes propositum per arcum HZ. Si vero H sit polus circuli BAG, tunc per arcum HE. Ex eadem octava potes arguere propositum et in hoc patet nona primi libri Geber.

Decima Decima] 10 i. m. P vero primi Geber proponit ultimam partem 18^e Theodosii in secundo.

〈I.11〉 Prima pars undecime. Cui fuerit trianguli ex arcubus circulorum magnorum unus angulus rectus, tunc reliquos angulos mutabuntur latera eis opposita et conversim ipsi sua latera mutabuntur.

Quod ita vult intelligi Geber, ut scilicet, si uno angulo existente recto reliquus etiam sit rectus, latus ei oppositum sit quarta circuli et si maior maius et si minor minus et econtrario. Sit ergo triangulus ABG ex arcubus magnorum circulorum et sit angulus B rectus. Si igitur etiam rectus est angulus A, dico arcum BG quartam esse circuli quia tunc [et circulus] et circulus BG et circulus AG vadit super polum circuli AB. Ergo G polus est circuli AB. Ergo tam AG quam BG arcus quarta est circuli. Item sit A angulus maior recto, tunc faciam angulum DAB rectum. Ergo ut iam patuit arcus DB quarta est. Ergo arcus GB maior est quam quarta. Si autem GAB angulus minor est recto, sit BAE rectus. Ergo arcus EB est quarta. Ergo GB est minor arcus quam quarta. Item conversarum probatio: Sit ut prius angulus B rectus et BG quarta sit. Ergo angulus GAB est rectus quia G G] preceded by two letters crossed out by the scribe: GE P est polus circuli AB. Ergo circulus AG secat orthogonaliter circulum AB super A. Iuxta hoc quis dubitaret angulum GAB esse maiorem recto si arcus GB est maior quarta posito quod DB sit quarta vel esse minorem recto posito quod EB sit quarta quia hinc D illinc E erit polus et secabitur semper circulus AB orthogonaliter.

Secunda pars. Si vero uno angulo existente recto alterum laterum continentium ipsum est quarta circuli, tunc etiam latus recto oppositum quarta est. Si vero utrumque eorum est maius vel utrumque minus quarta, tunc latus recto oppositum minus est quarta. Et si alterum eorundem est maius quarta et reliquum minus, tunc latus rectum angulum angulum] followed by one word crossed out by the scribe: continens P respiciens maius est quarta circuli.

Ex proxima figura patet pars prima. Si enim angulus B est rectus et latus AB est quarta circuli, tunc A est polus GB circuli. Ergo arcus AG quarta est, ut constet pars secunda. Sit in alia figura EG quarta circuli et similiter DB. Ducam ergo arcum magni super D et E puncta et producam in eum arcum AG, ut fiat sectio in puncto Z. Ergo polus circuli EG est punctum D. Ergo angulus E rectus est. Ergo polus circuli DZE est punctum G. Ergo GZ est quarta circuli. Minor igitur quam quarta est arcus AG. Sit etiam HB quarta circuli et GT similiter. Ducam ergo arcum HT qui productus concurrat cum arcu AG producto in punctum N. Ergo H polus est circuli BG. Ergo HT erecte secat circulum BTG et GT est quarta. Ergo G polus est circuli THN. Ergo GAN est quarta, ergo AG minus. Terciam partem probaturus pono EG quartam esse dato quod BG sit minor quarta et pono HB quartam esse posito quod AB sit maior quarta et ducam arcum EH quem protraham in arcum AG super punctum K. Ergo quia B angulus rectus est, polus circuli EG est punctum H. Ergo angulus E rectus est. Ergo G polus est circuli EHK. Ergo KG quarta est. Ergo AKG arcus rectum respiciens angulum maior fuit quarta circuli et hoc est propositum.

Tercia pars. Tercia pars] i. m. P Si autem uno angulo existente recto reliquorum alteruter fuerit rectus, arcus recto contrapositus quarta est. Quod si eorum uterque maior vel uterque minor fuerit recto, arcus rectum respiciens minor est quarta. Sed si eorundem alter recto maior et reliquus recto minor fuerit, arcus oppositus recto maior est quarta circuli in spera descripti.

Ad cuius probationem id quod prius ab inicio probatum est utile est. Sit ergo ut prius B rectus angulus et ponamus angulum G rectum esse. Ergo A polus est circuli GB. Ergo AG arcus quarta est. Sit iterum tam A quam G angulus maior recto. Ergo secundum quod prius probatum est tam AB quam BG arcus maior est quarta. Sed si tam A quam G minor est recto angulo, ergo tam AB quam BG arcus minor est quarta. Sequitur igitur ex proximo AG arcum minorem esse quarta. Si vero angulus A sit minor recto et angulus G sit maior recto, erit BG latus minus quarta et AB latus maius quarta. Ergo propter hoc, ut preostensum est, arcus AG maior est quarta circuli.

Quarta pars. Quarta pars] i. m. P Quod si in triangulo ex arcubus magnorum unus angulus rectus respicit quartam circuli, oportet unum duorum reliquorum laterum quartam esse et unum angulorum reliquorum rectum esse. Si vero rectus respicit arcum minorem quarta, necesse est utrumque reliquorum laterum esse maius vel utrumque minus quarta et iterum utrumque reliquorum angulorum esse maiorem vel utrumque minorem recto. Sed si rectus respicit arcum maiorem quarta, sequitur ut alter reliquorum arcuum sit maior quarta et reliquus minor. Oportet quoque ut alter reliquorum angulorum sit maior recto et reliquus minor.

Conversio est secunde et tercie partis premissarum et veritas huius per illas indirecta ratiocinatione facile convincitur. Illud ergo premisit Geber quo scitur unum quod laterum trianguli orthogonii an sit quarta circuli an maius an minus. Et similiter unusquisque reliquorum angulorum an sit rectus an maior an minor. Qualiter vero sciatur quantitas cuiusque laterum et angulorum ipsius ad invicem premittam ad hoc figuram magne excusationis et adiumenti in hac intentione et aliis ab ea.

〈I.12〉 Duodecima Duodecima] i. m. P (proposition numbers are always given in the margin). Inclinatis super se duobus circulis magnis spere. Si super alterum illorum duo puncta signentur a quibus super reliquum veniant duo arcus magnorum orthogonaliter, necesse est ut sinus arcuum venientium a sectione duorum circulorum ad data puncta sint in una proportione ad sinus arcuum ab illis punctis super alium circulum curvatorum. Quod si puncta super duos circulos divisim data fuerint, nichilominus erit sinuum proportionalitas, ut dictum est.

Verbi gratia: Inclinentur super se duo circuli spere magni qui sint AEZB et AGDB signenturque primo puncta G et D super unum circulum AGB. Arcus inde inclinati super [super] circulum AEB sint EG et DZ quorum sinus qui sint GK et DT per arcuum erectionem necessario sunt perpendiculares super superficiem circuli AEB. Dico ergo quod que est proportio sinus arcus AG ad sinum arcus EG eadem est sinus arcus AD ad sinum arcus DZ. Ducam igitur a punctis D et G duas perpendiculares super dyametrum AB que sint GL et DM et protraham duas lineas KL et TM. Oportet igitur GK et TD lineas equidistare ex sexta et nona undecimi Euclidis et angulos K et T rectos esse ex descriptione perpendicularis super circulum. Ergo ex quarta sexti Euclidis que est proportio LG linee ad KG eadem est MD linee ad lineam DT, quod fuit probandum. Quia linea LG sinus est arcus AG et sinus arcus BG, linea quoque DM sinus est arcus AD et arcus BD. Dentur ergo puncta G G] followed by one word crossed out by the scribe: et P super unum circulum et N super alterum et maneat arcus EG ab N puncto curvetur NP arcus super AGB circulum orthogonaliter. Dico ergo quod sinus arcus AG ad sinum arcus EG est sicut sinus arcus AN ad sinum arcus NP in proportione. Ducam ergo circulum magnum YHQS super polos circulorum. Patet ergo ex nona huius quod sectiones sectionum sunt equales, id est quod AS AQ AY AH arcus quatuor sunt equales. Nec dubium est quin arcus YH equalis sit arcui QS ex demonstratione. Autem in hac eadem iam facta patet quod que est proportio sinus arcus AN ad sinum arcus NP eadem est sinus arcus AH ad sinum arcus HY. Sed propter idem que est proportio sinus arcus AQ ad sinum arcus QS eadem est sinus arcus AG ad sinum EG arcus. Sed sinus arcus AH ad sinum arcus HY est ut sinus arcus AQ ad sinum arcus QS in proportione. Ergo [ergo] que est proportio sinus arcus AN ad sinum arcus NP eadem est sinus arcus AG ad sinum arcus GE, quod erat probandum. Nota quod dicitur ‚Inclinatis super se duobus circulis‘ et cetera. Quod si in circulis super se erectis non occurrat, nescire non poterit quis, si ad hoc intentionem erexerit.

〈I.13〉 13. In omni triangulo ex arcubus magnorum sinus laterum ad sinus arcuum suorum angulorum sunt in proportione una.

In hac propositione distinguendum est inter latus et arcum: vocat vocat] corr. ex vocam P hic Geber arcum anguli illum arcum qui subtenditur angulo contento duabus quartis; latus autem est arcus ubicumque respiciens angulum. Unde omnis arcus latus est, non econtrario. Volo igitur ostendere quod que est proportio sinus alicuius lateris ad sinum arcus sui anguli eadem est proportio sinus alterius lateris ad sinum arcus sui anguli et eadem est sinus tercii lateris ad sinum arcus sui anguli. Sit ergo triangulus datus ABG. Qui si omnes angulos habet rectos, planum est tunc quod omnia latera sunt quarte et ipse sunt arcus rectorum. Item si sint tantum B et G recti, ergo A est polus BG circuli. Ergo BG arcus est et latus et arcus. Sic et AB quia G est angulus rectus. Sic quoque AG quia B rectus est angulus. Sed sit tantum B rectus. Oportet ergo ex quarta parte undecime latus AG minus aut maius esse quarta circuli. Sit primo minus. Ergo utrumque laterum AB et GB aut minus est quarta aut maius. Sit utrumque minus primo. Protraham ergo GA super super] followed by one word crossed out by the scribe: utrumque P E ut sit EG quarta et iterum AG super D ut sit AD quarta. Item sit GH quarta et AZ quarta. Deinde pingam EH et DZ arcus magnorum. Ergo A polus est circuli DZ. Ergo angulus Z rectus est et B rectus. Ergo ex proxima que est proportio sinus lateris AG ad sinum arcus AD eadem est sinus lateris GB ad sinum arcus DZ qui est arcus anguli A. Arcus autem AD est arcus B recti anguli quia est quarta. Similiter G est polus circuli EH. Ergo H angulus rectus est. Ergo ex proxima que est proportio sinus lateris GA ad sinum arcus GE eadem est sinus lateris AB ad sinum arcus EH anguli G. Quod si vides, vides propositum secundum hanc positionem. Sit autem tam AB quam GB maius quarta. Ducam tum AG super D, ut sit AD quarta sitque AZ quarta, et ducam arcum magni circuli DZ. Est igitur A polus circuli DZ et non est angulus A rectus, sed D et Z recti sunt et B rectus. Ergo ex premissa que est proportio sinus lateris AG ad sinum arcus AD eadem est sinus lateris GB ad sinum lateris arcus DZ. Ex hoc patet propositum secundum hoc positum. Ponam modo ut latus recto recto] corr. ex rectum P angulo oppositum sit maius quarta et, ne oporteat fieri novam figuram, sit triangulus datus AZD habens Z solum rectum cui opponitur latus AD maius quarta. Ergo oportet ut vel maius vel minus quarta sit AZ. Sit minus et fiat AB quarta et sit AG quarta et curvabo arcum magni inter G et B. Ergo tam G quam B est rectus quia A polus est circuli GB. Apparet igitur ex premissa quod que est proportio sinus lateris AD ad sinum arcus AG eadem est sinus lateris DZ ad sinum arcus GB. Si autem etiam AZ maius est quarta, sit AQ quarta. Ergo Q angulus rectus est. Ergo iterum cum etiam Z sit rectus proportio sinus lateris AD ad sinum arcus AG est sicut proportio lateris DZ ad sinum arcus GQ, quod probare volui. Age nunc nullum rectum habeat datus triangulus AGB. Ducam ergo per polum circuli GB et super A punctum arcum circuli magni qui aut cadet inter G et D aut extra. Si inter ea puncta, ergo uterque angulus D est rectus. Ergo que est proportio sinus lateris AB ad sinum lateris AD eadem est proportio sinus arcus anguli ADB recti ad sinum arcus anguli B. Et que est proportio sinus lateris AD ad sinum lateris AG eadem est sinus arcus anguli G ad sinum arcus anguli ADG sive anguli ADB uterque enim rectus. Ergo ex 24^a quinti Euclidis secundum proportionalitatem mutharyba mutharyba] id est indirectam sup. lin. P que est sinus lateris AB ad sinum lateris AG eadem est sinus arcus anguli B ad sinum arcus anguli G. Ergo permutatim et habes propositum. Similiter duc super polum circuli circuli] followed by one letter crossed out by the scribe: b P AB et super G punctum arcum magni inter A A] followed by one letter crossed out by the scribe: l P et B et proba ut modo quod sinus lateris AG ad sinum arcus anguli B est in proportione sicut sinus lateris GB ad sinum arcus anguli A. Sed contingat sicut potest quod arcus ductus super polum et angulum non cadat inter alios angulos sed extra et, ut maneat figura, fuerit datus triangulus ADG. Ducam ergo circulum cuius arcus 〈est〉 arcus AB super polum arcus GDB et super A angulum. Ergo B est rectus angulus. Proba igitur ut modo per indirecta proportionalitatem quod sinus lateris AG ad sinum lateris AD est sicut sinus arcus anguli ADB ad sinum arcus anguli G. Sed idem est sinus anguli ADB qui est sinus anguli ADG quia eorum arcus simul iuncti faciunt circumferentie medietatem quelibet autem due partes semicircumferentie unius habuit eundem sinum. Ex hoc apparet propositum secundum ultimam omnium positionum.

〈I.14〉 14. In omni triangulo triangulo] followed by one letter crossed out by the scribe: h P ex arcubus circulorum magnorum habente unum angulum rectum proportio sinus arcus unius duorum reliquorum angulorum ad sinum arcus anguli recti est sicut proportio sinus complementi complementi] 〈com〉plementum arcus †…† id quo exce†…† idem arcus †…† vel excedit †…† i. m. P arcus anguli reliqui ad sinum complementi lateris eiusdem eiusdem] id est ei subtensi sup. lin. P.

Verbi gratia: Sit datus triangulus ABG cuius angulus B sit rectus. Producam autem arcum AB super A usque dum compleam quartam et sit complementum eius AD arcus. Complementum arcus AG sit AZ. Ducam autem arcum DZ circuli. Occurrat arcus GB super punctum E. Ergo D polus est circuli GBE. Ergo angulus E rectus est et DZE quarta est. Arcus autem ZAG in triangulo ZGE respicit angulum rectum et est quarta. Ex quarta parte undecime huius triangulus ZGE habet etiam alium rectum. Sed G non est rectus. Ergo Z est rectus. Ergo G est polus circuli DZE. Ergo GBE est quarta. Ergo ZE est arcus anguli G et complementum arcus est arcus ZD. Dico ergo quod proportio sinus arcus anguli A ad sinum arcus anguli B est sicut proportio DZ arcus qui est complementum arcus anguli G ad sinum arcus AD qui est complementum AB lateris anguli G, quod ex duodecima et 13^a presentis patet si vides quod super punctum A secant se duo circuli qui sunt ZAG et DAB non orthogonaliter et a puncto unius D super reliquum et a puncto eiusdem reliquo quod est G super priorem ducuntur duo arcus orthogonaliter. Et hoc est quod volui.

Hec 14^a propositio Geber quatuor modis potest variari. Unus modus est si datus triangulus duos habeat rectos et iste modus est inutilis. Verbi gratia: Sint in triangulo ABG duo recti, scilicet B et G. Ergo ex tercia parte undecime huius latus AG quarta est. Eadem ratione vel si maius ex quarta parte eiusdem undecime latus AB quarta est. Ergo tam AG quam AB est et latus et arcus sui anguli; et nec arcus nec latus habet complementum cum sit quarta absolute. Quomodo ergo ostendetur quod proportio sinus arcus anguli A ad sinum arcus anguli B vel anguli G est sicut sinus complementi arcus reliqui anguli ad sinum complementi complementi] corr. ex complementum P lateris eiusdem cum nullum habeat complementum tam latus quam arcus anguli G sive anguli B. Nullius enim ad nihil nulla est proportio. Quod ergo in propositione dicitur habente unum angulum rectum sic debet intelligi: id est habente unicum angulum rectum. Tunc enim, sicut videri potest ex undecima huius, triangulus datus nullum habet latus quod sit quarta. Si vero latus oppositum recto angulo minus est quarta, provenit utrumque laterum continentium rectum angulum sit minus quarta et hic est secundus modus et eum probat Geber. Tercius autem modus est si sit utrumque maius quarta et hunc probabo. Sit ergo in triangulo ABG habente unicum angulum, scilicet B, rectum; latus ei oppositum AG minus quarta, utrumque vero laterum AB et GB sit maius quarta. Abscindam itaque in utroque eorum quartam et sint due quarte BS et BQ. Perficiam autem ex AB et GB semicircumferentias que sint BAH et BGH. Continebunt vero neccesario H angulum rectum ex adverso B recti. Sunt igitur HA et HG minores duabus quartis. In triangulo igitur AHG constat propositum secundum probationem libri. Dico autem quod sinus arcus anguli BAG ad sinum quarte, utpote QS, se habent ut sinus complementi arcus anguli AGB ad sinum AQ qui est complementum AB lateris anguli AGB. Vides enim triangulos AHG et ABG. Infer ergo ex 13^a huius quod que est proportio sinus lateris AG ad sinum arcus QS eadem est sinus lateris AH ad sinum arcus anguli anguli] followed by three letters crossed out by the scribe: HAG P AGH et sinus lateris HG ad sinum arcus anguli HAG. Sed et eadem est sinus lateris AB ad sinum arcus anguli AGB et sinus lateris GB ad sinum arcus anguli GAB. Ergo que est proportio sinus lateris AH ad sinum lateris AB eadem est sinus arcus anguli AGH ad sinum arcus anguli BGA. Sed sinus lateris AH est etiam sinus lateris AB quia hii duo arcus perficiunt semicircumferentiam. Ergo sinus arcus anguli AGH est etiam equalis sinui arcus anguli BGA. Patet etiam quod idem idem] followed by one word crossed out by the scribe: est P arcus est complementum AH et AB laterum, scilicet arcus AQ. Oportet quoque ut idem arcus sit complementum arcuum angulorum HGA et AGB quia eorum arcus sicut et latera complent semicircumferentiam. Dico ergo sic: que est proportio sinus arcus anguli HAG ad sinum quarte QS eadem est sinus complementi arcus anguli AGH ad sinum arcus AQ. Sed sinus arcus anguli AGH est etiam sinus arcus anguli AGB et sinus complementi idem est quia quia] corr. ex quod P idem complementum. Ergo que est proportio sinus arcus anguli HAG HAG] corr. ex AHG P ad sinum QS quarte eadem est sinus complementi arcus anguli AGB ad sinum complementi lateris AB. Hoc est ad sinum arcus QS. Ergo que est proportio sinus arcus anguli GAH ad sinum QS quarte eadem est sinus sinus] i. m. P complementi arcus anguli AGB ad sinum complementi lateris AB, quod fuit probandum. Sit modo ut B recto angulo opponatur latus quarta longius et sit ZG. Datus autem triangulus sit BZG. Erit igitur alterum laterum continentium rectum angulum maius quarta et sit BG. Reliquum vero minus quarta et sit BZ. Dico modo quod sinus arcus anguli Z ad sinum quarte est sicut sinus complementi arcus anguli ZGB ad sinum complementi lateris ZB. Perficiam enim semicircumferentias producens ZB et BG donec concurrant in puncto H, ubi neccesario faciunt angulum rectum H cum B sit rectus. Sit autem arcus HA equalis arcui ZB et curvabo arcum magni circuli super puncta A et G. Probabo tunc quod sinus arcus anguli HGA est equalis sinui arcus anguli ZGB et quod sinus arcus anguli HAG est sinus arcus anguli GZB. Producam enim arcum GA donec arcus GT fiat quarta et faciam ut prius quartam QS abscindentem QB et SB quartas. Ducam etiam arcum magni circuli inter Q et G. Deinde super T et Q puncta ducam arcum circuli magni donec in puncto X abscindat arcum GZ. Patet igitur quod polus circuli HGB est punctum Q quia QS est quarta; et oportet in triangulo QBS tribus quartis inclus〈o〉 tres angulos rectos esse. Hinc sequitur angulum HGQ rectum equalem esse angulo QGS recto. Similiter item necesse est punctum G esse polum circuli TQX quia GT et GQ sunt due quarte. Ergo arcus GX est quarta. Ergo arcus TQ et arcus QX sunt arcus angulorum AGQ et QGZ. Item T et X anguli recti sunt. Inde sic: que est proportio sinus arcus AQ ad sinum arcus QZ eadem est sinus arcus TQ ad sinum arcus QX ex duodecima huius quia circuli AQZ et TQX secant se non orthogonaliter in puncto Q et a circulo AQZ demittuntur orthogonaliter AT et ZX arcus et abscindunt arcus TQ et QX. Sed sinus arcus AQ est equalis sinui arcus QZ quia ipsi sunt arcus equales. Ergo sinus arcus TQ est equalis sinui arcus QX et uterque arcus est minor quarta. Ergo arcus TQ est equalis arcui QS. Sed hii arcus sunt arcus angulorum AGQ et QGZ. Ergo oportet hos angulos equales esse. Ergo etiam equalis est angulus HGA angulo ZGB. Ergo arcus eorundem angulorum sunt equales. Sed in triangulo AHG sinus lateris HA ad sinum arcus anguli HGA ita se habet ut sinus lateris HG ad sinum arcus anguli HAG ex 13^a et similiter sinus lateris ZB ad sinum arcus anguli ZGB est sicut sinus lateris GB ad sinum arcus anguli GZB. Ex hoc et prehabitis infer quod sinus arcus anguli GZB ad sinum lateris GB est sicut sinus arcus anguli HAG ad sinum lateris HG. Sed sinus laterum HG et GB sunt equales. Ergo sinus arcus anguli anguli] followed by four words crossed out by the scribe: HAG ad sinum quarte P GZB est equalis sinui arcus anguli HAG. Hiis constantibus facile est videre propositum. In triangulo enim AHG proportio sinus arcus anguli HAG ad sinum quarte est sicut proportio complementi arcus anguli HGA ad sinum complementi lateris HA, hoc est ad sinum arcus AQ, ut probat Geber. Ergo etiam in triangulo GZB proportio sinus arcus anguli GZB ad sinum quarte est sicut proportio sinus complementi arcus anguli ZGB ad sinum complementi lateris ZB, hoc est ad sinum arcus QZ qui est equalis arcui AQ. Habes itaque plane propositum.

〈I.15〉 15. Proportio vero sinus complementi lateris subtensi recto ad sinum complementi unius duorum laterum que ipsum continent est sicut proportio sinus complementi lateris reliqui ad sinum quarte circuli.

Hoc planum est retinenti dispositionem iam factam. Circulus enim DAB et circulus DZE secant se non orthogonaliter super D punctum et a punctis A et B signatis super DB circulum ducuntur orthogonaliter super DZE circulum AZ complementum lateris AG oppositi recto et BE complementum lateris GB quod est unum continentium rectum angulum. Ergo proportio sinus ZA ad sinum arcus BE est sicut proportio sinus AD complementi lateris reliqui AB ad DB quartam circuli, quod proponebatur. In illa tamen 15^a propositione idem quatuor modi diversitatis occurrunt qui prius, sed primus etiam est hic inutilis, scilicet si in triangulo sint duo recti anguli. Probat autem Geber propositum in triangulo cuius rectum angulum continent duo latera que ambo quarta sint breviora ut in triangulo HAG, sed manente dispositione in precedenti facta facile est hoc videre etiam in triangulo ABG in quo tam AB quam GB latus maius est quarta quia AQ tam arcus HA quam arcus AB complementum est complementum est] sup. lin. P et similiter arcus GS est complementum tam arcus GH quod arcus BG. Ut autem videas propositum in triangulo ZBG in quo GB latus maius est quarta et ZB minus, maneant ea que in proxima probata sunt et videbis per suppositionem quod arcus ZX qui est complementum arcus ZG ZG] vel GZ sup. lin. P equalis est arcui AT complemento lateris AG. Cum ergo complementum lateris HA HA] corr. ex AH P sit equale complemento lateris ZB et complementum lateris HG sit etiam complementum lateris GB, qui videt propositum in triangulo HAG videre etiam debet in triangulo ZBG. Habes igitur et hoc totum.

〈I.16〉 16. Omnis spera maior est corpore plurium superficierum equalium habentium perpendiculares a centro venientes. Si superficies ille simul sumpte sint equales superficiei spere eritque eritque] correlarium sup. lin. P manifestum ex hoc quod embadum superficiei spere surgit ex multiplicatione semidyametri spere in embadum tercie partis superficiei eiusdem spere.

Immo ex hoc quod pro correlario ponitur patebit propositum principale. Verbi gratia: Sit spera AB cuius semidyameter sit AG. Dico ergo quod multiplicatio linee AG in terciam superficiei spere AB est embadum spere AB. Si enim non aut ergo est maioris spere embadum aut minoris. Sit primo maioris que sit ED et sint hec et illa super idem centrum G. Est igitur possibile ut ymaginemur intra speram ED corpus plurium superficierum que non tangant speram AG. Intelligatus autem hanc massam componi ex pyramidibus quarum bases sint ille superficies et habebunt ille pyramides capita in centro a quo in bases pyramidum exeant perpendiculares linee linee] followed by five words crossed out by the scribe: in terciam partem basis pyramidis P ut ducta est GT in basim pyramidis EGD. Ergo ex ductu GT linee in terciam partem basis pyramidis EGD drangule drangule] sic P fit embadum pyramidis, quod ex sexta duodecimi Euclidis habetur. Ergo ex ductu linee GT in terciam superficiei totius huius masse in spera intellecte embadum fit ipsius masse. Sed massa minor est spera ED. Ergo minus fit ex ductu GT in terciam superficiei spere huius masse quam ex ductu AG in terciam superficiei spere quod esse non potest. Minor enim est tercia superficiei spere AB quam tercia superficiei dicte masse et minor est AG linea quam linea GT. Sit nunc ut ex ductu AG in terciam partem superficiei spere AB fiat embadum minoris spere, utpote HZ, que etiam sit super centrum G. Faciam ergo figura aliter intra speram AB corpus plurium superficierum ut prius quod non tangat speram HZ et sit GX perpendicularis super unam superficiem. Ergo plus fit ex ductu AG in terciam partem superficiei spere AB quam ex ductu GX in terciam partem superficiei masse ASB ex quo patet falsum quod posuit adversarius. Oportet igitur ut ex ductu AG semidyametri in terciam partem superficiei spere AB proveniat embadum spere. Quo facto facile est videre propositu〈m〉. Sit enim spera BA et sit corpus plurium superficierum G sitque tale quale prediximus et sint eius superficies simul sumpte equales superficiei spere. Dico maiorem esse speram AB corpore G. Ymaginabor enim super speram AB corpus simile corpori G quod sit ABC. Huius itaque superficies simul sumpte maiores sunt superficie corporis G. Ergo perpendicularis eius, scilicet BZ, maior est perpendiculari corporis G que sit HG. Sed ex ductu BZ in terciam superficiei spere fit embadum spere. Ergo maius est embadum spere embado corporis G quia eius embadum fit ex ductu HG in terciam partem superficiei corporis G. Spera igitur AB maior est corpore G, quod oportebat ostendi. Nota quod Geber hoc ideo probat ante principale quia Ptholomeus in tractatu de hoc quod celum est spericum et motus eius spericus ponit illud ad probandum propositum suum per hoc non probatum. Sed istud et alia circa hoc inveniens demonstrata in libro ysoperimetrorum ysoperimetrorum] 〈li〉ber ysoperimetrorum i. m. (probably other hand) P.

〈I.17〉 17. Superfluitas declinationum partium orbis signorum ab equatore diei est aput duo puncta duarum equalitatum plus quam sit aput duo puncta duorum tropicorum.

Hoc iterum premittit Geber quia hoc non probavit Ptholomeus, sed accepit pro constanti. Sit itaque AB quarta zodiaci ab equinoctiali ad punctum Cancri ascendens sitque BG quarta equatoris diei sitque sectio acuta zodiaci et equinoctialis super punctum B. Abscindam autem in arcu AB EZ et HT arcus equales et a puncto D polo equinoctialis ducam quatuor arcus super quatuor puncta E Z H et T sintque hii arcus DK DL DM et DN. Ducam quoque quartam coluri super puncta A et G. Volo igitur demonstrare quod superfluitas arcuum HM et TN maior est superfluitate arcuum EK et ZL. Curvabo ad hoc a puncto T arcum magni orthogonaliter super arcum HM et sit TQ et alium super arcum DZ a puncto E sitque arcus EP. Age igitur arcus DH DH] preceded by one letter crossed out by the scribe: G P maior est arcu DZ. Ergo ex prima parte octave quinti Euclidis maior est proportio sinus arcus DH ad sinum arcus DA quam proportio sinus arcus DZ ad sinum arcus DA. Sed arcus DH et arcus AT secant se in puncto H. Ergo ex duodecima huius proportio sinus arcus HT ad sinum arcus TQ est sicut proportio sinus arcus DH ad [ad] sinum arcus DA. Item arcus DZ et arcus ZA secant se in puncto Z. Ergo que est proportio sinus arcus DZ ad sinum arcus DA eadem est sinus arcus EZ ad sinum arcus EP. Ergo maior est proportio sinus arcus HT ad sinum arcus TQ quam proportio sinus arcus EZ equalis sinui arcus HT ad sinum arcus EP. Ergo ex secunda parte octave quinti Euclidis minor est sinus arcus QT quam sinus arcus EP. Ergo maior est arcus EP quam arcus QT. Ergo maius est complementum arcus QT quam complementum arcus EP. Ergo maior est proportio sinus complementi arcus EZ ad sinum complementi arcus EP quam proportio sinus complementi arcus HT ad sinum complementi arcus QT. Ergo maior est proportio sinus complementi arcus ZP ad sinum quarte quam proportio sinus complementi arcus HQ ex 15^a huius. Ergo maius est complementum arcus ZP quam complementum arcus HQ. Ergo maior est arcus HQ quam arcus ZP, sed arcus DT maior est arcu DQ quia Q angulus est rectus et T angulus acutus. Ergo arcus QM maior est arcu TN. Ergo superfluitas arcus HM super arcum TN maior est arcu HQ. Ergo etiam maior est arcu ZP. Item arcus DE maior est arcu DP quia P angulus est rectus. Ergo PL arcus maior est arcu EK. Ergo augmentum PL arcus super arcum ZL quod est arcus ZP est maius augmento arcus EK EK] preceded by two letters crossed out by the scribe: EQ P super arcum ZL. Ergo superfluitas arcuum HM et TN longe est maior superfluitate arcuum EK et ZL, quod proposuit hec 17^a propositio.

〈I.18〉 18. Punctum orbis signorum aput quod convertitur diversitas que est inter partes orbis signorum et elevationes earum in spera recta invenire.

Quod ut facias regulam qua hoc fiat et eius demonstrationem considera.

〈I.19〉 19. Si arcus cuius sinus est medio loco proportionalis inter sinum quarte magni circuli et sinum complementi maxime declinationis a polo equinoctialis super zodiacum demittatur et non secet prius equinoctialem, ipse terminabitur in puncto quod querimus. Quelibet enim partium zodiaci abscisarum inter hoc punctum et locum equinoctii maior est sua elevatione et queque earum propinquior est puncto minorem habet elevationem quam sua equalis remotior. Quelibet vero partium zodiaci abscisarum inter idem punctum et locus solsticii minor est sua elevatione et queque propinquior est earum puncto maiorem habet elevationem quam sua equalis remotior. Omnino autem pars quarte zodiaci terminate inter punctum tropicum et equinoctiale que puncto equinoctiali propinquior est minorem habet elevationem quam pars equalis eidem puncto tropico magis apropinquans. Sed hec omnia ad speram rectam referenda sunt.

Sit igitur quarta zodiaci AB, quarta vero equinoctialis BG, complementum maxime declinationis AD et sit D polus equinoctialis a quo super arcum zodiaci cadat DE arcus cuius sinus sit medio loco proportionalis inter sinum quarte DEL et sinum DA arcus. Ex utraque vero parte puncti E sumantur arcus equales in zodiaco qui sint AY YH HE ER RP PZ et ZB. Super sectiones eant a polo super lineam equinoctialem arcus quorum nomina figura declarat. Dico igitur quod ER et RP et PZ et ZB arcus maiores sunt suis elevationibus. Arcus autem AY YH et HE sunt minores suis elevationibus in spera recta. Cum igitur arcus DZE et AZB secent se in puncto Z oportet ex duodecima huius quod que est proportio sinus arcus DZ ad sinum arcus DA eadem sit sinus arcus ZB ad sinum arcus BQ BQ] ex quo non est dubium quin m[aior] sit sinus arcus ZB quam sinus BQ i. m. P. Ergo maior est arcus ZB quam arcus BQ qui est sua elevatio in spera recta. Ducam autem arcum PF super arcum DQ orthogonaliter. Arcus igitur DQ et DS secant se super punctum D. Ergo ex duodecima proportio sinus arcus DS ad sinum arcus DP est sicut proportio sinus arcus SQ ad sinum arcus PF. Sed proportio sinus arcus DS ad sinum arcus DP minor est proportione sinus arcus DL ad sinum arcus DE. Ergo etiam minor est proportione sinus arcus DE ad sinum arcus DA. Ergo proportio sinus arcus SQ ad sinum arcus PF minor est proportione sinus arcus DE ad sinu〈m〉 arcus DA. Sed iterum arcus AZB et arcus DZQ secant se super punctum Z. Ergo que est proportio sinus arcus DZ ad sinum arcus DA eadem est sinus arcus ZP ZP] corr. ex DP P ad sinum arcus PF. Maior igitur est proportio sinus arcus ZP ad sinum arcus PF quam proportio sinus arcus SQ ad sinum arcus PF. Ergo maior est arcus ZP quam arcus QS qui est sua elevatio. Iuxta hunc modum facile est probare de aliis arcubus usque ad punctum E. Probemus autem nunc arcum HE minorem esse sua elevatione et ducamus ad hoc arcum HD circuli magni perpendicularem super super] followed by one word crossed out by the scribe: circulum P arcum DE. Ergo ex duodecima huius que est proportio sinus arcus DT ad sinum arcus DH eadem est sinus arcus TL ad sinum arcus HD. Sed minor est proportio sinus arcus ED ad sinum arcus DA quam proportio sinus arcus DT ad sinum arcus DH. Sed que est proportio sinus arcus DE ad sinum arcus DA eadem est sinus arcus HE ad sinum arcus HD quia DL et AEB arcus secant se super punctum E. Ergo maior est proportio arcus TL ad sinum arcus HD quam sinus arcus HE ad sinum arcus HD. Ergo maior est arcus TL TL] followed by one word crossed out by the scribe: quam P quam arcus arcus] sinus sup. lin. P HE. Volo nunc ostendere quod elevationes arcuum crescant a puncto B quod est locus equinoctii usque ad punctum A quod est punctum tropici. Vide igitur duos triangulos PFZ et ZQB in quibus F et Q anguli recti sunt. Anguli autem super Z equales et non recti; arcus PZ et ZB equales subtensi rectis. Ergo ex duodecima primi Milei PF et BQ arcus sunt equales. Sed arcus SQ maior est PF quia arcus DS maior est arcu DP. Ergo arcus SQ maior est arcu QB. Ut antecedenter convincam maiorem esse arcum KS arcu SQ. Duco a puncto Z orthogonaliter arcum ZM super arcum DS et a puncto R arcum RO super arcum DHE. Est igitur arcus ZM equalis arcui RO. Sed que est proportio sinus arcus DQ ad sinum arcus ZQ eadem est sinus arcus QS ad sinum arcus ZM et que est proportio sinus arcus DK ad sinum arcus DR eadem est sinus arcus KS ad sinum arcus RO sive ZM. Sed maior est sinus arcus DK ad sinum arcus DR quam sinus arcus DQ ad sinum arcus DZ. Ex hoc sequitur arcum KS maiorem esse arcu SQ. Iuxta hoc patet in ceteris et per consequens totum illud quod proposuit 18^m theorema. Nota quod Geber hanc propositionem premittit, ut probet hic quod Ptholomeus in tractatu de diversitate dierum cum noctibus suis accepit non probatum.

Hec igitur, ait Geber, est summa eorum que necesse fuit premitti quibus declarantur ea que Ptholomeus dixit in libro suo sine demonstratione. Et incipiamus, inquit, nunc dicere ea que necessaria sunt in extractione cordarum cadentium in circulo propter arcus suos et quantitatum arcuum propter cordas suas.

〈I.20〉 20. Dato circulo latera decagoni, exagoni, pentagoni, tetragoni, trianguli omnium equilaterorum et equiangulorum ab eodem circulo circumscriptorum reperire.

Depingam ad hoc circulum qui sit AGB cuius dyameter sit AG AG] corr. ex AB P, centrum D, medium semidyametri AD sit punctum E, BD linea sit perpendicularis semidyameter super AD. Continuabo igitur B et E puncta et ponam ZE lineam equalem linee EB et protraham lineam ZB. Dico igitur quod linea ZD est latus decagoni et ZB latus pentagoni circulo ABG inscriptorum. Nam ex sexta secundi Euclidis apparet quod id quod fit ex ductu AZ in ZD cum quadrato ED equale est quadrato ZE, ergo etiam quadrato BE, ergo etiam quadratis BD et DE. Ergo proiecto communi quadrato S linee DE quod fit ex ductu AZ in ZD equale est quadrato BD sive DA. Ergo linea AZ divisa est super D secundum proportionem habentem medium duoque extrema. Ergo ex nona 13^mi Euclidis ZD linea latus est decagoni. Constat enim quod AD latus est exagoni. Ergo ex decima eiusdem ZB latus est pentagoni. Sed latera BD et DE nota sunt. Ergo eorum quadrata nota sunt. Ergo etiam quadratum EB notum est. Ergo EB nota est. Ergo ZE nota et linea DE nota, ergo ZD nota. Ergo etiam nota est linea ZB. Nota igitur sunt latus decagoni et latus pentagoni. Ceterorum autem laterum prenominatorum inventio et noticia facilis est. Latus enim quadrati inscripti circulo duplat potentialiter dimidium dyametri. Proportio igitur lateris quadrati ad semidyametrum est mediata duple. Item latus trianguli equilateri et equianguli circulo inscripti triplat potentialiter medietatem dyametri. Notum igitur est latus trianguli circulo inscripti et hoc proposui reperire.

〈I.21〉 21. Cum fuerit quadrilaterum inscriptum circulo duo rectangula que fiunt ex duobus et duobus oppositis lateribus in se ductis simul sumpta sunt equalia rectangulo contento sub duabus lineis duorum et duorum oppositorum angulorum puncta continuantibus.

In circulo ABGD scribam quadrilaterum ABGD qualitercumque cadat et traham inter A et G puncta opposita lineam AG et inter B et D lineam BD. Dico ergo quod illa duo rectangula quorum alterum fit ex ductu AB AB] corr. ex BD P in lineam GD GD] preceded by one letter crossed out by the scribe: A P et reliquum ex ductu BG in AD equalia sunt ei quod fit ex ductu BD in lineam AG. Faciam ad hoc super B terminum AB angulum ABE equalem angulo DBG. Sed angulus A equalis est angulo D ratione arcus in quem cadunt. Ergo etiam AEB et BGD anguli sunt equales. Ergo ex quarta sexti Euclidis que est proportio AB linee ad lineam BD eadem est linee AE ad lineam DG. Ergo ex 15^a eiusdem quod fit ex ductu AB in DG equale est contento sub AE et BD. Item angulus EBG est equalis angulo ABD et angulus EGB equalis est angulo ADB. Ergo que est proportio linee AD ad lineam EG eadem est linee BD ad lineam BG. Ergo quod fit ex ductu AD in BG equum est contento sub sub] followed by two words crossed out by the scribe: AE et P BD et EG. Ergo ex prima secundi Euclidis que fiunt ex ductu AD in BG et AB in GD valent [valent] contentum sub BD et AG lineis et hoc volui demonstrare.

〈I.22〉 22. Si fuerint in semicirculo corde duorum arcuum inequalium note, erit etiam nota corda arcus quo maior excedit minorem.

Ut si corda arcus AG et corda minoris arcus, utpote AB, sint note, dico notam esse cordam BG. Ducam enim cordam EG complementi semicirculi et dyametrum AE et traham cordam BE. Sunt igitur EG et EB note quod patet. Ergo ex proxima quod fit ex ductu AG in BE est equale eis quorum alterum continetur sub lineis AB et GE et reliquum sub lineis AE et BG. Sed corda BE nota, ergo contentum sub AG et BE notum est. Ergo contentum sub AE et BG notum et linea AE nota est. Ergo linea BG nota est, quod querimus.

〈I.23〉 23. Si duorum arcuum corde note sunt, nota est etiam corda que arcui ex duobus composito subtenditur.

Si enim nota est corda arcus AG et corda arcus AB est etiam nota, corda arcus BG ducam dyametrum ADE et coniungam punctum E cum punctis B et G. Oportet igitur notas esse BE et GE lineas. Ergo nota sunt que fiunt ex ductu GE in AB et ex ductu BE in AG. Ergo notum est contentum sub lineis BG et AE. Ergo linea BG nota. Nota enim est linea AE cum sit dyameter et hoc est quod volui probare.

〈I.24〉 24. Si fuerit nota corda arcus, necesse est notam esse cordam medietatis eiusdem.

Sit nota corda arcus AG cuius medietas sit AB. Dico notam esse cordam AB. Ducam enim a puncto B ad centrum D semidyamtrum. Ergo secat ipse cordam AG per medium et perpendiculariter. Sit sectio super E. Coniungam autem puncta A et D itemque puncta A et B. Cum igitur rectus sit E angulus et notum sit quadratum AD nota erunt quadrata linearum AE et ED. Sed notum est quadratum linee AE quia ipsa est nota cum sit dividium noti. Ergo nota est ED linea et nota est linea DB. Ergo nota est EB. Ex hiis igitur quis nesciet notam esse lineam AB nisi qui partes ad quartam reducere non novit et extrahere radicem.

〈I.25〉 25. Si protrahantur in circulo duorum inequalium arcuum corde, maior est proportio maioris arcus ad minorem quam maioris corde ad cordam minorem.

Sint arcus inequales AB et BG habentes cordas subtensas. Ut igitur probem maiorem esse proportionem arcus BG maioris ad arcum AB minorem quam corde BG ad cordam AB, subtendo totum arcum AG corda AEG et angulum ABG seco per medium linea BED secante circulum et coniungo punctum D cum punctis A et G et traho lineam DZ perpendicularem super lineam AG. Est igitur ED linea maior quam linea ZD, sed minor quam linea AD. Ergo circumferencia curvata super centrum D cum spacio linee ED secat lineam AD. Sit autem sectionis locus H et non lineam ZD. Occurrat autem ei in puncto T. Per octavam igitur quinti Euclidis videre potes quod maior est proportio EDT sectoris ad EDH sectorem quam EZD trianguli ad triangulum EDH. Ergo maior est proportio EDT anguli ad angulum EDH quam ZE linee ad lineam EA quia que est proportio sectorum eadem est angulorum et per primam sexti Euclidis que est triangulorum eadem est linearum. Ergo etiam maior est proportio HDT anguli ad HDE angulum quam linee ZA ad lineam EA. Ergo item maior est proportio ADG anguli ad angulum HDE quam proportio GEA linee ad lineam EA. Ergo disiunctim maior est proportio anguli EDG ad angulum HDE quam proportio linee ad lineam EA. Sed que est linee GE ad lineam EA eadem est corde BG ad cordam BA ex tercia sexti Euclidis et que est angulorum eadem est et arcuum eos suscipientium ex ultima eiusdem sexti. Infer igitur ex hoc quod probandum proponebatur. Sed tamen sunt hec sex propositiones libri Ptholomei ad notificandas corda arcuum notorum necessarie.

Videamus igitur quid conferant hec premissa. Cum igitur linea circulum continens omnino dividi soleat in 360 gradus et dymetri divisio fiat in 120 partes, deinde autem tam gradus quam partes in 60 minuta quod licet minutum in 60 secunda quod licet secundum in 60 tercia et sic deinceps. Cum itaque hoc fiat arcum esse notum nihil aliud est quam scire ex quot gradibus vel minutiis graduum componatur. Tunc enim nota erit proportio ad totam circumferentiam. Corde quoque noticia surgit ex eo quod scitur quot partes de partibus dyametri contineat. Per hoc enim nota erit eius proportio ad dyametrum. Ex 19^o igitur theoremate comparatur noticia cordarum quas dicam, si diligens lector per extractionem radicis que docetur in minutiis eas de quadratis suis extrahere velit. Inveniet autem diligens inquisitor cordam arcus 36 graduum que est latus decagoni habere partes de partibus dyametri 37 minuta 4 secunda 55 fere. Remanet enim aliquid in operatione quo insensibiliter exceditur quantitas cuius vere radix est quantitas prescripta. Ea autem que remanent sunt 45 secunda 49 tercia et 35 quarta. Latus vero exagoni quod est corda arcus 60 graduum quis nescit esse 60 partium cum sit dividium dyametri. Porro latus pentagoni super quod curvatur arcus 7 secundorum graduum constat secundum propinquitatem ex partibus 70 minutiis 32 et 3 secundis. Superfluunt tamen in operatione 1 secundum 25 tercia 56 quarta. Latus item quadraticus arcus est 90 graduum. Sciet calculator discretus discretus] aliter inpians i. m. P constare ex partibus 84 minutis 51 et secundis 10 nisi quod in operatione remanent 21 secunda 58 tercia 20 quarta. Si vero latus trigoni equilateri et equianguli circulo inscripti quod subtendit arcum 120 graduum post Calices siccatos quesieris, fortasse non deprehendes quod constat ex partibus 103 minutis 55 secundis 22. In operatione autem qui recte fecerit relinquet 3 minuta 22 secunda et 31 tercia et 56 quarta. Sed quia hec superfluitas in qua colliguntur 3 minuta fortasse faceret sensibilem errorem. Addamus radici 1 secundum et ponamus totam quantitatem 103 partes 55 minuta 23 secunda. Hec igitur est utilitas 19^e propositionis que prima est aput 〈P〉tholomeum. Cum autem cordam notam arcui subtenderis et a termino ipsius dyametrum extraxeris ipsumque dyametrum pro altera corda posueris ex 20^a et 21^a perduxeris ad noticiam corde que subtendit arcum qui complet dividium circumferentie cum arcu eius corda posita est nota. Nota illa quia utilia sunt.

〈I.26〉 26. Lineam que unius gradus corda ponatur sine errore sensibili per considerationem veritati proximam investigare.

Protrahamus in circulo duas cordas que sint AB latus decagoni et AG latus exagoni. Ergo ex 21^a nota est corda BG cuius arcus est 24 graduum. Ergo ex 23^a nota est corda 6 graduum, ergo et trium graduum itemque gradus et medietatis, ergo etiam trium quartarum. Est autem corta corta] sic P 3 quartarum unius gradus que habet 47 minuta et 8 secunda. Ponamus itaque cordam trium quartarum AB et cordam integri gradus AG. Ergo ex 24^a maior est proportio arcus AG ad arcum AB quam corde AG ad cordam AB. Sed que est proportio gradus ad 3 quartas suas eadem est unius partis et 2 minutorum et 50 secundorum et 40 terciorum ad 47 minuta et 8 secunda. Utrinque enim est sesquitercia quod patet consideranti. Ergo corda unius gradus minor est quam pars una et 2 minuta et 50 secunda et 40 tercia. Addamus nunc cordam unius gradus et dividii AH. AH] followed by two words crossed out by the scribe: ergo iterum P Ergo iterum maior est proportio arcus AH ad arcum AG quam corde AH ad cordam AG. Est autem quantitas corde AH pars una 34 34] followed by one word crossed out by the scribe: secunda P minuta 15 secunda. Huius autem summe ad partem 1 et duo minuta et 50 secunda est proportio sesqualtera sicut arcus AH ad arcum AG quod non occurrit non consideranti. Ergo minor est proportio corde AH ad cordam AG quam partis unius et 24 minutorum et 15 secundorum ad partem unam 2 minuta et 50 secunda. Ergo maior est corda AG que subtendit unum gradum quam pars una 2 minuta et 50 secunda. Minor autem erat iam corda AG quod pars una 2 minuta 50^a et 40^ta tercia. Sit igitur secundum sumptionem veritati propinquam arcus unius gradus corda partis unius 2 minutorum 50 secundorum et 20 terciorum et hoc est ad quod tendebam. Poteris autem iuxta hunc modum cuiuslibet arcus cordam ignotam probabili consideratione cognoscere.

〈I.27〉 27. Cum in triangulo rectilineo duo latera sunt nota, si tunc angulus ab eis contentus notus fuerit, necesse est totum triangulum lineis et angulis esse notum.

Sit triangulus AGD cuius duo latera nota que sint AD et DG sitque angulus D notus. Dico notum esse latus AG et notos esse angulos A et G. Ducatur enim super latus GD notum ab angulo opposito linea AB perpendiculariter. Ergo linea AD est dyameter circuli circumscriptibilis triangulo ABD. Sed quadratum AD linee notum est quia ipsa nota. Ergo quadrata linearum AB et BD nota simul. Sed linea AB nota quia eius arcus notus propter angulum D notum cadentem in eum. Ergo nota est linea BD et nota est tota GD GD] corr. ex GB P. Ergo nota est linea GB. Ergo nota sunt quadrata linearum AB et BG. Ergo notum est quadratum linee AG quia et ipsa nota. Sed etiam est notus arcus corde AB note in circulo circumscriptibili triangulo ABG. Ergo notus est angulus G. Ergo cum G et D anguli noti sint notus est etiam tercius, scilicet angulus A. Sed contingat ut perpendicularis a puncto A descendens cadat extra triangulum assignatum et ut maneat eadem figura fuerit datus triangulus ABG et occurrat perpendicularis linee GB extra triangulum super punctum D. Sint autem note linee AB et BG et angulus B notus. Cum ergo rectus angulus sit et nota sit linea AB nota erunt quadrata linearum AD et BD et linea AD nota quia uterque angulus super B notus. Ergo nota est linea BD. Ergo nota est tota linea DG. Sed angulus D rectus est et linea AD iam facta est nota. Ergo nota est linea AG per suum quadratum et G angulus notus est per arcum AB note corde. Ergo oportet notum esse angulum GAB. Ponatur iterum quod triangulus datus fuerit ABD cuius latera AD et DB nota et notus angulus D et occurrat DB linea perpendiculari extra super punctum G. Ergo iterum AG nota est per angulum D notum et notificantem arcum. Ergo GD nota est, ergo etiam GB nota, ergo AB nota per suum quadratum. Item ABD angulus notus per arcum corde note AD. Ergo etiam angulus BAD notus. Habes itaque propositum secundum omnem mutationem.

〈I.28〉 28. Si vero duo latera nota sunt et angulus unus contentus non a duobus lateribus notis notus, necesse est iterum totum triangulum notum esse. Si de reliquo angulo non contento duobus lateribus notis, apparet an sit accutus an non.

Hoc quod apponitur hic se de reliquo et cetera. Tantum propter hoc dicitur quia per illud scitur an perpendicularis descensura cadat intra triangulum aut non. Sit ergo triangulus AGD cuius latera AG et AD nota et ponamus angulum D notum ab angulo A contento. Sub lateribus notis protraham perpendicularem que primo cadat in triangulo super punctum B. Ergo quadrata AB et BD linearum nota sunt. Sed notus est angulus D. Ergo notus est arcus corde AB, ergo et ipsa nota respectu linee AD note. Ergo ipsa est nota [est] linea, ergo linea BD nota. Simili ratione nota erit GB. Ergo nota est tota linea GD et arcus note corde et linee AB notus, ergo angulus G notus, ergo etiam angulus A notus. Si vero perpendicularis cadat extra triangulum, facile est consideranti nunc dicta et proximo premissa propositum ita ut oportet convincere.

〈I.29〉 29. Angulorum noticiam per omnia latera nota et conversim laterum noticiam per omnes angulos non ignotos et unum latus notum extrahere sit propositum. Erit autem hoc satis facile, si constiterit quod linea qualibet incisa, si nota est ipsa et nota est superfluitas duorum quadratorum que sunt duarum partium linee incise, necesse est utramque earundem linearum notam esse.

Ponam igitur note linee nomen GD et inscidam eam super B punctum sitque notus excessus quadrati linee BD super quadratum linee BG. Volo igitur notificare lineas GB et BD. Ducam perpendiculares AB et SN ut compleam quadrata laterum et ponam DF lineam equalem linee GB et traham perpendicularem CF. Ergo paralellogramum QZ est equale paralellogramo GZ. Ergo addito utrimque tetragono AZ equalia erunt AN quadratum et SFA superficies gnomoni similis. Ergo AF paralellogramum est excessus quadrati AN super quadratum SB. Ergo nota est superficies AF et notum est latus eius CF. Ergo notum est BF alterum laterum continentium ipsum. Ergo nota est BM linea medietas linee BG. Sed nota est GM. Est enim medietas linee GD note. Ergo nota est linea GB, ergo et BD, quod intendebam probare.

Sed Geber hoc idem aliter fieri docet. Dividam, inquit, superfluitatem quadratorum per datam lineam incisam et accipiam superfluitatem que est inter illud quod exivit et lineam dividentem et accipiam illius superfluitatis medietatem et erit ipsa minor partium in quas divisa est linea. Hoc planum est. Superfluitas enim quadratorum que est AF sit ex ductu GD date linee in lineam BF que est superfluum duarum linearum GB et BD. Ergo divisa superfluitate quadratorum per lineam GD exibit excessus linee BD super lineam GB qui est linea BF. Ergo illo substracto ex linea GD manebit duplum linee GB. Ergo eo dimidiato habebis lineam GB notam.

Hoc habito ponam triangulum AGD omnibus lateribus notum et sint G et D anguli acuti et ducam a puncto A lineam perpendicularem super punctum B. Si ergo equales sunt AG et AD latera, erit BD dimidium linee GD, ergo BD nota et eius quadratum. Ergo etiam notum est quadratum linee AB, ergo et ipsa linea, ergo anguli G et D noti per arcus suos in quos cadunt, ergo angulus A notus. Sit etiam minus AG quam latus AD. Nota igitur est superfluitas quadratorum AG et AD. Sed eadem est superfluitas quadratorum GB et BD quia et ipsa sunt nota. Ergo notum est quadratum AB linee, ergo anguli G et D noti, ergo et angulus A notus. Si vero noti sunt omnes anguli, noti sunt omnes arcus in quos cadunt, ergo et corde respectu dyametri, ergo earum proportiones ad dyametrum note, ergo earundem proportiones ad se invicem note quia si unum laterum simpliciter notum fuerit, necesse est omnia nota esse, quod fuit propositum ultime propositionis primi libri Geber.

Explicit primus liber Geber.

〈II〉

〈II.1〉 1. Qualiter super instrumentum cuius preparatio ad inventionem maxime declinationis necessaria est lineari debeat linea meridionalis ostendere propositum est.

Locabo enim marmor habens latitudinem planam bene politam in loco edito ubi Solis accessus non impediatur, utpote in suprema testudine verticis operis Magdeborc, et fixo super medium eius pede circini signabo circulum pro libito cui nomen AB et erigam perpendicularem supra superficiem a centro iam fixo quod sit G lineaque erecta vocetur DG; et sit tanta ut eius umbra brevissima, id est meridionalis, non tangat circulum, tangat autem eum in aliqua parte diei. Fulciemus itaque massam illam marmoris ita ut DG stilus erectus perpendiculariter sit pars linee exeuntis a centro terre per centrum marmoris in firmamentum. Quod factum esse scias, si perpendiculo cementarii suspenso super stilum stilus ei directe occurrat. Hoc igitur facto sede et nota in tempore ante meridiem quando umbra stili extra circulum egressa capite suo tangat circumferenciam et fac ibi notam A. Similiter post meridiem cum umbra circulum egressura primo tangat circumferenciam nota punctum et voca illud B. Arcum autem AB divide per medium in puncto E et duc lineam EG eamque protrahe hinc inde ad finem. Dico ergo quod ipsa est linea meridionalis quod ideo dico quia est in superficie circuli meridionalis. Ymaginabor itaque circulum firmamenti in cuius superficie sit circulus HZ et circulus quem circuit centrum Solis sit MKTL sitque T punctum in quo fuit Sol cum umbra stili DG terminabatur in puncto B; et ponam pro radio lineam TDB. Item punctum in quo fuit Sol cum umbra stili cecidit in punctum A vocetur K et pro radio sit KDA. Ymaginabor cenith stili DG et vocabo illud S et coniungam per intellectum puncta S et D et intelligam duos magnos circulos transire alterum super punctum S et punctum K et alterum super puncta S et T. Circulum quoque meridiei vocabo QSF in cuius superficie constat esse punctum G. Est igitur punctum S polus orizontis et similiter polus circuli HZ HZ] corr. ex HT P. Oportet igitur arcus SR et SC equales esse. Traham autem lineas AG et BG. Itaque in triangulo ADG equalis est linea AG linee BG. In triangulo BDG communis est linea DG. Angulus vero ADG equalis est angulo BGD quia uterque rectus. Ergo etiam angulus ADG est equalis angulo BDG. Ergo etiam sunt equales anguli SDK et SDT. Si ergo intelligerentur due linee exire a centro terre in puncta K et T, oporteret angulos centrales cadentes in arcus SK et ST equales esse iuxta hanc regulam. Si due linee a puncto dyametri non medio exeuntes in circumferenciam contineant cum dyametro angulos equales et a centro educantur duo semidyametri in puncta sectionum circumferencie, necesse est angulos centrales equales esse. Cuius ratio nulli non occurrit nisi non querenti. Ergo arcus SK et ST equales sunt. Item circulus QSF cum sit meridianus secat orthogonaliter circulum MKTL quia ipse est circulus arcus diei et arcus noctis. Ergo ex octava primi huius et undecima et duodecima Theodosii cum quibus est eadem arcus KP equalis est arcui PT. Sed arcus MPL secatur per medium in puncto P a circulo meridiano quia ipse est quasi arcus diei vel ex nona primi Theodosii. Ergo arcus MK equalis est arcui TL. Sed iterum arcus KR equalis est arcui TC et uterque orthogonaliter insistit dyametro circuli HZ. Ergo iterum ex undecima primi Theodosii arcus MR et LC equales sunt. Ergo adiuvante iterum nona primi Theodosii arcus RF equalis est arcui FC. Ergo angulus RGF equalis est angulo CGF. Ergo communis differentia circulorum meridiani et AB secat arcum BA per medium. Ergo pars eius est linea EG. Ergo ipsa est in marmore pro circulo meridiano. Est igitur ipsa linea meridiana. Abstrusis igitur angulis tractibus lineam EG in directum per latitudinem marmoris protractam incide in marmore notabiliter ut ea cum volveris uti possis; et hoc est quod erat faciendum.

〈II.2〉 2. Quantitatem maxime declinationis per instrumenti considerationem invenire ostenso prius qualiter ipsum instrumentum fieri oporteat.

Preparabo laminam eneam vel de alia materia quadrate figure et latera eius oportet esse planissima et tam spissa, ut super quodlibet eorum stare possit massa illa. Una quoque eius superficies erit planissima in qua super idem centrum duos signabo circulos. Unum tante latitudinis quante potest esse ut sit in quadrato inscriptus, alterum minorem, ita scilicet ut relinquatur extra eum coronula parve latitudinis. In qua signabo 360 gradus et illos dividam in minuta et illa in secunda et sic procedam quantum fieri potest. Deinde latitudinem interioris circuli cavabo et concavitatem illam planabo optime. Quo facto preparabo aliam rotundam laminam planissimam tam latam ut concavitatem impleat, tam spissam ut cum coronula in qua gradus signati sunt fiat in una superficie cum concavitati fuerit imposita. In huius autem interioris rote latitudine dyametrum ducam et in capitibus ipsius erigam duas parvulas et valde graciles pinnula eque altas et eque graciles et erigam eas perpendiculariter ita ut ducta linea per medium utriusque in longum utraque linea cadat in dyametrum. In utraque etiam parte dyametri ponam [ponam] duas pinnulas iacentes infixas stantibus. Quarum officium erit ut numerent revolutione rote interioris gradus in limbo signatos. Cum igitur apropinquabit solsticium estivale feram hanc massam ad lineam meridionalem et erigam eam super unum laterum ita ut directe applicetur superficies in qua eminent pinnule linee meridiane. Cum ergo Sol fuit in capite Cancri observabo meridiem et volvam et revolvam tam diu rotulam interiorem donec umbra pinnule superioris directe cadet super pinnule inferioris umbram et signabo tunc locum umbre in limbo per per] corr. ex pro P gradus distincto. Cumque in solsticio hyemali similiter ceciderit umbra notabo etiam tunc locum et sciam quod arcus qui erit inter hec duo puncta similis est arcui interiacenti punctum Cancri et punctum Capricorni. Intelligam enim centrum instrumenti esse centrum terre quia eorum distancia nihil est sensibile respectu capacitatis firmamenti.

Paratur etiam aliud instrumentum commodius sic. Accipe laterem vel aliquid aliud quadrate forme et plana optime unam eius superficiem et latera eius et sint tam spissa ut possit stare quadratum illud sine mutatione. Fixo igitur pede circini in uno recto angulo. Describe ad quantitatem lateris quartam circuli et eam distingue per gradus 90 et per minuta et quanto ulterius poteris. Postea fige duas parvas pinnulas et omnino equales, alteram in centro, alteram in fine semidyametri, et erige hanc massam super unum latus eius super lineam meridionalem ita ut superficies habens pinnulas respiciat orientem et sit pinnula centri superior et altera inferior. Suspenso autem in pinnulas perpendiculo considerabis an recte sit erectum instrumentum. Cum ergo Sole exeunte in puncto Cancri fuerit meridies vide ubi umbra pinne que est in centro tangat circulum et similiter ubi tangat Sole exeunte in puncto Capricorni et illud spacium quod interiacebit puncta scias esse pene et sine errore sensibili simile ei quod interiacet puncta Cancri et Capricorni per eandem rationem que iam dicta est. Nota autem quod per eadem considerationem diligens inquisitor poterit invenire distanciam cenith loci in quo fit consideratio ab equinoctiali. Secto enim per medium arcu interiacete duo loca umbrarum medietas erit arcus maxime declinationis. Vide ergo quod Ptholomeus secundum hanc considerationem invenit distanciam inter duos tropicos arcum habentem super 47 gradus plus duabus terciis unius gradus que sunt 40 minuta et minus medietate gradus et quarta que sunt 45 minuta. Erit itaque maxima Solis declinatio 23 gradus 51 minuta et 20 secunda fere. Albateny vero invenit quod esset 23 gradus 35 minuta, Arzachel autem quod esset 23 gradus et 33 minuta et 30 secunda. Quapropter diligenter est ad hec inspiciendum et magis usui quam auditui est credendum cum diversi consideratores in diversis temporibus non eandem quantitatem maxime declinationis inveniant. Inveniunt tamen non multum diversam.

〈II.3〉 3. Cuiuslibet puncti in zodiaco cuius discessus a puncto equinoctii notus est declinationem invenire.

Sit circulus equinoctialis ABGD, zodiacus AEGZ et sit locus equinoctii A punctum, punctum datum sit E sitque notus arcus AE, polus equinoctialis sit H. Ducam quartam circuli HEB. Dico notum esse arcum EB qui est declinatio E puncti ab equinoctiali. Ex 13^a enim prioris oportet ut que est proportio sinus lateris AE AE] vel AC sub lin. P ad sinum quarte que est arcus anguli B recti eadem est sinus lateris EB ad sinum maxime declinationis que est arcus anguli A. Sed notus est sinus lateris AE quia ipsum notum. Notus est etiam sinus quarte. Item notus est sinus maxime declinatonis quia ipsa est nota. Ergo notus est sinus lateris EB, ergo et ipsum notum. Patet igitur quod que est proportio sinus lateris AE ad sinum quarte eadem est sinus lateris EB ad sinum maxime declinationis. Ergo adiuva〈n〉te 16^a sexti Euclidis patet hec operationis regula.

〈II.4〉 4. Si sinus arcus inchoati ab equinoctiali cuius finalis puncti declinatio queritur, multiplicetur in sinum maxime declinationis et productum dividatur per sinum quarte, exibit sinus quesite declinationis.

Et de manifesto est, quoniam cum sciveris quantitates declinationum partium quarte unius orbis signorum, erunt declinationes partium cuiusque trium quartarum reliquarum scite per similitudinem dispositionis in eis.

〈II.5〉 5. Cuiuslibet portionis circuli declivis elevationem in spera recta invenire.

Sit ut modo equinoctialis ABG, zodiacus AEG, polus equinoctialis H et ducam HEB arcum coluri. Sit notus arcus zodiaci AE. Dico notum esse AB arcum qui cum eo elevatur. In spera recta erit enim ex 15^a prioris proportio sinus complementi lateris EA ad sinum complementi lateris AB sicut sinus complementi EB ad sinum quarte. Sed notus est sinus complementi lateris AE quia ipsum notum. Similiter notus est sinus complementi lateris EB quia arcus AB est declinatio nota ex premissa. Ergo quia quia] followed by two letters crossed out by the scribe: sc P sinus quarte notus, erit notus sinus complementi lateris AB, ergo eius complementum notum, ergo arcus AB notus, quod querebam.

〈II.6〉 6. Per notam poli altitudinem arcum orizontis qui equinoctialis sectionem et ortum puncti zodiaci cuius discessus ab equinoctiali notus est interiacet notificare. Et econtrario per hunc notum poli altitudinem invenire.

Sit circulus meridiei ABGD, circulus equinoctialis BED, cuius polus H, ducatur orizon AEG sitque elevatio poli HA arcus notus. Sit etiam Z punctum cuius discessus ab equinoctiali notus. In puncto E sit sectio equinoctialis et orizontis. Dico notum esse arcum EZ. Ducam ad hoc arcum HZT. Ergo T angulus rectus est. Ergo ex 13^a primi que est proportio sinus lateris EZ ad sinum quarte eadem est sinus lateris ZT ad sinum arcus anguli E, id est ad sinum arcus AD. Sed notus est arcus AD quia nota est quarta HD et notus est arcus HA qui est elevatio poli et notus est arcus TZ quia est declinatio puncti Z nota ex tercia huius. Nota est etiam quarta. Ergo notus est arcus EZ, quod erat propositum. Si autem notus est arcus EZ oportet per per] sup. lin. P hanc eandem probationem notum esse arcum AD et sic notus erit arcus HA qui est elevatio poli H, quod erat pars secunda propositionis.

〈II.7〉 7. Cum fuerit discessus alicuius puncti zodiaci ab equinoctiali notus inveniemus quantitatem arcus sue diei per notam poli altitudinem sive per notum arcum orizontis qui equinoctialem et puncti illius ortum interiacet. Et similiter per arcum diei notificabimus predictum orizontis arcum et poli altitudinem.

Sit discessus puncti Z notus. Ergo notus est arcus TZ ex tercia huius sitque arcus HA qui est altitudo poli notus. Ergo notus est arcus EZ. Addam itaque figure premisse paralellum ZX qui est dividium arcus diei puncti Z et est similis arcui TB quia invento TB notus erit arcus ZX. Invento autem arcu TE notus erit arcus TB quia volo notificare arcum TE. Sed ipse est notus, nam ex 15^a primi huius ea est proportio sinus complementi lateris ET ad sinum quarte que est sinus complementi lateris EZ ad sinum complementi lateris ZT propter quod oportet notum esse arcum TE cum noti sint arcus EZ et TZ et quarta circuli. Item si notus est arcus ZX, notus est arcus TB et tunc notus est arcus ET. Notus autem est arcus ZT. Sed que est proportio sinus complementi arcus ET ad sinum complementi arcus TZ eadem est sinus complementi arcus EZ ad sinum quarte quia notus est arcus EZ. Ergo etiam ex premissa notus est arcus HA et hoc est quod intendebamus.

〈II.8〉 8. Cum fuerint duo circuli equidistantes equinoctiali et equaliter ab eo elongati vel a duobus tropicis orizon secans eos ita eos secabit ut arcus diei in uno sit equalis arcui noctis in altero eritque arcus orizontis equinoctialem et duos paralellos hinc inde interiacentes equales.

Sit circulus meridiei ABGD, circulus equatoris diei BED et orizon AEG paralellorum, quales exigit propositio, ZX et MP coalterni arcus. Hos dico esse equales. Volo tamen prius ostendere equalitatem arcuum EM et EZ in orizonte suppositorum a polis equinoctialis N et A. Duco arcus NL et AT super incisionem paralellorum ab orizonte usque ad equinoctialem. Manifestum est igitur quod anguli incisionis super E equales sunt. Ergo eorum arcus equales et eorum latera ML et ZT sunt equalia propter equalem elongationem paralellorum ab equinoctiali. Ergo que est proportio sinus lateris [lateris] ZT ad sinum arcus anguli ZET eadem est sinus lateris ML ad sinum arcus anguli MEL. Sed L et T anguli recti sunt. Ergo interposita 13^a precedentis que est proportio sinus lateris EZ ad sinum quarte eadem est sinus lateris EM ad sinum quarte. Sed tam EM quam EZ minus est quarta. Ergo oportet ME et EZ arcus equales esse. Quia ergo ML et ZT arcus equales quarta minores sunt orthogonaliter erecti super dyametros circuli BED, oportet ex octava primi huius vel undecima primi Theodosii que eedem sunt arcus LE et ET esse equales. Ergo arcus LD qui similis est arcui MP equalis est arcui BT simili arcui TX. Ergo arcus MP et ZX similes sunt et sunt equalium circulorum propter equalem eorum elongationem ab equinoctiali. Ergo sunt equales. Ergo etiam eorum partes residue sunt equales et ex hoc apparet propositum.

〈II.9〉 9. Nota Solis altitudine per eam gnomonis umbram notificare et conversim per notam umbram gnomonis notam facere Solis altitudinem.

Sit circulus meridiei ADG cuius centrum E et sit summitas gnomonis EG stantis et ymaginabor EG educi directe donec secet meridianum super punctum A quod sit punctum capitum. Ducam etiam lineam rectam GT contingentem meridianum. Sit igitur H locus Solis in meridie et ducam DE lineam concurrentem cum linea GT in puncto T. Linea vero DZ equidistet linee que communis est differentia meridiani et orizontis linee, scilicet QE QE] followed by an unclear letter or symbol crossed out by the scribe P. Vides ergo duos triangulos similes quorum unus est EZD et alter EGT et apparet quod proportio linee EZ ad lineam DZ est sicut proportio linee EG ad lineam GT. Sed nota est EZ quia ipsa est sinus DQ note altitudinis. Nota etiam est DZ quia est sinus AD supplementi altitudinis et nota est EG quia ipsa est gnomon. Ergo nota est GT umbra. Quod si nota est umbra GT, facile est iuxta hunc modum scire altitudinem GQ, si sit querenda. Si autem posiveris D punctum esse minime altitudinis Solis in meridie, utpote in capite Capricorni, et punctum H esse maximam [esse] altitudinem Solis, ut in puncto Cancri, erit medietas arcus DH maxima declinatio que poterit per hanc viam nota fieri.

〈II.10〉 10. Sub equinoctiali omnes dies sunt equales noctibus suis et sibi invicem invicem] preceded by one word crossed out by the scribe: in P et omnes stelle ortum habent et occasum et umbre meridiane quandoque ad meridiem, quandoque ad septentrionem, quandoque nusquam declinant.

〈II.11〉 11. Sub omni linea equidistante equinoctiali bis tantum dies fit equalis nocti in anno et dies estivi prolixiores hybernis. Noctes vero breviores et quantomagis disceditur ab equinoctiali tanto dies estivi fiunt productiores. Hyberni vero correptiores et quedam stelle apparentes semper quedam numquam et distancia cenith ab equinoctiali equalis est altitudini poli.

〈II.12〉 12. Sub omni linea cuius distancia ab equinoctiali minor est maxima declinatione Solis umbre meridiane quandoque ad meridiem declinant et bis in anno declinatione carent.

〈II.13〉 13. Sub omni linea cuius discessus ab equinoctiali est ut maxima declinatio Solis umbra semel in anno caret declinatione et umbra meridiana numquam declinat ad meridiem.

〈II.14〉 14. Sub linea cuius discessio ab equinoctiali est equalis remotioni polorum zodiaci ab equinoctiali umbra in aliquo die ad omnem partem orizontis circumgiratur et fit spacium 24 horarum dies sine nocte et ex opposito nox sine die; et quanto ab hac linea magis disceditur ad polum tanto maius tempus est dies sine nocte et ex opposito nox sine die.

〈II.15〉 15. Sub polo medietas celi apparet semper et medietas semper est occulta et anni spacium dies una cum nocte sua.

Hec omnia speram tenenti plana sunt nec opus est hic figura vel diffusa demonstratione.

〈II.16〉 16. In spera declivi sive obliqua quilibet duo arcus equales et equaliter distantes a puncto equinoctii equales habent elevationes.

Hoc non dicitur de spera obliqua quia de recta sit falsum, sed quia est ibi manifeste verum. Sit autem circulus meridiei ABG, equinoctialis sit BED, orizontis obliqui circulus sit AEG. Sit autem prenominate figure tam punctum T quam punctum Z punctum vernale et sint TK et ZB duo arcus zodiaci equales hinc inde sumpti a puncto vernali. Horum elevationes in declivi spera sint ET et EZ arcus equinoctialis. Hos dico esse equales. Sit enim polus articus L a quo super punctum K eat arcus circuli magni qui sit LKN. Item polus australis sit punctum M a quo curvetur pars circuli magni que sit MHP super punctum H. Sunt igitur declinationes TK et ZH arcuum arcus HP et KN et sunt equales quod sequitur ex posito et propter idem arcus orizontis qui sunt EK et EH sunt equales. Vide nunc triangulum EKN ex arcubus magnorum in quo angulus N rectus est. Ergo ex 15^a precedentis sinus complementi lateris EK subtensi recto ad sinum complementi lateris KN est sicut proportio sinus complementi lateris EN ad sinum quarte. Eadem ratione in triangulo EHP cuius P angulus rectus est proportio sinus complementi lateris EH ad sinum complementi lateris HP est sicut proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte. Sed proportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KN est sicut proportio sinus complementi lateris EH ad sinum complementi lateris HP propter equalitatem laterum EK et EH et laterum KN et HP. Ergo proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte est sicut proportio sinus complementi lateris EP ad sinum quarte. Sed tam EP quam EN minus est quarta. Inde sequitur quod equalis sit arcus EN arcui EP. Item arcus TN equalis est arcui ZP quia ipsi sunt elevationes arcuum TK et ZH in spera recta. Ergo TP arcus est equalis arcui ZN. Ergo arcus ET equalis est arcui EZ, quod est propositum.

〈II.17〉 17. Cum in circulo declivi sumpti fuerint duo arcus equales equaliter distantes ab alterutro puncto tropicorum necesse est ut eorum ascensiones in spera declivi coniuncte sint equales elevationibus ipsorum coniunctis in spera recta.

Sit circulus meridiei ABGD, circulus orizontis obliqui AEG et circulus equinoctialis BED, puncta quoque equinoctialia sint Z et H, arcus zodiaci equales et equaliter distantes ab uno punctorum solsticialium sint arcus ZT et HT et si placet arcus HT sit signum Piscium et ZT signum Libre et quia arcus HT et ZT sunt equales et equaliter distantes a puncto solsticii necessario habent equales declinationes et in quo puncto orizontis oritur principium signi Piscium in eodem oritur finis Libre. Sit illud punctum T et sit utriusque declinatio TM. Item orizontis declivis et equinoctialis sectio sit E. Patet autem quod diviso zodiaco in Z media in punctis solsticialibus illa medietas in qua est Aries minus ponit in ortu in spera declivi quam in recta quia oritur cum minori parte equinoctialis in spera declivi quam in recta. Contrarium est [est] in altera medietate. Ergo arcus HT cum minori arcu equinoctialis oritur in spera declivi quam in recta et est differentia ortium arcus EM. Arcus vero ZT econtrario sit etiam differentia ortium eius arcus ME. Dico equales esse differentias ortium. Quo habito inferam propositum. Consideram ergo in primo ortu arcus HT triangulum in quo angulus M rectus est. Ergo ex 15^a precedentis que est proportio sinus sinus] sup. lin. P complementi lateris ET ET] corr. ex EM P ad sinum complementi complementi] corr. ex quarte P lateris TM eadem est proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Item in ortu finis Libre considera triangulum ETM, [similiter] in quo similiter M angulus est rectus. Ergo etiam ibi est proportio sinus complementi lateris ET ad sinum complementi lateris TM et eadem est sinus complementi lateris ME ad sinum quarte. Sed arcus TM et ET sunt idem hinc inde. Ex hoc igitur scire poteris quod arcus EM et arcus ME sunt equales. Infer inde propositum.

〈II.18〉 18. Cuiuslibet portionis circuli declivis ortum in spera obliqua invenire, si notus sit eius orizon.

Orizon dicitur esse notus cum nota est poli elevatio. Sit itaque circulus meridiei ABGD, sit zodiacus LTH, sit equinoctialis BED. Sit orizon notus AEG et sit T punctum vernale sitque KT datus arcus in zodiaco notus cum quo oritur ET de equinoctiali. In spera declivi volo hunc notificare. Sit ergo KM declinatio arcus TK. Vides igitur KME triangulum in quo M angulus rectus est. Ergo ex 15^a precedentis proportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KM est sicut proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Sed nota est porportio sinus complementi lateris EK ad sinum complementi lateris KM quia notus est arcus EK ex quinta et notus est arcus KM ex tercia. Ergo nota est proportio sinus complementi lateris EM ad sinum quarte. Sed notus est sinus quarte. Ergo notus est sinus complementi lateris EM et arcus EM minor est quarta. Ergo notus est arcus EM. Sed notus est arcus TEM ex quarta. Ergo notus est arcus ET et hoc est quod volui.

〈II.19〉 19. Loco Solis et orizonte notis tam equales quam temporales diei et noctis horas invenire itemque has in illas conversim reducere. Signum quoque ascendens celique medium in omni hora reperire.

Quia enim notus est orizon sciemus quantum ponat in ortu quilibet notus arcus zodiaci. In eo ergo sciemus cum quanto arcu equinoctialis oriatur medietas zodiaci incepta a noto loco Solis. Ille ergo arcus est arcus diei artificialis quia in eo oritur zodiaci medietas et quia hora equalis est spacium in quo oriuntur 15 gradus de equinoctiali. Cum divisero arcum diei per 15 exibit numerus horarum equalium et quia hora temporalis diurna est duodecima pars diei artificialis. Cum divisero arcum diei per 12 exibit numerus horarum temporalium. Eodem modo per arcum noctis quere horas eius. Item inventa hora temporali〈s〉 diurna. Substrahe eam de 30 gradibus et residuum erit hora temporalis nocturna vel econtrario. Hoc ideo provenit quia quelibet hora temporalis diurna cum sua nocturna est duplum hore unius equinoctialis que est 15 graduum. Item inveni arcum diei in spera recta et arcum diei in spera data; et differentiam istorum arcuum partire in 12 et quamlibet duodecimam adde 15 gradibus, si Sol est in medietate septentrionali. Demes autem illud a 15 gradibus, si Sol est in medietate australi, et habebis horam temporalem diurnam. Accepta vero et divisa per 12 differentia arcuum noctis in duabus speris unamquamque duodecimam addes ad 15 si Sol est in signis australibus. Auferes autem si est in septentrionalibus ad habendas horas noctis temporales. Hec videt quis si considerat quod cum Sol est in signis septentrionalibus dies est nocte longior et hora temporalis diurna longior est hora equali. Sed hora temporalis nocturna brevior hora equali. Cum vero Sol est in signis australibus econtrario accidit. Geber autem iubet accipere arcum qui est inter caput Arietis et locum Solis et considerare differentiam eius ortuum in spera recta et data spera et eius sextam partem addere ad 15 gradus ad habendam horam temporale diurnam et demere ab eis ad habendum nocturnam si Sol sit in signis septentrionalibus et econtrario si sit in meridianis. Quod iam dicto equipollet quia illa differentia est dimidium differentie duorum arcuum die vel noctis in duabus speris. Quod sic videri potest: Sit Sol in fine Tauri in puncto D et oriatur in D puncto orizontis obliqui sitque cum eo in ortu punctum linee equinoctialis B. Punctum quoque equinoctialis quod oritur cum D puncto in spera recta sit C super quod et D ducatur colurus a polo artico quod sit Z. Est igitur arcus CB differentia ortuum arcus incepti a capite Arietis et terminati in puncto D in duabus speris. Habes ergo triangulum CBD in quo est angulus C rectus. Ergo proportio sinus complementi lateris DB ad sinum complementi lateris DC est sicut proportio sinus complementi lateris CB ad sinum quarte. Item sicut D punctum prius oritur in spera obliqua quam in recta, ita posterius occidit in obliqua quam in recta. Occidet autem cum puncto C in recta. Volo ergo quod punctum equinoctialis cum quo occidet in spera obliqua sit G et quia punctum D in eodem paralello oritur in quo occidit oportet arcum orizontis DB equalem esse arcui DG. Vides ergo triangulum GDC in quo C est rectus. Ergo que est proportio sinus complementi lateris DG ad sinum complementi lateris DC ea est sinus complementi lateris GC ad sinum quarte ex quo sequitur ut arcus GC sit equalis arcui CB. Arcus autem GCB est differentia arcuum diei in duabus speris. Ex hoc habes propositum. Hoc etiam vide ut dicta melius intelligas quod differentia arcuum diei in duabus speris est equalis differentie arcuum noctis in eisdem speris quod facile est videre speram vertenti. Item si horas quasdam ad alias reducere velis numerum datarum horarum multiplica in gradus unius unius] i. m. P illarum horarum et numerum excrescentem divide per numerum graduum unius horarum in quas vis facere reductionem sive ipse sint equales sive sint alicuius clymatis et numerus exiens erit numerus horarum in quas priores reducuntur, item data aliqua hora note denominationis. Hoc est quod scias esse quartam vel quintam et cetera. Inveniens autem per eam ascendens in ipsa. Hoc modo denominationem hore multiplica in numerum graduum suorum et habebis arcum equinoctialis qui oritur cum arcu zodiaci intercepto inter locum Solis et punctum ascendens si data est hora diurna. Si vero data est hora nocturna inveneris arcum equinoctialis orientem cum arcu zodiaci intercepto inter ascendens et punctum oppositum loco Solis. Erit autem ille arcus zodiaci notus per notum equinoctialis arcum cum quo ascendit. Ergo notum est ascendens cum ipsum finiat notum arcum zodiaci; et rursum si volumus invenire medium celi per datam horam notam, accipiemus numerum horarum preteritarum a meridie precedenti proximo usque ad datam horam ita ut ipsa includatur et numerum diurnarum horarum multiplicabimus in numerum graduum unius hore diurne et numerum nocturnarum in numerum graduum hore nocturne et excrescet arcus equinoctialis qui interim transivit per meridianum. Scies ergo per hoc arcum zodiaci interim ortum in spera recta cum illo arcu equinoctialis cumque scias eius inicium. Incipit enim a puncto in quo est centrum Solis. Scies etiam punctum quod tunc tangit meridianum et ipsum est medium celi. Item si volueris per partem ascendentem scire eam que celum dimidiat, considera de parte zodiaci que ad Arietem secundum ortum signorum ab ascendente porrigitur. Hoc est que incipit oriri cum Ariete et oritur usque ad ascendens et ab arcu equinoctialis qui cum eo in data spera elevatur. Aufer si potes 90 gradus, si non potes adde unam revolutionem et aufer a totali 90 gradus et accipe residuum et vide cum quo arcu zodiaci incepto ab Ariete secundum successionem signorum oriatur illud residuum in spera recta et illius arcus finem ascendens esse non dubitabilis, si speram verteris ut debes. Si vero per partem celi mediam vis invenire ascendens arcui equinoctialis qui transivit meridianum ab ortu Arietis quousque signum quod est medium celi ad meridianum perveniret, adde 90 gradus et vide que pars zodiaci ab Ariete incepta et vadens secundum successionem signorum oriatur cum totali illo arcu equinoctialis et eius terminum scias esse ascendens. Et manifestum est, inquit Geber, quod elongatio Solis a medio die et media nocte eorum qui habitant sub uno circulorum meridiei est longitudo una ex horis equalibus et super illos qui non habitant sub uno circulorum meridiei diversita〈s〉 medie diei est cum temporibus de temporibus equalitatis quorum numerus est equalis numero partium que sunt inter circulos meridiei ipsorum.

〈II.20〉 20. Angulo sperali super polum alicuius circuli magni constituto proportio eius ad 4 rectos est sicut proportio sui arcus ad totam circumferenciam.

Angulum speralem voco eum qui a duobus arcubus in superficie spere continetur. Arcum anguli hic voco, ut sepe, eum qui angulo subest duabus quartis contento. Item vide quod angulus speralis rectus dicitur qui super polum circuli magni consistens cadit in quartam circumferentie illius circuli. Si〈n〉t igitur AB et AD due quarte magnorum circulorum continentes in polo angulum BAD rectum. Erit ergo arcus BD quarta circuli magni. Faciam autem super polum A angulum BAC ducto arcu magni circuli AC. Si autem dividerem angulum BAD in plures angulos equales angulo BAC per arcus magnorum circulorum, abscinderentur etiam in arcu BD arcus equales, quod patet ex Mileo. Et ideo que est proportio anguli BAC ad angulum rectum BAD eadem est proportio arcus BC ad arcum CD. Ergo etiam que est anguli ad 4 rectos eadem est arcus subiecti ad totam circumferentiam, quod est propositum.

〈II.21〉 21. Transeuntibus duobus meridianis super duo puncta zodiaci ab altero punctorum equinoctialium equaliter distancia fient super ea duo anguli equales, alter intrinsecus, alter extrinsecus, ex eadem parte zodiaci provenientes.

Sit ad hoc circulus signorum ABGD, circulus equinoctialis EGZH, punctum equinoctii sit G, data puncta a eo distancia equaliter sint L et B. Ducam ergo a polo T duos duorum meridianorum arcus super B et L puncta qui secent equinoctialem equinoctialem] followed by one word crossed out by the scribe: in P in punctis K et T. Dico ergo quod angulus AKBG intrinsecus est equalis angulo TLD extrinseco. Vides enim duos triangulos quorum unus est GKB, alius est GZB. Sunt autem ipsi ad invicem equilateri nam arcus GB est equalis arcui GL ex positione et arcus GK est equalis arcui GZ quia ipsi sunt elevationes arcuum zodiaci GB et GL in spera recta et arcus BK et ZL sunt equales quia sunt declinationes duorum datorum punctorum B et L. Item angulus K est equalis angulo Z nam uterque rectus et anguli incisionis super G punctum sunt equales. Oportet igitur ut equalis sit angulus B angulo GLZ. Sed angulus GLZ est equalis angulo TLD ratione incisionis. Ergo angulus TLD et angulus KBG sunt equales, quod erat probandum.

Secundum vero Geber sic: Proportio sinus lateris GB oppositi recto angulo BKG ad sinum quarte est sicut proportio sinus lateris GK ad sinum arcus anguli GBK ex 13^a prioris. Eadem ratione proportio sinus lateris LG ad sinum quarte est sicut proportio sinus lateris ZG ad sinum arcus arcus] corr. ex anguli P anguli ZLG. Sed sinus lateris GB est equalis sinui lateris LG. Hinc sequitur quod proportio sinus lateris GK ad sinum arcus anguli KBG sit ut proportio sinus lateris ZG ad sinum arcus anguli ZLG. Sed arcus GK et ZG sunt equales. Ergo sinus arcus anguli GBK est equalis sinui arcus anguli ZLG. Sed hii anguli non sunt equales duobus rectis quia B angulus intrinsecus est inequalis angulo GLZ. Ergo arcus angulorum ZLG et GBK sunt equales. Ergo et ipsi equales.

〈II.22〉 22. Cum signata fuerint duo puncta zodiaci eque recedentia ab uno punctorum tropicorum duo meridiani super ea transeuntes faciunt duos angulos duobus rectis equales, alterum intrinsecum, alterum extrinsecum, ex eadem parte zodiaci provenientes.

Sit ad hoc zodiacus ABGD sitque punctum Z tropicum, puncta G et B eque recedant a puncto Z et ducantur duo meridiani super E polum et duo puncto G et B. Dico quod angulus ABE extrinsecus est equalis duobus rectis cum angulo EZG nam in triangulo EGB qui est ex magnorum magnorum] corr. ex magnis P circulorum arcubus oportet angulos EBG EBG] preceded by one letter crossed out by the scribe: A P et EGB equales esse per laterum equalitatem que sunt EG et EB, sicut probat Mileus. Cum ergo angulus EBG cum angulo ABE sit equalis duobus rectis necesse est angulum ABE cum angulo EZG esse equales duobus rectis et hoc erat probandum. Geber sic probat hanc 21^am pro constanti accipiens quod angulus in puncto tropico factus ab arcu super punctum illud a polo demissus rectus sit. Procedit ergo sic: Proportio sinus lateris EG ad sinum lateris EB est sicut proportio sinus arcus anguli EBG ad sinum arcus anguli EGB. Sed sinus laterum EG et EB sunt equales, ergo etiam sinus arcuum, sed anguli ZBE et ZGE. Sequitur latus EZ ex undecima prioris cum rectus sit uterque angulus super Z factus. Latus vero EZ aut est maius aut est minus quarta. Ergo anguli ZBE et ZGE simul sumpti sunt maiores aut minores duobus rectis. Ergo cum sinus arcuum eorum si〈n〉t equales etiam ipsi arcus sunt equales, ergo etiam ipsi anguli equales. Sed angulus ABE cum angulo GBE valet duos rectos. Ergo idem angulus ABE cum angulo BGE valet duos rectos, quod erat probandum.

〈II.23〉 23. Meridianum super punctum solsticiale curvatum angulos rectos ibi facere necesse est.

Sit enim medietas zodiaci ABG terminata in punctis equinoctialis que sint A et G et sit B punctum tropicum, polus proximus Z. Demittantur ergo a polo Z super puncta A et B et G arcus meridianorum et apparebunt duo trianguli ABZ et BGZ et erit facile probare per laterum continentium et oppositorum equalitatem quod equales sint anguli ABZ et GBZ. Ergo uterque rectus et hoc volui demonstrare. Geber autem istud quasi constans assumit nec inmerito cum sit manifestum meridianum euntem super punctum tropicum ire etiam super polum zodiaci ex quo etiam patet propositum.

〈II.24〉 24. Cum nota sit maxima declinatio necesse est notum esse angulum qui ex meridiano et zodiaco in puncto equinoctii constituitur.

Est enim, inquit Geber, ille angulus superfluitas recti super angulum sectionis que est inter circulum signorum et circulum equatoris diei. Hoc est ille angulus est excessus recti super angulum quem in puncto equinoctialis facit zodiacus cum equinoctiali qui scilicet cadit in arcum maxime declinationis. Hoc est angulus de quo est intentio est ille qui duabus quartis contentus habet arcum sibi oppositum qui est cum maxima declinatione integra quarta. Cum ergo notus sit angulus cuius arcus est maxima declinatio ratione sui arcus quod habere potes per 19^am et notus sit totalis angulus quem continent equinoctialis et meridianus in puncto equinoctialis eo quod sit rectus erit etiam notus angulus ille quod continet zodiacus et meridianus et ipse est quesitus. Habes ergo propostium.

〈II.25〉 25. Dato in zodiaco puncto note declinationis sive noti discessus ab equinoctiali puncto anguli quem meridianus continet in eodem puncto cum zodiaco quantitatem invenire.

Hoc aput Ptholomeum sic: Sit datum punctum zodiaci B sitque ipse zodiacus BZD et sit equinoctialis AZG, punctum equinoctialis Z, meridianus sit ABG. Volo igitur invenire quantitatem ZBK anguli. Hoc est volo scire quomodo se habeat ad 4 rectos cum nota sit mihi declinatio B puncti que est arcus AB aut etiam si notus sit mihi arcus ZB per quem discedit B a puncto Z. Facto enim B polo describam super ipsum circulum magnum qui sit HTEK. Vides ergo duos arcos magnorum orbium convenire in puncto H, scilicet arcum HB et arcum HE, a quorum terminis exeunt arcus AE et BT. Ergo ut probat alkata disiuncta proportio AB ad AH constat ex duabus quarum una est BZ arcus proportio ad ZT, alia est proportio EH ad ZT. Sed notus est arcus AB et similiter AH qui est perfectio quarte et iterum arcus BZ et propter eum arcus ZT qui perficit quartam iterumque notus est arcus EH. Est enim quarta eo quod E sit polus meridiani, sicut patet speram tenenti. Ergo etiam notus est arcus ET. Ergo notus est arcus TK. Ergo ex 19^a notus est angulus TBK, quod volui. Geber autem brevius procedit ad propositum. Hoc modo sit meridianus ABGD, equinoctialis BED, zodiacus AEG sitque E punctum equalitatis, sit A datum zodiaci punctum. Quero igitur quantitatem anguli EAB. Oportet autem ex 13^a prioris quod proportio sinus lateris BE ad sinum lateris AE sit ut proportio sinus arcus anguli A ad sinum arcus anguli B recti. Sed noti sunt sinus laterum AE et EB quia ipsa nota. Ergo nota est proportio sinus arcus anguli A ad sinum arcus anguli B quia ille arcus est quarta. Ergo notus est sinus arcus anguli A, ergo arcus ipse notus. Sed angulus sequitur arcum ita scilicet quod que est proportio arcus ad totam circumferentiam eadem est anguli ad 4 rectos. Ergo notus est angulus EAB que querebam.

〈II.26〉 26. Signatis in zodiaco duobus punctis ab altero puncto equalitatis equaliter recedentibus necesse est equales esse angulos qui ex eadem parte zodiaci ab ipso zodiaco et uno et eodem orizonte declivi, alter extrinsecus, alter intrinsecus, continentur.

Sit meridianus ABG, equator diei AZG, orbis signorum LZH sitque punctum equalitatis Z, data duo puncta equaliter distancia ab eo sint L et H. Sit autem E punctum in quo intersecent se orizon declivis datus et equinoctialis. Cum autem punctum H tangat orizontem datum fit triangulus EZH. Cum vero punctum L oritur fit triangulus EZL. Volo autem probare quod angulus EHZ EHZ] corr. ex EBZ P est equalis angulo ELZ non quia hoc sit propositum, sed quia ex hoc habetur propositum. Sed posset hoc probari breviter hoc modo: Duo trianguli ZLE et EZH habent equalia duo latera, scilicet LZ et ZH, et item duo alia, scilicet EZ et ZE, quia ipsa sunt elevationes arcuum LZ et ZH. Item arcus EH equatur arcui EL quia eque alte oriuntur L et H puncta. Ergo ex secunda parte quarte primi Milei angulus ELZ est equalis angulo EHZ. Geber autem suis fortasse probatis uti volens ita laborat ad probandum propositum: Triangulus ZLE est ex arcubus magnorum circulorum. Ergo proportio sinus lateris ZL ad sinum lateris ZE est sicut proportio sinus arcus anguli LEZ ad sinum arcus anguli ZLE. Similiter in triangulo EZH qui est ex arcubus circulorum magnorum proportio sinus lateris ZH ad sinum lateris ZE est sicut proportio sinus arcus anguli HEZ ad sinum arcus anguli EHZ; et quia latus ZL lateri ZH et item latus ZE lateri ZE in alio triangulo sunt equalia et angulus LEZ angulo ZEH equatur oportet sinum arcus anguli ZLE equalem esse sinui arcus anguli ZHE. Si autem a duobus polis orbis signorum duxero duos arcus super duo puncta E ita ut secetur orbis signorum in duobus punctis N et P, erunt N et P anguli recti et angulus EHP sequetur latus EP quod est equale lateri EN quod sequitur angulus ELN ex undecima primi. Ergo etiam uterque angulorum ELN et EHP sequetur alterum, ita scilicet quod si unus rectus est et alter rectus et si unus acutus et reliquus et si unus expansus et alter. Ergo etiam uterque duorum angulorum EHZ et ELZ sequetur alterum. Ergo oportet ut ipsi sint equales cum sinus arcuum suorum ut preostensum est sint equales. Si autem protraheretur EL arcus super punctum L, fieret angulus extrinsecus ad angulum EHZ equalis angulo ELZ ratione incisionis. Ipse ergo est equalis angulo EHZ. Habes ergo propositum.

〈II.27〉 27. Equales duobus rectis sunt omnes duo anguli qui fiunt extrinsecus et intrinsecus super duas oppositas sectiones orizontis declivis et circuli signorum. Ex hoc autem sequitur duobus rectis equari omnes duos angulos qui ad eadem distanciam ab altero tropicorum a zodiaco et orizonte declivi fiunt, alter extrinsecus et alter intrinsecus.

Secantibus se per medium sicut oportet zodiaco AEGZ et orizonte declivi ABGD. Dico duos angulos EGB intrinsecum et BAZ extrinsecum equales esse duobus rectis. Equales enim sunt angulus EGB et angulus EAB quia contenti quartis cadunt in EB arcum. Sunt igitur equales ratione arcus. Sed angulus EAB et angulus BAZ sunt ut duo recti. Habes ergo quod promisi. Ut autem probetur quod restat, sit punctum X tropicum et sint G et Z duo puncta zodiaci a puncto X eque recedencia. Sit autem T punctum equinoctialis. Cum ergo G et A sint puncta opposita et G et Z eque recedant a puncto X tropico necesse est ut a puncto T equinoctialis recedant eque puncta A et Z. Ergo ex proxima angulus BAT angulo intrinseco facto super Z punctum est equalis. Sed angulus EGB cum angulo BAT est equalis duobus rectis. Ergo etiam angulus EGB et angulus predictus factus super Z punctum valent duos rectos et hoc volui.

De manifestis igitur, inquit Geber, est quod quando nos sciverimus quantitates angulorum qui eveniunt orbi orizontis cum una quartarum orbis signorum contenti erimus per illud ab inventione angulorum provenientium in tribus quartis reliquis. Contenti erimus et cetera, id est sufficiet nobis hoc ad ad] followed by one word crossed out by the scribe: in P inventionem angulorum provenientium in tribus aliis quartis zodiaci et hec re vera non dubitat qui premissa considerat. Speculemur igitur, inquit, nunc in inventione angulorum provenientium in quarta una.

〈II.28〉 28. Angulum qui ex zodiaci et orizontis obliqui sectione provenit in puncto equinoctii notum esse oportet, si poli altitudo non ignoratur.

Sit enim B punctum equonoctialis et sit AZE meridianus super Cancrum transiens. Sit vero BZ zodiacus, caput Cancri punctum Z, orizon obliquus AB, polus articus punctum G. Dico angulum ABZ notum esse noto arcu AG qui est elevatio poli. Constat enim B punctum esse polum meridiani AZE. Sed notus est arcus AGZ. Ergo ex 19^a notus est angulus ABZ, quod proponebatur.

〈II.29〉 29. Angulum qui ex zodiaci et orizontis obliqui sectione provenit aput punctum zodiaci datum notum esse communicetur, si nota est poli altitudo et discessus dati puncti a puncto equinoctialis notus est et quarta non maior.

Sit enim orizon datus GBH et ponam ex orbe signorum arcum EH. Sit autem orbis equatoris diei EZB. Ponam ergo E punctum equinoctialis et arcum EH non maiorem quarta notum et dico angulum EHB notum esse. Propterea enim quod arcus EH notus est et oportet eius elevationem in orizonte dato notam esse. Notus est igitur arcus EB. Ergo nota est proportio sinus lateris EH ad sinum lateris EB. Ergo per 13^am prioris proportio sinus arcus anguli EBH ad sinum arcus anguli EHB nota est. Sed notus est sinus arcus anguli EBH quia arcus eius arcus est complementum note altitudinis poli vel depressionis poli vel constat ex altitudine vel depressione poli et quarta coluri. Oportet igitur per hoc notum esse angulum EHB et hoc erat demonstrandum.

〈II.30〉 30. Cum fuerint duo puncta orbis signorum equalis elongationis ab uno et eodem tropico fueritque eorum longitudo a circulo meridiei ad orientem et occidentem cum temporibus equalibus, arcus euntes per ea et per summitatem capitum sunt equales et anguli quos quos] corr. ex quoque P continent hii arcus cum orbe signorum ex eadem parte orbis signorum intrinsecus et extrinsecus ei oppositus sunt equales duobus rectis.

Verbi gratia: Sit ABG meridianus in quo G polus et B punctum capitum. Intelligam autem punctum Z fuisse in X puncto meridiei et transisse cum revolutione meridiei GZ et traxisse secum arcum paralelli sitque ille arcus ZX. Pertransierit vero in hoc tractu arcus zodiaci ZA ZA] corr. ex ZH P. Ymaginabor punctum D fuisse in puncto X coluri et pertransisse cum coluro GD et traxisse secum arcum paralelli DX et arcum zodiaci inceptum a D puncto terminari in A et esse equalem arcui AZ. Erunt igitur puncta Z et D elongata a meridiano cum temporibus equalibus, id est cum equalibus arcubus paralelli XD XD] preceded by one letter crossed out by the scribe: Z P, alterum in orientem, alterum in occidentem. Necesse est enim arcus ZX et XD equales esse quia cum quanto arcus paralelli transit AZ in unam partem cum tanto arcu paralelli vadit ei equus arcus AD in contrariam partem. Ducam igitur a puncto B duos arcus magnorum circulorum in puncta Z et D et dico hos arcus esse equales. Est enim portio GBX erecta super dyametrum circuli ZXD et ZBX minor est medietate portionis erecte. Portio vero ZX est equalis portioni XD. Ergo ex octava prioris linee recte, si ducantur a puncto B super D et Z puncta, sunt equales. Ergo etiam BZ arcus et arcus BD propter cordas equales equales erunt cum sint ambo magnorum circulorum. Habes ergo hanc partem propositi. Dico etiam quod angulus BZA cum angulo BDE valet duos rectos. Ponam ad hoc Z punctum polum et secundum spacium ZB curvabo circulum BD quem in puncto T secet arcus AZ. Item facto D polo secundum spacium DB faciam circulum BK cui occurrat DA in puncto K. Quia igitur equales sunt arcus BZ et BD equales etiam sunt circuli BK et BT. Unde etiam equales sunt DK et ZT arcus a polis eorum super eos venientes. Sed AD et AZ equales sunt. Ergo AK et AT sunt equales. Sunt igitur super dyametros circulorum BT et BK equalium erecte due portiones equales AK et AT et sunt minores medietatibus totarum portionum erectarum et corda arcus AB ab ab] sup. lin. P utriusque termino descendit in B punctum utrique circulo commune. Ergo ex octava prioris BK et BT arcus sunt equales. Sed anguli BZT et BDK sunt super eorum polos et cadunt in arcus equos. Ergo iuxta 19^am huius hii anguli sunt equales. Sed angulus BDK cum angulo BDE valet duos rectos. Ergo etiam angulus BZT cum angulo BDE valet duos rectos et hoc fuit secundo propositum.

〈II.31〉 31. Quando est unius puncti orbis signorum elongatio ab utroque latere circuli meridiei ad orientem et occidentem cum temporibus equalibus tunc arcus transeuntens per illud et per cenith capitum sunt equales et duo anguli quos hii arcus continent cum circulo signorum agregati sunt duplum anguli quem super idem punctum faciunt meridianus et zodiacus cum fuerint duo puncta in quibus zodiacus secat meridianum in utrisque sitibus decliviora ad septentrionem a cenith aut ad meridiem ab eo.

Sit meridianus ABGD in quo D polus septentrionalis datum zodiaci punctum vocetur et E et H. Ymaginabor autem hoc punctum fuisse in K puncto meridiei cum hoc quod est H et inde recessisse cum coluro DLH revoluto donec B punctum zodiaci veniret ad meridiem et traxisse secum arcum HK de paralello in quo volvitur dictum punctum intelligamque idem punctum cum hoc quod est E fuisse in puncto K et revoluto DME coluro transisse partem alteram donec A punctum zodiaci veniret super datum meridianum et traxisse secum EK arcum paralelli equalem arcui HK ut ita distet hinc inde a meridie cum temporibus equalibus. Deinde ducam super E et H duos arcus magnorum GH et GE a puncto G quod sit cenith et ponam primo B et A puncta sectionum in duobus sitibus dati puncti recedere ad meridiem a puncto capitum. Dico igitur GH et GE esse equales arcus. Quod eodem modo probabis hic ut in proxima equalitatem BZ et BD arcuum per arcum, scilicet GK, erectum super dyametrum paralelli HKE. Proba igitur per octavam prioris ut in proxima. Dico iterum quod anguli GHB et GEZ agregati dupli sunt ad angulum DHB sive ad angulum DEZ. Hos enim scit equales esse qui speram tenet recte et in mente habet H et E idem punctum esse. Ut autem probem quod dico, facio H polum et secundum spacium HG arcus curvo circulum GL. Similiter facto E polo super spacium EG arcus facio [facio] circulum GM. Quia igitur equales sunt GH et GE arcus equales esse necesse est circulos GL et GM itemque unius quantitatis sunt HL et EM arcus. Ergo etiam DM et DL arcus sunt equales. Eriguntur ergo DM et DL arcus equales orthogonaliter super dyametros GL et GM circulorum equalium et GD corda arcus GD ab utriusque termino descendit super ambos circulos. Ergo ex octava prioris equales sunt GL et GM arcus. Ergo iuxta 19^am huius facti super polos anguli LHG et MEG sunt equales. Ergo addito communiter duobus angulis GHB et MEZ fiet ut anguli DHB et DEZ sint equales angulis GHB et GEZ. Sed anguli DHB et DEZ sunt dupli ad angulum DHB quia sunt ad invicem equales. Ergo etiam ad angulum DHB quem facit meridianus cum zodiaco super datum punctum dupli sunt anguli GHB et GEZ quos arcus a puncto capitum demissi continent cum circulo signorum in dato puncto et hoc fuit probandum. Habes ergo propositum in hac dispositione.

Sit modo ut a cenith capitum recedant ad septentrionem A et B sectiones sicut est in secunda secunda] followed by two letters crossed out by the scribe: fg P figura. Dico nihilominus quod ad angulum AHB dupli sunt anguli LHB et KEZ. De equalitate enim arcuum GH et GE constet modo ita ut prius. Ut autem demonstrem quod dico factis H et E polis secundum spacia GH et GE arcuum equalium curvabo circulos equales GPN et GQS eruntque propter hoc arcus HS et EN equales. Remanent igitur equales DN et DS arcus. Uterque vero eorum minor est medietate totalis portionis sue ultra D crescentis et erecte orthogonaliter super circulos GQS et GPN. Immo una erigitur super unum circulum et alia super reliquum. Corda vero DG arcus ab ambarum portionum terminis descendit super circulos. Ergo arcus GPN est equalis arcui GQS. Ergo angulus DSHG DSHG] S sup. lin. P est equalis angulo DNEG DNEG] N sup. lin. P. Ergo etiam anguli DEK et DHB sunt equales. Ergo additi communiter angulis DHB et KEZ erunt anguli LHB et KEZ equales angulis DHB et DEZ. Sed anguli DHB et DEZ sunt equales. Ergo anguli DHB et KEZ sunt dupli ad angulum DHB sive ad angulum DEZ. Habes ergo propositum.

〈II.32〉 32. Si vero punctum portionis orientalis orbi signorum fuerit meridianum et punctum occidentalis portionis septentrionale a puncto capitum anguli qui ad dictum punctum fuerint ex arcubus a cenith venientibus super datum punctum, addunt duos rectos super duplum anguli facti super idem punctum a meridiano. Duplum vero huius anguli excedit dictos angulos duobus rectis, si punctum orientalis portionis fuerit septentrionale a cenith capitum et alterum meridianum.

Facto ex parte meridiei a puncto orientalis portionis, id est arcus AE declinantis cum E dato puncto ad orientem et B puncto posito ad septentrionem et interposito G cenith, dico quod anguli LHB et GEZ addunt super duplum anguli DEZ sive anguli DHB duos rectos. Probabis enim ut hactenus angulos DHG et DEG equales esse. Ergo etiam equales sunt DHL et DEK. Sed etiam equales sunt anguli DHB et DEZ. Ergo angulus LHB est equalis angulo DEK et angulo DEZ. Ergo addito communiter angulo GEZ duo anguli LHB et GEZ valent angulum DEZ et preterea angulos GEZ et DEK. Sed in GEZ et DEK angulis sunt DEZ angulus et duo anguli GEZ et ZEK valentque hii duo duos rectos. Habes itaque primam partem. Fiat modo G puncto capitum interposito B punctum occidentalis portionis meridianum et A punctum septentrionale. Dico quod duplum anguli DEZ addit duos rectos super angulos KEZ et GHB. Factis enim E et H polis secundum spacia EG et HG arcuum scribam circulos MG et NG quos oportet esse equales. Probabo igitur ita ut prius duos angulos DHG et DEG esse equales. Ergo anguli DHG et DEK equales sunt duobus rectis. Ergo DHB et DEZ anguli excedunt angulos GHB et KEZ duobus rectis. Sed anguli DHB et KEZ sunt equales quia fiunt a meridianis super idem punctum. Ergo duplum anguli DEZ addit super GHB et KEZ angulos duos rectos, quod volui.

〈II.33〉 33. Si fuerit datum zodiaci punctum notum in circulo meridiano meridiano] id est emisperium i. m. P celum mediante vel in orizontis linea, notum esse oportet tam arcum magni circuli inter ipsum et et] notum est [s] cen〈ith〉 cum est polus ori〈zontis〉 noti et ori〈zon〉 notus est cum est el〈eva〉tio poli nota i. m. P cenith capitum notum curvatum quam angulum in eodem puncto ab eodem arcu et zodiaco contentum.

Sit punctum capitum A quod necesse est esse in meridiano superius emisperium medietate quod sit ABGD, sit zodiacus ZEH, orizon notus BED, notum zodiaci punctum Z datum in meridiano. Dico quod notus est arcus AZ cadens inter cenith et Z datum punctum zodiaci. Notus enim est arcus ab A veniens ad equinoctialem cum sit A punctum notum. Hoc est noti orizontis polus. Sed notam est declinatio Z puncti noti ex tercia huius. Ergo notus est arcus AZ. Dico etiam notum esse angulum AZE. Ipse enim in hoc situ est idem ei quem facit cum zodiaco meridianus. Huius autem 14^a notificat angulos quos facit meridianus cum zodiaco aput punctum zodiaci note declinationis sive noti discessus ab equinoctialis puncto. Sit modo datum punctum zodiaci E in orizonte BED positum. Dico notum esse arcum AE nec mirum cum sit quarta circuli. Est enim summitas capitum polus orizontis. Dico etiam notum esse angulum AEZ. Notus enim est angulus AEB quia rectus. Notus est etiam angulus BEZ per 28^am. Ergo notus est angulus AEZ, quod probandum erat.

Et manifestum est, ait Geber, quod cum nos sciverimus quantitates arcuum et angulorum qui eveniunt ab arcu transeunte per cenith capitum et medietate orbis signorum que est ab inicio Cancri usque ad inicium Capricorni in declinatione posita, id est data et nota, que sunt sciemus ex eis per illud cuius declinatio precessit quantitates arcuum et angulorum qui eveniunt illis signis post orbem meridiei et sciemus cum hoc iterum arcus et angulos qui eveniunt medietati secunde orbis signorum ante meridiem et post.

〈II.34〉 34. Dato quolibet puncto zodiaci cuius elongatio a puncto meridiei sit cum tempore noto arcum circuli magni cadentem inter ipsum et polum orizontis dati et noti quantus sit inquirere; anguli etiam quantitatem qui aput idem punctum ab eodem arcu et zodiaco continetur invenire.

Sit itaque circulus meridiei in orbe posito ABG, circulus signorum DZE, datus et notus orizon AEG sitque Z datum punctum zodiaci. Sit iterum B polus dati orizontis a quo super Z punctum protraham arcum circuli magni BZH terminatum super H punctum orizontis. Sit autem notum in quot horis perveniet punctum Z ad circulum meridiei, in quot scilicet horis temporalibus illius regionis cuius orizon est notus. Dico ergo quod notus est arcus BZ cadens inter B cenith et datum punctum zodiaci Z. Quia enim notum est punctum Z et notum est per quantum tempus distet a meridie oportet notum esse punctum oriens, scilicet punctum E, item quod et punctum B. Ducam arcum circuli magni BE. Ergo notus est arcus EZ. Sed in triangulo EZH rectus est angulus H. Ergo ex 13^a prioris proportio sinus lateris EZ ad sinum lateris ZH est ut proportio sinus quarte ad sinum arcus anguli HEZ. [Sed notus est] Sed notus est sinus quarte et notus angulus HEZ ex 24^a. Ergo notus est eius arcus et ipse est minor quarta quia angulus est minor recto. Rectus enim est angulus HEB. Ergo notus est sinus arcus anguli HEZ. Ergo nota est proportio sinus quarte ad ipsum. Ergo nota est proportio sinus EZ ad sinum lateris ZH ZH] corr. ex EH P et notus est sinus lateris EZ quia ipsum notum est. Ergo notus est sinus lateris ZH. Est autem arcus ZH minor quarta, ergo ipse notus. Sed notus est arcus BH, est enim quarta. Ergo notus est arcus BZ, quod proposuimus probare. Item dico notum esse angulum EZB que enim est proportio sinus lateris BZ ad sinum lateris EB. Ea est proportio sinus arcus anguli BEZ ad sinum arcus anguli BZE. Sed notus est sinus lateris BZ quia ipsum notum et notus est sinus lateris EB quia ipsum notum cum sit quarta magni circuli. Ergo nota est proportio sinus arcus anguli BEZ ad sinum arcus anguli BZE BZE] corr. ex BEZ P. Sed notus est sinus arcus anguli BEZ qui angulus BEZ notus. Ergo notus est sinus arcus anguli BZE. Sed idem est sinus arcus anguli BZE et anguli HZE quia hii duo anguli valent duos rectos. Ergo notus est sinus arcus anguli HZE. Inde sic: In triangulo HZE rectus est angulus H. Ergo ex quarta parte undecime prioris si latus EZ notum est quarta circuli, alter reliquorum angulorum duorum trianguli est rectus. Sed HEZ angulus notus est et scitur non esse rectus. Ergo tunc rectus rectus] corr. ex notus P est angulus HEZ et ita notus. Si vero EZ latus notum minus est quarta tunc oportet utrumque reliquorum angulorum esse maiorem vel utrumque minorem recto. Sed constat quod angulus HEZ notus est minor recto. Ergo etiam angulus HEZ erit minor recto. Item si latus EZ notum est maius quarta necesse est alterum reliquorum angulorum esse maiorem recto et reliquum minorem recto. Sed scitur quod angulus HEZ minor est recto. Ergo tunc palam est quod angulus HEZ est maior recto. Sic ergo per noticiam EZ lateris oppositi recto angulo H scitur de angulo HEZ an sit rectus an maior an minor. Quod si rectus, notus est. Si autem scitur vel quod sit maior recto vel quod sit minor, notus est quia notus est sinus arcus sui et ita arcus notus. Ergo et ipse angulus notus. Ergo etiam sinus compar notus est, scilicet angulus BEZ quicum eo valet duos rectos. Habes ergo quesiti noticiam.

Explicit liber secundus Geber.

Incipit liber tercius eiusdem.

〈III〉

〈III.1〉 1. Anni quantitatem verisimiliter invenire.

Annus est spacium in quo Sol ab uno puncto sui ecentrici exiens revertitur. Adidit et inquirit Ptholomeus hoc per hoc quod Sol ab uno puncto sive tropico sive equinoctiali exiens ad idem revertitur proprio motu contra raptum firmamenti. Eligit autem Ptholomeus puncta conversionum et equalitatum quia sunt principalia et notabiliora. Accipiam itaque massam cuiuscumque solide materie bene quadratam et spissam ita ut super latus erecta stare possit et in una superficie bene polita faciam quartam circuli descripti secundum spacium lateris quadrati centro facto in uno quatuor angulorum. In corona vero contenta duabus sibi propinquis circumferentis super centrum factis signabo 90 gradus, in gradibus minuta et in minutis secunda, si potero. Per clausum autem in centro fixum affigam huic masse regulam cuius longitudo sit ut semidyameter circuli cuius quarta scribitur in quadrato et clauditur in circumferentia interiori. Latitudo vero eius dividenda est per medium linea ducta super eam ex directo centri et volo ut in directo huius linee promineat denticuli cuiusdam acumen per quod numerentur gradus et minuta regula circueunte. Item in huius directo acuminis super lineam, scilicet factam in latitudine regule, emineant due pinnule eque alte et eque graciles, una in capite regule et altera in centro. Immo sufficit illa que figenda est in capite Sole igitur apropinquante ad punctum autompnalis equinoctii. Tunc enim purior solet esse aer. Affer hanc massam ad lineam meridionalem inventam per primam proximi et colloca massam super lineam meridionalem ita ut superficies levigata et habens quartam circuli sit in superficie circuli meridiei. Basis autem masse cum linea meridionali intelligatur esse in superficie orizontis. Stabit vero ita hec massa ut sit erecta super illud latus in cuius fine est centrum circuli et ita ut quarta circuli sit inter meridiem et plagam et centrum sui circuli. Igitur in meridie verte regulam ita ut umbra pinnule stantis in capite eius cadat super lineam ductam in medio latitudinis et signa locum in corona quem tangit acumen denticuli eritque arcus a loco signato usque ad lineam meridianam sculptam in instrumentro olim facto descendens similis arcui qui in circulo meridiei descendit a puncto in quo est Sol usque super orizonta et hoc ideo dicimus quia operamus quasi centrum instrumenti sic centrum mundi. Numera ergo gradus et minucias in arcu instrumenti et erit tibi notus arcus circuli meridionalis cadens inter locum Solis et orizonta. Hoc igitur noto notus erit locus Solis.

Verbi gratia: Sit circulus meridianus ABGD, linea recta FG sit pro orizonte, pars zodiaci sit BZX, locus Solis B, pars equinoctialis FZD, punctum equinoctii Z et sit notus arcus BG. Dico notum esse B punctum. Oportet enim notum esse arcum DG quia notus est orizon et arcus DG est equalis elevationi poli note. Sed notus est arcus BG. Ergo notus est arcus BD. Vide modo triangulum BZD in quo est angulus D rectus. Ergo ex 13^a primi proportio sinus lateris BZ ad sinum lateris BD est sicut proportio sinus quarte ad sinum arcus anguli BZD. Sed notus est sinus quarte et notus est sinus arcus anguli BZD. Eius enim arcus est maxima declinatio nota. Ergo nota est proportio sinus lateris BZ ad sinum lateris BD. Sed notus est sinus lateris BD quia ipsum notum. Ergo notus est sinus lateris BZ. Sed arcus BZ minor est quarta. Ergo notus est ipse et notum est punctum Z. Est enim caput Libre. Ergo notus est locus Solis B. Nota ergo instans in quo Sol cum puncto B transit meridianum. Item cum circum fuerit equinoctium transisse redi cum massa quadrata ad lineam meridionalem et in meridie verte regulam donec umbra cadat super lineam ductam in medio latitudinis et nota iterum punctum quod tangit acumen denticuli eritque arcus cadens inter hoc punctum et lineam meridionalem substractam similis arcui cadenti inter orizonta et punctum in quo est Sol. Erit ergo ille arcus in firmamento notus. Erit enim tam quam arcus GD ut vertatur figura superior ita ut modo sit FZD pars zodiaci et BZX pars equinoctialis. Notus est autem arcus BDG per notum orizontem. Ergo notus est arcus BD qui est declinatio puncti D in quo est Sol. Erit igitur in triangulo BZD angulus B rectus et probabitur ut supra quod notus est arcus ZD et ita notum erit punctum D. Nota ergo instans temporis in quo Sol cum D puncto transivit meridianum, deinde tempus quod est inter hec duo instancia, deinde secundum proportionem arcuum interceptorum inter punctum equinoctialis et duo loca Solis hinc inde nota et instans divisionis temporis est illud in quo Sol cum puncto equinoctiali transivit meridianum. Hoc facto repone instrumenta tua et cum iterum apropinquabit equinoctium autompnale accipe iterum instans in quo Sol cum puncto equinoctiali transibit meridianum et instans prius quesitum cum eo quod secundo fuit inventum annum terminabit hinc inde. Habes itaque verisimiliter quod intendebatur.

〈III.2〉 2. Anni quantitatem alia consideratione deprehendere.

Cum per instrumentum notifica vero eodem modo quo in proxima punctum aliquod in quo Sol existens transit meridianum expectabo meridiem sive proximum sive remotiorem alium et iterum inveniam cum quo puncto transeat tunc Sol meridianum; et per arcum qui inter hec nota duo puncta est dividam totum circuitum et considerabo in qua proportione se habeat exiens ad totalem circuitum et considerabo ad quid in ipsa proportione se habeat tempus quod intercipitur inter duas considerationes et dicam illud tempus esse annum. Ratio huius est quod cum Sol uniformiter moveatur in ecentrico et in totali anno faciat circuitum integrum necesse est ut que est proportio partis in aliquo tempore pertransite ad totum pertranseundum eadem sit illius temporis ad totum tempus circuitionis.

Intelligendum tamen quod huiusmodi considerationes verisimiles quidem sunt non precise et omnino vere, tum quia instrumentis ita utimur ac si centra eorum sint in centro mundi, tum quia pro indifferenti accipimus zodiacum et ecentricum et hoc secundum maiorem inducit errorem quam primum. Causa vero est motus octave spere que est spera stellarum fixarum quam Ptholomeus tempore suo invenit moveri ab oriente in occidentem uno gradu in centum annis, alii autem in 66 annis. Albateny vero tempore suo vidit hunc motum non procedere. Deinde post istos Thebith Thebith] corr. ex Thesbith P verificare putavit hunc motum dicens eum ita fieri ut dyameter eius declinans a capitibus Arietis et Libre fixis moveatur et describat terminis suis circulos parvos circa puncta fixa Arietis et Libre. Iste igitur motus movet ecentricum Solis et facit ut nullum ecentrici punctum maneat perpetuo simul cum uno et eodem puncto zodiaco. Unde si modo sint simul punctum Libre et aliquod ecentrici punctum et Sol ab eis iunctis exiens circueat, cum ad punctum Libre redierit non inveniet ibi punctum ecentrici quod ante ibi erat. Cum ergo annus sit reditus Solis ab aliquo puncto ecentrici ad idem et queratur hoc tempus per reditum Solis ab aliquo puncto zodiaci ad idem quis est quin videat non recte queri hoc tempus. Hinc est quod diversi in diversis temporibus invenuerunt tempus anni diversum. Alii enim posuerunt hoc tempus dierum 365 tantum, alii adiecerunt quartam diei. Ptholomeus vero minus quarta, dempsit enim a quarta tricesimam partem unius diei. Unde voluit in 300 annis unum diem excipi cum pro anno ponerentur 365 dies et quarta. Albateny vero dedit anno 365 dies et 24 secunda fere. Alii autem 365 dies et 15 minuta sive quartam et 23 secunda. Quapropter hic et in consideratione maxime declinationis diligenter consideret quilibet situm superiorum suo tempore et credat magis visui circa hec quam auditui.

〈III.3〉 3. Si fuerit positum centrum stelle moveri in ecentrico et datus fuerit ei motus uniformis in eo, sequitur ex hoc ut motus apparens inequalis et etiam diversus sit in firmamento. Quanto autem propinquior fuerit stella longitudini longiori tanto motus apparens tardior apparebit.

Rota tres motus: verum, medium et apparentem. Verbi gratia: In Sole verus motus est motus puncti terminantis in firmamento lineam exeuntem a centro terre et transeuntem per centrum corporis Solis. Medius motus Solis est motus puncti terminantis in ecentrico sive in zodiaco lineam exeuntem a centro ecentrici equidistantem priori. Motus apparens est motus puncti in firmamento terminantis lineam egressam a centro oculi per centrum stelle vel Solis. Sed in aliis non distinguitur inter motum apparentem et verum propter insensibilem distanciam centrorum oculi et mundi quantum ad capacitatem spere mundi et immensam stellarum altitudinem. In Luna vero sensibilis est diversitas motus apparentis et veri quia ipsa terre maxime apropinquat et propter hoc accidit ei alburalchysiesy, id est diversitas aspectus. Hoc est diversitas sensibilis inter motum visibilem et verum.

Sit itaque orbis egredientis centri, id est ecentricus ABGD, sitque punctum A longitudo longior sive aux, illud scilicet punctum quod magis elongatur a terra. Punctum D sit longitudo propior sive oppositum angis, illud scilicet punctum quod est terre proximum; et ponam Z centrum mundi et continuabo A et D puncta per dyametrum ductum per E centrum ecentrici ecentrici] deinde secabo duos arcus equales AB et GD in ecentrico i. m. P et ducam lineas EB BZ EG et GZ. Sunt igitur equales anguli centrales AEB et GED. Ergo angulus GZD qui maior est angulo GED ratione extrinsecitatis maior est etiam angulo AEB. Sed angulus AEB maior est angulo BZA. Ergo angulus BZA minor est angulo GZD. Sed sunt ipsi ambo super centrum firmamenti. Ergo BZA angulus cadit in minorem arcum circuli descripti in firmamento, utpote zodiaci. Sed cum movetur stella in arcu AB super angulum AEB AEB] followed by an unclear letter crossed out by the scribe P movetur apparenter in firmamento super angulum BZA in arcu respiciente ipsum angulum; et similiter cum movetur in arcu GD super angulum GED movetur in firmamento quantum ad apparentiam super angulum GZD in arcu firmamenti hunc angulum respiciente. In temporibus autem equalibus movetur super arcus AB et GD. Ergo in temporibus equalibus movetur apparenter per arcus inequales in firmamento. Sed maior est angulus GZD angulo BZA. Ergo apparens motus super angulum BZA minor est. Ex hoc apparet propositum et hec est probatio Ptholomei quam etiam ponit Geber.

Deinde dicit idem generalius posse demonstrari et facit hoc ita: Sit ecentricus ABG in circuitu centri E et centrum orbis signorum sit punctum Z. Dyameter transiens per A longitudinem longiorem et per G longitudinem propiorem sit AEG. Separabo autem in medietate ecentrici duos arcus equales in quocumque loco volvero continuos vel separatos et sint duo arcus HT et BK et ducam lineas TE HE BE KE TZ HZ BZ KZ. Erunt ergo anguli duo HET et KEB equales quia sunt centrales et cadunt in arcus equales. Dico ergo quod stelle centro eunte super arcum HT tardior est in firmamento motus apparens quam dum vadit in arcu BK, quod patebit probato angulum HZT minorem esse angulo KZB qui anguli ambo sunt in centro firmamenti. Faciam ad hoc transire duas lineas BZ et TZ usque ad circumferentiam circuli ABG donec occurrant in punctis D et L et continuabo punctum L cum puncto H et et] sup. lin. P etiam punctum D cum puncto K et protraham ex puncto Z perpendicularem PZ super lineam LH et aliam perpendicularem que sit ZQ super lineam KD. Inde sic: Angulus ZDQ et angulus ZLP consistunt super arcum et cadunt in arcus equales ex 26^a tercii Euclidis. Sed in triangulis ZPL et ZQD recti sunt anguli P et Q. Ergo hii trianguli sunt equianguli. Ergo ex quarta sexti Euclidis que est proportio lateris ZD ad latus ZL eadem est lateris ZQ ad latus ZP. Sed maior est linea ZD quam linea ZL ex septima tercii Euclidis. Ergo maior est est] followed by one word crossed out by the scribe: proportio P perpendicularis ZQ quam perpendicularis ZP. Considera vero triangulum HZP et triangulum KZQ. In hiis maior est linea ZQ quam linea ZP. Minor vero est KZ quam HZ ex septima tercii Euclidis. Ergo maior est angulus QKZ angulo PHZ. Huius argumenti necessitas infra fiet manifesta. Oportet igitur ut anguli QKZ et KZD sunt maiores angulis PHZ et HLZ. Sed angulus KZB est equalis angulis KDZ et ZKD cum sit ad eos extrinsecus et eis oppositus. Similiter angulus HZT est equalis angulis ZHL et LZH per extrinsecitatem. Ergo maior est angulus KZB angulo HZT, quod fuit probandum. Quod autem necessarium sit hoc in triangulis HZP et KZQ habentibus P et Q angulos rectos et equales. Maior enim est linea ZQ quam linea ZP, minor autem est linea KZ quam linea HZ. Ergo maior est angulus QKZ quam angulus PHZ.

Ita videatur: Sit linea XU ut linea ZP et linea UC tamquam linea PH et sit angulus U rectus sicut est angulus P. Subtendatur ei linea XC. Erit igitur triangulus XUC equalis triangulo HZP et erit angulus PHZ equalis angulo UCX. Protraham autem lineam XU donec US sit equalis linee ZQ et de linea UC abscindam lineam UM equalem linee QK. Quia enim maior est linea HZ rectum respiciens quam linea ZK recto subtensa necesse est ut quadrata linearum HP et ZP sint maiora quadratis linearum QK et ZQ. Sed maior est linea ZQ quam linea ZP. Unde necesse est lineam PH maiorem esse linea QK. Abscindam ergo minorem de maiore et traham lineam SM eritque triangulus SUM equalis triangulo ZQK et erit angulus UMS equalis angulo QKZ. Sed angulus UMS est maior angulo C quia est ad eum extrinsecus et ei oppositus. Ex hoc infer quod probandum est.

〈III.4〉 4. Si posuerimus centrum stelle moveri in orbe revolutionis et huius orbis centrum in ecentrico, eveniet nihilominus ut sit in motu apparente diversitas et necesse est angulos in centro mundi factos et cadentes in arcus equales orbis revolutionis esse inequales et eum maiorem qui cadit in arcum longitudini longiori propiorem.

Posterius dictum prius ostendam. Sit igitur medietas orbis revoluti ABG in circuitu centri E, centrum spere mundi sit Z. Abscindam autem in orbe revolutionis in M medietate data duos arcus equales HT et BK quorum BK sit propior longitudini longiori et ducam inter centrum Z et extremitates horum arcuum lineas ZH ZH] corr. ex ZK P ZT ZB et ZK. Dico quod angulus HZT maior est angulo BZK. Ad hoc ducam lineas HP que secet lineam TZ in puncto L et BQ secantem lineam KZ in puncto M. Sit quoque ZP perpendicularis super lineam HP et ZQ perpendicularis super lineam BQ. Sic ergo angulus HLT est equalis angulo BMK ratione equalium arcuum in quos cadunt. Ergo etiam equales sunt anguli ZLP et ZMQ et anguli P et Q sunt recti. Ergo que est proportio ZM linee ad lineam ZL eadem est proportio linee ZQ ad lineam ZP. Sed maior est linea ZM quam linea ZL ex tercii Euclidis. Ergo maior est perpendicularis ZQ perpendiculari ZP. Sed linea HZ maior est linea BZ ex tercii Euclidis. Ergo ut ostensum est in fine proxime probationis maior est angulus ZBQ angulo ZHP. Sed angulus HLT est equalis angulis HZL et LHZ cum sit ad eos extrinsecus utrique oppositus. Eadem ratione angulus BMK est equalis angulis BZM et MBZ. Ergo hii duo illis duobus sunt equales. Ex hoc sequitur angulum HZT esse maiorem angulo BZK, quod fuit probandum. Hoc est igitur quod ponit Geber et omittit Ptholomeus. Ponit vero tam Geber quam Ptholomeus quod nunc dicam in probatione prioris partis huius.

Sit circulus zodiaco concentricus ABGD in circuitu centri E. Super hunc circulum moveatur A centrum epicicli HTK uniformiter. Centrum vero stelle moveatur uniformiter in circulo HTK. Dico ergo quod possibile ut sit sit] sup. lin. P motus apparens stelle inuniformis in concentrico. Ponam enim centrum stelle esse in T longitudine longiori et ire versus H centro epicicli eunte versus B. Movetur igitur A centrum super equales angulos factos in centro E et fit motus apparens super angulos constantes ex hiis angulis equalibus et angulis inequalibus in equales arcus arcus] followed by an unclear letter crossed out by the scribe P epicicli donec transeat A centrum per punctum Z quod est longitudo propior. Verbi gratia: Cum A centrum reliquerit punctum C et venerit ad Q erit motum super AEQ angulum. Si ergo tunc fuerit centrum stelle elongatum a puncto T usque in punctum H, iverit super angulum HET et apparens motus videbitur factus super angulum ex hiis duobus compositum. Cum vero A centrum stelle transierit per punctum Z tunc, si diminuatur angulus super quem movetur centrum stelle ab angulo super quem movetur centrum epicicli, remanebit angulus super quem videbitur fieri motus apparens. Manifestum est hoc nec minus apparet inequalitas motuum apparentium si moveantur centra, alterum versus K a puncto T et alterum versus D ex puncto C. Sed accidet hic contrarium ei quod dictum est. Ponam iterum quod A centrum epicicli sit in linea TEG et centrum stelle sit in puncto T et moveantur A versus B et centrum stelle versus K. Tunc ergo ab angulis motus equalis super quos movetur centrum epicicli diminuentur anguli super quos movetur centrum stelle et remanebunt anguli super quos fit motus apparens. At illi diversi inter se. Maiores enim sunt illi super quos movetur iuxta longitudinem longiorem centrum stelle. Sed cum ab equalibus demuntur inequalia inequalia] corr. ex equalia P remanent inequalia. Propter hoc inequales sunt anguli motus apparentis et ideo ipse est diversus. Hinc videbis quod ponit prior pars huius, si consideraveris figuras. Igitur ecentricitas ecentricitas] circuli i. m. P stelle et positio orbis revolutionis super orbem stelle sunt due radices ex quibus procedit diversitas in motu[m] apparente.

Ex hiis que premissa sunt patet id quod dicit Ptholomeus. Quod si corpus stelle movetur in ecentrico, tunc motus apparens minor est iuxta longitudinem longiorem et maior iuxta propiorem. Hoc autem planum est dato quod stella habeat epiciclum positum super orbem suum. Ad hoc enim se habet res ad utrumlibet. Si enim centrum stelle et centrum orbis revoluti moveantur in eandem partem in predicamento motus incepti a longitudine longiori orbis revoluti, tunc in prima medietate circuli revoluti augentur anguli super quos movetur centrum stelle ad angulos super quos movetur centrum epicicli et componuntur ex eis anguli apparentis motus. Sed quanto vicinior est stella longitudini longiori in epiciclo tanto super maiores angulos movetur et ita maiores anguli adduntur et ideo maior est tunc motus apparens iuxta longitudinem longiorem epicicli et minor iuxta longitudinem propiorem. Cum vero transierit stella longitudinem propiorem tunc anguli super quos movetur stella diminuuntur ab angulis super quos movetur centrum epicicli et remanent anguli motus apparentis. Sed quantomagis apropinquat stella ad longitudinem longiorem epicicli tanto magis crescunt anguli super quos movetur stella et ita tanto maius aufertur et minus relinquitur propter quod tunc fiunt anguli motus apparentis maiores iuxta propinquam longitudinem et minores iuxta longitudinem longiorem. Quod si ponatur centrum epicicli moveri in partem unam et stella in diversam partem, tunc in primo exitu a longitudine auferuntur anguli super quos movetur stella ab angulis super quos movetur centrum epicicli et remanent anguli motus apparentis. Cum vero stella transierit longitudinem propiorem fiet econtrario. Addentur scilicet hii anguli super illos. Patet autem ex iam dictis ubi maiores et ubi minores anguli addantur vel auferantur et ex hoc manifestum est quod hic dicitur. Si dubitas pinge figuram et in ipsa videbis omnia illa que dicta sunt.

〈III.5〉 5. Centro stelle posito super ecentricum maxima superfluitas motus apparentis et motus medii proveniet aput punctum medii transitus. In aliis vero punctis ecentrici que sunt inter hoc vel ei oppositum et longitudinem longiorem vel inter hoc vel ei oppositum et longitudinem propiorem minor est differentia horum motuum, sed magis mino〈r〉 in hiis que alteri longitudinum sunt propiora.

Verbi gratia: Sit ecentricus ABGD circa centrum E, centrum zodiaci sit Z. Super hec centra et longitudinem longiorem que sit punctum A A] sup. lin. P et longitudinem propiorem quod sit punctum G eat dyameter AEZG quem super punctum Z secet orthogonaliter linea BZD. Erit igitur AB quarta circuli secundum visionem et in termino eius, hoc est in puncto quod vocatur punctum medii transitus, dico maximam esse superfluitatem que est inter motum apparentem et medium. Signabo etiam duo puncta T et H in ecentrico et dico quod hec motuum superfluitas maior est in puncto H quam in puncto T, utrobique autem minor quam in puncto B. Ad hoc coniungam T punctum cum centris E et Z. Similiter cum eis coniungam H punctum et cum eisdem B punctum. Est igitur angulus AEB angulus super quem fit motus equalis sive medius in ecentrico. Angulus vero AZB est angulus super quem fit in eodem tempore motus apparens in zodiaco. Horum duorum differentia est angulus EBZ. Item cum movetur stella motu medio super angulum AET et movetur apparenter super angulum AZT. Hora autem angulorum differentia est angulus ETZ. Similiter cum stella vadit super angulum AEH medio motu vadit apparenter super angulum AZH. Horum superfluitas est angulus EHZ. Cum autem probavero quod maximus omnium est angulus EBZ et quod etiam maior est angulus EHZ angulo ETZ probavero intentionem principalem. Ducam ad hoc perpendicularem EL super lineam TZ et aliam perpendicularem super lineam HZ que sit EK. Vides igitur has duas perpendiculares et terciam EZ super lineam BD. Harum trium linea EZ maior est quam linea EK quia in triangulo EKZ oppositur ipsa recto angulo et linea EK acuto. Linea vero EK maior est quam linea EL quia pars linee EK subtenditur recto angulo quem linea EL continet [continet] cum linea LT in puncto L. Econtra vero linea BZ minima est et linea HZ minor quam linea TZ ex tercii Euclidis ex quo sequitur maiorem esse lineam LT quam sit linea HK quia quadrata linearum EL et LT maiora sunt quadratis linearum EK et HK. Sed quadratum linee EK maius est quadrato linee EL. Ergo quadratum linee LT maius est quadrato linee HK. Ergo linea LT maior est quam linea HK. Eodem modo proba quod linea HK maior est quam linea BZ. Si ergo tres triangulos qui sunt ETL et EBZ et et] followed by one word crossed out by the scribe: equa (?) P EKH sibi invicem superponas, patebit ad oculum quod B angulus est maior H angulo et angulus H maior est angulo T. Sicut docet figura ascripta cum illa propositione Euclidis que docet angulum extrinsecum maiorem esse angulo intrinseco sibi opposito. Ad hunc modum proba angulum EBZ maiorem esse omni angulo qui potest fieri super quemcumque punctum ecentrici positum inter longitudinem longiorem et B punctum ita ut ille angulus cadat in lineam EZ.

Idem quoque probabitur in punctis que sunt inter B punctum et longitudinem propiorem. Signentur enim ibi duo puncta Q et S et fiant super ea duo anguli EQZ et ESZ. Est igitur angulus EBZ superfluitas duorum angulorum, scilicet anguli BEG super quem fit medius motus inter B [B] et G et anguli BZG super quem fit ibidem motus apparens. Item angulus EQZ est differentia duorum angulorum, scilicet anguli QEG super quem fit medius motus et anguli QEG super quem fit motus apparens; et similiter angulus ESZ est excessus anguli SZG qui est angulus motus apparentis super angulum SEG super quem fit medius motus. Dico ergo quod horum maximus est B angulus, minimus vero angulus S. Extraham ad hoc QZ et SZ lineas ultra punctum Z donec concurrant orthogonaliter lineis EL et EK. Vide ergo tres triangulos EBZ, EQK et ESL. Est autem linea EZ maior quam linea EK et linea EK maior quam linea EL. Item linee EB EQ et ES sunt equales. Ergo quadratum EZ linee maius sit quadrato linee EK. Necesse est quadratum BZ linee esse minus quadrato linee QK et ita minorem esse lineam BZ linea QK et propter idem oportet lineam QK maiorem esse linea LS. Per superpositionem igitur triangulorum videre potes ut proximo quod maior est angulus B tam angulo Q quam angulo S et quod maior est angulus Q angulo S. Cum ergo ex hiis appareat de superfluitatibus angulorum super quos fiunt medius motus et visibilis non postest post eorum noticiam dubitari de differentia ipsorum motuum. Vide ergo quod ab A usque ad B semper maior est medius motus apparente, id est maior est quantitas arcus pertransiti medio motu quam arcus eiusdem circuli similis arcui super quem fit motus apparens, et est in excessu ille arcus in quem angulus qui est angulorum medii et apparentis superfluitas caderet in centro collocatus. Crescit autem excessus medii motus super apparentem ab A usque ad B ita ut in B fiat excessus maximus. Cum autem stella transierit punctum B tunc decrescit excessus motus medii totalis incepti a puncto A super motum apparentem donec veniat stella in punctum G et iterum cum inter B et G movetur stella addit motus apparens super medium. Quia ergo huiusmodi variatio contingit aput punctum B vocatur illud punctum punctum medii transitus. Hoc iterum nota quod cum in arcu AB addat medius motus super apparentem arcum anguli qui est superfluitas angulorum medii motus est apparentis. In arcu vero BG motus apparens, id est quantitas pertransita motu apparente super medium, addat eundem arcum et quantitates motibus apparentibus hinc inde pertransite sint equales, quod totum ex premissis apparet. Necesse est ut arcus medii motus inter A et B addat super arcum medii motus inter B et G duplum arcus illius qui suscipit constitutum in centro angulum qui est superfluitas angulorum super quos fiunt motus medius et apparens et hoc ultimum est id quod huic negotio Ptholomeus adiunxit.

〈III.6〉 6. Si posuerimus centrum orbis revoluti revoluti] corr. ex revoti P in concentrico et centrum stelle in orbe revoluto non uniformiter, sed in diversum moveri et in uno tempore similes arcus describere, proveniet maxima superfluitas motuum apparentis et medii cum fuerit quantitas motus apparentis quarta concentrici. In locis autem huic loco propinquioribus maiores erunt motuum diversitates et minores magis distantibus.

Ponam concentricum ABGD circa centrum mundi E et ducam dyametrum AEG. Ponam centrum epicicli fuisse in puncto A et tunc fuisse fuisse] followed by one word crossed out by the scribe: etiam P centrum stelle in longitudine longiori que sit punctum H et ymaginabor lineam EH tunc cedidisse super lineam EA. Sit autem ut centrum Z epicicli HU descripserit arcum ABZ et centrum stelle huic motui occurrens venerit ipso tempore a puncto H in punctum U. Erigam autem lineam ZU et ponam ut linea recta DB tangat epiciclum in puncto U que quidem linea DB secat orthogonaliter lineam AEG. Quia ergo centra stelle et epicicli in uno tempore pertranseunt arcus similes oportet ut arcus HU similis sit arcui ABZ. Est autem in hoc situ medius motus stelle ABZ arcus. Apparens vero motus est arcus AB. Quarta concentrici anguli ergo motuum sunt angulus AEZ et angulus AEB. Dico tunc angulum BEZ qui est horum superfluitas esse maximam superfluitatum que provenire possunt inter hos angulos. Quo constante constabit propositi prior pars. Sic ergo arcus HU similis est arcui ABZ. Ergo angulus UZH est equalis angulo AEZ. Ergo linea ZU est equidistans linee AEG. Sed angulus AEU est rectus. Ergo etiam angulus ZUE est rectus ex quo apparet quod superfluitas angulorum dictorum que est angulus UEZ maxima est. Si enim non proveniat alia maior centro epicicli posito in puncto T et signetur ibi epiciclus HL sitque arcus HL similis arcui AT, ergo centro epicicli posito in puncto T erit stella in puncto L et erit angulus TEL differentia duorum motuum. Sed linee TL et UZ sunt equales itemque linee ZE et TE equales et angulus EUZ rectus. Si ergo superposueris triangulum TEL triangulo ZEU, videbis quod maior sit angulus ZEU angulo TEL. Quod autem maior sit angulus TEL quolibet alio diversitatis inter A et Z remot〈i〉ori a puncto Z patebit, si in puncto K facto centro epicicli feceris epiciclum HM et posueris arcum HM similem arcui AK et duxeris lineas HE ME et lineam MK que necessario equidistabit linee AE. Considera igitur linearum quantitates et superpone triangulum LTE triangulo MEK et videbis maiorem esse angulum LET angulo MEK et sic patebit propositum. Similiter patere potest quod omnis superfluitas angulorum medii motus et apparentis proveniens inter Z et G puncta minor est angulo UEZ et quod maior est remotiore quecumque est puncto propinquior. Videri etiam potest quod inter A et Z medius motus vincit apparentem secundum arcum anguli BEZ et secundum eundem arcum excedit apparens medium inter B et G secundoque tempus medii motus inter A et Z excedit tempus medii motus inter Z et G duplo arcus illius qui suscipit angulum ZEU. Hinc etiam patet quomodo res se habeat circa D punctum.

〈III.7〉 7. Si posuerimus in quolibet uno tempore super arcus similes moveri centrum stelle in ecentrico et in eandem partem centrum orbis revoluti in concentrico et centrum stelle in orbe revolutionis econtrario fuerintque in proportione una linea mundi et ecentrici centra coniungens ad ad] followed by one word crossed out by the scribe: centrum P semidyametrum ecentrici et semidyameter orbis revoluti ad semidyametrum deferentis ipsum, sequitur ex hac compositione ambarum radicum diversitatis motus apparentis et medii ut quidquid accidit secundum unum istorum modorum utrique motuum sive per se considerato sive uno ad alterum relato accidat etiam eis secundum alterum eritque idem punctum zodiaci locus apparens semper secundum utramque radicum.

Sit ecentricus ABG circa centrum D, centrum concentrici sive mundi sit E. Ponam autem ut Z centrum epicicli HK transierit in quodam tempore super angulum AEZ in concentrico eorum et in ipso tempore centrum stelle occurrens huic motui iverit super angulum HZK de puncto H ad punctum K. Ducam autem lineam KXTE. Est igitur medius motus stelle quantum ad hanc radicem angulus AEZ. Apparens vero motus est angulus AEK et est apparens locus stelle in linea KE. Differentia motuum est angulus KEZ. Ponam iterum ut ipso tempore stella posita super ecentricum exiverit de puncto. Dico ipsam in fine temporis pervenisse in T punctum super quod transit linea KE. Si enim non pervenerit in punctum P et ducam duas lineas DP et EP et terciam TD et quia tres motus fiunt super arcus similes, oportet equales esse tres angulos HZK AEZ et ADP. Propter hoc ergo equidistabunt ZK et AE linee itemque HZE et PD linee et propter idem erunt duo anguli equales KZE et PDE. Vide ergo duos triangulos KZE et PDE. In hiis 4 latera equos angulos PDE et KZE continentia sunt proportionalia quia hec est ypothesis ut que est proportio ED linee ad lineam PD eadem sit linee KZ ad lineam EZ. Ergo ex sexta sexti Euclidis trianguli sunt equianguli. Ergo anguli DPE et KEZ sunt equales. Ergo anguli ZEP et DPE sunt inequales. Sed ipsi sunt coalterni inter DP et ZE lineas equidistantes, ergo sunt equales. Non minus autem stare non potest, si dicatur stella in ecentrico transisse punctum T, utpote ad punctum Y pervenisse, cum stella in epiciclo pervenit in punctum K. Oportet igitur ut pervenerit stella in ecentrico ad punctum T in fine dicti temporis. Hinc probatum est quod propositio promittit. Est enim ADT angulus medii motus in ecentrico equalis AEZ angulo medii motus in concentrico. Angulus vero AEK est hinc inde angulus motus apparentis itemque angulus KEZ qui, quantum ad epiciclum est, angulus est excessus medi motus super apparentem equalis est angulo DTE coalterno sibi inter lineas equidistantes. Est autem DTE superfluitas medii motus in ecentrico super apparentem in eodem estque locus apparens stelle quantum ad utrumque modum in linea EK. Quod si posuero epiciclum in loco ubi maxima est superfluitas medii motus et apparentis, utpote si protraxero super punctum E lineam SL orthogonaliter secantem AG lineam et fecero punctum L punctum contactus super circulum revolutum HL, tunc erit angulus HEL maxima differentia duorum motuum secundum modum epicicli. Sed posito ibi epiciclo necesse est secundum positionem presentis propositionis stellam esse in puncto sectionis linee SL et ecentrici, hoc est in puncto B quantum ad ecentricum, et erit ibi maxima differentia motuum angulus EBD quem propter equidistanciam duarum linearum HE et BD oportet esse equalem angulo LEH. Patet ergo propositum.

〈III.8〉 8. Data utralibet radicum diversitatis motum si fuerint duo anguli motus apparentis equales et constituti vel hinc inde circa dyametrum euntem super inicia motuum vel in eadem medietate citra et et] corr. ex vel P ultra punctum medii transitus, necesse erit angulos superfluitatum inter illos et angulos medii motus non esse diversos.

Verbi gratia: Sit primum secundum modum ecentrici probandum quod dicitur et sit ecentricus ABG circulus circa centrum D, centrum mundi E, dyameter vadens super inicia motuum que sint puncta A et G sit ADG. Sint autem duo anguli apparentis motus HEG et GEZ equales et sint anguli diversitatum DHE et DZE. Dico ipsos esse equales quia enim equales sunt duo anguli HEG et ZEG circa lineam ADG. Ex tercii Euclidis sequitur ut linee collaterales HE et EZ sint equales. Sed etiam equales sunt ratione centri linee DH et DZ. Ergo linee DH et HE trianguli DHE sunt equales lineis EZ et ZD in triangulo DEZ et basis [basis] basi quia eadem, scilicet linea DE. Ergo angulus DHE est equalis angulo DZE. Sint modo dati dati] sup. lin. P anguli apparentis motus AEB et angulus GDZ et sint equales. Sint igitur anguli diversitatum DBE et DZE et dico quod sunt equales. Quia enim equales sunt anguli AEB et GEZ oportet lineam BZ esse unam rectam. Sed equales sunt [sunt] linee BD et DZ. Ergo anguli super basim, scilicet anguli DBE et DZE, sunt equales. Sint iterum dati equales equales] followed by one word crossed out by the scribe: anguli P apparentis motus anguli GEH et AEB citra et ultra punctum medii transitus quod sit punctum X. Erunt ergo anguli diversitatis DBE et DHE anguli quos convincam esse equales. Protraham enim lineam BE usque in punctum circumferentie quod sit punctum Z et traham lineam DZ. Sunt sunt] corr. ex sint P igitur anguli motus apparentis ZEG et AEB equales per sectionem linearum AG et BZ. Ergo etiam equales sunt anguli ZEG et HEG. Ergo ut iam probatum est anguli DHE et DZE sunt equales. Sed etiam equales sunt anguli B et Z super basim BZ.

Infer ex hoc propositum secundum modum ecentrici nunc constantem. Ponam modo secundum modum epicicli ut sit concentricus ABG circa centrum E et occurrat motus epicicli motui stelle et describant hii motus in una tempore arcus similes de epiciclo et concentrico. Ponam autem tres angulos motus apparentis equales, scilicet AEB et GEF et GED et sint centra epiciclorum Z K N. Erunt igitur anguli BEZ FEK et PEQ anguli diversitatis motuum apparentis et medii quos dico esse equales. Traham ad hoc lineas BZ MK et QN de centris epiciclorum ad loca stellarum in eis. Sunt autem T et F et D puncta in quibus linee a centro mundi ad loca stellarum ducte secant epiciclum non in locis stellarum. Coniungam hec loca cum centris epiciclorum. Itaque propter motuum proportionem sequitur ut linee BZ MK et QN sint sint] followed by one word crossed out by the scribe: equales P equidistantes linee AG. Ergo angulo AEB equalis est angulus B ei coalternus et anguli KMF et NQD sunt equales angulis FEK et DEN intrinsecis sibi oppositis. Igitur hii tres anguli ZBT et KMF et NQD sunt equales. Ergo etiam anguli ZTB et KFM et NDQ sunt equales. Ergo etiam anguli LZT LZT] corr. ex BZT P et MKF et QND sunt equales et linee hos ultimos angulos continentes sunt equales. Ergo equales sunt linee BT et MF et QD. Si autem a puncto E ducantur tres contingentes super epiciclos, probabo earum quadrata esse equalis. Cuiuslibet enim earum quadratum cum quadrato semidyametri epicicli valet quadratum semidyametri concentrici. Sed quadrata semidyametrorum tam epiciclorum quam concentrici sunt equalia. Ergo etiam quadrata contingentium sunt equalis. Sed ex penultima tercii Euclidis quadratum linee exeuntis ex puncto E et contingentis epiciclum HB equale est ei quod fit ex ductu BTE in lineam TE et similiter in aliis. Ergo quod fit ex ductu BTE in TE est equale ei quod fit ex linea FME ducta in ME et ex ductu linee DQE in QE. Sed ex tercia secundi Euclidis quod fit ex ductu linee BTE in [in] T equum est quadrato linee [linee] TE et ei quod fit ex linea BT in TE et similiter in aliis. Ergo quadratum linee TE cum eo quod fit ex BT in TE valet quadratum linee ME et valet quadratum linee QE cum cum] corr. ex q P eo quod fit ex linea DQ ducta in lineam QE. Sed que est proportio linee TE ad lineam ME eadem est producti ex linea BT in lineam TE ad productum ex linea FM in lineam ME quia equales sunt linee BT et FM. Si ergo linea TE non est equalis linee ME, sit ea maior. Ergo quadratum TE maius est quadrato linee ME et quod fit ex BT in TE maius est eo quod fit ex FM in ME, quod falsum est. Si minor est linea TE quam linea ME, quadratum linee TE cum eo quod fit ex BT in TE minus est quadrato linee ME cum eo quod fit ex linea FM in lineam ME, at hoc falsum est. Oportet ergo equalem esse lineam TE linee ME. Similiter probetur equalitas linearum TE et QE et similiter linearum ME et QE. Ergo equales sunt linee BE FE et DE. Cum igitur in tribus triangulis EBZ et EFK et EDN B et F et D anguli sunt equales et latera eos continentia equalia oportet angulos BEZ et FEK et DEN equales esse, quod intendi probare. Et sequitur ex hiis ZEK angulum qui est angulus motus equalis esse equalem angulo BEF qui est angulus motus visibilis et est ille quem quem] corr. ex quam P dividit linea transiens per duos transitus medios in duo media. Probatione hoc non indiget cum sit manifestum.

Nota post hec quod quamvis ea que accidunt motibus secundum unam radicem diversitatis accidere etiam possint secundum aliam. Preelegit tamen Ptholomeus in motu Solis ponere illam radicem que ex ecentricitate procedit. Est enim radix hec simplicior cum in ea unus tantummodo motus accendatur. Inquirit ergo Ptholomeus ecentricitatem Solis, id est est] followed by one word crossed out by the scribe: lineam P quantitatem linee interiacentis centrum ecentrici Solis et centrum orbis signorum, et locum augis ecentrici Solis in orbe signorum. Invenit autem hec duo tempora, scilicet tempus in quo centrum Solis movetur a puncto ecentrici quod est in directo conversionis estive et item tempus quo movetur ab illo puncto ad punctum quod est in directo equalitatis autompnalis et deprehendit hoc totum tempus esse plus medietate anni. Scivit ergo per hoc augem Solis esse intr hec duo puncta quorum alterum est in directo unius equalitatis et reliquum in directo alterius ex ea, scilicet parte in qua est punctum directe respiciens conversionem estivam. Invenit quoque tempus quo Sol movetur a puncto quod est sub equalitate vernali usque ad punctum quod est sub conversione estiva esse cum 4 dierum et 30 minutorum. Tempus vero quo movetur Sol inde ad equalitatem autompnalem esse minus duobus diebus et scivit per hoc locum angis esse inter duo puncta vernalis equalitatis et estive conversionis quia, ut preostensum est, circa angem tardior est motus. Dat etiam Ptholomeus motui Solis Solis] followed by two words crossed out by the scribe: qui est P ex puncto quod est sub puncto equalitatis autompnalis usque ad punctum subpositum hyemali conversioni 88 dies et octavam diei. Motum vero ab hoc puncto usque ad punctum suspiciens equalitatem vernalem dicit perfici in 90 diebus et octava diei. Colligitur ex hoc istorum quatuor temporum differentia.

〈III.9〉 9. Cum notum fuerit utrumque duorum temporum in quibus Sol movetur a puncto subposito equalitati vernali ad punctum subiectum conversioni estive et deinde ab illo puncto ad punctum quod est in directo equalitatis autompnalis nota erit ecentricitas et notus erit locus angis in zodiaco. Habebitur quoque utriusque temporis noticia illius, scilicet quo movetur Sol ab equalitate autompnali ad conversionem hyemalem, et illius quo inde revertitur ad equalitatem vernalem.

Pingam ad hoc ABGD orbem signorum cuius centrum E et intra eum orbem ecentrici ZHT circa centrum N et ducam duos dyametros orbis signorum se orthogonaliter secantes quorum alter sit AG coniungens A punctum vernalis equinoctii puncto G autompnalis equalitatis, alter BD ductus inter B conversionis estive punctum et D punctum tropici hyemalis. Ducam etiam dyametrum ecentrici qui sit LF equidistans linee AG et alium eiusdem ecentrici dyametrum QP equidistantem linee BD et secantem AG lineam in puncto C. Puncta quoque ecentrici supposita punctis conversionum B et D sint H et K. Puncta vero que sunt in directo equalitatum A et G sint Z et T. Ducam etiam lineam EN inter duo centra et educam eam hinc inde et necesse est eam ire ad punctum longitudinis longioris quod sit M quod est necessario inter puncta A et B et ibit ex alia parte ad longitudinem longitudinem] followed by one word crossed out by the scribe: longiorem P propiorem que sit punctum X. Dico modo notam esse lineam EN respectu totius dyametri et dico notum esse punctum zodiaci cui supponitur longitudo longior que est punctum M. Sit autem punctum zodiaci S. Notus est enim arcus ZHT quia notum est tempus medii motus in eo. Hic patere potest ex dictis in probatione prime huius. Sed notus est arcus LHF quia est medietas ecentrici. Ergo noti sunt duo arcus ZF et LT. Sed ipsi sunt equales, ergo uterque notus. Ergo linea NC que est sinus arcus ZF est nota. Sed etiam notus est arcus ZH quia notum tempus motus in eo. Ergo notus est arcus QH quia nota est quarta FQ. Est igitur linea EC nota que est sinus noti arcus HQ. Ergo quadrata linearum NC et EC sunt nota, ergo quadratum linee EN notum, ergo ipsa nota, quod est unum propositorum. Item oportet hoc notam esse esse] followed by one word crossed out by the scribe: lineam P angulum NEC. Ergo notus est arcus AS et notum est punctum A. Ergo notum est punctum S et hoc etiam erat ex probandis. Est autem linea EN due partes et 29 minuta secundum quantitatem qua est dyameter orbis ecentrici 120 partes. Arcus vero AS est 65 gradus et 30 minuta. Est igitur maxima elevatio ecentrici Solis sub medio puncto sexti gradus geminorum. Sic volunt Geber et Ptholomeus. Alii tamen aliter ponunt quantitatem arcus interiacentis punctum Arietis et locum maxime elevationis ecentrici [ecentrici]. Item notus est arcus LTKP. Est enim quarta ecentrici et noti sunt arcus LT et KP ex dictis. Ergo notus est arcus TK. Ergo notum est tempus medii motus in eo. Item notus est arcus PZF quia est quarta ecentrici. Ergo dempto noto arcu ZF et adiecto noto arcu KP notus erit arcus KPZ. Ergo notum est tempus motus in eo. Nota sunt igitur duo tempora in quorum altero fit motus a puncto supposito autompnali equalitati ad punctum subiectum hyemali conversioni, in reliquo fit motus Solis ab hoc puncto ad punctum quod est in directo vernalis equalitatis. Habes ergo propositum.

〈III.10〉 10. Noto discessu cuiuslibet puncti ecentri ab altera longitudinum nota erit superfluitas duorum angulorum in ipso propter prehabitam ecentricitatis noticiam.

Sit ecentricus Solis ABG circa centrum D, centrum zodiaci E, super hec centra ducatur dyameter ADG et sit punctum A longitudo longior. Accipiam arcum notum inter A et B et sit AB arcus. Ducam autem lineas BD et BE. Est autem notus angulus ADB super suum arcum notum. Dico notum esse angulum DBE qui est diversitas duorum angulorum super quos fiunt motus apparens et motus motus] followed by one word crossed out by the scribe: verus P medius. Notus enim est angulus BDE quia notus est angulus ADB et nota sunt latera continentia angulum BDE notum quia latus BD est semidyameter et latus ED est ecentricitas nota. Ergo ex 26^a primi notus est angulus DBE DBE] corr. ex BDE P et similiter angulus BED qui est angulus motus apparentis. Patet ergo propositum; et vide quod si punctum super quod fit angulus superfluitatis est in illa medietate que est ab A longitudine longiori ad longitudinem propiorem secundum motum Solis, debet angulus superfluitatis addi angulo motus apparentis ut fiat ex ambobus angulus medii motus. In altera medietate substrahendus est ab eo ut remaneat angulus medii motus. Causa patet.

〈III.11〉 11. Noto angulo motus apparentis et nota ecentricitate notus erit tam angulus medii motus quam angulus qui est amborum superfluitas.

Ut si notus est angulus BED, dico notum esse angulum DBE. Nota enim sunt latera ED et BD et notus est angulus BED et scitur angulus DBE esse acutus. Ergo ex 27^a primi huius triangulus DB lineis et angulis est notus. Ergo notus est angulus DBE. Ergo etiam notus est ex hoc angulus ADB et hoc est quod fuit demonstrandum.

〈III.12〉 12. Noto altero duorum angulorum medii motus et apparentis notus erit uterque, si noti fuerint ad se invicem semidyametri epicicli et concentrici.

Sit concentricus ABG circa centrum E, dyameter eius AEG, sit epicicli DH centrum B, motum per arcum AB et centrum stelle econtrario per arcum epicicli DH. Ducam ergo lineas HB HE et DBE et notus sit primo angulus medii motus AEB et sint note ad invicem linee HB et BE, id est nota sit earum proportio. Dico notum esse angulum motus apparentis, scilicet angulum AEH, nam per motus similes, id est per arcus similes, quos faciunt epiciclus in concentrico et stella in epiciclo oportet ut sint equales HBD et AED anguli. Ergo notus est angulus HBD. Ergo notus est angulus HBE et linee continentes ipsum note. Ergo notus est totus triangulus HBE lineis et angulis ex 26^a primi. Ergo notus est angulus HEB. Sed ipse est diversitas duorum angulorum AEB anguli noti et AEH anguli quesiti. Ergo notus est angulus AEH. Sit modo ex ypothesi notus angulus AEH. Dico notum esse angulum AEB. Sunt enim equidistantes due linee HB et AE. Ergo anguli coalterni BHE et AEH sunt equales. Ergo notus est angulus BHE et note sunt HB et BE linee et scitur quod angulus HEB est acutus. Ergo ex 27^a primi notus est angulus HEB. Ergo notus est angulus AEB quod fuit ostendendum.

〈III.13〉 13. Propositum sit dierum diversorum inequalitatem ostendere. Dierum vero mediorum qui sunt semper equales quantitatem invenire.

Nota quod dies diversus est spacium in quo Sol exiens in parte orientis ab orizonte revertitur ad orientem in eadem parte. Vel sic: Dies diversus est tempus quod est inter duos ortus Solis proximos et dicuntur huiusmodi dies diversi quia non sunt inter se equales quod ita appareat: Sit Sol cum aliquo puncto zodiaci in ortu, utpote cum capite Libre, et fiat una revolutio spere. Interea Sol proprio motu procedens reliquit punctum Libre et illo puncto redeunte ad ortum non redit ad hoc Sol. Cum ergo ortus fuerit arcus qui est a puncto Libre usque ad locum Solis tunc erit Sol in ortu. Est igitur dies diversus spacium integre revolutionis et ascensus illius arcus quem Sol usque ad ortum suum pertransit ab ortu proximo precedenti. Sed integrarum quidem revolutionum tempora sunt semper equalis. Sed ascensus arcuum quos inter duos ortus Sol pertransit sunt inequales, tum quia ipsi inequales, tum quia oriuntur inequaliter, id est cum inequalibus partibus paralelli. Inequalia vero equalibus addita tota faciunt inequalia. Sunt ergo dies diversi inequales, quod fuit ostendendum.

Item tempus anni Solis est spacium tot integrarum revolutionum quot sunt in anno dies diversi et revolutionis illius partis que uni quarte diei respondeat et preter hec propter motum Solis proprium spacium unius integre revolutionis. Cum ergo divisero illam integram revolutionem in tot partes equales quot sunt in anno revolutiones preter divisam nec in hac divisione ad quartam diei respectum habuero, cum, inquam, hoc fecero et cuilibet revolutioni integre addidero unam harum partium vocabo diem medium spacium unius revolutionis et partis sic adiecte. Sunt autem hii dies necessario equales quia spacia integrarum revolutionum semper sunt equalia. Equales quoque partes unius revolutionis in temporibus equalibus ascendunt. Equalia vero equalibus addita tota faciunt equalia. Quod si dividas unam revolutionem per 365 dies et quartam, exibit 59 minuta gradus et 8 secunda secundum propinquitatem. Est igitur dies medius spacium integre revolutionis et 59 minutorum et 8 secundorum. Habes ergo diei medii quantitatem.

Sunt igitur due radices diversitatum quas habent dies diversi, tum inter se, tum ad dies medios, scilicet inequalitas arcuum quos describit Sol inter duos ortus et inequalitas ortuum istorum arcuum. Elevantur enim cum inequalibus arcubus equinoctialis quod totum ex dictis patet. Tercia etiam radix diversitatis est declivitas orizontium que facit ut quedam signa directius et ita tardius quedam obliquius et ita velocius oriantur vel occidant. Quam rem ad diversitatem dierum cooperari non est dubium. Sed ad excludendam istam causam diversitatis dierum posuerunt astronomici inicium dierum a meridie ut sit dies spacium quod est a meridie ad meridiem. Diversitas enim ortuum partium zodiaci diversa est in diversis orizontibus declivibus, sed est una et eadem in circulis meridianis qui sunt orizontes spere recte. Due itaque radices diversitatum in diebus remanent. Verumptamen diversitas ex hiis radicibus procedens in die uno est quasi insensibilis. In diebus tamen pluribus agregatur ex ea quantitas de qua curatur et propterea quod plurimum superfluitatis inter divisiones orbis egredientis centri et divisiones orbis signorum non est nisi in duabus medietatibus orbis egredientis centri quas dividit longitudo longior et propinquior in duas medietates. Oportet ut plurimum diversitatis que cum sequitur dies cum noctibus suis propter diversitatem Solis non sit nisi in istis duabus divisionibus orbis signorum et est summa eius in duabus medietatibus anni circiter cum partes et medietatem partis, propterea quod una earum addit super medietatem circuli 4 partes et 3 quartas partis et secunda minuit a medietate circuli quantum sunt ille eedem partes. Plurimum vero diversitatis vel superfluitatis que est inter partes orbis signorum et elevationes earum in circulo meridiei est in duobus signis que sequitur unum duorum punctorum duarum equalitatum et in duobus signis que sequitur unum duorum punctorum duarum conversionum; et pervenit illud circiter 4 partes et medietatem partis et preparatur comprehensio eius per illud quod premisimus in tractatu primo huius libri. Est igitur superfluitas inter ea cum quibus elevantur et elevationes 9 partes. Ergo divisio orbis signorum pertinens additioni est illa in qua agregantur iste due superfluitates, scilicet superfluitas que est propter diversitatem Solis et alia que est propter diversitatem elevationum in circulo meridiei addite simul, et est divisio que est a principio Scorpionis usque ad medium Aquarii et divisio proportionata diminutioni est divisio in qua agregantur ille due superfluitates diminute simul et est residuum circuli, scilicet quod est a medio Aquarii usque ad finem Libre estque illius summa propter diversitatem quidem Solis tria tempora et due tercie temporis et propter diversitatem elevationum 4 tempora et due tercie temporis donec sit agregatum ex duabus superfluitatibus simul 8 tempora et tercia temporis et illud est quasi medietas hore et 18^a pars hore. Hec quidem quantitas, si negligatur in Sole et in aliis stellis, non ingreditur ex ea de errore quantitas sensata. In Luna autem propter velocitatem motus eius est illud quod provenit inde circiter 3 quartas partis et illud est quod ipsa abscindit in hora una et nona parte hore predictis. Cum ergo voluerimus reducere dies diversos ad dies equales sciemus cursum Solis medium et verum in illo tempore posito et sciemus elevationes cursus veri in spera recta et accipiemus superfluitatem inter illas elevationes et cursum medium et illius superfluitatis quecumque fuerit accipiemus partem 15^am; et si elevationes fuerint plus cursu medio, addemus illud super dies positos, et si fuerint minus, minuemus illud de diebus positis, et quod fuerit post additionem vel diminutionem dies equales erunt et per conversionem illius reducuntur dies equales ad dies diversos et illud voluimus declarare.

Explicit tercius liber Geber.

Incipit liber quartus eiusdem.

〈IV〉

〈IV.1〉 1. Verus Lune locus per lunarem eclypsim quam per solarem rectius inquiritur et verius deprehenditur.

Veritas huius propositionis in hoc nititur quod dyameter terre est quantitatis sensibilis respectu dyametri Lune et accidit propter hoc quiddam, ut ait Thebith, quod vocatur alburathisiesy. Hoc est diversitas aspectus que quidem omnibus stellis accidit. Sed in aliis ea non curata non erratur sensibiliter. In Luna vero curanda est propter minorem eius a terra distanciam. Est autem diversitas aspectus distancia veri loci et loci apparentis. Hec autem tanto est maior, ut patet, quanto res videnda oculo est propinquior. Non ergo vere accipitur locus Lune per visum. Sed in ecly〈p〉si Solis per visum accipitur quod inde patet quia hominibus diversorum locorum diverse quantitatis videtur eclypsis Solis. Non igitur per eclypsim Solis recte accipitur locus Lune verus. Rectissime autem deprehenditur per eclypsim Lune. Eclypsatur autem Luna intrando in umbram terre. Est autem umbra terre quasi pyramis rotonda habens basim unum ex maximis circulis corporis Solis. Intelligamus autem huius pyramidis axem venire a centro Solis quod est centrum basis pyramidis per centrum terre in conum pyramidis. Cum ergo fuerit Luna in media eclypsi sua tunc erit centrum Lune in axe pyramidis umbre. Tunc ergo erit Luna directe opposita Soli. Sed notus est in omni hora locus Solis. Ergo etiam notus est locus loco Solis oppositus et ita in eclypsi Lune notus et verus Lune locus per notum locum Solis et hoc est propositum.

〈IV.2〉 2. Si in prima et secunda quatuor eclypsium lunarium fuerit motus Lune unus et idem itemque in tercia et quarta unus et idem priori diversus fuerintque duo tempora inter primam et secundam et inter terciam et quartam equalia et super duos arcus orbis signorum equales aut super integras revolutiones tantum aut super integras revolutiones et arcus equales equales] followed by one word crossed out by the scribe: necesse P, necesse est in orbe revoluto eundem fuisse locum Lune in prima et secunda et item eundem in tercia eclypsi et quarta.

Moveatur enim Luna super orbem revolutionis qui sit circulus ABGD in circuitu centri E et centrum orbis signorum sit punctum Z et linea transiens per longitudinem longiorem que sit punctum A et propinquiorem que sit punctum G et super centrum orbis signorum sit linea AEGZ AEGZ] corr. ex AEGG P et protrahamus ex puncto Z duas lineas ZB et ZD contingentes circulum ABGD. Erunt igitur duo puncta B et D puncta transitus medii. Nota tamen quod Luna habet in epiciclo suo tres motuum diversitates. Nam iuxta longitudinem longiorem que est punctum A motus eius est tardius et iuxta longitudinem propiorem que est punctum G est eius motus velox et circa puncta medii transitus que sunt B et D medium habet Luna motum. Hoc est nec tam velocem ut circa punctum G nec tam tardum ut circa punctum A. Sit igitur ut Luna in eclypsi prima fuerit in puncto H vicino longitudini longiori ubi tardus est motus et in eclypsi tercia fuerit in puncto P vicino longitudini propiori ubi velox est motus. Fuerit quoque motus Lune in secunda eclypsi idem ei quem habuit in prima et motus eius in quarta idem ei quem habuit in tercia. Fuerint etiam duo tempora inter duas et duas eclypses equalia et sectiones de orbe signorum equales sive ipse tantum sit pertransite sive ipse preter integras reditiones. Dico ergo quod in secunda eclypsi fuit Luna in puncto H qui est locus prime eclypsis et quod in quarta rediit ad punctum P qui est locus tercie. Si enim non ponatur quod in tercia fuerit in puncto T et in quarta fuerit in puncto Q, itaque propter temporum equalitatem et uniformem motum Lune in orbe revoluto necesse est arcus HT et PQ esse equales. Sed motus Lune in punctis H et T est diversus a motu eius in punctis Q et P. Oportet igitur ut in altero duorum arcuum HT et QP addatur angulus centri mundi cadens in alterum duorum [duorum] arcuum ad angulum medii motus et fiat motus verus. In reliquo vero vero] followed by one word crossed out by the scribe: fiat P dematur angulus centralis cadens in eum ab angulo medii motus et remaneat verus motus. Sed propter temporum equalitatem positam sequitur ut sint medii motus in duobus datis arcubus equales. Cum ergo equalibus motibus mediis hinc addas alterum inequalium hinc demas reliquum et exeant motus veri necesse est motus veros in duobus arcubus HT et QP esse inequales. Ergo fiunt super inequales arcus centri zodiaci. [Ergo fiunt super inequales arcus zodiaci.] In duobus itaque temporibus equalibus que fuerunt inter duas et duas eclypses Luna preter integras reditiones secuit inequales arcus zodiaci. Positum autem erat contrarium quia oportet ut fuerit Luna in prima et secunda eclypsi in eodem puncto et in quodam quodam] followed by one word crossed out by the scribe: alia P eodem in tercia et quarta et illud est quod demonstrandum fuit. Et hoc, ut ait Geber, ponit Ptholomeus ab antiquis acceptum, sed demonstrationem eius facit Geber a Ptholomeo non positam.

Et propterea quod diversitas inter duos arcus quos abscindit Luna in duobus spaciis equalibus sive redit Luna ad locum suum primum est agregatio duarum diversitatum quas faciunt duo arcus HT et PQ. Oportet ut sint eclypses electe in inquisitione huius temporis revolubilis ipse eclypses in quibus loca Lune faciunt diversitatem plurimam inter motum medium et verum; et ista loca sunt duo puncta longitudinis longioris et propioris et eius quod apropinquat utrisque et quanto plus elongantur loca Lune in eclypsibus a duobus punctis longitudinis longioris et propioris tam plus longiora ab electione. Oportet ergo ut necessario devitetur quod locus Lune sit in eclypsi prima et in tercia in duobus transitibus mediis aut prope eos utrosque secundum contrarium eius quod dixit Ptholomeus. Nam si Luna fuerit in eclypsi prima super punctum M quod est propinquum puncto D quod est transitus medius, tunc propterea quod motus Lune in eo quod apropinquat puncto D est motus unus qui plurimum non alteratur. Possibile est ut sit in eclypsi secunda super punctum N et nos estimamus quod in duabus eclypsibus super punctum unum et possibile est iterum ut sit in eclypsi tercia supra punctum P cuius longitudo a puncto B est sicut longitudo puncti N a puncto D et nos estimamus quod in duabus eclypsibus sit in puncto uno. Oportet ergo propter illud ut sit diversitas quam facit arcus MN equalis diversitati quam facit arcus PQ et sunt ambe generis unius, scilicet quod ambe faciant simul in motu uno additionem aut diminutionem. Sequitur ergo ex hoc quod Luna secuit iam in orbe signorum post revolutiones integras in duobus spaciis equalibus duos arcus equales et non rediit in orbe revolutionis sue; et illud sequitur, si fuerit locus Lune in eclypsi prima punctum transitus medii ipsum et in quarta punctum transitus medii alterius et in unaquaque duarum, scilicet secunde et tercie, unum duorum punctorum N et P aut Q et M ita ut secet in orbe revolutionis sue duos arcus equales et elongationis equalis a longitudine propiore; et hoc est una trium positionum a quibus monuit cavendum et a quibus precepit esse abstinendum et nos invenimus ipsum posuisse hoc de locis electis Lune in istis considerationibus et illud est quod dixit in secundo capitulo tractatus quarti cuius narratio est hec. Non non] sup. lin. P oportet ergo ut sit in spaciis que amministrantur aliquid aliud] horum accidentium ut estimemus in ea quod sint in veritate comprehendentia tempus reditionis diversitatis immo non oportet i. m. P nisi ut eligamus ex eis quorum dispositio sit contraria dispositionibus horum, scilicet spacia in quibus proprie sit possibile ut appareat diversitas cum non continent reditiones integras de reditionibus diversitatis nec non sufficiat ut sint principia eius a cursibus diversis tantum, immo a cursibus magne diversitatis, aut in quantitate aut potentia. In quantitate quidem, sicut si incipiat in uno duorum spaciorum a minore cursu et non perveniat ad maiorem cursum et incipiat in spacio alio a maiore cursu et non perveniat ad minorem cursum, istis enim modis erit superfluitas additionis in longitudine longiore ultima superfluitas et illud est quoniam non possunt esse diversitatis reditiones integre et proprie. Quando in diversitate una consequitur quarta una aut tres quarte est superfluitas que est propter diversitatem tunc due superfluitates per quas sunt duo spacia fere non equalia. In potentia vero, sicut si incipiat in unoquoque duorum spaciorum a cursu medio, verumtamen principium non sit ab eodem medio, immo sit in uno amborum a cursu ubi est additio et sit in altero a cursu ubi est diminutio. Nam secundum hunc modum etiam proprie diversitates longitudinis diversificantur ad invicem ultima diversitate preter preter] corr. ex propter P quod diversitas iam reversa sit; et cum in diversitate una consequitur quarta iterum et 3 quarte est superfluitas que est propter diversitatem due superfluitates et quando est illud quod consequitur ipsam medietas circuli est superfluitas 4; et propter illud etiam invenimus Abrachis estimasse quod ipse solicitus fuit cum ultimatione solicitudinis que est possibilis in eligendo spacia quibus utuntur in hac inquisitione. Usus est ergo superfluitate in Luna secundum quod inicium unius duorum spaciorum sit a maiore cursu et non perveniat ad cursum minorem et principium spacii alterius sit a minore cursu et eius perventio non sit aput maiorem cursum. Hec est ergo narratio sermonis Ptholomei. Ipse autem posuit de eclypsibus electis in inquisitione huius temporis revolubilis eclypses in quibus fuit Luna in uno duorum spaciorum in uno duorum transituum mediorum et fuit in spacio secundo in transitu medio altero; et ille nuper ostenderat quod illud valde longinquum est ab electione et quod est una trium positionum a quibus cavere monet in inquisitione horum spaciorum et precipit abstinere ab eis. Iam ergo elegit et non percepit quod iam ab eo cavere monuerat. Sermo vero eius. Hec est via qua incessit ille qui fuit in inventione harum rerum et possibile est tibi ut scias quod quod] followed by one word crossed out by the scribe: est P hec via non est facilis incessus neque proxime acceptionis. Immo est neccessaria in ea consideratio vehemens et comprehensio eius exquisita est quod narrabo et quod continuatur cum hoc est sermo non comprehensus et illud est quoniam non oportet ut huiusmodi dicat sermonem, nisi si ipse iam veniat cum via alia faciliore hac, et non sit necessarium in ea illud quod in hac via necessarium est de pertransitione, id est cum non ex toto inveniatur [inveniatur] res, ut ipsa est, et cum hoc non indigeat via qua venerunt antiqui. Sed non fuit ei possibile de illo. Immo non venit nisi cum via qua verificavit et nunciavit super superfluitatem intrantem per considerationes quibus usi sunt antiqui in inveniendo hoc temporis revolubile et non fuit ei possibile illud nisi ita ut uteretur in eo quantitatibus motuum quas invenerant antiqui per hoc tempus revolubile. Totum ergo cum quo venit non est fabricatum nisi secundum hoc tempus revolubile quod invenerunt antiqui cum hac via. Sermo autem eius. Ponamus itaque in primis quod tempora spaciorum inveniantur equalia secundum certitudinem. Dico in primis quod non confert illud, nisi superfluitas que est per diversitatem Solis aut penitus non sit in uno quoque duorum spaciorum aut si una et eadem, et quod continuatur cum eo est sermo vanus, et est illud quoniam illud est quod conditionat in spaciis quesitis ut sint equalia et Luna in eis abscindat de orbe signorum arcus equales; et cum illud fuerit ita et Sol sit in medio temporum omnis eclypsis oppositus secundum veritatem Lune oportet ut Sol iam iterum secuerit in illis duobus spaciis equalibus de orbe signorum duos arcus equales; et illud non fit nisi ita ut non sit ei diversitas penitus aut ut sit diversitas una; et illud fit ita ut sit secundum unam positionum 4 quas dixit. Ponit ergo quod sequitur apposito absolute et est res manifesta per se et similiter quod dixit post hec ex eo quod sequitur ut caveatur a locis Lune in orbe revolutionis sive in eclypsibus visis in inquisitione horum spaciorum et sunt loca in quibus possibile est ut abscindat de orbe signorum in temporibus equalibus arcus equales et non redeat in diversitate sua; et illud est ita ut Luna in eclypsi prima incipiat a longitudine longiori orbis revolutionis et perveniat in eclypsi secunda ad longitudinem propiorem et in tercia incipiat a longitudine propiore et in quarta perveniat ad longitudinem longiorem aut ut abscindat in uno quoque duorum spaciorum de orbe revolutionis sue arcum unum et eundem aut ut abscindat de eo duos arcus equales et equalis elongationis a longitudine longiore aut propiore vel ut sit duorum locorum eius in ecylpsi prima et quarta elongatio ab utroque latere linee transeuntis per longitudinem longiorem et propiorem equalis. Et similiter inter duo loca eius in eclypsi secunda et tercia. Quare sequitur in unaquaque harum trium positionum ut Luna de orbe signorum in duobus spaciis equalibus abscindat duos arcus equales et non redeat in orbe revolutionis sue. Non indiget hac cautela quoniam non est possibile ut Luna sit cum ipsi inquirunt ista spacia secundum aliquam harum conditionum. Quoniam primum quod aspicitur de esse Lune est ut sint duo incessus eius in eclypsi prima et secunda, scilicet illi qui continent spacium incessus eius secundum grossitudinem aspectus, donec estimetur quod iam redit in orbe revolutionis sue in eclypsi secunda ad locum suum in eo in prima ut spacium contineat reditiones integras Lune in orbe revolutionis sue. Et similiter iterum ut sit cursus eius in eclypsi tercia et quarta cursus unus et idem secundum grossitudinem aspectus ita ut estimetur iterum de ea quod iam rediit in orbe revolutionis sue. Hec enim conditio destruit quod Luna sit in eclypsi prima et quarta in longitudine longiore et sit in secunda et tercia in propinquitate propiore. Duas autem positiones alias in quarum una secat Luna de orbe revolutionis sue in duobus spaciis unum arcum eundem et positionem in qua secat in duobus spaciis duos arcus equales et equalis elongationis a longitudine longiore aut propiore destruit illud quod conditionavit iterum; et est ut sit cursus Lune in duabus eclypsibus primis diversus a cursu eius in duabus eclypsibus postremis quoniam in unaquaque harum positionum duarum sequitur ut sit cursus Lune in duabus eclypsibus primis ipse cursus eius in duabus eclypsibus postremis; et hoc est diversum ab eo quod conditionavit. Cum ergo conditionatur in duobus spaciis quesitis iste due conditiones in cursu Lune non est necessarium aliquid eorum que ipse dixit de cautela et perscrutatione subtili neque in Luna neque in Sole. Hec est ergo via qua incesserunt antiqui in inveniendo hoc tempus revolubile; et Ptholomeus quidem refert de Abrachys quod ipse invenit quantitatem eius 126007 dies et horam unam de horis equalibus et continentur in ipso de mensibus 4267 menses et de reditionibus diversitatis completis 4573 reditiones et de revolutionibus orbis signorum 4612 revolutiones exceptis tribus partibus et medietate partis fere et sunt partes quas minuit Sol in 345 revolutionibus et hoc quidem secundum quod non agitur in reditionibus harum rerum nisi secundum comparationem ad stellas fixas. Cum ergo diviserunt hoc tempus dies istos quos invenerunt hoc tempore revolubili per numerum mensium qui sunt in eo eo] hora de motu Lune medio in die i. m. P exivit tempus mensis medii 29 dies 31 minutum 50 secunda 8 tercia 9 quarta et 20 quinta cum propinquitate et cum multiplicantur dies mensis per minuta que abscindit Sol per motum suum medium in die uno que sunt 59 minuta 8 secunda 17 tercia 13 quarta 12 quinta et 31 sexta. Est inde quod abscindit Sol in tempore mensis medii. Cum ergo adiunguntur ad illud partes circuli unius et sunt 360 partes erit illud quo movetur Luna in longitudine per medium in tempore mensis medii et cum dividitur illud per numerum dierum mensis egreditur motus Lune medius in longitudine in die uno et est 13 partes 10 minuta 34 secunda 58 tercia 33 quarta 20 quinta et 30 sexta fere. Cum ergo minuitur ex illo motus Solis medius in die uno remanet motus longitudinis inter eos per medium in die uno et est 12 partes 11 minuta 36 secunda 41 tercia 20 quarta et 17 quinta; et iterum cum multiplicantur reditiones diversitatis quas comprehendit illud tempus revolubile per partes circuli unius et dividuntur agregatum per numerum dierum illius temporis revolubilis egreditur quod abscindit Luna in die uno de orbe revolutionis sue et illud est 13 partes 3 minuta 53 secunda 56 tercia 29 quarta 38 quinta et 30 sexta fere.

Motum autem Lune in latitudine comprehenderunt antiqui ita quod quesierunt spacium inter duas eclypses lunares in quibus fuit quantitas eclypsata de dyametro Lune eadem et Luna in utrisque in eodem puncto orbis revolutionis sue et fuit eclypsatum de superficie Lune in parte una a septentrione vel a meridie et aput unum et eundem nodum. Nam per agregationem harum conditionum sequitur necessario ut sit longitudo Lune in prima duarum eclypsium eius a nodo equalis longitudini eius in secunda ab illo eodem nodo in illa eadem parte. Illud ergo spacium continet revolutiones completas Lune in latitudine et centri orbis revolutionis eius in orbe declivi. Dixit ergo quod Abrachys invenit has duas eclypses secundum has conditiones et invenit tempus inter eas continere 5458 menses et de revolutionibus latitudinis 5923 revolutiones. Cum ergo dividitur illud spacium per numerum reditionum latitudinis egreditur tempus reditionis unius et condividitur per illum numerum numerus partium circuli unius et est 360 partes; egreditur quod abscindit Luna per motum suum medium in die uno et est 13 partes 13 minuta 45 secunda 39 tercia 40 quarta 17 quinta 19 sexta. Per hanc ergo viam comprehenderunt antiqui motus Lune in longitudine et diversitate et latitudine. Ptholomeus quidem, propterea quod iam antecessit eum Abrachis et iam comprehenderat motus Lune secundum hos modos et scripserat eos, intendit rectificare eos et experiri per hanc viam quam narro et illud est quoniam ipse vidit quod si in istis motibus scriptis propter considerationes est apropinquatio tunc cum assumetur ex ea quantitati alicui parvi temporis, erit apropinquatio in illa quantitate temporis parva. Cum ergo extrahitur propter assumptum ex ea motus quantitati alicui temporis magni et dividitur illa apropinquatio parva que est propter considerationes per numerum revolutionum illius temporis magni tunc est partitio revolutionis unius de illa apropinquatione insensiblis omnino et erunt motus comprehensi hac via certiores qui esse possunt et fecit currere illud secundum semitam indagationis subtilis.